6 Κυμάνσεις

Μαρία Κατσικίνηkatsiki@auth.grusers.auth.gr/katsiki

• Κύμα – ορισμός• Είδη κυμάνσεων• Οδεύοντα και στάσιμα κύματα

Δύναμη σταθερήεφαρμόζεται σε σώμα

Το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλάεπιταχυνόμενη κίνηση

Δύναμη ανάλογη τηςαπομάκρυνσης (F = -kx)εφαρμόζεται σε σώμα

Το σώμα εκτελεί αρμονικήταλάντωση

ΚύμαΔιαταραχή που μεταφέρει ενέργειααπό το ένα σημείο του μέσου σεένα άλλο χωρίς να μεταφέρει μάζα

Ταλαντώσεις = πηγές κυμάνσεων

Σχέση δύναμης - κίνησης

Η μεταφορά ενέργειας σε ένα μέσο όπου διαδίδεται ένα κύμα γίνεται με τηβοήθεια των αλληλεπιδράσεων μεταξύ των μορίων / ατόμων.

Μηχανικά κύματα

Η ταχύτητα διάδοσης στο μέσοείναι χαρακτηριστική του μέσου

• Διαδίδονται διαμέσουτης ύλης

Ηλεκτρομαγνητικάκύματα

• Διαδίδονται και στοκενό

π.χ. ο ήχος π.χ. το φως

Καθορίζεται από την ελαστικότητά του και τηναδράνεια των ατόμων / μορίων

k

m

Μηχανικά κύματα:1. Πηγή που προκαλεί τη διαταραχή / ταλάντωση2. Μέσο που «διαταράσσεται»3. Αλληλεπίδραση μεταξύ των τμημάτων / μορίων του μέσου

Διάδοση ενέργειας

Κατά τη διάδοση μίας κύμανσης σε ένα μέσο τα σωμάτια της ύλης δενεκτελούν μεταφορική κίνηση αλλά ταλαντώσεις γύρω από τη θέσηισορροπίας

Το είδος της ταλάντωσης που θα εκτελέσουν καθορίζεται από τη δύναμη ηοποία παράγει το κύμα.

Αρμονική δύναμη παράγει αρμονική ταλάντωση.

Η διαταραχή διαδίδεται λόγω των δυνάμεων επαναφοράς πουασκούνται μεταξύ γειτονικών μορίων που τείνουν να τα επαναφέρουνστη θέση ισορροπίας

Μηχανικά κύματα

Εγκάρσιο κύμα

Κάθε τμήμα τηςχορδής ταλαντώνεται

κάθετα στηδιεύθυνση διάδοσης

του κύματος

Διάμηκες κύμα

Κάθε τμήμα τουελατηρίου

ταλαντώνεταιπαράλληλα στη

διεύθυνση διάδοσηςτου κύματος

Εγκάρσια – διαμήκη κύματα

Στα στερεά διαδίδονται και διαμήκη και εγκάρσια κύματα

Η ταχύτητα διάδοσης των διαμηκών και εγκαρσίων κυμάτων είναι διαφορετικήστο ίδιο μέσο

Στα υγρά και τα αέρια διαδίδονται μόνο διαμήκη κύματα π.χ. ήχος

Εγκάρσια – διαμήκη κύματα

Στα στερεάδιαδίδονταικαι διαμήκηκαι εγκάρσιακύματα

Στα υγράκαι τα αέριαδιαδίδονταιμόνοδιαμήκηκύματα

Σεισμικά κύματα

www.astronomynotes.com

Από τη μελέτη των σεισμικών κυμάτων λαμβάνουμε πληροφορίες γιατη δομή των πετρωμάτων και το εσωτερικό της Γης.

secondary (4-5km/s)

primary (7-8km/s)

