Apostila Controle - 11 - Efeito dos Controladores

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Controle de Sistemas Mecânicos Efeito dos Controladores Efeito dos Controladores Efeito do controlador P  Efeito do controlador PI  Efeito do controlador PD Exercícios

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Controle de Sistemas Mecânicos

Efeito dos ControladoresEfeito dos Controladores

Efeito do controlador P  Efeito do controlador PI 

Efeito do controlador PD

Exercícios

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Controle de Sistemas Mecânicos

Exemplo 1: Controlador P e SPOExemplo 1: Controlador P e SPO

Dado um sistema de primeira ordem P(s) com ganho estático k

e constante de tempoτ

, obter a função de transferência demalha fechada T(s) para uma realimentação unitária e com a

introdução de um controlador proporcional Kp.

a)  Analisar a influência nos pólos, zeros e no ganho estático

do sistema de malha fechada.

b) Obter a resposta ao degrau e analisar a influência na

velocidade da resposta e no erro estacionário para (Kp=2 e

Kp=20), com ganho estático k = 1 e constante de tempo τ =2.

c) Obter a resposta em freqüência e analisar a influência na

faixa de resposta em freqüência

( )

1)(

)(

==

 s

 sU 

 sY  s P 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução 1.a): Diagrama de blocosSolução 1.a): Diagrama de blocos

R(s) E(s) U(s) Y(s)

-

 P  K 

1+ s

τ 

O DB abaixo representa o controlador 

 proporcional com realimentação unitárianegativa

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução 1.a): FT de malha fechadaSolução 1.a): FT de malha fechada

Fechando a malha do DB anterior encontra-se a

seguinte FT 

Observa-se que houve uma variação

• no ganho estático

• Não alterou os zeros

• Na posição do pólo

( )

( ) 1

 p

 p

 K k Y s

  R s s K k  τ =

+ +

k  K 

k  K  s

 R

 p

 p

+==

1)0(

τ 

λ k  K  p+

−=1

k  sU 

Y == )0(

τ−=λ

1

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução 1.b): Resposta ao degrau Solução 1.b): Resposta ao degrau 

unitáriounitário

 As curvas do gráfico abaixo apresentam a resposta ao degrau

 para dois valores da constante proporcional (2 e 20)

 A resposta é tanto

mais rápida quanto

maior é o Kp.O erro estacionário

também diminui com

o aumento do Kp.

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução 1.b): Programa no MATLABSolução 1.b): Programa no MATLAB

clear all, close all

tau=2; k=1; Kp=2;

w=linspace(0,50,400); NT=[Kp*k];

DT=[tau 1+Kp*k];

t=0:0.05:5;

T=tf(NT,DT);

y=step(T,t);

subplot(211), plot(t,y)

title('Efeito do controlador proporcional

kp=2')

Kp=20;

NT=[Kp*k]; DT=[tau 1+Kp*k];

T=tf(NT,DT);

figure(1)

y=step(T,t);

subplot(212), plot(t,y)

title('Efeito do controlador proporcional

kp=20')

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução 1.c): Resposta em freqüênciaSolução 1.c): Resposta em freqüência

Os diagramas abaixo são também p/ os mesmos valores de Kp

0 10 20 30 40 500

0.5

1Efeito do controlador proporcional kp=2

0 10 20 30 40 500

0.5

1

Efeito do controlador proporcional kp=20

Observar a variação

no ganho estático e

na faixa de resposta

em freqüência

Observar que o pólo para o Kp = 20 é de

freqüência bem maior 

que a do primeiro caso

(10.5>1.5)

Portanto quanto maior a faixa de freqüência,

mas rápido é a

resposta do sistema

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução 1.c): Programa no MATLABSolução 1.c): Programa no MATLAB

clear all, close all

tau=2; k=1; Kp=2;

w=linspace(0,50,400); NT=[Kp*k];

DT=[tau 1+Kp*k];

t=0:0.05:5;

T=tf(NT,DT);

resp=freqresp(T,w);

y1=squeeze(resp);

figure(1), subplot(211), plot(w,abs(y1))

xlabel('') axis([0 50 0 1])

title('Efeito do controlador proporcionalkp=2')

