A B E F ( ) ( ) - halapa · Dužina koja spaja dvije to čke kružnice zove se tetiva. Okomica iz...

1

Zadatak 101 (Marino i Medax, srednja škola)

Zadana su 3 polukruga svaki polumjera 2 cm (slika). Četverokut EFBA je pravokutnik, a točke E i F središta su donjih polukrugova. Kolika je ploština neobojenog dijela slike?

A B

FE

( ) ( )2 2 2 2 2. 8 . 7 . 2 . 2 1 . 2 2A cm B cm C cm D cm E cmπ π π⋅ ⋅ + ⋅ +

Rješenje 101

Ponovimo!

.a b a b

n n n

++ =

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r > 0 (polumjeru kruga). Ploština kruga polumjera r iznosi:

2 .P r π= ⋅ Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine. Konveksni četverokuti su četverokuti kojima su svi kutovi manji od 180°. Paralelogrami su četverokuti kojima su po dvije nasuprotne stranice usporedne (paralelne). Pravokutnik je paralelogram koji ima barem jedan pravi kut (pravi kut ima 90º). Ploština pravokutnika je jednaka umnošku njegove duljine a i širine b.

.P a b= ⋅ Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

r r

r

S

A B

FE Sa slike vidi se:

2 , 2 4 , 2r cm EF AB r cm FB EA r cm= = = ⋅ = = = =

Slike nam govore sve!

2

P3

S

A B

FE 1 2

3 2P r π= ⋅ ⋅

PEFBA

A B

FE 2

2 2P EF FB r r rEFBA

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

P2P1

A B

FE 1 2

1 2 4P P r π= = ⋅ ⋅

Ploština neobojenog dijela iznosi:

PA B

FE 1 1 12 2 2 2

23 1 2 2 4 4P P P P P P r r r r

EFBAπ π π= + − − ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

3

1 2 12 2 2 2 2 22 2

2 4

2

2 4P r r r P r r rπ π π π⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

1 12 2

2

1 12 2 2 2 22 2

22

2 2rP r r r P r P rrπ π ππ⇒ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

( )2 2

2 2 8 .P cm P cm⇒ = ⋅ ⇒ =

Odgovor je pod A.

Vježba 101

Zadana su 3 polukruga svaki polumjera 3 cm (slika). Četverokut EFBA je pravokutnik, a točke E i F središta su donjih polukrugova. Kolika je ploština neobojenog dijela slike?

A B

FE

( ) ( )2 2 2 2 2. 18 . 9 . 3 . 3 3 . 9A cm B cm C cm D cm E cmπ π π⋅ ⋅ + ⋅

Rezultat: A.

Zadatak 102 (Marija, TUPŠ )

Nacrtana su dva polukruga. Tetiva je duga 4 i usporedna je promjeru velikog polukruga AB i dodiruje mali polukrug. Kolika je neobojena (bijela) površina?

DC

A B

. . 1.5 . 2 . 3A B C Dπ π π π⋅ ⋅ ⋅

Rješenje 102

Ponovimo!


2 .P r π= ⋅

Dužina koja spaja dvije točke kružnice zove se tetiva. Okomica iz središta kruga na tetivu raspolavlja je na dva jednaka dijela. Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

4

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

r rR R

EF

P G

DC

SA B

Iz slike izlazi:

2 , , 2AB R AS SB SC SD R AG r= ⋅ = = = = = ⋅

, 4 , 2AP PG PF SE r CD CE ED= = = = = = =

Uočimo pravokutan trokut SDE i uporabom Pitagorina poučka dobijemo:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 4 4.SD SE ED R r R r R r= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ − =

DC

A B

Ploština neobojenog (bijelog) dijela P jednaka je razlici ploština velikog i malog polukruga.

( )1 1 12 2 2 2

2 2

2

2

24R rP R r P R rπ π π= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ −− ⇒ =⋅ ⇒

1 14

24 2 .

2P P Pπ π π⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

Odgovor je pod C.

5

Vježba 102

Nacrtana su dva polukruga. Tetiva je duga 8 i usporedna je promjeru velikog polukruga AB i dodiruje mali polukrug. Kolika je neobojena (bijela) površina?

DC

A B

. 8 . 6 . 4 . 2A B C Dπ π π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Rezultat: A. Zadatak 103 (Tina i Sonja, HAK)

Ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 3 und ein Kreis mit Radius 1 haben den gleichen Mittelpunkt. Wie groβ ist der Umfang der Figur, die man aus beiden gemeinsam erhält?

. 6 . 3 2 . 9 . 3 . 93

A B C D Eπ

π π π π+ + ⋅ + ⋅ +

Jednakostraničan trokut duljine stranice 3 i kružnica polumjera 1 imaju zajedničko središte. Koliki je opseg lika omeđenog crnom linijom?

