MODULAÇÃO EM FREQUENCIA -...

PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II

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MODULAÇÃO EM FREQUÊNCIA E FASE

1. Introdução Existem várias maneiras de se modular um sinal senoidal. De uma forma geral esse sinal senoidal a ser modulado é chamado de portadora, e pode ser expresso por : e t E tP P P( ) cos ( )= θ equação 1 onde : EP = amplitude da portadora θP t( ) = ω φP t( ) + → é um ângulo variável em função do tempo ω πP f= →2 freqüência angular da portadora φ → fase em relação a uma referência arbitrária Se examinarmos a equação (1) podemos observar que as características da portadora podem ser variadas através da variação da amplitude EP ou do ângulo θP como função de outro sinal, chamado de sinal modulante. Este é o processo da modulação em amplitude, e o sinal resultante, obtido a partir da variação de um desses parâmetros da portadora, chama-se sinal modulado. Desta forma, percebe-se, que o processo de modulação em amplitude ocorre quando se faz a amplitude EP variar em função do nível do sinal modulante. Quando a variação é imposta ao ângulo θP t( ) ,obtemos a chamada modulação angular. Como esse ângulo pode ser alterado seja pela variação de frequência fP ou da fase φ , a modulação angular pode ser dividida em : ν MODULAÇÃO EM FREQUÊNCIA ( Fm ) ν MODULAÇÃO EM FASE ( Pm )


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2. Modulação Angular Conceito de Modulação em Frequência e Fase Considerando-se uma portadora expressa por : e t E tP P P( ) cos ( )= +ω φ a modulação em fase consiste em se fazer variar a fase φ da portadora de modo proporcional ao nível do sinal modulante x t( ) . Desta forma : φ φ( ) . ( )t k x t= ⇒ esta expressão define a modulação em Fase, onde kφ é uma constante de

proporcionalidade, função do modulador. Na modulação em frequência, a frequência da portadora é feita variar em torno do seu valor original fP de forma proporcional ao sinal modulante x t( ) . Assim : f t f k x tP f( ) . ( )= + → define a modulação em frequência.

2.1 Modulação em Frequência Considere um sinal modulante do tipo x t E tm m( ) cos ( )= ω , no processo Fm teremos : f t f k E tP f m m( ) . cos= + ω , que corresponde a uma frequência angular de :

ω π( ) (t = 2 f k E tP f m m+ . cos )ω

Chamamos f t( ) de frequência instantânea. Em f t( ) quando cosω mt = 1 , temos o valor máximo do afastamento da frequência instantânea da frequência da portadora. Esse valor será expresso por : ∆ f k Ef m= . que é chamado de desvio de frequência. Como a frequência angular é variável no tempo devido ao termo ω mt , a relação entre o ângulo θ ω( )t e t será expressa por : θ ω π ω( ) ( ) ( cos )t t dt f k E t dtP f m m= = +∫∫ 2

Como k f e Ef P m; são constantes pode-se mostrar que o valor da integral anterior é

:θ ππω

ω ωπ

πω ω ω( ) sen sen sent f

k Et t

k E

ft t

k E

ftP

f m

mm P

f m

mm P

f m

mm= + = + = +2

2 2

2


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Determinado θ ( )t , a expressão do sinal modulado em frequência e t( ) pode ser expressa :

e t E t E tk E

f tP P Pf m

mm( ) cos ( ) cos( sen )= = +θ ω ω

• valor k E

ff m

m corresponde agora ao máximo valor da defasagem, sendo neste caso

chamado de índice de modulação β .

• Ou seja : β = =k E

ff

ff m

m m

∆

Desta forma, a expressão do sinal modulado em frequência pode ser escrita como : e t E t tP P m( ) cos ( sen )= +ω β ω 2.2 MODULAÇÃO EM FASE Tomando-se o sinal modulante x(t), senoidal do tipo x t E tm m( ) cos= ω , no processo PM (modulação em Fase ) teremos ; φ ωφ( ) cost k E tm m= e portanto:

θ ω φ ω ωφ( ) ( ) cost t t t k E tP P m m= + = + , resultando a expressão final:

PM e t E t E t k E tP P P m m= = = +( ) cos ( ) cos ( cos )θ ω ωφ

onde ⇒ =∆ φ φk Em

OBSERVAÇÃO : • valor máximo de φ ( )t ocorre quando o cosωmt = 1 e é expresso pela expressão ∆φ , que é

chamada de desvio de fase.