Kp=20;

NT=[Kp*k];

DT=[tau 1+Kp*k]; T=tf(NT,DT);

resp=freqresp(T,w);

y2=squeeze(resp);

figure(1), subplot(212), plot(w,abs(y2))

xlabel('')

axis([0 50 0 1])

title('Efeito do 

controlador proporcionalkp=20')

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Exemplo 2: Controlador PI e SPOExemplo 2: Controlador PI e SPO

Dado um sistema de primeira ordem P(s) com ganho estático k

e constante de tempo τ, obter a função de transferência de

malha fechada T(s) para uma realimentação unitária e com a

introdução de um controlador PI.

a)  Analisar a influência nos pólos, zeros e no ganho estático

do sistema de malha fechada.

b) Obter a resposta ao degrau e analisar a influência no erro

estacionário para (Kp=2 e Ki=0.0), (Kp=2 e Ki=0.5), com

ganho estático k = 1 e constante de tempo τ =2.

c) Obter a resposta em freqüência para (Kp=2 e Ki=0.0), (Kp=2 

e Ki=0.5), e analisar a influência na faixa de resposta em

freqüência

( )1)(

)(

+τ==

 s

 sU 

 sY  s P 

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução 2.a): Diagrama de BlocosSolução 2.a): Diagrama de Blocos

R(s)

E(s)

U(s) Y(s)

-

 P  K 

1+ s

τ 

 s

 K  I 

O DB abaixo representa o controlador 

 proporcional integral com realimentação unitárianegativa

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução 2.a): FT de malha fechadaSolução 2.a): FT de malha fechada

Fechando a malha, obtém-se

Observe que

• ganho estático unitário

• surgiu um zero

• aumentou a ordem do sistema em malha fechada

(surgiu uma nova raiz)

( )( ) k  K  sk  K  s

k  K ks K 

 s R

 sY 

 I  P 

 I  P 

++++=

)1(2τ 

1)0( == s R

Y k  sU 

== )0(

 p

i

 K 

 K  z  −=

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução 2.b): Efeito no erro estacionárioSolução 2.b): Efeito no erro estacionário

 A ação proporcional não altera o tipo do

sistema de malha direta.  A ação integral altera o tipo do sistema de

malha direta, se o ganho de malha direta é do

tipo 0 ele passa a ser do tipo 1, se é do tipo 1, passa a ser do tipo 2, e assim por diante.

Logo para entrada degrau e controlador PI o

erro sempre será nulo.

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução 2.b): Resposta ao degrau Solução 2.b): Resposta ao degrau 

Considerando:

Observar o efeitoda integral do

erro ao longo

do tempo noerro estacionário

5,0/0;2;1;2 ==== I  P  K  K k τ 

0 2 4 6 8 100

0.5

1Resposta ao degrau Kp=2 Ki=0

0 2 4 6 8 100

0.5

1

Resposta ao degrau Kp=2 Ki=0.5

( )( ) k  K  sk  K  s

k  K ks K  s R sY 

 I  P 

 I  P 

++++=

)1(2τ 

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução 2.b): Programa MATLABSolução 2.b): Programa MATLAB

tau=2; k=1; Kp=2; Ki=0;

w=linspace(0,50,400);

NT=[Kp*k Ki*k]; DT=[tau 1+Kp*k Ki*k];

t=0:0.05:10;

T=tf(NT,DT);

y=step(T,t);

subplot(211), plot(t,y)

axis([0 10 0 1])

title('Resposta ao degrau Kp=2 Ki=0')

Ki=0.5;

NT=[Kp*k Ki*k];

DT=[tau 1+Kp*k Ki*k]; T=tf(NT,DT);

t=0:0.05:10;

figure(1)

y=step(T,t);

subplot(212), plot(t,y)

axis([0 10 0 1])

title('Resposta ao degrau Kp=2 Ki=0.5')

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução 2.c): Resposta em freqüênciaSolução 2.c): Resposta em freqüência