Rješenje 103

Ponovimo!

3cos30

2 1, .

nn= =

�

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Opseg trokuta duljina stranica a, b i c izračunava se po formuli:

.O a b c= + +

Nasuprot jednakim stranicama trokuta nalaze se jednaki kutovi. Jednakostranični trokut ima tri jednaka kuta α = 60° i tri jednake stranice. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

6

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze. Visine su trokuta dužine kojima je jedan kraj vrh trokuta, a drugi sjecište okomice (koja prolazi promatranim vrhom) s pravcem na kojem leži suprotna stranica trokuta. Težišnica trokuta je dužina koja spaja vrh s polovištem nasuprotne stranice i dijeli trokut na dva dijela jednake površine. Sve tri težišnice sijeku se u jednoj točki, težištu trokuta. Težište dijeli svaku težišnicu u omjeru 2 : 1 gledano od vrha. Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Duljina polumjera označava se slovom r.

lαααα

r

r

S

A

B

Ako je r polumjer kružnice, tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180.

rl

πα α

⋅= ⋅

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Visina jednakostraničnog trokuta je:

3.

2

av

⋅=

a

a av

αααα αααα

αααα

7

r r

N

αααα

2

αααα

2

SK F

E BA D

C

GH

Sa slike vidi se:

3 , 1 , ,2

AB BC CA a SD SE r NSD ESN ESDα

α= = = = = = = ∠ = ∠ = ∠ =

Trokut ABC je jednakostraničan pa je CN istodobno njegova težišnica, visina i simetrala kuta. Točka S je sjecište težišnica i visina pa vrijedi:

[ ]3 3 31 1 1

3 3 23

3 2

aSN CN SN SNa

⋅ ⋅= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅= ⇒

33 31.

2 23SN SN

⋅⇒ = ⋅ ⇒ =

r r

N

αααα

2

αααα

2

SK F

E BA D

C

GH

8

Uočimo pravokutan trokut DNS i pomoću funkcije kosinus izračunamo kut .2

α

33 312cos cos cos cos

2 2 1 2 2 2 2

SN

SD

α α α α −= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

30 30 / 62 0 .2 2

α αα⇒ = ⋅⇒ = ⇒ =

� � �

Zaključujemo da je trokut SDE jednakostraničan pa je

1.DE =

Analogno su i trokuti ∆SFG i ∆SHK jednakostranični i slijedi:

1.FG HK= =

Zbog simetričnosti vrijedi:

1.AD EB BF GC CH KA= = = = = =

Računamo duljinu luka �.DE

ααααr r

N

SK F

E BA D

C

GH

� � � �1 60.

3180 18

1 60

180060

rDE DE DE D

rE

π

α

π α π π=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ ⇒ = ⇒ =

=⇒ =

�

� �

�

��

Također je

� � .3

FG HKπ

= =

Opseg lika iznosi:

� � �O AD DE EB BF FG GC CH HK KA= + + + + + + + + ⇒

1 1 1 1 1 1 6 3 6 6 .3 3 3 33

3O O O Oπ π π π π

π⇒ = + + + + + + + + ⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ = +

Odgovor je pod A.

9

Vježba 103

Ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 6 und ein Kreis mit Radius 2 haben den gleichen Mittelpunkt. Wie groβ ist der Umfang der Figur, die man aus beiden gemeinsam erhält?

. 12 2 . 6 4 . 18 . 6 . 9 23

A B C D Eπ

π π π π+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

Jednakostraničan trokut duljine stranice 6 i kružnica polumjera 2 imaju zajedničko središte. Koliki je opseg lika omeđenog crnom linijom?

Rezultat: A. Zadatak 104 (Sonja, HAK)

Jeder von drei Kreisen mit Radius r berührt die beiden anderen Kreise (siehe Abbildung). Welchen Flächeninhalt hat das graue Flächenstück zwischen den Kreisen?

(Svaki od tri kruga sa polumjerom r dodiruje drugi krug. Kolika je obojena površina između krugova?)

Rješenje 104

Ponovimo!

( ), .a b a b n n n

a b a bn n n

−− = ⋅ = ⋅

10

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Nasuprot jednakim stranicama trokuta nalaze se jednaki kutovi. Jednakostranični trokut ima tri jednaka kuta α = 60° i tri jednake stranice. Površina jednakostraničnog trokuta duljine stranice a

3.

