Apostila Controle - 11 - Efeito dos Controladores

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Efeito dos Controladores

Efeito do controlador P Efeito do controlador PI Efeito do controlador PD Exerccios

Controle de Sistemas Mecnicos

Exemplo 1: Controlador P e SPODado um sistema de primeira ordem P(s) com ganho esttico k e constante de tempo , obter a funo de transferncia de malha fechada T(s) para uma realimentao unitria e com a introduo de um controlador proporcional Kp. a) Analisar a influncia nos plos, zeros e no ganho esttico do sistema de malha fechada. b) Obter a resposta ao degrau e analisar a influncia na velocidade da resposta e no erro estacionrio para (Kp=2 e Kp=20), com ganho esttico k = 1 e constante de tempo =2. c) Obter a resposta em freqncia e analisar a influncia na faixa de resposta em freqncia

Y (s) k P (s ) = = U ( s ) s + 1Controle de Sistemas Mecnicos

Soluo 1.a): Diagrama de blocosO DB abaixo representa o controlador proporcional com realimentao unitria negativaR(s) E(s) U(s)

KP-

k s + 1

Y(s)

Controle de Sistemas Mecnicos

Soluo 1.a): FT de malha fechada

Fechando a malha do DB anterior encontra-se a K pk seguinte FT Y (s) = R(s) s + 1 + K p k Observa-se que houve uma variao no ganho esttico

Y ( s = 0) = k U

K pk Y ( s = 0) = R 1+ K pk

No alterou os zeros Na posio do plo

1 =

=

1+ K pk

Controle de Sistemas Mecnicos

Soluo 1.b): Resposta ao degrau unitrioAs curvas do grfico abaixo apresentam a resposta ao degrau para dois valores da constante proporcional (2 e 20)A resposta tanto mais rpida quanto maior o Kp. O erro estacionrio tambm diminui com o aumento do Kp.

Controle de Sistemas Mecnicos

Soluo 1.b): Programa no MATLABclear all, close all tau=2; k=1; Kp=2; w=linspace(0,50,400); NT=[Kp*k]; DT=[tau 1+Kp*k]; t=0:0.05:5; T=tf(NT,DT); y=step(T,t); subplot(211), plot(t,y) title('Efeito do controlador proporcional kp=2') Kp=20; NT=[Kp*k]; DT=[tau 1+Kp*k]; T=tf(NT,DT); figure(1) y=step(T,t); subplot(212), plot(t,y) title('Efeito do controlador proporcional kp=20')

Controle de Sistemas Mecnicos

Soluo 1.c): Resposta em freqnciaOs diagramas abaixo so tambm p/ os mesmos valores de KpObservar a variao no ganho esttico e na faixa de resposta em freqncia Portanto quanto maior a faixa de freqncia, mas rpido a resposta do sistema Observar que o plo para o Kp = 20 de freqncia bem maior que a do primeiro caso (10.5>1.5)Efeito do controlador proporcional kp=2 1

0.5

0

0

10

20

30

40

50

Efeito do controlador proporcional kp=20 1

0.5

0

0

10

20

30

40

50

Controle de Sistemas Mecnicos

Soluo 1.c): Programa no MATLABclear all, close all tau=2; k=1; Kp=2; w=linspace(0,50,400); NT=[Kp*k]; DT=[tau 1+Kp*k]; t=0:0.05:5; T=tf(NT,DT); resp=freqresp(T,w); y1=squeeze(resp); figure(1), subplot(211), plot(w,abs(y1)) xlabel('') axis([0 50 0 1]) title('Efeito do controlador proporcional kp=2') Kp=20; NT=[Kp*k]; DT=[tau 1+Kp*k]; T=tf(NT,DT); resp=freqresp(T,w); y2=squeeze(resp); figure(1), subplot(212), plot(w,abs(y2)) xlabel('') axis([0 50 0 1]) title('Efeito do controlador proporcional kp=20')