Os diagramas abaixo p/ valores de Ki=0/0.5 

0 2 4 6 8 100

0.5

1 E fe ito do c ontrola dor P I Kp=2 Ki=0

0 2 4 6 8 100

0.5

1

E fe ito do c ontrola dor P I Kp=2 Ki=0 .5

Observar a variação

no ganho estático ea não variação na

faixa de resposta

em freqüência

Raízes Ki=0.5 

r1=-1.3090 

r2=-0.1910 

Zero em z1=-0.250 

Raízes Ki=0 

r1=-1.50 

Pólo r2 praticamente é cancelado pelo zero z1

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução 2.c): Programa MATLABSolução 2.c): Programa MATLAB

tau=2; k=1; Kp=2; Ki=0;

w=linspace(0,50,400);

NT=[Kp*k Ki*k]; DT=[tau 1+Kp*k Ki*k];

t=0:0.05:10;

T=tf(NT,DT);

resp=freqresp(T,w); y1=squeeze(resp);

figure(2), subplot(211), plot(w,abs(y1)),xlabel('')

axis([0 10 0 1])

title('Efeito do controlador PI Kp=2 Ki=0')

Ki=0.5;

NT=[Kp*k Ki*k];

DT=[tau 1+Kp*k Ki*k]; T=tf(NT,DT);

resp=freqresp(T,w);

y2=squeeze(resp);

figure(2), subplot(212),

 plot(w,abs(y2)),

xlabel('')

axis([0 10 0 1])

title('Efeito do 

controlador PI Kp=2 

Ki=0.5')

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Exemplo 3: Controlador PD e SPOExemplo 3: Controlador PD e SPO

Dado um sistema de primeira ordem P(s) com ganho estático k

e constante de tempo τ, obter a função de transferência de

malha fechada T(s) para uma realimentação unitária e com a

introdução de um controlador PD.

a)  Analisar a influência nos pólos, zeros e no ganho estático

do sistema de malha fechada.

b) Obter a resposta ao degrau e analisar a influência no erro

estacionário para (Kp=2 e Kd=0.0), (Kp=2 e Kd=0.5), com

ganho estático k = 1 e constante de tempo τ =2.

c) Obter a resposta em freqüência para (Kp=2 e Kd=0.0), (Kp=2 

e Kd=0.5), e analisar a influência na faixa de resposta em

freqüência

( )1)(

)(

+τ==

 s

 sU 

 sY  s P 

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução 3.a): Diagrama de blocosSolução 3.a): Diagrama de blocos

R(s)

E(s)

U(s)

-

 P  K 

1+ s

τ 

 s K  D

O DB abaixo representa o controlador 

 proporcional derivativo com realimentaçãounitária negativa

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução 3.a): FT de malha fechadaSolução 3.a): FT de malha fechada

Fechando a malha, obtém-se (FTMF)

Observe que

 – Variou o Ganho estático

 – surgiu um zero

 – variou a posição do pólo

( ) k  K  sk  K 

k  K  s K 

 s R

 sY 

 p D

 p D

++++=

1

)(

)(

)(

τ 

k  K 

k  K 

 s R

 p

 p

+== 1)0(k  sU 

== )0(

 D

 P 

 K 

 K  z  −=

k  K 

k  K 

 D

 p

+

+−=τ 

λ 1

τ−=λ

1

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução 3.b): Resposta ao degrau Solução 3.b): Resposta ao degrau 

unitáriounitário

Considerando:

Observar o efeito de Kd 

no tempo de subida.

O sistema fica mais lento

Não altera o erro

estacionário

5,0/0;2;1;2 ==== D P  K  K k τ 

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1Res pos ta a o degrau Kp=2 Kd=0

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1Resposta ao degrau Kp=2 Kd=0.5

( ) k  K  sk  K 

k  K  s K 

 s R

 sY 

 p D

 p D

+++

+= 1

)(

)(

)(

τ 

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução 3.b): Programa MATLABSolução 3.b): Programa MATLAB

clear all, close all

tau=2; k=1; Kp=2; Kd=0;

w=linspace(0,20,400);

NT=[Kd*k Kp*k];

DT=[(tau+Kd*k) 1+Kp*k];

t=0:0.05:6;