2

4

aP

⋅=

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r > 0 (polumjeru kruga). Ako je r polumjer kruga, tada je površina kružnog isječka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( )2

360.

rP

πα α

⋅= ⋅

�


, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

rr

r

r r

r

αααα αααα

αααα

D

EF

C

A B

Sa slike vidi se:

2 ,AB BC CA r AD DB BE EC CF FA r= = = ⋅ = = = = = =

60CAB ABC BCA α∠ = ∠ = ∠ = =�

11

rr

r

r r

r

αααα αααα

αααα

D

EF

C

A B rr

r

r r

r

αααα αααα

αααα

D

EF

C

A B

Površina osjenčanog dijela (plava boja među krugovima) jednaka je razlici površine jednakostraničnog trokuta i trostruke površine kružnog isječka (sva tri kružna isječka jednake su površine)

( )60

2 22 22 3 4 3 603 3

4 4360 360

r rr rP P

π α πα

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅= − ⋅ ⇒ ⇒ = − ⋅ ⇒=

��

� �

4 603

4 360

2 22 23 2 3

2 2

r rr rP P

π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⇒ = − ⋅ ⇒ = − ⇒

�

�

( )22 2 2 32 3.

2 2

rr rP P

ππ ⋅ ⋅ −⋅ ⋅ − ⋅⇒ = ⇒ =

Vježba 104

Jeder von drei Kreisen mit Radius 1 berührt die beiden anderen Kreise (siehe Abbildung). Welchen Flächeninhalt hat das graue Flächenstück zwischen den Kreisen?

12

(Svaki od tri kruga sa polumjerom 1 dodiruje drugi krug. Kolika je obojena površina između krugova?)

Rezultat: 2 3

.2

Pπ⋅ −

=

Zadatak 105 (Marta, srednja škola)

Put koji prijeđe vrh sekundne kazaljke sata, koja ima duljinu 2 cm, tijekom 24 sata približno je jednak:

. 1.81 . 18.1 . 181 . 1810A m B m C m D m

Rješenje 105

Ponovimo! 1 60 min 1 10, 0 .h m cm= =

Opseg kružnice polumjera r iznosi: 2 .O r π= ⋅ ⋅

U jednoj minuti vrh sekundne kazaljke sata jednom prijeđe kružnicu. Za 24 sata on će obići kružnicu 1440 puta.

24 60 1440.n = ⋅ =

Put koji prijeđe vrh sekundne kazaljke sata tijekom 24 sata približno iznosi:

1440

2 0.022 1440 2 0.02

n

r cs n O s n

m mr s mπ π= ⋅ ⇒ =

=

=⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

==

180.96 181 .s m s m⇒ = ⇒ ≈ Odgovor je pod C.

sekundna

kazaljka

Vježba 105

Put koji prijeđe vrh sekundne kazaljke sata, koja ima duljinu 20 mm, tijekom 24 sata približno je jednak:

. 1.81 . 18.1 . 181 . 1810A m B m C m D m Rezultat: C.

13

Zadatak 106 (4B, TUPŠ)

Geografska širina Zagreba je 45º 45'. Kolika je udaljenost Zagreba od ekvatora? (polumjer Zemlje r = 6370 km)

Rješenje 106

Ponovimo!

11 60 ' 1'

60, .= =

��

Formula za duljinu kružnog luka l koji je pridružen središnjem kutu α, u krugu polumjera r, glasi:

1.

80

rl

π α⋅ ⋅=

�

Ekvator predstavlja zamišljenu liniju povučenu oko planeta (ili drugog nebeskog tijela) na jednakoj udaljenosti od polova.

ekvator

ZG

l

αααα

r

6370

4545 45' 45 45.7

6370 45.755086.37 .

180 180

056

r kml l l k

r km

mπ α

α

π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ ⇒ = ⇒ =

=

= = =

+

�

��

�

� �

Vježba 106

Pronađite geografsku širinu Vašeg mjesta. Kolika je njegova udaljenost od ekvatora? (polumjer Zemlje r = 6370 km)

Rezultat: ? Zadatak 107 (4B, TUPŠ)

Ako se oko ekvatora postavi žica, a zatim ta žica produlji za 1 m i podjednako udalji od Zemlje, kolika je udaljenost žice od Zemlje?

Rješenje 107

Ponovimo!

1 10 .0m cm=

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Opseg kružnice polumjera r iznosi:

2 .O r π= ⋅ ⋅

Ekvator predstavlja zamišljenu liniju povučenu oko planeta (ili drugog nebeskog tijela) na jednakoj udaljenosti od polova. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

14

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + Ako je r polumjer Zemlje njezin opseg oko ekvatora je

2 .O r π= ⋅ ⋅

Povećamo li polumjer za x, opseg će se produljiti za d.

( )2 .d O r x π+ = ⋅ + ⋅

Slijedi:

( )( )

22 2 2 2 2

2

O rd r r x d r r x

d O r x

ππ π π π π

π

= ⋅ ⋅ ⇒ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

+ = ⋅ + ⋅

2 2 22 2r rd x d x x dπ π π ππ⇒ + = + ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ =⋅ ⇒

101/

02 15.92 .

