7 Controladores Dominio Da Frequencia Newton Maruyama

Projeto de Controladores NoDomnio Da Freqncia

Newton Maruyama

Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 1/49

Compensao por avano de fase

Funo de Transferncia:

H(s) = Kc Ts + 1Ts + 1 = Kc

s + 1Ts + 1

T

(0 < < 1) (1)

zero: s = 1T

plo: s = 1T

0 < < 1 logo o zero sempre se encontra direitado plo


Grfico polar

A figura ilustra o grfico polar de:

H(j) = Kc jT + 1jT + 1 (0 < < 1) (2)

com Kc = 1


Maior ngulo de avano m

Para um dado valor de existe o maior valor dafase de H(j) que ocorre na freqncia m:

sinm =12

1+2

= 11+ (3)


Diagrama de Bode

A figura ilustra o diagrama de Bode para Kc = 1 e = 0.1

Freqncias de canto = 1Te = 1

T


Freqncia m

m a mdia geomtrica das frqncias de canto:

logm = 12

(log

1

T+ log 1

T

)(4)

Logo:

m = 1T

(5)


Um exemplo

Suponha um sistema com a seguinte funo detransferncia em malha aberta:

G(s) = 4s(s + 2) (6)

Deseja-se projetar um controlador Gc(s) tal que: A constante de erro de velocidade estticoKv = 20seg1

Margem de fase seja pelo menos = 50o Margem de ganho Kg > 10dB


Passo 1 - Ajuste de constante esttico

Considere:

Gc(s) = Kc Ts + 1Ts + 1 = Kc

s + 1Ts + 1

T

(0 < < 1) (7)

Defina K = Kc Logo:

Gc(s) = K Ts + 1Ts + 1 (8)


Passo 1 - continuao ...

A funo de transferncia do sistema compensadopode ser expresso como:

Gc(s)G(s) = K Ts + 1Ts + 1G(s) (9)

= Ts + 1Ts + 1KG(s) (10)

= Ts + 1Ts + 1G1(s) (11)

onde G1(s) = KG(s)


Passo 1: continuao ...

No sistema em questo:

G1(s) = KG(s) = 4Ks(s + 2) (12)

onde K = Kc Projete K para Kv = 20seg1

Kv = lims0

sGc(s)G(s) = lim s Ts + 1Ts + 1G1(s) (13)

= lims0

s4K

s(s + 2) = 2K = 20 K = 10 (14)(15)


Passo 2 - Margem de Fase do sistema G1(s)

Diagrama de Bode

G1(j) = 40j+ 2 =

20

j(0.5j+ 1) (16)



Da figura obtemos = 17o e Kg =


Passo 3 - ngulo m

A especificao pede que o sistema final tenha pelomenos = 50o

Ou seja, necessrio acrescentar 33o

Este ngulo adicional vai ser provido pelo mximongulo de avano do controlador Gc, m

Ou seja, faremos com que m coincida com afreqncia de crossover g

Entretanto a freqncia de crossover final nopermanece no mesmo local devido ao mdulo deGc(s). Dessa forma, introduz-se aqui um fator decorreo de 5o (Porque este valor ?)

m = 33o + 5oProjeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 13/49

Passo 4: Clculo de

Considerando m = 38o:

sinm = 11+ = 0.24 (17)

Devemos determinar a freqncia m onde omdulo de

G1(j) = 20 log 1db



Porque este valor ?

|Gc(j)| = 1+ jT1+ jT

m= 1T

(18)

= 1 20 log 1

dB (19)

A frqncia m deve ser tal que

|Gc(j)G1(j)| = 0dB (20)

ou seja, m =g



1= 1

0.24= 1

0.49(21)

= 20 log 1= 6.2dB (22)

No grfico |G1(j)| = 6.2dBg = 9rad/seg Ou seja,

|G1(jg)Gc(jg)| = 6dB+ 6.2dB = 0dB (23)


