ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 2.3

ΠΛΗ31ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΓΝΩΣΗ

Μάθηµα 2.3: Αναγωγή µέσω αντίκρουσης της αντίφασηςΑναγωγή µέσω αντίκρουσης της αντίφασης

∆ηµήτρης Ψούνης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Α. Σκοπός του Μαθήµατος

Β.Προαπαιτούµενα

1. Ενοποίηση

2. Κανόνες Συλλογισµού

1. Modus Ponens

2. Καθολική Ειδίκευση

2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.3: Αναγωγή µέσω Αντίκρουσης της Αντίφασης

3. Αναγωγή

Γ.Αναγωγή µέσω αντίκρουσης της αντίφασης

1. Ορισµός

2. Παράδειγµα

3. Αλγόριθµος Αναγωγής µέσω Αντικρουσης της Αντίφασης

4. Ευρετικά για την εύρεση της απόδειξης

5. Εξαγωγή Απαντήσεων

Γ.Ασκήσεις

Α. Σκοπός του Μαθήµατος

Επίπεδο Α Αναγωγή µέσω αντίκρουσης της αντίφασηςΕπίπεδο Β (-)Επίπεδο Γ (-)


(-)

Β. Προαπαιτούµενα1. Ενοποίηση Η διαδικασία της ενοποίησης είναι η αντικατάσταση µεταβλητών µε όρους, ώστε οι δύο προτάσεις να γίνουν ταυτόσηµες.


Παράδειγµα 1:Να ενοποιηθούν οι παραστάσεις parent(tom,x) και parent(y,bob)Λύση: Η ενοποίηση είναι bob/x και tom/y(µεταβλητή ενοποιείται µε σταθερά)

Παράδειγµα 4:Να ενοποιηθούν οι παραστάσεις parent(tom,x) και parent(y,z)Λύση: Η ενοποίηση είναι tom/y και x/z(µεταβλητή ενοποιείται µε άλλη µεταβλητή)

Παράδειγµα 2:Να ενοποιηθούν οι παραστάσεις person(x,date(11,10,1954)) και person(tom,date(y,z,w))Λύση: Η ενοποίηση είναι tom/x, 11/y, 10/z, 1954/w(µεταβλητές ενοποιούνται µε σταθερές)

Παράδειγµα 3:Να ενοποιηθούν οι παραστάσεις person(tom,date(11,10,1954)) και person(x,y)Λύση: Η ενοποίηση είναι tom/x, date(11,10,1954)/y(µεταβλητές ενοποιούνται µε όρους)

Αντιπαράδειγµα :Να ενοποιηθούν οι παραστάσεις Q(f(x)) και Q(x)Λύση: ∆ΕΝ ενοποιούνται!!(µεταβλητή δεν ενοποιείται µε όρο που περιλαµβάνει την ίδια µεταβλητή)

Παράδειγµα 5:Να ενοποιηθούν οι παραστάσεις Q(f(x)) και Q(y)Λύση: Η ενοποίηση είναι y/f(x)(µεταβλητές ενοποιείται µε όρο που περιλαµβάνει άλλη µεταβλητή)

Β. Προαπαιτούµενα2. Κανόνες ΣυλλογισµούΌταν ισχύουν κάποιες προτάσεις κατηγορηµατικής λογικής (είναι αληθείς),

Τότε µπορούν να εξαχθούν νέα συµπεράσµατα χρησιµοποιώντας κανόνες συλλογισµού (νέες προτάσεις που είναι επίσης αληθείς)


Modus Ponens (Τρόπος του Θέτειν)

Αν ισχύουν: και τότε ισχύει και)()( xxx Ψ⇒Φ∀ )(ΑΦ )(ΑΨΑν ισχύουν: και τότε ισχύει και

Καθολική Ειδίκευση

Αν ισχύει: τότε ισχύει και

Αναγωγή

Αν ισχύουν και τότε ισχύει και

)()( xxx Ψ⇒Φ∀ )(ΑΦ )(ΑΨ

)(xxΦ∀ )(ΑΦ

Β∨Α C∨Α~ CB ∨

Γ. Αναγωγή µέσω Αντίκρουσης της Αντίφασης1. Αντίκρουση της Αντίφασης Η αντίκρουση της αντίφασης είναι η εις άτοπο απαγωγή.