2 2 2

d cmx d x x x cmπ

π ππ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅⋅

⋅

x

r

S

Vježba 107

Ako se oko ekvatora postavi žica, a zatim ta žica produlji za 0.5 m i podjednako udalji od Zemlje, kolika je udaljenost žice od Zemlje?

Rezultat: 7.96 cm. Zadatak 108 (Borna, gimnazija)

Zbroj polumjera dviju koncentričnih kružnica iznosi 36 cm. Tetiva veće kružnice ima duljinu 36 cm, a manja je kružnica dijeli na tri jednaka dijela. Polumjer veće kružnice iznosi

. 18 . 19 . 20 . 22A cm B cm C cm D cm Rješenje 108

Ponovimo!

( ) ( )2 2.a b a b a b− = − ⋅ +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Koncentrične kružnice su kružnice koje imaju isto središte. Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice, tri kuta i tri vrha. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

15

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

r

RP B

A

S

C

D

Sa slike vidi se:

1 136 , 36 12

3 3AB cm AC CD DB AB cm cm= = = = ⋅ = ⋅ =

1 112 6 , 12 6 18

2 2CP PD CD cm cm AP AC CP cm cm cm= = ⋅ = ⋅ = = + = + =

,SA R SC SD r= = =

r

RP B

A

S

C

D

r

RP B

A

S

C

D

Uočimo pravokutne trokute čiji su vrhovi središte tetive, središte kružnica te točke na tetivi i kružnicama: ∆SPA i ∆SPC. Dva put uporabimo Pitagorin poučak.

metoda

kompar

2 2 2 2 2 218

2 2 2 2 2 2 c j6 a i e

SP SA AP SP R

SP SC CP SP r

= − = −⇒ ⇒ ⇒

= − = −

2 2 2 2 2 2 2 218 6 324 36 36 324R r R r R r⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ − = − + ⇒

( ) ( ) ( )uvje2 2

288 324 36t

36288

RR r R r

rR r R r⇒ − = ⇒ + ⋅

+− =

=⇒ ⇒ ⋅ − = ⇒

( ) /36 288 836 .:R r R r⇒ ⋅ − = ⇒ − =

16

Iz sustava jednadžba izračunamo R.

metoda suprotnih/ : 2

koeficij

362

enata44 2 44 22 .

8

R rR R R cm

R r

+ =⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

− =

Odgovor je pod D.

Vježba 108

Zbroj polumjera dviju koncentričnih kružnica iznosi 3.6 dm. Tetiva veće kružnice ima duljinu 3.6 dm, a manja je kružnica dijeli na tri jednaka dijela. Polumjer veće kružnice iznosi

. 18 . 19 . 20 . 22A cm B cm C cm D cm

Rezultat: D. Zadatak 109 (Katarina, maturantica)

Koliki je polumjer kružnice ako je nad njezinom tetivom duljine 10 cm obodni kut mjere 15º?

Rješenje 109

Ponovimo!

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Dužina koja spaja dvije točke kružnice zove se tetiva. Okomica iz središta kružnice na tetivu dijeli je na dva jednaka dijela. Kut kojem je vrh na kružnici, a čiji krakovi sijeku tu kružnicu naziva se obodni kut. Svi su obodni kutovi nad danim lukom kružnice sukladni. Središnji kut β nad lukom kružnice jednak je dvostrukom obodnom kutu α nad tim istim lukom.

ββββαααα

1

22

β α α β= ⋅ ⇒ = ⋅

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice, tri kuta i tri vrha. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze.

17

55

30°°°°

15°°°°

15°°°°

r

BA

C

S

D

Sa slike vidi se:

1 110 , 10 5 ,

2 2AB AD DB AB SA SB SC r= = = ⋅ = ⋅ = = = =

15 ,obodni kut sr2 edišnji k t2 15 30 uACB ASB ACB∠ = ∠ = ⋅ ∠ = ⋅ =� � �

1 130 15

2 2DSB ASB∠ = ⋅ ∠ = ⋅ =

� �

Uočimo pravokutan trokut DSB i pomoću funkcije sinus dobije se:

5 5sin sin15 /

sin1i

5s n15

DBDSB

SB r

r

r∠ = ⇒ = = ⇒⋅⇒

� �

�

519.3185 .

sin15r r cm⇒ = ⇒ =�

Vježba 109

Koliki je polumjer kružnice ako je nad njezinom tetivom duljine 10 cm obodni kut mjere 15º?

Rezultat: 19.3185 cm. Zadatak 110 (Katarina, maturantica)

Na skici je prikazan pravokutnik dimenzija 12.8 cm x 5 cm u koji je ucrtan polukrug. Površina osjenčanoga dijela pravokutnika jednaka je površini ucrtanoga polukruga. Koliki je polumjer polukruga?

