LINEARNA ALGEBRA

- VEKTOR: (1)-klasa ekvivalencije usmjerenih dužina-svaki vektor iz V³ jednoznačno je određen:

1. Duljinom(modulom)2. Smjerom(pravcem na kojem leži)3. Orijentacijom(na tome pravcu)

- Skiciranje vektora: (2)-množenje vektora sa skalarom λ:

1. λ>0 --> vektori a i b paralelni2. λ<0 --> vektori a i b antiparalelni

- zbrajanje vektora: (2)1. pravilo trokuta2. pravilo paralelograma

- LINEARNO NEZAVISNI VEKTORI (3)-vektor će biti linearno nezavisan ako ne postoji netrivijalna linearna kombinacija tih vektora koja je jednaka nul-vektoru -tj. Vektori x₁, x₂, ..., xᵢ su linearno nezavisni ako iz

α₁x⃗₁ + α₂x⃗₂ + ... + αᵢx⃗ ᵢ = 0 , slijedi da su svi skalari α₁, α₂, ..., αᵢ jednaki 0 --> (α₁, α₂, ..., αᵢ)=(0,0,...,0) je jedinstveno rješenje.

- LINEARNO ZAVISNI VEKTORI (3)-vektori x⃗ ₁, x⃗₂, ..., x⃗ᵢ su linearno zavisni ako vrijedi:

α₁x⃗ ₁ + α₂x⃗ ₂ + ... + α⃗ixᵢ = 0 --> ako postoji barem jedan α≠0

- Dokažite da su 2 vektora linearno zavisna ako i samo ako su kolinearna: (4)1. Pretpostavka: vektori a i b su linearno zavisni:

αa⃗+βb⃗=0 --> α≠0 V β≠0 (uzet ćemo β≠0) /β(α/β)a⃗+b⃗=0 b⃗= -(α/β)a⃗ --> a⃗ i b⃗ su kolin.vekt. zbog definicje množenje vekt. Sa skalarom

2. Pretpostavka: vektori a⃗ i b⃗ su kolinearni vektori (postoji λ € R takav da vrijedi b⃗=λa⃗ (1≠0) 1b⃗-λa⃗=0 -->a⃗ib⃗su lin.zavisni

- 3 vektora u istoj ravnini --> KOMPLANARNI VEKTORI

1

- Jesu li tri vektora u istoj ravnini linearno zavisni ili linearno nezavisni? Dokažite. (5)-jesu. Slično kao i prethodni zadatak, samo što sada imamo 3 vektora a⃗, b⃗ ic⃗:--> 2 pretpostavke: 1.pretpostavka: vektori su lin.zavisni (dobijemo 1 vektor kao kombinaciju ostala 2) 2.pretpostavka: vektori su komplanarni (jedan vektor kao lin kombinacija ostala 2, sve prebacimo na jednu stran(izjednačimo s 0), jedan skalar mora bit različit od 0 --> lin.zavisni)

- BAZA VEKTORSKOG PROSTORA V³ (6)-baza vektorskog prostora V³ je uređena trojka linearno nezavisnih vektora-|i⃗|=| j⃗|=|k⃗|=1 i (i⃗ j⃗, j⃗ k⃗ ,k⃗ i⃗) --> (i⃗, j⃗, k⃗ ) ortonormirana baza v.p. V³

- Napišite izvod kako iz bilo koje baze (a⃗,b⃗) vektorskog prostora V² dobijemo ortonormiranu bazu (u⃗, v⃗) (7)

2

3

- SKALARNI PRODUKT (umnožak) (8)

∙ :V 3 x V 3→R

1. a⃗=0∨ b⃗=0→a⃗∙ b⃗=02. a⃗ ≠0∧ b⃗ ≠0→a⃗∙ b⃗=|a⃗|∙|b⃗|∙cosφ

-svojstva:

1. Pozitivnost: a⃗ ∙ a⃗ ≥0 , a⃗ ∙ a⃗=0ako i samoako je a⃗=02. Komutativnost: a⃗ ∙ b⃗=b⃗ ∙ a⃗3. Distributivnost: a⃗ ∙ (b⃗+ c⃗ )=a⃗ ∙ b⃗+ a⃗∙ c⃗4. Homogenost : α ( a⃗ ∙ b⃗ )=(α a⃗)∙ b⃗

- Skalarni produkt dvaju vektora prikazanih u Kartezijevom koo-sustavua⃗ ∙ b⃗=axbx+a yb y+azbz

