Opca teorija relativnosti

biljeske s vjezbi

Ivica Smolic

radna verzija 15. rujna 2012.

Sva prava pridrzana.

2

· ∗ Ω ∗ ·

Ova skripta zamisljena je kao pomoc studentima u svladavanju osnovnihpojmova opce teorije relativnosti i pripadnog matematickog aparata. Na ovommjestu nisu objasnjeni svi koristeni pojmovi, niti je to bila namjera – pod-razumjeva se da ce se student s ostalim detaljima upoznati na predavanjima,vjezbama, kao i kroz ponudenu literaturu. Izvor zadataka je uglavnom stan-dardna zbirka grupe autora, [Lightman et al.], uz ponesto primjera pronadenihu jednom od mnostva udzbenika iz gravitacije (iako su na tim mjestima rjesenjacesto izostavljena).

Autor se zeli zahvaliti svim onim studentima i kolegama koji su svojim is-pravkama i primjedbama pomogli u stvaranju i poboljsavanju skripte. Ipak,valja naglasiti kako ona nije prosla strucnu recenziju, pa stoga nije lisena mate-matickih i pravopisnih pogresaka.

· ∗ f ∗ ·

3 §

0. Konvencije, konstante, pokrate

Koristimo konvencije koje u [MTW] nomenklaturi odgovaraju odabiru (+,+,+),sto znaci da je

i) Metrika Minkowskog ηµν u inercijalnom Kartezijevom koordinatnom sustavu(x0, x1, x2, x3) = (ct, x, y, z) dana s

ds2 = ηµν dxµdxν = −c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2 (1)

ii) Riemannov tenzor je pomocu Christoffelovih simbola dan s

Rαβµν = ∂µΓαβν − ∂νΓαβµ + ΓαµρΓρβν − ΓανσΓσβµ (2)

iii) Einsteinovu jednadzbu pisemo

Rµν −1

2Rgµν =

8πG

c4Tµν (3)

gdje su Riccijev tenzor Rµν i Riccijev skalar R definirani s

Rµν ≡ Rαµαν , R ≡ gµνRµν (4)

G je uobicajena gravitacijska konstanta, a Tµν tenzor energije i impulsa (za nje-govu definiciju vidi [Wald], Appendix D).

Jedinice: Uglavnom rabimo prirodni sustav jedinica u kojem je c = G = 1.

Kratice: STR = specijalna teorija relativnosti, OTR = opca teorija relativ-nosti, TSM = trenutni sustav mirovanja; sg. = svjetlosna godina

Notacija indeksa: Za indekse pisane malim slovima grckog alfabeta po-drazumijevamo da poprimaju vrijednosti iz skupa 0, 1, 2, 3, a za one pisanemalim slovima latinske abecede iz skupa 1, 2, 3 (i analogno u slucaju N -dimenzionalnog prostorvremena)

Deriviranje: Obicnu, parcijalnu derivaciju moguce je zapisati na nekolikorazlicitih nacina,

∂A

∂xα= ∂αA = A,α = A|α

Za kovarijantnu derivaciju takoder postoji nekoliko alternativnih oznaka,

∇αA = A;α = A||α

U slucaju visih derivacija rabimo zapis

∂3Aµ∂xα ∂xβ ∂xγ

= Aµ,αβγ , ∇α∇β∇γ Aµ = Aµ;γβα

Konvencionalno, tocka oznacava derivaciju po vlastitom (a ne koordinatnom)vremenu,

A ≡ dA

dτ

4

Prirodni sustavi jedinica

Najvaznije konstante u specijalnoj i opcoj teoriji relativnosti, te kvantnojfizici su brzina svjetlosti c, gravitacijska konstanta G i reducirana Planckovakonstanta ~. U uobicajenom (SI) sustavu jedinica one imaju dimenzije

c

[L

T

], G

[L3

MT 2

], ~

[ML2

T

]Mi cemo promatrati dva prirodna sustava jedinica, u kojima su po dvije od ovihkonstanti bezdimenzionalne:

G : c = G = 1 , K : c = ~ = 1 (5)

Kombinacije fundamentalnih konstanti, korisne za kasnije racunanje konverzij-skih faktora su

G

c2

[L

M

],

~c

[LM ] ,~c2

[TM ]

Vecina fizikalnih velicina ima dimenziju koju je moguce izraziti preko dimenzijaduljine [L], vremena [T ] i mase [M ]. U prirodnom sustavu jedinica G sve cefizikalne velicine biti izrazene u jedinicama duljine [L], a u prirodnom sustavujedinica K u jedinicama mase [M ]. Veze izmedu neke fizikalne velicine A zapi-sane u orginalnom (SI) i jednom od prirodnih sustava jedinica (AG , AK) danesu preko konverzijskih faktora γA i κA:

AG = γA ·A , AK = κA ·A (6)

U slucaju vremena, duljine i mase, imamo sljedece relacije:

tG = c · t , tK =c2

~· t , lG = l , lK =

c

~· l

mG =G

c2·m , mK = m

Opcenito, fizikalnu velicinu A dimenzije [T pLrMs] prebacujemo u

a) AG [Lp+r+s] pomocu konverzijskog faktora γA = cp (G/c2)s

b) AK [M−p−r+s] pomocu konverzijskog faktora κA = (c2/~)p (c/~)r

Neki vazniji konverzijski faktori dani su u tablici ispod. U slucaju elektricnognaboja napravljena je dodatna pretpostavka da polazimo od sustava jedinica ukojem je 4πε0 = 1.

5 §

A [A] [AG] γA [AK] κA

vrijeme T L c M−1 c2~−1

duljina L L 1 M−1 c~−1

masa M L Gc−2 M 1

brzina LT−1 1 c−1 1 c−1

akceleracija LT−2 L−1 c−2 M c−3~impuls LT−1M L Gc−3 M c−1

energija L2 T−2M L Gc−4 M c−2

angularni moment L2T−1M L2 Gc−3 1 ~−1

gustoca mase L−3M L−2 Gc−2 M4 c−3~3

gustoca energije T−2L−1M L−2 Gc−4 M4 c−5~3

elektricni naboj L32T−1M

12 L G

12 c−2 1 c−

12 ~− 1

2

U kvantnoj teoriji polja cesto se upotrebljava prirodni sustav jedinica K, u kojempolja (skalarno φ, fermionsko ψ i bazdarno Aaµ) imaju naredne, tzv. kanonskedimenzije:

[φ]B =d− 2

2, [ψ]B =

d− 1

2, [Aaµ]B = 1 (7)

gdje je d ukupan broj prostornovremenskih dimenzija.

Planckov sustav jedinica. Ponekad se u literaturi koristi i dodatno pojed-nostavljen sustav jedinica koji objedinjuje dva predstavljena ovdje, a u kojemvrijedi c = G = ~ = 1. U ovom sustavu jedinica sve fizikalne velicine su bezdi-menzionalne. Uvodimo pomocne velicine,

· Planckova duljina, lP ≡ (G~/c3)1/2

· Planckova masa, mP ≡ (~c/G)1/2

· Planckovo vrijeme, tP ≡ lP/c = (G~/c5)1/2

Veze izmedu velicina izrazenih u Planckovom sustavu i onih u G i K susta-vima jedinica mogu se zapisati na nekoliko alterativnih nacina,

AP =AG

lp+r+sP

= mp+r−sP AK =

(c5p+3r−sG−p−r+s

~p+r+s

)12

A (8)

AP =A

tpP lrPm

sP

(9)

6

1. Specijalna teorija relativnosti

ZAD. (paradoks automobila i garaze) Automobil duljine l0 (mjerene u sustavumirovanja automobila) nalijece brzinom v na garazu duljine lg,0 < la,0. Neka jeomjer njihovih duljina (u mirovanju) dan faktorom k ≡ la,0/lg,0 ≥ 1. Kolika jeminimalna brzina vm potrebna da automobil stane u garazu?

R. Postoje dvije varijante ovog problema: u jednoj se automobil ne zaus-tavlja vec prolijece kroz garazu (pretpostavljajuci da garaza ima ulazna i izlaznavrata); u drugoj se automobil sudara sa straznjim zidom garaze, pri cemu sedeformiraju automobil i/ili garaza.

U prvom slucaju paradoks je razrijesen jednostavnijim racunom - posrijedi jetek drugacija definicija istovremenosti u sustavima mirovanja garaze, odnosnoautomobila . . .

U drugom slucaju je potrebno napraviti odredene pretpostavke u vezi scvrstocom materijala od kojih su gradeni automobil i garaza. U svrhu po-jednostavljenja razmatranja ovi detalji ce biti prikriveni pod pretpostavkom dagledamo “najgori” moguci slucaj. Radi lakseg snalazenja uvodimo tri tocke: A(straznji kraj automobila koji posljednji ulazi u garazu), B (ulaz garaze) i C(tocka prvog kontakta automobila i garaze; prednji kraj automobila i straznjizid garaze). Problem cemo rijesiti promatranjem iste situacije u dva razlicitainercijalna sustava:

Sustav mirovanja automobila: Duljina automobila jednaka je la = la,0,dok je duljina garaze lg = lg,0/γ(v) zahvaljujuci relativistickoj kontrakciji. Utrenutku kada straznji zid garaze udari u prednji kraj automobila iz tocke Ckrece signal duz automobila, prema tocki A, u obliku nekakve deformacije ma-terijala od kojeg je on napravljen (pretpostavljamo da putuje maksimalnommogucom brzinom, c). Za to vrijeme straznji kraj automobila “ne zna” daje prednji kraj udario u zid garaze i “nece saznati” (i pomaknuti se) sve dokovaj signal ne doputuje do njega. Naravno, analognu deformaciju dozivljava igaraza, ali kako za taj signal takoder pretpostavljamo da putuje brzinom c, upromatranom granicnom slucaju on stize u tocku B istovremeno sa signalomduz automobila (u trenutku kada su se preklopile tocke A i B). Uvijet da auto-mobil stane u garazu jest da signal ne doputuje u tocku A prije vrata garaze(tocka B), drugim rijecima

ts =|AC|c≥ |AB|

v(10)

la,0c≥ la,0 − lg

v⇒ βla,0 ≥ la,0 −

lg,0γ

/ : lg,0

βk ≥ k −√

1− β2 ,√

1− β2 ≥ k(1− β)√1 + β

1− β≥ k , β ≥ k2 − 1

k2 + 1(11)

7 §

vm =k2 − 1

k2 + 1c (12)

Sustav mirovanja garaze: U ovom sustavu duljina garaze je lg = lg,0,dok je automobil relativisticki skracen, la = la,0/γ(v). U trenutku kada prednjikraj automobila udari o straznji zid garaze krece signal duz garaze, prema tockiB, u obliku nekakve deformacije materijala od koje je ona napravljena (opetpretpostavljamo da putuje maksimalnom mogucom brzinom, c). Za to vrijemeulaz garaze “ne zna” da je njen straznji zid udario automobil i “nece saznati”(i pomaknuti se) sve dok ovaj signal ne doputuje do tocke B. Takoder, straznjikraj automobila (tocka A) jos “ne zna” da je prednji kraj automobila udario uzid garaze i nastavlja se gibati brzinom v prema ulazu garaze. Uvjet da auto-mobil stane u garazu poprima oblik analogan onomu u prethodno promatranominercijalnom sustavu,

ts =|AC|c≥ |AB|

v

lg,0c≥ la − lg,0

v, βlg,0 ≥

la,0γ− lg,0 / : lg,0

β ≥ k√

1− β2 − 1 ⇒ k ≤

√1 + β

1− β

sto je u potpunosti identican rezultat kao onaj kojeg smo dobili razmatranjemu prvom inercijalnom sustavu!

Akcelerirani sustavi u STR

Uobicajena je predrasuda kako za razmatranje akceleriranih gibanja i akce-leriranih promatraca specijalna teorija relativnosti nije dostatna, vec nuzno mo-ramo posegnuti za opcom teorijom relativnosti. No, STR razvila se upravo mo-tivirana potrebom da se opise fizika akceleriranih objekata, primjerice, zracenjaakceleriranih nabijenih cestica. Naredni zadatak ilustrirat ce jedno takvo raz-matranje.

ZAD. Raketa je ubrzana na nacin da putnici u njoj osjecaju konstantnu gravita-ciju, u smislu da unutar rakete ispusteni predmeti padaju na pod akceleracijomkonstantnog iznosa g. Pretpostavimo da raketa krece sa Zemlje iz mirovanja.Napomena: Zemlja se ovdje pojavljuje samo u smislu ishodisne tocke polaznoginercijalnog sustava, a ne u smislu masenog tijela s gravitacijskim poljem.a) Koliko daleko je dosla raketa nakon vremena δt, mjerenog na Zemlji, a kolikodaleko ako je spomenuto vrijeme mjereno u raketi?b) Izracunajte vlastito vrijeme koje izmjere putnici u raketi tijekom puta odZemlje do sredista galaksije, udaljenog 30000 godina svjetlosti. Pretpostavite

8

da raketa tijekom prve polovice puta akcelerira, a tijekom druge polovice dece-lerira konstantnim iznosom g.c) Koliki moze biti koristan teret rakete u b) dijelu zadatka? Pretpostavite ide-alnu raketu koja za pogon koristi masu pretvorenu u zracenje sa 100% ucinkovitosti.

