KEΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

8/20/2019 KEΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1/16

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

1

1.Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

ι)2

2 1( )

2 3

x f x

x x

ιι)

7( )

| 2 1| 5

x f x

x

ιιι) 2( ) 3 4 f x x x

ιν) 2( ) ln( 3 10) f x x x ν) 2 3( )3 | 1|

x f x

x

νι) ( )

ln( 2)

x

e f x x

.

2.Ομοίως:

ι)2

1( )

6

x f x

x x

ιι)

24

( )1

x f x

x

ιιι)

2

| | 3( )

4

x f x

x

ιν) ln( 5)

( )2

x f x

x

.

3.Ομοίως:

ι) | | 12

( ) (9 ) x

f x x

ιι)4 1

( ) 3 ln( 1) 1

x f x x x

ιιι)2

3 2

ln ln( )

2 5 6

x x f x

x x x

ιν) 2( ) ln(2 ) f x x x x .

4.Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων:

α) 27)( 3 x x f β) x x x f 43)(

γ)1

)(2

x

x x f δ)

2

52)(

3

x x

x x f

ε)

1

1

ln)( x

x

e

e

x f στ)

x

x

x x x f 3

3

log)2log()(

2

ζ) xe x f x ln11)( η)

2

45ln)(

2

x

x x x f

5. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων:

α))1()1(

4)(

2

x x

x x f β)

x x x x f

4

3

12

2)(

γ) x x

x f

73

2)( δ)

x x x

x x x f

83

1

12)(

2

ε) )3ln()( x x f στ)1

1

12)(

x x

x x f

]2,0[ x

ζ) 10745)( 22 x x x x x f η) )4(log)( 2 x x f x

θ) 33.43)( 2 x x x f ι) x x x f 2lnln2)(

κ) 1)1()( x x x f λ) )82.64(log)(3

x x

x x f

6.Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης :

2

1( )

( 1) 2( 1) 3 f x

x x

Για τις διάφορες τιμές του λ ε R.


2/16


2

7.Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η συνάρτηση2( ) ( 2) 2 2 3 f x x x έχει πεδίο ορισμού το R.

8.Για ποιες τιμές του λ R

η συνάρτηση f με 4

12

)( 2

x x

x

x f έχει πεδίοορισμού το R.

9.Για ποιες τιμές του λ R η συνάρτηση 32)( 2 x x x f έχει πεδίο

ορισμού το R.10.Να προσδιορίσετε τις τιμές του λ R για τις οποίες η συνάρτηση

)1ln()( 2 x x x f έχει πεδίο ορισμού το R.

11.Δίνεται η συνάρτησηln( )

( )ln( )

x a f x

x

για την οποία ισχύει f(-1)=1 και f(-

6)=0.Να βρείτε: ι) τους αριθμούς α,β ιι)το πεδίο ορισμού της f ιιι)την τιμή f(-6)

12.Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 log( ) f x x για την οποία ισχύει

f(101)=1. Nα βρείτε : ι)την τιμή του α ιι)το πεδίο ορισμού της f ιιι)το πεδίο ορισμού της

11( ) ( ( )) ln( (2))

10 g x f f x f .

13.Δίνεται η συνάρτηση :

2

, 6 1( ), 1 7

x x f x x x

Για την οποία ισχύει f(-2)=5 και f(5)=24.

ι)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ιι)Να βρείτε τους αριθμούς α και β. ιιι)Να βρείτε τις τιμές f(-1) και f(f(-3)) ιν)Να λύσετε την εξίσωση f(x)=3.

14.Δίνεται η συνάρτηση :

2

| |

( ) 4

4

a

f x x

8 2

2 3

3 15

για την οποία ισχύει f(-4)+f(1)+f(12)=7.Να βρείτε: α)το πεδίο ορισμού της f,

β)τον αριθμό α,

γ)τις τιμές f(-2) ,f(3), f(f(f(-5))).