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Podemos obter a frequência instantânea do sinal modulado em fase, usando

ω θ ω φ ω ω φω ω( )( ) ( cos )

sentd t

dtd t t

dttP m

P m m= =+

= −∆

∆

logo a frequência instantânea será :

f t t t ou f t f f tP mm P m m( ) ( ) sen ( ) sen= = − = −1

2 2 2πω ω

πφ ω

πω φ ω∆ ∆

TABELA COMPARATIVA ENTRE OS PROCESSOS DE MODULAÇÃO EM FREQUÊNCIA E FASE

ITEM MODULAÇÂO EM FASE (PM)

MODULAÇÂO EM FREQUÊNCIA (FM)

1. Portadora E wP pcos( )+ φ E wP pcos( )+ φ

2. Sinal Modulante x t E tm m( ) cos= ω x t E tm m( ) cos= ω

3. Definição do Processo φ φ ω( )( )

cost k m mx t

E t= f tw t

f k m mp fx t

E t( )( )

( )

cos= = +2π

ω

4. Fase instantânea φ ωφ( ) cost k E tm m= φ ω( ) sentk E

ftf m

mm=

5. Freqüência instantânea f t f k E f tp m m m( ) sen= − φ ω f t f k E f tp f m m m( ) sen= + ω

6. Desvio de fase ∆φ φ= k Em β =

k E

findice de ulaç aoFMf m

m

( mod )

7. Desvio de freqüência ∆φfm ∆f k Ef m=

8. Sinal Modulado e t E tm p p m( ) cos( cos )= +ω φ ω∆

e t E tm p p m( ) cos( sen )= +ω β ω


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ESPECTRO DO SINAL FM Considerando a expressão do sinal modulado em frequência, conforme já visto anteriormente , onde :

e t E t t ondek Em

fP P m

f

m

( ) cos( sen )= + =ω β ω β é o índice de modulação.

Vamos desenvolver esta expressão, a fim de escreve-la como uma soma de várias componentes senoidais, da mesma forma que no processo de AM escrevemos o sinal modulado como soma das componentes :

E t mE

t eP PP

P mcos , cos( )ω ω ω2

− mE

tPP m2

cos( )ω ω+

representativas respectivamente da portadora, e das raias laterais. Para a modulação FM o desenvolvimento é mais complexo, e a expressão desenvolvida de e t( ) tem o seguinte aspecto : e t J E t

J E t J E J E t

J E t J E t J E t

P P

P P m P P m P P m

P P m P P m P P m

( ) coscos( ) cos( ) cos( ) ..........cos( ) cos( ) cos( ) ..........

= ++ + + + + + ++ − + − + − +

0

1 2 3

1 2 3

2 32 3

ωω ω ω ω ω ωω ω ω ω ω ω

A figura a seguir mostra o espectro do sinal de FM, e o de AM para efeito de comparação. 0

e(t)

mEp

2

fi fs fc

Ep mEp

2

f (Hz)

e(t) Jo(β)Eo J1(β)Eo

J2(β)Eo J3(β)Eo

J1(β)Eo

J2(β)Eo

J3(β)Eo

f (Hz)


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Cabe observar que no espectro FM, ao invés de apenas duas raias laterais , teremos infinitas raias laterais distanciadas entre si de uma frequência fm , a partir da portadora, sendo que as componentes equidistantes de f P têm o mesmo valor absoluto. Entretanto, na faixa de frequência inferior à portadora as componentes de ordem ímpar têm o sinal inverso em relação as componentes de ordem ímpar correspondentes na faixa de frequência superior. Este fato pode ser constatado pela análise da expressão desenvolvida de e t( ) e pode ser interpretado como uma inversão de fase. Por outro lado no processo de AM a amplitude da componente na frequência da portadora é constante e as amplitudes das raias laterais variam em função do índice de modulação m. Para o cálculo dos coeficientes J J J Jn0 1 2, , ,......., que definem as amplitudes das componentes do sinal modulado em frequência é utilizada uma função que define o índice de modulação β , definida pela chamada função de BESSEL. A figura abaixo mostra uma idéia da função para alguns coeficientes da mesma:

Gráfico dos coeficientes de funçõesde Bessel

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

β β (rd)

Jn

Jo (ββ)

J2 (ββ)J3 (ββ) J4 (ββ) J5 (ββ) J6 (ββ) J7 (ββ) J8 (ββ) J9 (ββ) J10 (ββ)

J1 (ββ)


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Com base na figura , podemos analisar como variam as diferentes raias do espectro de FM, vemos que a medida que β aumenta, seja por aumento da amplitude Em do sinal modulante ou por diminuição de sua frequência fm : Exemplos : - a amplitude da raia na frequência da portadora J EP0 ( )β diminui até se anular em β = 2 4, . - em β = 2 4 5 5, ,a a amplitude dessa raia está 180º defasada de sua situação original, sendo que nesse intervalo o valor máximo que J0 atinge em módulo é inferior ao seu valor inicial ( )β = 0 . Quando β começa a aumentar, a partir de β = 0 , paralelamente ao decréscimo de amplitude da raia na frequência da portadora, as demais raias laterais, J EP1 ( )β , J EP2 ( )β , J EP3 ( )β , começam a aumentar, sucessivamente.

Isto significa que a potência do sinal que estava concentrada somente na portadora , β = 0 , se distribui em parte pelas raias laterais, sendo que em β = 2 4, , não há potência localizada na frequência da portadora, somente nas raias laterais. Considere os valores dos coeficientes Jn para determinados índices de modulação β conforme tabela a seguir : Tabela

Jn (β) β (rd) J0 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J10

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,2 0,9900 0,1000 0,5 0,9384 0,2422 0,0306 0,002 0,0001 1 0,7651 0,4400 0,1149 0,0195 0,002 0,0002

1,5 0,5118 0,5579 0,2320 0,0609 0,0117 0,001 0,002 2 0,2238 0,5767 0,3528 0,1289 0,0339 0,007 0,001 0,0001

2,5 -0,048 0,4970 0,4460 0,2166 0,0737 0,0195 0,004 0,0007 0,0001 3 -0,260 0,3390 0,4860 0,3090 0,1320 0,0430 0,0113 0,002 0,0004

3,5 -0,380 0,1373 0,4586 0,3867 0,2044 0,0804 0,0254 0,006 0,001 0,0003 4 -0,387 -0,066 0,3541 0,4301 0,2811 0,1320 0,0490 0,0151 0,004 0,0009 0,0001

4,5 -0,320 -0,231 0,2178 0,4247 0,3484 0,1947 0,0842 0,0300 0,009 0,002 0,0005 5 -0,177 -0,327 0,0465 0,3648 0,3912 0,2611 0,1310 0,0533 0,0184 0,005 0,001

5,5 -0,007 -0,341 -0,117 0,2561 0,3967 0,3209 0,1867 0,0866 0,0336 0,0113 0,003


8

6 0,1506 -0,276 -0,242 0,1147 0,3576 0,3620 0,2458 0,1295 0,0565 0,0211 0,006

6,5 0,2600 -0,153 -0,307 -0,035 0,2748 0,3735 0,2999 0,1801 0,0880 0,0365 0,0132 7 0,3000 -0,005 -0,301 -0,167 0,1577 0,3478 0,3391 0,2335 0,1279 0,0589 0,0235

7,5 0,2663 0,1352 -0,230 -0,258 0,0238 0,2834 0,3541 0,2831 0,1744 0,0889 0,0389 8 0,1766 0,2346 -0,112 -0,291 -0,105 0,1857 0,3375 0,3205 0,2234 0,1263 0,0607

8,5 0,0419 0,2731 0,0223 -0,262 -0,207 0,0671 0,2866 0,3375 0,2693 0,1694 0,0894 9 -0,09 0,2453 0,1448 -0,180 -0,265 -0,055 0,2043 0,3274 0,3050 0,2148 0,1246