Passo 5: Determinar o plo e zero

A nova freqncia de crossoverg =m = 1/

T = 9rad/seg

Ou seja: Plo:

1

T= g = 4.41rad/seg (24)

Zero:1

T= 18.4rad/seg (25)


Passo 6: Calcular Kc

H(s) = Kcs + 1Ts + 1

T

= Kc s + 4.41s + 18.4 = Kc

0.227s + 10.054s + 1

(26)

Kc = K= 10

0.24= 41.7 (27)

O controlador pode ser escrito como:

Gc(s) = 41.7s + 4.41s + 18.4 = 10

0.227s + 10.054s + 1 (28)


Passo 7: Verificao

Para efeitos do grfico:

Gc(s)

KG1(s) = Gc(s)

1010G(s) = Gc(s)G(s) (29)

Gc(s)G(s) = 41.7s + 4.41s + 18.4

4

s(s + 2) (30)



g mudou de 6.3rad/seg para 9rad/seg g c Sistema mais rpido



Resposta a degrau Resposta mais rpida porm mais oscilatria



Resposta a rampa


Compensao por atraso de fase

Funo de transferncia:

Gc(s) = Kc Ts + 1Ts = 1 = Kc

s + 1Ts + 1

T

> 1 (31)

como > 1 o plo est sempre a direita do zero

Grfico polar


Diagrama de Bode

No controlador por avano de fase utilizamos comoponto de crosssover g o ponto de mximoavano fase

No controlador por atraso de fase utilizamos comoponto de crossover g um ponto onde o mdulodo controlador Gc(s) seja mnimo e a fase sejapraticamente zero


Diagrama de Bode

Diagrama de Bode para Kc = 1.0 e = 10


Um exemplo

Seja o seguinte sistema:

G(s) = 1s(s + 1)(0.5s + 1) (32)

Projetar um controlador por atraso de fase tal que: Kv = 5seg1 Margem de fase 40o margem de granho Kg 10dB


Passo 1: Ajustar o ganho K

Kc = K (33)

G1(s) = KG(s) = Ks(s + 1)(0.5s + 1) (34)

Kv = 5 (35)

Kv = lims0

sGc(s)G(s) = lims0

Ts + 1Ts + 1G1(s) (36)

= lims0

sK

s(s + 1)(0.5s + 1) K = 5 (37)Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 27/49

Passo 2: Verificao da margem de fase e de ganho

G1(j) = 5j(j+ 1)(0.5jw + 1) (38)

= 20o e Kg = 11dB Sistema instvel


Passo 3: Escolher g

Desejamos 40o Vamos tentar definir qual seria a fase do sistema num ponto onde = 40o

Lembre-se que aqui desejamos utilizar a regio docontrolador Gc(s) que tem ganho mnimo. Deve-seatentar ao fato que a fase do controlador no pontoescolhido nunca ser zero o que pode provocar umdeslocamento do ponto de crossover g



Receita de bolo: acrescentar de 5o a 12o como fatorde compensao

= 180o++fator de compensao = 12o = 128o(39)

No grfico temos, g = 0.5rad/seg para = 128o


Passo 3: Escolher as freq. de canto

Para evitar os efeitos do atraso de fase o plo e ozero devem estar localizados bem abaixo de g

A freqncia de canto = 1/T escolhida umaoitava ou uma dcada menor (Obs: quanto menor mais lento o sistema)

Escolhamos: = 1/T = 0.1rad/seg


Passo 4: Determinar o ganho

Determinar a atenuao necessria para queg = 0.5rad/seg

No grfico, obtemos atenuao de -20dB Da equao da assntota de alta freqncia,obtemos:

20 log1

= 20 = 10 (40)

Obtido o valor do ganho , podemos obter a outrafreqncia de canto:

= 1T

= 0.01rad/seg (41)Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 33/49

passo 5: Determinao do ganho Kc

Kc = K= 5

10= 0.5 (42)

Desta forma o sistema se torna,

Gc(s)G(s) = 5(10s + 1)s(100s + 1)(s + 1)(0.5s + 1) (43)


Passo 6: Verificao

No grfico, obtemos = 40o e Kg = 11dB alm deKv = 5seg1


Passo 6: continuao

Resposta a degrau:


Passo 6: continuao

Resposta a rampa


Controlador por atraso-avano

Funo de transferncia

Gc(s) = Kcs + 1T1s +

T1

s + 1T2s + 1T2

, > 1 (44)


continuao ...

