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Transferencia de Momentum

1740-2

2014-02-18 6ª

2014-02-18

Contenido

1. Flux difusivo y flux convectivo…

2. Balance de una propiedad conservativa…

Sea la propiedad conservativa de interés

Flux difusivo de : D

1.- Transporte por difusión molecular de φ:

Flux convectivo de : C v

Flux de : v

Transporte por difusión molecular y por convección de φ:

Sea la concentración de

2.- Transporte por convección de φ:

Flux de : v

No se requiere definir a priori un Sistema Coordenado;

Postulados:

* Conservación: Las propiedades de interés son conservativas, lo cual

implica que no se crean ni se destruyen solo se transforman;

* Continuidad: Las propiedades conservativas son continuas en el

elemento de control.

Balance General de una Propiedad Conservativa ψ.

Enfoque Vectorial

Considere un elemento diferencial de control está fijo ↔ w = 0

dV

Principio de Conservación de φ en el EC:

Acumulación de

Rapidez entrada de por Difusión Rapidez salida de por Difusión

Rapidez entrada de por Convección Rapidez salida de por Convección

Rapidez de Transformación de

Acumulación de

Rapidez neta de transporte de por Difusión

Rapidez neta de transporte de por Convección

Rapidez de Transformación de

Balance General de una Propiedad Conservativa φ en el

elemento de control EC dV

Transporte por Difusión molecular

Flujo = (Flux)(Area Transversal)

Flux diferencial por difusión molecular:

Flujo diferencial por difusión: ndA

Flujo diferencial de entrada por difusión: ndA

Flux positivo

n y v tienen dirección diferente

Flujo diferencial de salida por difusión: ndA

n y v tienen la misma dirección

Area transversal de flujo : ndA

Flujo = rapidez entrada (o salida)

Difusión Molecular

Flujo total de entrada =

ENA

ndA

=

ENA

ndA =

ENA

n dA

Flujo total de salida =

SAA

ndA =

SAA

n dA

Flujo Neto total = Flujo total de entrada – Flujo total de salida

Flujo Neto total =

EN SAA A

n ndA dA

Flujo Neto total =

EN SAA A

n ndA dA

dV

Difusión Molecular

Área total del Elemento de Control = AEC = AEN+ASA

Flujo Neto total =

EN SAA A

n ndA dA

=

EN SAA A

n dA

Flujo Neto total por Difusión = ECA

n dA

flux

tiempo area

flujo flux area rapidez

tiempo

Rapidez Neta de Transporte por Difusión = ECA

n dA

RNTD = ECA

n dA

Transporte por Convección

Flujo = (Flux)(Area Transversal)

Flux por Convección = v

Flujo diferencial por Convección =v ndA

Flujo diferencial de Entrada por Convección n v dAv ndA

n y v tienen dirección diferente

n y v tienen la misma dirección

Area transversal de flujo : ndA

Flujo = rapidez entrada (o salida)

Flujo diferencial de Salida por Convección n v dAv ndA

Flujo diferencial Neto por Convección EN SAn v dA n v dA

dV

Convección

Flujo diferencial por Convección EN SAneto n v dA n v dA

Flujo total por Convección EN SA

EN SA

A A

neto n v dA n v dA

dV

Área total del Elemento de Control = AEC = AEN+ASA

Flujo total por Conveción = ECA

neto n v dA

flux

tiempo area

Rapidez Neta de transporte por Convección = ECA

n v dA

RNTC = ECA

n v dA

flujo flux area rapideztiempo

Acumulación

EC está fijo … v = v … w = 0

dV Acumulación es por definición :

d

dt

Acumulación de φ en un elemento diferencial: d

dVdt

concentracion de la propiedad conservativa

pc

L3

Cantidad de φ que tiene un elemento diferencial: dV

Acumulación de φ en todo el VC es:

C CV V

d d

dt dtdV dV

De acuerdo con el Teorema de Transporte, la Acumulación es:

( )

C C CV V A

ddV dV n w dA

dt t

Como el EC esta fijo (w = 0), la acumulación de la φ en todo el VC es:

Acumulación A

CV

dVt

dV

Acumulación en todo el es:

CV

dEC

dtdV

Rapidez de Transformacion diferencialG

dV

Rapidez de Transformacion total ... [RT]

C

G

V

dV

Rapidez de Transformación de la φ

Rapidez de Transformacion

Volumen G

dV

Al sustituir la expresión matemática de [A], [RND], [RNC], [RT] en la

ecuación de conservación de φ se tiene la expresión matemática

correspondiente:

C C C C

G

V A A V

dV ndA v ndA dVt

[RT] ...

C

G

V

dV

RNTD ... CA

ndA

[RNTC] ... CA

v ndA

[ [ [ [A] RNTD] RNTC] RT]

... [A]

CV

dVt

Como:

C C C C

G

V A A V

dV ndA v ndA dVt

Para tener la misma variable se aplica el Teorema de Divergencia:

C CA V

ndA dV

C CA V

v ndA v dV

Por lo tanto, la ecuación de transporte o balance de ψ queda:

tVC

dV VC

dV VC

vdV G

VC

dV

t v G

dV 0

VC

t v G

dV 0

VC

Esta ecuación se obtuvo considerando un elemento de control de

volumen finito, es decir que dV ≠ 0 ; por lo tanto, dicha igualdad se

cumple si y solo si:

Ecuación de transporte (balance) en términos de ψ

t v G

0

Acumulación

Transporte por Difusión Molecular

Transporte por Convección Transformación

Expresión diferencial (balance diferencial) del transporte de una

propiedad conservativa φ en términos de la concentración de dicha

propiedad ψ

Balance de masa total… Ecuación de Continuidad

Restricciones (características):

1. No hay transformación química;

2. No hay trasporte por difusión… un solo componente.

Acumulación de m

Transporte de m por Convección

3donde:

L

Como: 0Gvt

0vt

3En este caso:

mm

L

Sistema coordenado cartesiano

x y zv v v 0t x y z

Ecuación de continuidad: 0vt

r z

1 1r v v v 0

t r r r z

Ecuación de continuidad: 0vt

Sistema coordenado cilíndrico

Coordenadas esféricas

2

r2

1 1 1r v v sin v 0

t r r sin r sinr

Ecuación de continuidad: 0vt

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