R. Polazeci od definicija 4-brzine i 4-akceleracije (u koordinatnom sustavuvezanom za Zemlju),

uµ =dxµ

dτ, aµ =

duµ

dτ(13)

te uzimajuci u obzir da je uµ normirana prema uµuµ = −1, vidimo da vrijedi

0 =d

dτ

(−1

2

)=

d

dτ

(1

2uµuµ

)= aµuµ = a0u0 + aiui (14)

Uocite kako je iz ove jednadzbe vidljivo da su komponente 4-akceleracije ve-zane, te su stoga samo 3 od njih nezavisne! To eksplicitno mozemo vidjeti u,primjerice, trenutnom sustavu mirovanja (TSM) akceleriranog sustava, gdje jeui = ui = 0, odakle slijedi u0 6= 0 (zbog uµuµ = −1), te a0 = 0. Preostale 3komponente 4-akceleracije (ai) su nezavisne i mozemo stoga pisati

aµ = (0 ; ai)TSM , ai =1

c2d2xi

dt2

∣∣∣TSM

(15)

Koristeci ove zakljucke mozemo odrediti kojoj velicini odgovara iznos akcelera-cije opisan u zadatku. U trenutnom inercijalnom sustavu

aµaµ = (aiai)TSM =

(1

c2d2~x

dt2

)2

TSM

=g2

c4(16)

pa onda i u svim drugim sustavima (s obzirom da je posrijedi skalarna velicina).Radi jednostavnosti razmatranja cemo pretpostaviti da raketa ide u x smjeru(tijekom gibanja vrijedi y = z = 0). Imamo jednadzbe gibanja:

cdt

dτ= u0 ,

dx

dτ= u1 ,

du0

dτ= a0 ,

du1

dτ= a1 (17)

uµuµ = −1 = −(u0)2 + (u1)2

uµaµ = 0 = −u0a0 + u1a1 (18)

aµaµ =g2

c4= −(a0)2 + (a1)2

⇒ a1 =u0

u1a0 ,

g2

c4= (a0)2

(−1 +

(u0)2

(u1)2

)=

(a0)2

(u1)2

Odavde slijedi (predznak je odabran prema pocetnim uvjetima zadatka),

a0 =g

c2u1 , a1 =

g

c2u0

du0

dτ=

g

c2u1 ,

du1

dτ=

g

c2u0 (19)

9 §

d2u0

dτ2=

g

c2du1

dτ=g2

c4u0 ,

d2u1

dτ2=

g

c2du0

dτ=g2

c4u1

u0 = Aegτ/c2

+Be−gτ/c2

, u1 = Cegτ/c2

+De−gτ/c2

(20)

Vracanjem (20) u jednadzbe (19) dobivamo

du0

dτ=

g

c2(Aegτ −Be−gτ ) =

g

c2(Cegτ +De−gτ ) ⇒ A = C , B = −D

Dodamo li i pocetnu uvjet u1(τ = 0) = 0, iz (20) slijedi C = −D, pa onda iA = B. Nadalje, iz uvjeta

−1 = −(u0)2 + (u1)2 = −4AB

dobivamo A = 1/2 = B. Konacno imamo

u0(τ) = ch(gτc2

), u1(τ) = sh

(gτc2

)(21)

t(τ) =c

gsh(gτc2

)+ t0 , x(τ) =

c2

gch(gτc2

)+ x0 (22)

Valja uociti kako (u sustavu jedinica c = 1) vrijedi

(x− x0)2 − (t− t0)2 = g−2 (23)

sto znaci da se raketa giba hiperbolicnom putanjom. Uz pocetni uvjet

t(τ = 0) = x(τ = 0) = 0

putanja je opisana s

t(τ) =c

gsh(gτc2

), x(τ) =

c2

g

(ch(gτc2

)− 1)

(24)

Sada mozemo odgovoriti na prva dva pitanja iz zadatka:

a) Iz gore zapisanog rjesenja imamo:

δt =c

gsh

(gδτ

c2

)

δx =c2

g

(ch

(g δτ

c2

)− 1

)=c2

g

(√(g δt/c)2 + 1− 1

)Prije nego sada uvrstimo neke konkretne brojke, zgodno je uociti numerickukoincidenciju da je g · god./c = 9.81 · 3.14 · 107/3 · 108 ∼ 1. Odavde slijedida je c2/g = (c · god.)/(g · god./c) ∼ sg. Izrazavamo li stoga δt u jedinicama

10

godina (god.), a δτ i δx u svjetlosnim godinama (sg.), jednadzbe poprimajujednostavniji zapis,

δt = sh(δτ) , δx = ch(δτ)− 1 =

√(δt)2 + 1− 1

Uzmemo li sada npr. da je na Zemlji proteklo δt = 40 (god.), za prijedeni putrakete dobivamo δx = 39 (sg.). S druge strane, za vrijeme od δτ/c = 40 god.mjereno satovima na raketi, raketa ce prijeci put od δx = ch(40)−1 ∼ 1017 (sg.)

b) Za prvu polovicu puta imamo δx = 15000, odakle je

δτ = ch−1(δx+ 1) ∼ 10.3

Po simetriji zadatka, za drugu polovicu puta je potrebno jednako toliko vre-mena, pa je ukupno vrijeme putovanja 20.6 godina.

c) Neka je M masa mirovanja rakete, koja se tijekom puta mjenja zbogizgaranja goriva. Promjena mase (energije) rakete jednaka je izracenoj energiji,koja je (u sustavu jedinica c = 1) jednaka promjeni impulsa fotona, a ona nadaljepromjeni impulsa rakete,

dp0 = d(Mu0) = −dEizr = −dP = −d(Mu1)

Druga jednakost proizlazi iz zakona ocuvanja energije, a cetvrta iz zakonaocuvanja impulsa, te vrijedi d(Mu0) < 0 i dEizr > 0.

(dM)u0 +M(du0) = −(dM)u1 −M(du1)

dM/M = −d(u0 + u1)/(u0 + u1)

M = M0/(u0 + u1) = M0e

−gτ/c2

Iz b) dijela zadatka imamo eδτ ∼ 30000 za polovicu puta. Stoga je

Mfin = M0e−δτe−δτ ∼M0/(30000)2 ∼M0 · 10−9

11 §

2. Tenzorski racun

Kroz sve racune podrazumijevamo tzv. Einsteinovu konvenciju koja kaze dase u slucaju kada imamo ponovljeni gornji i donji indeks podrazumijeva sumacijapo tom indeksu; konkretno,

AαB βα ≡

∑α

AαB βα

U iznimnim slucajevima, kada se sumacija ne pretpostavlja, to ce biti posebnonaglaseno. Isto tako, podrazumijeva se da ako dva ista indeksa leze oba gore ilioba dolje, sumacija nije pretpostavljena.

Tenzori su velicine definirane neovisno o koordinatnom sustavu, medutim,u nasim racunima mi cemo najcesce racunati s njihovim komponentama cijavrijednost je definirana s obzirom na neki koordinatni sustav. Transformacijakomponenti tenzora T prilikom koordinatne transformacije x→ x′:

Tα′ σ′

β′γ′ =∂xα

′

∂xα∂xβ

∂xβ′

∂xγ

∂xγ′

∂xσ′

∂xσTα σ

βγ (25)

Gornje indekse (u ovom primjeru α i σ) zovemo kontravarijantni indeksi, a donjeindekse (u ovom primjeru β i γ) kovarijantni indeksi. Rang tenzora jednak jeukupnom broju njegovih indeksa. Prilikom pisanja tenzorskih komponenti va-lja biti posebno oprezan oko njihovog polozaja: kontravarijantni i kovarijantniindeks opcenito imaju drugo znacenje (sto je, za pocetak, vidljivo vec iz razlikeu transformacijskim svojstvima), ali isto tako je jednako bitan i njihov horizon-talan polozaj (primjerice, Tαβ opcenito nije jednak T α

β ). Valja stoga prilikompisanja tenzorskih indeksa jasno naznaciti njihov polozaj:

ne Tασβγ vec npr. Tα σβγ ili Tα σ

β γ ili T ασβ γ ili . . .

Jedna od osnovnih operacija s tenzorima je kotrahiranje indeksa - najkracereceno, sumacija po nekom paru indeksa, bilo da su oni na jednom ili dva ralicitatenzora. Rezultat kotrahiranja indeksa je opet tenzor . . .

Tα σβσ = Tαβ , AαβB

βγ = Cαγ

Indeksi po kojima se vrsi sumacija prilikom kotrahiranja ponekad se nazivajuslijepi (gluhi, nijemi) indeksi kako bi se naglasilo da nije bitna oznaka koja jepritom upotrebljena za te indekse:

AαβBβ = AασB

σ , AαBα +AβB

β = 2AγBγ

Kroneckerova delta. Vazan primjer tenzora ranga 2 je

δ νµ =

1 µ = ν0 µ 6= ν

(26)

12

Kroneckerova delta ima iste komponente u svim koordinatnim sustavima:

δ ν′

µ′ =∂xµ

∂xµ′

∂xν′

∂xνδ νµ =

∂xµ

∂xµ′

∂xν′

∂xµ=∂xµ

′

∂xν′ =

1 , µ′ = ν′

0 , µ′ 6= ν′

Metrika je simetrican tenzor ranga 2, konvencionalno oznacen s gµν (vrijedigµν = gνµ). Metrika s gornjim indeksima definirana je kao matricni inverzmatrice cije su komponente jednake komponentama metrike, preko relacije,

gµσgνσ = δ ν

µ (27)

Specijalno, u slucaju dijagonalne metrike (takve da su sve komponente gµν jed-nake nuli kada je µ 6= ν) imamo:

gαα =1

gαα

Metricki tenzor upotrebljavamo kako bismo podigli ili spustili indekse tenzora:

gµνTµαβ = Tναβ , gµνT α

µ β = T ναβ

Jednostavno se pokaze da je metrika s mjesanim indeksima jednaka Kronecke-rovoj delti,

g νµ = gµσg

σν = δ νµ

Vazno je uociti sljedecih par relacija:

δνµ = gναgµβ δβ

α = gναgµα = δ νµ , g µ

µ = δ µµ = n

gdje je n broj dimenzija prostorvremena.

Komponente metrickog tenzora s obzirom na koordinatnu transformacijux→ x′ se mjenjaju prema

gµ′ν′ =∂xµ

∂xµ′

∂xν

∂xν′ gµν

Ako komponente metrike gµν promatramo kao elemente matrice g, a kompo-

nente tenzora koordinatne transformacije ∂xµ/∂xµ′

kao na elemente matrice Λ,mozemo gornju relaciju zapisati u kompaktnijoj formi

g′ = ΛTg Λ (28)

S obzirom da je matrica Λ proizvoljna, mozemo je zapisati u obliku umnoskaortogonalne matrice O i dijagonalne matrice D,

Λ = OD , ΛT = (OD)T = DTOT = DO−1

13 §

Kako je po definiciji metrika g simetricna nesingularna matrica, moguce ju jedijagonalizirati i to pomocu ortogonalne matrice,

g = O−1gO , g = diag(a1, . . . , an)

Ako za dijagonalnu matricuD odaberemo onu oblikaD = diag(|a1|−12 , . . . , |an|−

12 )

metrika u transformiranim koordinatama,

g′ = DO−1gOD = diag(sgn(a1), . . . , sgn(an))

imat ce dijagonalnu formu kojoj su po dijagonali samo brojevi +1 ili −1 (nulese ne mogu pojaviti jer je po pretpostavci metrika g nesingularna matrica). Zaovako dijagonaliziranu i normiranu metriku ponekad se upotrebljava izraz ka-nonska forma.

