95850647 fenomenos-de-transporte-exerc-resolv-em-04-jun-2012

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CURSOS LIVRES DE 3º GRAU – FENÔMENOS DE TRANSPORTE

FORMULÁRIO

NÚMERO DE REYNOLDS – Rey

(1) V D

Rey⋅=ν

(2) V D

Rey⋅ ⋅ρ=µ (3)

V DRey

g

⋅ ⋅ γ=µ ⋅

(4) µν =ρ

Rey ≤ 2300 ⇒ Regime Laminar

Rey ≥ 4000 ⇒ Regime Turbulento

V ≡ Velocidade em m/s

D ≡ Diâmetro em m

ν ≡ Viscosidade Cinemática em m²/s

ρ ≡ Massa Específica em kg/m³

µ ≡ Viscosidade Absoluta em m²/s

γ ≡ Peso Específico em N/m³

2

3H O 9,81 10 N/m³γ ≡ ⋅

Hgd 13,6=

FATOR DE ATRITO – f

(5) 64

fRe y

= (6) 2

0,9

1,325f

5,74ln

3,7 D Rey

= ε + ⋅

EQUAÇÃO DE BERNOULLI

(7) + + − ∆ − ∆ − + = + +γ γ

2 21 1 2 2

1 f L T B 2

p v p vz h h H H z

2g 2g

PERDA DE CARGA - ∆h

(8) 2f L V

h2g D

⋅ ⋅∆ =⋅

(9) 32 L V

hD

⋅ µ ⋅ ⋅∆ =γ ⋅ (10) 2 1P P

h−

∆ =γ

PERDA DE CARGA UNITÁRIA – J

1 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668


(11) h

JL

∆= (12) 1,85

1,85 4,87

QJ 10,65

C D=

⋅

Q ≡ Vazão em l/s ou m³/s

L ≡ Comprimento em m

C ≡ Coeficiente de Hazen

g =9,81 m/s²

ε ≡ Rugosidade Absoluta em m

VAZÃO – Q

(13) Q V A= ⋅ (14) D²

A4

π= (15) 4Q

VD²

=π

(16) 4Q

ReyD

=πν

EQUAÇÃO DE CONTINUIDADE E EQUAÇÃO DE BERNOULLI

1. No sistema da figura abaixo, determine a pressão no ponto B sabendo que:

• Há uma perda de 1,83 m entre A e B• O diâmetro em A é de 300 mm• O diâmetro em B é de 600 mm• O fluido tem densidade d = 0,811

Solução:

Pela Equação da Continuidade, calculam-se as velocidades do fluido em A e em B. Acompanhe:



A A B B2a

A A A A A

2b

B B B B B

Q v A v A v A 0,222 m³ / s

D 4v A 0,222 v 0,222 v 0,222 m / s v 3,14 m / s

4 0,3²

D 4v A 0,222 v 0,222 v 0,222 m / s v 0,786 m / s

4 0,6²

= ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ =

π ⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ = × ∴ = π ×

π ⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ = × ∴ = π ×

Escrevendo a

Equação de Bernoulli, entre A e B com referência em A:

( )

2 2A A B B

A AB B

A B

A B

A B

AB água

p v p vZ h Z

2g 2gDados :

Z 0 Re ferência Z 4,57 m

p 210 kPa p ?

v 3,14 m / s v 0,786 m / s

h 1,83 m d 0,811 9,82 kN /m³ 7,96 kN /m³

+ + − = + +γ γ

= =

= == == γ = ⋅ γ ⇔ γ = × ⇔ γ =

2 2A A B B

A AB B

B

B B

BB B

p v p vZ h Z

2g 2g

Substituindo :p210 3,14² 0,786²

0 1,83 4,577,96 19,62 19,62

p p26,38 0,503 1,83 4,57 0,0315 25,05 4,60

p25,05 4,60 20,45 p 20,45 20,45 7,96 kPa p 162,78 kPa

+ + − = + +γ γ

+ + − = + +γ

+ − = + + ⇔ = +γ γ

= − = ⇔ = γ = × ∴ =γ

2. Em um projeto de sistema de tubulação BCD, transportará óleo (d = 0,96) entre os reservatórios R1 e R2. Determine a perda de carga total entre os reservatórios e a vazão.



Dados: 2 2 21 1 2

AB BC CE 1 2

v v vh 0,6 ; h 5,4 ; h 8,0 ; D 400 mm; D 150 mm

2g 2g 2g∆ = ∆ = ∆ = = =

Solução:

Aplicando a Equação de Bernoulli entre A e E, com referência em E:

2 2 2 2 2A A 1 1 2 E E

A E

água

2 21 2

2 22 21 21 2

p v v v v p vZ 0,6 5,4 8,0 Z

2g 2g 2g 2g 2g

d 0,96 9,81 kN /m³ 9,42 kN /m³

Susbtituindo :

v v9,2 0 0 6,0 8,0 0 0 0

2g 2g

v v6,0 8,0 9,2 6,0v 8,0v 9,2 2g 9,2 2 9

2g 2g

+ + − + + = + + γ γ

γ = ⋅ γ ⇔ γ = × ∴ γ =

+ + − + = + +

+ = ⇔ + = × = × ×

( )2 21 2

2 21 2

,81

6,0v 8,0v 9,2 2 9,81

6,0v 8,0v 180,50 1

+ = × ×

+ =

Aplicando a Equação da Continuidade:

1 1 2 2

1

Q v A v A

v

= ⋅ = ⋅

π⋅

21D

4 2v π

= ⋅

22D

4

( )1 2 1 2 1 2

0,15²v 0,4² v 0,15² v v v 0,14v 2

0,4²

× = × ⇔ = × ∴ =

Substituindo (2) em (1):



( )

2 21 2

1 2

2 22 2

2 2 2 2 22 2 2 2 2

2 1

6,0v 8,0v 180,50

v 0,14v

6,0 0,14v 8,0v 180,50

180,500,1176v 8,0v 180,50 8,12v 180,50 v v 22,23

8,12v 4,71 m / s v 0,659 m / s

+ =

=

× + =

+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

∴ = ⇒ =

Perda de Carga Total:

2 21 2v v 0,659² 4,71²

h 6,0 8,0 h 6,0 8,0 m h 9,18 m2g 2g 19,62 19,62

∆ = + ⇔ ∆ = × + × ∴ ∆ =

Vazão:

21

1 1

D 3,14 0,4²Q v A Q 0,659 Q 0,659 m³ / s

4 4

Q 0,225 m³ / s

π × = ⋅ ⇔ = × ⇔ = × ∴ =

3. A água escoa num tubo horizontal de 150mm sob uma pressão de 414 kPa. Admitindo que não haja perdas, qual será a vazão se a pressão de redução de 75 mm de diâmetro for de 138 kPa?Solução:Aplicando a Equação de Bernoulli, entre os pontos 1 e 2 de uma mesma horizontal temos:

2 21 1 2 2

1 22 2

v p v pz z

g gγ γ+ + = + +

Substituindo os dados, temos:

( )

( )( )

2 21 2

2 21 2

2 22 1

2 22 1

414 1389,8

2 9,8 2 9,8

414 1382 2

2 414 138

552 1

v v

g g

v v

v v

v v

+ = + ×

+ = +

− = −

− =

g

Utilizando a Equação da Continuidade:

1 1 2 2

2 2

1 2

2 1

150 75

4 44

A v A v

v v

v v

π π

⋅ = ⋅

⋅ ⋅⋅ = ⋅

= ⋅

( )2 22 116 2v v= ⋅

Substituindo (2) em (1), obtemos:2

2 2 2 21 1 1 1 12

55216 552 15 552 36,8 6,07

15

m mv v v v v

ss− = ⇔ = ⇔ = = ∴ =



( )1 1

20,15

6,07 0,107 ³ /4

Q v A

Q m sπ

= ⋅

⋅= ⋅ =

∴ Q = 0,107 m³/s

4. Para o sifão de 50 mm de diâmetro que retira óleo, com densidade d = 0,82, do reservatório, a perda de carga do ponto 1 ao ponto 2 é de 1,50 m e do ponto 2 ao ponto 3 é de 2,40 m. Determine a descarga de óleo do sifão e a pressão do óleo no ponto 2.

Solução:Sabemos que:

( ) ( )2

3,14 0,05²0,00196 1

4 4

Q A v

DQ v Q v Q v

π

= ⋅

⋅= ⋅ ⇔ = ⋅ ∴ = ⋅

Aplicando a Equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 3, tomando como referência o ponto 3, temos:223 31 1

1 22 2

v pv pz z H

g gγ γ+ + = + + + ∆

onde:z1 = 5,0 m

21

1

02

0

v

g

p

γ

=

=

z2 = 0

2 0p

γ=

3,90H m∆ =Dessa forma, temos:



23

2233 1

5 3,92

1,1 21,56 4,64 /19,6

v

g

vv v m s

= +

= ⇔ = ∴ =

Logo, a vazão ou descarga é:Q = 0,00196.v1

Q = 0,00196 × 4,64Q = 0,0091 m³/s

E para encontrarmos a pressão no ponto 2, devemos aplicar a Equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 tomando o ponto 1 como referência:

( )

+ + − = + +

− = + + = = ⋅ =

= − + + = − × = −

2 21 1 2 2

1 12 2

22

2

2 2

4,640 1,5 2 9,81. 9,81 0,82 8,04 / ³

19,62

2 1,5 1,097 4,6 8,04 36,98

óleoóleo

óleo

v p v pz h z

g g

pd kN m

p kPa

γ γ

γγ

γ

5. Em um tubo encurvado, tem-se os pontos 1 e 2. No ponto 1 existe uma pressão de 1,9 kgf/cm², assinalada no manômetro M, com diâmetro 25% maior que em 2. Na extremidade 2, com diâmetro de 100 mm, a velocidade é 3 m/s e a água é descarregada na atmosfera. Calcular a perda de carga entre os pontos 1 e 2. Sabe-se que γágua = 1000 kgf/m³

Solução:

Dados:

2

41

2

1

2

H O

p 1,9 kgf / cm² 1,9 10 kgf /m²

D 100 mm 0,100 m

D 125 mm 0,125 m

V 3,0 m / s

1000 kgf /m³

−= = ⋅= == ==

γ =



Da Equação da Continuidade, temos:

1 1 2 2

1

Q V A V A

V

= ⋅ = ⋅

π⋅

21D

4 2V π

= ⋅

22D

42 2

1 1 2 2

2 22

1 2 1 2 1 22 21

1 1

V D V D

D 0,100V V V V V 0,64V

D 0,125

V 0,64 3 1,92 m / s V 1,92 m / s

⇔ ⋅ = ⋅

= ⋅ ⇔ = ⋅ ∴ =

= × = ∴ =

Aplicando a Equação de Bernoulli de 1 Para 2 com referência em 1:

2 21 1 2 2

1 12 2

2 4 2

12

2 4 2

12

12 12

V p V pZ h Z

2g 2g

1,92 1,9 10 30 h 1,25 0

19,62 1000 19,62

1,92 1,9 10 3h 1,25

19,62 1000 19,62h 0,1879 19 1,25 0,459 h 17,48 m

−

−

+ + − = + +γ γ

⋅+ + − = + +

⋅= + − −

= + − − ∴ =

6. Um óleo de densidade 0,761 escoa do tanque A para o tanque E. As perdas de carga podem ser assumidas como sendo:

De A para B: 2306V

0,602g

; De C para D: 2153V

0,402g

De B para C: 2306V

9,02g

; De D para E: 2153V

9,02g

Determine:

a) A Vazão

b) A pressão em C

c) A potência em C



Solução:

a) Q = ?

Escrevendo a Equação de Bernoulli de A para E, com referência em E:

2 2A A E E

A AB BC CD DE Eóleo óleo

2 2 2 2306 306 153 153

2 2 2 2306 306 153 153

2 2 2 2306 306 153 153

V p V pZ h h h h z

2g 2g

V V V V12 0 0 0,60 9 0,40 9 0 0 0

2g 2g 2g 2g

V V V V12 0,60 9 0,40 9 0

2g 2g 2g 2g

V V V V12 0,60 9 0,40 9

19,62 19,62 19,62

+ + − − − − = + +γ γ

+ + − − − − = + +

− − − − =

− − − − ( )

( )

2 2 2 2306 306 153 153

2 2306 153

0 19,6219,62

12 19,62 0,60V 9V 0,40V 9V 0

9,60V 9,40V 235,44 1

= ⋅

× − − − − =

+ =

Pela Equação da Continuidade:

153 153 306 306

153

Q V A V A

V

= ⋅ = ⋅

π⋅

2153D

4 306V π

= ⋅

2306D

4

( )

22306

153 306 153 3062153

2 2153 306 153 306

D 0,306V V V V

0,153D

V 4V V 16V 2

= ⋅ ⇔ =

= ⇒ =



Substituindo (2) em (1):

( )2 2306 153

2 2306 306

2 2306 306

2 2306 306

2306 306

9,60V 9,40V 235,44

9,60V 9,40 16V 235,44

9,60V 150,40V 235,44

235,44160V 235,44 V

160

V 1,471 V 1,21 m / s

+ =

+ =

+ =

= ⇔ =

= ∴ =

153 306 153 153V 4V V 4 1,21 4,84 m / s V 4,84 m / s= ⇔ = × = ∴ =

A vazão é calculada por:

2153

153 153D

Q V A Q 4,84 m³ / s4

3,14 0,153²Q 4,84 m³ / s Q 0,089 m³ / s

4

π= ⋅ ⇔ = ⋅

⋅ = ⋅ ∴ =

b) Cp ?=

Escrevendo a Equação de Bernoulli entre A e C, com referência em A:

22C CA A

A AB BC C

2 2 2306 306 306 C

2 2 2C 306 306 306

C

C C

V pV pZ h h Z

2g 2g

V V V p0 0 0 0,60 9,0 0,61

2g 2g 2g

p V V V0,60 9,0 0,61

2g 2g 2gp 1,21² 1,21² 1,21²

0,60 9 0,6119,62 19,62 19,62

p p0,0448 0,672 0,61 0,0746

+ + − − = + +γ γ

+ + − − = + +γ

= − − − −γ

= − ⋅ − ⋅ − −γ

= − − − ⇔ =γ γ

C C

1,401

p 1,401 1,401 0,761 9,81 kPa p 10,46kPa

−

= − γ = − × × ∴ = −



c) Pot = ?

A potência em C é calculada através da expressão:

( )Cóleo

2C C

C Cóleo

C C C

Pot Q H

V pH Z referência em E

2g

1,21²H 12,61 1,401 H 12,61 0,0746 1,401 H 11,28 m

19,62Pot 0,761 9,81 0,089 11,28 7,49 kW Pot 7,49 kW

= γ ⋅ ⋅

= + +γ

= + − ⇔ = + − ∴ =

= × × × = ∴ =

7. Foram extraídos 51,2 kW de uma turbina, mantida as pressões manométricas em A e em B iguais a 144,4 kPa e

-34,6 kPa, respectivamente. Considere os diâmetros AD 150 mm= e B AD 3 D= ⋅ . Determine a vazão da água.

