Fenómenos de Transporte

CONDUCCION EN ESTADO NO PERMANENTE

Transitorios

Importancia

Cambios continuos de las condiciones de

contorno

Ejemplos:

•Tratamientos térmicos en la industria siderúrgica

•Tratamientos de conservación en la industria alimenticia

Se debe plantear la ecuación de energía sobre el sólido en estudio:

( ) ( ) ( ) VGvvPqvUUt

&+∇−∇−∇−∇−=∂∂

:ˆˆ· τρρ

Dra. Larrondo - Ing. Grosso – Año 2013 Semana 8 - 1

Si se trata de un sólido de propiedades constantes y sin generacióninterna de calor:

Tkt

TC 2··· ∇=

∂∂ρ

Ecuación de calor

ó

2° ec. De Fourier

Tt

T 2·∇=∂∂ α

Ahora, existe más de una variable independiente (xi , t), lo que implicala resolución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

Será necesario plantear: - 1 condición inicial

- 2 condiciones de contorno

Esta ecuación se suele trabajar en forma adimensional, para lo cual sedebe adimensionalizar las variables representativas de este tipo deproblemas.


Adimensionalización de las variables representativas:

Las variables representativas de este problema son:

•Temperatura (T)

•Posición (xi)

•Tiempo (t)

Temperatura adimensional:

Posición adimensional:

Tiempo adimensional: su expresión surge al reemplazar estas variablesadimensionales en la ecuación de calor

( ) θθ

−−=

0

*

T

TT

C

ii L

xx =*


Adimensionalización de la ecuación de calor:

Reemplazando las nuevas variables en la ecuación adimensionalqueda:

( )( ) ( )( ) *2*2

0*

0 ··· TL

T

t

TT

C

∇−

=∂

∂−θ

αθ

*2*2

*

· TLt

T

C

∇=∂

∂ α

Sólo resta adimensionalizar la variable t

tiempo

1

⇒ sitLC

12 =

αel tiempo adimensional será: 2

·

CL

tFo

α=


5

*2**

TFo

T ∇=∂∂

Ya estamos en condiciones de estudiar un ejemplo práctico. Vamos acomenzar con una geometría simple, por lo tanto vamos a consideraruna placa plana sólida que ocupa el espacio entre y=-b e y=b

Adimensionalización de la ecuación de calor:

0=t 0>t

zyx

TT

,,0

∀= θ>0T


6

Consideraciones: 1. Sólido de propiedades constantes

2. Se conoce el coeficiente de convección (h)

3. 2b << H, W

4. No se alcanzó el EE

0=t 0>t

y

TT

∀= 0 θ>0T

zyx

TT

,,0

∀=

Aplicando estas consideraciones el problema se reduce a un sistemaunidimensional de transferencia de calor


Objetivo: nuestro objetivo será hallarcomo varía el perfil de temperaturasdentro del sólido con la posición y eltiempo.

Para esto, primero vamos a analizar quepasa en las superficies expuestas alfluido

Análisis sobre la superficie y=b para un tiempo t>0:

Podemos considerar quela energía se conserva enesta superficie:

SALEENTRA EE =⇒


( )θ−=∂∂−

=SUP

by

Thy

Tk ··

Si aplicamos las variables adimensionales recién definidas sobre estaecuación nos queda:

( )( ) ( )θθ

−=∂∂−

−=

SUP

yC

Thy

T

L

Tk ···

1

*

*0

*

( )( )( )θ

θ−−=

∂∂−

= 01

*

*

·* T

T

k

hL

y

T SUPC

y

Bi

La conservación de la energíasobre la superficie la podemosexpresar como:



Entonces, llegamos a lasiguiente expresión:

Por lo tanto, el valor del número de Biotnos podría dar una idea de la magnituddel gradiente de temperaturasestablecido en el sólido.

Si Bi → 0 podríamos decir que latemperatura será uniforme en el sólido(resistencia interna despreciable)

En la práctica despreciaremos laresistencia interna cuando Bi<0,1

( )*

1

*

*

·*

SUP

y

TBiy

T =∂∂−

=



Si Bi < 0,1 ⇒ - la temperatura será uniforme

- la derivada temporal también lo será

Resolución para el caso Bi<0,1: Resistencia interna despreciable

SISTEMAS UNIDIMENSIONALES

⇒ ∫∫ ∇=∂∂

CC VV

dVTdVt

T··· 2α

∫∫ ∇=∂∂

CC SV

dSTdVt

T·ˆ··· nα

∫∫ −=∂∂

C

C

C S

S

V

dSk

qdV

t

T·ˆ··· nα

( )txT ,f≠⇒ , la temperatura sólo será función del tiempo → ( )tT


Sk

qV

t

TCS ··· α−=

∂∂

( )( )S

k

ThV

t

T t ··

··θ

α−

−=∂∂

( )( )V

S

k

Th

t

T t ··

·θ

α−

−=∂∂

Por último, vamos a introducir las variables adimensionales reciéndefinidas sobre esta ecuación.