Controle de Sistemas Mecnicos

Exemplo 2: Controlador PI e SPODado um sistema de primeira ordem P(s) com ganho esttico k e constante de tempo , obter a funo de transferncia de malha fechada T(s) para uma realimentao unitria e com a introduo de um controlador PI. a) Analisar a influncia nos plos, zeros e no ganho esttico do sistema de malha fechada. b) Obter a resposta ao degrau e analisar a influncia no erro estacionrio para (Kp=2 e Ki=0.0), (Kp=2 e Ki=0.5), com ganho esttico k = 1 e constante de tempo =2. c) Obter a resposta em freqncia para (Kp=2 e Ki=0.0), (Kp=2 e Ki=0.5), e analisar a influncia na faixa de resposta em freqncia

Y (s) k P (s ) = = U ( s ) s + 1

Controle de Sistemas Mecnicos

Soluo 2.a): Diagrama de BlocosO DB abaixo representa o controlador proporcional integral com realimentao unitria negativaKPR(s) E(s) U(s)

-

k s + 1

Y(s)

KI s

Controle de Sistemas Mecnicos

Soluo 2.a): FT de malha fechadaFechando a malha, obtm-se

Y ( s) KP ks + K I k = 2 R( s ) s + (1 + KP k )s + KI kY ( s = 0) = k U Y ( s = 0) = 1 R

Observe que ganho esttico unitrio surgiu um zero

Ki z= Kp

aumentou a ordem do sistema em malha fechada (surgiu uma nova raiz)

Controle de Sistemas Mecnicos

Soluo 2.b): Efeito no erro estacionrioA ao proporcional no altera o tipo do sistema de malha direta. A ao integral altera o tipo do sistema de malha direta, se o ganho de malha direta do tipo 0 ele passa a ser do tipo 1, se do tipo 1, passa a ser do tipo 2, e assim por diante. Logo para entrada degrau e controlador PI o erro sempre ser nulo.

Controle de Sistemas Mecnicos

Soluo 2.b): Resposta ao degrau Considerando: = 2; k = 1; KP = 2; KI = 0 / 0,5Res pos ta ao degrau Kp=2 Ki=0 1

Y (s) KP ks + KI k = 2 R( s ) s + (1 + KP k )s + KI kObservar o efeito da integral do erro ao longo do tempo no erro estacionrio

0.5

0

0

2

4

6

8

10

Res pos ta ao degrau Kp=2 Ki=0.5 1

0.5

0

0

2

4

6

8

10

Controle de Sistemas Mecnicos

Soluo 2.b): Programa MATLABtau=2; k=1; Kp=2; Ki=0; w=linspace(0,50,400); NT=[Kp*k Ki*k]; DT=[tau 1+Kp*k Ki*k]; t=0:0.05:10; T=tf(NT,DT); y=step(T,t); subplot(211), plot(t,y) axis([0 10 0 1]) title('Resposta ao degrau Kp=2 Ki=0') Ki=0.5; NT=[Kp*k Ki*k]; DT=[tau 1+Kp*k Ki*k]; T=tf(NT,DT); t=0:0.05:10; figure(1) y=step(T,t); subplot(212), plot(t,y) axis([0 10 0 1]) title('Resposta ao degrau Kp=2 Ki=0.5')

Controle de Sistemas Mecnicos

Soluo 2.c): Resposta em freqnciaOs diagramas abaixo p/ valores de Ki=0/0.5Razes Ki=0 r1=-1.50Observar a variao no ganho esttico e a no variao na faixa de resposta em freqnciaE fe ito do c ontrola dor P I Kp= 2 Ki= 0 1

0.5

0

0

2

4

6

8

10

E fe ito do c ontrola dor P I Kp= 2 Ki= 0.5 1

Razes Ki=0.5 r1=-1.3090 r2=-0.1910 Zero em z1=-0.250

0.5

0

0

2

4

6

8

10

Plo r2 praticamente cancelado pelo zero z1Controle de Sistemas Mecnicos

Soluo 2.c): Programa MATLABtau=2; k=1; Kp=2; Ki=0; w=linspace(0,50,400); NT=[Kp*k Ki*k]; DT=[tau 1+Kp*k Ki*k]; t=0:0.05:10; T=tf(NT,DT); resp=freqresp(T,w); y1=squeeze(resp); figure(2), subplot(211), plot(w,abs(y1)), xlabel('') axis([0 10 0 1]) title('Efeito do controlador PI Kp=2 Ki=0') Ki=0.5; NT=[Kp*k Ki*k]; DT=[tau 1+Kp*k Ki*k]; T=tf(NT,DT); resp=freqresp(T,w); y2=squeeze(resp); figure(2), subplot(212), plot(w,abs(y2)), xlabel('') axis([0 10 0 1]) title('Efeito do controlador PI Kp=2 Ki=0.5')

