Mathematik macht Freu(n)de AB – Zufallsvariablen

Wir führen ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum Ω durch.Eine Zufallsvariable X ordnet jedem möglichen Ergebnis einen Zahlenwert zu.

Eine Zufallsvariable ist also eine Funktion X : Ω→ R.

Zufallsvariable

„Würfle mit einem fairen 6-seitigen Würfel und gewinne das 10-fache der gewürfelten Augenzahl in e.“Dieses Spiel können wir mathematisch als Zufallsexperiment mit einer Zufallsvariablen modellieren:

Ω = , , , , , mogliche Ergebnisse

Zufall

z. B.

Ergebnis desZufallsexperiments

X ( )Zufallsvariable X

= 50 e

Die Zufallsvariable X gibt in unserem Spiel also den Gewinn in e an. Fülle die Tabelle aus:

ωi

P (ωi)

X(ωi)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei diesem Spiel genau 50 e zu gewinnen?

P (X = 50 e ) =X = 50 e ist formal das Ereignis,dass X den Wert 50 e annimmt:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei diesem Spiel mehr als 42 e zu gewinnen?

P (X > 42 e ) =

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei diesem Spiel höchstens 20 e zu gewinnen?

P (X ≤ 20 e ) =

Welchen durchschnittlichen Gewinn erwartest du nach vielen Wiederholungen des Spiels?

Laplace-Experiment

Eine Zufallsvariable X kann n verschiedene Werte x1, x2, . . ., xn annehmen.Der Erwartungswert von X wird mit folgender Formel berechnet:

E(X) = x1 · P (X = x1) + x2 · P (X = x2) + · · · + xn · P (X = xn)

Bei der Berechnung des Erwartungswert sind die Wahrscheinlichkeiten wie Gewichte:Je größer die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert xi annimmt, desto höher ist xi gewichtet.

Erwartungswert

Berechne den Erwartungswert von X im Würfelbeispiel oben:

E(X) =

Treten alle Werte von X mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf, dann ist E(X) das arithmetische Mittel der Werte.

Gleiche Gewichte

Datum: 6. Februar 2019

Mathematik macht Freu(n)de AB – Zufallsvariablen

Die Zufallsvariable X kann die Werte 5, 10, 15, 20 und 25 annehmen.Die Wahrscheinlichkeiten für diese Werte sind im Säulendiagramm dargestellt.1) Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten.

P (X > 15) =

P (X ≤ 10) =

P (10 < X ≤ 23) =

2) Berechne den Erwartungswert von X.

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Du würfelst mit einem gezinkten 6-seitigen Würfel mit Augenzahlen 1 bis 6: Ω = , , , , , Die Wahrscheinlichkeiten für die 6 möglichen Ergebnisse sind in folgender Tabelle zusammengefasst.

Ergebnis ωi

P (ωi) 8 % 20 % 15 % 5 % 10 % 42 %

Bei einer geraden Augenzahl gewinnst du 5 e . Bei einer ungeraden Augenzahl gewinnst du 2 e .Wie viel Geld würdest du für einen Wurf maximal zahlen?

Die Zufallsvariable X gibt deinen Gewinn bei einem Wurf an. Berechne den Erwartungswert von X.

Lösungsmöglichkeit 1: Wir erstellen eine Tabelle mit den möglichen Werten der Zufallsvariable.

xi 5 e 2 e

P (X = xi)

Der Erwartungswert von X ist also

E(X) =

Lösungsmöglichkeit 2: Wir ergänzen die Tabelle um eine Zeile mit den Werten der Zufallsvariable.

Ergebnis ωi

P (ωi) 8 % 20 % 15 % 5 % 10 % 42 %

X(ωi)

Der Erwartungswert von X ist also E(X) =∑6

i=1 X(ωi) · P (ωi)

E(X) =

Zwei Wege zum Erwartungswert

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In einem Casino gibt es beim dargestellten Glücksrad drei mögliche Ergebnisse.

Die Wahrscheinlichkeiten für die drei Elementarereignisse sind

P („Rot“) = , P („Blau“) = und P („Grün“) = .

Abhängig vom Ergebnis zahlt das Casino den rechts angegebenen Betrag aus.

Die Zufallsvariable X gibt die Auszahlung abhängig vom gedrehten Ergebnis an.

Die möglichen Werte der Zufallsvariable sind x1 = , x2 = und x3 = .Die erwartete Auszahlung pro Drehung beträgt

E(X) =

Interpretation des Erwartungswerts im Sachzusammenhang:Damit es auf lange Sicht Gewinn erwarten kann, sollte das Casino mehr als proDrehung verlangen.