Για να δείξω ότι: ισχύει η πρόταση

Αρκεί να δείξω ότι: η πρόταση

TSSSS n ⇒∧∧∧∧ ...321

TSSSS n ~...321 ∧∧∧∧∧

είναι ασυνεπής (δηλαδή αντιφατική, δηλαδή έπεται από αυτήν µία πρόταση και η άρνησή της)

TSSSS n ~...321 ∧∧∧∧∧

ΠΡΑΚΤΙΚΑ:

Μας δίνεται ένα σύνολο προτάσεων σε ΚΣΜ (που ισχύουν) και µας ζητείται να αποδείξουµε µία πρόταση Π. Τότε:• Εισάγουµε την άρνηση της πρότασης σε ΚΣΜ στο σύνολο προτάσεων.• Αποδεικνύουµε µε συνεχείς αναγωγές ότι έπεται µία πρόταση και η άρνησή της.

Γ. Αναγωγή µέσω Αντίκρουσης της Αντίφασης2. Παράδειγµα Απόδειξης Παράδειγµα:.


(Α) Γράψτε σε ΚΛ τις προτάσεις:

Όποιος µπορεί να διαβάσει είναι εγγράµµατος.Οι φώκιες δεν είναι εγγράµµατες.Ορισµένες φώκιες έχουν νοηµοσύνη

Απάντηση:Απάντηση:

(Β) Μετατρέψτε τις προτάσεις σε ΚΣΜ:

)]()([.3

)](~)([.2

)]()([.1

xNxx

xxx

xxx

∧Φ∃Ε⇒Φ∀

Ε⇒∆∀

)(.3

)(.3

)(~)(~.2

)()(~.1

ΑΝΑΦ

Ε∨ΦΕ∨∆

b

a

yy

xx



(Γ) Αποδείξτε την πρόταση «Ορισµένοι που έχουν νοηµοσύνη δεν µπορούν να διαβάσουν»:

Γράφουµε σε ΚΛ την πρόταση:

Η άρνηση της πρότασης είναι

)](~)([ xxx ∆∧Ν∃

Η άρνηση της πρότασης είναι

που σε ΚΣΜ γράφεται:

Εισάγουµε την πρόταση αυτή στην βάση γνώση µας:

και θα δείξουµε µέσω συνεχών αναγωγών ότι το σύνολο είναι ασυνεπές)()(~.4

)(.3

)(.3

)(~)(~.2

)()(~.1

zz

b

a

yy

xx

∆∨ΝΑΝΑΦ

Ε∨ΦΕ∨∆

)](~)([~ xxx ∆∧Ν∃

)()(~ zz ∆∨Ν



Η απόδειξη είναι η εξής:

)(.3

)(.3

)(~)(~.2

)()(~.1

b

a

yy

xx

ΑΝΑΦ

Ε∨ΦΕ∨∆ Από τους

τύπουςΠροκύπτει ο Τύπος Ενοποιητής

(3β,4)

(5,1)

)(.5 Α∆ Α/z

)(.6 ΑΕ Α/x

Που µπορεί να αναπαρασταθεί εναλλακτικά µέσω ενός αντεστραµµένου δένδρου ως εξής

)()(~.4

)(.3

zz

b

∆∨ΝΑΝ (5,1)

(6,2)

(7,3α)

)(.6 ΑΕ Α/x

)(~.7 ΑΦ Α/y



Η απόδειξη είναι η εξής:

)(.3 ΑΝb

Α/z

)()(~.4 zz ∆∨Ν

)(.5 Α∆

)(.6 ΑΕΑ/x

)(~.7 ΑΦ

Α/y

)()(~.1 xx Ε∨∆

)(~)(~.2 yy Ε∨Φ

)(.3 ΑΦa

.8

Γ. Αναγωγή µέσω Αντίκρουσης της Αντίφασης3. Αλγοριθµος αναγωγής µέσω αντίκρουσης της αντιφασής Τυπικά (σύµφωνα µε το βιβλίο) ο αλγόριθµος της αναγωγής µέσω αντίκρουσης της αντίφασης είναι ο ακόλουθος:


1. ∆ΙΑΖΕΥΚΤΙΚΕΣ_ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ=S /* S= σύνολο των προτάσεων σε ΣΚΜ και η άρνηση του αποδεικτέου */

2. Επανέλαβε:

2.1 Επέλεξε από τις ∆ΙΑΖΕΥΚΤΙΚΕΣ_ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ δύο ξεχωριστές προτάσεις που εφαρµόζεται η αναγωγή

2.2 ∆ηµιούργησε την απόγονο πρόταση

2.3 Πρόσθεσε την απόγονο πρόταση στις ∆ΙΑΖΕΥΚΤΙΚΕΣ_ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

Εως ότου η κενή πρόταση να είναι µέλος των διαζευκτικών προτάσεων

∆εν υπάρχει κάποια µεθοδολογία «εύκολης» εξαγωγής της απόδειξης (Το πρόβληµα είναι NP-Complete)