15.Μια συνάρτηση R f ),0(: έχει την ιδιότητα 1)(ln)( x f xe

x f για

x >0.α) Να προσδιοριστεί ο τύπος της f

β) Να γίνει η γραφική παράσταση


3/16


3

16.Μια συνάρτηση R R f : έχει την ιδιότητα 12)1()(2 2 x x x f x f .

α) Να προσδιοριστεί ο τύπος της fβ) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης )2()( x f x g

17.Αν για τη συνάρτηση f ισχύει: ,1)()( x x xf x f x τότε νααποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή.18.Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R για την

οποία ισχύει: 5)1()( 2 x x f x f με R x

19.Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε: 2)1

(3)(2 x x

f x f 0 x

α) Να προσδιοριστεί ο τύπος της f

β) Να βρεθεί το f(2)20.Δίνεται η συνάρτηση : f R R για την οποία ισχύει:

f(x)+3f(2-x)=-4x για κάθε χ ε R.Na βρείτε :

α)το f(1) β)τον τύπο της συνάρτησης f.21. Δίνεται η συνάρτηση : f R R για την οποία ισχύει:

2( 2) 2 (5 ) 22 70 f x f x x x για κάθε χ ε R.

α)Να αποδείξετε ότι: 2( ) 2 (3 ) 18 30 f x f x x x για κάθε χ ε R.

β)Να βρείτε τον τύπο της f.22. Δίνεται η συνάρτηση : f R R για την οποία ισχύει:

2( ) (1 ) (3 ) 1 f x x f x x x για κάθε χ ε R.Na βρείτε : α)το f(1) και το f(2) β)τον τύπο της συνάρτησης f.23. Δίνεται η συνάρτηση : f R R για την οποία ισχύει:

2 2( ) 4 (4 2) ln( 3 3) f x x f x x x για κάθε χ ε R.

Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες.

24. Δίνεται η συνάρτηση : f R R για την οποία ισχύει:

212 ( ) 3 , f x f x

x

0 x .

Na βρείτε :

α)το f(1) και β)τον τύπο της συνάρτησης f.

25.’Εστω συνάρτηση : (0, ) f R για την οποία ισχύει :

f(xy)=f(x)+f(y) για κάθε x,y >0.Να αποδείξετε ότι :

α) f(1)=0 β) 1

( ) f y f y

για κάθε y>0 γ) ( ) ( )

x f f x f y

y

για κάθε

x,y >0.

26.Αν η συνάρτηση ικανοποιεί για κάθε x,y εR τη σχέση:


4/16


4

f(x+y)+f(x-y)=f(3x)

να αποδειχθεί ότι η f είναι σταθερή.

27.Nα βρεθούν όλες οι συναρτήσεις : f R R με την ιδιότητα:

f(x)f(y)=f(x)+f(y)+3 για κάθε x,y εR.28. Δίνεται η συνάρτηση : f R R ,μη σταθερή με τις ιδιότητες :

f(xy)=f(x)f(y) και f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy για κάθε x,y ε R.

Να αποδείξετε ότι: α)f(0)=0 ,f(1)=1 ,f(-1)=1

β)η συνάρτηση f είναι άρτια,

γ)ο τύπος της f είναι : 2( ) f x x για κάθε χεR.

29.Δίνεται η συνάρτηση 5 8

( )3

x f x

x

. Να βρείτε :

α )το πεδίο ορισμού της β) το σύνολο τιμών της .

30.Δίνεται η συνάρτηση :[ 1,0] f R με7

( )1

x f x

x

.Να βρείτε το σύνολο

τιμών της f.

31.Να βρείτε τα κοινά σημεία με τους άξονες των γραφικών παραστάσεων

των συναρτήσεων:

α) 2( ) 2 8 f x x x β ) ( ) | 2 1| 5 f x x γ) ( ) 1 x f x e δ) ( ) ln( 2) f x x

32.Να βρείτε την σχετική θέση με τον άξονα χ’χ των γραφικων παραστάσεων

των συναρτήσεων:

α) 2( ) 2 5 3 f x x x β) ( ) ln | 3 | f x x γ)1

( ) 42

x

f x

δ)2

16( )

1 | |

x f x

x

.

