EvolusiGelombangHarmonikmelaluiBalokBerpori...(x;t) = 1 2 sin(x t) Dalambentukyanglebihumum (x;t) =...

Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

M. Jamhuri1, Ari K, Farida S.

May 3, 2014

1Jurusan Matematika FSAINTEK UIN Maulana Malik Ibrahim, MalangM. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Definition

Harmonic waves is ...

“Sinusoidal component of a periodic waves2”Contoh:

η (x , t) =12sin (x − t)

Dalam bentuk yang lebih umum

η (x , t) = ae−i(kx−ωt)

2IEEE 519 Recommended Practices and Requirements for Harmonic Controlin Electric Power Systems

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Definition

Harmonic waves is ...“Sinusoidal component of a periodic waves2”

Contoh:η (x , t) =

12sin (x − t)

Definition

Harmonic waves is ...“Sinusoidal component of a periodic waves2”Contoh:

η (x , t) =12sin (x − t)

Definition

Harmonic waves is ...“Sinusoidal component of a periodic waves2”Contoh:

η (x , t) =12sin (x − t)

Figure: Contoh Gelombang Harmonik

Sketsa Saluran

Permasalahan

Bagaimana model matematika untuk evolusi gelombangharmonik yang melalui balok berpori tersebut?

Bagaimana pengaruh dasar saluran, lebar, ketinggian, danporositas balok terhadap ketinggian permukaan gelombang?

Permasalahan

Bagaimana model matematika untuk evolusi gelombangharmonik yang melalui balok berpori tersebut?Bagaimana pengaruh dasar saluran, lebar, ketinggian, danporositas balok terhadap ketinggian permukaan gelombang?

Figure: Balok Berpori

Kecepatan partikel pada mediafluida

u = ∇φ

Kecepatan partikel pada mediaberpori

u = Cr∇φ

Cr adalah karakteristik mediaberpori.

u = ∇φ

u = Cr∇φ

u = ∇φ

u = Cr∇φ

Konservasi massa dan momentum

Figure: Elemen Volume

Persamaan Pengatur

Persamaan Laplace untuk kedua media, yaitu

φxx + φzz = 0 untuk media fluida (1)

φxx + φzz = 0 untuk media berpori (2)

Kondisi batas kinematik dan dinamik pada permukaan bebas

φz − ηt + φxηt = 0 pada z = η (3)

φt +12|∇φ|2 + gη = 0 pada z = η (4)

Persamaan Pengatur

Persamaan Laplace untuk kedua media, yaitu

φxx + φzz = 0 untuk media fluida (1)

φxx + φzz = 0 untuk media berpori (2)

Kondisi batas kinematik dan dinamik pada permukaan bebas

φz − ηt + φxηt = 0 pada z = η (3)

φt +12|∇φ|2 + gη = 0 pada z = η (4)

Kondisi batas dinamik pada pertemuan antara media fluidadan media berpori,

φt +12|∇φ|2 = Cr φt +

r∣∣∇φ∣∣2+f ωφ pada z = −h1

(5)φz = Cr φz pada z = −h1 (6)

Kondisi pada dasar saluran, untuk media berpori (0 < x < L)dan media fluida (x < 0, dan x > L) adalah

φz = 0 pada z = −h2 (7)

φz = 0 pada z = −h2 (8)

Kondisi batas dinamik pada pertemuan antara media fluidadan media berpori,

φt +12|∇φ|2 = Cr φt +

r∣∣∇φ∣∣2+f ωφ pada z = −h1

(5)φz = Cr φz pada z = −h1 (6)

Kondisi pada dasar saluran, untuk media berpori (0 < x < L)dan media fluida (x < 0, dan x > L) adalah

φz = 0 pada z = −h2 (7)

φz = 0 pada z = −h2 (8)

Sketsa Persamaan Pengatur

Model Linier

Persamaan Laplace untuk media fluida dan untuk mediaberpori

φxx + φyy = 0 (9)

φxx + φzz = 0 (10)

Kondisi batas pada permukaan bebas

φz − ηt = 0 (11)

φt + gη = 0 (12)

Kondisi pada interface

φz = Cr φz (13)

φt = Cr φt + f ωφ (14)

Kondisi pada dasar kaku

φz = 0 (15)

φz = 0 (16)

Model Linier

φxx + φyy = 0 (9)

φxx + φzz = 0 (10)

φz − ηt = 0 (11)

φt + gη = 0 (12)

