1

1.1 : ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1.1. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική, όταν

υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x∈Α να ισχύει: (i) x + T∈Α , x – T∈Α και (ii) f (x + T) = f (x – T) = f (x) Ο πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f.

1. Η συνάρτηση f (x) = ημx. Ο πίνακας μονοτονίας της συνάρτησης f (x) = ημx , όταν 0 ≤ x ≤ 2π, είναι:

x 0 2π π 3

2π 2π

f (x) = ημx 0 1μεγ.

0 1ελαχ.− 0

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = ημx είναι:

2. Η συνάρτηση f (x) = συνx. Ο πίνακας μονοτονίας της συνάρτησης f (x) = συνx , όταν 0 ≤ x ≤ 2π, είναι:

x 0 2π π 3

2π 2π

f (x) = συνx 1

μεγ.0 1

ελαχ.− 0 1

μεγ.

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = συνx είναι:

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ 1ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

9ο Γεν. Λύκειο Περιστερίου

3. Η συνάρτηση f (x) = εφx. Ο πίνακας μονοτονίας της συνάρτησης f (x) = συνx , όταν 0 ≤ x ≤ 2π, είναι:

x 32π− 2

π− 2π 3

2π

f (x) = εφx … … β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = εφx είναι:

1.2. ΠΡΟΤΑΣΗ: Κάθε μια από τις δύο συναρτήσεις

f (x) = ρ.ημ(ωx) και g(x) = ρ.συν(ωx) με ρ, ω > 0 έχει: • Μέγιστη τιμή την ρ και ελάχιστη τιμή την – ρ. • Περίοδο Τ =

2πω .

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Αν δεν γνωρίζουμε ότι το ρ > 0, τότε η μέγιστη τιμή των συναρτήσεων είναι

ρ , ενώ η ελάχιστη τιμή είναι το – ρ .

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ 1ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

9ο Γεν. Λύκειο Περιστερίου 1.1 : Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

1

2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να συμπληρώσετε τον επόμενο πίνακα:

Συνάρτηση Περίοδος Μέγιστη- Ελάχιστη τιμή

Θέσεις ακροτάτων

f (x) = 13 ⋅συν2x

f (x) = –2.ημ5x

f (x) = 3.συν ( )4x – 2

2. Να συμπληρώσετε τον επόμενο πίνακα:

Συνάρτηση Περίοδος Μέγιστη- Ελάχιστη τιμή

Διαστήματα μονοτονίας

f (x) = 52 ⋅ ημ ( )2

x

f (x) = 2.συν4x

f (x) = – 12 ⋅ ημ2x + 1

3

3. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3συν 4x .

i) Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης. ii) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου.

4. Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) = ημx και g(x) = συνx.

i) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων, τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g, όταν 0 ≤ x ≤ 2π.

ii) Από το σχέδιο του ερωτήματος (i) να λύσετε την ανίσωση f (x) > g(x).

5. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = συν(

2π + 4x).

i) Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης. ii) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f για 0 ≤ x ≤ 2π.

6. Στο διπλανό σχέδιο η f (x) είναι ημιτονοει-

δής και η g(x) είναι συνημιτονοειδής συνάρ-τηση. Να βρείτε τις δύο συναρτήσεις.

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ 1ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

9ο Γεν. Λύκειο Περιστερίου 1.1 : Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

7. Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x) = (3 – α).ημ(βx) με α > 1 και β > 0.

Η συνάρτηση έχει μέγιστη τιμή 2 και περίοδο 2π .

i) Να βρείτε τα α, β. ii) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε διάστημα μιας περιόδου.

8. Οι ετήσιες πωλήσεις ενός προϊόντος, σε χιλιάδες κομμάτια, δίνονται κατά προσέγγιση

από τον τύπο f (t) = 23 + 5.συν ( )4tπ όπου t ο χρόνος σε έτη και 0 ≤ t ≤ 8.

i) Να βρείτε τη μέγιστη , την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδό της. ii) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. iii) Σε ποιο έτος θα έχουμε τον μικρότερο αριθμό πωλήσεων; iv) Σε ποιο έτος οι πωλήσεις θα φθάσουν τα 25500 κομμάτια.

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ 1ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

9ο Γεν. Λύκειο Περιστερίου 1.1 : Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 4