Solução:

Dados:

A

B

A

B A

P 51,2 kWp 144,4 kPa

p 34,6 kPa

D 150 mm 0,150m

D 3 D 3 150 mm 450 mm 0,450 m

=== −= == ⋅ = ⋅ = =

Considerando o escoamento de A para B, com referência em B, vamos aplicar a Equação de Bernoulli:

2 2 2 2A A B B A A B B

A T B T A Bv p v p v p v p

Z h Z h Z Z (1)2g 2g 2g 2g

+ + − = + + ∴ = + + − + +γ γ γ γ

Mas:



( ) ( ) ( )

2 2A A

A A B B A B

2 2A A B B A B A B A B

D DQ v S v .S Q v v

4 40,450²

v D v D v 0,150 ² v 0,450 ² v v v 9v 20,150²

π π= ⋅ = ⇔ = ⋅ = ⋅

⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ = ∴ =

Fazendo as substituições em (1) e levando em consideração (2):

( ) ( )

2 2A A B B

T A B

B BT

22B B

T T B

v p v ph Z Z

2g 2g

9v ² 34,6v ²144,4h 1 0

19,62 9,81 19,62 9,81

81v v ²h 1 14,72 3,53 h 19,25 4,08v (3)

19,62 19,62

= + + − + + γ γ

−= + + − − −

= + + + − ∴ = +

Da expressão da potência, temos:

T T

2B

B T B T B T

T TB B

P Qh 51,3 9,81 Q h

D 3,14 0,450²V h 5,23 V h 5,23 0,0,159v h 5,23

4 4

5,23 32,89h h (4)

0,159v v

= γ ⇔ = × ×

π × × = ⇔ × = ⇔ ⋅ =

= ∴ =

Comparando (3) e (4):

( )( )( )

2 3B B B

B3B B

3B

3B

3B

32,8919,25 4,08v 4,08v 19,25v 32,89 0

v

v 4,718v 8,061 (5)

Por tentativas:

v 1,2 m / s 1,20 4,718 1,20 8,061 7,3896 8,061

v 1,25 m / s 1,25 4,718 1,25 8,061 7,8506 8,061

v 1,30 m / s 1,30 4,718 1,30 8

+ = ⇔ + − =

+ =

= ⇒ + × ≠ ∴ <

= ⇒ + × ≠ ∴ <

= ⇒ + × ≠

( )( )( )

3B

3B

3B

,061 8,3304 8,061

v 1,28 m / s 1,28 4,718 1,28 8,061 8,1362 8,061

v 1,26 m / s 1,26 4,718 1,26 8,061 7,9450 8,061

v 1,27 m / s 1,27 4,718 1,27 8,061 8,040 8,061

∴ >

= ⇒ + × ≠ ∴ >

= ⇒ + × ≠ ∴ <

= ⇒ + × ≠ ∴ ≠

∴ B Av 1,27m / s v 11,43 m / s= ⇒ =

2 2B

A A BD 3,14 0,450

Q v S Q v 1,27 m³ / s Q 0,0908m³ / s Q 90,8 l / s4 4

π ×= ⋅ ⇔ = ⋅ = × ∴ = ∴ =



8. Na tubulação que parte da barragem (veja a figura abaixo), a vazão é de 28 l/s. A carga de pressão no ponto (1) é de 29,6 m. Calcular o diâmetro da tubulação desprezando-se as perdas de energia.

Solução:

Aplicando a Equação de Bernoulli no sentido do escoamento de (2) para (1), tomando como referência o ponto (1), temos:

2 2 22 2 1 1 1

2 1

2 22 21 11 1 1

v p v p vz z 30 0 0 0 29,6

2g 2g 19,62

v v30 29,6 0,4 v 0,4 19,62 v 7,848 v 2,80m / s

19,62 19,62

+ + = + + ⇔ + + = + +γ γ

− = ⇔ = ⇔ = × ⇔ = ∴ =

Mas sabemos que: 2D

Q v A e A4

π= ⋅ = e fazendo as devidas substituições isolando D temos:

D² 4Q 4QQ v D² D

4 v vπ = ⇒ = ∴ = π π

. Substituindo os valores:

4Q 4 0,028D D m D 0,113 m

v 3,14 2,8×= ⇔ = ∴ =

π ×

9. A água escoa através de um conduto de raio r = 0,3 m. Em cada ponto da seção transversal do conduto, a velocidade é definida por v = 1,8 – 20 x², sendo x a distância do referido ponto ao centro O da seção (veja a figura abaixo). Calcular a vazão.



Solução:

Na coroas circular (figura acima), de área elementar dA, estão os pontos que distam x do centro. Assim, podemos escrever:

dA 2 xdx= π (1)

Mas como cada ponto da coroa está submetido à velocidade v, temos:

dQ vdA= (2)

Fazendo as devidas substituições e integrando:

( )

( )

( )

0,3Q 0,3 4

0 0 0

2 4

dQ vdA dQ 1,8 20x² 2 xdx

1,8x² 20xdQ 2 1,8x 20x³ dx Q 6,28 m³ / s

2 4

Q 6,28 0,9 0,3 5 0,3 m³ / s Q 0,254 m³ / s

= ⇒ = − π

= π − ⇔ = −

= × − ∴ =

∫ ∫

g g

10. Considerar a água que escoa no sentido vertical descendente em um tubo cônico de 1,83 m de altura. As extremidades superior e inferior do tubo têm diâmetros de 100 mm e 50 mm, respectivamente, como mostra a figura abaixo. Se a vazão é de 23 l/s, determinar a diferença de pressão entre as extremidades do tubo.