φz = Cr φz (13)

φz = 0 (15)

φz = 0 (16)

Model Linier

φxx + φyy = 0 (9)

φxx + φzz = 0 (10)

φz − ηt = 0 (11)

φt + gη = 0 (12)

φz = Cr φz (13)

φz = 0 (15)

φz = 0 (16)

Model Linier

φxx + φyy = 0 (9)

φxx + φzz = 0 (10)

φz − ηt = 0 (11)

φt + gη = 0 (12)

φz = Cr φz (13)

φz = 0 (15)

φz = 0 (16)

Sketsa Persamaan Pengatur (Model Linier)

Strategi Penyelesaian

Figure: Pembagian saluran berdasarkan kedalaman dan struktur padadasar saluran

Solusi dan Relasi Dipersi untuk ruas I & III

Figure: Sketsa untuk salurandasar rata

Persamaan Laplace

φxx + φzz = 0 pada − h2 < z < 0(17)

Kondisi batas kinematik dan dinamik dipermukaan

ηt − φz = 0 pada z = 0 (18)

φt + gη = 0 pada z = 0 (19)

Kondisi batas pada dasar saluran

φz = 0 pada z = −h2 (20)

Persamaan Laplace

φxx + φzz = 0 pada − h2 < z < 0(17)

ηt − φz = 0 pada z = 0 (18)

φt + gη = 0 pada z = 0 (19)

φz = 0 pada z = −h2 (20)

Persamaan Laplace

φxx + φzz = 0 pada − h2 < z < 0(17)

ηt − φz = 0 pada z = 0 (18)

φt + gη = 0 pada z = 0 (19)

φz = 0 pada z = −h2 (20)

Persamaan Laplace

φxx + φzz = 0 pada − h2 < z < 0(17)

ηt − φz = 0 pada z = 0 (18)

φt + gη = 0 pada z = 0 (19)

φz = 0 pada z = −h2 (20)

Untuk dasar saluran rata, permukaan gelombang dapatdimisalkan sebagai

η (x , t) = Ae−i(kx−ωt) (21)

Selanjutnya, persamaan (21), persamaan Laplace (17), dankondisi batas (18), (19), (20) di selesaikan dengan metodepemisahan variabel.dengan memisalkan φ (x , y , t) = S (x , t) F (z) , danmenyelesaikan secara terpisah, diperoleh solusi

φ (x , z , t) =igωη (x , t)

[cosh (kz) +

gksinh (kz)

serta relasi dispersi

ω2 − gk tanh (kh2) = 0. (23)

η (x , t) = Ae−i(kx−ωt) (21)

Selanjutnya, persamaan (21), persamaan Laplace (17), dankondisi batas (18), (19), (20) di selesaikan dengan metodepemisahan variabel.

dengan memisalkan φ (x , y , t) = S (x , t) F (z) , danmenyelesaikan secara terpisah, diperoleh solusi

φ (x , z , t) =igωη (x , t)

[cosh (kz) +

gksinh (kz)

ω2 − gk tanh (kh2) = 0. (23)

η (x , t) = Ae−i(kx−ωt) (21)

φ (x , z , t) =igωη (x , t)

[cosh (kz) +

gksinh (kz)

ω2 − gk tanh (kh2) = 0. (23)

η (x , t) = Ae−i(kx−ωt) (21)

φ (x , z , t) =igωη (x , t)

[cosh (kz) +

gksinh (kz)

ω2 − gk tanh (kh2) = 0. (23)

Saluran dengan dasar media berpori)

Persamaan Laplace untukmedia fluida

φxx + φzz = 0 (24)

Persamaan Laplace untuk mediaberpori

φxx + φzz = 0 (25)

Kondisi pada permukaan fluida

φt + gη = 0 (26)

ηt − φz = 0 (27)

φz = Cr φz (28)

Kondisi pada dasar berpori

φz = 0 (30)

φxx + φzz = 0 (24)

φxx + φzz = 0 (25)

φt + gη = 0 (26)

ηt − φz = 0 (27)

φz = Cr φz (28)

φz = 0 (30)

φxx + φzz = 0 (24)

φxx + φzz = 0 (25)

φt + gη = 0 (26)

ηt − φz = 0 (27)

φz = Cr φz (28)

φz = 0 (30)

φxx + φzz = 0 (24)

φxx + φzz = 0 (25)

φt + gη = 0 (26)

ηt − φz = 0 (27)

