ETSI-ICAI. Departamento de Ingeniería Mecánica. Elasticidad y Resistencia de Materiales. 3º IIND.

31.- Calcular la flecha máxima y la σx máxima que resultan con el modelo de soporte esbelto sometido a carga excéntrica. E = 2,1 · 106 kg/cm2 ********************************************************************** En primer lugar hallaremos la excentricidad de la carga:

ePM ⋅=

cmPMe 50

10000500000 ===

La flecha máxima de una viga con un extremo empotrado y una carga excéntrica en el extremo libre viene dada por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅−

⋅=

LIE

P

LIE

P

e

y

ymax

cos

cos1

δ

Calcularemos a continuación los momentos de inercia: Ix1 = momento de inercia Ix de un perfil. Iy1 = momento de inercia Iy de un perfil. 4

1 6120306022 cmII xx =⋅=⋅= ( ) 42

1 22262 cmIdAII xyy ==⋅+⋅= Una vez hallados los momentos de inercia podemos hallar la flecha máxima:

x

y

d

y

x x

P=10000 kg.

M=5000 kg⋅m

4 m.Sección 2Ipn 220 soldados a tope en las alas

P=10000 kg.

M=5000 kg⋅m

P=10000 kg. e

ETSI-ICAI. Departamento de Ingeniería Mecánica. Elasticidad y Resistencia de Materiales. 3º IIND.

cm

LIE

P

LIE

P

e

y

ymax 97,9

4002226101,2

10000cos

4002226101,2

10000cos150

cos

cos1

6

6

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅⋅−

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅−

⋅=δ

b) La σx máxima se producirá en el empotramiento y será la suma de la tensión provocada por la flexión más una compresión uniforme.

APx

IM

maxy

yx +⋅=σ

donde bxmax = siendo b el ancho del ala de un perfil.

.cm,bxmax 94== 22,79 cmA =

( ) ( ) cmkgePM maxy ⋅=+⋅=+⋅= 59970097,95010000δ Sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos:

214462,79

100009,42226

599700 cmkgx =+⋅=σ

δmax

32.- ¿Cuál es la longitud de pandeo, en el plano de la figura, en los casos siguientes? En todos los pórticos se supone el dintel infinitamente rígido. Supóngase que solo es posible el pandeo en el plano de la figura. ********************************************************************** Debido a que la unión del dintel con los pilares es rígida, en todos los casos se debe conservar el ángulo en la unión de éstos con el dintel.

En este caso no hay nada que impida el desplazamiento lateral. La deformada será:

La longitud de pandeo es la distancia entre dos inflexiones de la deformada (sinusoide).

lp = 2L

a

a

2a

33.- Dimensionar la sección del pilar biempotrado de la figura con el criterio:

1730 kg/cm2 AN ω⋅≥

Datos: P = 30000 kg Acero A-42 E = 2,1·106 kg/cm2 ********************************************************************** Debido a que el pilar es biempotrado, su longitud de pandeo lp es:

.3002

cmLl p ==

Para determinar la dirección en la que pandeará necesitamos calcular el radio de giro mínimo. Debemos proceder por tanteos; el esquema de cálculo es el siguiente: Supongamos UPN-180, los datos de un perfil son: A1 = 28 cm2 Ix1 = 1350 cm4 Iy1 = 114 cm4 d = 5,08 cm Para el conjunto de ambos perfiles: 4

1 27002 cmII xx =⋅= ( ) 42

11 16,16732 cmdAII yconjy =⋅+⋅= Al ser Iy < Ix pandeará de forma que la sección del pilar rote sobre el eje y; es decir: el plano de pandeo es perpendicular a y. El radio de giro mínimo será por tanto:

cmA

Iii conjyconjymin 466,5

2 1

=⋅

==

La esbeltez será:

55466,5

300 ≈==conjy

p

il

λ

Una vez hallado λ podemos obtener ω a partir de tablas: ω = 1,17 La tensión con dos UPN-180 en cajón es:

2

1

627282

17,1300002

cmkgA

N =⋅

⋅=⋅⋅= ωσ

Como la tensión es muy inferior a 1730 kg/cm2 podemos elegir un perfil menor.

Sección 2 Upn Soldados en cajón

P

P

6 m

Suponer perfil

λimin tablas ω σ

x

y

d

Probaremos con UPN-120, los datos de un perfil son: A1 = 17 cm2

Ix1 = 364 cm4 Iy1 = 43,2 cm4 d = 3,9 cm Para el conjunto de ambos perfiles: 4

1 7282 cmII xx =⋅= ( ) 42

11 5,6032 cmdAII yconjy =⋅+⋅= Al ser Iy < Ix pandeará de forma que la sección del pilar rote sobre el eje y; es decir: el plano de pandeo es perpendicular a y. El radio de giro mínimo será por tanto:

cmA

Iii conjyconjymin 213,4

2 1

=⋅

==

La esbeltez será:

71213,4

300 ≈==conjy

p

il

λ

Una vez hallado λ podemos obtener ω a partir de tablas: ω = 1,36 La tensión con dos UPN-120 en cajón es:

2

1

1200172

36,1300002

cmkgA

N =⋅

⋅=⋅⋅= ωσ

Como la tensión es muy inferior a 1730 kg/cm2 podemos elegir un perfil menor. Supongamos UPN-100, los datos de un perfil son: A1 = 13,5 cm2 Ix1 = 206 cm4 Iy1 = 29,3 cm4 d = 3,45 cm Para el conjunto de ambos perfiles: 4

1 4122 cmII xx =⋅= ( ) 42

11 3802 cmdAII yconjy =⋅+⋅= Al ser Iy < Ix pandeará de forma que la sección del pilar rote sobre el eje y; es decir: el plano de pandeo es perpendicular a y. El radio de giro mínimo será por tanto:

cmA

Iii conjyconjymin 752,3

2 1

=⋅

==

La esbeltez será:

80752,3

300 ≈==conjy

p

il

λ

Una vez hallado λ podemos obtener ω a partir de tablas: ω = 1,51 La tensión con dos UPN-100 en cajón es:

2

1

16785,13251,130000

2cmkg

AN =

⋅⋅=

⋅⋅= ωσ

Como la tensión es ligeramente inferior a 1730 kg/cm2 elegimos: UPN – 100

x

y

d

x

y

d

Los cálculos anteriores se pueden presentar en forma de cuadro para no tener que repetir el razonamiento en cada iteración. En el presente ejercicio los tanteos efectuados se pueden expresar mediante el siguiente cuadro de cálculo. UPN b c A Iy1 Iy conj iy conj λ ω σ

180 7 1,92 28 114 1673,2 5,466 55 1,17 627 120 5,5 1,60 17 43,2 603,5 4,213 71 1,36 1200 100 5 1,55 13,5 29,3 380 3,752 80 1,51 1678

En este caso el dintel no se puede desplazar horizontalmente.

La deformada de la estructura será:

En este caso no hay nada que impida el desplazamiento lateral. La deformada será:

La longitud de pandeo:

Ambos pilares se encuentran biempotrados.

lp = 0,7L

lp = L

La deformada de la estructura será:

En los extremos del pilar está permitido el desplazamiento lateral pero está impedido el desplazamiento vertical y el giro.

La deformada de la estructura será:

lp = L/2

lp = 2a

lp = 2a

a

a

2a