Vazna cinjenica jest da se broj pozitivnih, kao i negativnih vrijednosti ukanonskoj formi metrike ne moze promjeniti koordinatnom transformacijom.Ovo je izravna posljedica teorema iz linearne algebre, poznatog pod nazivomSylvesterov zakon inercije. To nam omogucuje da klasificiramo metrike premanjihovoj signaturi, odnosno broju pozitivnih i negativnih vrijednosti u kanon-skoj formi: ako su sve vrijednosti pozitivne (ili, ekvivalentno, sve negativne)govorimo o Euklidskom ili Riemannovom tipu metrike, u protivnom je rijec opseudo-Riemannovom tipu metrike. Specijalno, ako su sve osim jedne vrijed-nosti pozitivne (ili, ekvivalentno, sve osim jedne negativne) govorimo o Loren-tzovom tipu metrike. Ako uzmemo determinantu s obje strane jednakosti (28)dobivamo

det(g′) = det(ΛT) det(g) det(Λ) = (det(Λ))2 det(g) = J2 det(g) (29)

gdje je iskoristena cinjenica da transponirana matrica ΛT ima jednaku determi-nantu kao i pocetna matrica Λ. Determinanta matrice Λ nije nista drugo doliJacobijan J koordinatne transformacije x → x′. Iz jednakosti (29) vidimo dadeterminanta metrike ne moze promjeniti predznak prilikom koordinatne tran-sformacije. Ako uvedemo broj s, definiran kao broj negativnih vrijednosti ukanonskoj formi metrike, tada vrijedi

sgn(det(g)) = (−1)s

Uobicajeno je za determinantu metrike upotrebljavati pojednostavljenu oznaku

g ≡ det(g)

Nekoliko primjera metrike:

1) Euklidska metrika izrazena u Kartezijevim koordinatama,

ds2 = dx2 + dy2 + dz2

gxx = gyy = gzz = 1 , gxy = gyz = gzx = 0

14

2) metrika Minkowskog izrazena u Kartezijevim koordinatama,

ds2 = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2

ηtt = −1 , ηxx = ηyy = ηzz = 1 , ηtx = ηty = ηtz = ηxy = ηyz = ηzx = 0

3) nekakva izmisljena metrika,

ds2 = ydx2 + 2xy2dxdy + dy2

gxx = y , gxy = gyx = xy2 , gyy = 1

4) metrika 2D sfere (S2) radijusa R uronjena u 3D euklidski prostor:

x2 + y2 + z2 = R2

Prelaskom na sferne koordinate,

x = R sin θ cosφy = R sin θ sinφz = R cos θ

uvrstavanjem diferencijala

dx = R(cos θ cosφdθ − sin θ sinφdφ)dy = R(cos θ sinφdθ + sin θ cosφdφ)dz = −R sin θ dθ

u izraz za Euklidsku metriku, dobijemo

ds2 = R2(dθ2 + sin2 θdφ2)

gθθ = R2 , gφφ = R2 sin2 θ , gθφ = gφθ = 0

Metricki tenzor definira duljinu puta izmedu tocaka prostorvremena,

lAB =

∫ B

A

ds =

∫ B

A

√gµνdxµdxν

Ako npr. zelimo izracunati duljinu luka na sferi S2 koji povezuje tocke na istojparaleli, A(α, φ0) i B(α, φ1), duz te paralele, imamo

lAB =

∫ φ1

φ0

√gφφdφ2 =

∫ φ1

φ0

R sinαdφ = R (φ1 − φ0) sinα

Simetricni i antisimetricni tenzori. U slucaju tenzora ranga 2 imamo dvaiznimna slucaja po pitanju simetrije na zamjenu indeksa:

15 §

Simetrican tenzor: Sµν = Sνµ (primjer: metrika gµν)

Antisimetrican tenzor: Aµν = −Aνµ (primjer: EM tenzor Fµν)

Analogne definicije vrijede u slucaju kada su oba indeksa kontravarijantna.Opcenito, tenzor ranga 2 moze biti niti simetrican niti antisimetrican na zamjenusvojih indeksa, ali je zato ga je uvijek moguce rastaviti na takva dva dijela,

Tµν =1

2Tµν +

1

2Tµν +

1

2Tνµ −

1

2Tνµ =

=1

2(Tµν + Tνµ) +

1

2(Tµν − Tνµ) (30)

LMKotrahiranjem simetricnog i antisimetricnog para indeksadobijamo indenticki nulu,

SµνAµν = SνµAµν = −SνµAνµ = −SµνAµν ⇒ SµνAµν = 0 (31)

pri cemu je u prvoj jednakosti koristena simetrija indeksa tenzora S, u drugojantisimetrija indeksa tenzora A, a u trecoj jednakosti preimenovanje slijepihindeksa (µ↔ ν). U slucaju tenzora s tri ili vise indeksa govorimo o simetriji iliantisimetriji odredenog para indeksa.

Ponekad se upotrebljavaju sljedece oznake:

T(µ1...µn) =1

n!

∑π

Tµπ(1)µπ(2)...µπ(n)(32)

T[µ1...µn] =1

n!

∑π

(−1)π Tµπ(1)µπ(2)...µπ(n)(33)

gdje π oznacava redni broj permutacije indeksa (sumacija ide po svim permu-tacijama indeksa tenzora T ). U prvom slucaju kazemo da smo simetriziraliindekse tenzora T ; novi tenzor T(µ1...µn) simetrican je na zamjenu bilo koja dvaindeksa. Drugi slucaj je u potpunosti analogan, samo sto je posrijedi antisime-trizacija (T[µ1...µn] je antisimetrican na zamjenu bilo koja dva indeksa).

Konkretni primjeri:

T(αβγ) =1

3!(Tαβγ + Tαγβ + Tβγα + Tβαγ + Tγαβ + Tγβα)

T[αβγ] =1

3!(Tαβγ − Tαγβ + Tβγα − Tβαγ + Tγαβ − Tγβα)

Valja uociti sljedece relacije (za gore definirane tenzore S i A):

S(µν) = Sµν , A[µν] = Aµν , S[µν] = A(µν) = 0

i analogno u slucaju parova anti/simetricnih parova indeksa kod tenzora s viseindeksa:

T(µ1µ2...(µi...µj)...µn) = T(µ1µ2...µi...µj ...µn)

16

T[µ1µ2...[µi...µj ]...µn] = T[µ1µ2...µi...µj ...µn] (34)

T(µ1µ2...[µi...µj ]...µn) = T[µ1µ2...(µi...µj)...µn] = 0

Ako neke indekse zelimo izostaviti iz anti/simetrizacije, tada ih izdvajamo oko-mitom crtom, primjerice

T(α|βγ|δ) =1

2!(Tαβγδ + Tδβγα)

ZAD. Pokazite da za elektromagnetski tenzor Fµν ≡ Aν,µ−Aµ,ν vrijedi sljedecarelacija (jedna od Maxwellovih jednadzbi):

Fαβ,σ + Fβσ,α + Fσα,β = 0

R. Prvo valja uociti da je

F[αβ,σ] =1

3!(Fαβ,σ − Fβα,σ + Fβσ,α − Fσβ,α + Fσα,β − Fασ,β) =

=1

3(Fαβ,σ + Fβσ,α + Fσα,β)

S druge strane, kako je Fµν = 2A[ν,µ], imamo

F[αβ,σ] = 2A[[β,α],σ] = 2A[β,α,σ] = 2A[β,[α,σ]] = 0

gdje druga i treca jednakost slijede iz prethodnih relacija (antisimetrizacija unu-tar antisimetriziranih indeksa), a posljednja jednakost je posljedica komutiranjaparcijalnih derivacija (Schwarzov teorem). Time je pokazana trazena jednakost.

17 §

3. Kovarijantno deriviranje

Motivacija: definirati operaciju deriviranja u opcenitom zakrivljenom pros-torvremenu, a koja se u ravnom prostorvremenu u inercijalnim koordinatamasvodi na parcijalnu derivaciju. Kovarijantna derivacija preslikava tenzore tipa(k, l) u tenzore tipa (k, l + 1) i zadovoljava sljedeca svojstva:

. linearnost,∇(αT + βS) = α∇T + β∇S

. Leibnizovo pravilo,

∇(T ⊗ S) = (∇T )⊗ S + T ⊗ (∇S)

. komutira s kontrakcijom,

∇µ(Tλλρ) = (∇T ) λµ λρ

. na skalaru φ se svodi na parcijalnu derivaciju,

∇µφ = ∂µφ

. komutira na skalaru,

∇µ∇ν φ = ∇ν∇µ φ

Iz svojstava ., . i . slijedi da je ∇ moguce napisati (vidi [Wald], str. 32.-33.) u obliku parcijalna derivacija plus neka linearna transformacija (definiranaafinom koneksijom),

∇µtα = ∂µtα + Cαµλt

λ

∇µtα = ∂µtα + Cλµαtλ

Napomena: afine koneksije nisu tenzori, pa nije potrebno voditi racuna o potpi-sivanju gornjih i donjih indeksa. Ponovnom upotrebom svojstava ., . i . slijediCσµν = −Cσµν . Svojstvo . je ekvivalentno zahtijevu da Kroneckerova delta bude

kovarijantno konstantna, ∇µδλσ = 0. Svojstvo . povlaci iscezavanje tenzora tor-zije, Tσµν = Cσµν − Cσνµ = 0.

Ako uz ove zahtijeve dodamo i sljedeci

. kompatibilnost s metrikom,

∇σgµν = 0

dobivamo posebnu afinu koneksiju, Christoffelov simbol, za koju se moze poka-zati da je jednak

Γαµν ≡1

2gασ(gσµ,ν + gσν,µ − gµν,σ) (35)

18

Kovarijantno deriviranje opcenitog tenzora,

Tµσλ;ρ = Tµσλ,ρ + ΓµρνTνσλ + ΓσρτT

µτλ − ΓκρλT

µσκ (36)

Komentar : kompatibilnost s metrikom omogucuje nam “uvlacenje” me-trickog tenzora pod kovarijantnu derivaciju,

gµλ∇ρtλ = ∇ρ(gµλtλ) = ∇ρtµ

Ujedno, svojstvo . ekvivalentno je konstantnosti produkta dva paralelno po-maknuta vektora duz neke krivulje (vidi sljedece poglavlje).

ZAD. Pokazite da za dijagonalnu metriku vrijedi:

a) Γµαβ = 0 za µ 6= α 6= β 6= µ , b) Γµαα = −gαα,µ2gµµ

za µ 6= α

c) Γµµα =(

ln |gµµ|12

),α

gdje u b) i c) slucaju nema sumacije po ponovljenim indeksima!

R.

a) Prema definiciji (35) imamo

Γµαβ =1

2gµσ(gσα,β + gσβ,α − gαβ,σ)

Kako se radi o dijagonalnoj metrici, od sume po indeksu σ preostane samosljedeci izraz (nema sumacije po indeksu µ !)

Γµαβ =1

2gµµ(gµα,β + gµβ,α − gαβ,µ)

Buduci da su µ, α i β medusobno razliciti indeksi, a gµν je dijagonalna metrika,svaki pojedinacni clan u zagradi jednak je nuli.

b) Na slican nacin imamo nadalje (nema sumacije po indeksima µ i α !):

Γµαα =1

2gµµ(gµα,α + gµα,α − gαα,µ) = −1

2gµµgαα,µ = −gαα,µ

2gµµ

c)

Γµµα =1

2gµµ(gµµ,α + gµα,µ − gµα,µ) =

1

2gµµgµµ,α =

gµµ,α2gµµ

=1

2(ln |gµµ|),α = (ln |gµµ|

12 ),α

ZAD. Izracunajte komponente Christoffelovog simbola za metriku sfere S2

19 §

R.

ds2 = dθ2 + sin2 θdφ2

gθθ = 1 =1

gθθ, gφφ = sin2 θ =

1

gφφ

g = det(gµν) = sin2 θ

Γθθθ = (ln 1),θ = 0

Γθφφ = −gφφ,θ2gθθ

= − (sin2 θ),θ2

= − sin θ cos θ

Γθθφ = Γθφθ = (ln |gθθ|12 ),φ = 0

Γφφφ = (ln |gφφ|12 ),φ = (ln | sin θ|),φ = 0 , Γφθθ = −gθθ,φ

2gφφ= 0

Γφθφ = Γφφθ =gφφ,θ2gφφ

=1

2

(sin2 θ),θ

sin2 θ= ctg θ

ZAD. Takozvano Rindlerovo prostorvrijeme je prostorvrijeme Minkowskog opi-sano (ρ, ω) koordinatama,

t = ρ shω , x = ρ chω (37)

Njihovo uvodenje je motivirano razmatranjem akceleriranih promatraca u po-glavlju o specijalnoj teoriji relativnosti (radi jednostavnosti ogranicavamo sena razmatranje 2-dimenzionalnog slucaja). Izracunajte komponente Rindlerovemetrike uz pripadne komponente Christoffelovog simbola, te razmotrite kauzalnustrukturu ovakvog prostorvremena!

R.

Ako stavimo ρ = 1/g = konst. i ω = gτ , uocavamo kako su (x, t) koordinateuniformno akceleriranog promatraca. Osim toga, vrijedi i

x2 − t2 = ρ2

pa vidimo kako putanja akceleriranog promatraca u (x, t) koordinatnom sustavupoprima oblik hiperbole. Nadalje imamo

ds2 = −dt2 + dr2 = −(dρ shω + ρ chω)2 + (dρ chω + ρ shω)2

ds2 = −ρ2dω2 + dρ2 (38)

Koristeci prethodne formule nije tesko izracunati komponente Christoffelovogsimbola,

Γωωρ = 1/ρ , Γρωω = ρ

20

Horizonti u Rindlerovom prostorvremenu dani su s pravcima x ± t = 0(asimptotama hiperbole), odnosno ρ = 0. Prostor mozemo razdjeliti u 4 kva-dranta: I (kroz koji se giba raketa), II (moze primiti, ali ne i poslati signalraketi), III (ne moze nikako komunicirati s raketom) i IV (moze poslati, ali nei primiti signal od rakete). Kvadrant I odgovara poluravnini ρ > 0, a kvadrantIII poluravnini ρ < 0; kvadranti II i IV imaginarnim vrijednostima koordinate ρ.

Komentar: Lorentzov potisak je dan parametrom rapiditeta ζ preko(x

t

)=

(chζ shζ

shζ chζ

)(x′

t′

)(39)

gdje je β = th ζ. Rindlerova metrika je invarijantna na transformaciju ω →ω + δω.

x′ = ρ chω → x = ρ ch(ω + δω) , t′ = ρ shω → t = ρ sh(ω + δω)

ch(ω + δω) = ch(ω) ch(δω) + sh(ω) sh(δω)

x = x′ ch(δω) + t′ sh(δω)

sh(ω + δω) = sh(ω) ch(δω) + ch(ω) sh(δω)

t = t′ ch(δω) + x′ sh(δω)

Dakle, imamo korespodenciju δω ↔ ζ.

