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Mecánica de Sólidos UDA 3: Torsión en Ejes de Sección Circular 1
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Mecánica de Sólidos
UDA 3: Torsión en Ejes de Sección Circular
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Módulo 3: Torsión en Ejes de Sección Circular
Definición y Limitaciones Se analizarán los efectos que produce la aplicación de una carga de torsión sobre un
elemento largo y recto como un eje o tubo.
En un inicio se considerará que el elemento tiene una sección transversal circular.
Se mostrará como determinar la distribución de esfuerzo dentro del elemento, así como
el ángulo de torsión cuando el material se comporta en forma elástico lineal o de
manera inelástica
Se abordará el análisis estáticamente indeterminado de los ejes y tubos, además de
temas especiales como los elementos con secciones transversales.
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Módulo 3: Torsión en Ejes de Sección Circular
Deformación por Torsión de un Eje Circular El par de torsión es un momento que tiende a torcer un elemento sobre su eje longitudinal.
Su efecto es de gran importancia en el diseño de ejes o árboles de transmisión utilizados en
vehículos y maquinarias. Observe que:
La torsión ocasiona que los círculos seconserven como círculos y que cada línealongitudinal de la cuadrícula se deforme en unahélice que interseca los círculos en ángulosiguales.
Las secciones transversales de los extremos a lolargo del eje seguirán siendo planas.
Las líneas radiales se conservan rectas durante ladeformación.
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Fórmula de la Torsión Cuando un par de torsión externo se aplica sobre un eje, éste genera un par de
torsión correspondiente.
Si el material es elástico lineal, entonces se aplica la ley de Hooke. τ GγEn consecuencia cualquier variación lineal en la deformación cortante conducirá auna correspondiente variación lineal en el esfuerzo cortante a lo largo decualquier línea radial ubicada en la sección transversal.
Esta ecuación expresa la distribución del esfuerzocortante sobre la sección transversal en función dela posición radial ρ del elemento.
Ahora es posible aplicar la condición de que el par de torsión producidopor la distribución de esfuerzos sobre toda la sección transversal seaequivalente al par de torsión interno resultante T en la sección, lo cualmantendrá al eje en equilibrio.
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Deformación por Torsión de un Eje Circular Cada elemento de área dA, ubicado en ρ, está sometido a una
fuerza de dF τ dA.
El par de torsión producido por esta fuerza es dT = ρ(τ dA .Por lotanto, para toda la sección transversal se tiene:
La integral depende sólo de lageometría del eje. Representa elmomento polar de inercia delárea de la sección transversal deleje alrededor de su línea centrallongitudinal. Su valor se simbolizacomo J:
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Deformación por Torsión de un Eje Circular
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Deformación por Torsión de un Eje Sólido
Si el eje tiene una sección transversal circular sólida, el momento polar de inercia J puede determinarse
usando un elemento de área en forma de un aro o anillo diferencial que tienen un grosor dp y una
circunferencia 2πp:
J es una propiedad geométrica del área circular y
que siempre es positiva. Las unidades que se utilizan
mas a menudo para su medición son mm4 o in4.
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Deformación por Torsión de un Eje SólidoEl esfuerzo cortante varia linealmente al largo de cada línea radial dela sección transversal del eje.
Si se aísla un elemento del material que se encuentra sobre estasección, entonces debido a la propiedad complementaria de lafuerza cortante, deben existir también esfuerzos cortantes iguales queactúen sobre cuatro de sus caras adyacente.
No solo el par de torsión interno T desarrolla una distribución lineal del esfuerzo cortante a lo largo de cada línea radial en el plano del área de la sección transversal, sino que también se desarrolla una distribución del esfuerzo cortante asociada a lo largo de un plano axial.
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Deformación por Torsión de un EjeSólido.
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Deformación por Torsión de un Eje Tubular
Si un eje tiene una sección transversal tubular, con radio
interior C1 y radio exterior Co, entonces su memento polar
de inercia J puede determinarse con base a :
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Módulo 3: Torsión en Ejes de Sección Circular
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Módulo 3: Torsión en Ejes de Sección Circular
Ejemplo #1:
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Solución de ejemplo #1:
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Deformación por Torsión de un Ejes
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Ejemplo #2:
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Transmisión de PotenciaCon frecuencia, los ejes y tubos con secciones circulares se utilizan para transmitir la potencia desarrollada
por una máquina. Cuando se utilizan con este fin, se les somete a un par de torsiones que depende de la
potencia generada por la máquina y de la velocidad angular del eje.