. 2.5 . 3.19 . 4.51 . 6.4A cm B cm C cm D cm

18

Rješenje 110

Ponovimo!


2 .P r π= ⋅ Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine. Konveksni četverokuti su četverokuti kojima su svi kutovi manji od 180°. Paralelogrami su četverokuti kojima su po dvije nasuprotne stranice usporedne (paralelne). Pravokutnik je paralelogram koji ima barem jedan pravi kut (pravi kut ima 90º). Ploština pravokutnika je jednaka umnošku njegove duljine a i širine b.

.P a b= ⋅

Budući da je površina osjenčanoga dijela pravokutnika (bijela boja) jednaka površini ucrtanoga polukruga (žuta boja), površina polukruga jednaka je polovici površine pravokutnika.

1 1 1 12 2 2 2

2 2 2

2/ /

2

a b a br a b r a b r rπ π

π π π

⋅ ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =⋅⋅ ⇒

12.8

5

12.8 54.51 .

a cm

b cm

a b cm cmr r r cm

π π

⋅ ⋅⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ =

=

=

Odgovor je pod C.

Vježba 110

Odmor!

Rezultat: … Zadatak 111 (Katarina, maturantica)

Na skici su prikazana tri kruga s promjerima , i .AB BC AC Duljina promjera AB je 12 cm, a

promjera BC je 8 cm. Kolika je površina osjenčanoga dijela na skici?

BA C

2 2 2 2. 18 . 20 . 34 . 48A cm B cm C cm D cmπ π π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Rješenje 111

Ponovimo!

19

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Duljina polumjera označava se slovom r. Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r > 0 (polumjeru kruga). Promjer kružnice:

2 .d r= ⋅ Ploština kruga polumjera r iznosi:

2 .P r π= ⋅ Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

k3

k2

k1

B CA S

Sa slike vidi se:

12 , 8 , 12 8 20AB cm BC cm AC AB BC cm cm cm= = = + = + =

1 120 10

2 2SA SB AC cm cm= = ⋅ = ⋅ =

Odredimo polumjere krugova:

• polumjer kruga k1 1 1

20 101 1 12 2r AC r cm r cm= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =


8 42 2 22 2r BC r cm r cm= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =


12 6 .3 3 32 2r AB r cm r cm= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

Površina osjenčanoga dijela jednaka je površini kruga k1 umanjena za površine krugova k2 i k3.

20

( )2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3P P P P P r r r P r r rπ π π π= − − ⇒ = ⋅ − ⋅ − ⋅ ⇒ = − − ⋅ ⇒

( ) ( ) ( )( )2 2 210

101

4

63

4 62

r cm

r cm

r c

P cm

m

cm cm π⇒ ⇒ = − − ⋅ ⇒

=

=

=

( )2 2 2 2100 16 36 48 .P cm cm cm P cmπ π⇒ = − − ⋅ ⇒ = ⋅

Odgovor je pod D.

Vježba 111

Odmor!

Rezultat: … Zadatak 112 (Vedran, gimnazija)

U kružnicu polumjera 1.25 cm upisan je pravokutan trokut površine 1.25 cm2. Zbroj duljina kateta trokuta iznosi:

3 3 5 2 3 5 5 3 5 2. . . . .

2 3 2 3 2A cm B cm C cm D cm E cm

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Rješenje 112

Ponovimo!

( )2 2 2

2 , , , .ab a b a c a d b c a

a b a a b b ac c b d b d b b

⋅ ⋅ + ⋅+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ = + = =

⋅

.a b a b⋅ = ⋅

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. Talesov poučak Svaki obodni kut nad promjerom kružnice je pravi. Ako je pravokutnom trokutu hipotenuze c opisana kružnica polumjera r, vrijedi:

2 .c r= ⋅

Ploština pravokutnog trokuta izračunava se po formuli

2,

a bP

⋅=

gdje su a i b duljine kateta. Decimalni broj piše se u obliku decimalnog razlomka tako da se u brojnik napiše zadani decimalni broj bez decimalne točke, a u nazivnik se napiše dekadska jedinica (10, 100, 1000, 10000, 100000, …) koja ima toliko nula koliko decimalni broj ima decimala (znamenaka na decimalnom mjestu, tj. iza decimalne točke ili decimalnog zareza). Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice.

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Krenimo na posao!

21

• ( ) [ ] ( )2 2 2 2 22 2 2 2

2 2 1.252

1.25rc a b

a b r a bc r

= +⇒ + = ⋅ ⇒ ⇒= + = ⋅ ⇒

= ⋅

625 252 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22.5 6.25

100 4

625

100a b a b a b a b a b⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + =

• 2 2 1.25 2.52 2

/ 22

a b a b a bP P P a b P a b a b

⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ =⋅ ⇒

25 5.

