μαθηματικα γ΄ λυκειου συναρτησεισ-ορια-συνεχεια...

0

Χατζημανώλης Νίκος

Μαθηματικα Γ΄ Λυκειου Συναρτήσεις-Όρια-Συνέχεια

Θεσσαλονίκη 2016

1

Χατζημανώλης Νίκος

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Συναρτήσεις-Όρια-Συνέχεια

2

Μαθηματικά Γ ́Λυκείου

Συναρτήσεις-Όρια-Συνέχεια

Χατζημανώλης Νικόλαος

Θεσσαλονίκη

[email protected]

ISBN: 978-960-93-8306-6

© Χατζημανώλης Νικόλαος αυτοέκδοση, Ιούλιος 2016

Το βιβλίο αυτό διανέμεται ελεύθερα μέσω του διαδικτύου, ωστόσο προστατεύεται από τους νόμους

περί πνευματικών δικαιωμάτων.

3

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο αυτό απευθύνεται στους μαθητές/τριες της Γ΄ Λυκείου και στους

καθηγητές/τριες μαθηματικών. Μέλημά μου ήταν να παρουσιάσω τις βασικές

μαθηματικές έννοιες που αναφέρονται στην ύλη της τελευταίας τάξης του Λυκείου

και παράλληλα να δώσω μία πληθώρα λυμένων ασκήσεων, ώστε ο μαθητής/τρια να

κατανοήσει αφενός μεν τα μαθηματικά νοήματα, αφετέρου δε μέσω της επίλυσης

ασκήσεων να αποκτήσει τις κατάλληλες δεξιότητες.

Σε αυτό το βιβλίο ο απαιτητικός αναγνώστης/τρια θα βρει και αποδείξεις προτάσεων

που δεν υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο ενώ σε διάφορα σημεία αναφέρονται και πολλά

λάθη που συνήθως κάνουν οι μαθητές/τριες και θα πρέπει να αποφεύγονται. Μία

διαφορά επίσης σε σχέση με τη ροή της σχολικής ύλης είναι ότι παρουσιάζεται πρώτα

η έννοια της συνεχούς συνάρτησης και μετά η έννοια του ορίου της μορφής 0/0.

Κατά την άποψή μου, αυτη η σειρά βοηθάει τον αναγνώστη να κατανοήσει καλύτερα

και σε βάθος το τι είναι το όριο της μορφής 0/0 και πώς σχετίζεται η συνεχής

συνάρτηση με το όριο της μορφής 0/0 και όχι μόνο μόνο απλά να μάθει να εφαρμόζει

τις συνήθεις αλγοριθμικές τεχνικές. Επιπλέον, συμπεριέλαβα μία ενότητα (με αριθμό

6) η οποία αναφέρεται στον ορισμό του ορίου. Ωστόσο, αυτή η ενότητα είναι

δύσκολη και αφετέρου δεν είναι μέσα στο πλαίσιο της σχολική ύλης. Ο αναγνώστης

μπορεί, αν θέλει, να την αγνοήσει και να προχωρήσει παρακάτω χωρίς κανένα

πρόβλημα στην κατανόηση των επομένων ενοτήτων. Τέλος, θεώρησα σημαντικό να

συμπεριλάβω μία ενότητα που αναφέρεται στη σχέση των συνεχών συναρτήσεων με

τις γραφικές παραστάσεις τους. Η εμπειρία μού έχει δείξει ότι οι μαθητές,

τελειώνοντας το σχολείο έχουν συγχεχυμένες και ανεπαρκείς γνώσεις πάνω σε αυτό

το θέμα.

Ελπίζω αυτό το πόνημα να στηρίξει το μαθητή/τρια και να τον/την βοηθήσει στο

δρόμο προς τις εξετάσεις. Εύχομαι επίσης στον/στην συνάδελφο μαθηματικό το

βιβλίο αυτό να παρέχει ένα καλό υλικό, ώστε να τον βοηθήσει στη διδασκαλία.

Ιούλιος 2016

4

Στη σύζυγό μου Μαρία.

5

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ......................................................................σελ. 7

ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ............................................................ σελ. 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ........................................................... σελ. 43

ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ........................................................σελ. 56

ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ................................ σελ. 66

ΕΝΟΤΗΤΑ 6-ΤΥΠΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ......................................................σελ. 82

ΕΝΟΤΗΤΑ 7-ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ..............................................................................................σελ. 91

ΕΝΟΤΗΤΑ 8-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ Ι..............................................................................................σελ. 98

ΕΝΟΤΗΤΑ 9-ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ..........................................σελ. 106

ΕΝΟΤΗΤΑ 10-ΜΟΡΦΗ 0/0..........................................................................................................σελ. 112

ΕΝΟΤΗΤΑ 11-ΜΟΡΦΗ 0/0 ΣΕ ΑΡΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ................................................. ....σελ. 121

ΕΝΟΤΗΤΑ 12-ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΟΡΙΑ.......................................................................................... σελ. 127

ΕΝΟΤΗΤΑ 13-ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ............. σελ. 134

ΕΝΟΤΗΤΑ 14-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ xo................................................................. σελ. 146

ΕΝΟΤΗΤΑ 15-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ xo ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΤΑΞΗΣ.......... σελ. 160

ΕΝΟΤΗΤΑ 16-ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ............................................................................................ σελ. 162

ΕΝΟΤΗΤΑ 17-ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.......................... σελ. 177

ΕΝΟΤΗΤΑ 18-ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙΙ)........................................................................ σελ. 181

ΕΝΟΤΗΤΑ 19-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ...................................................................................................... σελ. 192

ΕΝΟΤΗΤΑ 20-ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO............................................................................... σελ. 202

ΕΝΟΤΗΤΑ 21-ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ........................................................ σελ. 213

ΕΝΟΤΗΤΑ 22-ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ..............................................σελ. 221

ΕΝΟΤΗΤΑ 23-ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ..........................................................................................σελ. 233

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ................................................................................σελ 237

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ............................................................................................................................σελ 261

ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7

ΕΝΟΤΗΤΑ 1η

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια της συνάρτησης

Η συνάρτηση είναι ένα είδος αντιστοιχίας μεταξύ των στοιχείων δύο

συνόλων:

Όπως βλέπουμε κάθε στοιχείο του

συνόλου Α αντιστοιχεί σε ένα στοιχείο

του Β.