La potencia se define como el trabajo realizado por unidad de tiempo.
El trabajo transmitido por un eje giratorio es igual al par aplicado por el ángulo de rotación.
Como la velocidad angular del eje
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Transmisión de PotenciaEn el sistema Internacional, la potencia se expresa en vatios cuando el par de torsión se mide en
newton-metros (N-m) y w se expresa en radianes por segundo (rad/s) (1 W = 1N-m/s).
Para el sistema americano (pies-libras-segundos) la potencia tendrá unidades pies-libras por
segundo (ft-lb/s) y se denomina caballos de fuerza (Horse Power) hp.
1 hp = 550 pies-lb/s
La frecuencia, es una medida del número de revoluciones o ciclos que realiza el eje cada segundo.
1 Hz = 1 ciclo/s1 ciclo = 2 π rad
ω= 2πf
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Transmisión de Potencia – Diseño de Ejes
Cuando se conoce la potencia transmitida por un eje y su frecuencia de rotación, el par de torsión que
se desarrolla en el eje puede determinarse a partir de:
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Al conocer T y el esfuerzo cortante permisible para el material , es posible determinar el tamaño
de la sección transversal del eje empleando la fórmula de la torsión, siempre y cuando el
comportamiento del material sea elástico lineal.
2 )
Eje Sólido Eje Tubular
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Transmisión de Potencia
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Angulo de Giro
Si se aplica un par de torsión T en un extremo de la barra circular, y el otro extremo se mantiene fijo, la flecha se torcerá entre lo dos extremos a través de un ángulo θ. Conforme se aplica el par de torsión, un elemento a lo largo de la superficie externa del miembro, inicialmente recto, gira un pequeño ángulo:
donde:T: par de torsiónL: longitud de la barraJ: momento polar de inerciaG: módulo de elasticidad a cortante
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Línea media de la cara ancha
T
T
Línea media de la cara angosta
Ss Ss
L
a
b
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Sección rectangular
T
Ss
Ss
(b) Estado de esfuerzo
b
Ssmax
Ssmax’
Punto crítico
T
(c) La forma de las secciones rectangulares cambia al ser sometida a
torsión y dichas secciones no permanecen planas
(a) Distribuciones de esfuerzos cortantes a lo largo de (i) los lados de la sección, (ii) dos líneas medias y (iii) una
línea oblicua
a
,2ab
TS smax
α=
a/b 1 1.5 2 3 4 6 8 10 ∞∞∞∞
αααα 0.208 0.231 0.246 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333
ββββ 0.141 0.196 0.229 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333
γγγγ 1.000 0.858 0.796 0.753 0.745 0.743 0.743 0.743 0.743
,3abG
TL
βθ =
,smaxsmax S'S γ=
Módulo 3: Torsión en Ejes
Sección rectangular
T
Ss
,πmm Ar =
ds
t < rm/10,
TL
t: espesor de pared
Ss
t
Am
,2 tA
TS
m
s = ,d
42 ∫=
t
s
GA
TL
m
θ Si t = cte, .4
2GtA
TLs
m
=θ
Módulo 3: Torsión en Ejes
Tubos de pared delgada
t
T
rm
t
rm
T
rm
.2
y 2
32Gtr
TL
tr
TS
mm
sπ
θπ
== .2
3y ,
2
332 Gtr
TL
tr
TS
mm
s πθ
π==
Circular hueca Circular hueca con ranura
Módulo 3: Torsión en Ejes
Tubos de pared delgada
Módulo 3: Torsión en Ejes
Diagrama de torques
Módulo 3: Torsión en Ejes
Diagrama de torquesSolución:El esfuerzo cortante máximo producido por torsión depende de la magnitud del par de torsión y del diámetro de la sección; entonces, se debe encontrar la combinación de par de torsión y diámetro que produce el máximo esfuerzo. Se debe construir un diagrama de par de torsión para determinar los pares internos en las diferentes secciones del elemento.