φz = Cr φz (28)

φz = 0 (30)

φxx + φzz = 0 (24)

φxx + φzz = 0 (25)

φt + gη = 0 (26)

ηt − φz = 0 (27)

φz = Cr φz (28)

φz = 0 (30)

φxx + φzz = 0 (24)

φxx + φzz = 0 (25)

φt + gη = 0 (26)

ηt − φz = 0 (27)

φz = Cr φz (28)

φz = 0 (30)

Misalkan fungsi potensial untuk media fluida dan mediaberpori adalah

φ (x , z , t) = S (x , t) F (z) (31)

φ (x , z , t) = S (x , t) G (z) . (32)

Dengan metode pemisahan variabel, dapat diperoleh

G (z) = Pekz + Qe−kz , −h1 < z < −h2 (33)

P, Q merupakan konstanta integrasi yang timbul dari solusipersamaan Laplace yang dapat ditentukan menggunakanempat kondisi batas (26), (27), (28), dan (30).

φ (x , z , t) = S (x , t) F (z) (31)

φ (x , z , t) = S (x , t) G (z) . (32)

G (z) = Pekz + Qe−kz , −h1 < z < −h2 (33)

φ (x , z , t) = S (x , t) F (z) (31)

φ (x , z , t) = S (x , t) G (z) . (32)

G (z) = Pekz + Qe−kz , −h1 < z < −h2 (33)

Dengan melakukan sedikit operasi aljabar dapat diperoleh

gk cosh (kh1)− sinh (kh1)

2Cre−kh2 sinh (kh2 − kh1), Q =

2Crekh1 sinh (kh2 − kh1)

sehingga

φ (x , z , t) =igωη (x , t)

gkcosh (kh1)− sinh (kh1)

)cosh (kh2 + kz)

Cr sinh (kh2 − kh1)−h2 < z < −h1

Selanjutnya kondisi batas (29) digunakan untuk mencari hubungan dispersiantara ω dan k , yaitu

F (−h1) = CrG (−h1) i + fG (−h1)

Dengan melakukan sedikit operasi aljabar dapat diperoleh

2Cre−kh2 sinh (kh2 − kh1), Q =

2Crekh1 sinh (kh2 − kh1)

sehingga

φ (x , z , t) =igωη (x , t)

gkcosh (kh1)− sinh (kh1)

)cosh (kh2 + kz)

Cr sinh (kh2 − kh1)−h2 < z < −h1

Selanjutnya kondisi batas (29) digunakan untuk mencari hubungan dispersiantara ω dan k , yaitu

F (−h1) = CrG (−h1) i + fG (−h1)

Menggunakan hasil (22) dan (34) dan membuat ω2 berada disalahsatu ruas, diperoleh hubungan dispersi dalam bentuk kompleks

ω2 = gka1 + ib1

a2 + ib2(35)

dengan

a1 = − cosh (kh1)− sinh (kh1) cosh (kh2 − kh1)

sinh (kh2 − kh1)

b1 =fCr

sinh (kh1) cosh (kh2 − kh1)

sinh (kh2 − kh1)

a2 = − sinh (kh1)− cosh (kh1) cosh (kh2 − kh1)

sinh (kh2 − kh1)

b2 =fCr

cosh (kh1) cosh (kh2 − kh1)

sinh (kh2 − kh1)

Terlihat bahwa ketebalan media berpori (h2 − h1) , karakteristikmedia berpori (Cr ) dan gaya hambat aliran (f ) mempengaruhihubungan dispersi k dan ω.

Menggunakan hasil (22) dan (34) dan membuat ω2 berada disalahsatu ruas, diperoleh hubungan dispersi dalam bentuk kompleks

ω2 = gka1 + ib1

a2 + ib2(35)

dengan

a1 = − cosh (kh1)− sinh (kh1) cosh (kh2 − kh1)

sinh (kh2 − kh1)

b1 =fCr

sinh (kh1) cosh (kh2 − kh1)

sinh (kh2 − kh1)

a2 = − sinh (kh1)− cosh (kh1) cosh (kh2 − kh1)

sinh (kh2 − kh1)

b2 =fCr

cosh (kh1) cosh (kh2 − kh1)

sinh (kh2 − kh1)

Terlihat bahwa ketebalan media berpori (h2 − h1) , karakteristikmedia berpori (Cr ) dan gaya hambat aliran (f ) mempengaruhihubungan dispersi k dan ω.