( ) θθ

−−=

0

*

T

TT

C

ii L

xx =*

2

·

CL

tFo

α=




( )( ) ( )( )V

S

k

Th

Fo

T

L

T t

C

··

··*

2

0 θα

α

θ −−=

∂∂−

Adimensionalización:

**

··

··

TV

LS

k

Lh

Fo

T CC

−=∂∂

**

·· TNBiFo

T −=∂∂

Factor de forma (N)

Para esferas N = 3

Esta ecuación se integra con la siguiente condición inicial:

10 * =→= TFo




Si se resuelve la integral se obtiene la expresión que describe lavariación temporal de la temperatura dentro del sólido:

FoNBieT ··* −=

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

0 2 4 6 8 10 12

Bi·N·Fo

T*




Ahora, la temperatura además de variar en el tiempo tiene unafuerte dependencia con la posición

( )txT ,f=⇒

En este caso, se debe resolver la ecuación adimensional de calorempleando alguno de los siguientes métodos de:

- Separación de variables

- Transformada de Laplace

- Combinación de Variables

- Respuesta sinusoidal

Resolución para el caso Bi>0,1: Caso general



Se debe resolver la ecuación de calor, que para simplificar suresolución se la plantea de forma adimensional.

Después, se debe tener en cuenta cual será la condición inicialapropiada para este caso y cuales serán las condiciones de contorno.

Como se sabe, inicialmente el sólido se encuentra a una temperaturaconstante y uniforme T0. Por lo tanto podríamos decir:

Por otra parte, si tenemos en cuenta el análisis hecho anteriormente,en ambas superficies podríamos plantear la conservación de laenergía.

yTTt ∀=→= 00




Finalmente, nos resta considerar el hecho de que la transferencia decalor en la placa es simétrica respecto al origen de coordenadas.

Esto implica una condición decontorno más, que se planteacomo:

000

*

**

*

=∂∂→=

=yy

Ty

En otras palabras, estamosdiciendo que la función T* essimétrica:

( ) ( )*

,

*

, ** FoyFoyTT

−=




La ecuación a resolver es: *2**

TFo

T ∇=∂∂

C.I.:

C.C.:

** 10 yTFo ∀=→=

( )

( )

−=∂∂→=

=∂∂→=

=∂∂→−=>

=

=

−−=

*,1

1

*

**

0

*

**

*,1

1

*

**

·1

00

·10

*

*

*

Fo

y

y

Fo

y

TBiy

Ty

y

Ty

TBiy

TyFo




Para resolver la ecuación de calor por el método de separación devariables postulamos que se obtendrá una solución del tipo:

( ) ( ) ( )FoyFoyT ·gf **

*

,=

Si reemplazamos en la ecuación de calor llegamos a:

( )( )

( )( )2*

2*

*

f·g

g·f

yFoy

FoFo

y ∂

∂=

∂∂

Si reordenamos

( )

( )

( )( )2*

2*

*

f·

f

1g·

g

1

yFoy

y

Fo

Fo ∂

∂=

∂∂ Esta igualdad se cumplirá

solo si ambos términosson igual a una constante

Función de Fo Función de y*




Por simplicidad, esta constante se denominará

De esta forma, obtenemos dos ecuaciones diferenciales ordinarias:

( )( )*

*

·ff

22*

2

y

y

yλ−=

∂

∂

Las soluciones a estas ecuaciones son:

2λ−

( )( )Fo

Fo

Fo·g

g 2λ−=∂

∂

( ) ( )

( ) ( ) ( )

+=

−=

**

2

··cos··f

··expg

* yCysenB

FoA

y

Fo

λλ

λA, B y C constantes deintegración




Ahora, deberíamos aplicar las condiciones de contorno paradeterminar el valor de las constantes A, B y C.

De la condición para y*=0, que establece la simetría de respecto alorigen se desprende que:



0=B ← ya que la función seno no es simétrica

Si empleamos cualquiera de las dos condiciones en las superficiesexpuestas al fluido llegamos a la siguiente expresión:

Por ejemplo para ( )*,1

1

*

** ·1

*

Fo

y

TBiy

Ty −=

∂∂→=

=


Ahora, deberíamos aplicar las condiciones de contorno paradeterminar el valor de las constantes A, B y C.



