Apéndice

TABLAS

Apéndice

TRANSFORMADA DE FOURIER

PROPIEDADES

DEFINICION )(tf

dtetfF tj )()(

DUALIDAD F(t)

)(2 f

ESCALA )(atf

aF

a

1

DESPLAZAMIENTO EN EL

TIEMPO )( 0ttf )(0

Fetj

DESPLAZAMIENTO EN

FRECUENCIA )(0 tfe

tj )( 0 F

DERIVACION EN EL TIEMPO Nntf n ,)()( )()( Fj n

DERIVACION EN

FRECUENCIA Nntfjt n ,)()( )()( nF

INTEGRACION EN EL TIEMPO

t

duuf )( )()0()(

1

FF

j

CONVOLUCION EN EL

TIEMPO )(*)( tgtf )()( GF

CONVOLUCION EN

FRECUENCIA )()( tgtf )(*)(2

1

GF

f(t) cos(0t) )(

2

1)(

2

100 FF

f(t) sen( 0t)

)(2

1)(

2

100 F

jF

j

Relación de Parseval: E=

dt)t(f2

=

d)(F2

2

1

Apéndice

PARES TRANSFORMADOS

FUNCIÓN TRANSFORMADA

e-at us(t) , a0 aj

1

tae

22

2

a

a

0,2

ae at

aea

4/2

Pa(t)

2sinc

aa

T2b(t)

2sinc 2 b

b

Nn(t), u-ate

!n

ts

n

1

1

, a0 naj )(

1

e-at sen bt us(t), a0 22)( baj

b

e-at cos bt us(t) ,a0 22)( baj

aj

)(t 1

Nntn ),()( nj )(

u(t)

j

1)(

N n, t n )(j2 )n(n ωδπ

etj 0

)(2 0

t0 cos )()( 00

t0sen )()( 00 j

t0sen us(t) )()(j

00220

0

2

t0 cos us(t) )()(2

0022

0

j

t us(t) 2

1)('

j

Apéndice

TRANSFORMADA DE LAPLACE

FUNCIÓN TRANSFORMADA

0,)( ttf

0

)()()( dttfesFtf stL

)()( tgtf )()( sGsF

1 s/1

t 1

ate as

asReRe

1

nt 1ns

!n

0sRe

sen(at) 22 as

a

cos(at)

22 as

s

)(tfe at )( asF , si )()( tfsF L

natte ,...2,1,

)(

!1

nas

nn

)(tft n ,...3,2,1),()1( nsF

ds

dn

nn

)()( tf n, n=1,2,3,...

snF(s)- sn-1f (0+)- sn-2f '(0+) - .....-f

(n-1)(0+)

t

df

0

)( )(1

sFs

t

df )( )(1

sFs

0

)(1

dttfs

EXISTEt

tfsi

t

tf

t

)(lim,

)(

0

s

duuF )(

f(at), a>0 )/(1

asFa

)()( atuatf s )(sFe as

Apéndice

FUNCIÓN TRANSFORMADA

t

dvvtgvf0

)()( F(s) G(s)

f(t) = f(t+T) dtetfe

Tst

sT

0

)(1

1

senh(at) 22 as

a

cosh (at)

22 as

s

ebt senh (at) 22)( abs

a

ebt cosh(at) 22)( abs

bs

ebt sen (at) 22)( abs

a

ebt cos(at) 22)( abs

bs

T. del valor final T. del valor inicial

)s(Fslim)t(flim

0st )s(Fslim)t(flim

st 0

______________________________________________________________________

Apéndice

Variables de Estado

)()()(

)()()()()(

0

00

tuDtxCty

duBttxtttx

t

t

2ª Forma Canónica

1210 ...

1...000

0...100

0...010

naaaa

A ;

1

0

0

0

B ; nbD

)()(......)()( 11221100 nnnnnnnn babbabbabbabC

Transformación

PAPAv

1 ; BPBv

1 ; PCCv ; DDv

Método de Cayley – Hamilton :

1

0

n

i

ii

t t γe AA ,

Los tγi se obtienen de ,...,N,j,λ t γtγeN

i

iji

tλ j 211

10

Señales de potencia y energía

Para calcular la energía:

L

Ldttf

L

2limE

Para analizar si es de potencia:

L

LL

dttfL

2

2

1lim0

______________________________________________________________________

Propiedades Delta de Dirac 1) 00 /0)( ttttt

2) 2010 1)(

2

1

tttsidttt

t

t

extensible a intervalos infinitos

Apéndice

3) Si f(t) es continua en )()()()( 00001 tttftttftt

4) battencontínuaestgbtasi

btasitgdttgtt

b

a

;)(

0

)()()( 0

0

00

0

5) 1010

2

1

0 ,)()()( tttconttdtt

t

t

6) 1010)(

2

1

0)( ,)()1()()( tttcontfdtttf kk

t

t

k

7)