ZAD. Dokazite sljedece identitete:

a) g,α = −ggβγgβγ,α = ggβγgβγ,α

b) Γααβ = (ln |g| 12 ),β

c) gµνΓαµν = −|g|− 12 (|g| 12 gασ),σ

d) Aα;α = |g|− 12 (|g| 12Aσ),σ

e) za antisimetrican tenzor Aαβ = −Aβα vrijedi:

Aαβ;β = |g|− 12 (|g| 12Aαβ),β

R.

a) Upotrijebimo lemu iz dodatka A na matrici ciji su elementi komponentemetrike gµν :

(ln |g|),α =∑µν

(g−1)µνgνµ,α = gµνgµν,α

21 §

S druge strane,

(ln |g|),α =|g|,α|g|

=g,αg

Usporedbom slijedi jedna od trazenih jednakosti. Kako bismo pokazali drugujednakost valja uociti:

gσµgµτ = δ τ

σ / ∂α

gσµ,αgµτ + gσµg

µτ,α = 0

gσµ,αgµτ = −gσµgµτ,α

Kontrahiramo li indekse σ i τ :

gµν,αgµν = −gµνgµν,α

sto dokazuje drugu jednakost.

b) Po definiciji vrijedi:

Γααβ =1

2gασ(gσα,β + gσβ,α − gαβ,σ)

Zadnja dva clana u zagradi zajedno cine tenzor antisimetrican na zamjenu in-deksa σ i α, pa kontrahiranjem s metrickim tenzorom (koji je simetrican!) izvanzagrade daju indenticki nulu. Upotrebom rezultata iz a) dijela zadatka preostajenam

Γααβ =1

2gασgσα,β =

g,β2g

= (ln |g| 12 ),β

c)

gµνΓαµν =1

2gµνgασ(gσµ,ν + gσν,µ − gµν,σ)

Valja uociti

1

2gµν(gσµ,ν+gσν,µ) =

1

2(gµνgσµ,ν+gµνgσν,µ) =

1

2(gµνgσµ,ν+gµνgσµ,ν) = gµνgσµ,ν

gdje je u drugoj jednakosti upotrebljeno preimenovanje indeksa µ ↔ ν, te si-metrija metrickog tenzora. Nadalje, koristenjem rezultata iz a) dijela zadatkaimamo

gµνΓαµν = gµνgασgσµ,ν −1

2gασgµνgµν,σ = −gµνgασ,νgσµ −

1

2gασ(ln |g|),σ =

= −δνσgασ,ν − gασ(ln |g| 12 ),σ = −gαν,ν − gασ|g|

12,σ

|g| 12= −|g|− 1

2 (gαν |g| 12 ),ν

d)

Aα;α = Aα,α + ΓααβAβ = Aα,α + |g|− 1

2 (|g| 12 ),βAβ = |g|− 1

2 (|g| 12Aσ),σ

22

gdje je u drugoj jednakosti iskoristen rezultat iz b) dijela zadatka.

e)

Aαβ;β = Aαβ,β + ΓαβσAσβ + ΓββτA

ατ = Aαβ,β + |g|− 12 (|g| 12 ),τA

ατ

gdje je drugi clan iscezao zbog kotrahiranja simetricnog i antisimetricnog paraindeksa. Konacno imamo

Aαβ;β = |g|− 12 (|g| 12Aαβ),β

23 §

4. Paralelni pomak vektora

Pretpostavimo da je u mnogostrukosti M zadana krivulja C ⊂ M , para-metrizirana parametrom λ. Drugim rijecima, koordinate tocaka krivulje C ulokalnom koordinatnom sustavu xµ dane su funkcijama xµ(λ). Komponentevektorskog polja tangentnog na krivulju C u ovom koordinatnom sustavu glase

tµ =dxµ

dλ(40)

Kako bismo definirali paralelni pomak tangentnih vektora na mnogostrukostipolazimo od intuitivnog primjera: za vektorsko polje V µ(λ) u ravnom prostorukazemo da je konstantno duz krivulje C ako vrijedi

dV µ

dλ= 0 ⇒ dxα

dλ

∂V µ

∂xα= 0 ⇒ tα

∂V µ

∂xα= 0 tj. tα V µ,α = 0

Sada zelimo poopciti ovu jednadzbu na slucaj zakrivljenih prostora, za sto jedovoljno prepisati prethodnu jednadzbu u kovarijantnu verziju:

tα V µ;α = 0 tj. tα∇αV µ = 0 (41)

Ponekad se posljednji izraz pise i u skracenoj formi,

t · ∇V µ = 0

Zapisano pomocu Christoffelovih simbola

tα V µ,α + tα ΓµαβVβ = 0

dV µ

dλ+ Γµαβ

dxα

dλV β = 0 (42)

Vazno za uociti:

tα(V 2);α = tα(VµVµ);α = 2Vµt

αV µ;α = 0

drugim rijecima, norma (duljina) vektora ostaje konstantna prilikom paralelnogpomaka (ovo je posljedica izbora metricki kompatibilne koneksije).

ZAD. Zadan je tangentan vektor ~A na povrsini jedinicne 2-sfere (S2) jednak

jedinicnom vektoru θ u pocetnoj tocki T (θ = θ0, φ = 0). Koliki je ~A nakonparalelnog pomaka oko kruznice θ = θ0?

R. Parametrizirajmo prvo kruznicu θ = θ0 s parametrom λ = φ. Tangentanvektor ove krivulje (kruznice) je stoga tα = δαφ . Jednadzba paralelnog pomakaza zadani vektor glasi

Aα;φ = Aα,φ + ΓαβφAβ = 0 (43)

24

Elementi metrike sfere:

ds2 = dθ2 + sin2 θ dφ2 , Γθφφ = − sin θ cos θ , Γφθφ = ctg θ

Jednadzba (43) po komponentama:

α = θ : Aθ,φ − sin θ0 cos θ0Aφ = 0 (44)

α = φ : Aφ,φ + ctg θ0Aθ = 0 (45)

∂φ(44) ⇒ Aθ,φφ = sin θ0 cos θ0Aφ,φ = − cos2 θ0A

θ (46)

Aθ = a · cos(φ cos θ0) + b · sin(φ cos θ0)

(45) ⇒ Aφ = −ctg θ0

(a

cos θ0sin(φ cos θ0)− b

cos θ0cos(φ cos θ0)

)+ c =

= − a

sin θ0sin(φ cos θ0) +

b

sin θ0cos(φ cos θ0) + c

gdje su a, b i c konstante. Uvrstimo li ovdje izracunate komponente Aθ i Aφ

natrag u (44) lako se vidi da je konstanta c = 0. Nadalje, uvrstavanjem pocetnoguvjeta u φ = 0 :

~A∣∣φ=0

= θ ⇒ (Aθ, Aφ)∣∣φ=0

= (1, 0) ⇒ a = 1 , b = 0

dobivamo konacan oblik,

Aθ = cos(φ cos θ0) , Aφ = − 1

sin θ0sin(φ cos θ0) (47)

Promotrimo sada vektor ~A u φ = 2π:

Aθ∣∣φ=2π

= cos(2π cos θ0) , Aφ∣∣φ=2π

= − 1

sin θ0sin(2π cos θ0)

Ocito, pocetni vektor ce biti jednak onom paralelno pomaknutom za kut 2π,~Aφ=0 = ~Aφ=2π, ako i samo ako vrijedi

2π cos θ0 = 2πk , k ∈ Z

cos θ0 = k ∈ −1, 0, 1

Slucajevi k = ±1 odgovaraju situaciji kada je θ0 = 0, π, tj. kada je kruznicasvedena na tocku (sjeverni, odnosno juzni pol). Kako ovdje i nema pomaka, sa-svim je jasno da se vektor pri tome ne mijenja. Slucaj k = 0 odgovara θ0 = π/2,odnosno situaciji kada je kruznica ekvator (ili opcenito – neka velika kruznicana sferi). U ovom posljednjem slucaju krivulja je u stvari geodezik, o kojima cevise rijeci biti u sljedecoj lekciji.

Izuzmemo li gore navedene specijalne slucajeve, opcenito vektor paralelnopomaknut po zatvorenoj krivulji nece biti jednak pocetnom vektoru ( ~Aφ=0 6=~Aφ=2π) i upravo je ova promjena ugradena u samu definiciju zakrivljenosti mno-gostrukosti.

25 §

5. Geodezici

Postoje dvije definicije koje su ekvivalentne ako radimo s konvencionalnomafinom koneksijom, Christoffelovim simbolom:

1) krivulja koja dvije tocke u mnogostrukosti spaja putem ekstremalne duljine.

2) krivulja duz koje je vlastiti tangentni vektor paralelno transportiran (najrav-nija krivulja).

Uvrstimo li u jednadzbu paralelnog pomaka,

dV µ

dλ+ Γµαβ

dxα

dλV β = 0

upravo tangentan vektor

V α = tα =dxα

dλ

dobivamo tzv. geodetsku jednadzbu,

d2xα

dλ2+ Γαµν

dxµ

dλ

dxν

dλ= 0 (48)

Elegantniji zapis dobijemo uvrstavanjem V α = tα u tα∇αV β = 0

tα∇αtβ = 0 (49)

Napomena : U principu je geodezik moguce definirati i nesto opcenitijimzahtijevom, dopustajuci da tangentan vektor moze mjenjati duljinu duz krivulje,

tα∇αtβ = γ tβ

gdje je γ neka opcenita funkcija na mnogostrukosti. No, uvijek je moguce napra-viti redefiniciju parametra kojim geodetska jednadzba poprima oblik (49). Ta-kav parametar nazivamo afinim parametrom, a pripadnu parametrizaciju afinaparametrizacija.

Fizikalno znacenje geodetskih linija mozemo vidjeti ako definiramo vlastituakceleraciju i pripadnu silu koja djeluje na cesticu,

aα = uβ∇β uα =1

mfα

Za slobodnu cesticu vrijedi fα = 0, a s obzirom da 4-vektor vlastite brzine tan-gentan na trajektoriju, njena putanja je upravo geodezik!

26

Primjeri:

1) Ravan prostor (Euklidski, Minkowski):

Γµαβ ≡ 0 ,d2xα

dλ2= 0 ⇒ xα = Aαλ+Bα

gdje su Aα i Bα nekakve konstante odredene pocetnim uvjetima. Ocigledno,geodezici u ravnom prostoru su pravci!

2) Sfera S2 (jedinicnog radijusa, centrirana u ishodistu):

d2θ

ds2− sin θ cos θ

(dφ

ds

)2= 0 (50)

d2φ

ds2+ 2 ctg θ

dφ

ds

dθ

ds= 0 (51)

Valja uociti:

dθ

ds=dθ

dφ

dφ

ds,

d2θ

ds2=

d

dφ

(dθ

dφ

dφ

ds

)dφ

ds=d2θ

dφ2

(dφ

ds

)2+dθ

dφ

d2φ

ds2(†)

(†)→ (50) :d2θ

dφ2

(dφ

ds

)2+dθ

dφ

d2φ

ds2− sin θ cos θ

(dφ

ds

)2= 0 (52)

(†)→ (51) :d2φ

ds2= −2 ctg θ

dφ

ds

dθ

ds= −2 ctg θ

(dφ

ds

)2dθ

dφ(53)

Uvrstavanjem (53) u (52) dobivamo diferencijalnu jednadzbu

θ − 2 ctg θ θ2 − sin θ cos θ = 0 (54)

gdje je koristena oznaka θ ≡ dθ/dφ. Ovu jednadzbu mozemo rjesiti preko sups-titucije f(θ) ≡ ctg θ. To znaci da je

θ =dθ

df

df

dφ= − f

1 + f2, θ =

d

dφ

(− f

1 + f2

)= − f

1 + f2+

2ff2

(1 + f2)2

sin θ cos θ =f

1 + f2

pa uvrstavanjem u (54) slijedi

f + f = 0 ⇒ f(θ) = ctg θ = A cosφ+B sinφ

A sin θ cosφ+B sin θ sinφ− cos θ = 0

ili, prevedeno natrag u Kartezijeve koordinate,

Ax+By − z = 0 (55)

27 §

Ovo je jednadzba ravnine koja prolazi kroz ishodiste koordinatnog sustava itocke u kojima presjeca sferu definiraju njezine geodezike - radi se o velikimkruznicama sfere!

ZAD. Geodetsku jednadzbu mozemo zapisati u opcenitom obliku

d2xµ

ds2+ Γµκν

dxκ

ds

dxν

ds= γ(s)

dxµ

ds

Pokazi da se odredenom transformacijom λ = f(s), parametar s moze prevestiu afini parametar λ, onaj za kojeg geodetska jednadzba poprima oblik:

d2xµ

dλ2+ Γµκν

dxκ

dλ

dxν

dλ= 0

Nadalje, pokazite da se svi afini parametri medusobno razlikuju do na linearnutransformaciju s konstantnim koeficijentima.

R. Uz reparametrizaciju s→ λ = f(s) imamo promjene u derivacijama,

d

ds= f ′(s)

d

dλ,

d2

ds2= (f ′(s))2 d2

ds2+ f ′′(s)

d

ds

Time geodetska jednadzba prelazi u

f ′2d2xµ

dλ2+ f ′′

dxµ

dλ+ f ′2 Γµκν

dxκ

dλ

dxν

dλ= γf ′

dxµ

dλ

/: f ′2

d2xµ

dλ2+ Γµκν

dxκ

dλ

dxν

dλ=dxµ

dλ

(γ

f ′− f ′′

f ′2

)Zahtijevom da desna strana ovako transformirane geodetske jednadzbe postaneidenticki nula dobivamo diferencijalnu jednadzbu

f ′′(s)− γ(s)f ′(s) = 0

koja nam definira trazenu reparametrizaciju. Formalno, do rjesenja dolazimosljedecim putem:

f ′′

f ′= γ ⇒ d

ds(ln(f ′)) = γ ⇒ f(s) =

∫ s

dξ exp

(∫ ξ

γ(σ)dσ

)Ako, nadalje, trazimo one reparametrizacije λ → τ = h(λ) koje ostavljajugeodetsku jednadzbu u obliku

d2xµ

dτ2+ Γµκν

dxκ

dτ

dxν

dτ= 0

ponavljanjem istog postupka (uvrstavanjem γ = 0) dolazimo do diferencijalnejednadzbe

h′′(λ) = 0 ⇒ h(λ) = Aλ+B , A,B = konst.