- VEKTORSKI PRODUKT (9)×:V 3×V 3→V 3

-vektorski produkt vektora a⃗ i b⃗ je vektor c⃗= a⃗×b⃗, koji je okomit na vektore a⃗ i b⃗, orijentacija mu se određuje pravilom desne ruke(desnog vijka), a duljina mu je jednaka površini paralelograma kojeg razapinju vektori a⃗ i b⃗.

|a⃗× b⃗|=|a⃗|∙|b⃗|∙sinφ-svojstva:

1. Antikomutativnost: a⃗× b⃗=− (b⃗× a⃗ )2. Distributivnost: a⃗× (b⃗+ c⃗)=a⃗× b⃗+a⃗× c⃗3. Homogenost: α ( a⃗×b⃗ )=(α a⃗)×b⃗4. Množenje nul-vektorom: a⃗× 0⃗=0⃗× a⃗= 0⃗

- Vektorski produkt dvaju vektora, prikazanih i Kartezijevom koo-sustavu, dobiva se razvojem sljedeće determinante po 1.retku:

a⃗× b⃗=| i⃗ j⃗ k⃗ax a y azbx b y bz

|- RAVNINA je jednoznačno određena sa: (10)

1. 3 točke koje ne leže na istom pravcu;2. Pravcem i točkom izvan tog pravca;3. 2 paralelna različita pravca;4. 2 pravca koja se sijeku.

- Međusobni položaj dviju ravnina u prostoru: (11)

4

1. Podudaraju se(imaju sve točke zajedničke);2. Paralelne su(nemaju nijednu zajedničku točku);3. Sijeku se u jednom pravcu(presječnica ravnina).

- KUT između dviju ravnina: (12)-kut φ među ravninama π1i π 2 jest kut što ga zatvaraju njihove normale

φ=∢ (π1 , π2 ) ∶=∢(n⃗1 , n⃗2)

pri čemu su normale izabrane tako da kut bude šiljast(ili pravi)

cos φ=n⃗1 ∙ n⃗2

¿ n⃗1∨∙∨n⃗2∨¿¿(dalje raspišeš vektore, pomnožiš i pozbrajaš)

- PRAVAC je jednoznačno određen s 2 točke (1 točkom i vektorom smjera) (13)

- Međusobni položaj dva pravca u prostoru: (14)

1. Sijeku se u 1 točki;2. Pravci su paralelni;3. Pravci se mimoilaze.

- KUT između 2 pravca jest šiljasti(ili pravi) kut među njihovim vektorima smjerova (15)∢ ( p1 , p2 )=∢( S⃗1 , S⃗2)

Računamo ga kao cos φ između vektora smjera(analogno kao i između ravnina)

- Međusobni položaj pravca i ravnine u prostoru: (16)1. Pravac i ravnina su paralelni (pravac leži u ravnini ili nemaju nijednu točku

zajendičku)2. Pravac probada ravninu u 1 točki

- KUT između pravca i ravnine: (17)-kut između pravca i ravnine jednak je kutu između pravca i njegove ortogonalne projekcije na ravninu* ili: 90°-(kut između smjera vektora pravca i normale ravnine)-računamo kao cos φ između

- MNOŽENJE MATRICA; koje matrice možemo množiti i objasnite postupak: (18)-množenje matrica definirano je samo za ulančane matrice: broj stupaca prve mora se podudarati s brojem redaka druge matrice-prvi element nove matrice dobijemo tako da pomnožimo element prvog retka prve matrice sa prvim elementom prvog stupca druge matrice, zatim 2.element prvog

5

retka 1.matrice sa 2.elementom prvog stupca 2. Matrice i tako redom do kraja retka, tj stupca i zbrojimo --> to je prvi element 1. Retka nove matrice. I tako analogno za ostale.

- MATRICA KOFAKTORA: (19)-KOFAKTOR (algebarski komplement) elementa a ij matrice A je Aij=(−1)i+ jdet M ij

-MATRICA KOFAKTORA matrice A: A¿=(A ij)

- SVOJSTVA DETERMINANTE: (20)1. det AT=detA2. Ako u determinanti zamijenimo dva retka(stupca), determinanta mijenja

predznak.3. Ako se jednom retku(stupcu) determinante doda neki od preostalih

redaka(stupaca) pomnožen skalarom, onda se determinanta ne mijenja.4. Ako se jednom retku(stupcu) determinante doda linearna kombinacija

preostalih redaka(stupaca), onda se determinanta ne mijenja.5. Ako su svi elementi nekog retka(stupca) jednaki nuli, onda je determinanta

jednaka nuli.6. Determinanta se množi skalarom tako da se jedan redak(stupac) pomnoži tim

skalarom.7. Determinanta trokutaste matrice jednaka je produktu elemenata na glavnoj

dijagonali.8. det(A∙B)= detA ∙detB

- REGULARNA MATRICA: (21)-za kvadratnu matricu A kažemo da je regularna, ako postoji matrica B, takva da vrijedi AB=BA=I-takva matrica B je jedinstvena i naziva se inverz matrice A te pišemo:

