Série de Fourier (FS)
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SÉRIE DE FOURIER (FS)
Prof. Marcelo de Oliveira Rosa
Série de Fourier
Anteriormente... Sinais combinação linear de δ(t) Sistemas resposta ao impulso h(t)
Análise de Fourier Sinais combinação linear de “senóides”
Exponenciais complexas Sistemas resposta em freqüência
Série de Fourier
Excitação periódica Sistema linear e invariante no tempo (LTI)
Aplicando um impulso ao sistema Resposta ao impulso
Aplicando um trem de impulsos ao sistema “Resposta periódica” Apenas resposta forçada da EDO que rege o
LTI
Série de Fourier
Excitação periódica Exemplos:
Gota em tanque de água Mola Massa
Resposta ao impulso
Série de Fourier
Excitação periódica
Presença de transitório
Série de Fourier
Excitação periódica Exercício
Série de Fourier
Excitação periódica Presença de transitório
Exigência de excitação iniciar “a muito tempo atrás”
Operação trabalhosa Soma infinita de respostas ao impulso
atrasadas
Como analisar apenas a resposta forçada do sistema a uma excitação periódica?
Série de Fourier
Excitação exponencial complexa Dado:
Sistema LTI h(t) Excitação exponencial complexa x(t) = e+jΩt
Por convolução, a resposta é:
Note: resposta para uma freqüência específica Ω
autovalor
j
autofunção
tj de)(he)t(y
Série de Fourier
Excitação exponencial complexa Pelo princípio da superposição
Para o sistema h(t) A resposta é
com
tjk
tj2
tj1
k21 eAeAeA)t(x
tjk
tj2
tj1
k21 eBeBeB)t(y
de)(hB kjk
Série de Fourier
Excitação exponencial complexa Autovalor
Projeção da função h(t) sobre a função g(t) = e+jΩt
Produto interno <h(t), g*(t) >
Autovetor/Autofunção Direção g(t) considerada na qual se projeta
h(t)
de)(hd)(g)(hg,h j
Série de Fourier
Excitação exponencial complexa Exemplo
Aproximação deonda triangularinclinada usandosinais do tipocos(kΩt+Θ)
Série de Fourier
Excitação exponencial complexa As freqüências kΩ são chamadas
harmônicas k ∈ Z São múltiplas de 2π/T
Cada Ak cos(kΩt+Θ) pode ser convertido em: [Ak cos(Θ)] cos(kΩt) + [–Ak sen(Θ)] sen(kΩt)
Senóides com fase soma de senóides e cossenóides ponderadas.
Série de Fourier
Definição Se x(t) é periódico, com período T,
t0≤t<t0+T
E
X[k] k-ésima amplitude harmônica das exponenciais complexas da decomposição de x(t)
Ω = 1 / T
Tt
t
tjk0
0
dte)t(xT
1]k[X
k
tjke]k[X)t(x
Série de Fourier
Definição Em termos de senos e cossenos
E
Xc[k] e Xs[k] k-ésima amplitude harmônica das senóides e cossenóides da decomposição de x(t)
,2,1,0k,dt)tkcos()t(xT
2]k[Xc
1k
scc )tksen(]k[X)tkcos(]k[X]0[X)t(x
,2,1k,dt)tksen()t(xT
2]k[Xs
Série de Fourier
Definição Condições de existência
Sinal absolutamente somável entre t0≤t<t0+T
Número finito de máximos e mínimos entre t0≤t<t0+T
Número finito de descontinuidades entre t0≤t<t0+T
Sinais hipotéticos não possuem série de Fourier x(t) = sen(1/t)
Série de Fourier
Questão de periodicidade A partir de:
Temos que:
k
tjke]k[X)t(x
)qTt(x)t(x
Série de Fourier
Questão de periodicidade
Série de Fourier
Questão de periodicidade
Série de Fourier
Questão da periodicidade Reforçando:
k ∈ Z Não existe componente para k não inteiro! X[k] é uma seqüência/série de números
Ω = 1 / T Freqüência de cálculo está relacionado com o
período do sinal escolhido para a análise da série Existem 2 períodos envolvidos
