Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V)...

27
Linearna algebra I

Transcript of Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V)...

Page 1: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Linearna algebra I

Page 2: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

za A ∈ L(V ) na nekom konacnodimenzionalnom prostoru V ,cilj nam je naci takvu bazu prostora V u kojoj ce matricaoperatora A biti cim jednostavnija

najjednostavnije bi bilo ako bismo postigli da u nekoj bazia = {a1, . . . , an} prostora V operatoru A pripada dijagonalnamatrica

[A]aa =

α1 0 · · · 0

0 α2. . .

......

. . .. . . 0

0 0 0 αn

Page 3: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

za A ∈ L(V ) na nekom konacnodimenzionalnom prostoru V ,cilj nam je naci takvu bazu prostora V u kojoj ce matricaoperatora A biti cim jednostavnija

najjednostavnije bi bilo ako bismo postigli da u nekoj bazia = {a1, . . . , an} prostora V operatoru A pripada dijagonalnamatrica

[A]aa =

α1 0 · · · 0

0 α2. . .

......

. . .. . . 0

0 0 0 αn

Page 4: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

iz matricnog zapisa linearnog operatora odmah slijedi da jedijagonalan matricni zapis u bazi a ekvivalentan sustavujednakosti:

Aa1 = α1a1, Aa2 = α2a2, . . . , Aan = αnan

Definicija

Neka je V vektorski prostor nad poljem F i A ∈ L(V ). Kaze se daje skalar λ0 ∈ F svojstvena vrijednost operatora A ako postojivektor x ∈ V , x 6= 0, takav da je

Ax = λ0x.Skup svih svojstvenih vrijednosti operatora A naziva se spektar(operatora A) i oznacava sa σ(A).

koriste se jos termini karakteristicna vrijednost i vlastitavrijednost, a u engleskom jeziku naziv eigenvalue

Page 5: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

iz matricnog zapisa linearnog operatora odmah slijedi da jedijagonalan matricni zapis u bazi a ekvivalentan sustavujednakosti:

Aa1 = α1a1, Aa2 = α2a2, . . . , Aan = αnan

Definicija

Neka je V vektorski prostor nad poljem F i A ∈ L(V ). Kaze se daje skalar λ0 ∈ F svojstvena vrijednost operatora A ako postojivektor x ∈ V , x 6= 0, takav da je

Ax = λ0x.Skup svih svojstvenih vrijednosti operatora A naziva se spektar(operatora A) i oznacava sa σ(A).

koriste se jos termini karakteristicna vrijednost i vlastitavrijednost, a u engleskom jeziku naziv eigenvalue

Page 6: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

iz matricnog zapisa linearnog operatora odmah slijedi da jedijagonalan matricni zapis u bazi a ekvivalentan sustavujednakosti:

Aa1 = α1a1, Aa2 = α2a2, . . . , Aan = αnan

Definicija

Neka je V vektorski prostor nad poljem F i A ∈ L(V ). Kaze se daje skalar λ0 ∈ F svojstvena vrijednost operatora A ako postojivektor x ∈ V , x 6= 0, takav da je

Ax = λ0x.Skup svih svojstvenih vrijednosti operatora A naziva se spektar(operatora A) i oznacava sa σ(A).

koriste se jos termini karakteristicna vrijednost i vlastitavrijednost, a u engleskom jeziku naziv eigenvalue

Page 7: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

Napomena

(a) vektor x iz navedene definicije naziva se svojstveni vektorpridruzen svojstvenoj vrijednosti λ0. Treba primijetiti dasvojstveni vektor nikako nije jedinstven: ako je x svojstvenivektor pridruzen λ0 onda je i αx svojstveni vektor pridruzenistoj svojstvenoj vrijednosti, i to za svaki skalar α iz F, α 6= 0

Page 8: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

Napomena

(b) neka jeVA(λ0) = {x ∈ V : Ax = λ0x}.

Ovaj skup se naziva svojstveni potprostor pridruzensvojstvenoj vrijednosti λ0. Uocimo da je VA(λ0) zaistapotprostor jer evidentno vrijedi

VA(λ0) = Ker(A− λ0I).

Primijetimo da je skup VA(λ) = {x ∈ V : Ax = λx} uvijek,za svaki skalar λ, potprostor od V . Svojstvene vrijednosti suoni skalari λ0 za koje je potprostor VA(λ0) netrivijalan.Zakljucujemo: svojstvena vrijednost operatora A je takavskalar λ0 za koji je operator A− λ0I singularan.