Τις συναρτήσεις συνήθως τις συμβολίζουμε με μικρά ή κεφαλαία

γράμματα του λατινικού και ελληνικού αλφαβήτου. Σύμφωνα με τον

παραπάνω ορισμό, η αντιστοιχία στο σχήμα 2 είναι επίσης μία

συνάρτηση, ενώ οι αντιστοιχίες στα

σχήματα 3 και 4 δεν είναι:

Σε μία συνάρτηση μπορούν δύο

διαφορετικά στοιχεία του συνόλου

Α να αντιστοιχούν στο ίδιο στοιχείο

του Β.

Ορισμός 1: Συνάρτηση είναι μία αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων

δύο συνόλων Α και Β, ώστε κάθε στοιχείο του συνόλου Α να

αντιστοιχεί σε ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β.

8 ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Η αντιστοιχία αυτή δεν παριστάνει

συνάρτηση, διότι υπάρχει ένα

τουλάχιστον στοιχείο του Α που δεν

αντιστοιχεί σε κάποιο στοιχείο του

συνόλου Β.

Η αντιστοιχία αυτή δεν παριστάνει

συνάρτηση, διότι υπάρχει ένα

τουλάχιστον στοιχείο του Α που

αντιστοιχεί σε περισσότερα από ένα

στοιχεία του συνόλου Β.

Ορισμοί-Συμβολισμοί:

Έστω η συνάρτηση f που περιγράφεται στο σχήμα 5:


Το σύνολο Α ονομάζεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Αν ΑR, τότε θα λέμε ότι η συνάρτηση είναι πραγματικής μεταβλητής.

Το σύνολο Β ονομάζεται σύνολο αφίξεως της συνάρτησης f. Αν ΒR, τότε θα λέμε ότι η συνάρτηση είναι πραγματική. Στο σχήμα 5 η f είναι πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής. Από εδώ και στο εξής αν δεν αναφέρουμε τίποτα για το σύνολο αφίξεως, τότε θα θεωρούμε ότι αυτό είναι το σύνολο R.

Επειδή στο παράδειγμά μας η συνάρτηση ονομάζεται f και επειδή έχουμε για παράδειγμα την αντιστοιχία 1100, τότε θα γράφουμε ότι f(1)=100. Όμοια ισχύει f(2)=200 και f(3)=300.

Η αντιστοιχία σε μία συνάρτηση μπορεί να είναι τυχαία, όπως στο σχήμα 1, ή να υπάρχει κάποιος μηχανισμός (κανόνας). Στο παράδειγμα του σχήματος 5 αν x είναι κάποιος από τους αριθμούς 1,2 ή 3, τότε αυτός θα αντιστοιχεί στο εκατονταπλάσιό του δηλαδή έχουμε την αντιστοιχία x100x. Άρα, όπως και στην προηγούμενη παρατήρηση ισχύει ότι f(x)=100x. Πολλές φορές αντί για f(x) θα γράφουμε y. Δηλαδή y=f(x) ή y=100x. Η παράσταση f(x)=100x ονομάζεται τύπος της συνάρτησης f. Το x ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το y ονομάζεται εξαρτημένη. Στη θέση του x ή του y μπορούμε να χρησιμοποιούμε και άλλα γράμματα π.χ. S=5t.

Από τα στοιχεία του Β στο παραπάνω παράδειγμα βλέπουμε ότι μόνο οι αριθμοί 100, 200 και 300 αντιστοιχούν σε στοιχεία του πεδίου ορισμού. Το σύνολο {100, 200, 300} ονομάζεται σύνολο τιμών και συμβολίζεται με f(A). Δηλαδή f(A)={100, 200, 300}. Αν μία συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α και σύνολο αφίξεων το Β, τότε το σύνολο τιμών είναι το σύνολο: f(A)={yB/ υπάρχει (τουλάχιστον) ένα xA, ώστε f(x)=y}.

To πεδίο ορισμού δείχνει ποιες τιμές παίρνει η ανεξάρτητη μεταβλητή x, ενώ το σύνολο τιμών δείχνει ποιες τιμές παίρνει η εξαρτημένη μεταβλητή y.

Όταν θα λέμε ότι η συνάρτηση είναι «ορισμένη σε ένα σύνολο Γ», θα εννοούμε ότι το Γ είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης.


Συντομογραφία Συνάρτησης

Έστω μία συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το διάστημα Α=(1,3), σύνολο

αφίξεως το R και τύπο g(x)=5x. Τότε γράφουμε όλα τα στοιχεία της

συνάρτησης ως εξής:

g:(1,3) R

x 5x

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε g(x)=5x, x(1,3).

Παρατήρηση: Μία πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής

(από εδώ και στο εξής θα λέμε απλώς «συνάρτηση») καθορίζεται από το

πεδίο ορισμού Α και από τον τρόπο αντιστοιχίας των στοιχείων του

συνόλου Α στο σύνολο αφίξεως Β=R, το οποίο συνήθως εκφράζεται με

έναν τύπο:

Σύμβαση: Αν έχουμε μόνο τον τύπο μιας συνάρτησης, τότε ως πεδίο

ορισμού θα θεωρούμε το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών x, για

το οποίο έχει νόημα ο τύπος f(x). Χρήσιμος είναι ο παρακάτω πίνακας

που δείχνει ποιους περιορισμούς πρέπει να παίρνουμε, ώστε να

βρίσκουμε το πεδίο ορισμού:

Παράσταση (Α, Β πραγματικοί αριθμοί)

Περιορισμός (Πρέπει…)

BA

Β≠0

ν Α , νn* Α≥0 logA ή lnA A>0

εφΑ 2πκπA , για κάθε κZ

(ισοδύναμα )1κ2(2πΑ )

σφΑ Α≠κπ, για κάθε κZ

Συνάρτηση

Πεδίο Ορισμού

+

Τρόπος αντιστοιχίας (τύπος)


Παραδείγματα:

Λύση:

(α) Πρέπει x≠0 και x25x+6≥0 (x≠0) και (x≤2 ή x≥3)

x(,0)(0,2][3,+). Άρα το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο

Df=(,0)(0,2][3,+).

(β) Πρέπει x>0 και lnx2≥0. Όμως lnx2≥0 lnx≥2 lnx≥2lne

lnx≥lne2x≥e2. Άρα Dg=[e2,+).

(γ) Πρέπει 1x1x1x01x 222 x>1 ή x<1.

Άρα το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο Dg=(,1)(1,+).

