Prędkość grupowa

Superpozycja dwu fal biegnących

Załóżmy, że w punkcie z=0

struna wykonuje drgania

generator

z

)cos()cos(),0(21tAtAt ωωψ +=

)cos()cos(),(2211zktAzktAtz −+−= ωωψ

W strunie wytworzone

zostaną dwie fale

biegnące…

zkt11

−ωt1

ωt

2ω zkt

22−ω

)cos()cos(2),(modmod

zktzktAtzśrśr

−−= ωωψ

)(2

121mod

ωωω −=

)(2

121mod

kkk −=

)(2

121

ωωω +=śr

)(2

121

kkkśr

+=

)cos(),(mod

zktAtzśrśr

−= ωψ

)cos(2),(modmodmod

zktAtzA −= ω

Prędkość rozchodzenia się modulacji

Załóżmy, że śrωω <<

mod

Z jaką prędkością porusza się grzbiet modulowanej fali?

)cos(2),(modmodmod

zktAtzA −= ω

constzkt =−modmod

ω

0modmod =− dzkdtω21

21

mod

mod

modkkkdt

dz

−

−===

ωωωυ

)( ),(2211

kk ωωωω ==Obowiązuje związek

dyspersyjny

21

2211

mod

)()(

kk

kk

−

−=

ωωυ

21 kk →

gdk

dυ

ωυ ≡=

mod

υυυυg - prędkość grupowa

λśr

z

z

z

z

z

z

t=5/2Tśr

t=2Tśr

t=3/2Tśr

t=Tśr

t=1/2Tśr

t=0

t=5/2Tśr

t=2Tśr

t=3/2Tśr

t=1/2Tśr

śr

śr

kdk

d ωω

2

1=

mod10ωω =

śr

Symulacja:

Takie zachowanie można obserwować np. wodzie - wystarczy wrzucić kamień…

Związek dyspersyjny dla fal na wodzieFale na wodzie• siła ciążenia (decydujące dla fal o długości powyżej kilku cm)

• napięcie powierzchniowe

32k

Tgk

ρω += ρ - gęstość (wody)

T – napięcie powierzchniowe

g – przyspieszenie ziemskie

Dyspersja fal na głębokiej

wodzie (długość fali

mała w porównaniu z

głębokością)

Dla fal krótszych niż ok. 1.7cm υg> υϕ ,

dla długich fal υg< υϕ .

Warto to sprawdzić samodzielnie…

k→∞→∞→∞→∞ υg →→→→ 3/2υϕ

k→→→→0 υg →→→→ 1/2υϕ

Fale radiowe o modulowanej amplitudzieNapięcie wymuszające przyłożone do anteny

moduluje amplitudę fali nośnej. Wpływ tego napięcia możemy wyrazić

za pomocą szeregu Fouriera:

∑ ++=mod

))(cos()()(modmodmod0mod

ω

ωϕωω tAAtA

0mod)( AtA −Różnica tak dobrana, aby była proporcjonalna do sygnału

elektrycznego np. z mikrofonu w studio radiowym

Stała A0 jest obecna bez względu na to, czy do mikrofonu docierają dźwięki,

czy też nie…

Reszta wyrazów pochodzi od fal akustycznych docierających do mikrofonu.

Ich częstotliwości (20Hz-20KHz), są znacznie mniejsze od częstotliwości fali

nośnej (np. Warszawa I – 225kHz)

)cos()](cos[)()cos()(

mod

modmodmod0ttAtAtU

śrśrωωϕωωω

ω∑ ++=

)cos(2

1)cos(

2

1)cos()cos( yxyxyx −++=Pamiętamy:

])()cos[()(21

])()cos[()(21

)cos()(

mod

mod

modmodmod

modmodmod

0

∑

∑

−−+

++++

+=

ω

ω

ωϕωωω

ωϕωωω

ω

tA

tA

tAtU

śr

śr

śr drganie nośne

górne pasmo nośne

dolne pasmo nośne

śrω

ω

(min)mod

ωω +śr

(max)mod

ωω +śr(max)

modωω −

śr

(min)mod

ωω −śr

Modulacje (a zatem i muzyka) rozchodzą się w ośrodku z prędkością grupowąfal elektromagnetycznych! (Dla próżni prędkość fazowa i grupowa są równe c.)

(max)2mod

ωω =∆

(max)2mod

νν =∆szerokość pasma

Układ mas połączonych sprężynkami (drgania podłużne)

)2

sin(2ka

m

K=ω

k

ka

m

K

k

)2

sin(

2==ω

υϕ)

2cos(

ka

m

Ka

dk

dg

==ω

υ

Poznaliśmy już związek dyspersyjny

Widać, że k→→→→0

ρ

αυυϕ

0

/)0()0( ===→=→

am

Kaa

m

Kkk

g

Czyli tak jak dla struny!