1

25

0 210a b a b a b⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ =

Sada je:

( ) ( )

252 2

4

5

2

2 22 2 2 22 2a b a a b b a b a

a

b

b

b

a b

a+ = + ⋅ ⋅ + ⇒ + = + + ⋅ ⋅ ⇒ ⇒

+ =

⋅ =

( ) ( ) ( ) ( )25 5 25 10 25 20 452 2 2 2

24 2 4 2 4 4

a b a b a b a b+

⇒ + = + ⋅ ⇒ + = + ⇒ + = ⇒ + = ⇒

( )45

/9 545 452

4 4 24a b a b a b a b

⋅⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒

9 5 3 5.

2 2a b a b

⋅ ⋅⇒ + = ⇒ + =

Odgovor je pod C.

Vježba 112

U kružnicu polumjera 12.5 mm upisan je pravokutan trokut površine 1.25 cm2. Zbroj duljina kateta trokuta iznosi:

3 3 5 2 3 5 5 3 5 2. . . . .

2 3 2 3 2A cm B cm C cm D cm E cm

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Rezultat: C. Zadatak 113 (Marko, gimnazija)

Brisač stakla dug je 55 cm i briše ravno staklo dimenzija 120 cm x 60 cm. Brisač se pri brisanju stakla zakrene za kut od 160º kao što je prikazano na skici. Koliki postotak površine stakla brisač pritom obriše?

160°°°°

60 cm

120 cm

55 cm

Rješenje 113

Ponovimo!

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine. Konveksni četverokuti su četverokuti kojima su svi kutovi manji od 180°.

22

Paralelogrami su četverokuti kojima su po dvije nasuprotne stranice usporedne (paralelne). Pravokutnik je paralelogram koji ima barem jedan pravi kut (pravi kut ima 90º). Ploština pravokutnika izračunava se po formuli:

,P a b= ⋅ gdje su a i b duljine njegovih stranica. Ako je r polumjer kruga, tada je ploština kružnog isječka sa središnjim kutom α dana formulom

( )2

360.

rP

πα α

⋅= ⋅

�

Koliki je postotak broja a od broja b?

0 %.10a

b⋅

Staklo vjetrobrana je pravokutnog oblika površine

120 2120 60 7 200 .1 160 1

a cm

b cmP a b P cm cm P cm= ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ =

=

=

Uočimo da je prebrisani dio stakla oblika kružnog isječka površine

( )55 22 55 2160 4 223.70 .2 2 2360 31 660 0

cmrP P cm

r cP

m

α

ππα

⋅⋅= ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒

==

=

�

� ��

Računamo postotak površine stakla koji brisač obriše.

24 223.70 2

4 223.7022

7 200

2 100 % 58.66 %.27 2001 1

P cm

P c

P cmp p p

P cmm

=⋅ ⇒ =

=

= ⇒ ⇒ =

Vježba 113

Brisač stakla dug je 5.5 dm i briše ravno staklo dimenzija 12 dm x 6 dm. Brisač se pri brisanju stakla zakrene za kut od 160º kao što je prikazano na skici. Koliki postotak površine stakla brisač pritom obriše?

160°°°°

6 dm

12 dm

5.5 dm

Rezultat: 58.66 %. Zadatak 114 (Franjo, srednja škola)

Duljina velike kazaljke sata koja pokazuje minute je 7 cm. Koliki put prijeđe vrh te kazaljke za 40 sati?

Rješenje 114

Ponovimo!

Puni ku 0 .36t =�

Opseg kruga polumjera r iznosi:

2 .O r π= ⋅ ⋅

23

Za jedan sat velika (minutna) kazaljka 'opiše' puni kut, a njezin vrh prijeđe put jednak opsegu kruga polumjera r. Za 40 sati traženi put bit će 40 puta veći i iznosit će:

[ ]2

40 2 40 2 7 540

7 60rO r

s r s cm s cms O

cmπ

π π π= ⋅ ⋅

⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒=

=⋅

1759.29 .s cm⇒ ≈

Vježba 114

Duljina velike kazaljke sata koja pokazuje minute je 7 cm. Koliki put prijeđe vrh te kazaljke za 20 sati?

Rezultat: 280 .cmπ⋅

Zadatak 115 (Lucija, srednja škola)

Odredi polumjer onog kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera.

Rješenje 115

Ponovimo!

,1

.n

a n ma a am

a

−= =

Ploština kruga polumjera r iznosi: 2 .P r π= ⋅

Promjer kružnice i kruga je dužina koja prolazi središtem i spaja dvije točke kružnice. Promjer je dvaput veći od polumjera.

2 .d r= ⋅


, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Iz uvjeta slijedi: 22

2 ./2 1

2r

P d r r r r rπ ππ π

⋅⋅

= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =

Vježba 115

Odredi polumjer onog kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera.