B=A−1

-ako je A regularna matrica, tada je detA≠0-matrica u kojoj je determinanta jednaka 0 naziva se singularna matrica

- Kada kažemo da su dvije matrice ekvivalentne? (22)-ekvivalentne matrice imaju isti rang-za 2 matrice kažemo da su ekvivalentne ako se jedna iz druge može dobiti pomoću konačno mnogo elementarnih transformacija

- RANG matrice: (23)-broj ne-nul redaka u reduciranom obliku matrice

6

-označavamo ga sa r i pišemo r(A)=r

- Diskusija o rješenjima sustava linearnih jednadžbi: (24)1. Ako je r(A) < r(Ap), tada sustav nema rješenja2. Ako je r(A)=r(Ap)<n , tada sustav ima beskonačno mnogo rješenja3. Ako je r(A)=r(Ap)=n, tada sustav ima jedinstveno rješenje

-ako je sustav homogen, tada je uvijek r(A)=r(Ap) pa vrijedi:1. Ili sustav ima jedinstveno rješenje (0,0,...,0)2. Ili ima beskonačno mnogo rješenja

- HOMOGEN SUSTAV: (25)-slobodni koeficijenti=0

- VEKTORSKI PROSTOR NAD POLJEM REALNIH BROJEVA: (26)-neka je X neprazni skup na kojemu su definirane binarne operacije +: X× X→X i ∙ :R× X→X

Uređena trojka nepraznog skupa X i spomenute dvije binarne operacije naziva se vektorski prostor nad poljem realnih brojevaako vrijede sljedeća svojstva:

1. ∀a ,b∈ X ,a+b=b+a ;2. ∀a ,b , c∈ X ,a+(b+c )=(a+b )+c ;3. ∃0∈ X , t . d . ∀a∈ X ,a+0=0+a=a;4. ∀a∈ X ,∃! a' , a+a'=a'+a=0;5. ∀α , β∈ R∧∀a∈ X ,α (βa )=(αβ )a;6. ∀α∈R∧∀ a ,b∈X , ∀α (a+b )=αa+αb;7. ∀α , β∈ R∧∀a∈ X , (α+β )a=αa+βa;8. ∀a∈ X ,1 ∙ a=a .

- Primjeri vektorskog prostora: (27)1. Skup V 3 svih vektora u prostoru uz standardno zbrajanje vektora i množenje

vektora skalarom;2. Skup svih polinoma n-tog stupnja uz operacije znrajanja polinoma i množenja

polinoma skalarom;3. Skup svih matrica tipa m×n uz operacije zbrajanja matrica i množenja matrice

skalarom;

- BAZA vektorskog prostora: (28)

7

-za skup B, koji je podskup konačnodimenzionalnog vektorskog prostora X, kažemo da je baza vektorskog prostora X, ako je skup B linearno nezavisan i ako se svaki element skupa X može zapisati kao linearna kombinacija elemenata iz skupa B.-broj elemenata u bazi jednak je dimenziji vektorskog prostora X.

- VEKTORSKI POTPROSTOR: (29)-neka je X vektorski prostor nad poljem R. Za njegov neprazni skup X 0 kažemo da je potprostor vektorskog prostora X ako je X 0 i sam vektorski prostor nad poljem R s obzirom na iste operacije koje su definirane u vektorskom prostoru X.-pr.V 2≤V 3, V 3je neprazan skup, sa definiranim operacijama zbrajanja i množenja, također i V 2, te je zato V 2≤V 3

- Matrica prijelaza iz baze (e) u bazu (f) vektorskog prostora X: (30)

- OPERATOR : (31)

8

-operator A je preslikavanje koje svakom slementu x iz vektorskog prostora X pridružuje točno jedan element y iz vektorskog prostora Y.