9,5 -0,193 0,1612 0,2278 -0,065 -0,269 -0,161 0,0993 0,2867 0,3232 0,2577 0,1650 10 -0,245 0,0434 0,2546 0,0583 -0,219 -0,234 -0,014 0,2167 0,3178 0,2918 0,2074

10,5 -0,236 -0,078 0,2216 0,1632 -0,128 -0,261 -0,120 0,1235 0,285 0,3108 0,2477 11 -0,171 -0,176 0,1390 0,2273 -0,015 -0,238 -0,201 0,0183 0,2249 0,3088 0,2804

11,5 -0,067 -0,228 0,0279 0,2381 0,0962 -0,171 -0,245 -0,084 0,1420 0,2822 0,2997 12 0,0477 -0,223 -0,084 0,1952 0,1825 -0,073 -0,243 -0,170 0,0451 0,2303 0,3004

12,5 0,1469 -0,165 -0,173 0,1103 0,2262 0,0345 -0,198 -0,225 -0,053 0,1561 0,2788 13 0,2074 -0,071 -0,218 0,004 0,2196 0,1306 -0,118 -0,239 -0,14 0,0665 0,2336

13,5 0,2169 0,0325 -0,211 -0,095 0,1664 0,1937 -0,019 -0,211 -0,202 -0,029 0,1667 14 0,1789 0,1123 -0,159 -0,157 0,0826 0,205 0,0762 -0,139 -0,228 -0,121 0,0828

Os espaços em branco na tabela representam valores suficientemente pequenos que podem ser desprezados. Assim sendo para β = 0 2, , as componentes a partir de J2 apresentam apenas uma pequena contribuição para o sinal modulado. Com β = 1 , pode-se desprezar as componentes a partir de J4 . Para β = 10 , necessitamos de um número bem maior de componentes para definir o sinal modulado. A figura a seguir mostra os espectros de FM para os valores de β = 0 2 1 5 10, , , e considerando apenas o módulo dos coeficientes J. ( não estão representadas as inversões de fase ). Na figura ( a ) β cresceu de 0,2 a 10 através do aumento do nível do sinal modulante Em sendo fm constante. Em ( b ) a variação de β foi obtida pelo decréscimo da frequência do sinal modulante fm. No primeiro caso temos o espaçamento entre as raias constante, e desde que β cresce aumenta o número de raias significativas, o que resulta num aumento da faixa ocupada pelo espectro. Quando fm diminui, as raias ficam cada vez mais concentradas a medida que β cresce, conforme pode ser visto na figura a seguir.


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Existem ainda certos valores do índice de modulação β para os quais a raia correspondente à frequência da portadora no espectro do sinal modulado tem amplitude zero . O valor mais baixo para que isto ocorra está em β = 2 4, . Neste caso o espectro apresentado em modulo tem a seguinte característica :

• significado para este fato , é que neste ponto não há mais nenhuma energia associada à

frequência fP da portadora, não modulada, isto é , toda a energia inicial da portadora não modulada está distribuída nas bandas laterais.


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Uma forma prática de se observar este efeito é colocando-se um filtro seletivo bem agudo na frequência fP , e não obteremos sinal algum na saida deste filtro. Neste primeiro valor de β que anula a raia correspondente à portadora teremos :

KEmfm

ou Emfm

Kff

= =2 42 4

,,

K f é a constante do modulador.

LARGURA DE FAIXA DO SINAL MODULADO EM FREQUÊNCIA

O sinal modulado em frequência tem um espectro. Desta forma a geração e transmissão de sinais FM ideais exigiriam uma largura de faixa infinita. Entretanto existem sistemas FM com largura de faixa finita com bom desempenho. Isto se justifica pelo fato que as componentes espectrais suficientemente afastadas da portadora tem amplitude “pequena” e portanto podem ser desprezadas. Na verdade, este fato implica em distorção do sinal, mas que pode ser minimizada, se considerarmos todas as componentes significativas do espectro. Desta forma a determinação da largura de faixa para transmissão de um sinal em FM reside em estabelecer que parte do espectro do sinal modulado é suficiente. Cabe ressaltar que isto será função da parcela de distorção que pode ser tolerada em cada aplicação específica. Podemos contudo estabelecer alguns critérios que irão nos ajudar na definição das raias espectrais significativas para um sinal modulado senoidal. Com base na tabela abaixo vamos analisar estes critérios. TABELA

n Jn (0,1) Jn (0,2) Jn (0,5) Jn (1,0) Jn (2,0) Jn (5,0) Jn (10,0) n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