(δ) Πρέπει (x>0 και xR) ή (x=0 και x>0) ή (x<0 και xZ). Η πρώτη

περίπτωση δίνει x>0, η δεύτερη περίπτωση είναι αδύνατη, ενώ η τρίτη

περίπτωση παριστάνει όλους τους αρνητικούς ακέραιους. Άρα το πεδίο

ορισμού είναι το σύνολο Dp=(0,+){1, 2, 3,…}.

(ε) Πρέπει ημx>0. Όμως το ημίτονο παίρνει θετικές τιμές μόνο για τις

γωνίες που έχουν τελική πλευρά στο πρώτο ή στο δεύτερο τεταρτημόριο.

Τέτοιες γωνίες είναι π.χ. αυτές που ανήκουν στο διάστημα (0,π) ή αυτές

που ανήκουν στο (2π,3π) ή αυτές που ανήκουν στο (2π, π) κ.τ.λ.

Παράσταση (Α, Β πραγματικοί αριθμοί)

Περιορισμός (Πρέπει…)

ΑΒ (Α>0 και ΒR) ή (Α=0 και Β>0) ή (Α<0 και ΒZ)

Παράδειγμα 1.1: Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο:

(α) x

6x5x)x(f2

(β) 2xln)x(g

(γ) h(x)=ln(x21) (δ) P(x)=xx

(ε) Q(x)=ln(ημx)


Το πεδίο ορισμού μπορεί να γραφτεί με τους εξής τρόπους:

DQ=…(2π, π)(0,π)(2π,3π)… ή να γράψουμε

Z

κ

Q )πκπ2,κπ2(D ή μπορούμε ακόμη να γράψουμε

DQ={xR/ για κάποιο κZ ισχύει x(2κπ, 2κπ+π) }.

Λύση: Όταν θέλουμε να βρούμε το σύνολο τιμών μιας

συνάρτησης, τότε ψάχνουμε όλες τις δυνατές τιμές του y

για τις οποίες έχει λύση η εξίσωση f(x)=y ως προς x με

xΑ, όπου Α το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Ουσιαστικά προσπαθούμε με ισοδυναμίες να αναχθούμε

από την παράσταση f(x)=y σε μια παράσταση της

μορφής x=g(y) με xΑ και αποτυπώνουμε για ποιες

τιμές του y είναι έγκυρη αυτή η ισοδυναμία. Η

συνάρτηση ορίζεται για x≠1, άρα

Α=(,1)(1,+). Θέτουμε f(x)=y:

y5x)2y(5x2yyx1x5x2y

(1)

Αν y=2, τότε η (1) δίνει 0y= 7 αδύνατο. Άρα 2f(A).

Για y≠2, τότε 2yy5x

(2).

Πρέπει να δούμε αν η (2) επαληθεύεται για κάποια τιμή y, όταν x= 1, οπότε αυτή την τιμή ίσως πρέπει επίσης να την εξαιρέσουμε

από το σύνολο τιμών: 52y52y2yy51

αδύνατο. Άρα f(A)=(,2)(2,+).

Για να βρούμε το σύνολο τιμών

μίας συνάρτησης f ακολουθούμε

τα παρακάτω βήματα:

Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού A της συνάρτησης f.

Λύνουμε την εξίσωση y=f(x) ως προς x. Δηλαδή προσπαθούμε να αναχθούμε σε μία ή περισσότερες σχέσεις της μορφής x=g(y) με xA.

Λύνουμε τον κάθε περιορισμό g(y)A ως προς y.

Συναληθεύουμε όλες τις περιπτώσεις που ισχύουν για τις τιμές του y.

Παράδειγμα 1.2: Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο

1x5x2)x(f

.


Λύση: (α) Θέτουμε y=f(x). Τότε x32y2x3y)x(fy

32yx

. Λύνοντας την εξίσωση y=f(x) ως προς x δεν προέκυψε

κάποιος περιορισμός.

Όμως x1. Αν 5y32y13

2y

.

Αντίστροφα, λύνουμε την εξίσωση f(x)=5, xDf. Αν η εξίσωση έχει λύση, τότε 5f(Df), διαφορετικά 5f(Df). Πράγματι

1x52x35)x(f , απορρίπτεται. Άρα 5f(Df). Επομένως f(Df)=R{5}=(,5)(5,+). (β) Θέτουμε y=g(x). Τότε 22 x32y2x3y)x(gy . Από την τελευταία σχέση έπεται ότι y2≥0y≥2. Τότε προκύπτει ότι

32yxή

32yx

32yx 2 .

Όμως x1. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

Παράδειγμα 1.3: Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο:

(α) f(x)=3x+2 με Df =R{1}.

(β) g(x)=3x2+2 με Dg =R{1}.


(i) Αν ισχύει 13

2y

. Η περίπτωση αυτή είναι αδύνατη.

(ii) Αν ισχύει 13

2y

.

Τότε 5y...13

2y13

2y 2

. Λύνουμε την εξίσωση

g(x)=5, xDg. Αν η εξίσωση έχει λύση, τότε 5g(Dg), διαφορετικά 5g(Dg). Έχουμε ότι 1xή1x1x52x35)x(g 23 . Η τελευταία λύση απορρίπτεται λόγω περιορισμών. Τελικά ισχύει ότι

.1x5)x(g Επομένως 5g(Dg). Ο μόνος περιορισμός που προέκυψε είναι ο y≥2. Επομένως το σύνολο τιμών είναι το g(Dg)=[2,+).

Λύση:

Για x<1: Τότε θέτουμε y=f(x) y=x2+1 x2=y1. Επειδή για κάθε x<1, ισχύει x2≥0, έπεται ότι y1≥0y≥1. Ειδικότερα, αν: (i) 0≤x<1, τότε 1yx . Άρα 22 11y011y0

2y1 . Δηλαδή f([0,1))=[1,2). (ii) x<0, τότε 1yx .

Τότε 1y01y01y01y . Δηλαδή

ισχύει ότι f((,0))=(1,+).

Παράδειγμα 1.4: Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο

1x,1x1x,1x)x(f

2

.


Επομένως f((,1))= f([0,1)) f((,0))= [1,2) (1,+)=[1,+).

Για x≥1: Τότε θέτουμε y=f(x)y=x1x=y+1. Επίσης για κάθε x≥1, έπεται ότι y+1≥1y≥0. Άρα f([1,+))=[0,+).