T=tf(NT,DT);

y=step(T,t);

subplot(211), plot(t,y)

axis([0 6 0 1]) title('Resposta ao 

degrau Kp=2 Kd=0')

Kd=0.5;

NT=[Kd*k Kp*k];

DT=[(tau+Kd*k) 1+Kp*k];

T=tf(NT,DT);

t=0:0.05:6;

figure(1)

y=step(T,t);

subplot(212), plot(t,y)

axis([0 6 0 1])

title('Resposta ao degrau Kp=2 Kd=0.5')

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução 3.c): Resposta em freqüênciaSolução 3.c): Resposta em freqüência

Considerando: 5,0/0;2;1;2 ==== D P  K  K k τ 

0 5 10 15 200

0.5

1

Efeito do controlador PI Kp=2 Kd=0

0 5 10 15 200

0.5

1

Efeito do controlador PI Kp=2 Kd=0.5

Observar a variação na

faixa de resposta em

freqüência

Raízes Kd=0.5 

r1=-1.2 

Zero em z1=-4

Raízes Kd=0 

r1=-1.50 

( ) k  K  sk  K k  K  s K 

 s R sY 

 p D

 p D

+++ += 1)(

)()(

τ 

Não altera o erro

estacionário

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução 3.c: Programa MATLABSolução 3.c: Programa MATLAB

clear all, close all

tau=2; k=1; Kp=2; Kd=0;

w=linspace(0,20,400); NT=[Kd*k Kp*k];

DT=[(tau+Kd*k) 1+Kp*k];

t=0:0.05:6;

T=tf(NT,DT);

resp=freqresp(T,w);

y1=squeeze(resp);

figure(2), subplot(211),

 plot(w,abs(y1)),

xlabel('')

title('Efeito do 

controlador PI Kp=2 Kd=0')

axis([0 20 0 1])

Kd=0.5;

NT=[Kd*k Kp*k];

DT=[(tau+Kd*k) 1+Kp*k]; T=tf(NT,DT);

resp=freqresp(T,w);

y2=squeeze(resp);

figure(2), subplot(212), plot(w,abs(y2)), xlabel('')

title('Efeito do 

controlador PI Kp=2 

Kd=0.5')

axis([0 20 0 1])

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Exercício: Exercício: Controlador Controlador PD PD 

Calcular a resposta ao degrau unitário de um sistema em

malha fechada com realimentação unitária e controlador PD

 para a planta descrita pela equação abaixo. Considerar um

fator de amortecimento de 0,1 e uma freqüência natural de 2 

rad/s. A FTMF deve apresentar um fator de amortecimento de

0,5 e uma freqüência natural de 5 rad/s.

Y(s)R(s)

E(s)

U(s)

-

 P  K 

( ) P s

 s K  D

22

2

2)(

nn

n

 s s s P 

ω+ζω+ω=

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução : Solução : Controlador Controlador PD PD 

R(s) E(s) Y(s)

-

22

2

2

)(

nn

n P  D

 s s

 K  s K 

ω ζω 

ω 

++

+

Diagrama de Blocos

FT de malha fechada

( )

( ) )1()2(

)(222

2

 pnn Dn

n P  D

 K  s K  s

 K  s K 

 s R

 sY 

+++++

=ω ω ζω 

ω 

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução : Solução : Controlador Controlador PD PD 

55.022*2

5)1(*

2

222

=ω××=ωζ=ω+ζω

=ω=+ω

ef  ef  ef  n Dn

ef   P n

 K 

 K 

15,1

25,5

=

=

 D

 P 

 K 

 K 

Considerando a FT 

e os valores desejados, obtém-se o seguinte sistema:

( )( ) )1()2(

)(222

2

 P nn Dn

n P  D

 K  s K  s K  s K 

 s R sY 

+ω+ω+ζω+ω+=

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução : Solução : Controlador Controlador PD PD 

Resposta ao degrau wn=2; zeta=0.1;