Γ. Αναγωγή µέσω Αντίκρουσης της Αντίφασης4. Ευρετικά για την εύρεση της απόδειξης Προτείνονται δύο ευρετικά προκειµένου να εξάγουµε τις απαντήσεις ευκολότερα: Σύνολο υποστήριξης: Ξεκινάµε από την άρνηση της πρότασης-στόχου και την συνδυάζουµε για να εξάγουµε προτάσεις-απογόνους. Το σύνολο υποστήριξης είναι η άρνηση της πρότασης-στόχου και οι απόγονοί της. Τουλάχιστον µία πρόταση από αυτές που συνδυάζουµε θα πρέπει να


ανήκει στο σύνολο υποστήριξης. Κατά προτίµηση µονάδα: Προτιµάµε να συνδυάζουµε «µικρές προτάσεις», δηλαδή προτάσεις που έχουν κατά το δυνατόν µικρότερο πλήθος κυριολεκτηµάτων. Όσο µικρότερο το πλήθος των κυριολεκτηµάτων των προτάσεων τόσο πιο κοντά φτάνουµε να αποδείξουµε την κενή πρόταση

Πρακτικά:Εντοπίζουµε στην εκφώνηση των ελληνικών την επιχειρηµατολογία που οδηγεί στην αντίφαση και χρησιµοποιούµε τις αντίστοιχες προτάσεις ΣΚΜ για να εξάγουµε το άτοπο.

Γ. Αναγωγή µέσω Αντίκρουσης της Αντίφασης5. Εξαγωγή Απαντήσεων

Η διαδικασία αυτή µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την εξαγωγή απαντήσεων. Αυτό γίνεται µε µια διαδικασία 2 βηµάτων:

Πρώτα εισάγουµε την άρνηση της ερώτησης (µε ένα όρισµα να είναι µεταβλητή) στην Βάση Γνώσης. Οδηγούµαστε µε συνεχείς αναγωγές στην κενή πρόταση


Οδηγούµαστε µε συνεχείς αναγωγές στην κενή πρότασηΈπειτα εισάγουµε στην Βάση γνώσης την ταυτολογία της πρότασης

(δηλαδή την άρνηση της πρότασης OR την κατάφαση της)Με ακριβώς την ίδια σειρά αναγωγών θα προκύψει αντί για την κενή πρόταση η κατάφαση της απάντησης που θα είναι και η απάντηση στην ερώτηση που έχουµε θέσει.

Σχόλια: Η εισαγωγή της ταυτολογίας της ερώτησης δεν δηµιουργεί βλάβη στην βάση. Είναι µια πρόταση που απλά ισχύει. Άρα το συµπέρασµα, έπεται φυσικά από διαδικασία των αναγωγών.

Γ. Αναγωγή µέσω Αντίκρουσης της Αντίφασης5. Εξαγωγή Απαντήσεων Παράδειγµα:.


Γ. Αναγωγή µέσω Αντίκρουσης της Αντίφασης5. Εξαγωγή Απαντήσεων Το δένδρο αναγωγής είναι:


x1/Γουιλι, x3/πτερυγωτη

. ~, . ~ ∨ ,

. ~ . ~ ∨

x2/Γουιλι

. ~ . ~ ∨

. ~ .

Γ. Αναγωγή µέσω Αντίκρουσης της Αντίφασης5. Εξαγωγή Απαντήσεων


x1/Γουιλι, x3/πτερυγωτη

. ~, ∨∨∨∨ , . ~ ∨ ,

x2/Γουιλι

". ,

. ~∨∨∨∨ , . ~ ∨

. ~∨∨∨∨ , .

ΑσκήσειςΕφαρµογή 1∆ίνονται οι προτάσεις: Στο Γιάννη αρέσουν τα φρούτα Τα πορτοκάλια είναι φρούτα Οι άνθρωποι τρώνε αυτό που τους αρέσει. Ο Γιάννης είναι άνθρωπος(Α) Μετατρέψτε τις προτάσεις σε ΚΛ


(Β) Μετατρέψτε τις προτάσεις ΚΛ σε ΣΚΜ


(Γ) Αποδείξτε ότι ο Γιάννης τρώει πορτοκάλια.


ΑσκήσειςΕφαρµογή 2(σε συνέχεια της εφαρµογής 2 του µαθήµατος 2.2)Αποδείξτε ότι η Μαρία συµπαθεί τον Γιάννη.


ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 2.3

Education

Transcript of ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 2.3