28

6. Riemannov tenzor

Riemannov tenzor definiran je pomocu komutatora kovarijantnih derivacijana kovarijantnom, odnosno, kontravarijantnom vektoru,

(∇µ∇ν −∇ν∇µ)ωλ = R σµνλ ωσ (56)

(∇µ∇ν −∇ν∇µ) tλ = −R λµνσ tσ (57)

U slucaju tenzora opcenitog ranga imamo:

(∇µ∇ν −∇ν∇µ) Tλ1...λkρ1...ρl

=

= −k∑i=1

R λiµνσ Tλ1...σ...λk

ρ1...ρl+

l∑j=1

R σµνρj Tλ1...λk

ρ1...σ...ρl(58)

Kotrahiranjem indeksa Riemannovog tenzora uvodimo jos dva nova tenzora,

Riccijev tenzor : Rµν ≡ Rσµσν , Riccijev skalar : R ≡ Rσσ

Riemannov tenzor moguce je izraziti pomocu Christoffelovih simbola,

Rαβµν ≡ ∂µΓαβν − ∂νΓαβµ + ΓαµρΓρβν − ΓανσΓσβµ (59)

· Simetrije Riemannovog tenzora:

R ναβµ = −R ν

βαµ (60)

Γαµν = Γανµ ⇒ R ν[αβµ] = 0 (61)

∇µ gαβ = 0 ⇒ Rαβµν = −Rαβνµ (62)

Dokaz: ) slijedi iz same definicije (56) (lijeva strana je antisimetricna na zamjenuindeksa µ i ν). ) Prvo dokazemo lemu: ∇[µ∇ν ωσ] = 0. Naime, po definiciji imamo

∇µ∇ν ωσ = ∂µ(∇ν ωσ)− Γλµν∇λ ωσ − Γρµσ∇ν ωρ =

29 §

= ∂µ∂ν ωσ − ∂µ(Γτνσ ωτ )− Γλµν∇λ ωσ − Γρµσ∇ν ωρAko sada antisimetriziramo indekse µνσ s obje strane jednakosti, desna strana iscezavazbog komutiranja parcijalnih derivacija i simetricnosti donjih indeksa Christoffelovogsimbola. To, nadalje povlaci

0 = 2∇[µ∇ν ωσ] = ∇[µ∇ν ωσ] −∇[ν∇µ ωσ] = R λ[µνσ] ωλ

Kako je ωλ proizvoljan kovarijantan vektor, slijedi simetrija koju smo htijeli pokazati.) Koristeci svojstvo ∇µgαβ = 0, imamo

0 = (∇µ∇ν −∇ν∇µ)gαβ = R σµνα gσβ +R ρ

µνβ gαρ = Rµναβ +Rµνβα

ZAD. Pokazite da iz simetrija Riemannovog tenzora (60), (61) i (62) slijedi

Rαβµν = Rµναβ (63)

R. Eksplicitno raspisana jednakost (61), uzimanjem u obzir antisimetrijeprvog para indeksa (60), slijedi

Rαβµν +Rβµαν +Rµαβν = 0

Preimenovanjem indeksa (α↔ ν) imamo i

Rνβµα +Rβµνα +Rµνβα = 0

Zbrajanjem ovih dviju jednadzbi dobivamo

Rαβµν −Rµναβ = Rβνµα −Rµαβν

Lijeva strana jednadzbe je invarijantna na zamjenu indeksa α ↔ β, µ ↔ ν, patakvu zamjenu mozemo napraviti i na desnoj strani jednadzbe:

Rβνµα −Rµαβν = Rαµνβ −Rνβαµ = Rµαβν −Rβνµα

gdje smo u drugom koraku u svakom Riemannovom tenzoru napravili zamjenuunutar prvog i drugog para indeksa. Kako je konacan rezultat jednak negativnojvrijednosti pocetnog izraza, on je jednak nuli, pa je i

Rαβµν −Rµναβ = 0

cime je pokazana trazena tvrdnja.

ZAD. Pomocu rezultata prethodnog zadatka pokazite da je Riccijev tenzorsimetrican,

Rµν = Rνµ (64)

30

R.Rµν = gαβRαµβν = gαβRβναµ = gβαRβναµ = Rνµ

Riemannov tenzor zadovoljava jos jedno vazno svojstvo:

Bianchijev identitet : ∇[ρRν

αβ]µ = 0 (65)

ZAD. Pokazite da vrijedi tzv. kontrahiran Bianchijev identitet,

∇µRµν =1

2∇νR (66)

R. Bianchijev identitet (65) uz simetrije Riemannovog tenzora daje

∇ρR ναβµ +∇αR ν

βρµ +∇βR νραµ = 0

Kotrahiranjem jednadzbe s gαµ slijedi

∇ρR αναβ +∇αR αν

βρ −∇βR αναρ = 0

∇ρR νβ −∇αR να

βρ −∇βR νρ = 0 / δβν

∇ρR−∇αR αρ −∇βR β

ρ = 0

Preimenujemo li sada slijepe indekse α i β u µ, a indeks ρ u ν, dobivamo

∇νR− 2∇µR µν = 0

a otuda, zbog simetrije Riccijevog tenzora, slijedi trazeni identitet.

ZAD. Ako vrijedi Rµν = f(x) gµν , pokazite da je f(x) konstantna funkcija.

R. Riccijev skalar jednak je u ovom slucaju R = Nf , gdje je N dimenzijaprostorvremena. To znaci da kotrahiran Bianchijev identitet glasi ∇µ(fgµν) =N2 ∇νf , odakle slijedi (1− N

2 )∇νf = 0. Ako je N 6= 2, mozemo zakljuciti da je∇νf = ∂νf = 0, odnosno f je konstantna funkcija. U slucaju N = 2 Riccijevtenzor je nuzno ovog oblika, pa ne mozemo nista posebno zakljuciti oko oblikafunkcije f .

ZAD. Izracunajte Riemannov tenzor, a pomocu njega nadalje Riccijev tenzori Riccijev skalar za metriku S2 sfere.

31 §

ZAD. Izracunajte broj linearno nezavisnih komponenti metrike, Christoffelovogsimbola i Riemannovog tenzora u n-dimenzionalnom prostorvremenu.

R.

metrika (gµν): (n

2

)+ n =

n(n− 1)

2+ n =

n(n+ 1)

2

Christoffelov simbol (Γαµν):

n ·((

n

2

)+ n

)=n2(n+ 1)

2

U slucaju dijagonalne metrike imamo manji broj nezavisnih komponenti (kom-ponente sa sva tri razlicita indeksa su identicki nule):

n2(n+ 1)

2− n

(n− 1

2

)=n

2(n2 + n− n2 + 3n− 2) =

n

2(4n− 2) = n(2n− 1)

Riemannov tenzor (Rαβµν):

· naivno, bez simetrija: 4 indeksa daju n4 nezavisnih komponenti

· uzmemo li u obzir antisimetricnost prvog i drugog para indeksa,

Rαβµν = −Rβαµν = −Rαβνµ

imamo (n

2

)·(n

2

)=n2(n− 1)2

4

komponenti.

· dodatna simetrija R[αβµ]ν = 0 daje

n ·(n

3

)=n2(n− 1)(n− 2)

6

ogranicenja, pa je to konacno

n2(n− 1)2

4− n2(n− 1)(n− 2)

6=n2(n− 1)

12(3(n− 1)− 2(n− 2)) =

32

=n2(n− 1)(n+ 1)

12=n2(n2 − 1)

12

linearno nezavisnih komponenti Riemannovog tenzora. Dobiveni rezultati suilustrirani u tablici ispod za prvih nekoliko dimenzija prostorvremena.

n gµν Γαµν Γαµν uz dijag. gµν Rαβµν1 1 1 1 *2 3 6 6 13 6 18 15 64 10 40 28 20

*u n = 1 slucaju jedina komponenta Riemannovog tenzora, R1111, je zbogsvojih simetrija identicki jednaka nuli.

33 §

7. Fizikalne velicine i jednadzbe

u zakrivljenom prostorvremenu

Princip kovarijantnog prijepisa (popularno znano kao pravilo zarez ide utocku-zarez ili ∂ → ∇). Problem na koji cesto nailazimo jest kako neku jed-nadzbu (bilo da se radi o definiciji fizikalne velicine ili iskazu nekog fizikalnog za-kona), orginalno u Lorentz kovarijantnom zapisu “prevesti” u opce kovarijantnuformu. Pozovemo li se na Einsteinov princip ekvivalencije, ono sto zahtijevamood kovarijantne verzije neke jednadzbe jest da je zapisana u obliku tenzorske jed-nadzbe, te da se u svakoj tocki prostorvremena u lokalnom inercijalnom sustavusvodi na prije poznatu specijalnorelativisticku verziju. Operativno, postupak sesvodi na zamjenu ravne metrike ηµν s opcenitom gµν , te zamjenu parcijalne skovarijantnom derivacijom (∂µ → ∇µ).

Valja imati na umu kako poopcenje neke jednadzbe na opce kovarijantnuverziju ne mora biti jednoznacno definirano. Uzmimo primjer Maxwellovih jed-nadzbi u ravnom prostorvremenu,

∂µFµν = −4πjν , ∂[σFµν] = 0 (67)

Sacuvanje struje slijedi deriviranjem nehomogene jednadzbe s ∂ν ,

∂ν∂µFµν = −4π∂νjν

Lijeva strana je, naime, nula jer se, zbog komutiranja parcijalnih derivacija,radi o kontrahiranju simetricnog i antisimetricnog tenzora. S druge strane,uvrstavanjem bazdarnog polja Aµ u nehomogenu Maxwellovu jednadzbu, prekoFµν = ∂µAν − ∂νAµ, uz Lorentzovo bazdarenje ∂νAν = 0 imamo

∂µ∂µAν = −4πjν (68)

U zakrivljenom prostorvremenu, kovarijantne verzije Maxwellovih jednadzbiglase

∇µFµν = −4πjν , ∇[σFµν] = 0 (69)

Kovarijantna verzija sacuvanja struje, ∇µ jµ = 0, sada slijedi prema

∇ν∇µFµν =1√−g

∂µ(√−g∇µFµν

)=

1√−g

∂ν

(√−g 1√

−g∂µ(√−g Fµν

))=

=1√−g

∂ν∂µ(√−g Fµν

)= 0

gdje je dva puta koristen prije pokazan identitet, a posljednja jednakost opetslijedi iz simetrije. Ako bismo, po principu kovarijantnog prijepisa, prebacilijednadzbu (68) u opce kovarijantnu formu,

∇µ∇µAν = −4πjν

34

imali bi jednadzbu koja ne vodi na sacuvanje struje! Nedostajuci clan mozemopronaci vratimo li se na pocetak,

∇µFµν = ∇µ(∇µAν −∇νAµ) = ∇µ∇µAν − (∇ν∇µAµ +Rµ σνµ Aσ)

= ∇µ∇µAν −∇ν∇µAµ −R σν Aσ

Upotrebom Lorentzovog bazdarenja ∇µAµ = 0 dobivamo

∇µ∇µAν −R σν Aσ = −4πjν (70)

Ova jednadzba je kovarijantna verzija jednadzbe (68) koja vodi na kovarijantnosacuvanje struje!

Promotrimo sada nekoliko osnovnih kinematickih velicina u fizici: 4-vektorbrzine je u STR definiran kao

uα ≡ dxα

dτ, uαuα = −1

Ista definicija nastavlja vrijediti i u slucaju zakrivljenog prostorvremena (defi-nicija 4-vektora brzine je tenzorska jednadzba, a normalizacija je u manifestnokovarijantnom zapisu). Nadalje, 4-vektora akceleracije u STR je definirana s

aα =duα

dτ=

d

dτ

dxα

dτ=dxβ

dτ

∂

∂xβdxα

dτ= uβ∂βu

α

Odavde mozemo jednostavnim korakom poopciti deniciju na slucaj zakrivljenogprostorvremena:

aα ≡ uβ∇βuα (71)

Valja uociti kako su 4-vektori brzine i akceleracije okomiti,

uαaα = uαuβ∇βuα =1

2uβ∇β(uαuα) =

1

2uβ∂β(uαuα) = 0

4-vektor impulsa cestice mase m definiran je analogno STR slucaju:

pα ≡ muα (72)

Sada zelimo definirati energiju cestice 4-impulsa pµ koju mjeri opazac cije jegibanje opisano 4-vektorom brzine uµ. Tvrdimo da je ona definirana izrazom

E = −pµuµ (73)

Promotrimo za pocetak situaciju u lokalnom inercijalnom sustavu u kojempromatrac trenutno miruje. Ovdje vrijedi uµ = (1,~0), uµ = (−1,~0), pa jestoga −pµuµ = +p0 = E (uobicajena interpretacija vremenske komponente 4-impulsa u STR). Izraz (73) je manifestno kovarijantan, pa ocigledno predstavlja

35 §

opcenit izraz za mjerenu energiju cestice u prostoru Minkowskog. Sada trazimopoopcenje takvog izraza u zakrivljnom prostorvremenu,

E = −Bµνpµuν

gdje su Bµν komponente nekog tenzora za koje, prema principu ekvivalencije,u lokalnim inercijalnim sustavima mora vrijediti Bµν = ηµν . Medutim, s ob-zirom da imamo jednakost medu tenzorima u jednom koordinatnom sustavu,ona vrijedi i u svim drugima, pa zakljucujemo da je Bab = gab, gdje je gab me-trika promatranog prostorvremena. Dobivena jednakost vrijedi u svakoj tockiprostorvremena, pa smo time pokazali valjanost izraza (73) u opcenitom slucaju.