Solução:

Vamos aplicar a Equação de Bernoulli no sentido indicado:



2 22 2 1 1

2 1

2 22 1 1 2

1 2

v p v pz z

2g 2g

p p v vz z (1)

2g 2g

+ + = + +γ γ

− = + − −γ γ

Mas pela Equação da Continuidade, podemos escrever:

( )

( )

1 1 2 222

11 1

222

2 1

Q v A v A , mas:

3,14 0,05DA m² A 0,00196 m²

4 4

3,14 0,10DA m² A 0,00784 m²

4 4

= ⋅ = ⋅

⋅π= = ∴ =

⋅π= = ∴ =

Substituindo:

1 1 2 2

11 2

2

1 1

2 2

Q A v A v 0,023 m³ / s

0,00196v 0,0230,00196v 0,00784v 0,023

0,00784v 0,023

0,023v m / s v 11,73 m / s

0,001960,023

v m / s v 2,93 m / s0,00784

= ⋅ = ⋅ =

== = ⇔ =

= ∴ =

= ∴ =

Substituindo os valores encontrados na Equação (1):

( ) ( )

2 22 1 1 2

1 2

2 22 1

2 1

2 12 1

2 1

p p v vz z

2g 2g

11,73 2,93p p0 1,83

19,62 19,62p p

7,01 0,438 1,83

p p4,74 p p 4,74 4,74 9,81 kPa

p p 46,50 kPa

− = + − −γ γ

− = + − −γ γ

− = − −γ γ

− = ⇔ − = γ = ×γ γ

− =

11. A água escoa através de uma turbina. A vazão é de 0,214 m³/s e as pressões em A e B são, respectivamente, 147,5 kPa e – 34,5 kPa. Determinar a potência fornecida à turbina pela água.



Solução:


2 2 2 2A A B B A A B B


Z h Z h Z Z (1)2g 2g 2g 2g

+ + − = + + ∴ = + + − + +γ γ γ γ

Mas:

( )

( )

2 2A A

A A B B A B

A A

B B

D DQ v S v .S Q v v 0,214

4 44 0,214

v m / s v 3,03 m / s3,14 0,3 ²

4 0,214v m / s v 0,757 m / s

3,14 0,6 ²

π π= ⋅ = ⇔ = ⋅ = ⋅ =

×= ∴ =×

×= ∴ =×

Substituindo os valores em (1):

( )

2 2A A B B

T A B

T

T T

v p v ph Z Z

2g 2g

34,53,03² 147,5 0,757²h 1 0

19,62 9,81 19,62 9,81h 1 0,468 15,04 3,52 0,0292 h 20 m

= + + − + + γ γ

−= + + − − −

= + + + − ∴ =

A potência é dada pela expressão:

TP Qh P 9,81 0,214 20 kW P 41,99 kW= γ ⇔ = × × ∴ =

12. Para a turbina anterior, se forem extraídos 48,3 kW enquanto as pressões manométricas em A e B são, respectivamente, 141,3 kPa e – 33,1 kPa, qual será a vazão da água?

Solução:




2 2 2 2A A B B A A B B


Z h Z h Z Z (1)2g 2g 2g 2g

+ + − = + + ∴ = + + − + +γ γ γ γ

Mas:

( ) ( ) ( )

2 2A A

A A B B A B


D DQ v S v .S Q v v

4 40,6²

v D v D v 0,3 ² v 0,6 ² v v v 4v 20,3²

π π= ⋅ = ⇔ = ⋅ = ⋅

⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ = ∴ =


( ) ( )

2 2A A B B

T A B

B BT

22B B

T T B

v p v ph Z Z

2g 2g

4v ² 33,1v ²141,3h 1 0

19,62 9,81 19,62 9,81

16v v ²h 1 14,40 3,37 h 18,77 0,764v (3)

19,62 19,62

= + + − + + γ γ

−= + + − − −

= + + + − ∴ = +


T T

2B

B T B T B T

T TB B

P Qh 48,3 9,81 Q h

D 3,14 0,6²V h 4,92 V h 4,92 0,283v h 4,92

4 4

4,92 17,38h h (4)

0,283v v

= γ ⇔ = × ×

π × × = ⇔ × = ⇔ ⋅ =

= ∴ =


( )( )

2 3B B B

B3B B

3B

3B

17,3818,77 0,764v 0,764v 18,77v 17,38 0

v

v 24,57v 22,75 (5)

Por tentativas:

v 0,91 m / s 0,91 24,75 0,91 22,75 23,28 22,75

v 0,80 m / s 0,80 24,75 0,80 22,75 20,31 22,75

+ = ⇔ + − =

+ =

= ⇒ + × ≠ ∴ ≠

= ⇒ + × ≠ ∴ ≠

( )( )

3B B

B

B

B

v 24,57v 22,75

v 0,86m / s 0,86 ³ 24,57 0,86 22,75 21,92 22,75

v 0,89m / s 0,89 ³ 24,57 0,89 22,75 22,73 22,75

v 0,89 m / s

+ =

= ⇒ + × ≠ ∴ ≠

= ⇒ + × ≅ ∴ ≠

∴ =



B Av 0,89m / s v 3,56 m / s= ⇒ =

2 2A

A A AD 3,14 0,3

Q v S Q v 3,56 m³ / s Q 0,252m³ / s4 4

π ×= ⋅ ⇔ = ⋅ = × ∴ =

OBS.: Utilizando O Maple 7.0

> solve(x^3+24.57*x-22.75=0);

, , − -.4482957161 5.017260921 I + -.4482957161 5.017260921 I .8965914322

B Av 0,8966m / s v 3,5864 m / s= ⇒ =

2 2A

A A AD 3,14 0,3

Q v S Q v 3,5864 m³ / s Q 0,253m³ / s4 4

π ×= ⋅ ⇔ = ⋅ = × ∴ =

13. A altura de carga utilizada pela turbina é de 61 m e a pressão em T é de 501 kPa. Para as perdas de 2610v

22g

entre W e R e 2305v

32g

entre C e T, determine: a) a vazão da água; b) a carga de pressão em R; c) traçar a linha

energética.