Glücksrad

Beim Roulette gibt es 37 durchnummerierte Felder mit den Zahlenvon 0 bis 36. Davon sind 18 Felder rot, 18 Felder schwarz, und einFeld ist grün. Das Casino bietet folgendes Spiel an:Man setzt einen Einsatz auf „Rot“ oder „Schwarz“. Wenn die Ku-gel auf einem Feld mit der getippten Farbe landet, erhält man dasDoppelte des Einsatzes zurück. Andernfalls verliert man den Einsatz.

Lukas setzt 37 e auf „Rot“. Die Zufallsvariable X gibt seinen Gewinn nach Abzug vom Einsatz an.

1) Trage die möglichen Werte von X und ihre Wahrscheinlichkeiten in die Tabelle ein.

2) Berechne den Erwartungswert von X.

xi

P (X = xi)E(X) =

Interpretation des Erwartungswerts im Sachzusammenhang:Wenn Lukas immer wieder 37 e auf „Rot“ setzt, dann sollte er auf lange Sicht einen durchschnittlichenVerlust von pro Spiel erwarten. Versuche dein Glück also besser mit Spielgeld.

Roulette

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Bei einem Spiel gibt die Zufallsvariable X den Gewinn nach Abzug vom Einsatz an.Das Spiel ist fair, wenn E(X) = gilt.

Faires Spiel

Wir werfen eine faire Münze: Ω = Kopf,Zahl

Dein Einsatz beträgt 5 e .Beim Ergebnis Kopf erhältst du den Einsatz und zusätzlich 5 e .Beim Ergebnis Zahl verlierst du den Einsatz.Die Zufallsvariable X gibt den Gewinn nach Abzug vom Einsatz an.

1) Trage die möglichen Werte von X und ihre Wahrscheinlichkeiten in die Tabelle ein.

xi

P (X = xi)

2) Rechne nach, ob das Spiel fair ist.

Fair oder nicht?

In einer Urne befinden sich 2 graue Kugeln und 3 weiße Kugeln.Gegen einen Einsatz von 10 e darf man blind eine Kugel aus der Urne ziehen.Ist die gezogene Kugel weiß, erhält man 7 e .

Das Spiel soll fair sein. Wie viel e muss man erhalten, wenn die gezogene Kugel grau ist?

Urnenmodell

In einer Losauflage „Schatztruhe“ gibt es 13 Millionen Rubbellose.Die absoluten Häufigkeiten der Lose, bei denen Geld ausgezahlt wird,sind in der nebenstehenden Tabelle dargestellt. Du kaufst ein Rubbellos.Die Zufallsvariable X gibt die Auszahlung bei diesem Rubbellos an.Berechne den Erwartungswert von X.

Der Preis pro Rubbellos beträgt 2 e .

Anzahl Auszahlung20 30 000 e40 3000 e250 300 e4400 100 e

13 000 60 e31 000 30 e100 000 8 e440 000 6 e

1 000 000 4 e2 282 500 2 e

Rubbellose

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Mathematik macht Freu(n)de AB – Zufallsvariablen

Die Zufallsvariable X kann n verschiedene Werte x1, x2, . . ., xn annehmen.

1) Der Erwartungswert von X wird mit µ abgekürzt und folgendermaßen berechnet:

µ =n∑i=1

xi · P (X = xi)

2) Die Varianz von X wird mit V (X) oder σ2 abgekürzt und folgendermaßen berechnet:

V (X) =n∑i=1

(xi − µ)2 · P (X = xi)Die Varianz ist ein Maß für die Streuungder Werte xi um den Erwartungswert µ.Kann V (X) = 0 sein?

3) Die Standardabweichung von X wird mit σ abgekürzt und folgendermaßen berechnet:

σ =√V (X)

Auch σ ist ein Streuungsmaß.Anders als die Varianz hat σ aber die gleiche Einheit wie die Werte xi.

Kenngrößen einer diskreten Zufallsvariablen

Bei einem Glücksspiel wirft man einen gezinkten 6-seitigen Würfel: Ω = , , , , , Die 6 möglichen Ergebnisse sind also nicht alle gleich wahrscheinlich.

Als Gewinn erhält man das 10-fache der gewürfelten Augenzahl in e .Die Zufallsvariable X gibt den Gewinn in e an.Im Säulendiagramm sind die Wahrscheinlichkeiten dargestellt, um 10 e , 20 e , . . . , 50 e zu gewinnen.1) Trage in der Tabelle die möglichen Gewinne ein.

Übertrage die Wahrscheinlichkeiten aus dem Säulendia-gramm in die Tabelle. Ermittle die Wahrscheinlichkeit,60 e zu gewinnen. Zeichne rechts die zugehörige Säule ein.

Ergebnis ωi

Gewinn xi

P (X = xi)

2) Berechne den Erwartungswert von X.

E(X) =

3) Berechne die Varianz und die Standardabweichung von X.

V (X) =

σ =

Gezinkter Würfel

Die Zufallsvariablen X und Y können jeweils 2 verschiedene Werte annehmen.Berechne jeweils Erwartungswert und Standardabweichung.

Risiko

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