36

8. Killingovi vektori i ocuvane velicine

Ako su komponente metrike gµν u nekom koordinatnom sustavu neovisne ojednoj od koordinata, recimo w, tada pripadno vektorsko polje ξµ = δµw zovemoKillingovo vektorsko polje. Za takav koordinatni sustav kazemo da je adaptiranna ξ. Promotrimo nadalje

∇α ξβ = gγβ(∇α ξγ) = gγβ(ξγ,α + Γγασξσ)

S obzirom da je koordinatni sustav adaptiran na ξ, vrijedi ξγ,α = 0. Nadaljeimamo

2∇α ξβ = 2 gγβΓγασξσ = gγβ g

γρ(gρα,σ + gρσ,α − gασ,ρ) ξσ =

= δ ρβ (gρα,σ + gρσ,α − gασ,ρ) ξσ = (gβα,σ + gβσ,α − gασ,β) ξσ =

= gαβ,σ ξσ + (gσβ,α − gσα,β) ξσ = gαβ,σ ξ

σ + 2 gσ[β,α] ξσ

Sada simetriziramo indekse α i β s obje strane,

2∇(α ξβ) = g(αβ),σ ξσ = gαβ,σ ξ

σ =∂gαβ∂w

= 0

Killingova jednadzba:

∇α ξβ +∇β ξα = 0 (74)

Uocite, ∇α ξβ je antisimetrican tenzor, s obzirom da vrijedi ∇(α ξβ) = 0.

Primjeri:

1) Minkowski : 4 + 6 = 10 Killingovih vektora (generatori prostornovremen-skih translacija i rotacija, ukljucujuci potiske)

2) N -dimenzionalni Minkowski:N translacija +

(N2

)rotacija/potisaka = N(N + 1)/2 Killingovih vektora.

3) sfera S2 : 3 Killingova vektora (generatori SO(3) grupe simetrija)

Napomena: prostor dimenzije N moze imati najvise N(N +1)/2 Killingovihvektora i takvi prostori se onda nazivaju maksimalno simetricni prostori. Pri-mjeri su prostorvrijeme Minkowskog, N -dimenzionalne sfere SN , prostorni dioRobertson-Walkerovih prostorvremena (u kozmoloskim modelima), itd.

37 §

ZAD. Pronadite sve Killingove vektore dvodimenzionalnog Euklidskog prostorarjesavanjem Killingove jednadzbe (74).

Ocuvane velicine

Neka je uα 4-vektor brzine tijela koje se giba po geodeziku (koji je, bezsmanjenja opcenitosti, afino parametriziran):

uα∇αuβ = 0 (75)

Lema. Velicina Q ≡ ξαuα je konstantna duz geodezika.

Dokaz:

uβ∇βQ = uβ∇β(ξαuα) = uαuβ∇βξα + ξαu

β∇βuα = 0

Prvi clan iscezava buduci da se radi o kontrahiranju simetricnog (uαuβ) i anti-simetricnog (∇βξα) tenzora, dok je drugi clan nula prema geodetskoj jednadzbi.

Primjer: Schwarzschildova metrika. Prva dva Killingova vektora koja od-mah uocavamo, buduci da komponente metrike napisane u Schwarzschildovimkoordinatama ne ovise o t i φ, su

kα = δαt , tj. kα = (1, 0, 0, 0)

mα = δαφ , tj. mα = (0, 0, 0, 1)

Osim k i m postoje jos i dva Killingova vektora vezana za sfernu simetriju,ali oni nam za trenutnu raspravu nisu toliko bitni. Sada mozemo konstruiratipripadne sacuvane velicine,

e ≡ −kαuα = −gαβkαuβ = −gtt · 1 · ut =

(1− 2M

r

)dt

dτ(76)

l ≡ mαuα = gαβk

αuβ = gφφ · 1 · uφ = r2 sin2 θdφ

dτ(77)

Interpretacija: za masivnu cesticu e predstavlja energiju cestice po jedinicimase, a l angularni moment cestice po jedinici mase. Za bezmasene cestice, e il su energija i angularni moment podjeljeni s ~.

38

9. Schwarzschildovo prostorvrijeme

U ovom poglavlju promatramo kinematiku cestica unutar sferno simetricnogprostorvremena, opisanog Schwarzschildovom metrikom,

ds2 = −(

1− 2M

r

)dt2 +

(1− 2M

r

)−1

dr2 + r2(dθ2 + sin2 θ dφ2) (78)

ZAD. Koristeci sacuvane velicine izvedite jednadzbe gibanja cestice mase m uslobodnom padu u Schwarzschildovom prostorvremenu.

R. 4-vektor brzine tijela normiran je tako da vrijedi

uαuα = −κ , κ =

1 , m 6= 00 , m = 0

(79)

Prije svega cemo iskoristiti cinjenicu da je l = r2 sin2 θ dφdτ sacuvana velicina.Postavimo koordinatni sustav tako da je u pocetnom trenutku φ = φ0 te(dφ/dτ)0 = 0 (cestica krece duz φ = φ0 meridijana). Kako je u ovom pocenomtrenutku l = 0, a ovo je konstantna velicina duz putanje, tada slijedi da jel = 0 cijelo vrijeme, sto znaci da se cestica nastavlja gibati po tom meridi-janu. Mi, naravno, uvijek mozemo pogodnim odabirom (novog) koordinatnogsustava doticni meridijan poloziti u ekvatorijalnu ravninu, (θ = π/2), cime smopojednostavnili dio daljnjeg racuna jer je sada

uθ = 0 (80)

Uzevsi sve to u obzir, iz prve jednadzbe sada slijedi

−(

1− 2M

r

)(ut)2 +

(1− 2M

r

)−1

(ur)2 + r2(uφ)2 = −κ (81)

Ovu jednadzbu mozemo napisati preko sacuvanih velicina e i l, uvedenih uprethodnom poglavlju,

e =

(1− 2M

r

)ut , l = r2uφ (82)

−(

1− 2M

r

)e2(

1− 2Mr

)2 +

(1− 2M

r

)−1(dr

dτ

)2

+ r2 l2

r4= −κ

Mnozenjem s (1− 2M/r) i uvodenjem pokrate r = dr/dτ dobivamo jednadzbu

−e2 + r2 +l2

r2

(1− 2M

r

)= −κ

(1− 2M

r

)Nesto konvencionalniji zapis postizemo dijeljenjem s 2 i prerazmjestajem clanova:

1

2r2 +

1

2

(1− 2M

r

)(l2

r2+ κ

)=e2

2(83)

39 §

Ovo je radijalna jednadzba gibanja, koja uz dvije jednadzbe u kojima su defi-nirane e i l u potpunosti opisuje gibanje cestice. Valja uociti kako je gibanjecestice ekvivalentno gibanju u jednodimenzionalnom efektivnom potencijalu

Vef(r) =1

2

(1− 2M

r

)(l2

r2+ κ

)(84)

s “efektivnom” energijom e2/2.

ZAD. Pronadite vezu kruzne frekvencije Ω i radijusa r0 stabilne kruzne putanjemasivne cestice (κ = 1).

R. Stabilne kruzne orbite imaju radijus putanje u onim vrijednostima gdjeefektivni potencijal ima svoj lokalni minimum. Nuzan uvjet kako bi ovo biloispunjeno jest da vrijedi

V ′ef(r0) =1

2

(2M

r20

(l2

r20

+ 1

)−(

1− 2M

r0

)2 l2

r30

)= 0

Odavde dobivamo

M

r0

(l2

r20

+ 1

)−(

1− 2M

r0

)l2

r20

= 0 (85)

Nadalje, zahtijev za kruznom orbitom znaci da imamo r = 0, pa iz radijalnejednadzbe gibanja (83) dobivamo

e2 =

(1− 2M

r0

)(l2

r20

+ 1

)⇒ l2

r20

+ 1 =e2

1− 2Mr0

Uvrstimo li ovo u (85), slijedi

M

r0

e2

1− 2Mr0

=

(1− 2M

r0

)l2

r20

⇒ l2

e2=

Mr0(1− 2M

r0

)2

l

e=

√Mr0

1− 2Mr0

Kruzna frekvencija Ω dana je s

Ω ≡ dφ

dt=dφ/dτ

dt/dτ=

l/r20

e(

1− 2Mr0

)−1 =1

r20

(1− 2M

r0

)l

e

Ω =

√Mr0

r20

⇒ Ω2 =M

r30

(86)

Ovo je 3. Keplerov zakon za stabilne kruzne putanje u Schwarzschildovom pros-torvremenu; njegova je forma identicna onoj u klasicnoj, Newtonovoj teoriji

40

gravitacije zahvaljujuci specificnom odabiru koordinatnog sustava (Schwarzsc-hildov koordinatni sustav).

ZAD. Svemirska stanica stoji fiksno u Schwarzschildovom prostorvremenu natocki s koordinatom r = R i lansira projektil mase m radijalno prema van br-zinom v, mjereno u njezinom sustavu mirovanja. Koliki je minimalan iznos tebrzine (vmin) koja je dovoljna da projektil s njom dosegne beskonacnost (brzi-nom nula)?

R. S obzirom da na projektil ne djeluje nikakve sile, njegova putanja jegeodetska. U konacnoj tocki putanje (u r =∞) mozemo izracunati energiju pojedinici mase,

e =

(1− 2M

r

)dt

dτ

∣∣∣∣∣r=∞

= 1 (87)

gdje smo u obzir uzeli da na kraju projektil ima brzinu nula. Kako je ova velicinasacuvana duz geodetske putanje, to je ujedno i minimalna energija emin potrebnaza lansiranje projektila. Ujedno, zbog radijalnog gibanja, kutna kolicina gibanjapo jedinici mase je nula, l = 0.

Sljedece velicine koje nam trebaju su 4-brzine svemirske stanice (uα) i pro-jektila (wα). S obzirom da svemirska stanica ima fiksne koordinate (r, θ, φ)imamo uα = (ut, 0, 0, 0). Iz normiranja dobivamo

−1 = uαuα = gαβ uαuα = gtt(u

t)2 = −(

1− 2M

r

)(ut)2

ut =

(1− 2M

r

)−1/2

(88)

Sto se tice projektila, s obzirom na radijalno gibanje, odmah imamo wθ = 0 =wφ. Radijalnu komponentu wr mozemo dobiti iz jednadzbe gibanja (uz e = 1 il = 0):

1

2r2 +

1

2

(1− 2M

r

)=

1

2⇒ wr = r =

√2M

r(89)

Posljednju komponentu, wt mozemo opet izracunati iz normiranja 4-brzine,

−1 = wαwα = gαβ wαwα = gtt(w

t)2 + grr(wr)2 =

= −(

1− 2M

r

)(wt)2 +

(1− 2M

r

)−1

(wr)2

⇒ wt =

(1− 2M

r

)−1

(90)

Energija projektila koju promatrac mjeri u svom sustavu dana je izrazom

E = −p · u = −gµνpµuν

41 §

gdje je pµ 4-impuls projektila, pµ = mwµ. Uvrstavanjem do sada izracunatihkomponenti (izvrjednjenih u r = R) imamo

E = −mgtt utwt =

m√1− 2M

R

(91)

Veza ove energije i brzine projektila dana je poznatim relativistickim izrazom,

E =m√

1− v2

Odakle dobivamo brzinu bijega, odnosno minimalan iznos brzine projektila po-treban za lansiranje do beskonacnosti,

v =

√2M

R(92)

sto sasvim slucajno (u Schwarzschildovim koordinatama) odgovara Newtonovomklasicnom izrazu za brzinu bijega. Valja uociti kako za R→ 2M , v → 1(c)!

ZAD. Koliko svjetla bijezi u beskonacnost? S tocke s radijalnom koordinatomr = R, 2M < R < 3M , odasiljemo fotone u raznim smjerovima (u θ = π/2ravnini) tako da cine kut ψ s radijalnim smjerom. Koji je kriticni kut ψc za kojifotoni bjeze u beskonacnost?

R. Radijalna jednadzba gibanja za fotone u Schwarzschildovom prostorvre-menu glasi

1

2r2 +

1

2

(1− 2M

r

)l2

r2=e2

2(93)

Fotone mozemo, dakle, opisati jednodimenzionalnim gibanjem cestice jedinicnemase energije e2/2 u efektivnom potencijalu

Vef(r) =1

2

(1− 2M

r

)l2

r2

Jedini ekstrem ove funkcije je maksimum u r0 = 3M , sto znaci da fotoni moguimati kruznu putanju na tom radijusu (ova trajektorija je, doduse, nestabilna).Iz jednadzbe gibanja odmah mozemo izraziti i radijalnu komponentu 4-brzinefotona,

ur = r =

(e2 −

(1− 2M

r

)l2

r2

)1/2

(94)

Ostale komponente su dane preko sacuvanih velicina e i l:

ut =e

1− 2Mr

, uθ = 0 , uφ =l

r2(95)

Sada valja preciznije definirati kut ψ iz zadatka. Ortonormirana baza vek-tora duz ortogonalnih koordinatnih osi na poziciji opazaca . . .