Avano de fase:

s + 1T1

s + T1

= 1

T1s + 1

T1s + 1

> 1 (45)

Atraso de fase:

s + 1T2

s + 1T2

= (T2s + 1T2s + 1

) > 1 (46)

Frequentemente utiliza-se =


Grfico Polar

Grfico polar para Kc = 1 e = Atraso 0 < < 1, Avano 1 <

Diagrama de Bode

Diagrama de Bode para Kc = 1, = = 10 eT2 = 10T1


Um exemplo

Seja o seguinte sistema em malha aberta

G(s) = Ks(s + 1)(s + 2) (47)

Projete um compensador tal que Kv = 10seg1 = 50o Kg 10dB


Soluo

Constante Kc = 1 Avano de fase:

s + 1T1s + T1

= s + 0.7s + 7 =

1

10

1.43s + 10.143s + 1 (48)

Atraso de fase:

s + 1T2

s + 1T2

= s + 0.15s + 0.015 = 10

6.67s + 166.7s + 1 (49)


Verificao

Diagrama de Bode: = 50o e Kg = 16dB


Verificao

Resposta a degrau


Verificao

Resposta a rampa


Resumo: avano de fase

Utiliza o avano de fase para aumentar a margemde estabilidade

Permite maior freqncia de crossover g ou sejamaior freqncia de corte c ou seja maior largurade banda Bw

Se Bw aumenta ento o tempo de subida tr e otempo de assentamento ts so menores

A maior largura de banda permite passar rudos dealta freqncia

necessrio em geral aumentar o ganho devido ascaractersticas atenuantes do controlador poravano de fase


Resumo: atraso de fase

Reduz o ganho em altas freqncias sem reduzir oganho em baixas freqncias, o que permitereduzir o erro esttico

Menor freqncia de crossover g o que resultanuma largura de banda Bw menor

Largura de banda Bw menor o que resulta numsistema mais lento


Caractersticas no tempo


Compensao por avano de faseGrfico polarMaior ngulo de avano $phi _m$Diagrama de BodeFreqncia $omega _m$Um exemplosmall Passo 1 - Ajuste de constante estticoPasso 1 - continuao ...Passo 1: continuao ...small Passo 2 - Margem de Fase do sistema $G_1(s)$Passo 2: continuao ...Passo 3 - ngulo $phi _m$Passo 4: Clculo de $alpha $Passo 4: continuao ...Passo 4: continuao ...Passo 5: Determinar o plo e zeroPasso 6: Calcular $K_c$Passo 7: VerificaoPasso 7: continuao ...Passo 7: continuao ...Passo 7: continuao ...Compensao por atraso de faseDiagrama de BodeDiagrama de BodeUm exemploPasso 1: Ajustar o ganho $K$small Passo 2: Verificao da margem de fase e de ganhoPasso 2: continuao ...Passo 3: Escolher $omega _g$Passo 2: continuao ...Passo 3: Escolher as freq. de cantoPasso 4: Determinar o ganho $eta $passo 5: Determinao do ganho $K_c$Passo 6: VerificaoPasso 6: continuaoPasso 6: continuaoControlador por atraso-avanocontinuao ...Grfico PolarDiagrama de BodeUm exemploSoluoVerificaoVerificaoVerificaoResumo: avano de faseResumo: atraso de faseCaractersticas no tempo

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