Διαφορά χρόνουσε διαφορετικούς

τόπουςεπίκεντρο σεισμού

Εγκάρσια – διαμήκη κύματα

Όταν σε ένα μέσοδιαδίδονται δύο ή

περισσότερα οδεύοντακύματα,

η ολική διαταραχή είναιάθροισμα* τον επί μέρους

διαταραχών

* Ισχύει για κυμάνσεις μικρού πλάτους

... δηλαδή το ένα κύμαδιαπερνά το άλλο χωρίς να

διαταράσσεται

Αρχή της επαλληλίας

x=0

Το χέρι αναγκάζει ένα αρχικά τεντωμένο νήμα να κινηθεί (στο σημείο x=0) αρμονικά

Ποιά είναι η μετατόπιση (y) του κάθε σημείου του νήματος (x) σεοποιαδήποτε χρονική στιγμή t;

x ∞

tAy ωcos)0( = tAty ωcos),0( =

θέσηx

χρονικήστιγμή

t

Αρμονικά οδεύοντα κύματα

( )tcosA)t,0(y ′=′ ω

υx

tt +′=

Εξίσωση κύματος

δύο στιγμιότυπα

Θέση (x) τουσημείου P τη

χρονική στιγμή tTo κύμα οδεύει με ταχύτητα υ

x=0 x

Σημείο της κυματομορφήςμε σταθερή απομάκρυνση(σταθερή φάση) π.χ. y=A

Θέση (x=0) τουσημείου P τη

χρονική στιγμή t’

P Px

Η χρονική στιγμή t διαφέρει απότην t’ κατά x/υ

A

Αρμονικά οδεύοντα κύματα

( )tcosA)t,0(y)t,x(y ′=′= ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=′

υω x

tcosA)t,0(yυx

tt −=′

( )kxtcosA)t,x(y −= ω

υω

=k

( )kxtcosA)t,x(y += ω Διάδοση προςτ’ αριστερά

k κυματάριθμος(λόγος δύο ταχυτήτων)

x=0 x

P Px

A

Εξίσωση κύματοςΑρμονικά οδεύοντα κύματα

y

x

λ

ταχύτητα κύματος (ταχύτητα φάσης): ταχύτητα με την οποία κινούνταιοι επιφάνειες ίσης φάσης π.χ. όρη

y

t

Τ

T

λυ =Μήκος κύματος: απόσταση που διανύειτο κύμα σε χρόνο μιας περιόδου

Περίοδος

Α

πλάτος τουκύματος

Στιγμιότυποτου κύματος

Ταλάντωσησυγκεκριμένουσημείου γύρωαπό τη θέσηισορροπίας

Αρμονικά οδεύοντα κύματα

υ=λ

=

λπ

π

=ω

T2T2

k k

ωυ =

T

λυ =

Κυματάριθμος: εκφράζει πόσες φορές στη μονάδα του μήκους τοκύμα έχει ίδια φάση [μονάδες rad/m, m-1, cm-1]λ

π≡

2k

Κυκλική συχνότητα: εκφράζει πόσες φορές στη μονάδα του χρόνουτο κύμα έχει ίδια φάση [μονάδες rad/sec, sec-1]T

2π≡ω

Εξίσωση κύματοςΑρμονικά οδεύοντα κύματα

Άσκηση

s

m

k 3

4

4

3 === π

πωυ

sradT

/323

22 πππω =⋅

==

Ένας ψαράς παρατηρεί ότι η βάρκα του κινείται πάνω – κάτω περιοδικά λόγωτων κυμάτων στην επιφάνεια του νερού. Απαιτούνται 3sec ώστε η βάρκα ναφτάσει από το ανώτατο στο κατώτατο σημείο, μια ολική απόσταση 0.8m. Οψαράς βλέπει ότι οι κορυφές των κυμάτων απέχουν 8m. α) Πόσο γρήγορα ταξιδεύουν τα κύματα;β) Πόσο είναι το πλάτος του κάθε κύματος;

mradk /48

22 ππλπ

===

0.8m

8m

αα))

ββ)) mA 4.02

8.0==

f⋅λ=υ

s

mm

)Hz(s 1−

Η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος εξαρτάται από το μέσο στο οποίο διαδίδεται

Η συχνότητα του κύματος δεν εξαρτάται από το μέσο

Το μήκος κύματος εξαρτάται από το μέσο στο οποίο διαδίδεται το κύμα

( )kxtAtxy mωcos),( =

ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΜΑΤΟΣ

λπ2

k =T

2πω = fλ=υ T

1f =

Μονάδες:

kλωΤf

rad/mmrad/ssHz

T

λυ =T

1f =

Θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής

Αρμονικό ημιτονοειδές κύμα πλάτους Α και συχνότητας 16500Hz διαδίδεται κατάτη διεύθυνση –x με σταθερή ταχύτητα 330m/s. Να γραφεί η εξίσωσή του αν γιαt=0 και x=0 είναι y=A/2.