Page 9: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

Napomena

(c) ako je λ0 ∈ σ(A) onda se dimenzija svojstvenog potprostoraVA(λ0) naziva geometrijska kratnost (ili geometrijskimultiplicitet) svojstvene vrijednosti λ0 i oznacava se s d(λ0).Iz definicije je jasno da je

d(λ0) ≥ 1.

Primjer

Operator A ∈ L(V 2(0)) zrcaljenja preko x−osi na prostoru V 2(0)ima svojstvene vrijednosti λ1 = 1 i λ2 = −1; naime A~i =~i iA~j = −~j. Geometrijski je ocito (u sto cemo se kasnije uvjeriti iformalno) da su to jedine dvije svojstvene vrijednosti ovogoperatora.

Page 10: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

Napomena

(c) ako je λ0 ∈ σ(A) onda se dimenzija svojstvenog potprostoraVA(λ0) naziva geometrijska kratnost (ili geometrijskimultiplicitet) svojstvene vrijednosti λ0 i oznacava se s d(λ0).Iz definicije je jasno da je

d(λ0) ≥ 1.

Primjer

Operator A ∈ L(V 2(0)) zrcaljenja preko x−osi na prostoru V 2(0)ima svojstvene vrijednosti λ1 = 1 i λ2 = −1; naime A~i =~i iA~j = −~j. Geometrijski je ocito (u sto cemo se kasnije uvjeriti iformalno) da su to jedine dvije svojstvene vrijednosti ovogoperatora.

Page 11: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

Primjer

Operator Rϕ ∈ L(V 2(0)) rotacije za kut ϕ ∈ [0, 2π〉, ϕ 6= 0, π,nema svojstvenih vrijednosti. Zaista, jednakost

Rϕ~a = λ0~a

znaci da su vektori Rϕ~a i ~a kolinearni, a takvih netrivijalnih vektorapri rotaciji za kut ϕ 6= 0, π ocito nema.

Definicija

Neka je A ∈Mn(F). Polinom

kA(λ) = det(A− λI)

naziva se svojstveni polinom matrice A.

Page 12: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

Primjer

Operator Rϕ ∈ L(V 2(0)) rotacije za kut ϕ ∈ [0, 2π〉, ϕ 6= 0, π,nema svojstvenih vrijednosti. Zaista, jednakost

Rϕ~a = λ0~a

znaci da su vektori Rϕ~a i ~a kolinearni, a takvih netrivijalnih vektorapri rotaciji za kut ϕ 6= 0, π ocito nema.

Definicija

Neka je A ∈Mn(F). Polinom

kA(λ) = det(A− λI)

naziva se svojstveni polinom matrice A.

Page 13: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

Propozicija

Slicne matrice imaju jednake svojstvene polinome.

Definicija

Neka je V konacnodimenzionalan prostor, neka je A ∈ L(V ) teneka je [A]ee matricni zapis operatora A u nekoj bazi e prostora V .Svojstveni polinom operatora A, kA, definira se kao svojstvenipolinom matrice [A]ee:

kA(λ) = k[A]ee(λ)

Primjer

Odredimo svojstveni polinom operatora rotacije.

Page 14: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

Propozicija

Slicne matrice imaju jednake svojstvene polinome.

Definicija

Neka je V konacnodimenzionalan prostor, neka je A ∈ L(V ) teneka je [A]ee matricni zapis operatora A u nekoj bazi e prostora V .Svojstveni polinom operatora A, kA, definira se kao svojstvenipolinom matrice [A]ee:

kA(λ) = k[A]ee(λ)

Primjer

Odredimo svojstveni polinom operatora rotacije.

Page 15: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

Propozicija

Slicne matrice imaju jednake svojstvene polinome.

Definicija

Neka je V konacnodimenzionalan prostor, neka je A ∈ L(V ) teneka je [A]ee matricni zapis operatora A u nekoj bazi e prostora V .Svojstveni polinom operatora A, kA, definira se kao svojstvenipolinom matrice [A]ee:

kA(λ) = k[A]ee(λ)

Primjer

Odredimo svojstveni polinom operatora rotacije.

Page 16: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

Teorem

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor nad poljem Fte neka je A ∈ L(V ). Skalar λ0 ∈ F je svojstvena vrijednostoperatora A ako i samo ako vrijedi

kA(λ0) = 0.

Napomena

Ako je dimV = n i A ∈ L(V ) onda A ima najvise n svojstvenihvrijednosti. Ovo je neposredna posljedica tvrdnje prethodnogteorema jer polinom n−tog stupnja ima najvise n nultocaka.

Page 17: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

Teorem

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor nad poljem Fte neka je A ∈ L(V ). Skalar λ0 ∈ F je svojstvena vrijednostoperatora A ako i samo ako vrijedi

kA(λ0) = 0.