1,00 0,05

0,99 0,10

0,94 0,24 0,03

0,77 0,44 0,11 0,02

0,22 0,58 0,35 0,13 0,03

-0,18 -0,33 0,05 0,36 0,39 0,26 0,13 0,05 0,02

-0,25 0,04 0,25 0,06 -0,22 -0,23 -0,01 0,22 0,32 0,29 0,21 0,12 0,06 0,03 0,01

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14


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Vemos que para cada valor de β , os valores de Jn decrescem para n > β , sendo

acentuado para β >>> 1 . Exemplo : β = → =

==

5 0 260 130 07

5

6

7

J

J

J

,,,

β = → =

==

10 0 210 120 06

10

11

12

J

J

J

,,,

Desta forma se considerarmos um valor do índice de modulação β muito grande ( )β >> 1 pode - se afirmar que os únicos coeficientes Jn significativos são aqueles para os quais n n≤ =0 β e portanto todas as raias significativas estão na banda de frequência definida por : f n fm f fm

comoK Em

fm

P P

f

± = ±

=

0 β

β

temos : ⇒ ± ⇒ ± = ±fK Em

fmfm temos f K Em f fP

fP f P. ∆

pois K Em ff = ∆

portanto para β β>> → =1 10( ) teremos : B f= 2∆ A figura abaixo ilustra o caso de β = 10


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Supomos agora β <<< 1 . Para β β= =0 1 0 2, ,e , todas as componentes laterais são pequenas quando comparadas com a portadora. Nesta situação devemos considerar pelo menos as duas primeiras componentes laterais, caso contrário não há modulação ( teríamos apenas a portadora ). Desta forma para β << 1 as únicas componentes significativas vem a ser f fmP ± conforme figura abaixo.

Resumindo :

Para

β β

β

>>> ⇒ = =

<<< ⇒ =

1 2 2

1 2

B fm f

B fm

∆


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• O primeiro caso é chamado normalmente de FM faixa larga, sendo que a banda necessária se mostra independente da frequência do sinal modulante fm .

• quando β <<< 1 tem-se o processo conhecido como FM faixa estreita, onde a banda

necessária é o dobro da frequência do sinal modulante. Consideremos agora o caso em que β assume um valor intermediário entre β β<<< >>>1 1e . Podemos adotar o seguinte critério para se determinar a banda necessária para o sinal modulado: • Suponha que desejamos desprezar todas as componentes nas quais o coeficiente J é

menor que um certo valor ε , sendo ε função da aplicaç~]ao do sistema. • Desta forma devemos considerar todas as raias laterais até a de número n0 para a qual

Jn0> ε sendo que a raia seguinte Jn0 1+ já deve ser menor que ε .

Neste caso existirão n0 raias laterais e a banda ocupada será definida por : B n fm para n= >2 10 0 Logicamente n0 será função de β . A figura a seguir mostra o numero de raias a serem consideradas como função de β . A curva superior considera ε = 0 01, e a inferior ε = 0 1,


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A curva tracejada representa um meio termo entre os valores de ε ε= =0 01 0 1, ,e , sendo já considerada como uma condição bastante exigente para a determinação do número de raias necessárias. Utilizando esta curva podemos chegar a : β ββ ββ β

= → ≅ = += → ≅ = += → ≅ = +

4 6 25 7 210 12 2

0

0

0

n

n

n

Isto significa que, para determinarmos o número de raias laterais necessárias, e portanto a banda B, com boa aproximação podemos fazer n0 2= +β , que resultará em : B n fm fm f fm= = + = +2 2 2 2 20 ( ) ( )β ∆

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