( )ϕω ++= kxtAtxy cos),(διάδοση κατά -x

sradf /1036731650014.322 =⋅⋅== πω

Για t=0 και x=0: y=A/2

360

2

1cos

2cos)0,0(

πϕϕϕ =°=⇒=⇒==A

Ay

]/[100330

165002mradk ππ

υω

=⋅

==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++π=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

++=6

1x50t165002cosA)t,x(y

3x16.314t103673cosA)t,x(y

Άσκηση

( )kxtcosA)t,x(y −= ω

x=0x

( )ϕω +−= kxtcosA)t,x(y

αρχική φάση

σταθϕωΦ =+−= kxt)t,x(

φάση

Ταχύτητα φάσης: ταχύτητα διάδοσηςενός σημείου σταθερής φάσης (π.χ. μιας κορυφής)

=Ταχύτητα του κύματος

≠Ταχύτητα ταλάντωσης ενός σημείουγύρω από τη θέση ισορροπίας

Φάση

υ=ω

=⇒

⇒=⋅−ω⇒=∂Φ∂

kdt

dx

0dt

dxk0

t

Παράγωγος ως προς το χρόνο:

y

σημείασταθερήςφάσης

Εξίσωση κύματοςΑρμονικά οδεύοντα κύματα

( )kxtcosA)t,x(y −= ωx

Εγκάρσια ταχύτητα : ταχύτηταταλάντωσης ενός σημείου γύρω από τηθέση ισορροπίας

y

( )kxtsinAt

yy −ωω−=

∂∂

=υ

ω=υ Amaxy σε σημεία y=0

Εγκάρσια επιτάχυνση : επιτάχυνσηενός σημείου γύρω από τη θέσηισορροπίας

( )kxtcosAt

y 22

2

y −ωω−=∂∂

=α

2maxy Aω=α σε σημεία y=max=±A

Εξίσωση κύματοςΑρμονικά οδεύοντα κύματα

Αρμονικό ημιτονοειδές κύμα μήκους κύματος 2.00m και πλάτους 0.100mδιαδίδεται σε χορδή με ταχύτητα 1.00m/s προς τα δεξιά. Για t=0 το αριστερόάκρο της χορδής βρίσκεται σε y=0. Να βρεθούν: (α) η συχνότητα και η κυκλικήσυχνότητα, (β) ο κυματάριθμος, (γ) η κυματοσυνάρτηση (εξίσωση κύματος).Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης (δ) για το αριστερό άκρο της χορδής και (ε) γιασημείο που απέχει 1.5m δεξιά του αριστερού άκρου. Ποια είναι η μέγιστηταχύτητα του κάθε σημείου της χορδής;

Συχνότητα:

( ) ( ) ( )]m[x14.3[sec]t14.3sin100.0]m[t,xykxtsinA)t,x(y −=⇒−ω=

Hz500.000.2

00.1ff ==

λυ

=⇒λ=υ

Κυκλική συχνότητα:sec

14.3500.02rad

=⋅= πω

Κυματάριθμος:m

radk 14.3

2

22===

πλπ

Κυματοσυνάρτηση:

Εξ. κίν. αριστερού άκρου: ( ) ( )ttxy 14.3sin100.0, =

Εξ. κίν. αρ. άκρο+1.5m: ( ) ( ) ( )71.414.3sin100.05.114.314.3sin100.0, −=⋅−= tttxy