Kp=5.25; Kd=0;

b0=wn^2; a0=b0; a1=2*zeta*wn; np=[b0]; dp=[1 a1 a0];

t=0:0.05:5;

pl=tf(np,dp);y=step(pl,t);

nmf=[Kd Kp]*b0;

dmf=[1 a1+Kd*b0 a0+Kp*b0]; smf=tf(nmf,dmf); yp=step(smf,t);

Kd=1.15; nmf=[Kd Kp]*b0;

dmf=[1 a1+Kd*b0 a0+Kp*b0];

smf=tf(nmf,dmf); ypd=step(smf,t);

figure(1), plot(t,y,t,yp,t,ypd) legend(‘y’,’yp’,’ypd’)

Observar que:

- K P aumenta a freq. natural

- K D aumenta o amortecimento

 

E í i C t l d i ã dE í i C t l d i ã d

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Controle de Sistemas Mecânicos

Exercício: Controle de posição de umaExercício: Controle de posição de uma

inérciainércia

Calcular a resposta ao degrau unitário de um sistema

em malha fechada com realimentação unitária parauma planta com uma inércia de J.

a) controladores proporcional (kp=2 e kp=20)

b)  proporcional derivativo (kp=2) (kd=2 e kd=10)

θ= && J T 

( )2

1

)(

)(

 Js sU 

 sY  s P  ==

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução : Diagrama de blocos para P Solução : Diagrama de blocos para P 

R(s) E(s)U(s) Y(s)

-

 P  K 2

1

 s

O DB abaixo representa o controlador 

 proporcional com realimentação unitárianegativa

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução : FT de malha fechadaSolução : FT de malha fechada

Fechando a malha do DB anterior encontra-se a

seguinte FT 

Observa-se que houve uma variação• no ganho estático

• um deslocamento do pólo

1)0( == s R

 J 

 K  j

p±=λ

∞== )0( sU 

0=λ

 p

 p

 K  Js

 K 

 s R

 sY 

+=

2)(

)(

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução : Resposta ao degrau unitárioSolução : Resposta ao degrau unitário

Considerando a TL do degrau ( 1/s ), a resposta

será portanto

Encontrando a TIL, obtém-se

0 p/cos1 ≥

 

 

 

 

t t  J 

 K 

-

p

)()(

)(2

 p

 p

 K  Js s

 K 

 s R

 sY 

+=

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução : Traçando as respostasSolução : Traçando as respostas

 A curva do gráfico apresenta a resposta ao degrau para dois

valores da constante proporcional (Kp=2 e Kp=20),

considerando J = 1.

 A resposta oscila

com freqüência

maior quanto

maior é o Kp

e o sobressinal 

é grande

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução : Diagrama de blocos para PD Solução : Diagrama de blocos para PD 

R(s) E(s)U(s) Y(s)

-

 s K  K   D P  + 2

1

 s

O DB abaixo representa o controlador 

 proporcional derivativo com realimentaçãounitária negativa

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução : FT de malha fechadaSolução : FT de malha fechada

Fechando a malha do DB anterior encontra-se a seguinte

FT 

Observa-se que houve uma variação

no ganho estático

um deslocamento do pólo

1)0( == s R

 J 

 JK  K  K   p D D

2

42 −±−=λ

∞== )0( sU 

0=λ

 p D

 p D

 K  s K  Js K  s K 

 s R sY 

+++= 2)(

)(

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução : Resposta ao degrau unitárioSolução : Resposta ao degrau unitário

)()(

)(

2  p D

 p D

 K  s K  Js s

 K  s K 

 s R

 sY 

++

+=

Considerando a TL do degrau ( 1/s ), a resposta

será portanto

Traçando a resposta ao degrau com o comando

step

Exercício: fazer o mesmo com o Simulink 

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução : Traçando as respostasSolução : Traçando as respostas

 A curva do gráfico apresenta a resposta ao degrau para Kp=20 

e dois valores da constante derivativa (Kd=2 e Kd=10),

considerando J = 1.

 A oscilação da

resposta diminui 

com aumento de Kd 

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

ReferênciaReferência

Constantes de Erro

Ogata pg 400-402 

Erro Estacionário

Ogata pg 227-233

Tipo do sistema

Ogata pg 227  Controlador Integral 

Ogata pg 180