Natomiast, gdy k→π→π→π→π/a

0)2

cos(2)( ==a

a

m

Ka

ag

ππυ

m

Ka

k π

ωυϕ

2==

Fala biegnąca staje się falą stojącą!

Związek dyspersyjny dla fal de Broglie’a

tiezAftz

ωψ −= )(),(

Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w przedziale dz wokół położenia z

dztz2

),(ψ nie zależy od czasu…

Jeśli energia potencjalna cząstki jest stała i cząstka porusza się w jednorodnym

ośrodku to f(z) jest sinusoidalną funkcją kz

tiekzBkzAtz

ωψ −+= )]cos()sin([),(

Dla cząstki nierelatywistycznej w obszarze o stałej energii potencjalnej V

możemy napisać:

ωh=E kkhh

p h===πλ 2

Związek energii z częstościąZwiązek pędu z liczbą falową

tiikzikzeBeAetz

ωψ −−+= ][),(lub

Vm

pE +=

2

2

Dla cząstek nierelatywistycznych

Vm

k+=

2

22h

hω

Prędkość fazowa

k

V

m

k

kk

h

h+==

2)(

ωυϕ

h

h V

m

k+=

2

2

ω

cz

czp

Vk += υυϕ

2

1)(cz

mp υ=

Pęd cząstki

W mechanice kwantowej prędkość cząstki jest prędkością „paczki” falzłożonej z szeregu sąsiadujących wartości k. Prędkość rozchodzeniasię paczki fal równa jest prędkości grupowej υυυυg:

czgm

p

m

kV

m

k

dk

d

dk

dk υ

ωυ ==

=

+=

=

00

2

02

)(h

h

h

Dla swobodnej cząstki relatywistycznej:

( ) 2222)(cpmcE +=

ωh=E

kp h= ( ) 22222)( ckmc hh +=ω

p

E

k==

ωυϕ ale

2c

Ep

czυ=

(patrz początkowe

wykłady)

Czyli ostatecznie

prędkość fazowa cz

c

υυϕ

2

= dla swobodnej cząstki

relatywistycznej c>ϕυ

Prędkość grupowa czg

E

pckc

dk

dυ

ω

ωυ ====

22

Zależność pomiędzy prędkością

fazową i grupową dla cząstki relat.2

cg

=υυϕ

Dla fotonu w próżni:

cg

== υυϕ

czυ -prędkość cząstki

2mcE

mp

γ

υγ

=

=rr

Wnikanie w obszar „zabroniony”

Zanim przejdziemy do fal de Broglie’a uwięzionych w pewnym obszarze przestrzeni wróćmy na chwilę do wahadeł sprzężonych…

2

0l

g=ω

nψ 1+nψ1−nψ

Równanie ruchu: )()(11

2

0 −+ −−−+−=nnnnnn

KKMM ψψψψψωψ&&

Najniższa częstość własna:

Przybliżenie ciągłości

),()( tztn

ψψ =

...),(

2

1),(),(),()(

2

2

2

1+

∂

∂+

∂

∂+=+=+

z

tza

z

tzatztazt

n

ψψψψψ

...),(

2

1),(),(),()(

2

2

2

1+

∂

∂+

∂

∂−=−=−

z

tza

z

tzatztazt

n

ψψψψψ

Korzystamy z rozwinięcia w szereg Taylora

...),(

2

1),()()(

2

2

2

1+

∂

∂+

∂

∂=−+

z

tza

z

tzatt

nn

ψψψψ

...),(

2

1),()()(

2

2

2

1+

∂

∂−

∂

∂=− −

z

tza

z

tzatt

nn

ψψψψ

2

22

2

02

2),(

),(),(

z

tz

M

Katz

t

tz

∂

∂+−=

∂

∂ ψψω

ψ Równanie Kleina-Gordona-spełniają je fale de Broglie’arelatywistycznych cząstek swobodnych

Skąd takie przypuszczenie?

tiikzikzeBeAetz

ωψ −−+= ][),(

),(),(

tzit

tzωψ

ψ−=

∂

∂),(

),( 2

2

2

tzt

tzψω

ψ−=

∂

∂

)(),( ikzikzti

ikBeikAeez

tz −− −=∂

∂ ωψ),(

),( 2

2

2

tzkz

tzψ

ψ−=

∂

∂

Korzystając z tego, że dla cząstek nierelatywistycznych mamy:

Vm

k+=

2

22h

hω

a) b)

c) d)

Mnożymy związek a) obustronnie przez hi

Rozważmy monochromatyczne :fale , potencjał V=constωh=E

),(),(

tzt

tziωψ

ψh

h=

∂

∂

),(),(

2

),(2

22

tzVz

tz

mt

tzi ψ

ψψ+

∂

∂−=

∂

∂ hh

oraz ze związku d) dostajemy

Uogólnienie dla V=V(z) – równanie Schrödingera!