Rezultat: 1

.π

Zadatak 116 (Fox, gimnazija)

Na skici je prikazana kružnica i njezine tetive i .AB CD Duljine dužina su:

7 , 6 , 3 i .DE cm BE cm CE cm AE x cm= = = = Koliko je x?

24

3 cm

6 cm

7 cm

x cm

E

A

B

C

D

. 2 . 2.7 . 3.5 . 4A B C D

Rješenje 116

Ponovimo!

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Tetiva je spojnica dviju točaka kružnice. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Potencije točke obzirom na kružnicu Neka je k kružnica i T bilo koja točka ravnine. Povucimo točkom T bilo koji pravac koji siječe

kružnicu u točkama A i B. Realan broj iliTA TB TA TB⋅ − ⋅ zovemo potencija točke T obzirom

na kružnicu k, ako je T izvan k ili unutar k.

k

k

T

D

C

A

B

T

A

B

D

C

TA TB TC TD⋅ ⋅=

Sa slike vidi se da je E unutarnja točka kružnice. Ako se povuče bilo koja tetiva AB kružnice koja

prolazi kroz E onda umnožak duljina | AE | i | BE | ne ovisi o izboru tetive .AB Zato vrijedi:

6 3 7 6 21 6 21 / : 6AE BE CE DE x x x⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒

21

6

21 73.5.

6 2x x x x⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Odgovor je pod C.

25

Vježba 116

Na skici je prikazana kružnica i njezine tetive i .AB CD Duljine dužina su:

8 , 4 , 3 i .DE cm BE cm CE cm AE x cm= = = = Koliko je x?

3 cm

4 cm

8 cm

x cm

E

A

B

C

D

. 4 . 5 . 6 . 7A B C D

Rezultat: C. Zadatak 117 (Ivan, maturant)

Na skici su prikazane tri sukladne male kružnice koje se međusobno dodiruju i koje iznutra dodiruju veliku kružnicu sa središtem S. Izračunajte polumjer velike kružnice ako je polumjer male 15 cm.

S

Rješenje 117

Ponovimo!

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Jednakostranični trokut ima sve tri stranice jednake duljine i tri jednaka kuta. Polumjer opisane kružnice jednakostraničnog trokuta iznosi:

3,

3

aδ

⋅=

gdje je a duljina stranice trokuta. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

26

jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

R

r

r r

r

r

r

r

δδδδ

C

D

S

A B

Točke A, B i C središta su malih kružnica, a S velike kružnice. Sa slike vidi se:

2 , , ,AB BC AC r SA SB SC CD r SD Rδ= = = ⋅ = = = = =

Trokut ABC je jednakostraničan trokut, a točka S je središte njemu opisane kružnice čiji polumjer iznosi

2 3.

3

rδ

⋅ ⋅=

Polumjer velike kružnice je

[ ]2 3

315

rSD SC CD R r mR r crδ

⋅ ⋅= + ⇒ = + ⇒ = =+ ⇒ ⇒

( )2 15 3 2 3

15 15 10 3 15 32.32 .15

33R R R cm R cm

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = + ⇒ = + ⇒ = ⋅ + ⇒ ≈

Vježba 117

Na skici su prikazane tri sukladne male kružnice koje se međusobno dodiruju i koje iznutra dodiruju veliku kružnicu sa središtem S. Izračunajte polumjer velike kružnice ako je polumjer male 12 cm.

S

Rezultat: 25.86 cm.

27

Zadatak 118 (Fran, srednja škola)

Dvije kružnice k1, k2 imaju zajedničku tetivu. Ta je tetiva kružnici k1 stranica upisanoga kvadrata, a kružnici k2 stranica upisanoga pravilnoga šesterokuta. Koliki je omjer polumjera tih kružnica?

2 2 311 1 1 1. . . .2 2 232 2 2 2

r r r rA B C D

r r r r= = = =

Rješenje 118

Ponovimo!

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Duljina polumjera označava se slovom r. Promjer kružnice:

2 .d r= ⋅ Tetiva je spojnica dviju točaka kružnice. Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine. Konveksni četverokuti su četverokuti kojima su svi kutovi manji od 180°. Kvadrat je četverokut kojemu su sve stranice sukladne, a dijagonale međusobno sukladne i okomite. Plošna dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra. Duljina dijagonale d kvadrata izračunava se po formuli

.2d a= ⋅

Mnogokut (poligon) je skup svih točaka ravnine omeđen dužinama. Pravilni mnogokut (poligon) je mnogokut kojemu su sve stranice sukladne i svi unutarnji kutovi sukladni. Šesterokut je mnogokut koji ima šest stranica, šest kutova i šest vrhova. Pravilni šesterokut ima duljine svih stranica jednake polumjeru njemu opisane kružnice. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

r2 = t

r1 r2 = t

tr1

k2

k1

Neka su:

• t zajednička tetiva kružnica k1 i k2 • r1 polumjer kružnice k1 • r2 polumjer kružnice k2.

