Réseaux électriques linéaires

A. Loi d’Ohm généralisée

La d.d.p aux bornes A-B d’une portion de circuit s’écrit :

ABABABABBA eIRVV ⋅−⋅=− ε

- 0=ABε pour une résistance morte,

- 1±=ABε pour un récepteur polarisé, représentant le signe de la borne de sortie du

courant,

- ABε est du signe contraire au sens du courant ABI , pour un récepteur non polarisé.

ABe désigne la tension au borne de la self ou d’une capacité ou encore la f.e.m d’un

générateur présent dans la portion du circuit A-B.

B. Définition

● Réseau : c’est un ensemble de conducteurs (générateurs, recepteurs et resistances) reliés

entre eux par des fils conducteurs. Le réseau est dit linéaire lorsqu’il est constitué par des

dipoles dont la caractéristique u = f(I) est une droite.

● Nœud : c’est un point du réseau où sont connectés au moins deux fils conducteurs.

● Branche : portion de circuit entre deux nœuds.

● Maille : ensemble de branches formant un circuit fermé.

C. Lois de Kirchhoff

1. Loi des nœuds : l’électricité se conservation : ∑ = 0I

Sur chaque conducteur, fixer un sens positif arbitraire, alors le courant sera affecté du signe +

ou -. Les courants arrivant aux nœuds sont comptés (+) et les courants sortant du nœud sont

comptés (-).

CHAPITRE I : ELECTROCINETIQUE

VA - VB

A IAB

B

Exemple :

2. Loi des mailles : En parcourant une maille dans un sens déterminé, la somme des d.d.p. est

nulle lorsqu’on effectue un tour complet (c’est la loi d’Ohm généralisée sur chaque maille).

3. Utilisation des lois de Kirchhoff:

● Sur chaque branche, on choisit (s’il n’est pas donné) un sens positif du courant et on écrit

les équations aux nœuds,

● Pour chaque maille, on choisit un sens arbitraire, et on applique la loi des mailles, en tenant

compte des conventios suivantes :

- On compte positivement les produits R.I si le sens positif pris pour I est le même que le sens

de parcours de la maille. Les produits R.I sont affectés d’un signe négatif dans le cas

contraire.

- On affecte aux f.e.m le signe de la borne par laquelle on entre dans le générateur suivant le

sens positif de parcours de la maille.

- La polarité des recepteurs est fixée par le sens du courant qui les traverse : le courant allant

du pôle positif vers le pôle négatif à l’intérieur du récepteur.

Soit le réseau ci-dessous.

Déterminer les différentes intensités des courants dans chaque branche du réseau.

Lois aux nœuds: I1 = I + I2

Lois aux mailles :

I1 + I3 + I4 = I2 +I5

(e2, r2)

I1

I

I2

(e1, r1) R

(1) 0)1( 111 =⋅+−+ eIrRI

(2) 0)1( 222 =⋅−−+− eirRI

En remplaçant I = I1 - I2 dans (1) et (2), il vient :

−=⋅++⋅−=⋅−⋅+

2221

12211

)(

)(

eIrRIR

eIRIrR

Les solutions sont :

2121

21211 )(

)(

rrrrR

reReeI

+++−

= ; 2121

12212 )(

)(

rrrrR

reReeI

++−−

= ; 2121

1221

)( rrrrR

rereI

+++

=

D. Théorème de Maxwell

On imagine que chaque maille est parcourue par un courant fictif de maille. Ces courants

parcourent des mailles indépendantes dans le même sens. Les courants fictifs de mailles sont

déterminés à partir de la loi d’Ohm généralisée. On déduit ensuite les courants de chaque

branche.

−=

+−−+

2

1

2

1

e

e

I

I

rRR

RrR

b

a

212

2

1 ))(( RrRrRrRR

RrRR −++=

+−−+

=∆

RerRerRe

ReI a .).( 221

22

1 −+=+−

−=∆

I1

Ia R (e2, r2) (e1, r1)

I

I2

Ib

R

II a

a ∆∆

= ;

Ia = I1

RerReeR

erRIb .).( 112

2

11 ++−=−−

+=∆

R

II b

b ∆∆

= ;

Ib = I2

=

−−

∑∑

jj

ii

j

i

jjji

ijii

e

e

I

I

RR

RR

_ Choix des courants ‘’fictifs’’ : même sens de parcours dans les différentes mailles

_ matrice Rij :

∑= iii RR sur la maille i

∑== RRR jiij sur la branche commune aux mailles i et j

_ matrice Ii : courant ‘’fictif’’ de la maille i (idem pour Ij)

_ matrice eii : Σ des f.e.m sur la maille i chacun affecté du signe de la borne de sortie du

courant ‘’fictif’’ du générateur (idem pour ejj).