Τελικά το σύνολο τιμών είναι το f(R)=f((,1))f([1,+))=[1,+)[0,+)=[0,+). Λύση: (i) Για x=y=0 η συναρτησιακή σχέση δίνει f(0+0)=f(0)+f(0) f(0)=f(0)+f(0) f(0)=2f(0) f(0)=0. (ii) Για ν=0, έχουμε f(0·x)=0·f(x) f(0)=0, ισχύει.

Έστω ν≥1. Τότε έχουμε:

x)1ν(f)x(f)xν(f...

)x2(f)x(f)x3(f)x(f)x(f)x2(f

)x(f)x(f

x)1ν(f...)x3(f)x2(f)x(f...)x(f)xν(fx)1ν(f...)x3(f)x2(f)x(fροιό1ν

Άρα f(ν·x)=(v+1)·f(x)f(x) f(ν·x)=v·f(x). (iii) (Για την υπενθύμιση του ορισμού της περιττής συνάρτησης, βλέπε και στην επόμενη ενότητα).

Παράδειγμα 1.5: Δίνεται συνάρτηση f:RR, για την οποία ισχύει ότι f(x+y)=f(x)+f(y) για κάθε x,yR. Να δείξετε ότι: (i) f(0)=0. (ii) f(ν·x)=v·f(x) για κάθε φυσικό αριθμό ν. (iii) Η f είναι περιττή.


Για κάθε xR, προφανώς ισχύει και ότι xR. Για y= x, η συναρτησιακή σχέση δίνει ότι f(xx)=f(x)+f(x)

f(0)= f(x)+f(x) 0=f(x)+f(x) f(x)= f(x).

Επομένως η συνάρτηση f είναι περιττή.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.1) Να συγκρίνετε τον ορισμό της συνάρτησης όπως δόθηκε στην 1η

ενότητα και όπως δίνεται στα σχολικά βιβλία της κατεύθυνσης και της

γενικής παιδείας (ομοιότητες-διαφορές).

1.2) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο

10x4,1x

4x,3x2)x(f

2

. Να

βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και να υπολογίσετε τις τιμές

f(3), f(4) και f(10).

1.3) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων και

κατόπιν να γράψετε τον τύπο τους σε απλούστερη μορφή όπου αυτό είναι

δυνατό:

i) 3x4x

1x)x(f 2

ii) 5 x2x2)x(g

iii) 23

34

xxxx)x(h

iv) 9x3x)x(ω 2

v) xxx)x(f 22 vi) )1xln()x(f 2

3

vii) 2xεφ)x(f4 viii)

xσφ1)x(f5

1.4) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

i) x)1x()x(f ii) x2 )x1()x(g

iii) )1xxln()x(h 2


1.5) Έστω η συνάρτηση με τύπο 1xxx

3x2)x(f 23

. Να βρείτε το

πεδίο ορισμού της συνάρτησης και ύστερα να λύσετε την ανίσωση

f(x)<0.

1.6) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο

1x2)x(f .

1.7) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο xσυν21

5)x(f

. Να βρείτε το πεδίο

ορισμού της συνάρτησης και να υπολογίσετε τις τιμές f(0), f(π) και )2π(f .

1.8) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο xημ1

x)x(f

. Να βρείτε το πεδίο

ορισμού της συνάρτησης και να λύσετε την εξίσωση f(x)=2x.

1.9) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο

x31xln)x(f . Να βρείτε το πεδίο

ορισμού της συνάρτησης f.

1.10) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο 6e5e

1x)x(f xx2

. Να βρείτε το

πεδίο ορισμού της και να λύσετε την ανίσωση f(x)>0.

1.11) Έστω συνάρτηση f. Να λύσετε την ανίσωση f(x)>0, όταν:

i) 3x4x)x(f 2 ii) x1x1)x(f

iii) 1e)x(f x .

1.12) Να γράψετε τους τύπους των παρακάτω συναρτήσεων χωρίς

απόλυτα:

i) 2x2x)x(f ii) 1xxx4)x(g 22

iii) 9x

3xx3x)x(h 2

2

iv)

x2x2)x(L


v) xx

1)x(φ 2 vi)

1516x1)x(ω 2

vii) ,2

xημxημ)x(m

x[0,2π].

1.13) Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων:

i) f(x)=2x4 ii) 2x1x4)x(f

iii) 1xx1xx)x(f 2

2

iv) 1x3x2)x(f 2

2

v) x1x)x(f vi) 2x3)x(f

vii) )1x2ln(23)x(f .

1.14) Έστω η συνάρτηση f για την οποία ισχύει

3f(x)2f(1x)=5x36x2+6x, για κάθε xR. Να βρείτε τον τύπο της

συνάρτησης f.

1.15) Έστω η συνάρτηση f:R*IR, για την οποία ισχύει

xx1f3)x(f

για κάθε xR*. Να βρείτε τη συνάρτηση f.

1.16) Έστω η συνάρτηση f: (0,+)R για την οποία ισχύει

f(xy)=f(x)+f(y) για κάθε x, y >0. Να αποδείξετε ότι:

i) f(1)=0

ii)

x1f)x(f για κάθε x>0

iii) )y(f)x(fyxf

για κάθε x, y >0.

iv) f(xν)=νf(x) για κάθε νn.

v) )x(fν1)x(f ν για κάθε νn με ν≥2.


1.17) Αν για τη συνάρτηση f:RR ισχύει f(x)≤x για κάθε xR και

επιπλέον ισχύει f(x+y)≤f(x)+f(y) για κάθε x, y R, να αποδείξετε ότι η f

είναι περιττή και έχει τύπο f(x)=x.

1.18) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f με πεδίο ορισμού το διάστημα

Α=[α,β] και σύνολο τιμών το f(A)=[α,β] που ικανοποιούν τη συνθήκη

yx)y(f)x(f για κάθε x, y [α,β].

20 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 2η

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Για παράδειγμα, η συνάρτηση f με πεδίο

ορισμού το σύνολο Α={1,2,3} και τύπο

f(x)=100x (βλ. ενότητα 1η) θα έχει ως

γράφημα το σύνολο Cf={(1,100),

(2,200), (3,300)}, δηλαδή η γραφική της

παράσταση αποτελείται από 3 μόνο

σημεία (βλ. διπλανό σχήμα)

Αν όμως έχουμε τη συνάρτηση g(x)=100x με

x[1,3], τότε η γραφική παράσταση θα

παριστάνει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ, όπου

Α(1,100) και Γ(3,300):

Τέλος, η συνάρτηση h(x)=100x με xR θα

έχει ως γραφική παράσταση την ευθεία που

ορίζουν τα σημεία Α(1,100) και Γ(3,300):

Ορισμός 1: Έστω μία συνάρτηση f :AR. Ως γραφική παράσταση

συνάρτησης ή γράφημα συνάρτησης ορίζουμε το σύνολο των σημείων

με συντεταγμένες τις μορφής (x,f(x)) για κάθε xA. Το σύνολο αυτό

συμβολίζεται με Cf. Άρα Cf={(x,f(x))/ xA}.

ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 21

Παρατηρήσεις:

Α) Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης καθορίζεται όχι μόνο από

τον τύπο της, αλλά και από το πεδίο ορισμού της, όπως είδαμε και

παραπάνω.

Β) Υπάρχουν καμπύλες που δεν είναι γραφικές παραστάσεις

συναρτήσεων, όπως είναι η περίπτωση του κύκλου:

Για τον ίδιο λόγο και οι κατακόρυφες ευθείες δεν αποτελούν γραφική

παράσταση συνάρτησης.

Γ) Το πεδίο ορισμού της Cf είναι

το σύνολο Α των τετμημένων των

σημείων της Cf. Για παράδειγμα,

στο διπλανό σχήμα το πεδίο

ορισμού της συνάρτησης f είναι το

διάστημα [α,β].


Δ) Το σύνολο τιμών f(A) είναι το σύνολο των τεταγμένων των σημείων

της Cf. Για παράδειγμα, στο

διπλανό σχήμα το πεδίο ορισμού

της συνάρτησης f είναι το

διάστημα (α,β] και το σύνολο

τιμών είναι το διάστημα

f(A)=(γ,δ]. (Παρατηρήστε ότι για

το σημείο Δ, ισχύει ότι ΔCf.)

Ε) Αν η τετμημένη ενός σημείου

της Cf είναι ίση με xo, τότε η

τεταγμένη θα είναι ίση με f(xo).

Οι συναρτήσεις f και f*1

Έστω η συνάρτηση f:AR.

(Α) Ως f ορίζουμε τη συνάρτηση:

f: A R x f(x) Για παράδειγμα έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α=[1,2] και

τύπο f(x)=x2. Τότε η συνάρτηση f θα έχει επίσης πεδίο ορισμού το

διάστημα Α και τύπο (f)(x)= f(x) (f)(x)= x2.

1 Οι συμβολισμοί f και ΙfI δηλώνουν ονόματα συναρτήσεων.


(Β) Ως f ορίζουμε τη συνάρτηση:

:f A R x )x(f Για παράδειγμα έστω η συνάρτηση f(x)=x21, xR. Τότε η συνάρτηση

f θα έχει πεδίο ορισμού το Α=R και τύπο:

1x1,x1

1xή1x,1x1x)x(f)x(f

2

2

2 .


(α) Η Cf είναι συμμετρική της

Cf ως προς τον άξονα x΄x:

(β) Η γραφική παράσταση της

f αποτελείται από όλα τα

σημεία της Cf που βρίσκονται

πάνω από τον άξονα x΄x και από

τα συμμετρικά σημεία, ως προς

τον άξονα x΄x, όταν αυτά

βρίσκονται κάτω από τον άξονα

αυτόν.


Μετατόπιση Συνάρτησης.

(α) Κατακόρυφη Μετατόπιση

Έστω η συνάρτηση f:AR και η

συνάρτηση g:AR με τύπο

g(x)=f(x)+c. Τότε η Cg

προκύπτει από τη Cf με

μετατόπιση της τελευταίας κατά

c μονάδες προς τα πάνω αν c>0 ή

κατά c μονάδες προς τα κάτω αν

c<0.

(β) Οριζόντια Μετατόπιση

Έστω f:AR και η

συνάρτηση g της οποίας το

γράφημα Cg προκύπτει από

το Cf με μετατόπιση του

τελευταίου κατά c μονάδες

προς τα δεξιά (c>0).

Όπως βλέπουμε, ισχύει η συνθήκη g(x+c)=f(x) (1). Αν στην ισότητα (1)

θέσουμε όπου x το xc, τότε προκύπτει ότι g(x)=f(xc) (2).

Συμπεράσματα:

Αν το γράφημα μίας συνάρτησης g είναι μετατοπισμένο σε σχέση με το γράφημα μίας συνάρτησης f κατά c μονάδες προς τα δεξιά, τότε ισχύει η συναρτησιακή σχέση g(x)=f(xc).

Όμοια, αν το γράφημα μίας συνάρτησης g είναι μετατοπισμένο σε σχέση με το γράφημα μίας συνάρτησης f κατά c μονάδες προς τα αριστερά, τότε ισχύει η συναρτησιακή σχέση g(x)=f(x+c).


Έστω Β το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g, όπου το γράφημα Cg

προκύπτει από το Cf με μετατόπιση του τελευταίου κατά c μονάδες προς

τα δεξιά. Από την ισότητα (2) προκύπτει ότι xB αν και μόνο αν xcA.

Άρα το πεδίο ορισμού Β είναι το σύνολο Β={xR/xcA}.

ΆρτιεςΠεριττές συναρτήσεις.

(α) Άρτιες Συναρτήσεις:

Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι

άρτια αν και μόνο αν το γράφημά

της είναι συμμετρικό ως προς τον

άξονα y΄y.

Όπως φαίνεται και στο σχήμα, μία συνάρτηση f είναι άρτια αν και μόνο

αν

Για κάθε xA, τότε xA, όπου Α είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

Ισχύει ότι f(x)=f(x) για κάθε xA.

Για παράδειγμα έστω η συνάρτηση x1)x(f , με Df=R*=(,0)(0,+).

Τότε για κάθε xA, ισχύει xA και επιπλέον )x(fx1

x1)x(f

.

Άρα η f είναι άρτια.


(β) Περιττές Συναρτήσεις:

Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι

περιττή αν και μόνο αν το γράφημά

της έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή

Ο των αξόνων.

Όπως βλέπουμε και στο σχήμα, μία

συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα

σύνολο Α είναι περιττή αν και μόνο αν:

Για κάθε xA, ισχύει xA. Ισχύει ότι f(x)= f(x) για κάθε xA.

Για παράδειγμα έστω η συνάρτηση x1)x(f , με Df=R*=(,0)(0,+).

Τότε για κάθε xA, ισχύει xA και επιπλέον

)x(fx1

x1)x(f

. Άρα η f είναι περιττή.

