420-Παράγρ. 1.1

26
1.1 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 17 - 18 ΟΜΑΔΑΣ 1. Αν f(x) = χ 3 – 3χ . να υπολογίσετε τις τιμές f(1), f(2) , f(-1) Λύση f(1) = 1 3 – 3 ∙ 1 = 1–3 = -2 f(2) = 2 3 – 3 ∙ 2 = 8 – 6 = 2 f(-1) = (–1) 3 – 3 (–1) = –1 + 3 = 2 2. Αν φ(t) = t 2 – 5t + 6, να υπολογίσετε τις τιμές φ(0) και φ(1). Για ποιες τιμές του t είναι φ(t) = 0; Λύση φ(0) = 0 2 – 5 ∙ 0 + 6 = 0 – 0 + 6 = 6 φ(1) = 1 2 – 5 ∙ 1 + 6 = 1 – 5 + 6 = 2 φ(t) = 0 t 2 – 5t + 6 = 0 Δ = – 4. 1 6 = 25 – 24 = 1, t = = = = 3 ή 2 3. Αν h(θ) = συνθ – ημθ , να υπολογίσετε τις τιμές h(0) και . Για ποιες τιμές της γωνίας θ [0 , 2π] είναι h(θ )= 0; Λύση h(0) = συν0 – ημ0 = 1– 0 = 1 = 0 –1 = –1 και επειδή θ [0 , 2π], δεκτές τιμές είναι οι θ = 4. Αν f(x) = lnχ 2 , να υπολογίσετε τις τιμές f(1) και f(e) Λύση 1∙1=1 1

Transcript of 420-Παράγρ. 1.1

Page 1: 420-Παράγρ.  1.1

1.1Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 17 - 18A΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Αν f(x) = χ3 – 3χ . να υπολογίσετε τις τιμές f(1), f(2) , f(-1)Λύση

f(1) = 13 – 3 ∙ 1 = 1–3 = -2

f(2) = 23 – 3 ∙ 2 = 8 – 6 = 2

f(-1) = (–1)3– 3 (–1) = –1 + 3 = 2

2. Αν φ(t) = t2 – 5t + 6, να υπολογίσετε τις τιμές φ(0) και φ(1). Για ποιες τιμές του t είναι φ(t) = 0;Λύση

φ(0) = 02 – 5 ∙ 0 + 6 = 0 – 0 + 6 = 6

φ(1) = 12 – 5 ∙ 1 + 6 = 1 – 5 + 6 = 2

φ(t) = 0 t2 – 5t + 6 = 0

Δ = – 4. 1 6 = 25 – 24 = 1, t = = = = 3 ή 2

3. Αν h(θ) = συνθ – ημθ , να υπολογίσετε τις τιμές h(0) και . Για ποιες τιμές της

γωνίας θ [0 , 2π] είναι h(θ )= 0;Λύση

h(0) = συν0 – ημ0 = 1– 0 = 1

= 0 –1 = –1

και επειδή θ [0 , 2π], δεκτές τιμές είναι οι θ =

4. Αν f(x) = lnχ2 , να υπολογίσετε τις τιμές f(1) και f(e)

Λύση

1∙1=1

5.

Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ;

Λύση Πρέπει να είναι (χ –1)(χ – 2) ≠ 0

άρα το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης είναι Α = –{1 , 2}

6. Για ποιες τιμές του χ είναι αρνητική η συνάρτηση f(χ) = (χ – 3)(χ – 7) ;

1

Page 2: 420-Παράγρ.  1.1

Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ;

Λύση

f(χ) = (χ – 3)(χ – 7) f(χ) = χ – 10χ + 21

Πρόσημο του τριωνύμου f(χ)

x 3 7 +f(x) + 0 – 0 +

Άρα f(χ) < 0 όταν 3 < χ < 7Για το πεδίο ορισμού της συνάρτησης πρέπει (χ – 3)(χ – 7) 0 f(χ) 0 χ 3 .η χ 7.