(er)α =

(0,

(1− 2M

R

)1/2

, 0, 0

)

42

(eφ)α =

(0, 0, 0,

1

R

)tgψ =

uφ

ur=u · eφu · er

Napomena: zbog θ = π/2 imamo sin θ = 1

u · eφ = gφφ (eφ)φuφ = R2 · 1

R· l

R2=

l

R

u · er = grr (er)rur =

1

1− 2MR

(1− 2M

R

)1/2(e2 −

(1− 2M

R

)l2

R2

)1/2

=

(1− 2M

R

)−1/2

l

(1

b2−(

1− 2M

R

)1

R2

)1/2

gdje smo uveli pokratu b ≡ l/e. Sada je

tgψ =1

R

(1− 2M

R

)1/2(1

b2−(

1− 2M

R

)1

R2

)−1/2

Promotrimo opet radijalnu jednadzbu gibanja,

1

2r2 +

1

2

(1− 2M

r

)l2

r2=e2

2

/: l2

1

2l2

(dr

dλ

)+

1

2

(1− 2M

r

)1

r2=

1

2b2

Uocimo kako se redefinicijom parametra putanje, λ → lλ, ne mijenja fizikalnejednadzbe koje definiraju kinematiku fotona (u · u = 0, (u · ∇)u = 0), kao niparametar b,

b =l

e=

r2φ sin2 θ(1− 2M

r

)r

s obzirom da omjer φ/r ostaje nepromjenjen reparametrizacijom. Time smopocetnu jednadzbu opet doveli na oblik

1

2

(dr

dλ

)2

+1

2

(1− 2M

r

)1

r2=

1

2b2

s efektivnom energijom 1/2b2 i efektivnim potencijalom

Vef(r) =1

2

(1− 2M

r

)1

r2

Funkcija Vef(r) ima maksimum u r = 3M i on iznosi

Vef(3M) =1

54M2

Kriticna efektivna energija, odnosno minimalna potrebna za svladavanje ovepotencijalne barijere (kako bi doticni foton mogao pobjeci u beskonacnost) iznosistoga

1

2b2c=

1

54M2⇒ bc = 3M

√3

43 §

Uvrstavanjem u gornji izraz za ψ dobivamo

tgψc =1

R

(1− 2M

R

)1/2(1

27M2−(

1− 2M

R

)1

R2

)−1/2

Nesto jednostavniji zapis imamo za

sinψc =

(1 +

1

tg2 ψc

)−1/2

=3M√

3

R

(1− 2M

R

)1/2

Uocimo kako za R = 3M imamo sinψc = 1, odnosno ψc = π/2. Taj kutse monotono smanjuje kako se priblizavamo horizontu, R = 2M , gdje imamosinψc = 0, sto povlaci ψc = 0 (na horizontu samo radijalno odaslani fotoniuspjevaju pobjeci u beskonacnost). Zamislimo li pokus u kojem smo u crnurupu ispustili izvor svjetla koji ravnomjerno odasilje fotone u svim smjerovima,a mi prikupljamo te fotone na nekoj velikoj udaljenosti od crne rupe, ono stobismo uocili jest postepeno tamnjenje tog izvora.

ZAD. Cestica mase m ispustena iz tocke s radijusom R pada radijalno u Schwar-zschildovom prostorvremenu. Pronadite vrijeme pada (koordinatno t i vlastitoτ) do tocke s radijusom r. Promotrite rezultat u limesu r → 2M . Izracunajtelokalno mjerenu brzinu u razlicitim tockama putanje.

R. Kako imamo radijalni pad θ = φ = konst., uθ = uφ = 0, κ = 1:

−(

1− 2M

r

)(ut)2 +

(1− 2M

r

)−1

(ur)2 = −1

e =

(1− 2M

r

)ut

− e2

1− 2Mr

+(ur)2

1− 2Mr

= −1

ur = −(e2 − 1 +

2M

r

)12

(predznak − jer dr < 0 za dt > 0). Lokalno mjerenu brzinu cemo izrazitipreko lokalno definirane duljine i vremena (one koje mjeri opazac na fiksnimkoordinatama)

dt ≡ dτ r,θ,φ= konst. , dr ≡ dτ t,θ,φ= konst.

dr

dt=

√|grr|√|gtt|

dr

dt=

(1− 2M

r

)−1r

t=

(1− 2M

r

)−1ur

ut=

= −(e2 − 1 + 2M

r

)12

e= −

(1−

1− 2Mr

e2

)12

dr

dt

∣∣∣r=2M

= −1 (tj. −c !)

44

Sada odredujemo konstantu e iz uvjeta

dr

dτ

∣∣∣r=R

= ur∣∣r=R

= 0

e2 − 1 +2M

R= 0 ⇒ e2 = 1− 2M

R< 1

dr

dτ= −

(1− 2M

R− 1 +

2M

r

)12

= −(

2M

r− 2M

R

)12

dτ = − 1√2M

(1

r− 1

R

)− 12

dr

Odavde integracijom dobivamo vlastito vrijeme koje izmjeri sama cestica dotrenutka kada je dosla u tocku s radijalnom koordinatom r,

∆τ =

(R3

8M

)12

(2

(r

R− r2

R2

)12

+ arccos

(2r

R− 1

))(96)

Vazno je uociti kako ∆τ ostaje konacan u limesu r → 2M .

Za potrebu ostatka racuna cemo uvesti konvencionalnu velicinu η, preko

η ≡ arccos

(2r

R− 1

), r =

R

2(1 + cos η) (97)

Prethodno izracunato vlastito vrijeme sada poprima jednostavniju formu

∆τ =

(R3

8M

)12

(η + sin η)

Nadalje imamo

ut =e

1− 2Mr

⇒ dt =e dτ

1− 2Mr

∆t = e

∫ ∆τ

0

dτ

1− 2Mr(τ)

= e

∫ η

0

dτ

dη′dη′

1− 2Mr(τ)

dτ

dη′=

(R3

8M

)12

(1 + cos η′) , e =

(1− 2M

R

)12

∆t =

(1− 2M

R

)12∫ η

0

(R3

8M

)12

(1 + cos η′)

1− 4MR (1 + cos η′)−1

dη′ (98)

Detalji racunanja ovog integrala su izlozeni u dodatku B; rezultat glasi

∆t

2M= ln

∣∣∣∣∣∣(R

2M − 1)1

2 + tg(η/2)(R

2M − 1)1

2 − tg(η/2)

∣∣∣∣∣∣+

(R

2M− 1

)12(η +

R

4M(η + sin η)

)(99)

45 §

Ovdje valja uociti da koordinatno vrijeme ∆t divergira u limesu kada r → 2M ,tj. onda kada cestica prelazi horizont crne rupe, jer

limr→2M

cos η =4M

R− 1 , lim

r→2Mtg(η/2) = lim

r→2M

√1− cos η

1 + cos η=

(R

2M− 1

)12

ZAD. Osoba A kruzi oko sferno simetricne neutronske zvijezde (mase M) naradijusu r = 4M . Osoba B je ispucana iz topa radijalno s povrsine zvijezdebrzinom manjom od brzine bijega. Za vrijeme leta A i B se surecu 2 puta.Izmedu ta 2 susreta A napravi 10 punih orbita. Izracunajte vrijeme protekloizmedu 2 susreta i to prema satu osobe A i osobe B!

R. Zadatak promatramo prvo iz perspektive osobe A, potom iz perspektiveosobe B . . .

A :

Mozemo bez smanjenja opcenitosti odabrati da A kruzi u ravnini θ = π/2,

dθ = 0 , r = 4M , dr = 0 , ur = uθ = 0

Pomocu prije dobivenog rezultata znamo

Ω =dφ

dt=

√Mr

r2=

2M

(4M)2=

1

8M

Uzevsi za pocetni uvjet φ(t = 0) = 0, integriranjem dobivamo

∆φ =1

8M∆t

∆φ = 10 · 2π ⇒ ∆t = 8M∆φ = 8M · 20π = 160πM

Vlastito vrijeme mozemo izracunati iz metrike,

dτ2A =

(1− 2M

r

)dt2 − r2 sin2 θ dφ2 =

1

2dt2 − (4M)2dφ2 =

=1

2dt2 − (4M)2 dt2

(8M)2=

1

4dt2

∆τA =1

2∆t = 80πM ≈ 251.5M

B :

S obzirom na simetriju, putanju mozemo podijeliti u dva dijela jednake duljine(uspon i pad). Dovoljno je promatrati samo jedan od njih (mi cemo promatrati

46

samo pad) i na kraju dobiveno vrijeme pomnoziti s faktorom 2. Pritom koristimorezultate prethodnog zadatka,

∆τ1/2 =

(R3

8M

)12

(η + sin η)

∆t1/22M

= ln

∣∣∣∣∣∣(R

2M − 1)1

2 + tg(η/2)(R

2M − 1)1

2 − tg(η/2)

∣∣∣∣∣∣+

(R

2M− 1

)12(η +

R

4M(η + sin η)

)Koordinatno vrijeme proteklo od trenutka kada je osoba B dosegla vrh putanje(r = R) do trenutka kada se ponovno susretne s osobom A jednako je polovicikoordinatnog vremena proteklog osobi A tijekom kruzenja, ∆t1/2 = ∆t/2 =80πM . Odave slijedi jednadzba

40π = ln

∣∣∣∣∣∣(R

2M − 1)1

2 + tg(η/2)(R

2M − 1)1

2 − tg(η/2)

∣∣∣∣∣∣+

(R

2M− 1

)12(η +

R

4M(η + sin η)

)elegantnije zapisana uvodenjem pokrate x ≡ R/(2M),

40π = ln

∣∣∣∣√x− 1 + tg(η/2)√x− 1− tg(η/2)

∣∣∣∣+√x− 1

(η +

x

2(η + sin η)

)(100)

Iz definicije (97) za r = 4M dobivamo jednadzbu koja povezuje x i η,

4 = x(1 + cos η)

Sada je potrebno rjesiti ovaj netrivijalan sustav dvije (nelinearne) jednadzbe.Jedna metoda kojom to mozemo napraviti jest uz odgovarajuce aproksimacije.Kako osoba B napravi cak 10 orbita izmedu dva susreta, razumno je pretposta-viti x 1; odavde slijedi

1 + cos η ≈ 0 ⇒ η ≈ π

tgη

2=

√1− cos η

1 + cos η⇒

√x− 1

tg(η/2)≈

√x(1 + cos η)

1− cos η≈√

4

2=√

2

ln

∣∣∣∣√x− 1 + tg(η/2)√x− 1− tg(η/2)

∣∣∣∣ ≈ ln

(√2 + 1√2− 1

)≈ 1.8 40π

pa ovaj logaritamski komad mozemo u potpunosti zanemariti. Nadalje,

40π ≈√x(π +

x

2(π + 0)

)≈ π

2x3/2 ⇒ x ≈ 18.57

1 + cos η =4

x≈ 0.216 ⇒ η ≈ 2.47

Usporedba s numerickim rezultatom (dobiven pomocu programa Mathematica),

η ≈ 2.46029 , x ≈ 17.91747

opravdava raniju upotrebu aproksimacija. Konacno,

∆τB = 2

(R3

8M

)12

(η + sin η) = 2x3/2(η + sin η) ≈ 494.8M

∆τB∆τA

≈ 2

47 §

Eddington-Finkelsteinove koordinate.

Promotrimo svjetlosne radijalne geodezike u Schwarzschildovom prostorvre-menu,

ds2 = 0 = −(

1− 2M

r

)dt2 +

(1− 2M

r

)−1

dr2

dt

dr= ±

(1− 2M

r

)−1

Odavde vidimo kako se svjetlosni stosci skupljaju prilikom prilazenja horizontudogadaja (r → 2M), da bi na samom horizontu postali singularni (dt/dr →±∞). Izborom drugacijeg koordinatnog sustava cemo pokazati da je posrijedisamo singularno ponasanje pocetnog (Schwarzschildovog) koordinatnog sustava,a ne nekakav stvaran fizikalni efekt na horizontu.

Za pocetak pokusavamo rjesiti problem zamjenom koordinate t s nekom kojase mijenja sporije duz svjetlosnih geodezika,

dr2∗ ≡

dr2(1− 2M

r

)2Nova koordinata r∗ je tzv. Regge-Wheeler ili tortoise koordinata, koja je ekspli-citno dana (uz konvencionalni odabir integracijske konstante) izrazom

r∗ = r + 2M ln

∣∣∣∣r − 2M

2M

∣∣∣∣ (101)

Metrika sada poprima oblik,

ds2 =

(1− 2M

r

)(−dt2 + dr2

∗) + r2(dθ2 + sin2 θdφ2)

gdje se podrazumijeva da je r ovdje funkcija nove koordinate, r = r(r∗). Onosto smo ovdje efektivno napravili jest pomaknuli horizont u beskonacnost,

r∗(r = 2M) = −∞

Sljedeci korak jest uvodenje koordinata adaptiranih na svjetlosne geodezike,u smislu da su upadni ili izlazni radijalni svjetlosni geodezici duz linija s kons-tantnim novim koordinatama,

u = t− r∗ , v = t+ r∗ (102)

du = dt− dr∗ = 0 za izlazne fotone izvan horizonta dogadaja.

dv = dt+ dr∗ = 0 za ulazne fotone izvan horizonta dogadaja.

