ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.1

ΠΛΗ30ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ

Μάθηµα 3.1: Κανονικές ΕκφράσειςΚανονικές Εκφράσεις

∆ηµήτρης Ψούνης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Α. Σκοπός του Μαθήµατος

Β. Θεωρία

1. Εισαγωγικοί Ορισµοί

1. Αλφάβητο

2. Γλώσσα

2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 3.1: Κανονικές Εκφράσεις

3. Πράξεις Γλωσσών

2. Κανονικές Εκφράσεις

1. Συντακτικό Κανονικών Εκφράσεων

2. Παραδείγµατα Κανονικών Εκφράσεων

3. Τυπικός Ορισµός Κανονικής Έκφρασης

4. Κανονικές Γλώσσες

5. Θεώρηµα: Κάθε Πεπερασµένη Γλωσσα είναι κανονική

Γ.Ασκήσεις

Ασκησεις Κατανόησης

Εφαρµογές

Α. Σκοπός του Μαθήµατος

Οι στόχοι του µαθήµατος είναι:

Επίπεδο Α Κατασκευή Κανονικών Εκφράσεων

Ορισµός Κανονικής Έκφρασης και Κανονικής Γλώσσας

Ορισµός Πράξεων Γλωσσών


Ορισµός Πράξεων Γλωσσών

Επίπεδο Β Τυπικός Ορισµός Κανονικής Γλώσσας

Επίπεδο Γ (-)

B. Θεωρία1.Εισαγωγικοί Ορισµοί1.Αλφάβητο


Ορισµός:Αλφάβητο είναι οποιοδήποτε πεπερασµένο σύνολο συµβόλων. Συµβολίζεται µε Σ

Παραδείγµατα:• Σ=0,1 το δυαδικό αλφάβητο

• Σ=a,b • Σ=A,B,Γ,…,Ω το αλφαβητο των ελληνικών κεφαλαίων γραµµάτων

Ορισµός:Έστω Σ ένα αλφάβητο. Το σύνολο όλων των συµβολοσειρών που µπορούµε να παράγουµε από σύµβολα του Σ, συµβολίζεται µε Σ*.Το σύνολο Σ* καλείται αστέρι Kleene του Σ και συµβολίζει την διάταξη 0 ή περισσότερων συµβόλων του Σ

Παράδειγµα

Έστω Σ=0,1 το δυαδικό αλφάβητο

Τότε Σ*=ε,0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,110,111,…

Ορισµός: Το ε είναι η συµβολοσειρά µήκους 0 και καλείται κενή συµβολοσειρά

B. Θεωρία1.Εισαγωγικοί Ορισµοί2.Γλώσσα


Ορισµός:Γλώσσα ενός αλφαβήτου Σ είναι οποιοδήποτε υποσύνολο του Σ*. Συνήθως συµβολίζεται µε L.

Παραδείγµατα γλωσσών του Σ=0,1:

• L1= w | w αρχίζει µε 00

Μπορούµε να κατασκευάσουµε άπειρες γλώσσες ενός αλφαβήτου.

1

• L2= w | w περιέχει το 11

• L3= w | w τελειώνει µε 01

• L4= w | w έχει µήκος τουλάχιστον 2

• L5= w | w έχει άρτιο πλήθος 1

• L6= w | Η w είναι παλινδροµική

• L7= w | Ο δυαδικός αριθµός που αντιστοιχεί στην w είναι πρώτος αριθµός• ….

B. Θεωρία1.Εισαγωγικοί Ορισµοί3.Πράξεις Γλωσσών


B. Θεωρία2.Κανονικές Εκφράσεις1. Συντακτικό Κανονικών Εκφράσεων


Μια κανονική έκφραση είναι ένας εύκολος τρόπος περιγραφής των συµβολοσειρών που ανήκουν σε µία κανονική γλώσσα.

Οι κανονικές γλώσσες είναι οι απλούστερες γλώσσες που µπορούν να κατασκευασθούν.

Παράδειγµα: Ποια η κανονική έκφραση της γλώσσας L=w∈0,1*|w αρχίζει µε 1; Η κανονική έκφραση είναι 1(0+1)* Η κανονική έκφραση είναι 1(0+1)*

Η κανονική έκφραση είναι µια συµβολοσειρά που διαβάζεται από αριστερά προς τα δεξιά.

Ο πρώτος 1 σηµαίνει ότι ξεκινά µε 1. Ο όρος (0+1)* διαβάζεται 0 ή 1 (λόγω του 0+1) επαναλαµβάνεται 0 ή

περισσότερες φορές. Αν εφαρµόσουµε το αστέρι Kleene διαδοχικά 0,1,2,… φορές παίρνουµε:

1 1(0+1)=10 ή 11 1(0+1)(0+1)=100 ή 101 ή 110 ή 111 ….

B. Θεωρία2.Κανονικές Εκφράσεις1. Συντακτικό Κανονικών Εκφράσεων


Πρακτικά:

Μια κανονική έκφραση κατασκευάζεται µε τα εξής στοιχεία:

1. Τα σύµβολα του αλφαβήτου

2. Το + που διαβάζεται «ή διαζευκτικό»3. Το * που είναι το αστέρι Kleene. ∆ιαβάζεται «0 ή περισσότερες φορές».4. Παρενθέσεις που υποδεικνύουν την προτεραιότητα των πράξεων

Π.χ. η κανονική έκφραση 11*+(00)* ορίζει την γλώσσα που περιέχει συµβολοσειρές που:• Ή έχουν τουλάχιστον έναν άσσο (και κανένα µηδενικό)• Ή συµβολοσειρές που έχουν άρτια µηδενικά (και κανέναν άσσο)

4. Παρενθέσεις που υποδεικνύουν την προτεραιότητα των πράξεων

5. Υπονοείται και η πράξη της παράθεσης που είναι όταν έχουµε δύο διαδοχικές παραστάσεις και σηµαίνει ότι παραθέτουµε (βάζουµε διαδοχικά) την πρώτη και την δεύτερη παράσταση.