Período real do sinal Período para cálculo da Série de Fourier
Exemplos/Exercícios
Série de Fourier
Truncamento e Convergência da FS Usando uma amplitude harmônica Xn[k]
O erro mínimo será:
Com argmin{Ee} = X[k]
N
Nk
tjkNN e]k[X)t(x
N|k|
2
Ne ]k[X}Emin{
Série de Fourier
Truncamento e Convergência da FS
Série de Fourier
Truncamento e Convergência da FS
Série de Fourier
Truncamento e Convergência da FS Sinais “contínuos”
Convergência com número finito de harmônicos
Sinais “descontínuos” Presença de impulsos δ(t) Convergência com número finito de
harmônicos Mas não atinge convergência absoluta Fenômeno de Gibbs
Representação de função descontínua usando função contínua (no caso, exponenciais complexas)
Oscilação nas regiões de descontinuidade
Série de Fourier
Truncamento e Convergência de FS Sinais “descontínuos”
Exemplos: Filtro passa-baixa em sinal degrau (unitário ou
não) “Ruído” em imagens compactadas (JPEG) “Ruído” em vídeo digital compactado (MPEG, TV
digital) Pré-eco em instrumentos de percussão
Série de Fourier
Truncamento e Convergência de FS Aproximação de u(t) via FS
A
A/2
0tA
0t2/A
0t0
)t(Au
Série de Fourier
Propriedades Linearidade
com T = m Tx = q Ty
]k[bY]k[aX]k[Z)t(by)t(ax)t(z
]k[Y)t(y
]k[X)t(x
FS
FS
FS
Série de Fourier
Propriedades Inversão de tempo
com T = m Tx
]k[X)t(x
]k[X)t(xFS
FS
Série de Fourier
Propriedades Deslocamento no tempo
com T = m Tx
Deslocamento em freqüência com T = m Tx
]k[Xe)tt(x
]k[X)t(x0tjkFS
0
FS
]kk[X)t(xe
]k[X)t(x
0FStjk
FS
0
Série de Fourier
Propriedades Deslocamento no tempo atraso de fase
Série de Fourier
Propriedades Deslocamento na freqüência modulação
AM
Série de Fourier
Propriedades Escala de tempo
com T = m Tx
ou
aTT],k[X)at(x
TT],k[X)t(x
xFS
xFS
xFS
xFS
TT,.c.c,0
ak],ak[X)at(x
TT],k[X)t(x
Z
Série de Fourier
Propriedades Diferenciação
Com T = m Tx
]k[Xjk)t(xdt
d
]k[X)t(x
FS
FS
Série de Fourier
Propriedades Integração
Com T = m Tx e X[0]=0
Se X[0] ≠ 0, a integral de x(t) deixa de ser periódica
Inexistência da série de Fourier para tal sinal
0k,jk
]k[Xd)(x
]k[X)t(x
FSt
FS
Série de Fourier
Propriedades Modulação
com T = m Tx = q Ty
]k[Y]k[X]k[Z)t(y)t(x)t(z
]k[Y)t(y
]k[X)t(x
FS
FS
FS
Série de Fourier
Propriedades Convolução periódica
com T = m Tx = q Ty
]k[Y]k[XT]k[Z)t(y)t(x)t(z
]k[Y)t(y
]k[X)t(x
FS
FS
FS
Série de Fourier
Propriedades Modulação e Convolução
Modulação no tempo Convolução em freqüência
Convolução no tempo Modulação em freqüência
Princípio de filtragem!
Série de Fourier
Propriedades Conjugado
Com T = m Tx
Propriedade decorrente: Se x(t) é par, |X[k]|2 – módulo – é par Se x(t) é par, <X[k] – fase – é impar
]k[X]k[Y)t(x)t(y
]k[X)t(xFS
FS
Série de Fourier
Propriedades Teorema de Parseval
Com T = m Tx
Potência média do sinal Soma das potências médias harmônicas
k
2FS
T
2
FS
]k[Xdt)t(xT
1
]k[X)t(x
Série de Fourier
Aplicação em Análise de Sistemas LTI Do conceito de autofunção
Excitação exponencial complexa (freqüência Ω)
Resposta exponencial complexa (freqüência Ω)
Exemplos/Exercícios
Série de Fourier
Aplicação em Análise de Sistemas LTI Aplicação direta sobre EDO
Linear a coeficientes constantes Obtenção da resposta do sistema a
componentes harmônicos espectrais Por manipulação algébrica
Apenas para harmônicos de Ω = 2π/T
]k[H]k[V]k[V
in
out