_ courant dans les branches communes aux mailles i et j

I = Ii -Ij (ou Ij – Ii)

Un courant (-) signifie que sur la figure le courant circule en sens opposé de celui choisi

arbitrairement.

E. Théorème de superposition

Par le caractère linéaire des lois aux nœuds et aux mailles relativement à l’intensité et à la

tension, le courant résultant dans une branche du réseau par un ensemble de générateurs est

égal à la somme des courants produits dans cette branche par chacun des générateurs supposé

connecter seul, les autres étant remplacés par leurs résistances internes.

Pour appliquer ce théorème, on procède comme suit :

- On supprime successivement tous les générateurs sauf un,

- On calcul pour chaque branche tous les courants partiels,

- l’intensité du courant dans une branche donnée du circuit est la somme de toutes les

intensités partielles dans cette branche.

Autant de sous-systèmes (sous circuits) que de branches contenant des générateurs.

Réseau S’

Réseau S’’

Relations des courants entre les différents systèmes :

Le courant d’une branche du circuit (S) est obtenu en sommant les courants des branches

correspondantes des différents sous circuits ; le courant de la branche du sous circuit est

compté positivement s’il est dans le même sens que celui du circuit (S) et négativement dans

le cas contraire.

''1

'11 III −= ;

''2

'22 III −= et

''' III +=

(e2, r2)

I1

I

I2

(e1, r1) R

R

I’ 1 I’ 2

Ir2 (e1, r1)

R

I’’ 2

(e1, r2)

I’’ 1

I’’ r1

En appliquant les lois de Kirchhoff pour chaque sous-circuit, on obtient :

++=

+++=

++=

2121

12''

2121

12''2

2121

2''1

)(

)(

)(

)(

rrrrR

reI

rrrrR

rReI

rrrrR

ReI

;

++=

++=

+++

=

2121

21'

2121

1'2

2121

21'1

)(

)(

)(

)(

rrrrR

reI

rrrrR

ReI

rrrrR

rReI

→

+++=

++−−=

+++−

=

2121

1221

2121

12212

2121

21211

)(

)(

)(

)(

)(

rrrrR

rereI

rrrrR

reReeI

rrrrR

reReeI

F. Théorème de Thévenin : Peut être déduit de Kirchhoff

Un réseau est équivalent à un générateur unique :

_ dont la f.e.m est égale à la tension que l’on mesure quand on branche un voltmètre entre les

deux points d’utilisation A et B.

_ dont la résistance interne est celle que l’on mesure entre A et B, quand tous les générateurs

et récepteurs sont remplacés par des résistances égales à leur résistance interne.

1°) Calcul de RTH

Circuit coupé et supprimons la f.e.m, mais on garde la résistance interne.

21

21

rr

rrRTH +

= 21

21

rr

rrRAB +

=

2°) Calcul de BATH VVV −= : replacer les générateurs dans le circuit coupé

7

+−

=

+=−

21

21

22

rr

eei

eirVV

x

xBA

BATH VVrr

rereV −=

++=

21

1221

2121

1221

)( rrrrR

rere

RR

VI

TH

THTH ++

+=

+=

; THR = résistance interne ; ABR = charge = R

Circuit équivalent de Thèvenin :

Conclusion : I = Ith

Travail à faire à la maison : faire la même chose pour les autres branches.

G. Théorème de Millman :

Considérons le circuit suivant :

Pour chacune des branches, nous pouvons écrire :

8

=−=−

=−

3303

2202

1101

iRvv

iRvv

iRvv

Soit encore :

−=

−=

−=

3

033

2

022

1

011

R

vvi

R

vvi

R

vvi

D’après la loi aux nœuds, il vient :

3

03

2

02

1

01321

R

VV

R

VV

R

VViii

−+

−+

−=++

Or 0321 =++ iii ; donc

3

3

2

2

2

1

3210

111

R

V

R

V

R

V

RRRV ++=

++

Ou

321

3

3

2

2

1

1

0 111

RRR

R

V

R

V

R

V

V++

++=

Ce résultat se généralise à un nombre quelconque de branches :

9

∑

∑

∑

∑

=

=

=

= ==n

kk

n

kkk

n

k k

n

k k

k

G

VG

R

R

V

V

1

1

1

10 1

La tension au nœud est la moyenne des tensions aux bornes de tous les dipôles pondérées par

les conductances respectives.