Solução:

A linha energética em T está a 2305 T

Tv p

z2g

+ + γ

e é bem acima da cota de W, logo a água fluirá de T para W.

a) a Vazão da água

Vamos aplicar a Equação de Bernoulli de T para W, com referência D-D



2 2 2 2305 610 305T w W

T T W

610 305 305 610

v v vp p vZ 2 3 h z (1)

2g 2g 2g 2g

mas :D 2 D v 4 v (2)

+ + − + − = + + γ γ

= ⋅ ⇒ = ⋅

Substituindo os dados em (1) e levando em consideração (2), temos:

( )

2 2 2 2305 610 305T w W

T T W

2 2305 610

22 2610 610

2 2 2610 610 610

v v vp p vZ 2 3 h z

2g 2g 2g 2g

v v50176 2 2 61 46 desp 0

19,62 9,81 19,62

4v v76 2 51,07 2 61 46

19,62 19,62

16v v 17v127,07 61 46 127,07 61

9,81 9,81 9,81

+ + − + − = + + γ γ

− + − − = + +

− + − − =

− − − = ⇔ = − −

2 2 2610 610 610 610

46

20,071,733v 20,07 v v 11,58 v 3,40 m / s

1,733= ⇔ = ⇔ = ∴ =

305 305 610 610

2610

610 610 610

2

Q v S v S

DQ v S Q v

4

3,14 0,610Q 3,40 m³ / s Q 0,993 m³ / s

4

= ⋅ = ⋅

π= ⋅ ⇔ = ⋅

×= × ∴ =



b) Vamos aplicar a Equação de Bernoulli entre T e R, com referência R:

2 2 2305 305T R R

T T R

610 305 305 610

v vp p vZ 3 h z (1)

2g 2g 2gmas :D 2 D v 4 v (2)

+ + − − = + +γ γ

= ⋅ ⇒ = ⋅

( ) ( )

2 2 2305 305T R R

T T R

610 305

2 2305R T R

T T R

2 2R

R R

v vp p vZ 3 h z

2g 2g 2gv 3,40 m / s v 13,6 m / s

vp p vz 2 h z

2g 2g

13,6 3,40p 50176 61 30

9,81 9,81 19,62p p

76 51,07 18,85 91 0,589 16,63 m

+ + − − = + +γ γ

= ⇒ =

= + − − − −γ γ

= + − − − −γ

= + − − − ∴ =γ γ

c) Linha Energética e Linha Piezométrica

1º) Linha Energética em T

2 2305 T

T T T Tv p 13,6 501

EE z 76 EE 76 9,43 51,07 EE 136,5 m2g 19,62 9,81

= + + = + + ⇔ = + + ∴ =γ

2º) Linha Energética em C

2 2305

C T Cv 13,6

EE EE 3 EE 136,5 3 136,5 28,3 108,2 m2g 19,62

= − ⇔ = − × = − =

3º) Linha Energética em R

R C T REE EE h 108,2 61 47,2 m EE 47,2 m= − = − = ∴ =

4º) Linha Energética em W

2 2610

W R Wv 3,40

EE EE 2 47,2 2 47,2 1,2 46 m EE 46 m2g 19,62

= − = − × = − = ∴ =



14. De uma caixa d’água sai um tubo horizontal com diâmetro D1 = 200 mm e pequeno comprimento. Logo após a saída, o tubo reduz seu diâmetro para D2 = 75 mm e jorra a água na atmosfera, com vazão Q = 32 l/s. Considere as perdas de energia igual a 15% da carga cinética do jato. Determine:

a) a carga de pressão no início de D1.

b) a carga total He.

c) a potência da corrente líquida.

Solução:

a) A carga de pressão no início de D1.

Aplicando a Equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2:



1Z2 21 1 2

2v p v

0,15 Z2g 2g

+ + − =γ

22 2v p

2g+ +

γ

( )2 2 2 2 2

1 2 2 1 1 2 1p v v v p v v0,15 1,15 I

2g 2g 2g 2g 2g= + − ∴ = −

γ γ

( )

( )

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1

223 2 21

1 1 1

1 1 1 1 1

2 2

223 22

2 2 2

Mas :Q v A v A Q v A e Q v A

Q v A

Substituindo :

0,2DQ 0,032 m / s A A m A 0,0314 m

4 40,032

Q v A 0,032 v 0,0314 v m / s v 1,02 m / s0,0314

eQ v A

Substituindo :

0,075DQ 0,032 m / s A A m A 0

4 4

= = ⇔ = ==

ππ= = ⇔ = ∴ =

= ⇔ = × ⇔ = ∴ =

=

ππ= = ⇔ = ∴ = 2

2 2 2 2 2

,00442 m

0,032Q v A 0,032 v 0,00442 v m / s v 7,24 m / s

0,00442= ⇔ = × ⇔ = ∴ =

Substituindo em (I):

( ) ( )2 22 21 2 1 1 1 17,24 1,02p v v p p p

1,15 1,15 m 3,07 0,053 m 3,017 m2g 2g 19,62 19,62

= − ⇔ = × − ⇔ = − ∴ =γ γ γ γ

b) A carga total He.