33.Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρήσεων: α) 3 2( ) 3 2 1 f x x x x και 2( ) 1 g x x x

β) ( ) ln 2 f x x x x και ( ) g x x

γ) ( ) 4 2 x f x και ( ) 6(2 1) x g x

δ) ( ) ln 6 x f x e x και ( ) 2 3ln x g x e x 34.Δίνονται οι συναρτήσεις :

2( ) 4 | 2 | f x x x x , ( ) | 2 | 4 g x x x και ( ) 7h x x .

Να βρείτε τα διαστήματα στα οποιά :

α)η f C βρίσκεται κάτω από την g C

β)η hC βρίσκεται πάνω από την g C .

35.Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 4 f x x ax a με α εR.

Αν η f C διέρχεται από το σημείο Μ(-3,5), να βρείτε:

α)τον αριθμό α β)τα σημεία τομής της f C με τους άξονες


5/16


5

γ)τα σημεία τομής της f C με την γραφική παράσταση της g(x)=-4x+1

δ)τα διαστήματα στα οποία η f C βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση

της2

2 | 3 |( )

2

x xh x

.

36.Δίνεται η συνάρτηση : 2

( )| 2 | 1

x a f x

x a

1

1

x

x

, με αεR.

Αν η f C διέρχεται από το σημείο Μ (1,-3) ,να βρείτε :

α)τον αριθμό α β) τα σημεία τομής της f C με τους άξονες.

37.Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 2( ) 1 f x x ax a και2( ) 2 g x x x a με αεR ,τέμνονται πάνω στην ευθεία χ=2.Να βρείτε :

α)τον αριθμό α β)τα διαστήματα στα οποία η f C βρίσκεται κάτω από την

g C .

38.Η γραφική παράσταση της συνάρτησηςln( )

( )ln( )

x a f x

x

,με α,βεR,τέμνει

τον άξονα χχ΄ στο -8 και διέρχεται από το Α(-1,3).

Να βρείτε:

α)τους αριθμούς α,β β)το πεδίο ορισμού της f γ)τα σημεία τομής της

f C με την ευθεία y=2.39.Nα εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές:

α)3

2( )

4

x f x

β)

4

2

| |( )

16

x f x

γ) ( ) | 3 | | 3 | f x

δ) 3

( ) ln3

x f x

x

ε)

1 1( )

1 2 2 x

f x

.

40.Ομοίως:

α)4

4

, 0( )

, 0

x x f x

x

β)3 2

3 2

, 15 3( )

, 15 3

f x

41.α)Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης με

πεδίο ορισμού το R διέρχεται από την αρχή των αξόνων . β)Δίνεται περιττή συνάρτηση 3( ) 4 f x x x με αεR.

Να βρείτε :

ι)τον αριθμό α ιι) τα διαστήματα στα οποία η f C βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ’χ ιιι)τα σημεία τομής της f C με την γραφική παράσταση της2( ) 4 3 4 g x x x .

42.Δίνεται συνάρτηση : f R R για την οποία ισχύει :


6/16


6

( ) ( ) 2( ( ) ( )) f x y f x y f x f y για κάθε χ, y εR.

Να αποδείξετε ότι :

α)η γραφική παράσταση της f περνά από την αρχή των αξόνων.

β)η f είναι άρτια γ)ισχύει f(|x|)=f(x) για κάθε χεR.43. Δίνεται συνάρτηση : f R R για την οποία ισχύει ( ) 0 f x για κάθε χεR

και:

( ) ( ) 2 ( ) ( ) f x y f x y f x f y για κάθε χ, y εR.

α)Να βρείτε το f(0)

β)Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια. 44. Δίνεται συνάρτηση : f R R μη σταθερή για την οποία ισχύει :

( ) ( ) ( ) f x y af x f y για κάθε χ, y εR.

