1

Vågfysik

SuperpositionKnight, Kap 21

SuperpositionsprincipenSuperposition = kombination av två eller fler vågor.Vågor ↔ partiklar

Elongation = D 1+D2

Dnet = Σ DiSuperpositionsprincipen

2

2 vågor på en strängTvå vågor som rör sig i motsatt riktning med v = 1 m /s.5 foto (1s emellan):

Summera vågorna, punkt efter punkt

Stående vågor

En stående våg är en superposition av två vågor.

3

Stående vågorTa två sinusvågor som rör sig i motsatt riktning.Anta att de har samma frekvens, våglängd och amplit ud.

Den blå pricken rör sig inte!

Röd → ← Grön

Punkter där D1 = D2: vågorna i fas .Punkter där D1 = -D2: vågorna ur fas .

Blå våg är superpositionen av två vågor.

Bukar och noder

I = CA2

Noder : destruktiv interferens Bukar : konstruktiv interferens

Lägg ihop alla blå vågor i en graf.

4

Stående vågors matematik

Noder:A(x) = 2a sin kx = 0

→ kx m = m π , m = 0, 1, 2…

→ xm = m λ/2, m = 0, 1, 2…

Fortskridande våg möter vägg

stor µ ► liten µTs samma

Långsam ► Fort

Vid diskontinuiteten: En del av vågens energi fortskrider, en del reflekt eras.

liten µ ► stor µTs samma

Inverterad ► Långsam

Den reflekterade vågen får en fasändring π när den går från ett medium med liten µ (tunn) till ett med stor µ (tjock).

Vad händer när en fortskridande våg möter ett gräns snitt eller en vägg?

Exempel: 1D transversella vågor i ett rep med diskontinuitet.

Linjär täthet µ=m/Lv = (Ts/ µ)1/2

5

Hur uppstår stående vågor ?Sträng med längd L som sitter fast vid x=0 och x=L.Två väggar!

Två vågor uppstår med samma amplitud och våglängd som rör sig mot varandra.

Gränsvillkor:

D(0,t) = 0 för alla toch

D(L,t) = 0 för alla t

Stående vågor i en sträng

m = antalet bukar !

Grundfrekvens, Grundton

Harmoniker, Övertoner1

1

1

1

2

2

2

mffL

vf

mm

L

L

m

m

=

=

==

=λλ

λ

För att en stående våg skall uppstå måste våglängden ha en av följande värden:

6

Stränginstrument

µsT

LLv

f21

21 ==

1a överton2a överton3e överton

Ts ↑ ► högre tonµ ↑ ► lägre ton

Stående elektromagnetiska vågor

7

Stående ljudvågor - musikLongitudinell stående våg

(2 bukar)

Stående ljudvågor i ett rör

8

Stående ljudvågor i ett rör

Frekvensspektrum

flöjt

Frekvenserna är multipler av en grundton (436 Hz).

ger instrument dess typiska färgklang

blockflöjt

Frekvenserna är multipler av en grundton (923 Hz).

Andra övertonen är stark.

Andra övertonen är svag.

9

Interferens i 1DSuperposition av två sinusvågor med samma frekvens o ch amplitud, som utbreder sig i SAMMA riktning.

220222

110111

sin)sin(),(

sin)sin(),(

ϕϕωϕϕω

atkxatxD

atkxatxD

=+−==+−= med: x1, x2 avstånd till källa 1, 2

och φ10,φ20 faskonstant för källa 1, 2

D = D1 + D2

Faskonstant φ0

00 =ϕ

20

πϕ =

πϕ =0

Faskonstanten beror på källan, inte på mediet.

10

Konstruktiv - Destruktiv

D1(x) = D2(x), vågorna i fasφ1 = φ2 (+ m 2π)∆ φ = m 2π m = 0, 1, 2, 3…

D1(x) = - D2(x), vågorna ur fasφ1 = φ2 + π (+m 2 π)∆ φ = (m+1/2) 2π m = 0, 1, 2, 3…

Fasskillnad mellan två vågor0

2 ϕλπϕ ∆+∆=∆ x

∆x = väglängdskillnad∆φ0 = inherent fasskillnad

För identiska källor: ∆φ0 = 0 ► konstruktiv interferens: ∆x = mλ► destruktiv interferens: ∆x = (m+1/2)λ

Definition:

Villkor för interferens:

11

Vågor i fas

∆φ0 = 0 ► ∆x = mλmed m= 0, 1, 2, …

∆φ = 0, 2π, 4π, …konstruktiv interferens

Vågor ur fas

∆φ0 = 0 ► ∆x = λ/2∆φ0 = π ► ∆x = 0

∆φ = πdestruktiv interferens

∆φ0 = π/2 ► ∆x = λ/4

12

Interferensens matematik

πϕ

πϕ

)21

(2

2

+=∆

=∆

m

m Konstruktiv interferens

Destruktiv interferens

Tillämpning: optiska tunna skiktTunna beläggningar (<1 µm) för att minska reflektion från glasytan.Exempel: ”anti-reflection coating”

Antag n luft < n film < nglas

13

Optiska tunna skikt

0

2 ϕλπϕ ∆+∆=∆ xf

nfλλ =våglängd i skiktet

nd22λπϕ =∆

dx 2=∆00 =∆ϕ

Konstruktiv interferens ->

21

2

2

−=

=

m

ndm

nd

D

C

λ

λ

Destruktiv interferens -> (anti-reflection coating)

Interferens i 2D och 3D

konstruktiv interferens

destruktiv interferens

14

konstruktiv Interferens i A.

väglängdsskillnad∆rA= λ

destruktiv Interferens i B

väglängdsskillnad∆rB= 0,5 λ

Interferens i 2D och 3Didentiska källor

Interferens i 2D och 3D

1D ► 2D, 3Dx ► r (avstånd till källan)

Ekvationer identiska med 21.22 och 21.23

För identiska källor: ∆φ0 = 0 ► konstruktiv interferens: ∆r = mλ► destruktiv interferens: ∆r = (m+1/2)λ

15

Linjer av konstruktiv och destruktiv interferens

konstruktiv Interferens ►Intensitet maximal

destruktiv Interferens ►Intensitet noll

Simulerade interferensmönsterFör två identiska källor i fas: För två källor ur fas:

nodal lines: D=0 ► grön antinodal lines: D varierar från 2a ( röd ) till -2a ( blå)

16

Svävning (“Beats”)Superposition av vågor från två källor med liten ski llnad i frekvens (1-2 Hz).

Uppfattas som en ton med modulation (stark, svag, s tark,…)

svävningsfrekvens

( )21mod

mod 222 ffffbeat −===

πω