Aplicando a Equação de Bernoulli entre 3 e 2, referência em 2:



2 2 23 3 2 2 2

3 2

23

e

v p v v pZ 0,15 Z

2g 2g 2g

vH

2g

+ + − = + +γ γ

+ 3p+

γ

22

2v

0,15 Z2g

− =22 2v p

2g+ +

γ

( )

2 2 22 2 2

e e

222

e e e

v v vH 0,15 H 1,15

2g 2g 2gSubstituindo :

7,24vH 1,15 H 1,15 m H 3,07 m

2g 19,62

= + ∴ =

= ⇔ = × ∴ =

c) A potência da corrente líquida.

ot e

ot ot

P QH

Substituindo :P 9,81 0,032 3,07 kW P 0,964 kW

= γ

= × × ∴ =

15. A bomba E eleva a água entre os reservatórios R1 e R2. O eixo da bomba está situado 5,0 m acima da superfície livre de R1, ponto A. No ponto final do sistema elevatório (a 50,2 m acima do eixo E), a água descarrega na atmosfera. Há o desnível d = 20 cm entre o eixo (entrada) da bomba e a sua saída (ponto C). São dados:

( )( )

( )

( )

2C

2

AC

2

CF

3água

D 200 mm diâmetros das tubulações

p 5,45 kgf / cm pressão em C

vh 6 perda contínua na tubulação AC

2g

vh 4 perda contínua na tubulação CF

2g

1000 kgf /m

=

=

∆ =

∆ =

γ =

a) Esquematize o sistema

b) Determine a potência da bomba

c) Determine a vazão da água

Solução:

a) Esquematize o sistema



Aplicando a Equação de Bernoulli entre C e F, referência em C:

22C C F F

C F

C

v p v pvZ 4 Z

2g 2g 2g

Z

+ + − = + +γ γ

20 v2g

+2 254500 v v

4 501000 2g 2g

+ − = + Fp+

γ

0

2 2 22

2

v v 2v 4,5g54,5 4 50 4 50 54,5 4,5 v

2g 2g g 24,5 9,81

v v 4,70 m / s2

− = ⇔ − = − ⇔ = ⇔ =

×= ∴ =

Aplicando a Equação de Bernoulli entre A e C, referência em A:

( )

22C cA A

A B C

2

B A

v pv p vZ 4 h Z

2g 2g 2g

4,70 54500h 5,2 Z

19,62 1000

+ + − + = + +γ γ

= + + +0 Av

2g+

0Ap

+γ

( ) 20

B B

4,704

19,62

h 5,2 1,126 54,5 4,5 h 65,3 m

+ ×

= + + + ∴ =



b) Potência da Bomba

( )

2

ot B ot B

22

ot B ot ot

ot ot

DP Qh P vh

4Substituindo :

0,2DP vh P 1000 4,70 65,3 kgf m / s P 9642 kgf m / s

4 4ou

9642P cv P 128,56 cv

75

π= γ ⇔ = γ

ππ= γ ⇔ = × × × ⋅ ∴ = ⋅

= ∴ =

c) Vazão da Água

( ) 223 30,2D

Q vA Q v Q 4,70 m / s Q 0,1476 m / s4 4

ππ= ⇔ = ⇔ = × ∴ =

16. Foram extraídos 51,2 kW de uma turbina, mantida as pressões manométricas em A e em B iguais a 144,4 kPa e

-34,6 kPa, respectivamente. Considere os diâmetros AD 150 mm= e B AD 3 D= ⋅ . Determine a vazão da água.

Solução:

Dados:

A

B

A

B A

P 51,2 kWp 144,4 kPa

p 34,6 kPa

D 150 mm 0,150m

D 3 D 3 150 mm 450 mm 0,450 m

=== −= == ⋅ = ⋅ = =




2 2 2 2A A B B A A B B


Z h Z h Z Z (1)2g 2g 2g 2g

+ + − = + + ∴ = + + − + +γ γ γ γ

Mas:

( ) ( ) ( )

2 2A A

A A B B A B


D DQ v S v .S Q v v

4 40,450²

v D v D v 0,150 ² v 0,450 ² v v v 9v 20,150²

π π= ⋅ = ⇔ = ⋅ = ⋅

⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ = ∴ =


( ) ( )

2 2A A B B

T A B

B BT

22B B

T T B

v p v ph Z Z

2g 2g

9v ² 34,6v ²144,4h 1 0

19,62 9,81 19,62 9,81

81v v ²h 1 14,72 3,53 h 19,25 4,08v (3)

19,62 19,62

= + + − + + γ γ

−= + + − − −

= + + + − ∴ = +


T T

2B

B T B T B T

T TB B

P Qh 51,3 9,81 Q h

D 3,14 0,450²V h 5,23 V h 5,23 0,0,159v h 5,23

4 4

5,23 32,89h h (4)

0,159v v

= γ ⇔ = × ×

π × × = ⇔ × = ⇔ ⋅ =

= ∴ =


( )( )( )

2 3B B B

B3B B

3B

3B

3B

32,8919,25 4,08v 4,08v 19,25v 32,89 0

v

v 4,718v 8,061 (5)

Por tentativas:

v 1,2 m / s 1,20 4,718 1,20 8,061 7,3896 8,061

v 1,25 m / s 1,25 4,718 1,25 8,061 7,8506 8,061

v 1,30 m / s 1,30 4,718 1,30 8

+ = ⇔ + − =

+ =

= ⇒ + × ≠ ∴ <

= ⇒ + × ≠ ∴ <

= ⇒ + × ≠

( )( )( )