α)Να αποδείξετε ότι α=1 β)Να βρείτε το f(0) γ)Να αποδείξετε ότι η f είναιπεριττη. 45.Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων: α) ( ) ln f x x και ( ) | ln | g x x

β) ( ) ln f x x και1

( ) ln g x x

γ) ( ) ln f x x και 2( ) ln( ) g x e x

δ) ( ) ln f x x

και ( ) ln( ) g x x

46.Δίνεται η συνάρτηση

2, 2 1

( ) 1, 1

x x

f x x

x

.

α)Να χαράξετε την γραφική παράσταση f C της f β)Με την βοήθεια της

f C να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

47. Δίνεται η συνάρτηση2 , 0

( ), 0 x x x

f x xe

.

α)Να χαράξετε την γραφική παράσταση f C της f β)Με την βοήθεια της f C να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

48. Δίνεται η συνάρτηση

2

, 1

( ) 1, 1 1

1 , 1ln

x x

f x x x

x

x

.

α)Να χαράξετε την γραφική παράσταση f C της f β)Με την βοήθεια της

f C να βρείτε το σύνολο τιμών της f.


7/16


7

49.Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R έτσι ώστε:

25)(8)(6)()( 22 x g x f x g x f . Να βρεθούν οι συναρτήσεις f, g.

50.Αν για τις συναρτήσεις R R g f :, ισχύει η σχέση:

)](1)[(225]6))()[()(( x f x g x g f x g f .α) Να βρεθούν οι τύποι των f και g

β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

8)]([)]([)]([ 655 x f x g x f A

51.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να εξετάσετε αν οι

συναρτήσεις f και g είναι ίσες.Αν δεν είναι ίσες να βρείτε το ευρύτερουποσύνολο του R στο οποίο ισχύει f(x(=g(x):

α)

2

2

9( ) 6 9

x f x x x

και3

( ) 3

x g x x

β)

2

2

2 8( ) 3 2

x x f x x x

και4

( ) 1

x g x x

γ)2

2

4 3( )

1

x x f x

x

και

2

2

3( )

4 3

x g x

x x

δ)

2

2

2 | |( )

x x f x

x

και

| | 2( )

| |

x g x

x

52.Ομοίως :

α) ( ) 2 5 f x x x και 2( ) 3 10 g x x x

β) ( ) 4 4 f x x x και 2( ) 16 g x x

γ) 2( ) 9 f x x και ( ) | | 3 | | 3 g x x x

53.Ομοίως : α) 2( ) ln( 3 4) f x x x και ( ) ln( 1) ln(4 ) g x x x

β) 2( ) ln(9 ) ln( 3) f x x x και ( ) ln(3 ) g x x

γ) 4

( ) ln1

x f x

x

και

1( ) ln

4

x g x

x

δ) 2( ) ln( 2 1) f x x x και ( ) 2 ln( 1) g x x

54.Δίνονται οι συναρτήσεις , : f g R R για τις οποίες ισχύει :

2 2 2( ) ( ) 8 4 ( ) ( ) f x g x x x f x g x για κάθε χεR.

Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f,g είναι ίσες. 55. Αν για τις συναρτήσεις R R g f :, ισχύει η σχέση:

)](1)[(225]6))()[()(( x f x g x g f x g f .

α) Να βρεθούν οι τύποι των f και g

β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασ 8)]([)]([)]([ 655 x f x g x f A

56. Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινό πεδίο ορισμού A R και για κάθε

A x ισχύει: 222 4)])([()])([(]2))()[()((2 x x g f x g f x x g f x g f

τότε να δείξετε ότι f = g.


8/16


8

57. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) 1 f x x και2

2

4( )

3

x g x

x x

.Να ορίσετε τις

συναρτήσεις f+g ,f-g ,fg και f

g

.

58. Δίνονται οι συναρτήσεις2

2( )

2 3

x x f x

x x

και

3 2

3 2

9 9( )

x x x g x

x x

.