Napomena

Ako je dimV = n i A ∈ L(V ) onda A ima najvise n svojstvenihvrijednosti. Ovo je neposredna posljedica tvrdnje prethodnogteorema jer polinom n−tog stupnja ima najvise n nultocaka.

Page 18: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

Primjer

Uzmimo operator A ∈ L(R3) dan svojim matricnim prikazom ukanonskoj bazi e prostora R3:

[A]ee =

2 −1 01 0 0−1 0 2

.Odredimo spektar i svojstvene vektore operatora A.

Page 19: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

Definicija

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor te neka jeA ∈ L(V ) i λ0 ∈ σ(A). Neka je

kA(λ) = (λ− λ0)lp(λ), p(λ0) 6= 0, l ∈ N.

Broj l zovemo algebarskom kratnoscu svojstvene vrijednosti λ0 ioznacavamo ga s l(λ0).

Teorem

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor, te neka jeA ∈ L(V ) i λ0 ∈ σ(A). Tada je

d(λ0) ≤ l(λ0).

Page 20: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

Definicija

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor te neka jeA ∈ L(V ) i λ0 ∈ σ(A). Neka je

kA(λ) = (λ− λ0)lp(λ), p(λ0) 6= 0, l ∈ N.

Broj l zovemo algebarskom kratnoscu svojstvene vrijednosti λ0 ioznacavamo ga s l(λ0).

Teorem

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor, te neka jeA ∈ L(V ) i λ0 ∈ σ(A). Tada je

d(λ0) ≤ l(λ0).

Page 21: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

Propozicija

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor, neka jeA ∈ L(V ), neka su λ1, . . . , λk medusobno razlicite svojstvenevrijednosti operatora A te neka su x1, . . . , xk svojstveni vektoripridruzeni, redom, svojstvenim vrijednostima λ1, . . . , λk. Tada jeskup {x1, . . . , xk} linearno nezavisan.

Teorem

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor, A ∈ L(V ), te

neka je e(i) = {e(i)1 , e(i)2 , . . . , e

(i)di} baza za svojstveni potprostor

VA(λi), i = 1, . . . , k. Tada je unija⋃k

i=1 e(i) linearno nezavisan

skup u V .

Page 22: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

Propozicija

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor, neka jeA ∈ L(V ), neka su λ1, . . . , λk medusobno razlicite svojstvenevrijednosti operatora A te neka su x1, . . . , xk svojstveni vektoripridruzeni, redom, svojstvenim vrijednostima λ1, . . . , λk. Tada jeskup {x1, . . . , xk} linearno nezavisan.

Teorem

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor, A ∈ L(V ), te

neka je e(i) = {e(i)1 , e(i)2 , . . . , e

(i)di} baza za svojstveni potprostor

VA(λi), i = 1, . . . , k. Tada je unija⋃k

i=1 e(i) linearno nezavisan

skup u V .

Page 23: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

Korolar

Neka je V kompleksan konacnodimenzionalan vektorski prostor,neka je A ∈ L(V ) te neka je

σ(A) = {λ1, . . . , λk}.

Operator A se moze dijagonalizirati (tj. postoji baza od V u kojojje matricni prikaz operatora A dijagonalna matrica) ako i samo akosu geometrijska i algebarska kratnost svih svojstvenih vrijednosti odA jednake.

Page 24: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

Definicija

Neka je V vektorski prostor i A ∈ L(V ). Kaze se da je potprostorM ≤ V invarijantan za A ako vrijedi

A(M) ⊆M,

tj. Ax ∈M , ∀x ∈M.

Teorem (Hamilton-Cayley)

Neka je A ∈Mn(F). Tada je

kA(A) = 0.

Page 25: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

Definicija

Neka je V vektorski prostor i A ∈ L(V ). Kaze se da je potprostorM ≤ V invarijantan za A ako vrijedi

A(M) ⊆M,

tj. Ax ∈M , ∀x ∈M.

Teorem (Hamilton-Cayley)

Neka je A ∈Mn(F). Tada je

kA(A) = 0.

Page 26: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

Korolar

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor i A ∈ L(V ).Tada je

kA(A) = 0.

Propozicija

Matrica A ∈Mn je regularna ako i samo ako je

kA(0) 6= 0.

Page 27: Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · 2013. 6. 25. · Linearna algebra I. Spektar za A2L(V) na nekom kona cnodimenzionalnom prostoru V, cilj nam je na ci takvu bazu prostora

Spektar

Korolar

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor i A ∈ L(V ).Tada je

kA(A) = 0.

Propozicija

Matrica A ∈Mn je regularna ako i samo ako je

kA(0) 6= 0.