U kružnicu k1, polumjera r1, upisan je kvadrat stranice t pa za promjer kružnice, koji je istodobno dijagonala kvadrata, vrijedi:

28

22 2 2 2 .1 1 1/ : 2

2r t r t r t⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅

U kružnicu k2, polumjera r2, upisan je pravilan šesterokut stranice t pa za polumjer kružnice vrijedi:

.2r t=

Gledamo omjer:

2 221 2 1 2 1 .

22 2 2

tr r r

r t r t r

t⋅ ⋅

= ⇒ = ⇒ =

Odgovor je pod B.

Vježba 118

Odmor!

Rezultat: … Zadatak 119 (FreePlayHD12, Gymnasium, Austria)

Three circles with radius 2 are drawn in such a way that each time one of the points of intersection of two circles is identical with the centre of the third circle. How big is the area of the yellow zone?

. . 3 . . 2 . 42

A B C D Eπ

π π π π⋅ ⋅ ⋅

Rješenje 119

Ponovimo!

.b a b

ac c

⋅⋅ =

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Duljina polumjera označava se slovom r.

29

Kružni odsječak je dio kruga omeđen tetivom i pripadnim kružnim lukom

Kružni isječak je dio kruga omeđen dvama polumjerima i pripadnim kružnim lukom.

Ako je r polumjer kružnice, tada je ploština kružnog isječka sa središnjim kutom α dana formulom

( )2

360.

rP

πα α

⋅= ⋅

�

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Jednakostraničan trokut ima tri jednaka kuta α = 60° i tri jednake stranice. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

AB

S

Svaki se žuti geometrijski lik može preoblikovati u kružni isječak polumjera r = 2 i središnjeg kuta α = 60º jer je trokut SAB jednakostraničan. Ako kružni odsječak zelene boje premjestimo na mjesto gdje postaje kružni odsječak plave boje, dobijemo kružni isječak (crvena boja). Njegova je ploština

2.

360

rP

π α⋅ ⋅= �

Budući da postoje 3 sukladna geometrijska lika, njihova ploština iznosi:

2 22 60 4 4 12

3 3 3 3 2 .6 6360 360

2 60 12

636060

r rπ α π

α

π π π ππ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

=

== = ⋅ = ⋅ = ⋅ = = = ⋅

�

� �

�

��

30

60°°°°2 2

Odgovor je pod D.

Vježba 119

Three circles with radius 1 are drawn in such a way that each time one of the points of intersection of two circles is identical with the centre of the third circle. How big is the area of the yellow zone?

. . 3 . . 2 . 42

A B C D Eπ

π π π π⋅ ⋅ ⋅

Rezultat: C. Zadatak 120 (555, ekonomska škola)

Staza oko kružnog cvjetnjaka je oblika kružnog vijenca. Hodajući po unutarnjem rubu staze šetač bi prešao 10 · π m, a hodajući vanjskim rubom staze 28 · π m. Kolika je površina staze?

Rješenje 120

Ponovimo!

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r > 0 (polumjeru kruga). Opseg kruga polumjera r iznosi:

2 .O r π= ⋅ ⋅

31

Ploština kruga polumjera r iznosi: 2 .P r π= ⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

R

r

Neka je r polumjer cvjetnjaka, a R polumjer vanjske kružnice. Tada vrijedi:

122 2 11

/2

1/

2

21 12 22 2 22 2 2

Or O rO r r O

O R R O OR O R

ππ π π

ππ

π

π

π

π

⋅

⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =⋅

⋅

⋅⋅

105

1010 2128 2

2 .42 2 18

2

8

2

r rr

R

O

O RR

ππ π

π π

π

π

π

π

π

⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ = =

= ⋅

= ⋅=

⋅ ⋅

Površina staze jednaka je razlici površine kruga polumjera R i površine kruga polumjera r.

( ) ( )2 2 2 2 2 214 52 1P P P P R r P R r Pπ π π π= − ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒

2171 .P mπ⇒ = ⋅

Vježba 120

Staza oko kružnog cvjetnjaka je oblika kružnog vijenca. Hodajući po unutarnjem rubu staze šetač bi prešao 14 · π m, a hodajući vanjskim rubom staze 15 · π m. Kolika je površina staze?

Rezultat: 7.25 · π m2.

A B E F ( ) ( ) - halapa · Dužina koja spaja dvije to čke kružnice zove se tetiva. Okomica iz...

Documents

Transcript of A B E F ( ) ( ) - halapa · Dužina koja spaja dvije to čke kružnice zove se tetiva. Okomica iz...