α)Να βρείτε τα πεδία ορισμού και να απλοποιήσετε τους τύπους των

συναρτήσεων.

β)Να ορίσετε τις συναρτήσεις f+g ,f-g ,fg και f

g .

59. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 3 f x x και ( ) 2 x g x e .

α)Να ορίσετε την συνάρτηση f

g

β)Να λύσετε την ανίσωση ( ) 0 f

x g

.

60.Δίνονται οι συναρτήσεις4 , 2

( )3 2, 2

x x f x

x x

και

2 , 1( )

1, 1

x x g x

x x

.

Να ορίσετε την f+g.

61. Δίνονται οι συναρτήσεις2

2

, 14( )

, 12

x x f x

x x x

και ( ) 2 g x x .

Να ορίσετε την f

g .

62. Να προσδιορίσετε την συνάρτηση gοf αν:

i) x x x f 2)( και x x g )(

ii) x x f 2)( και 21)( x x g

iii)2

1)(

x

x x f

και

1

2)(

x

x x g

iv)1

1)(

2

x

x x f και )1ln()( x x g

v) x x f )( και 21)( x x g

63.Να βρείτε την fog και την gof των παρακάτω συναρτήσεων:

α) 21)( x x f και x x g ln)(

β) 24)( x x f και x x g 1)(

γ)1

)(

x

x x f και 32)( x x g

δ) 16)( 2 x x f και 2)3(186)( x x x g

ε) 22025)( 2 x x x f και 2)( x x g


9/16


9

64.Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα (0,1]. Ποιο είναι τοπεδίο ορισμού των συναρτήσεων:

α) )( 2 x f β) )4( x f γ) )(ln x f

δ) )96( 2 x x f ε) )ln1( x f

65. Δίνονται οι συναρτήσεις2 , 0

( )2, 0

x x f x

x x

και

1 , 1( )

2 , 1

x x g x

x x

.

Να ορίσετε την συνάρτηση f g .

66. Να βρείτε τη συνάρτηση f τέτοια ώστε να ισχύει:

α) 15))(( 2 x x x fog αν 2)( x x g

β) 4))(( 2 x x x fog αν x x g 2)(

γ) 14))(( 2 x x x fog αν 23)( x x g

δ) 21))(( x x fog αν 2)( x x g ε) 12))(( x x x fog αν x x g )(

67.Να βρείτε τη συνάρτηση g τέτοια ώστε να ισχύει:

α) 1))(( 2 x x fog αν 1)( xe x f

β) 24))(( 2 x x x g f αν 12)( x x f

γ) x x g f ))(( αν 21)( x x f

δ) 3))(( 1 xe x g f αν 3)( x x f

ε) x x g f ln))(( αν x

x x f

2

2)(

68. Δίνονται οι συναρτήσεις 2( ) 4 f x x x , 2( ) 1 g x x και ( ) 2h x x

Να ορίσετε την συνάρτηση f g h .

69. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g:R R. Να αποδείξετε ότι:

α) Αν η f είναι άρτια και η g περιττή τότε οι gof, fog άρτιεςβ) Αν οι f, g περιττές τότε οι fog, gof είναι περιττές.

70. ’Εστω f :R R συνάρτηση με την ιδιότητα ( )( ) ( ) f f x xf x για κάθε

χεR.Να βρείτε το f(0).71. Δίνεται η συνάρτηση f :R R με την ιδιότητα ( )( ) 2 f f x x για κάθε

χεR. Να αποδειχθεί ότι :

α)f(1)=1 και f(2-x)=2-f(x) ,

β)f(0)+f(2)=072. Δίνεται συνάρτηση : f R R για την οποία ισχύει ( )( ) 3 2 f f x x Να βρείτε f(1) .73. Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις:

α) ( ) 5 6 2 f x x β) 1

( ) 32 1

f x x

γ)

3

( )

x

f x e x

δ)2

( ) ln( 2) 3 f x x x


10/16


10

ε) 2

( ) ln f x x x

.

74. Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 4 3 f x x x .

α)Να αποδείξετε ότι2

( ) ( 2) 1 f x x .β)Να μελετήσετε την f σε καθένα από τα διαστήματα (- ,-2] και [-2,+ ).75. Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις:

α)3

1, 0

( )0

1 2 x

x x f x x

x x e

β)2

3 , 1( )

3 1, 1

x x f x

x x

.

76. Έστω δυο συναρτήσεις f, g: R R τότε να δείξετε ότι:α) αν η f γνησίως αύξουσα και g γνησίως αύξουσα τότε gof γνησίως

αύξουσα

β) αν f γνησίως αύξουσα και g γνησίως φθίνουσα τότε gof γνησίωςφθίνουσα

γ) αν f γνησίως φθίνουσα και g γνησίως αύξουσα τότε gof γνησίως

φθίνουσα

δ) αν f γνησίως φθίνουσα και g γνησίως φθίνουσα τότε gof γνησίως

αύξουσα

77. a)Αν f, g συναρτήσεις γνησίως αύξουσες (ή γνησίως φθίνουσες) στοδιάστημα Δ τότε να δείξετε ότι και η f + g είναι γνησίως αύξουσα (ή γνησίως

φθίνουσα) στο Δ.

β) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης h με τύπο3.20042004)( x xh x

γ)Να λύσετε την ανίσωση: )32())3(3( 3 xh x x xh

78. Δίνεται η συνάρτηση 3)( 35 x x x x f .

α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

β) Να λυθεί η εξίσωση: 335 x x x

γ) Να λυθεί η ανίσωση: 335 x x x eee

79. Δίνεται η συνάρτηση xa x f x )( με α > 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσαβ) Να λυθεί η 224 2

2

aa 80. Δίνεται η συνάρτηση 2( ) ln f x x x .

α)Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. β)Να βρείτε για ποια χ η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τηνευθεία y=1.

γ)Να λύσετε την ανίσωση : 2 2 2 | | 3

(3 | | 1) (2 | | 3) ln3 | | 1

x x x

x

.


11/16


11

81. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 52 3 3 x x e β) 2

1 ln( 1) x x

γ) 3 1 ln( 2) xe x .

82. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) 1 1 ln xe x β) 3

25 ln 3 x x

x γ) 22 ln( 2) 8 x x .

83. Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 8 2 x f x e x .

α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία.

β)Να λύσετε την ανίσωση f(x)


12/16


12

ζ) x

x x f

1

)( η) x

x

e

e x f

1

)( θ) )2ln()( x x f

ι) x x x f 2)(

101. Ομοίως:

α) 5 3( ) 2 7 3 5 f x x x x β) ( ) 3 2 ln 1 x f x e x

γ) 5

( ) 3ln f x x x

.

102. Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 3 4 f x x x .

α)Να βρείτε τα σημεία τομής της f με τον άξονα χ’χ.

β)Να εξετάσετε αν ηf είναι 1-1.103. Να εξετάσετε αν οι επόμενες συναρτηήσεις είναι 1-1 :

α) 22 3, 0

( )2, 0

x x f x

x x

β)1 , 3

( ), 31 3

x x f x

x x

104. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις :

α) 71 xe x β) ln( 1) 2 x x γ) 2 8 1 xe x .

105. Δίνεται η συνάρτηση 3( ) f x x x .

α)Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

β)Να λύσετε την εξίσωση : 3 3( ) ( 1) x xe x e x .

106. Δίνεται συνάρτηση f με τύπο: 20052003)( x x x f .

α) Να βρεθεί το f(1)β) Να ελέγξετε αν η συνάρτηση f είναι 1-1 στο R

γ) Να λύσετε την 220052003 x x 107. Δίνεται συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει ( )( ) f f x x για

κάθε χεR.

Να αποδείξετε ότι :

α)η f είναι περιττή και β)η f είναι 1-1.108. Δίνεται συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει

3( )( ) ( ) 3 2 f f x f x x για κάθε χεR.

Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.109. Δίνεται συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει:

3( ( )) ( ) 2 3 f f x f x x για κάθε χε R.

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1

β)Να λύσετε την εξίσωση : 3(2 ) (4 ) 0 f x x f x .

110. Δίνεται η συνάρτηση : f R R για την οποία ισχύει :

( )( ) ( 2) ( ) f f x x f x για κάθε χε R.

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1β)Να βρείτε την τιμή f(3).

γ)Να λύσετε την εξίσωση :


13/16


13

( 1 (| | 1)) ( 2) 0 f x f x f x .

111. Αν η συνάρτηση R R f : είναι 1-1 τότε να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση

1)()(2)( 3 x f x f xh είναι συνάρτηση 1-1.

112.

Αν για τη συνάρτηση R R f : ισχύει ότι: x x f x fof )())(( τότεδείξτε ότι η f είναι 1-1.113. Αν για τη συνάρτηση R R f : ισχύει f(f(x))=x2-x+1 για κάθε χεR να

δείξετε ότι:

α)f(1)=1 β)η συνάρτηση g(x)= x2-xf(x)+1,xεR δεν είναι συνάρτηση 1-1.114.

Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση g : R →R .

α) Να δείξετε ότι η f(x) = g(x101) – g(x100) – 2004 δεν είναι «1-1».

β) Να λύσετε στο (1,+∞) την ανίσωση : (x2 -100x)(f(x) + 2004) > 0115.

Να βρείτε,εφόσον ορίζονται,τις αντίστροφες των παρακάτω

συναρτήσεων:

α)3 2

( )1

x f x

x

β) ( ) 3 2 f x x γ) ( ) 1 ln( 3) f x x δ)

1( )

1

x

x

e f x

e

116. Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης: ln 2, 0 1

( ), 11

x x f x

x x

.

117. Δίνεται η συνάρτηση :[2, ) f R με : 2( ) 4 5 f x x x


β)Να βρείτε την 1 f .

118. Δίνοντια οι συναρτήσεις f(x)=4x+2 και g(x)=2 1 f (x)+1.

Nα βρείτε τη συνάρτηση 1( ) g x .

119. Δίνεται η συνάρτηση ( )1

x

x

e f x

e

,με αεR.Η γραφική παράσταση της

f διέρχεται απο΄το σημείο Μ(

1

ln3, 2

).α)Να βρείτε τον αριθμό α . β) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 .

γ) Να βρείτε την 1 f .

δ)Να αποδείξετε ότι η 1 f είναι περιττή.

120.

Έστω 2)( x x f και 4)( 2 x x g . Να βρεθεί η gof και η )()( 1 x gof

121. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln ln( 2) f x x x .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 .

β) Να βρείτε την1

f

.


14/16


14

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της 1 f με την

ευθεία y=3.

122. Δίνεται η συνάρτηση3

( )1

x a f x

x

,όπου αεR-{3}.

α)Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη για κάθε 3a

β)Αν ισχύει ( )( 2) 1 f f ,τότε να βρείτε :

ι)τον αριθμό α και ιι) τη συνάρτηση 1 f .

123. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) 1 x f x e και1

( )1

x

x

e g x

e

.

α)Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 και να βρείτε την 1 f .β)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι περιττή.

γ)Να βρείτε την συνάρτηση

1

g f

.

124. Δίνεται συνάρτηση f :R R,η οποία έχει σ ύνολο τιμών το R καιικανοποιεί τη σχέση :

3 ( ) 2 ( ) 0 f x f x x για κάθε χεR.

α)Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή τωναξόνων.

β)Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη.

γ) Να βρείτε την 1 f .

125. Δίνεται συνάρτηση f :R R,η οποία έχει σύνολο τιμών το R και

ικανοποιεί τη σχέση : ( )( ) 3 ( ) 4 f f x f x x για κάθε χεR.