Application au circuit (S) :

Ecrivons l’expression de la d.d.p entre B et M : MBBM VVV −= par la loi d’Ohm généralisée.

Cette d.d.p peut s’exprimer de 3 manières différentes, selon la branche du circuit :

=−+=−−=−

RIVV

IreVV

IreVV

MB

MB

MB

222

111

, on peut déduire les courants

Expression des courants dans les différentes branches sous la forme :

−=

−+−=

−−=

R

VVI

r

VVeI

r

VVeI

MB

MB

MB

)(

)(

)(

2

22

1

11

;

En choisissant 0=MV , on obtient : 1

11 r

VeI B−= ;

2

22 r

VeI B+= ;

R

VI B=

B

(e2, r2)

I1

I

I2

(e1, r1) R

M

10

Au nœud M, nous avons: 21 III += , en remplaçant les différents termes par leurs

expressions, on a : R

V

r

Ve

r

Ve BBB ++=−

2

2

1

1 soit:

122

2

1

1

r

V

r

V

R

V

r

e

r

e BBB ++=+

d’où

)(1112121

1221

12

2

2

1

1

rrRrr

rereR

rrR

r

e

r

e

VB +++=

++

+=

A partir de cette expression de VB , on peut maintenant calculer celles des différents courants :

Expression du courant I :

R

VI B= on remplace VB par son expression, soit

R

rrRrr

rereR

R

VI B )( 2121

1221

+++

== d’où :

)( 2121

1221

rrRrr

rereI

+++=

Expression du courant I1 :

+++−=−=

)( 2121

1221

11

1

1

11 rrRrr

rere

r

R

r

e

r

VeI B en effectuant, on a :

)(

)(

2121

2211 rrRrr

ReRreI

++−+=

Expression du courant I2 :

2

2

2121

1221

22

2

22

22 )( r

e

rrRrr

rere

r

R

r

e

r

V

r

eVI BB −

+++=−=−= , ce qui conduit à )(

)(

2121

1212 rrRrr

RreReI

+++−=

Un nœud donne une seule équation à un inconnu en V alors 2 nœuds conduiront à 2 équations

en V.

I. Régime variable : Coefficient d’induction mutuelle, inductance propre d’une bobine et

capacité d’un condensateur. (Approximation quasi stationnaire)

a) Portion de circuit contenant une auto-inductance L :

Apparition d’une f.e.m dans une bobine sous l’influence d’une autre bobine parcourue par un

courant i.

dt

diMeM −= avec M étant le coefficient d’induction mutuelle

11

Pour une bobine parcourue par un courant variable en fonction du temps, la f.e.m d’auto-

induction eL est : dt

diLeL ⋅= -

b) Portion de circuit contenant un condensateur C :

En un instant t, la charge du condensateur q = q(t) et sa tension est :

C

qVVU BAC =−= ,

un courant iC circule de A→B

dt

dUC

dt

dqi C

C == pour une charge du condensateur

dt

dUC

dt

dqi CC - - == pour une décharge du condensateur

En régime permanent, les grandeurs électriques caractéristiques (amplitude maximale,

période ….) restent constantes.

En régime stationnaire, les grandeurs électriques caractéristiques sont indépendantes du

temps.

c) Régime propre : en l’absence de générateur, un circuit est en régime propre

i et v : - ne dépendent que du circuit et des conditions initiales (C ; L)

- tendent vers 0 au cours du temps

d) Régime forcé : en présence de générateur, on obtient la superposition d’un régime propre

(indépendant de la f.e.m ) et d’un régime forcé qui dépend de la f.e.m. Au cours du temps le

régime forcé devient prépondérant.

i M

d.d.p. (L2, r2) (L1, r1)

i

L

CU

A B i

C

12

J. Transformation: (triangle – étoile ; Π - Τ ; kennelly)

zyx

yxa

++= .

; bcacab

b

x ++=

1

zyx

zyb

++= .

; bcacab

c

y ++=

1

zyx

zxc

++= .

; bcacab

a

z ++=

1