Dla cząstek relatywistycznych mamy:

( ) 22222)( ckmc hh +=ω

Mnożąc powyższe równanie przez ),(1

2tzψ

h−

dostajemy

( )),(),(),(

2

22

222tz

mctzkctz ψψψω

h−−=−

Korzystając z ze związków b) oraz d)

otrzymujemy

( )),(

),(),(2

22

2

2

2

2

2

tzmc

z

tzc

t

tzψ

ψψ

h−

∂

∂=

∂

∂ RównanieKleina-Gordona

Dla cząstek o masie m=0, równanie Kleina-Gordona przechodzi wklasyczne równanie falowe dla fal nie ulegających dyspersji o prędkości c!Foton ma zerową masę…

Wahadła sprzężone (granica ciągłości)

)cos()(),( ϕωψ += tzAtz

)cos()(),( 2

2

2

ϕωωψ

+−=∂

∂tzA

t

tz

)cos()(),(

2

2

2

2

ϕωψ

+=∂

∂t

dz

zAd

z

tz

2

22

2

02

2),(

),(),(

z

tz

M

Katz

t

tz

∂

∂+−=

∂

∂ ψψω

ψ

)()()( 22

022

2

zAKa

M

dz

zAdωω −=

2

0

2 ωω > 2

0

2 ωω <

Fale sinusoidalne, gdy Fale wykładnicze

( )2

2

0

22

Ka

Mk ωω −=

)cos()sin()( kzBkzAzA +=

( )2

22

0

2

Ka

Mωωκ −=

l

g=2

0ω

zzBeAezA

κκ += −)(

2

2

2

0

2k

M

Ka+= ωω 2

2

2

0

2 κωωM

Ka−=

Fale zanikające wykładniczo – ośrodek reaktywny

2

0

2 ωω <

l

g=2

0ω - częstość progowa

F(t)

)cos()(0

tFtF ω=

Z0

A(z)

Granica obszarów

F(t)

)cos()(0

tFtF ω=

Obszar dyspersyjny:fale sinusoidalne

Obszar reaktywny- fale wykładnicze wnikają na pewną głębokość…

ωω <=1

01)(

l

gz ωω >=

2

02)(

l

gz

Elektron w studni (o nieskończonych barierach)

V1

0 L

z

∞ ∞V

2

),( tzψ

tiekzBkzAtz

ωψ −+= )]cos()sin([),(

prawdopodobieństwo znalezienia elektronu równe zeru poza przedziałem 0≤≤≤≤z≤≤≤≤L

warunki brzegowe jak dla struny zamocowanej z dwóch końców

tiekzAtz

ωψ −= )sin(),( 0)sin( =kL

πnLkn

=....1

π=Lk

)(sin)sin(),(2222

kzAkzAetzti == − ωψ

Prawdopodobieństwo znalezienia elektronuna jednostkę długości

Powinno być ono unormowane

LAdzkzAdztz

L

z

L

z

2

0

22

0

2

2

1)(sin),(1 === ∫∫

==

ψαα ii

eL

eAA2

==

αααα - stała faza

E1

E2

z

)(1

zf

h

V=

0ω

Stąd funkcja falowa elektronu w w studni:

)sin(2

),()(

zkeL

tzn

ti

n

αωψ −−=

Przyjmując (jak poprzednio) dla cząstki „klasycznej” związek dyspersyjny”

ωh=E

kp h=

3... 2, ,1 ,22

12

22

2

1

22

=+=+= nVmL

nVm

kE n

n

πhh

m

kn

n2

2

0

h+= ωω

Częstości fal inne niż częstości fal stojących na strunie!

Przenikanie cząstki do zakazanego obszaru

V1

0 L

z

V

E1

E2

z0

z0

)(1

zf

)(2

zf

V2

Analogia z wahadłami sprzężonymi:

2

2

2

0

2)( k

M

Kaz += ωω

2

2

2

0

2)( κωω

M

Kaz −=

l

gz ≡)(

2

0ω

2

0

2 ωω >Lz ≤≤0

h

1

0)(

Vz ≡ω

Obszar dyspersyjny:

co odpowiada

Obszar reaktywny (zanik wykładniczy):

02

22

1>=−

m

kVE

h

2

0

2 ωω <

Lz ≤≤0

02

22

1<−=−

mVE

κhw innych miejscach

zanik wykładniczy 2

)(2

~),(Lz

etz−−κψ

Fale de Broglie’a wnikająw obszar zakazany…

Tunelowanie przez barierę

Nadajnikmikrofal

Odbiornikmikrofal

d

Dla d~λλλλ mikrofale przenikają przez szczelinę – analogia do efektu tunelowego – przenikania cząstek przez barierę potencjału…