β)Να βρείτε τον τύπο της 1 f (x) συναρτήσει της f(x).

126. Δίνεται η συνάρτηση 3( ) 2 f x x x .

α)Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη.

β)Να βρείτε το 1( 3) f .

γ)Να λύσετε την εξίσωση : 1 2

( ( 5) 15) 2 f f x

127. Θεωρούμε τη συνάρτηση f ορισμένη στο R με σύνολο τιμών το R για την

οποία ισχύει: 4)()()( 35 x x f x f x f . Να δειχθεί ότι είναι 1-1 και να

βρεθεί η 1 f

128. Δίνεται συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει f(2)=10 και: ( )( ) 3 5 f f x x για κάθε χεR.


β)Να βρείτε το 1(2) f .

γ)Να λύσετε την εξίσωση : 1( (| | 2) 5) 2 f f x .


15/16


15

129. Δίνεται η συνάρτηση 1( ) x f x e x .


β)Να λύσετε την ανίσωση 1(1 ) f x x .

130.

Δίνεται η γνησίως μονότονη R R f : της οποίας η γραφική παράστασηδιέρχεται από τα Α(3,2) και Β(5,9).

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

β) Να λυθεί η 9))(2( 21 x x f f

γ) Να λυθεί η ανίσωση: 22)8( 21 x x f f 131. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x f x ae όπου αεR ,της οποίας η γραφική

παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(2ln2,2ln3).α)Να βρείτε τον αριθμό α

β)Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη. γ)Να ορίσετε την 1 f

δ) Να λύσετε την ανίσωση 1( ) (ln 7) f x f .

132. Δίνεται η συνάρτηση f :R R ,η οποία έχει σύνολο τιμών το R καιικανοποιεί την σχέση :

32 ( ) ( ) 16 f x f x x για κάθε χεR.


β)Να ορίσετε την 1 f

γ)Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας

y=x.133. ’Εστω συνάρτηση f :R R , η οποία έχει σύνολο τιμών το R .Αν η

f f είναι αντιστρέψιμη ,να αποδείξετε ότι και η f είναι αντιστρέψιμη.

134. Δίνεται η συνάρτηση f :R R ,γνησίως μονότονη.Να αποδείξετε ότικαι η 1 f έχει το ίδιο είδος μονοτονίας. 135. Δίνονται οι συναρτήσεις , : f g R R ,με f(R)=R,για τις οποιίες ισχύει:

( )( ) ( )( ) 2 3 f f x g f x x για κάθε χεR.


β)Να γράψετε τον τύπο της1

( ) f x

συναρτήσει των f,g.136. Δίνεται η συνάρτηση φ(x) = x101 + x99 + 1

α) Να δείξετε ότι η φ είναι αντιστρέψιμη

β) Να λύσετε την ανίσωση φ(φ(x)) < -1γ) Αν φ-1(φ-1(x)-1) = -1, να υπολογίσετε το x .

137. Δίνεται η συνάρτηση :

1( )

1

x

x

e f x

e

, χεR.

Nα αποδείξετε ότι :

α)η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.


16/16


16

β)η εξίσωση 1( ) 0 f x έχει μοναδική ρίζα το μηδέν.

138. ’Εστω , : f g R R συναρτήσεις,ώστε η f g να είναι 1-1.

α)Να αποδείξετε ότι η g είναι 1-1.

β)Αν για κάθε χ>0 ισχύει: g(f(lnx)+1)=g(x+2) ,να αποδείξετε ότι ( ) 1 x f x e για κάθε χεR.139. Δίνεται συνάρτηση : f R R ,για την οποία ισχύει:

3( ) 2 ( ) 12 x f x f x e για κάθε χεR.

α)Να αποδείξετε ότι f(x)>0 για κάθε χεR.

β)Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα y’ y.γ)Να δείξετε ότι η f είναι 1-1

δ)Να λύσετε την εξίσωση :2ln2

2

1(| | 3) ln f x e e .

KEΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Documents

Transcript of KEΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