Kekontinuan Permukaan Fluida dan Fluks Massa Aliran

Keseluruhan gelombang harmonik yang merambat dapat dituliskandalam persamaan seperti berikut:

η (x , t) =

Ae−i(k2x−ωt) + Be−i(−k2x−ωt), untuk x < 0Ce−i(k1x−ωt) + De−i(−k1x−ωt), untuk 0 < x < LEe−i(k2x−ωt), untuk x > L

Koefisien A,C ,E adalah amplitudo gelombang transmisi dan B,Damplitudo gelombang refleksi, sedangkan k1, k2, dan k3 adalahbilangan gelombang yang terkait dengan kedalaman saluranh1, h2, h3 dan ω menyatakan frekuensi gelombang.

Jika diketahui ω, h1, h2, h3 dan A, artinya kita harus menghitungnilai k1, k2, k3 serta besar amplitudo gelombang B,C ,D,E . Tetapinilai k1, k2 dan k3 dapat kita hitung dengan menggunakanpersamaan dispersi (23) yang telah kita bahas di bagian depan.

η (x , t) =

Kekontinuan permukaan gelombang dinyatakan sebagai

limx→0−

η (x , t) = limx→0+

η (x , t) (37)

limx→L−

η (x , t) = limx→L+

η (x , t) (38)

yang memberikan

A + B = C + D dan (39)

Ce−ik1L + De ik1L = Ee−ik2L (40)

Kekontinuan Fluks Massa

Fluks massa untuk media fluida didefinisikan sebagai

−hφxdz

−hφxdx

untuk media berpori.

Sehingga kekontinuan fluks massa dapat dinyatakan sebagai

limx→0−

Q = limx→0+

Q (41)

limx→L−

Q = limx→L+

Q (42)

Kekontinuan Fluks Massa

Fluks massa untuk media fluida didefinisikan sebagai

−hφxdz

−hφxdx

untuk media berpori.Sehingga kekontinuan fluks massa dapat dinyatakan sebagai

limx→0−

Q = limx→0+

Q (41)

limx→L−

Q = limx→L+

Q (42)

Kekontinuan Fluks di x = 0, yaitu

limx→0

Q2 = limx→0

menghasilkan(

Cr + 1

k1cosh (k1h1) −

ωsinh (k1h1)

Cr + 1

k1cosh (k1h1) −

ωsinh (k1h1)

]}D (43)

Kekontinuan Fluks di x = L, yaitu

limx→L

Q1 = limx→L

menghasilkan{

Cr + 1

k1cosh (k1h1) −

ωsinh (k1h1)

]}e−ik1LC

Cr + 1

k1cosh (k1h1) −

ωsinh (k1h1)

]}eik1LD =

ωe−ik2L

E (44)

Kekontinuan Fluks di x = 0, yaitu

limx→0

Q2 = limx→0

menghasilkan(

Cr + 1

k1cosh (k1h1) −

ωsinh (k1h1)

Cr + 1

k1cosh (k1h1) −

ωsinh (k1h1)

]}D (43)

Kekontinuan Fluks di x = L, yaitu

limx→L

Q1 = limx→L

menghasilkan{

Cr + 1

k1cosh (k1h1) −

ωsinh (k1h1)

]}e−ik1LC

Cr + 1

k1cosh (k1h1) −

ωsinh (k1h1)

]}eik1LD =

ωe−ik2L

E (44)

Solusi untuk Amplitudo Gelombang

Amplitudo gelombang transmisi dan refleksi B,C ,D,E dapatdiperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan linier darikekontinuan permukaan fluida (39), (40) dan kekontinuanfluks massa (43), (44).Evolusi gelombang sebelum, dan sesudah melalui balok berporidapat di simulasikan dan diamati dengan menggunakan

η (x , t) =

Simulation

Figure: A = 0.5,Cr = 0.5, L = 100, h1 = 2.5, h2 = 3.5

Figure: Cr = 1

Figure: Cr = 0.5

Figure: h1 = h2 = 3.5

Simulation

Simulasi 3

Terima Kasih

EvolusiGelombangHarmonikmelaluiBalokBerpori...(x;t) = 1 2 sin(x t) Dalambentukyanglebihumum (x;t) =...

Documents

Transcript of EvolusiGelombangHarmonikmelaluiBalokBerpori...(x;t) = 1 2 sin(x t) Dalambentukyanglebihumum (x;t) =...