Περιοδικές Συναρτήσεις

Η έννοια της περιοδικότητας σχετίζεται με την επανάληψη. Για

παράδειγμα, η περιοδικότητα ενός φυσικού φαινομένου έγκειται στην

επανάληψή του μετά από ένα σταθερό χρονικό διάστημα. Στις

συναρτήσεις, η περιοδικότητα αναφέρεται στην επανάληψη ενός

γραφήματος μετά από Τ μονάδες στον οριζόντιο άξονα είτε προς τα δεξιά

είτε προς τα αριστερά:


Όπως βλέπουμε και από το παραπάνω σχήμα, μπορούμε να οδηγηθούμε

στον ακόλουθο τυπικό ορισμό:

Ορισμός: Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α λέμε ότι

είναι περιοδική όταν υπάρχει ένας θετικός αριθμός Τ, τέτοιος ώστε

να ισχύει: (α) Για κάθε xA, τότε xTA και (β) ισχύει ότι

f(x)=f(x+T)=f(xT) για κάθε xA.

Ο αριθμός Τ λέγεται (μία) περίοδος της συνάρτησης f. Αν υπάρχει

ελάχιστος αριθμός Το με τις παραπάνω ιδιότητες, τότε ο αριθμός αυτός

λέγεται ελάχιστη ή πρωτεύουσα περίοδος της συνάρτησης f.


Μπορεί να αποδειχθεί ότι:

Αν Τ είναι μία περίοδος της συνάρτησης f, τότε και ο αριθμός νΤ είναι επίσης μία περίοδος της συνάρτησης f, όπου νn*.

Αν υπάρχει αριθμός To, ώστε να είναι η ελάχιστη περίοδος μίας συνάρτησης f, τότε κάθε άλλη περίοδος Τ της συνάρτησης f θα είναι αναγκαστικά φυσικό πολλαπλάσιο του αριθμού Το, δηλαδή θα ισχύει ότι Τ=νΤο για κάποιο νn*.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x)=ημx με xR έχει περιόδους τους

αριθμούς 2π, 4π, 6π κ.τ.λ., με ελάχιστη περίοδο τον αριθμό Το=2π.

Γραφικές Παραστάσεις Βασικών Συναρτήσεων.

A) Ευθεία f(x)=αx+β:


Β) Παραβολές:

Γ) Η γενική μορφή της κατακόρυφης παραβολής:

Στα παρακάτω σχήματα, φαίνεται η γραφική παράσταση της παραβολής

y=αx2+βx+γ, με α0 για τις διάφορες τιμές του συντελεστή α και της

διακρίνουσας Δ:


Τα σημεία τομής με τον x΄x, αν υπάρχουν, είναι οι ρίζες της παραβολής

αx2+βx+γ οι οποίες βέβαια είναι οι αριθμοί α2

Δβx 2,1

, ενώ η

κορυφή Κ της παραβολής έχει συντεταγμένες

α4Δ,

α2βK .

Δ) Η συνάρτηση f(x)=α·x3, α0.


Ε) Η συνάρτηση x)x(f και x)x(f .

Η συνάρτηση xy έχει ως γραφική παράσταση μέρος παραβολής,

διότι x212yxyxy 22 με y≥0 και άρα είναι το θετικό

μέρος της παραβολής με εστία )0,41(E και διευθετούσα

41x .

ΣΤ) Οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις:


Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=σφx προέρχεται από τη

γραφική παράσταση της y=εφx με μετατόπισή της κατά 2π

μονάδες προς

τα δεξιά και ανάκλαση ως προς τον άξονα x΄x, διότι

2πxεφx

2πεφ)x(σφ .

Ζ) Οι εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις:



Λύση: Έστω η συνάρτηση x)x(g . Τότε f(x)=g(x1). Άρα η Cf

προκύπτει από τη Cg με μετατόπιση της τελευταίας κατά μία μονάδα

προς τα δεξιά:

Λύση: Πρώτα θα γράψουμε τον τύπο της συνάρτηση χωρίς απόλυτα:

Παράδειγμα 2.1: Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης 1x)x(f .

Παράδειγμα 2.2: Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης

x2x)x(f .


x2>0x>2 x2=0x=2

Άρα για x(,0), τότε f(x)= (x2)x= 2x+2. Για x[0,2], τότε f(x)= (x2)+x= x+2+x=2. Για x(2,+), τότε f(x)= x2+x=2x2.

Άρα

2x,2x22x0,2

0x,2x2xf .

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

φαίνεται στο διπλανό σχήμα:

Λύση: (α) Έστω δύο σημεία Α και Α΄ τα οποία είναι σημεία μίας

καμπύλης Cf και τα οποία είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία x=c:

Παράδειγμα 2.3:

(α) Να γενικευτεί η συνθήκη, ώστε η καμπύλη μίας συνάρτησης f να

έχει άξονα συμμετρίας μία τυχαία κατακόρυφη ευθεία x=c.

(β) Να αποδειχτεί ότι η κατακόρυφη ευθεία x=1 είναι άξονας

συμμετρίας της καμπύλης της συνάρτησης του προηγούμενου

παραδείγματος.


Όπως φαίνεται και από το παραπάνω σχήμα, αν x>0 και το σημείο

Α(c+x, f(c+x))Cf, τότε και το σημείο Α΄(cx, f(cx))Cf. Τα δύο

σημεία πρέπει να έχουν ίσες τεταγμένες, δηλαδή f(c+x)=f(cx).

Γενικά μία συνάρτηση f:AR έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία x=c αν

και μόνο αν:

(i) Για κάθε x>0 με c+xA, τότε cxA και

(ii) f(c+x)=f(cx) για κάθε x>0 με c+xA.

(β) Έστω x>0. Τότε (i) 1xR και

(ii) 1x1xx11xx12x1x1f .

Ακόμη 1x1xx12x1x1f .

Άρα f(1x)=f(1+x) για κάθε x>0 με 1+xR, δηλαδή η Cf έχει άξονα

συμμετρίας την ευθεία x=1.

Λύση: (α) Έστω δύο σημεία Α και Α΄ τα οποία είναι σημεία μίας

καμπύλης Cf και τα οποία έχουν κέντρο συμμετρίας το σημείο Γ(xo,yo).

Παράδειγμα 2.4:

(α) Να γενικευτεί η συνθήκη, ώστε η καμπύλη μίας συνάρτησης f να

έχει κέντρο συμμετρίας ένα τυχαίο σημείο Γ(xo,yo).