Diagrama de par de torsión:Nótese que las cargas sobre el elemento garantizan el equilibrio de éste, ya que la suma de pares de torsión es igual a cero: T1 – T2 + T3 = 20 kN – 50 kN + 30 kN = 0. El sentido positivo del par puedeasumirse arbitrariamente.
T1= 20 kN-mT2= 50 kN-m T3= 30 kN-m
φ 8 φ 10 φ 9
A I
20 20 1010Medidas en
cm
A B H IC GD E F
A B H IC GD E F
T (kN-m)
x
20
–30
Módulo 3: Torsión en Ejes
Diagrama de torques
Entre las secciones A y C no hay cargas, por lo tanto, se traza una línea horizontal en T = 0 desde A hasta C. En C se traza una flecha vertical hacia arriba que corresponde al par T1 de 20 kN-m; el signo de este par se tomó arbitrariamente positivo. Entre C y E no hay par, entonces, se traza la línea horizontal mostrada. En la sección E está el par T2 de 50 kN que va en sentido contrario a T1, entonces, se traza la flecha vertical hacia abajo que llega hasta un valor de T = 20 kN – 50 kN = –30 kN. La línea horizontal entre E y G indica que no hay par en ese tramo de la pieza. La flecha en G corresponde al par T3. Finalmente, la línea horizontal entre G e I indica que no hay par entre estas dos secciones. El diagrama ‘cierra’ en T = 0 indicando que la pieza está en equilibrio.
Módulo 3: Torsión en Ejes
Diagrama de torquesSección crítica y esfuerzo máximo:Las secciones más críticas se escogen con base en el par de torsión y el diámetro de éstas.- Los tramos AC y GH no soportan par de torsión ni tampoco esfuerzo.- El tramo CD soporta un par de 20 kN-m y tiene un diámetro de 8 cm.- El tramo DE puede descartarse ya que soporta el mismo par que el del tramo CD, teniendo mayordiámetro (por lo tanto, menores esfuerzos de acuerdo con la ecuación 2.12).- El tramo EF soporta un par de torsión mayor que el del tramo DE, entonces, podría ser crítico.- Finalmente, el tramo FG soporta 30 kN y tiene un diámetro de 9 cm. Comparado con el tramoCD no podría descartarse ninguno de los dos, a simple vista, ya que uno tiene mayor par, pero elotro menor diámetro. Comparando el tramo FG con el EF, se descarta este último, ya que ambossoportan el mismo momento de torsión, pero el EF posee mayor diámetro (menores esfuerzos).
En conclusión, se analizan los tramos CD y FG. Sin tener en cuenta los efectos de los cambios desección sobre los esfuerzos, todas las secciones de cada tramo soportarán la misma distribución deesfuerzos.En el tramo CD, el esfuerzo máximo (que ocurre en la periferia) está dado por la ecuación:
Para el tramo FG, el esfuerzo máximo es igual a:
De acuerdo con esto, las secciones más críticas son las del tramo FG, y el esfuerzo máximo in dichotramo ocurre en la superficie y es igual a 210 MPa.
Módulo 3: Torsión en Ejes
Diagrama de torquesCálculo del ángulo de torsión:El ángulo de torsión total es la suma de los ángulos de torsión en los diferentes tramos.
Nótese que en los tramos AB, BC, GH y HI no hay deformación ya que no están cargados. Los signos de los ángulos de torsión se han tomado de acuerdo con los signos de los pares de torsión en los diferentes tramos.El ángulo de torsión total es:
El signo negativo indica que el ángulo de torsión en el tramo EG es mayor que en el CE. Mirando la pieza por la derecha, la cara I gira en sentido horario con respecto a la cara A; esto se deduce con base en la dirección de los pares de torsión que producen las deformaciones.
Módulo 3: Torsión en Ejes
Diagrama de torquesCálculo del ángulo de torsión:Propiedades FÍSICAS aproximadas de algunos materiales de ingeniería.
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Módulo 3: Torsión en Ejes
