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[Escribir texto]TRABAJO FUNCIONES ELEMNTALES

FRANCISCO BLANCO PARTE 2ºA


INDICETIPOS DE FUNCIONES

1.FUNCIONES POLINOMICAS

2.FUNCIONES IRRACIONALES

3.FUNCIONES RACIONALES

4.FUNCIONES POTENCIALES

5.FUNCIONES EXPONENCIALES

6.FUNCIONES LOGARITMICAS

7.FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

8.FUNCIONES A TROZOS



1. FUNCIONES POLINOMICAS f(x)=anxn+ an-1xn-1 +…+ a1xn+a0 (a1 ϵ R an ≠0 nϵN)

De grado 0: función constante 1.1 De grado 1: función lineal función afín

1.21.3

De grado 2 y sucesivas de grado par

Coinciden con el apartado 4.4

De grado 3 y sucesivas de grado impar

Coinciden con el apartado 4.5

La función polinómica puede entenderse como operación de funciones: como suma de funciones potenciales.

El grado de la función indica la forma de la gráfica y las “x” de menor grado solo cambian la posición, es decir, los ceros, los extremos relativos…

Los términos independientes desplazan la gráfica .



1.1 Función constante (y=cte)

Este tipo de función lo desarrollaré con un ejemplo y no de manera general, ej. y=0

Dom f = R

Img f= {0}

Simetría par y no es periódica:

Ceros de la función: todos los puntos

Corte con el eje y: en x=0

Signo de f(x): positiva y negativa en todo R

Continuidad: continua en todo R

Derivable en todo su Dom con f’(x)=0

Monotonía: creciente y decreciente en todo su Domf

Extremos relativos: no tiene

Convexidad: convexa hacia arriba y hacia abajo en todo su Domf

Puntos de inflexión: no tiene

*función inyectiva



1.1 Función lineal (y=mx)

Este tipo de función también lo desarrollaré con el ejemplo concreto y=x

Dom f = R

Img f= R

Simetría impar y no es periódica:

Ceros de la función: en x=0, y =0


Signo de f(x): negativo en (-∞,0) positivo en (0,+∞)


Derivable en todo su Dom con f’(x)=m

Monotonía: creciente en todo su Domf si m>0, si m<0 decreciente en todo su Domf




*función inyectiva



1.2. Función afín (y=mx+n)

Este tipo de función lo desarrollaré con el ejemplo concreto de y=mx+3

Dom f = R

Img f= R

Simetría no tiene y no es periódica:

Ceros de la función: en mx=-n

Corte con el eje y: en x=0, y=n (ordenada en el origen)

Signo de f(x): negativo en (-∞,-n) positivo en (-n,+∞)


Derivable en todo su Dom con f’(x)=m

Monotonía: creciente en todo su Domf si m>0, si m<0 decreciente en todo su Domf




*función inyectiva



2. FUNCION RACIONAL f(x)= p(x)/q(x)

En general podríamos hablar de una función racional como las potenciales de tipo 4.1 y 4.2 pero para un estudio más exhaustivo distinguiremos los siguientes casos,

Si p(x) < grado que q(x)Si p (x) = grado que q(x)Si p (x) > grado que q(x)



Dom f = R, menos para aquellos números en que se haga 0 el denominador

Img f= R

No es periódica , simetría depende de la función.

Ceros de la función:

Corte con el eje y:

Signo de f(x):

Continuidad: es continua en todo en R salvo los puntos que no pertenece n al dominio. Las asíntotas pueden ser: Verticales; los puntos que hacen cero el denominador. Horizontales se calculan hallando el limite de la funcion cuando x tiende a ±infinito y ha de dar un número, ese número será la asíntota. Oblicuas de forma y=mx+b

Derivable en todo su Domf con f’(x)=

Monotonía:

Extremos relativos:

Convexidad:

Puntos de inflexión:

ejemplo (p(x)<grado que q(x))



3. FUNCION IRRACIONAL f(x)= n√x

n siempre ϵ N

Con n par Con n imparCoincide con el apartado 4.9 (ver alli)

Coincide con el apartado 4.8 (ver allí)



4.FUNCIÓN POTENCIAL f(x) = xa

a<0 a=0 a>0

a entero a impar 4.2

a par 4.1f(x) = 1

excepto en x = 0

4.3

a impar 4.5

a par 4.4

a racional (*) fracción irreducible.

a con denominador impar 4.6

a con denominador par 4.7

a con denominador impar 4.8

a con denominador par 4.9

a irracional 4.10 4.11



4.1 a ϵ Z par <0

Dom f = R-{0}

Img f= R+

Simetría par y no es períodica.

Corte con el eje y: no tiene

Ceros de la función: no tiene

Signo de f(x): positivo en todo su Domf

Continuidad: continua en todo el Domf con una asíntota vertical en x=0 limx⇾0f (x )= ∞

Tiene una asíntota horizontal en y=0

Derivable en todo su Dom con f’(x)= axa-1

Monotonía: creciente en (-∞,0) decreciente en (0,∞)


Convexidad: convexa hacia arriba en todo Domf




4.2 a ϵ Z impar <0

Dom f = R-{0}

Img f= R-{0}

Simetría impar y no es periódica.