Koordinatni sustav (v, r, θ, φ):

ds2 =

(1− 2M

r

)(−dt2 + dr2

∗) + r2dΩ2 =

48

=

(1− 2M

r

)(−dv2 + 2dvdr∗ − dr2

∗ + dr2∗) + r2dΩ2 =

= −(

1− 2M

r

)dv2 + 2dvdr + r2dΩ2

Horizont je na konacnoj vrijednosti koordinate v . . .

Koordinatni sustav (u, r, θ, φ):

ds2 =

(1− 2M

r

)(−dt2 + dr2

∗) + r2dΩ2 =

=

(1− 2M

r

)(−du2 − 2dudr∗ − dr2

∗ + dr2∗) + r2dΩ2 =

= −(

1− 2M

r

)du2 − 2dudr + r2dΩ2

Horizont je na konacnoj vrijednosti koordinate u . . .

Promatramo radijalne (dθ = dφ = 0) svjetlosne (ds2 = 0) geodezike u(v, r, θ, φ) ili (u, r, θ, φ) koordinatnom sustavu:

dv

dr=

0 upadni γ

21−2M/r izlazni γ

,du

dr=

0 izlazni γ

− 21−2M/r upadni γ

ZAD. Pokazi da kad raketa jednom prijede horizont dogadaja Schwarzschildovecrne rupe (r = 2M), mora dosegnuti ishodiste (r = 0) u vlastitom vremenuτ ≤ πM bez obzira na rad motora.

R. Iz normiranja 4-vektora brzine (uµuµ = −1) slijedi

−(

1− 2M

r

)(dt

dτ

)2

+

(1− 2M

r

)−1(dr

dτ

)2

+r2

(dθ

dτ

)2

+r2 sin2 θ

(dφ

dτ

)2

= −1

Unutar horizonta (r < 2M) sve velicine su pozitivne osim one uz r2, pa moravrijediti (

1− 2M

r

)−1(dr

dτ

)2

< −1

(2M

r− 1

)−1(dr

dτ

)2

> 1

Razmatranjem Schwarzschildove metrike u Eddington-Finkelsteinovim koordi-natama (v, r, θ, φ) mozemo pokazati da za svakog fizikalnog promatraca (m > 0, dt > 0) mora vrijediti r < 0:

ds2 = −(

1− 2M

r

)dv2 + 2drdv + r2(dθ2 + sin2 θdφ2) < 0

49 §

2drdv <

(1− 2M

r

)dv2 − r2(dθ2 + sin2 θdφ2)

Desna strana je manja od nule za r < 2M , a dv > 0 za fizikalnog promatraca -odavde slijedi dr < 0 (unutar horizonta).

Sada mozemo odabrati jednoznacan predznak prilikom vadenja korijena izgornje nejednakosti,

dr < −dτ√

2M

r− 1

dτ < − dr√2Mr − 1

U potrazi za granicnom vrijednosti stavljamo jednakost i vrsimo integraciju poputu koji zapocinje na horizontu i zavrsava u ishodistu,

τmax = −∫ 0

2M

dr√2Mr − 1

Uvodenjem nove varijable

x ≡ 2M

r− 1 , r =

2M

1 + x, dr = − 2M

(1 + x)2dx

imamo

τmax = 2M

∫ ∞0

x−12

(1 + x)2dx

Ovaj integral mozemo rijesiti promatranjem kompleksnog integrala∮C

z−12

(1 + z)2dz

po krivulji C koja se sastoji od dvije kruznice, γ radijusa ρ i Γ radijusa R, te dvije horizontalnelinije povucene infinitezimalno iznad i ispod reza duz realne osi. Podintegralna funkcija imapol drugog reda u z = −1. Reziduum funkcije u toj tocki je

Res(f(z),−1) = limz→eπi

d

dz(z−

12 ) = −

1

2e−

3πi2 = −

i

2

Odavde slijedi ∮C

z−12

(1 + z)2dz = 2πiRes(f(z),−1) = π

=

∫γf(z) dz +

∫Γf(z) dz +

∫ R

ρ

x−12

(1 + x)2dx+ (e2πi)−

12

∫ ρ

R

x−12

(1 + x)2dx

U limesu kada ρ→ 0 i R→∞ integrali po kruznicama iscezavaju, pa nam preostaje

π = (1− e−πi)∫ ∞

0

x−12

(1 + x)2dx

∫ ∞0

x−12

(1 + x)2dx =

π

2

50

To nam konacno daje maksimalno vrijeme koje mozemo provesti unutar hori-zonta dogadaja prije nego sto udarimo u ishodiste koordinatnog sustava,

τmax = 2M · π2

= πM (103)

Na kraju mozemo ovaj rezultat pretvoriti u velicine u uobicajenom sustavujedinica,

πM → πGm

c21

c= π

Gmc3

m

m∼ 3

(6 · 10−11)(2 · 1030)

(3 · 108)3

m

ms ∼ 10

m

mµs

gdje je m masa Sunca (m = 2 ·1030 kg). Cak i u slucaju supermasivnih crnihrupa (m ∼ 106m) vrijeme je tek reda velicine sekunde (τmax ∼ 10 s).

51 §

Dodatak A

Lema. Za matricu A, |A| ≡ det(A), vrijedi:

(ln |A|),α = Tr(A−1∂αA) = Tr

(∑γ

(A−1)βγAγσ,α

)=∑β,γ

(A−1)βγAγβ,α

Dokaz:

∂α(ln |A|) = lim∆xα→0

ln |A+ ∆A| − ln |A|∆xα

∆A ≡ A(. . . , xα + ∆xα, . . .)−A(. . . , xα, . . .)

∂α(ln |A|) = lim∆xα→0

1

∆xαln|A+ ∆A||A|

= lim∆xα→0

1

∆xαln(|A−1(A+ ∆A)|) =

= lim∆xα→0

1

∆xαln(|I +A−1∆A|)

Koristeci poznati identitet

det(eA) = eTrA ⇒ ln(det(B)) = Tr(lnB)

imamo dalje

∂α(ln |A|) = lim∆xα→0

1

∆xαTr(ln(I +A−1∆A)

)= lim

∆xα→0Tr(

ln(I +A−1∆A)1

∆xα

)Po analogiji s jednakosti

lim∆x→0

(1 + g(x) ∆f(x))1

∆x ·∆f∆f = exp

(g(x) lim

∆x→0

∆f(x)

∆x

)= eg(x)f ′(x)

slijedi

∂α(ln |A|) = Tr

(A−1 lim

∆xα→0

∆A

∆xα

)= Tr(A−1∂αA)

52

Dodatak B

Racunanje integrala iz zadatka o slobodnom padu cestice u Schwarzschildo-vom prostorvremenu.

∆t =

(1− 2M

R

)12∫ η

0

(R3

8M

)12

(1 + cos η′)

1− 4MR (1 + cos η′)−1

dη′

Koristenjem prije uvedene oznake, x = R/(2M), imamo

∆t =

(1− 1

x

)12

(M2x3)12

∫ η

0

(1 + cos η′)2

(1− 2x ) + cos η′

dη′

∆t = Mx√x− 1

∫ η

0

(1 + cos η′)2

(1− 2x ) + cos η′

dη′

Promatramo integral oblika

I(a) =

∫ η

0

(1 + cos ξ)2

(1− a) + cos ξdξ

Upotrebom rastava

(1 + cos ξ)2 = (1− a2 + 2 cos ξ + cos2 ξ) + a2 =

= (1 + a+ cos ξ)(1− a+ cos ξ) + a2

imamo

I(a) =

∫ η

0

(1 + a+ cos ξ +

a2

(1− a) + cos ξ

)dξ =

= (1 + a)η + sin η + a2

∫ η

0

dξ

(1− a) + cos ξ

Preostali integral rjesavamo poznatom supstitucijom

u = tg(ξ/2) , dξ =2du

1 + u2, cos ξ =

1− u2

1 + u2

J =

∫dξ

(1− a) + cos ξ= 2

∫du

(2− a)− u2=

=1√

a(2− a)ln

∣∣∣∣∣√a(2− a) + au√a(2− a)− au

∣∣∣∣∣+ C =

53 §

=1√

a(2− a)ln

∣∣∣∣∣√a(2− a) + a tg(ξ/2)√a(2− a)− a tg(ξ/2)

∣∣∣∣∣+ C

Rezultat je, stoga,

I(a) = (1 + a)η + sin η +a2√

a(2− a)ln

∣∣∣∣∣√a(2− a) + a tg(η/2)√a(2− a)− a tg(η/2)

∣∣∣∣∣Odavde je

∆t = Mx√x− 1 · I(2/x) =

= Mx√x− 1

(1 +2

x

)η + sin η +

4x2√

2x (2− 2

x )ln

∣∣∣∣∣∣√

2x (2− 2

x ) + 2x tg(η/2)√

2x (2− 2

x )− 2x tg(η/2)

∣∣∣∣∣∣

Uzevsi u obzir √2

x

(2− 2

x

)=

2

x

√x− 1

imamo

∆t = 2M√x− 1

(η +

x

2(η + sin η)

)+ 2M ln

∣∣∣∣√x− 1 + tg(η/2)√x− 1− tg(η/2)

∣∣∣∣

54

Najvazniji tipovi crnih rupa u OTR

· Schwarzschild (1916.)sferno simetricno, bez naboja

ds2 = −(

1− 2M

r

)dt2 +

(1− 2M

r

)−1

dr2 + r2(dθ2 + sin2 θ dφ2)

· Reissner-Nordstrom (1916./1918.)sferno simetricno, nabijeno

ds2 = −(

1− 2M

r+Q2

r2

)dt2 +

(1− 2M

r+Q2

r2

)−1

dr2 + r2(dθ2 + sin2 θ dφ2)

· Kerr (1963.)aksijalno simetricno, bez naboja

ds2 = −(

1− 2Mr

Σ

)dt2 − 2a sin2 θ(r2 + a2 −∆)

Σdt dφ+

Σ

∆dr2+

+Σdθ2 +

((r2 + a2)2 −∆a2 sin2 θ

Σ

)sin2 θ dφ2

a ≡ J

M, ∆ ≡ r2 − 2Mr + a2 , Σ ≡ r2 + a2 cos2 θ

· Kerr-Newman (1965.)aksijalno simetricno, nabijeno

ds2 = −(

1− 2Mr

Σ+Q2

Σ

)dt2 − 2a sin2 θ(r2 + a2 −∆)

Σdt dφ+

Σ

∆dr2+

+Σdθ2 +

((r2 + a2)2 −∆a2 sin2 θ

Σ

)sin2 θ dφ2

a ≡ J

M, ∆ ≡ r2 − 2Mr + a2 +Q2 , Σ ≡ r2 + a2 cos2 θ

Bibliografija

[Lightman et al.] A.P. Lightman, W.H. Press, R.H. Price and S.A. Teukol-sky: Problem Book in Relativity and Gravitation (Princeton, 1975.) (∗∗)Prakticno jedina postojeca zbirka zadataka iz opce teorije relativnosti. Va-lja naglasiti kako su svi zadaci detaljno rijeseni.

[Dirac] P.A.M. Dirac: General Theory of Relativity (Wiley, 1975.) (∗) Autor u35 lekcija (svega 77 stranica) ukratko iznosi glavne pojmove opce teorijerelativnosti.

[Hartle] J.B. Hartle: Gravity (Addison Wesley, 2003.) (∗) Bogato ilustrirana i smnostvom motivacijskih primjera . . .

[Weinberg] S. Weinberg: Gravitation and Cosmology (Wiley, 1972.) (∗∗) Jednaod standardnih referenci u gravitaciji; prednost ove knjige je u tome stoima neke izvode koje necete naci na drugim mjestima; mane su zastarjeli,negeometrijski pristup u izlaganju matematickog aparata, kao i potpunoodsustvo analize crnih rupa.

[Carroll] S.Carroll: Spacetime and Geometry (Addison Wesley, 2004.) (∗∗) Prvapreporuka medu novijom literaturom u gravitaciji; pokriva otprilike prvupolovicu Waldovog udzbenika, ali u mnogo polaganijem tempu i s visedetalja; posljednje poglavlje obraduje i uvod u kvantnu teoriju polja uzakrivljenom prostorvremenu.

[MTW] C.W. Misner, K.S. Thorne, J.A. Wheeler: Gravitation (Freeman, 1973.)(∗∗) Takozvana biblija gravitacije. Glomazna, crna knjiga na preko 1000stranica pazljivo, s posebnim naglaskom na geometrijsku intuiciju, prolazikroz matematicki aparat i prakticno svu klasicnu fiziku opce teorije rela-tivnosti.

[Wald] R.M. Wald: General Relativity (Chicago, 1984.) (∗∗∗) Prva referencanaprednijeg kursa u opcoj teoriji relativnosti. Prednosti su joj moderan,geometrijski pristup i sirina primjenjivosti; mana joj je izrazito “kompak-tan” stil, s malo raspisanih medukoraka.

[HE] S.W. Hawking and G.F.R. Ellis: The Large Scale Structures of Space-Time(Cambridge, 1973.) (∗∗∗)

55