(β) Να αποδειχτεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο

21x

1)x(f

έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο Γ(1,2).


Επειδή το σημείο Γ είναι μέσο του

ευθύγραμμου τμήματος ΑΑ΄, έπεται

ότι :

(i) xx2xx2

xxoo

και

(ii)

)x(fy2)xx2(f)x(fy2)x(fy

2)x(f)x(f

oooo

oo y2)xx2(f)x(f .

Γενικά μία συνάρτηση f:AR έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο Γ(xo,yo)

αν και μόνο αν:

Για κάθε xA, τότε 2xoxA και f(x)+f(2xox)=2yo για κάθε xA.

(β) (α΄ τρόπος):

Σύμφωνα και με το προηγούμενο ερώτημα παρατηρούμε τα εξής:

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο Α=R{1}. Έστω

xA. Τότε x1. Επιπλέον x2x12xx21x

o

o

. Επομένως έχουμε:

1x212x21x1x . δηλαδή 2xA. Άρα:

Για κάθε xA, τότε 2xA και Για κάθε xA, έχουμε ότι:

.2yπουό,y222441x

11x

1

4x1

11x

121x2

121x

1)x2(f)x(f

oo

Επομένως η Cf έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο Γ(1,2).

(β΄ τρόπος):

Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο x1)x(g , η οποία έχει κέντρο

συμμετρίας το σημείο Ο(0,0). Επειδή f(x)=g(x1)+2, έπεται ότι η Cf


προκύπτει από τη Cg με

μετατόπιση της τελευταίας

κατά μία μονάδα προς τα

δεξιά και δύο μονάδες προς

τα επάνω. Με τον ίδιο τρόπο

μετατοπίζεται και το κέντρο συμμετρίας και άρα η νέα θέση του έχει

συντεταγμένες (1,2).

Λύση: Αν Α είναι σημείο της Cf, τότε θα έχει συντεταγμένες της μορφής

Α( 2oo x,x ). Θέτουμε επίσης y=x3 xy3=0. Η ελάχιστη απόσταση

ΑΒ αντιστοιχεί στην ελάχιστη απόσταση του σημείου Α από την ευθεία

ε: xy3=0, όπως φαίνεται και από το σχήμα παρακάτω:

Έχουμε 2

3xx2

3xx

11

3xx)ε,A(dAB o

2o

0Δo2o

22

2oo

. Δηλαδή

23xxd o

2o

. Η ελάχιστη τιμή της d αντιστοιχεί στην ελάχιστη τιμή

Παράδειγμα 2.5: Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x2 και η συνάρτηση

g(x)=x3. Αν Α είναι μεταβλητό σημείο της Cf και Β μεταβλητό

σημείο της Cg, να υπολογιστεί η ελάχιστη απόσταση ΑΒ.


του αριθμητή, η οποία υπολογίζεται από τον τύπο α4

Δ . Άρα

8211

2411

2411

2α4

Δ

dmin

.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2.1) Η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το

σύνολο Α φαίνεται στο διπλανό σχήμα:

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α και το

σύνολο τιμών f(A).

ii) Να γράψετε τις τιμές των f(3), f(0),

f(3), f(4) και f(5).

iii) Να γράψετε τον τύπο της

συνάρτησης, αν επιπλέον γνωρίζετε ότι η

καμπύλη της f για x(3,5) είναι μέρος (κατακόρυφης) παραβολής.

iv) Να λύσετε τις εξισώσεις f(x)=1 και f(x)=3.

v) Να λύσετε τις ανισώσεις f(x)≤0, f(x)≥3.

2.2) Έστω η συνάρτηση με τύπο f(x)=αln(x1)+β της οποίας η γραφική

παράσταση τέμνει τον x΄x στον αριθμό e+1 και επιπλέον διέρχεται από

το σημείο Α(2,3).

(α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

(β) Να βρείτε τους αριθμούς α και β.

(γ) Να βρείτε το σημείο της Cf με τεταγμένη 15.

2.3) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

(α) y=x22x+3 (β) y= x2+4x (γ) y= x2+5x4

(δ) y=(x+1)22 (ε) y=ex-1+2 (στ) 1xy 3


(ζ) 2x

1y

2.4) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

i) x)x(f , g(x)= f(x), h(x)=f(x), xf)x(m .

ii) x)x(f , g(x)= f(x+1), h(x)=f(x)2.

iii) f(x)=lnx, x1ln)x(g , xln)x(h , k(x)=ln(x), xln)x(m .

2.5) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων

και ύστερα να προσδιορίσετε από αυτή το σύνολο τιμών:

(α)

0x,xημ

0x,3e)x(f

x

(β)

0x,x

0x,x)x(g

2

(γ) 1x2x)x(h

(δ) 2x1)x(f (ε) 2x932)x(g (ζ)

2x1)x(h

2.6) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης που έχει την παρακάτω

γραφική παράσταση:


2.7) Έστω η συνάρτηση

περιττός x αν,1

άρτιος x αν,1)x(f . Να αποδείξετε

ότι η f είναι περιοδική συνάρτηση και να χαράξετε τη γραφική της

παράσταση.

2.8) Να προσδιορίσετε, αν υπάρχουν, σημεία τομής των αξόνων με τις

γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

(α) x4x)x(f (β)

3x2x5x2)x(f

2

(γ) 3x9x)x(f

2

(δ) x2x)x(f (ε) xσυν22)x(f (στ) f(x)=1ημx.

(ζ) 4xx)x(f 2 (η) f(x)=9x3x12

2.9) Να προσδιορίσετε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων:

(α) f(x)=(x1)2 και x2)x(g (β) f(x)=x2 και g(x)=4x2

(γ) f(x)=x3 και g(x)=x. (δ) 1x)x(f και g(x)=3x

(ε) f(x)=lnx και g(x)=1x. Να λύσετε την ανίσωση lnx≤1x.

2.10) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και με τη

βοήθεια της να βρείτε το σύνολο τιμών:

(α) 3xx)x(f (β)

1x,x2

1x,x2

)x(f2

(γ) 2

1x1xln)x(f


2.11) Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού x, η Cf

βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x:

(α) x1x2)x(f

(β) 2xln

e1)x(f 2

x

(γ)

1x6x17x11x2)x(f

23

2.12) Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού x, η Cf

βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x:

(α) f(x)=(3x)(x2x+1)(x34x+3) (β) f(x)=ln(x+1)1.