Controle de Sistemas Mecnicos

Exemplo 3: Controlador PD e SPODado um sistema de primeira ordem P(s) com ganho esttico k e constante de tempo , obter a funo de transferncia de malha fechada T(s) para uma realimentao unitria e com a introduo de um controlador PD. a) Analisar a influncia nos plos, zeros e no ganho esttico do sistema de malha fechada. b) Obter a resposta ao degrau e analisar a influncia no erro estacionrio para (Kp=2 e Kd=0.0), (Kp=2 e Kd=0.5), com ganho esttico k = 1 e constante de tempo =2. c) Obter a resposta em freqncia para (Kp=2 e Kd=0.0), (Kp=2 e Kd=0.5), e analisar a influncia na faixa de resposta em freqncia

Y (s) k P (s ) = = U ( s ) s + 1

Controle de Sistemas Mecnicos

Soluo 3.a): Diagrama de blocosO DB abaixo representa o controlador proporcional derivativo com realimentao unitria negativaKPR(s) E(s) U(s)

KD s

k s + 1

Controle de Sistemas Mecnicos

Soluo 3.a): FT de malha fechadaFechando a malha, obtm-se (FTMF)( K D s + K p )k Y (s) = R( s ) ( + K D k )s + 1 + K p kObserve que

Y (s =0) = k Variou o Ganho esttico U surgiu um zero

K pk Y (s = 0) = R 1+ K p k

z=

KP KD

variou a posio do plo

1 =

=

1+ K pk

+ K Dk

Controle de Sistemas Mecnicos

Soluo 3.b): Resposta ao degrau unitrioConsiderando:( K D s + K p )k Y (s) = R ( s ) ( + K D k )s + 1 + K p kObservar o efeito de Kd no tempo de subida. O sistema fica mais lento No altera o erro estacionrio1

= 2; k = 1; KP = 2; KD = 0 / 0,5Res pos ta ao degrau Kp=2 Kd=0

0.5

0

0

1

2

3

4

5

6

Res pos ta ao degrau Kp=2 Kd=0.5 1

0.5

0

0

1

2

3

4

5

6

Controle de Sistemas Mecnicos

Soluo 3.b): Programa MATLABclear all, close all tau=2; k=1; Kp=2; Kd=0; w=linspace(0,20,400); NT=[Kd*k Kp*k]; DT=[(tau+Kd*k) 1+Kp*k]; t=0:0.05:6; T=tf(NT,DT); y=step(T,t); subplot(211), plot(t,y) axis([0 6 0 1]) title('Resposta ao degrau Kp=2 Kd=0') Kd=0.5; NT=[Kd*k Kp*k]; DT=[(tau+Kd*k) 1+Kp*k]; T=tf(NT,DT); t=0:0.05:6; figure(1) y=step(T,t); subplot(212), plot(t,y) axis([0 6 0 1]) title('Resposta ao degrau Kp=2 Kd=0.5')

Controle de Sistemas Mecnicos

Soluo 3.c): Resposta em freqnciaConsiderando:( K D s + K p )k

= 2; k = 1; KP = 2; KD = 0 / 0,5Efeito do controlador P I Kp=2 Kd=0 1

Y (s) = R( s ) ( + K D k )s + 1 + K p k

Razes Kd=0 r1=-1.50No altera o erro estacionrio Observar a variao na faixa de resposta em freqncia

0.5

0

0

5

10

15

20

Efeito do controlador P I Kp=2 Kd=0.5 1

0.5

Razes Kd=0.5 r1=-1.2 Zero em z1=-4

0

0

5

10

15

20

Controle de Sistemas Mecnicos