Άρα =

7. Αν f(χ) = 3χ2 – 2χ – 1 και g(χ) = 2χ – 1 , να βρείτε τις συναρτήσεις

Λύση

Είναι φανερό ότι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f και g είναι

Af = R και Αg = R

Οπότε για κάθε χ R ορίζεται η συνάρτηση

f(χ) + g(χ) = (3χ2 – 2χ –1) + (2χ – 1)

= 3χ2 – 2χ – 1 + 2χ – 1 = 3χ2 – 2

Επίσης για κάθε χ R ορίζεται η συνάρτηση

f(χ)∙g(χ) = (3χ2 – 2χ – 1)(2χ – 1)

= 6χ3 – 3χ2 – 4χ2 + 2χ – 2χ + 1

= 6χ3 – 7χ2 + 1

Για να ορίζεται η συνάρτηση , θα πρέπει να είναι

g(χ) ≠ 0 2χ – 1 ≠ 0 2χ ≠ 1 χ

Οπότε

8. Να υπολογίσετε τα όρια

Λύση

Έχουμε ότι

ι)

ιι)

ιιι)

ιν)

9.

2

Page 3: 420-Παράγρ.  1.1

Να υπολογίσετε τα όρια

Λύση

i)

ii)

iii)

iv) = = 4 + 4 = 8

v)

vi)

Αναλύσουμε τον αριθμητή σε γινόμενο : 2x2 – 3x – 2 = (x - 2)(2x + 1)

Οπότε =

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ1.

Αν , να αποδείξετε ότι f(x) + f(–x) = 1

Λύση

= = = 1

2. Έχουμε περιφράξει με συρματόπλεγμα μήκους 100 m μία ορθογώνια περιοχή από τις τρεις πλευρές

της. Η τέταρτη πλευρά είναι τοίχος Αν το μήκος του τοίχου που θα χρησιμοποιηθεί είναι χ , να

εκφράσετε το εμβαδόν της περιοχής σαν συνάρτηση του χ .

Λύση

3

Page 4: 420-Παράγρ.  1.1

θ

Δ

Β Γ

Α

Β

θ

Δ

Γ

Α

ψ ψ

χΗ περιοχή που έχουμε περιφράξει έχει μήκος χ + 2ψ .

Αφού το σύρμα που χρησιμοποιήσαμε ήταν 100 m, θα έχουμε χ + 2ψ = 100 (1) . Το εμβαδόν της

ορθογώνιας περιοχής είναι Ε = χψ .

Όμως από την (1) έχουμε ότι

Άρα

3. Ένα κυλινδρικό φλυτζάνι , ανοικτό προς τα πάνω , κατασκευάζεται έτσι ώστε το ύψους του και το

μήκος της βάσης του να έχουν άθροισμα 20 cm . Αν το φλυτζάνι έχει ύψος h, να εκφράσετε τον όγκο

του φλυτζανιού ως συνάρτηση του h . Αν η ακτίνα της βάσης είναι r να εκφράσετε το εμβαδόν της

επιφάνειας ως συνάρτηση του r

Λύση

Το μήκος της βάσης του κυλίνδρου είναι 2πr .

Επομένως h + 2πr = 20 (1) (2)

Ο όγκος του κυλίνδρου είναι V = h

h με 0 < h < 20

Το εμβαδόν της ζητούμενης επιφάνειας είναι

Εζητουμ = Επαραπλ + Εβαση .

Αλλά Επαραπ=2πrh και Εβαση=πr2 .

Άρα Εζητουμ = 2πrh + πr2 . (3)

(1) h = 20 – 2πr

(3) Ε(r) = 2πr(20 – 2πr) + πr2

Όμως από την (1) προκύπτει ότι 0 < 2πr < 20 άρα . Επομένως

τελικά έχουμε Ε(r) = 2πr(20 – 2πr) + πr2 με 0 < r < .

4.

Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = ΑΓ = 10m. Αν , να εκφράσετε το ύψος υ του

τριγώνου από την κορυφή Β καθώς και το εμβαδόν του τριγώνου ως συνάρτηση του θ. Λύση

Όταν θ < 90ο, από το τρίγωνο ΑΒΔ

έχουμε

(ΑΒ) = (ΒΔ)ημθ = 10ημθ

Όταν θ > 90ο, από το τρίγωνο ΑΒΔ

έχουμε .

Και επειδή ημ(180ο – θ) = ημθ,

θα έχουμε ημθ =

(ΑΒ) = (ΒΔ)ημθ = 10ημθ

Όταν θ = 90ο, τότε το ύψος ΒΔ = ΑΒ

4

Page 5: 420-Παράγρ.  1.1

Οπότε (ΒΔ) = (ΑΒ) = 10 = 10. 1 = 10. ημ90ο = 10ημθ

Σε κάθε λοιπόν περίπτωση είναι υ(θ) = 10ημθ με 00 < θ < 1800

Για το εμβαδόν του τριγώνου θα έχουμε

Ε = , δηλαδή

Ε(θ) = 50ημθ, 00 < θ < 1800 .