- Kada će operator biti linearan? (32)-operator A :X→Y je linearan ako za svaka dva realna broja α i β i za svaka dva elementa x i y iz vektorskog prostora X vrijedi:

A (αx+βy )=αAx+βAy-*ako je aditivan: ∀ x , y∈X

A ( x+ y )=Ax+Ay-*homogen: ∀ x∈ X ,∀ α∈R

A (αx )=αAx

- Čime je svaki linearni operator jednoznačno određen? (33)-djelovanje linearnog operatora na vektor x jednoznačno je određen djelovanjem na vektore baze

- RANG linearnog operatora: (34)-SLIKA linearnog operatora A:

R (A )= { y∈Y : y=Ax ,x∈ X }≤Y-dimenzija vektorskog prostora R(A) se naziva RANG linearnog operatora A i vrijedi:

r=dimR(A)≤dim X=n

- DEFEKT linearnog operatora: (35)-JEZGRA linearnog operatora A:

J (A )= {x∈ X : Ax=0 }≤ X-dimenzija vektorskog prostora J(A ) se naziva DEFEKT operatora A i vrijedi:

d=dimJ ( A )≤dimX=n

-r+d=n

- Objasnite kako linearnom operatoru možemo pridružiti matricu? (36)-između skupa matrice i skupa linearnih operatora postoji bijekcija-svaki linearni perator može se prikazati kao matrica i svakamatrica je linearni operator- (e )=(e1, e2 ,…,en) baza vektorskog prostora X, ( f )=(f 1 , f 2 ,…, f n) baza vektorskog prostora Y

A :X→Y

Ae1=a11 f 1+a21 f 2+…+am1 f m

Ae2=a12 f 1+a22 f 2+…+am2 f m

Aen=a1n f 1+a2n f 2+…+amn f m

9

A (e , f )=[ a11 a12… a1na21 a22… a2nam1 am2 amn

]- Za koje dvije matrice kažemo da su slične? (37)

-za 2 matrice A i B kažemo da su slične, ako postoji regularna matrica T, takva da vrijedi:

B=T−1 A ∙T

- Što je algebra? (38)-skup A se zove algebra nad poljem R, ako vrijedi:

1. A je vektorski prostor nad poljem R2. U A je definirano množenje koje svakom uređenom paru A,B∈ A pridružuje

jednstveni element AB∈ A , koji nazivamo produktom elemenata A i B i koje ima sljedeća svojstva:

-α (AB )= (αA )B=A (αB )-( AB )C=A (BC )-A (B+C )=AB+AC-( A+B )C=AC+BC

∀ A ,B ,C∈ A ,∀α∈ R

- Što je minimalni polinom matrice? (39)-minimalni polinom matrice A je polinom najmanjeg stupnja koji poništava tu matricu

- Što su svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori linearnog operatora? (40)-za skalar λ kažemo da je svojstvena vrijednost linearnog operatora A: X-> X, ako postoji vektor v⃗ ≠0 takav da vrijedi A v⃗=λ v⃗ .-takav vektor v⃗ naziva se svojstveni vektor -svojstvene vrijednosti linearnog operatora jedanke su nultočkama karakterističnog polinoma

det ( λI−A )=0

- Što je unitarni prostor? (41)-vektorski prostor X nad poljem Φ zovemo unitarni prostor ako je svakom uređenom paru x,y∈X pridružen jedinstveni skalar (x,y)∈ Φ tako da vrijedi:

1. ( x , x )≥0 ,∀ x∈ X ;

2. ( x , x )=0↔x=0 ;3. (x1+x2 , y )=( x1 , y )+(x2 , y ) , ∀ x1 , x2 , y∈ X ;

4. (kx , y )=k ( x , y ) , ∀ x , y∈X , ∀ k∈Φ;5. ( x , y )=( y , x) ,∀ x , y∈ X .

10

- Što je Gramova determinanta i za što ju koristimo? (42)-determinanta Gramove matrice naziva se Gramova determinanta i označava sa Γ(x1 , x2 ,…,xn ) .-koristimo ju za ispitivanje linearne zavisnosti vektora.(ako su nezav. , det>0)

- Što su nultočke polinoma drugog stupnja od dvije varijable? Diskusija s obzirom na determinantu matrice kvadratne forme. (43)-neka je S⊂M skup definiran jednadžbom

a11x12+2a12 x1 x2+a22 x2

2+a1 x1+a2 x2+a0=0U pravokutnom koordinatnom sustavu (O;e⃗1 ,e⃗2)

detA=|a11 a12a12 a22|

1. Ako je detA>0, onda je S elipsa ili skup koji sadrži jednu točku ili prazan skup;

2. Ako je detA<0, onda je S hiperbola ili unija dva pravca koji se sijeku;3. Ako je detA=0, onda je S parabola ili unija dva paralelna pravca ili jedan

pravac ili prazan skup.

11