ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Οι τύποι που δίνουν τις λύσεις των βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι:

i) ημx = α ⇔ ημx = ημθ ⇔ η

2

2 ( )

x κπ θ

x κπ π θ

= +⎧⎪⎨⎪ = + −⎩

, κ∈ .

ii) συνx = α ⇔ συνx = συνθ ⇔ η

2

2

x κπ θ

x κπ θ

= +⎧⎪⎨⎪ = −⎩

, κ∈ .

iii) εφx = α ⇔ εφx = εφθ ⇔ x = κπ + θ , κ∈ . iv) σφx = α ⇔ σφx = σφθ ⇔ x = κπ + θ , κ∈ .

Βασική εφαρμογή 1 :

(i) ημx = 0 ⇔ ημx = ημ0 ⇔ ή

2 0

2 ( 0)

x κπ

x κπ π

= +⎧⎪⎨⎪ = + −⎩

⇔ ή

2

2

x κπ

x κπ+π

=⎧⎪⎨⎪ =⎩

⇔ ή

2

(2 +1)

x κπ

x κ π

=⎧⎪⎨⎪ =⎩

, κ∈

⇔ x = λπ , λ∈ .

(ii) συνx = 0 ⇔ συνx = συν 2π ⇔

2

2

ή

2

2

π

π

x κπ

x κπ

⎧ = +⎪⎪⎨⎪

= −⎪⎩

, κ∈ ⇔ x = λπ + 2π , λ∈ .

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στις εξισώσεις ημx = 0 και συνx = 0 οι δύο οικογένειες λύσεων μπορούν να

συμπτυχθούν σε μία. Βασική εφαρμογή 2:

(i) ημx = 1 ⇔ ημx = ημ 2π ⇔

2

2

ή

2

2 ( )

π

π

x κπ+

x κπ π

⎧ =⎪⎪⎨⎪

= +⎪⎩−

⇔ 2

2

ή

2

2

π

π

x κπ+

x κπ

⎧ =⎪⎪⎨⎪

= +⎪⎩

⇔ x = 2κπ + 2π , κ∈ .

(ii) συνx = 1 ⇔ συνx = συν0 ⇔ ή

2 0

2 0

x= kπ

x κπ=

+⎧⎪⎨⎪ = −⎩

⇔ x = 2κπ , κ∈Ζ .

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στις εξισώσεις ημx = 1 και συνx = 1 οι δύο οικογένειες λύσεων συμπίπτουν.

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥΚΕΦ 1ο : TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

9ο Γεν. Λύκειο Περιστερίου 1 Γ. Καρτελιάς

1.2

Βασική εφαρμογή 3 :

(i) ημx = –1 ⇔ ημx = ημ(– 2π ) ⇔

2

2

ή

2

2 ( )

π

π

x κπ

x κπ π

⎧ = −⎪⎪⎨⎪

= + +⎪⎩

⇔ 2

32

ή

2

2

π

π

x κπ

x κπ

⎧ = −⎪⎪⎨⎪

= +⎪⎩

⇔ x = 2κπ – 2π , κ∈ .

(ii) συνx = –1 ⇔ συνx = συνπ ⇔ ή

2

2

x κπ π

x κπ π

= +⎧⎪⎨⎪ = −⎩

⇔ x = 2κπ + π , κ∈ .

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στις εξισώσεις ημx = –1 και συνx = –1 οι δύο οικογένειες λύσεων

συμπίπτουν.

____ΑΣΚΗΣΕΙΣ____ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις :

α) 2ημx = 3 β) 2 ⋅συνx = 1 γ) εφx = 1 δ) ημ2x = ημ(x-π2

) ε) εφ3x=εφx

2. Να λύσετε τις εξισώσεις :

α) ημx = συνx β) ημ2x = -ημ(x+π3

) γ) συν(x-π6

) = -συνx

δ) ημ2x = -συνx ε) εφ3x = -σφ4x

3. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) εφ22x - σφ22x = 0 β) συν4x - ημ42x = 0 γ) εφx = 3σφx δ) ημx = εφx ε) εφ2x - 2συν2x = 2ημ2x - 1 στ) 2ημx + εφx = 0

ζ) ημ23x + συν2(x+π3

) = 1

η) 1xx2=

σφεφ

θ) εφx⋅εφ3x = 1 ι) 4συν2x - 2( 3 2+ ) συνx + 6 = 0 ιa) εφ2x - ( 3 1+ ) εφx + 3 = 0

ιb) 2ημx = 5 + x

3ηµ

ιc) 1x1x1x1x1=

συν−−συν+συν−+συν+4. Να λύσετε τις εξισώσεις :

α) 2ημ(2x−π3

) = 1 στο διάστημα (π,2π)

β) ημx = 3 ⋅συνx στο διάστημα [0,2π]

γ) εφx + εφ2x = 0 στο διάστημα (0,π2

)

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ 1ο : TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

1.2 Τριγωνομετρικές εξισώσεις9ο Γεν. Λύκειο Περιστερίου 2

5. Να λυθεί η εξίσωση: ημ2x.συνx = 2 + συνx – 2ημ2x.

8. Να λυθεί η εξίσωση: 2συν2x + 3ημx = 0.

[

11. Να λυθεί η εξίσωση: (ημx+1)2 + (συνx–1)2 = 3.

14. Να λυθεί η εξίσωση: ημ4x – συν2x – 1 = 0.

π2

7. Να λύσετε την εξίσωση: ημx + συνx= 1

ημx .

π4]

.

1ν

17. Να λύσετε την εξίσωση 2συν3x – ημ2x + 2συνx + 2 = 0, στο διάστημα (–2π,π].

π3

6. Να λυθεί η εξίσωση: 1συν

xx

+ημ + συν1

xx+ημ

= 4.

4]

18. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = α.ημ ( )2

3x + β , x∈ , α > 0.

Η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α( 32π ,3) και η μέγιστη τιμή f είναι 5.

Να βρείτε: i) Τα α, β. ii) Την περίοδο της συνάρτησης. iii) Τις τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y = 4.

9. Να λυθεί η εξίσωση ημ2x + συνx = 0.

10. Να λυθεί η εξίσωση 3 ⋅ εφ 23x + 1 = 0, στο διάστημα (0,3π).

π4

12. Να λυθεί η εξίσωση: εφ2x = 4συν2x – 1.

13. Να λύσετε την εξίσωση σφ2x – 3 = 0 , στο διάστημα (–π,2π).

15 Να λύσετε την εξίσωση 2

1ημ x

= 2σφx , στο διάστημα [–π, π].

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 1.2 Τριγωνομετρικές εξισώσεις

9ο Γεν. Λύκειο Περιστερίου 3 Γ. Καρτελιάς

16. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις στο [0,π]

2 ημx συνx 2 συνx

3 ημθ 3 συνθ 0