3B

3B

3B

,061 8,3304 8,061

v 1,28 m / s 1,28 4,718 1,28 8,061 8,1362 8,061

v 1,26 m / s 1,26 4,718 1,26 8,061 7,9450 8,061

v 1,27 m / s 1,27 4,718 1,27 8,061 8,040 8,061

∴ >

= ⇒ + × ≠ ∴ >

= ⇒ + × ≠ ∴ <

= ⇒ + × ≠ ∴ ≠

∴ B Av 1,27m / s v 11,43 m / s= ⇒ =



2 2B

A A BD 3,14 0,450

Q v S Q v 1,27 m³ / s Q 0,0908m³ / s Q 90,8 l / s4 4

π ×= ⋅ ⇔ = ⋅ = × ∴ = ∴ =

17. Um tubo de 150 mm transporta 81,3 l/s de água. Este se bifurca em um tubo de 50 mm de diâmetro e em outro de 100 mm de diâmetro. Se a velocidade no tubo de 50 mm é de 12,2 m/s, qual é a velocidade no tubo de 100 mm?

Solução:

Dados:

3150

150

50

50

100

100

Q 81,3 l / s 0,0813 m / s

D 150 mm 0,150 m

D 50 mm 0,050 m

V 12,2 m / s

D 100 mm 0,100 m

V ?

= == =

= ==

= ==

Vazão no tubo de 50 mm:

( )

3150

50

50

223 350

50 50 50 50

Q 81,3 l / s 0,0813 m / s

D 50 mm 0,050 m

V 12,2 m / s

Mas :

0,050DQ V Q 12,2 m / s Q 0,02356 m / s

4 4

= == ==

π ×π = × ⇔ = × ∴ =

Vazão no tubo de 100 mm:

3150

350

150 50 100 100 150 50

3 3100 150 50 100 100

Q 81,3 l / s 0,0813 m / s

e

Q 0,02356 m / s

Logo :Q Q Q Q Q Q

Substituindo :

Q Q Q Q 0,0813 0,02356 m / s Q 0,05774 m / s

= =

=

= + ∴ = −

= − ⇔ = − ∴ =

Velocidade no tubo de 100 mm:



( )

3100

100 100100 1002 2

100 100

100100 100 1002 2

100

Q 0,05774 m / s

Assim:

Q 4QV V

D D4

Substituindo :4Q 4 0,05774

V V m / s V 7,35 m / sD 0,100

=

= ⇔ =π π

×= ⇔ = ∴ =π π ×

18. Em um tubo curvado tipo S, tem-se os pontos 1 (cota 124,35 m) e 2 (cota 131,78 m). No ponto 1 tem-se uma pressão de 2,29 kgf/cm², com diâmetro 25% maior que em 2. Na extremidade 2, com diâmetro D2 = 100 mm, a água é descarregada na atmosfera com uma vazão de 23,56 l/s. Calcular a perda de carga entre os pontos 1 e 2.

(Dado: 3água 1000 kgf /mγ = ).

Solução:

Dados:

( )

1

12 2

1

2

2

2

3

Z 124,35 m

D 125 mm 0,125 m

p 2,29 kgf / cm 22900 kgf /m

Z 131,78 m

D 100 mm 0,100 m

p 0 atmosfera

Q 23,56 l / s 0,02356 m / s

== =

= === =

=

= =

Observe a figura a seguir:

Aplicando a Equação de Bernoulli de 1 para 2:



( )

2 21 1 2 2

1 2

1

1

2 21

2

2

2

2 21 1 2 2

1 2

v p v pZ h Z

2g 2gSubstituindo :Z 124,35 m

D 125 mm 0,125 m

p 2,29 kgf / cm 22900 kgf /m

Z 131,78 m

D 100 mm 0,100 m

p 0 atmosfera

v p v pZ h Z

2g 2g

+ + − ∆ = + +γ γ

== =

= === =

=

+ + − ∆ = + +γ γ

( )

( )

0

2 2 2 21 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2

1 1 2 2

3

1 12 21

v v v v22900124,35 h 131,78 124,35 22,9 h 131,78

2g 1000 2g 2g 2g

v v v vh 124,35 22,9 131,78 h 15,47 I

2g 2g 2g 2gMas :Q V A V A

Onde :

Q 0,02356 m / sAssim:

4Q 4 0,02356V V m /

D 0,15

+ + − ∆ = + ⇔ + + − ∆ = +

∆ = + + − − ⇔ ∆ = + −

= ⋅ = ⋅

=

×= ⇔ =π π ×

( )

1

2 2 12 22

s V 1,92 m / s

e4Q 4 0,02356

V V m / s V 3,00 m / sD 0,10

∴ =

×= ⇔ = ∴ =π π ×

Substituindo essas velocidades na equação (I):

( )

2 21 2

21 2

22 2 21 2

v vh 15,47

2g 2gOnde :

V 1,92 m / s V 3,00 m / s g 9,81 m / s

1,92v v 3h 15,47 h 15,47

2g 2g 2 9,81 2 9,81h 15,47 0,188 0,459 m h 15,2 m

∆ = + −

= = =

∆ = + − ⇔ ∆ = + −× ×

∆ = + − ∴ ∆ =


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