Entonces llegamos a: ( )λλ·tan=Bi

( ) ( )( ) ( ) ( )Fo

y

FoyBi

y·g·f·gf 1

1*

*

* −=∂∂

=

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1

*

1

***

cos·gg==

−=−yFoyFo yCBiysenC λλλ

( ) ( ) ( ) ( )λλλ cos·g··g· FoFo CBisenC −=−


Si graficamos esta última ecuación vemos que esta igualdad secumple para muchos valores de λ



( )λλ·tan=Bi


Por lo tanto, podemos reescribir esta ecuación de la forma:



( )nnBi λλ ·tan= donde representa todas las raíces

positivas de esta ecuaciónn

Finalmente, el perfil de temperaturas puede escribirse empleando lasfunciones f y g:

( ) ( ) ( )*2*

,··cos··exp·* yFoCAT nnnnFoy

λλ−=

( ) ( ) ( )FoyFoyT ·gf **

*

,=

Nuevamente, el subíndice indica que A y C pueden tomar distintos

valores para cada valor de .nn


Sin embargo, esta última expresión puede ser expresada como unasumatoria infinita:



( ) ( ) ( )∑∞

=

−=1

*2*

,··cos··exp*

nnnnFoy

yFoDT λλ

En esta expresión sólo resta determinar los posibles valores para laconstante D. Esto lo podemos hacer empleando la condición inicial:

** 10 yTFo ∀=→=

( )∑∞

=

=1

*·cos1n

nn yD λ⇒


Como se cumple que la función T*(y*,Fo=0) es una función ortogonal, sepuede determinar el valor de la constante Dn:



( )( )nn

nn sen

senD

λλλ

·2·2

·4

+=


Entonces, llegamos a la solución que buscábamos



( ) ( ) ( )∑∞

=

−=1

*2*

,··cos··exp*

nnnnFoy

yFoDT λλ

A esta expresión se la suele denominar solución exacta o generaldebido a que implica el uso de los n valores de la sumatoria infinita.Sin embargo, vamos a ver si existe algún caso en que no seanecesario emplear todos los valores.

( )( )nn

nn sen

senD

λλλ

·2·2

·4

+=con ( )nnBi λλ ·tan=


Vamos a centrar nuestro análisis para el centro de la placa



( ) ( )∑∞

=

−=1

2*,0 ··exp

nnnFo FoDT λ

Gráfico para y*=0,

con Bi=0,1

Como se puede ver, la

temperatura del centro de

la placa sólo depende de

Fo y Bi

T*


Gráfico en función de Fo para Bi=0,1 considerando distintos términosen la sumatoria:



0.95

0.97

0.99

1.01

1.03

1.05

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Fo

θθ θθ (y

*=0)

1º 1º y 2º 1º al 3º 1º al 4º

Este gráfico demuestra

que la sumatoria

converge rápidamente

para Fo>0,2 y alcanza

con tomar sólo el primer

término para valores

altos de Fo.

T*


De este último gráfico se desprende la denominada soluciónaproximada, que sólo considera el primer valor de la sumatoria parahallar el perfil de temperatura en el sólido:



Solución aproximada: Fo > 0,2

( ) ( ) ( )*1

211

*

,··cos··exp* yFoDT

Foyλλ−=

( )( )11

11 ·2·2

·4

λλλ

sen

senD

+=con ( )11·tanλλ=Bi

Para otras simetrías también se podrá usa una solución aproximadacuando el número de Fourier es mayor que 0,2


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-1 -0.5 0 0.5 1y*

θθ θθ (y

*,F

o)

Bi=0,01 Bi=0,1 Bi=1 Bi=10

Gráfico en función de y* para Fo=1, considerando distintos valoresdel número de Bi:



T*


Gráficos de Gurney-Lurie: estas soluciones gráficas son para Fo>0,2,es decir, son gráficas de la solución aproximada.

Se definen las siguientes variables:

Se grafica Y en función de X empleando escala logarítmica

Soluciones Gráficas: para Bi > 0,1SISTEMAS UNIDIMENSIONALES

0TT

TTY

−−=

∞

∞

C

i

L

xn =2

·

CL

tX

α=CLh

km

·=


Gráficos de Gurney-Lurie:



Gráficos de la temperatura del plano central:


( ) ( )∑∞

=

−=1

2*,0 ··exp

nnnFo FoDT λ


El calor perdido durante un periodo de tiempo t se puede aproximarpor la siguiente expresión:

Calcula aproximado del calor total perdido por el volumen Vde pared desde t=0 hasta un tiempo t: Fo>0,2


( )( )dVTTCQV

tyP ··· 0,∫ −−= ρ

Si introducimos la temperatura adimensional nos queda:

( )( )( )dVTTTCQV

FoyP ··· 00*

,*∫ −+−−= θθρ

Reordenando llegamos a:


Si seguimos reordenando la expresión queda:



( ) ( )( )dVTTCQV

FoyP ·1·· *

,0 *∫ −−= θρ

Ahora, aproximamos el término por:( )( )*

,*1Foy

T−

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )*

1*

,0*

,

*1

211

*

,

··cos11

··cos··exp11

*

*

yTT

yFoDT

FoFoy

Foy

λ

λλ

−=−

−−=−


Por otra parte, el diferencial de volumen lo podemos expresar como:



*····2·2·· dyLWbdyLWdV ==

( ) ( ) ( )( )dVyTTCQV

FoP ···cos1·· *1

*,00 ∫ −−= λθρ

Entonces, la integral queda:

( )( )

( )∫

−=⇒

1

0

**1*

,0

*,00 ··cos

1· dyy

TTQQ

FoFo λ

con ( )θρ −= 00 ·····2 TCLWbQ PDra. Larrondo - Ing. Grosso – Año 2013 Semana 8 - 36



El calor transferido es:

( )( )

( )

−=

1

1*

,0

*,00

1··

λλsen

TTQQ

FoFo


Modelo del sólido semi-infinito: Temperatura superficial constante

Este tipo de geometría es otra para la cual se pueden obtenersoluciones analíticas.

Estos tipos de sólidos se extienden hasta el infinito en todas susdirecciones excepto una, por lo tanto, se caracterizan por tener unasuperficie identificable.

Entonces, si se impone un cambio súbito en las condiciones de estasuperficie, ocurrirá una conducción unidimensional dentro del sólido.

Casos prácticos

Transferencia de calorcerca de la superficiede la tierra

Respuesta transitorioinicial de un sólidofinito


La ecuación de energía para este sistema queda:

2

2

x

T

t

T

∂∂=

∂∂ α

C.I.:

C.C.:

xTTt ∀=→= 00

0

00

TTx

TTxt S

=→∞→=→=

>

Como condición inicial y de contorno se plantea:


Para resolver esta ecuación también se recurre a su adimensionalización,pero en este caso no existe una longitud característica.


Para la temperatura adimensional se propone:


0

0*

TT

TTT

S −−=

Sabiendo que la posición y el tiempo son dos variablesindependientes, se define una variable de similitud η que incluye lasdos primeras:

[ ]Tiempo

Longitud 2

=α ⇒t

x

⋅=

αη

2

Ahora, ya se puede reemplazar estas nuevas variables en la ecuaciónde energía.


Los operadores diferenciales quedarán:


ηαη

η ∂∂

⋅=

∂∂

∂∂=

∂∂ T

tx

T

x

T

4

1

2

2

2

2

4

1

ηαη

η ∂∂

⋅=

∂∂

∂∂

∂∂=

∂∂ T

txx

T

x

T

ηαη

η ∂∂

⋅−=

∂∂

∂∂=

∂∂ T

tt

x

t

T

t

T

42Reemplazando en la ecuación de energía:

ηη

η d

dT

d

Td2

2

2

−=Dra. Larrondo - Ing. Grosso – Año 2013 Semana 8 - 41

Con las nuevas variables, los condiciones de contorno se modificande la siguiente forma:


C.I.:

C.C.:

0* =→∞→ Tη

0

10*

*

=→∞→=→=

T

T

ηη

Si se considera una nueva variable ϕ, se obtiene una ecuación devariables separables:

ηϕ

d

dT= ⇒ ϕηηϕ ⋅−= 2

d

d


La solución a esta ecuación será:


( ) 12ln C+−= ηϕ

Reemplazando por la definición de la última variable considerada (ϕ):

2

2η

η−⋅= eC

d

dT

Aplicando las condiciones de contorno para este caso, la soluciónpara el perfil de temperatura se obtiene mediante la FunciónGaussiana de Error Complementaria (erf(η)):

( )ηυπ

ηυ erf1

21

0

* 2

−=⋅−= ∫− deT



La Función Gaussiana de Error tiene la siguiente representacióngráfica:

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

( )ηerf

η

( ) ∫−⋅=

ηυ υ

πη

0

22erf de

Esta función se encuentratabulada en muchos libros



La Función Gaussiana de Error:

Se desarrolla más del 99%del perfil adimensional detemperatura tx ⋅⋅= α22%99


Por lo tanto, el perfil de temperatura tendrá la siguiente forma siTS>T0:



El flujo de calor en la superficie se obtiene con la aplicación de la leyde Fourier en x = 0:


0=∂∂−=

xx x

Tkq

( ) ( )( )0

0 erf1=∂

∂−−−=η

ηηη xd

dTTkq Sx→

( )0

04

22

=

−

⋅−=

η

η

απ t

eTTkq Sx⇒

( )t

TTkq S

x ⋅⋅−=απ

0


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