18. Teorija grafova 4: planarnost, bojenje

Bojenje cvorova je funkcija f : V (G) → B (elemente skupa B zovemo boje). Bojenje je pravilno ako ne postoje dvasusedna jednako obojena cvora. Hromatski broj χ(G): najmanji broj boja potreban za pravilno bojenje cvorova.

Teorema 1 (a) χ(G) ≤ 4(G) + 1. (b) Ako je G povezan i nije kompletan niti neparna kontura, onda je χ(G) ≤ 4(G).

Graf je planaran ako se moze predstaviti u ravni bez presecanja grana. Potpodela: deljenje grane na delove umetanjemcvorova na nju. Kontrakcija: spajanje dva cvora u jedan, incidentan sa svim njihovim granama.

Teorema 2 (Pontrjagin-Kuratovski) Ekvivalentni su uslovi: (i) graf G je planaran; (ii) G ne sadrzi kao podgrafpotpodelu nijednog od grafova K5 i K3,3; (iii) G se ne moze kontraktovati na graf koji sadrzi neki od grafova K5 ili K3,3.

Teorema 3 Za povezan planaran graf sa bar 3 cvora vazi: m ≤ 3n− 6.

Teorema 4 (Ojler) (a) Ako je k broj komponenti planarnog multigrafa, a l broj oblasti na koje on deli ravan, onda jen+ l = m+ k + 1.

(b) Ako su n, l,m redom broj temena, strana i ivica konveksnog poliedra, vazi n+ l = m+ 2.

1. Na zasedanju skupstine svaki poslanik osamario je nekog drugog. Dokazati da se oni mogu podeliti u tri stranketako da niko nije osamario kolegu iz stranke.

2. Dokazati da se ne moze napraviti mreza puteva bez nadvoznjaka izmedu pet gradova tako da svaka dva grada budupovezana direktno.

3. Neka je n(G) > 10. Dokazati da bar jedan od grafova G i G nije planaran.

4. Neka je G povezan planaran graf. (a) Dokazati da on ima cvor stepena najvise 5. (b) DAko je n(G) ≤ 11, dokazatida on ima cvor stepena najvise 4.

5. Dokazati da se svaki povezan planaran graf moze pravilno obojiti sa najvise 6 boja.

6. U ravni je dato konacno mnogo pravih, tako da se svake dve seku u tacki kroz koju prolazi bar jos jedna od tihpravih. Dokazati da se sve te prave seku u jednoj tacki.

7. Dokazati da se sedmougao ne moze razloziti na konveksne sestouglove.

8. DKonveksan poligon razlozen je na cetvorouglove. Dokazati da je bar jedan od njih konveksan.

9. U nekom skupu ljudi ne postoje dva poznanika koji imaju zajednickih poznanika, a svako dvoje koje se ne poznajuimaju tacno dva zajednicka poznanika. Dokazati da u tom skupu svi poznaju isti broj ljudi.

10. *(Teorema o prijateljima) U nekom skupu ljudi svake dve osobe imaju tacno jednog zajednickog poznanika. Dokazatida postoji osoba koja poznaje sve ostale.

11. U skupu od 1982 ljudi medu svaka cetiri coveka postoji jedan koji poznaje ostala tri. Koliki je najmanji broj ljudikoji poznaju sve ostale?

12. DU nekoj zemlji svaka dva grada povezani su direktno autobusom, vozom ili avionom, i postoji bar po jedna linijasvake vrste. Poznato je da ne postoji grad iz koga saobracaju sve tri vrste prevoznih sredstava, i da ne postoje trigrada takva da izmedu svaka dva saobraca isto prevozno sredstvo. Naci najveci moguci broj gradova u toj zemlji.

13. Svaka od tri skole ima po n ucenika. Svaki ucenik ima ukupno n+ 1 poznanika iz druge dve skole. Dokazati da jemoguce izabrati po jednog ucenika svake skole, tako da se to troje medusobno poznaju.

14. U skupu od 2k osoba medu svake 3 postoji jedna koja poznaje ostale dve. Dokazati da taj skup mozemo razbiti nak parova tako da svaki par cine poznanici.

15. *U skupu od n osoba medu svake 3 postoji jedna koja poznaje ostale dve. Da li mora da postoji osoba koja poznajesve ostale, ako je (a) n neparno, (b) n parno?

16. *U grafu G svaka dva susedna cvora nemaju zajednickih suseda, a svaka dva nesusedna cvora imaju tacno dvazajednicka susedna cvora.

(a) Dokazati da je G regularan graf.

(b) Koliko cvorova moze imati G?