5. Να δείξετε ότι i)

Λύση i) =

= = .

ii)

=

=

= = =

1.2Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 26 – 27

A΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

i) f(χ) = 3χ + 1 στο χ = 3

ii) g(χ) = χ2 + 5 στο χ = –2

iii) σ(χ) = χ2 + 2χ στο χ = 4

Λύση i) = =

= = = 3

Άρα f ΄(3)=3

ii)

=

5

Page 6: 420-Παράγρ.  1.1

=

=

=

Άρα g΄(–2)=-4

iii)

=

=

= = = 0 + 10 = 10

Άρα σ΄(4) = 10

2. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης στο t =1

Λύση

=

=

=

άρα f ΄(1) =

3. i) Το μήκος L ενός κύκλου ακτίνας r είναι L = 2πr . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του L ως προς r όταν r = 3 .ii) Το εμβαδόν Ε ενός κύκλου ακτίνας r είναι Ε = πr2 . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού ως προς r όταν r = 2 .

Λύση

i)

=

= = (2π) = 2π.

6

Page 7: 420-Παράγρ.  1.1

Άρα L΄(3) = 2π, δηλαδή ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής είναι L΄(3) = 2π

ii)

=

=

=

= = 4π + π. 0 = 4π

Άρα ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής είναι Ε΄(2) = 4π4. i) Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε ενός τετραγώνου πλευράς χ, ως προς χ , όταν χ = 5ii) Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του όγκου V ενός κύβου πλευράς χ, ως προς χ, όταν χ = 10 .Λύση

i) Είναι Ε(χ) = χ2

=

= = .

Άρα ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού, όταν χ = 5, είναι Ε΄(5) = 10

ii)Είναι V(χ) = χ3

=

= .

= = 300 + 30. 0 + = 300

Άρα ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής είναι V΄(10) = 300 .

5. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στην γραφική παράσταση της συνάρτησης i) f(x) = x2 στο Α(3, f(3) ) ii) f(x) = στο Α(4 , f(4))

Λύση

Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο ( , f( )) είναι

y – f( ) = f΄( )(x – )

i)

7

Page 8: 420-Παράγρ.  1.1

=

= = = 6 + 0 = 6

Άρα f΄( ) = f΄(3) = 6, και f( ) = f(3) = = 9οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι

y – 9 = 6(x –3) y – 9 = 6x – 18 y = 6x – 9

ii)Είναι f( ) = f(4) = 2 = 2 ∙ 2 = 4

= =

= = = =

Άρα f΄(4) = επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης είναι

y – 4 =

1.3Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 35 – 38

A΄ ΟΜΑΔΑΣ

(Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων στις ασκήσεις 1 – 18)

1. i) f(x) = –5 ii) f(x) = x4 iii) f(x) = x9

Λύση

i) f ΄(χ) = (–5)΄ = 0 ii) f ΄(χ) = (χ4)΄ = 4χ3 iii) f ΄(χ) = (χ9)΄ = 9χ8

2..i) f(χ) = ii) f(χ) = χ -3 iii) f(χ) = χ -5

Λύση

i) f ΄(x) =

ii) f΄(χ) = (χ -3)΄ = –3χ -3 – 1 = –3χ - 4

iii) f ΄(χ) = (χ -5)΄ = –5χ -5 - 1= –5 χ - 6

3.

8

Page 9: 420-Παράγρ.  1.1

i)

Λύση i) f ΄(χ) =

ii)

4. i) , χ>0

Λύση

i)

ii)

iii)

5.i) f(x) = 4x3 ii) f(x) = 6x -5 iii) f

Λύση

i) (4χ3)΄= 12x2

ii) (6χ -5)΄ = –30x - 6

iii)

6.i) , χ>0

Λύση

i)

ii)

7.i) f(x) = x4 + 3x2 ii) f

Λύση

i) f΄(x) = (x4 + 3x2)΄ = (x4)΄ + (3x2)΄ = 4x3 + 6x

9

Page 10: 420-Παράγρ.  1.1

ii) f΄(x) =

= (x2)΄+ (5)΄ + (3x -1)΄

= 2x + 0 –3x -2 = 2x –3x -2

iii) f΄(x) =

=

=

= = 1 + 0 + χ-2 = 1 + χ -2 .