Μέγιστη ταχύτητα:sec

314.014.3100.0max mA =⋅== ωυ

Άσκηση

Μέτωπο κύματος : γεωμετρικός τόπος των σημείων ίσης φάσης

ισοφασική επιφάνεια

σταθϕωΦ =+−= kxt)t,x(Όλα τα σημεία της

ισοφασικής επιφάνειαςδέχονται την ίδια διαταραχήμια ορισμένη χρονική στιγμή

επίπεδο κύμα σφαιρικό κύμα

ακτίνα

ακτίναΕυθεία κάθετη στομέτωπο κύματος(για μέσοισότροπο καιομοιογενές)

δείχνει τη διεύθυνσηδιάδοσης του κύματος

Επίπεδο – σφαιρικό κύμα

Τα ηχητικά κύματα από ένα ηχείο διασκορπίζονται σχεδόν ισότροπα προς όλεςτις κατευθύνσεις όταν τα μήκη κύματος είναι μεγάλα συγκριτικά με τη διάμετροτου ηχείου. Όταν το μήκος κύματος είναι μικρό σχετικά με τη διάμετρο του ηχείουμεγάλο μέρος της ηχητικής ενέργειας εκπέμπεται προς τα μπρος. Για ηχείοδιαμέτρου 20cm υπολογίστε τη συχνότητα για την οποία το μήκος κύματος τωνηχητικών κυμάτων στον αέρα (υ=344m/s2) είναι:α) 10 φορές μεγαλύτερο από τη διάσταση του ηχείουβ) ίσο προς τη διάμετρο του ηχείουγ) 1/10 της διαμέτρου του ηχείου

mcm 22002010 ==⋅=λα) Hzff 1722

344===⇒⋅=

λυλυ

mcm 2.020 ==λβ) Hzff 17202.0

344===⇒⋅=

λυλυ

mcm 02.010

20==λβ) MHzff 2.17

02.0

344===⇒⋅=

λυλυ ~επίπεδο

κύμα

~σφαιρικόκύμα

Άσκηση

Κύμα έχει συχνότητα f=500Hz και ταχύτητα υ=330m/s.α) Πόσο απέχουν δύο σημεία με διαφορά φάσης 60ο για συγκεκριμένη χρονικήστιγμή;β) Ποια είναι η διαφορά φάσης μεταξύ δύο απομακρύνσεων σ’ ένα ορισμένοσημείο σε στιγμές που διαφέρουν κατά 10-3 sec;

ϕω +− 1kxt

( ) ( )

m11.01000

110

32500330

32f

32xx

3k

1xx

3xxk

3kxtkxt

12

121221

==π

π=

ππ

υ

=π

πλ

=−⇒

⇒π

=−⇒π

=−⇒π

=ϕ+−ω−ϕ+−ω=ΔΦ

Φάση σημείου στη θέση 1:

ϕω +− 2kxtΦάση σημείου στη θέση 2:

αα))

ββ)) ϕω +− kxt1Φάση σημείου τη χρονική στιγμή t1:

Φάση σημείου τη χρονική στιγμή t2: ϕω +− kxt2

( ) ( ) ππωϕωϕωΔΦ −=⋅−=−=+−−+−= −32121 105002ttkxtkxt

Άσκηση

Ανάκλαση σε ελεύθερο άκρο

υ

-υ

Φτάνει στο ελεύθερο άκροΗ χορδή ασκεί δύναμη στο δακτύλιο

ο δακτύλιος επιταχύνεταιΌταν απομακρυνθεί ο δακτύλιος σεαπόσταση ίση με το πλάτος τουπαλμού, κινείται προς την αντίθετηκατεύθυνση υπό την επίδραση τηςτάσης της χορδήςΔημιουργείται παλμός που διαδίδεταιπρος την αντίθετη κατεύθυνση(ανάκλαση κύματος)Ανακλώμενο και διαδιδόμενο κύμαέχουν διαφοράδιαφορά φάσηςφάσης 00οο στοελεύθερο άκρο

Παλμός διαδίδεται σε τεντωμένηχορδή με ελεύθερο άκρο (δεμένο σεδακτύλιο που κινείται χωρίς τριβές).