Signo de f(x): positivo en todo Domf

Continuidad: continua en todo R salvo el 0. Tiene una asíntota vertical en x=O

limx⇾0−¿ f (x)¿

¿= -∞ limx⇾0+¿ f ( x)¿

¿= +∞

Tiene una asíntota horizontal en y=0

Derivable en todo su Domf con f’(x)= axa-1

Monotonía: decreciente en (-∞,0) y creciente en (0,∞)

Convexidad: convexa hacia abajo en (-∞,0) convexa hacia arriba en (0,∞)



*función inyectiva



4.3 a = 0

Dom f = R-{0}

Img f= 1

Simetría par y no es periódica.




Continuidad: continua en todo su Domf con una discontinuidad evitable en x=0

Derivable en todo su Dom con f’(x)= 0

Monotonía: creciente y decreciente en todo su Domf




*función inyectiva



4.4 a ϵ Z par >0

Dom f = R

Img f= R+

Simetría par y no es periódica.

Ceros de la función: en x=0


Signo de f(x): positivo en todo R

Continuidad: contínua en todo R



Extremos relativos: mínimo relativo y absoluto en x=0

Convexidad: convexa hacia arriba en todo R




4.5 a ϵ Z impar >0 (x^1 función afín, ver apartado 1.2)

Dom f = R

Img f= R




Signo de f(x): negativo en (-∞,0) y positivo en (0,∞)



Monotonía: creciente en todo R


Convexidad: convexa hacia abajo (-∞,0) y convexa hacia arriba en (0,∞)

Puntos de inflexión: en x=0

*función inyectiva



4.6 a racional <0 con denominador impar

Dom f = R-{0}

Img f= R-{0}





Continuidad: continua en todo R salvo el 0. Tiene una asíntota vertical en x=O

limx⇾0−¿ f (x)¿

¿= -∞ limx⇾0+¿ f ( x)¿

¿= +∞



Convexidad: convexa hacia abajo en (-∞,0) convexa hacia arriba en (0,∞)



*función inyectiva



4.7 a racional <0 con denominador par

Dom f = R+

Img f= R+

Simetría no tiene y no es periódica.

Ceros de la función: no existe



Continuidad: continua en todo Domf con una asíntota vertical en x=0 y una horizontal cuando x +⇾ ∞


Monotonía: decreciente en todo su Domf


Convexidad: convexa hacia arriba en todo su Domf


*función inyectiva



4.8 a racional > 0 con denominador impar (COINCIDE CON FUNCIONES IRRACIONALES DE INDICE IMPAR)

Dom f = R

Img f= R









Convexidad: convexa hacia arriba (-∞,0) y convexa hacia abajo en (0,∞)


*función inyectiva



4.9 a irracional > 0 con denominador par (COINCIDE CON FUNCIONES IRRACIONALES DE INDICE PAR)

Dom f = R+

Img f= R+





Continuidad: continua en todo Domf


Monotonía: creciente en todo su Domf


Convexidad: convexa hacia abajo en todo su Domf


*función inyectiva



4.10 a irracional < 0

Dom f = R+

Img f= R+


Ceros de la función: no existe



Continuidad: continua en todo Domf con una asíntota vertical en x=0 y una horizontal cuando x +⇾ ∞


Monotonía: decreciente en todo su Domf




*función inyectiva

(x^(-π))



4.11 a irracional >0

Dom f = R+

Img f= R+




Signo de f(x): positiva en todo Domf

Continuidad: continua en todo Domf


Monotonía: creciente en todo Domf


Convexidad: convexa hacia arriba en todo Domf


*función inyectiva



5. FUNCION EXPONENCIAL f(x)=ax

a<0 a=0 a>0 a=ea ϵR 5.1 5.2 5.3 5.4Todas las exponenciales son inyectivas

5.1 a ϵR, a<0

Dom f = R

Img f= R+



Corte con el eje y: en x=0 (y=1)


Continuidad: continua en todo R con una asíntota horizontal para en x=0 cuando x tiende a +∞ limx⇾+∞

f (x )= 0

Derivable en todo su Dom con f’(x)= ax * Lna

Monotonía: decreciente en todo Domf


Convexidad: convexa hacia arriba




5.2 a=0 (función constante, coincide con el eje x, ver apartado 1.1)

5.3 a ϵR a>0

Dom f = R

Img f= R+



Corte con el eje y: en x=0 (y=1)



Derivable en todo su Dom con f’(x)= ax * Lna







5.4 a=e. se comporta igual que 4.3. interesa distinguirla porque su recíproca es f(x)=Lnx

6. FUNCIONES LOGARITMICAS

Con log de base ≠ e Con base e (Ln)6.1 6.2Todas las logarítmicas son inyectivas

6.1 f(x)= logax

Dom f = R+

Img f= R

Simetría no tiene y no es periódica:



Signo de f(x): negativo en (0,1) positivo en (1,+∞)

Continuidad: continua en todos u Domf. Tiene una asíntota vertical en x=0 limx⇾0+¿ f ( x)¿

¿= -∞

Derivable en todo su Domf con f’(x)= 1/(x*loga)

Monotonía: creciente en todo su Domf




Convexidad: convexa hacia abajo en todo su Domf


6.2 f(x)= Ln(x) funciona igual que la anterior

Remarcar que las funciones exponencial y logarítmica son recíprocas, como se observa en la siguiente gráfica. (simétricas respecto a y=x)



7. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

FUNCION SEN(X) 7.1FUNCION COS(X) 7.2FUNCION TG(X) 7.3FUNCION ARCCOS(X) 7.4FUNCION ARCCOS(X) 7.5FUNCION ARCTG(X) 7.6



7.1 f(x)=sen(x)

Dom f = R

Img f= (-1,1)

Simetría impar y periódica de período (0,2π)

Ceros de la función: en x=0 +k π

Corte con el eje y: en x=0 y=0

Signo de f(x): positiva en el intervalo (0,π) y negativa en el intervalo (π,2π) y a partir de ahí se repite por cada lado en un período de π.


Derivable en todo su Dom con f’(x)= cos(x)

Para el siguiente estudio nos centraremos en el intervalo [0,2π], ya que en los otros intervalos se repite en un intervalo de 2π

Monotonía: creciente en [0, π/2]u [3π/2, 2π] decreciente en [π/2, 3π/2]

Extremos relativos: máximo relativo en x= π/2 mínimo relativo en x=3π/2

Convexidad: convexa hacia arriba en (0, π) convexa hacia abajo en (π, 2π)

Puntos de inflexión: punto de inflexión en x=3π/2



7.2 f(x)=cos(x)

Dom f = R

Img f= (-1,1)

Simetría par y periódica de período (-π,π)

Ceros de la función: en x=(-π/2) +kπ y x=π/2 +kπ

Corte con el eje y: en x=0 y=1

Signo de f(x): negativo en [-π, -π/2) u (π/2, π] positivo en (-π/2, π/2)


Derivable en todo su Dom con f’(x)= -sen(x)

Para el siguiente estudio nos centraremos en el intervalo (-π,π) ya que en los otros intervalos se repite en un intervalo de 2π

Monotonía: creciente en (-π,0)u [3π/2, 2π] decreciente en (0,π)

Extremos relativos: máximo relativo en x=0 mínimo relativo en x=-π y x=π

Convexidad: convexa hacia arriba en (-π/2, π/2) convexa hacia abajo en (-π, -π/2) u (π/2,π)

Puntos de inflexión: punto de inflexión en x= -π/2 y x= π/2



7.3 f(x)=tg(x)

Dom f =

Img f= R

Simetría impar y periódica de periodo πrad

Ceros de la función: en x=0 + kπ

Corte con el eje y: en x=0, y =0

Signo de f(x): negativa en (-π/2,0) positiva en (0, π/2)

Continuidad: continua

Derivable en todo su Dom con f’(x)= 1+tg2x

Para el siguiente estudio nos centraremos en el intervalo (-π/2,π/2) ya que en los otros intervalos se repite en un intervalo de π



Convexidad: convexa hacia abajo en (-π/2,0) convexa hacia arriba en (0, π/2)

Puntos de inflexión: en x=0 +kπ



7.4 f(x)=arcsen(x)

Para esta función hemos de restringirla al intervalo [-1,1]

Dom f = [-1,1]

Img f= [-π/2, π/2]

Simetría impar



Signo de f(x): negativa en (-1,0) positiva en (0,1)

Continuidad: continua en su Dom restringido

Derivable en todo su Dom con f’(x)= 1/√(1-x2)

Monotonía: creciente en su Domf


Convexidad: convexa hacia abajo en (-1,0) convexa hacia arriba en (0,1)




7.5 f(x)=arccos(x)

Para esta función hemos de restringirla al intervalo [-1,1]

Dom f = [-1,1]

Img f= [0, π]

Simetría no tiene


Corte con el eje y: en x=π/2

Signo de f(x): positiva en (-1,1)

Continuidad: continua en su Dom restringido

Derivable en todo su Dom con f’(x)= -1/√(1-x2)

Monotonía: decreciente en su Domf


Convexidad: convexa hacia arriba en (-1,0) convexa hacia abajo en (0,1)




7.5 f(x)=arctg(x)

Dom f = R

Img f= [-π/2,π/2]






Derivable en todo su Dom con f’(x)= 1/(1+ x2)



Convexidad: convexa hacia arriba (-∞,0) y convexa hacia abajo en (0,∞)


*función inyectiva



8 FUNCIONES A TROZOS

Son combinaciones de las funciones anteriores en distintos fragmentos del dominio de la función.

ejemplo: combinación de una cuadrática en (-∞,2) y una constante en (2,∞)


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