8.i) f(x) = 8x3 – ημx + 5 ii) f(x) = 6συνx – 8(x2 + x)

Λύση

i) f΄(x) = (8x3 – ημx + 5)΄ = (8x3)΄ – (ημx)΄ + (5)΄ = 24x2 – συνx

ii) f΄(x) = (6συνx – 8(x2+x))΄ = (6συνx – 8x2 – 8x)΄

= (6συνx)΄ – (8x2)΄ – (8x)΄ = – 6ημx –16x – 8

9.i) f(χ) = (χ3 + 1)(χ4 + 1) ii) f(χ) = ημχ(1 – συνχ)

Λύση

i) Είναι f(x) = (χ3 + 1)(χ4 + 1) = χ7 + χ4 + χ3 + 1

Άρα f΄(χ) = (χ7 + χ4 + χ3 + 1)΄ = 7χ6 + 4χ3 + 3χ2

ii) Είναι f(χ) = ημχ(1 – συνχ) = ημχ – ημχσυνχ

άρα f ΄(χ) = (ημχ – ημχσυνχ)΄= (ημχ)΄ – (ημχσυνχ)΄

= συνχ – [(ημχ)΄συνχ + (συνχ)΄ημχ]

= συνχ – (συνχσυνχ – ημχημχ)

= συνχ – (συν2χ – ημ2χ)

= συνχ – συν2χ

10.i) f(χ) = χσυνχ + 3(χ + 1)(χ – 1) ii) f(χ) = 4χ2ημχ – 3χ2συνχ

Λύση

10

Page 11: 420-Παράγρ.  1.1

i)

Είναι f(χ) = χσυνχ + 3(χ + 1)(χ – 1) = χσυνχ + 3χ2 – 3

άρα f΄(χ) = (χσυνχ – 3χ2 – 3)΄ = (χσυνχ)΄ – (3χ2)΄ – (3)΄

= (χ)΄συνχ + χ(συνχ)΄ – 6χ

= συνχ – χημχ – 6χ.

ii) f΄(χ) = (4χ2ημχ – 3χ2συνχ)΄ = (4χ2ημχ)΄ – (3χ2συνχ)΄

= (4χ2)΄ημχ + 4χ2(ημχ)΄ – (3χ2)΄συνχ – 3χ2(συνχ)΄

= 8χημχ + 4χ2συνχ – 6χσυνχ + 3χ2ημχ

11.

Λύση

i)

ii)

iii)

=

=

=

12.

ii)

Λύση

i)

ii)

11

Page 12: 420-Παράγρ.  1.1

13.i) f(x) = (x – 1)5 ii) f(x) = (2x+1)5 iii) f(x) = (2x2 –3x)5

Λύση

i) f ΄(x) = ((x – 1)5)΄ = 5(x – 1)4(x – 1)΄ = 5(x – 1)4

ii) f ΄(x) = [(2x + 1)5]΄ = 5(2x + 1)4(2x + 1)΄ = 5(2x + 1)4 2 = 10(2x + 1)4

iii) f ΄(x) = [(2x2 – 3x)5]΄ = 5(2x2 – 3x)4(2x2 – 3x)΄ = 5(2x2 – 3x)4(4x – 3)

14.i) f(χ) = ημ3χ ii) f(χ) = ημχ3 iii) f(χ) = χημ4χ iv) f(χ)=εφ3χ

Λύση

i) f ΄(χ) = (ημ3χ)΄ = 3ημ2χ(ημχ)΄ = 3ημ2χσυνχ ii) f ΄(χ) = (ημχ3)΄ = συνχ3(χ3)΄ = 3χ2συνχ3

iii) f΄(χ) = (χημ4χ)΄ = χ΄ημ4χ + χ(ημ4χ) ΄= ημ4χ + χσυν4χ∙(4χ)΄= ημ4χ + 4χσυν4χ

iv) f ΄(χ) = (εφ3χ)΄=

15.i)

Λύση

i)

ii)

16.

i) f(χ) = e3χ

Λύση

i)

ii) (–2x) = –2x

iii)

12

Page 13: 420-Παράγρ.  1.1

iv)

=

=

17.

i)

iii)

Λύση

i)

ii)

iii)

iv)

18.

Λύση

i)

f ΄(x) =

ii)

19. i) Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της

συνάρτησης , στο σημείο Α(3 , f(3))

ii) Ομοίως της καμπύλης της συνάρτησης στο σημείο

13

Page 14: 420-Παράγρ.  1.1

x

y

B(x, 0)O

A(0, 3)

της Α(

Λύση

i) Γνωρίζουμε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο σημείο = 3 είναι f ΄(3) .