Διάδοση σε μέσο που έχει όρια

Ανάκλαση σε σταθερό άκρο

υ

-υ

Φτάνει στο σταθερό άκρο (καρφί) τοοποίο δεν μπορεί να κινηθείΓ’ νόμος Newton: η χορδή ασκεί δύναμηστο καρφί το καρφί ασκεί ίση καιαντίθετη δύναμη στη χορδήΔημιουργείται παλμός που διαδίδεταιπρος την αντίθετη κατεύθυνση(ανάκλαση κύματος)Αρχή επαλληλίας ανακλώμενο καιδιαδιδόμενο κύμα έχουν διαφοράδιαφοράφάσηςφάσης 180180οο στο σταθερό άκρο

Παλμός διαδίδεται σε τεντωμένη χορδή μεπακτωμένο άκρο (έστω στερεωμένο μεένα καρφί).

Διάδοση σε μέσο που έχει όρια

ανακλώμενο προσπίπτον

Ημιτονοειδής διαταραχή διαδίδεται σε χορδή με πακτωμένα άκραΤο κύμα συνεχώς ανακλάται στα δύο άκραΕπαλληλία κυμάτων )()()( 21 tytyty +=

υ υ

Α Α

( )kxtAty += ωsin)(1( )kxtAty −−= ωsin)(2

Ίδια συχνότηταΊδιο πλάτος

Ίδια ταχύτητα υ=ω/kΔιαφορά φάσης = 180ο

για t=0 και x=0 y=0 (πακτωμένο άκρο)

Στάσιμα κύματα

( )kxtAty += ωsin)(1( )kxtAty −−= ωsin)(2

( ) ( )( ) ( )[ ]

( )tcoskxsinA2

kxsintcoskxcostsinkxsintcoskxcostsinA

kxtsinkxtsinA

kxtsinAkxtsinA)t(y)t(y)t(y 21

ω==ω+ω−ω+ω=

=−ω−+ω==−ω−+ω=+=

( ) BABABA sincoscossinsin ±=±

tcoskxsinA2)t,x(y ω=Εξίσωση στάσιμου κύματος

ΦάσηΦάσηεξάρτηση μόνο από το χρόνο

ΠλάτοςΠλάτοςχωρική μεταβολή

Στάσιμα κύματα

tkxAty ωcossin2)( =αρμονική ταλάντωση

Θέσεις μέγιστου πλάτους:

( ) ( ) ( )4

122

1222

12λπ

πλπ

+=⇒+=⇒+= mxmxmkx

Θέσεις μηδενισμού του πλάτους:

22

λππλπ nxnxnkx =⇒=⇒= ΔΕΣΜΟΣ

ΚΟΙΛΙΑ

Στάσιμα κύματα

λ/2

2Α

δεσμός

κοιλία

στάσιμο κύμα

Στάσιμα κύματα

Δύο κύματα διαδίδονται σε χορδή με πακτωμένα τα δύο άκρα. Ένα κινείται στηνκατεύθυνση +x με ταχύτητα 84.0m/s, έχει πλάτος 15mm και συχνότητα 120Hz. Το άλλο είναι ίδιο εκτός του ότι διαδίδεται στην κατεύθυνση –x. Το κύμα πουπροκύπτει είναι επαλληλία των δύο αυτών κυμάτων. (α) Να βρεθούν τα σημείατης χορδής που δεν κινούνται καθόλου υποθέτοντας ότι ένα εξ’ αυτών είναι στοx=0, (β) να βρείτε την κυματοσυνάρτηση (γ) να βρείτε το πλάτος στα σημείαμέγιστης ταλάντωσης

(α) σημεία που δεν κινούνται καθόλου = δεσμοί x=m(λ/2)

m7.0120

84

ff ==

υ=λ⇒λ=υ Θέσεις δεσμών: 0, 0.35, 0.7 …

(β) κυματοσυνάρτηση: ( ) ( )tcoskxsinA2y ω=

m

rad97.8

7.0

28.62k ==

λπ

=sec

rad75412028.6f2 =⋅=π=ω

( ) ( )[sec]t754cos]m[x97.8sin03.0]m[y =

m03.0A2 =(γ) πλάτος στα σημεία μέγιστης ταλάντωσης:

Άσκηση

Μήκος χορδής:2

λmL =

Συχνότητες ταλάντωσης της χορδής:L

mf

mL

f22υυ

λυ

=⇒==

Lf

21

υ=

Ιδιοσυχνότητεςταλάντωσης τηςχορδής

Θεμελιώδης συχνότητα

Ανώτερες αρμονικές 1mffm = (m=2,3,4…)

άκρα χορδής =δεσμοί

συνθήκη δημιουργίαςστάσιμου κύματος σε χορδή

μήκους L

Στάσιμα κύματα σε τεντωμένη χορδή

Μία χορδή μπορεί να πάλλεται ταυτόχρονα στη θεμελιώδη συχνότητακαι σε όλες τις αρμονικές της

L2=λ1f

ΣυχνότηταΣυχνότητα ΜήκοςΜήκος κύματοςκύματος

2

λmL =1mffm =

L=λ12 f

L3

2=λ13 f

2

L=λ14 f

θεμελιώδης

2η αρμονική

3η αρμονική

4η αρμονική

L

Στάσιμα κύματα σε τεντωμένη χορδή

Η χροιά του ήχου που παράγεται από δονούμενη χορδή καθορίζεται από τησχετική ένταση των αρμονικών ως προς τη θεμελιώδη συχνότητα

0 2 4 6 8 10-15

-10

-5

0

5

10

15

πλάτος

t (msec)

0 2 4 6 8 10-15

-10

-5

0

5

10

15

πλάτος

t (msec)

f1=440Hz

0.5 1.0 1.5 2.00

2

4

6

πλάτος

v (kHz)

0.5 1.0 1.5 2.00

2

4

6

πλάτος

v(kHz)

Στάσιμα κύματα σε τεντωμένη χορδή

μυ F=

ταχύτηταδιάδοσης του

ήχου σε χορδή

δύναμη με την οποίατείνεται η χορδή

γραμμική πυκνότητα χορδής

L

M=μ

μάζα χορδής

μήκος χορδής

Ταχύτητα κύματος σε χορδή

Η χαμηλότερη συχνότητα που μπορεί να παράγει χορδή μήκους 2m είναι 40Hz, όταν τείνεται με μια δύναμη 320Ν. Ποια είναι η μάζα της χορδής;

m

kgrFF

80

1

160

32022===⇒=

υμ

μυ

mLL 42222

=⋅==⇒= λλ

Θεμελιώδης συχνότητα: 40 Hz

Μήκος κύματος θεμελιώδους αρμονικής:

sec160404

mf =⋅=⋅= λυΤαχύτητα διάδοσης:

Γραμμική πυκνότητα:

grkgrLML

M25025.02

80

1==⋅=⋅=⇒= μμΜάζα χορδής:

Άσκηση

Σώμα μάζας Μ, που είναι δεμένο με μία χορδή, ισορροπεί πάνω σε κεκλιμένοεπίπεδο κλίσης θ. Το μήκος της χορδής είναι L και η μάζα της m μπορεί ναθεωρηθεί πολύ μικρή σε σχέση με τη μάζα Μ. Πόσος χρόνος απαιτείται για ναδιαδοθεί ένα εγκάρσιο κύμα από το ένα άκρο της χορδής στο άλλο;

WLmsinMgF θ

=μ

=υ

Χρόνος που απαιτείται για να διαδοθεί ένα κύμα:υ

=L

t

Ταχύτητα διάδοσης κύματος:

Άρα:θ

=θ

=θ

=υ

=sinMg

mL

sinLMg

mL

msinLMg

LLt

2

Άσκηση

Τα δύο άκρα ελαφριάς χορδής μάζας 10gr και μήκους L=3m είναι στερεωμένασε δύο τοίχους που απέχουν απόσταση D=2m. Δύο σώματα μάζας Μ=2kgκρέμονται όπως φαίνεται στο σχήμα. Πόσος χρόνος απαιτείται ώστε έναςπαλμός να διαδοθεί από το σημείο Α στο Β; (g=9.8 m/s2)

Άσκηση