0

0

000

1)()(

ttsi

ttsidtttu

t

8) tda

tt

atdtat

)(1

)( 00

9) )()( tt

__________________________________________________________________

SERIES DE LAURENT

(1))z(z

b)z(zaf(z)

1nn

0

n

0n

n

0n

C

n(2)....)0,1,2,....(ndz

z(z

f(z)

j2

1a

0

n 1) (3)...)1,2,......(ndz

z(z

f(z)

j2

1b

0

n

C

n 1)

Desarrollos en serie más utilizados:

1) Serie binomial:

!n

)1n)........(1(

n,1

0donde;1z,z

n)z1(

0n

n

Casos particulares:

1-1) ..............1)1(1,)1(1

1 321

0

zzzzózzz n

nn

1-2) ..............1))(1(1,)(1

1 321

0

zzzzózzz n

n

1-3) 1z...,..........!3

z)2m)(1m(m

!2

z)1m(mmz1)z1(

32m

2)

z,

)!1n2(

z)1(zsen

1n

1n21n

3)

z,)!n2(

z)1(1zcos

1n

n2n

; 4)

z,!n

z1e

1n

nz

Apéndice

SERIE DE FOURIER

Serie exponencial o compleja de Fourier

f(t) = n

0jnw t

c en

donde

T

2

n

T

2

0jnw t1

f(t).e dtT

c

y 0

2πw

T

Serie trigonométrica de Fourier

n 0 n 0

n 1

0 a cos(nw t) b sen(nw t)a

f(t)2

con

T

2

0

T

2

2a f(t)dt

T

;

T

2

n 0

T

2

2a f(t)cos(nw t) dt

T

T

2

n 0

T

2

2b f(t)sen(nw t) dt

T

Si f(t) es par:

n 0

n 1

0 a cos(nw t)a

f(t)2

con :

T

2

0

0

4a f(t)dt

T ;

T

2

n 0

0

4a f(t)cos(nw t) dt

T ; bn= 0

Si f(t) es impar:

n 0

n 1

b sen(nw t)f(t)

con : a0 = an = 0 ;

T

2

n 0

0

4b f(t)sen(nw t) dt

T

Si f(t) tiene simetría de media onda contiene solamente armónicas impares

2n 1 0 2n 1 0

n 1

a cos(2n 1)w t b sen(2n 1)w tf(t)

con a0 = 0

T

2

2n 1 0

0

4a f(t)cos(2n 1)w t dt

T

T

2

2n 1 0

0

4b f(t)sen(2n 1)w t dt

T

Identidad de Parseval

Si utilizamos la serie compleja de Fourier:

n

2

n

2

T

2

T

2cdtf(t)

T

1

Si utilizamos la serie trigonométrica de Fourier:

1n

2

n

2

n

2

02

T

2

T

2ba

2

1

4

adtf(t)

T

1

Apéndice

Identidades trigonométricas

π)(xx 2sen)(sen π)(xx 2cos)(cos π)(xx tg)(tg

π)(xx sen)(sen π)(xx cos)(cos

(x)x tg)(tg (x)x cotg)(cotg

x

πx

2cos)(sen

x

πx

2sen)(cos

x

πx

2cotg)(tg

a

bxba(x)bxa arctgsencos)(sen 22

1)(cos)(sen 22 xx

yxyxyx sencoscossen)(sen

yxyxyx sensencoscos)(cos

yx

yxyx

tgtg1

tgtg)(tg

Apéndice

Funciones hiperbólicas

)(h2

1)(Ch Cee )(h2

1)(Sh See

)(h/)(h)(Th CS )(h/)(Ch)(Ch S e )(Sh)(Ch

eS )(h)(Ch

1)(h)(Ch 22 S

)(Ch)(h)(Ch)(h)(Sh SS

)(Sh)(Sh)(Ch)(Ch)(Ch

)(Th)(Th1

)(Th)(Th)(Th

)(Ch)(Ch2

1)(Sh)(Sh

)(Ch)(Ch2

1)(Ch)(Ch

)(Sh)(Sh2

1)(Ch)(Sh

)(Sh)(Ch)(Sh)(Ch nnn

)(sen)(Sh xixi )(Sh)(sen xixi

)cos()(Ch xxi )(Ch)cos( xxi

)(tg)(Th xixi )(Th)(tg xixi

)(Sh)cos()(Chsen)(sen yxiy(x)iyx

)(Sh)(sen)(Chcos)(cos yxiy(x)iyx

)(ArgSh)(sen arc xixi

)(ArgCh)(cos arc xiixi

x

xxixi

1

1ln

21)(ArgTh)( tgarc