Όμως

=

Άρα f ΄(3) =

ii)

f

=

=

Άρα

20.Το βάρος σε γραμμάρια ενός θηλυκού ποντικιού ύστερα από t εβδομάδες δίνεται

από τον τύπο Β(t)= , όπου t ≤8 . Να βρείτε τον ρυθμό ανάπτυξης του

ποντικιού i) ύστερα από t εβδομάδες και ii) ύστερα από 1 , 2 και 8 εβδομάδες Λύση i)

ii)

=

21.Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της απόστασης των σημείων Α(0, 3) και Β( χ, 0) ως προς χ, όταν χ = 10

Λύση

Είναι (ΑΒ) =

14

Page 15: 420-Παράγρ.  1.1

Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) =

Οπότε f ΄(x) =

= 2χ =

Επομένως ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης όταν χ = 10 είναι f΄(10)=

22.Να βρείτε την τιμή του α ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f (χ) = αχ(1 – χ) στο σημείο Ο(0, f(0)) , να σχηματίζει με τον

άξονα χ΄χ γωνία 60ο .

Λύση

Δίνεται f (χ) = αχ(1 – χ) f (χ) = αχ – αχ2

Γνωρίζουμε ότι αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη στην

γραφική παράσταση στο σημείο ( , f ( )), με τον άξονα χ΄χ , τότε

ισχύει εφω = f ΄( )

Άρα θα πρέπει εφ60ο = f ΄(0)

Όμως f ΄(χ) = (αχ – αχ2)΄= α – 2αχ, οπότε f ΄(0) = α.

Άρα θα πρέπει εφ60ο = f ΄(0) α .

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1.

Σε ποια σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς την ευθεία ψ = 3χ + 5 ;

Λύση

Αν (χ , f(χ)) είναι το σημείο επαφής, για να είναι η εφαπτομένη σ’ αυτό

παράλληλη στην ευθεία ψ = 3χ + 5, θα πρέπει f ΄(χ) =3.

Όμως

=

Άρα πρέπει

χ + 1 = 1 ή χ + 1 = -1

15

Page 16: 420-Παράγρ.  1.1

χ = 0 ή χ = -2

Οπότε τα ζητούμενα σημεία είναι τα Α(0 , f(0)) και Β(-2 , f(-2)) .

Α(0, 0) και Β(-2, 6)

2.Να βρείτε τα σημεία της καμπύλης της συνάρτησης f(χ) = χ3 – 6χ2 + 9χ + 4,

στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες προς τον άξονα χ΄χ .

Λύση

Αν (χ , f(χ)) είναι τα σημεία επαφής , για να είναι οι εφαπτομένες σ’ αυτά

παράλληλες στον χ΄χ , θα πρέπει

f ΄(χ) = 0 3χ2 – 12χ + 9 = 0 χ = 1 ή χ = 3 .

Οπότε τα ζητούμενα σημεία είναι τα Α(1, f(1)) και Β(3, f(3))

Α(1, 8) και Β(3, 4)

3.

Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

στα οποία οι εφαπτομένες είναι παράλληλες στη διχοτόμο της γωνίας x y.Λύση Η διχοτόμος της γωνίας είναι η ευθεία ψ = χ , της οποίας ο συντελεστής διεύθυνσης είναι ίσος με 1.Aν (χ , f(χ)) είναι τα ζητούμενα σημεία τότε θα πρέπει να ισχύει

f΄(χ) = 1

(χ+1)2=1 χ + 1 = 1 ή χ + 1 = –1 χ = 0 ή χ = –2Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι τα Α(0 , f(0)) και Β(–2 , f(–2)) Α(0, 0) και Β(–2, 2)

4.Ένα σώμα κινείται σ’ έναν άξονα έτσι ώστε η θέση του σε χρόνο t να δίνεται από

τον τύπο x(t) = t3 – 2t2 + t. Να βρείτε την ταχύτητα του κινητού σε χρόνο t και να

16

Page 17: 420-Παράγρ.  1.1

προσδιορίσετε πότε το σώμα είναι ακίνητο . Ποια είναι η επιτάχυνση του σώματος

στις χρονικές αυτές στιγμές ;