Η προτεραιότητα των συµβόλων είναι πρώτα το αστέρι Kleene, έπειτα η παράθεση και έπειτα το +, εφόσον αυτή δεν καθορίζεται µε παρενθέσεις.

B. Θεωρία2.Κανονικές Εκφράσεις3. Τυπικός Ορισµός Κανονικής Έκφρασης

Κάθε κανονική έκφραση αντιστοιχεί σε µία γλώσσα. Η κατασκευή της γλώσσας που αντιστοιχεί στην έκφραση µπορεί να γίνει µε τον τυπικό ορισµό:


*rL

B. Θεωρία2.Κανονικές Εκφράσεις4. Ορισµός Κανονικής Γλώσσας

Συνεπώς όλες οι γλώσσες της προηγούµενης άσκησης είναι κανονικές. Υπάρχουν και άλλοι τύποι γλωσσών που θα δούµε σε επόµενες ενότητες:

Γλώσσες Ανεξάρτητες συµφραζοµένων


Ορισµός: Μία γλώσσα θα λέγεται κανονική γλώσσα αν και µόνο αν

Υπάρχει κανονική έκφραση που την περιγράφει.

Γλώσσες Ανεξάρτητες συµφραζοµένων

Αποφασίσιµες Γλώσσες Αποδεκτές Γλώσσες

Κάθε οικογένεια γλωσσών σχετίζεται µε το πόσο δύσκολο είναι να υπολογιστούν τα µέλη της. Έτσι κάθε µία συµβολίζει και ένα επίπεδο δυσκολίας του υπολογισµού. Οι καν. γλώσσες υπολογίζονται από Πεπερασµένο Αυτόµατο (Ενοτ.3) Οι γλώσσες χωρίς συµφραζόµενα από Αυτόµατο Στοίβας (Ενότητα 4) Οι αποφασίσιµες γλώσσες από Μηχανή Turing (Ενότητα 5) Οι αποδεκτές γλώσσες ∆ΕΝ υπολογίζονται (Ενότητα 5)

B. Θεωρία2.Κανονικές Εκφράσεις4. Ορισµός Κανονικής Γλώσσας

ΑΣΚΗΣΗ: Ορίστε µε περιγραφικό τρόπο τις γλώσσες των κανονικών εκφράσεων:


1. (0+1)*11(0+1)*

2. 0(0+1)*10

3. 00(0+1)*11(0+1)*11

4. 0(0+1)*0 + 1(0+1)*1

5. 1(0+1)*0 + 0(0+1)*1

6. 0*(10*10*)*

7. 0(0+1)*+(0+1)*1

8. 1(00+01+10+11)*

9. (0+10*1)*

10. 0*(10*10*10*)*

B. Θεωρία2.Κανονικές Εκφράσεις5. Κάθε Πεπερασµένη Γλώσσα είναι Κανονική

φ


Θεώρηµα:Κάθε πεπερασµένη γλωσσα είναι κανονικήΑπόδειξη: Πράγµατι περιγράφεται από την κανονική έκφραση που µε + θα ενώνει όλες τις συµβολοσειρές της γλώσσας

Παράδειγµα:

Έστω L=ε,0,1,00,01,10,11

Η L είναι κανονική γιατί περιγράφεται από την κανονική έκφραση:ε+0+1+00+01+10+11

Γ. ΑσκήσειςΆσκηση Κατανόησης 1


,*1L *

2L

Γ. ΑσκήσειςΕφαρµογή 1

Κατασκευάστε κανονικές εκφράσεις για τις γλώσσες: L1=w∈0,1*| η w ξεκινά µε το 00 και τελειώνει µε 10

L2=w∈0,1*| η w ξεκινά µε το 11, περιέχει το 00 και τελειώνει µε 10

L =w∈a,b*| η w περιέχει το aabb


L3=w∈a,b*| η w περιέχει το aabb

L4=w∈a,b*| η w περιέχει τρία συνεχόµενα a

L5=w∈a,b*| η w περιέχει άρτια a ή περιττά b


∆ώστε τις γλώσσες µε αλφάβητο 0,1 που αντιστοιχούν στις παρακάτω κανονικές εκφράσεις:

1. L = 0*1(0*10*1)*0*

2. L = 1* + 1*01* + 1*01*01*


2. L = 1* + 1*01* + 1*01*01*

3. L = (0 + 1)* 11 + (0 + 1)* 10 + (0 + 1)* 01 + 0 + 1 + ε

4. L = 1(0 + 1)* + 0(0 + 1)*

5. L = 1*(01*01*01*)*


1. ∆ώστε κανονική έκφραση για τη γλώσσα µε όλες τις λέξεις του Σ= a,b που δεν τελειώνουν σε ab ή ba.

2. Περιγράψτε µε λόγια την γλώσσα µε κανονική έκφραση b*a(b*ab*a)*b*.

3. Είναι κανονική στο Σ= a,b γλώσσα η L=aibi |0 ≤i≤3


3. Είναι κανονική στο Σ= a,b γλώσσα η L=a b |0 ≤i≤3

4. Είναι κανονική στο Σ= 0,1 η γλώσσα L’ = (00111)n | n ≥0 όπου n οποιοσδήποτε φυσικός αριθµός;

5. Είναι κανονική γλώσσα στο Σ= a,b η Ν=(a+b)i |i>2

ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.1

Education

Transcript of ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.1