Λύση

Η ταχύτητα του σώματος είναι υ(t ) = χ΄(t) = (t3 – 2t2 + t)΄ = 3t2 – 4t + 1

Το σώμα είναι ακίνητο όταν υ(t) = 0 3t2 – 4t + 1= 0

t =1 ή t =

Η επιτάχυνση είναι α(t) = υ΄(t) = (3t2 – 4t + 1)΄ = 6t – 4

Για t = 1 είναι α(1) = 6 – 4 = 2 και

για

5.Αν f(χ) = Ασυνωχ + Βημωχ , δείξτε ότι f΄΄(χ) + ω2 f(χ) = 0

Λύση

Έχουμε ότι f ΄(χ) = (Ασυνωχ + Βημωχ)΄

= –Αημωχ (ωχ)΄+ Βσυνωχ (ωχ)΄

= –Αω ημωχ + Βω συνωχ

Οπότε f ΄΄(χ) = (–Αω ημωχ + Βω συνωχ)΄

= –Αω συνωχ (ωχ)΄ – Βω ημωχ (ωχ)΄

= –Αω2 συνωχ – Βω2 ημωχ

Επομένως f ΄΄(χ) + ω2f(χ ) = –Αω2 συνωχ – Βω2 ημωχ + ω2(Ασυνωχ+βημωχ)

= –Αω2 συνωχ – Βω2 ημωχ + Αω2 συνωχ + Βω2 ημωχ

= 0

6.Αν f(x) = αepx + βe-px , να δείξετε ότι f ΄΄(χ) = p2f(χ)

Λύση

f ΄(χ) = (αepx + βe-px)΄ = αpepx – βpe-px

f ΄΄(χ) = (αpepx – βpe-px)΄

= αp2epx + βp2e-px

= p2(αepx + βe-px) = p2 f(χ)

7.Αν f(x)=eμχ , να βρείτε το μ ώστε να ισχύει f ΄΄(χ) – 3f ΄(χ) – 4f(χ) = 0

Λύση

f ΄(χ) = (eμχ)΄ = μeμχ

f ΄΄(χ) =(μeμχ)΄ = μ2eμχ

17

Page 18: 420-Παράγρ.  1.1

Οπότε f ΄΄(χ) – 3f ΄(χ) – 4f(χ) = 0

= 4 ή = –1

8.Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης

f(χ) = 2ημχσυνχ στο σημείο

Λύση

Η ζητούμενη εφαπτομένη θα είναι

f ΄(χ) = (2ημχσυνχ)΄= 2(ημχ)΄συνχ + 2(συνχ)΄ημχ = 2συν2χ – 2ημ2χ

Άρα η ζητούμενη εφαπτομένη γίνεται

ψ = – χ + +

9.Ο ρυθμός της φωτοσύνθεσης Ρ ενός φυτού δίνεται από τον τύπο

, όπου Ι η ένταση του φωτός και α, β σταθερές

i) Να βρείτε την Ρ΄(Ι) ή όπως αλλιώς λέγεται , τη φωτοχημική ικανότητα του φυτού και την Ρ΄(0)

ii) Να δείξετε ότι

Λύση

i)

= =

ii)

=

=

18

Page 19: 420-Παράγρ.  1.1

=

10.Η θέση ενός υλικού σημείου που κινείται σ’ έναν κατακόρυφο άξονα δίνεται από τον

τύπο ψ(t) = Αημωt , όπου t ο χρόνος και Α ,ω σταθερές .

i) Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σημείου ως συνάρτηση του t

ii) Να δείξετε ότι η επιτάχυνση είναι ανάλογη της απομάκρυνσης ψ

iii) Να δείξετε ότι όταν η επιτάχυνση είναι 0, το μέτρο της ταχύτητας είναι μέγιστο

Λύση

i)

Η ταχύτητα είναι υ(t) = ψ΄(t) = (Αημωt)΄ = Ασυνωt .(ωt)΄

= Ασυνωt .ω = Αω συνωt

και η επιτάχυνση είναι α(t) = υ΄(t) = (Αωσυνωt)΄

= –Αω ημωt . (ωt)΄ = –Αω ημωt . ω = –Αω2 ημωt

ii)

Επειδή α(t) = –Αω2ημωt = – ω2(Αημωt) = – ω2ψ(t) αυτό σημαίνει ότι η επιτάχυνση

είναι ανάλογη της απομάκρυνσης ψ

iii)

Η επιτάχυνση α(t) = –Αω2ημωt είναι ίση με το 0 όταν

ημωt = 0, τότε όμως συνωt =1 ή συνωt = –1 .

Το μέτρο της ταχύτητας είναι

│υ(t)│=│Aωσυνωt│=│Aω││συνωt│≤│Aω│1=│Αω│

Δηλαδή το μέτρο της ταχύτητας γίνεται μέγιστο όταν │συνωt│=1

α(t)=0 .

19