2.13) Να βρείτε τον τύπο των συναρτήσεων των οποίων η γραφική

παράσταση φαίνεται στα σχήματα παρακάτω:

(A) (B)

(Γ) (Δ)

2.14) Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές:

(α) 4xxημx)x(f 2

3

(β) 2

4

x16xx

)x(f


(γ)

0x,xημx

0x,xημxx)x(f

4

4

(δ)

1x,3x5x

1x,3x5x)x(f

23

23

(ε) 2x1xln)x(f

2.15) Δίνεται η συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει

f(x+y)=f(x)+f(y). Να αποδείξετε ότι:

(α) f(0)=0 (β) Η f είναι περιττή.

2.16) Δίνεται η συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει ότι f(x)≠0 για

κάθε xR και επιπλέον f(x+y)+f(xy)=2f(x)f(y) για κάθε x, yR. Να

αποδείξετε ότι: (α) f(0)=1 και (β) η f είναι άρτια.

2.17) Δίνεται η συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει xx ee)x(f)x(f2 για κάθε xR. Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια

και ύστερα να βρείτε τον τύπο της.

2.18) Δίνεται η συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει

f(x)+2f(x)=πημ(2x+π) για κάθε xR.

(α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή.

(β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.

(γ) Να χαράξετε τη γραφική της παράσταση και να βρείτε το σύνολο

τιμών της.

2.19) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

fα(x)=(α1)x2+αx2(α1), αR διέρχονται από δύο σταθερά σημεία.

Ποια είναι η απόσταση αυτών των σημείων;

2.20) Δίνεται η συνάρτηση f:R*R για την οποία ισχύει

8)x(fx1

x1f3

για κάθε xR*.

(α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης.

(β) Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση.

(γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της από τη γραφική παράσταση.


2.21) Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x2 και η συνάρτηση g(x)=x1. Να βρείτε

το σημείο ΜCf το οποίο απέχει την ελάχιστη απόσταση από τη Cg. Να

υπολογίσετε αυτή την απόσταση.

2.22) Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x και η συνάρτηση g(x)=2x+3. Να

βρείτε το σημείο ΜCf το οποίο απέχει την ελάχιστη απόσταση από τη

Cg. Να υπολογίσετε αυτή την απόσταση.

2.23) Έστω η συνάρτηση f(x)=x2 και ο κύκλος με εξίσωση

41)1y(x 22 . Αν Α είναι μεταβλητό σημείο της Cf και Β μεταβλητό

σημείο που διατρέχει τον κύκλο, να βρείτε τις τετμημένες του σημείου Α

για τις οποίες η απόσταση ΑΒ γίνεται ελάχιστη. Να υπολογίσετε

επιπλέον την ελάχιστη απόσταση Α.

ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 43

ΕΝΟΤΗΤΑ 3η

ΙΣΟΤΗΤΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ισότητα Συναρτήσεων

Όπως έχουμε δει, μία πραγματική συνάρτηση καθορίζεται από δύο

παράγοντες: το πεδίο ορισμού και τον τρόπο αντιστοιχίας των στοιχείων

του πεδίου ορισμού στο σύνολο αφίξεως. Άρα οδηγούμαστε στον

παρακάτω ορισμό που μας επιτρέπει να ταυτίσουμε δύο συναρτήσεις:

Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε τις συναρτήσεις f(x)=x25x+6 και

g(x)=x36x2+11x6 με κοινό πεδίο ορισμού το σύνολο Α={2,3}. Εύκολα

παρατηρούμε ότι f(2)=g(2) και f(3)=g(3). Άρα ισχύει f(x)=g(x) για κάθε

xA και κατά συνέπεια ισχύει ότι f=g.

Αν Γ είναι ένα υποσύνολο των συνόλων Α και Β, κατά συνέπεια είναι

ΓΑΒ, και επιπλέον ισχύει ότι f(x)=g(x) για κάθε xΓ τότε θα λέμε ότι

οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες στο Γ (f=g στο Γ).

Για παράδειγμα έστω οι συναρτήσεις f(x)=x με Af=(2,2) και 2x)x(g

με Αg=R. Τότε για xΓ=[0,2) ισχύει ότι )x(fxxx)x(g0x

2

. Άρα

f=g στο Γ.

Πράξεις Συναρτήσεων

Πριν μιλήσουμε για τις πράξεις δύο συναρτήσεων ας δούμε τι είναι στην

πραγματικότητα η πράξη δύο αριθμών. Η πρόσθεση, για παράδειγμα, δύο

αριθμών είναι η διαδικασία με την οποία επιλέγουμε δύο αριθμούς και

Ορισμός: Δύο συναρτήσεις f και g με πεδίο ορισμού Α και Β

αντίστοιχα είναι ίσες αν και μόνο αν:

Α=Β και ισχύει f(x)=g(x) για κάθε xA(=B).

Τότε θα γράφουμε ότι f=g.

44 ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

παίρνουμε έναν τρίτο αριθμό. Πράγματι, αν επιλέξουμε τους αριθμούς 5

και 3, τότε παίρνουμε τον αριθμό 8 (5+3=8). Έτσι λοιπόν και η πράξη

δύο συναρτήσεων συνιστά κατ’ αναλογία μία διαδικασία με την οποία

επιλέγουμε δύο συναρτήσεις και παίρνουμε μία τρίτη. Παρακάτω, θα

θεωρούμε δύο συναρτήσεις f και g με πεδίο ορισμού τα σύνολα Α και

Β αντίστοιχα με ΑΒ.

Η Πράξη της Πρόσθεσης:

Έστω η συνάρτηση h με πεδίο ορισμού το σύνολο ΑΒ, ώστε να ισχύει:

h: AB R x f(x)+g(x) Τότε η h θα λέγεται πρόσθεση των f και g και θα συμβολίζεται ως f+g,

δηλαδή h=f+g.

Άλλες Πράξεις:

Όμοια ορίζονται οι συναρτήσεις-πράξεις:

(i) της αφαίρεσης :

fg: AB R x f(x)g(x)

(ii) του πολλαπλασιασμού:

fg: AB R x f(x)g(x)

(iii) της διαίρεσης:

gf : Γ R

x )x(g

)x(f

όπου 0)x(g/BAxΓ .

Οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού δύνανται να

επεκταθούν και σε περισσότερες από δύο συναρτήσεις. Αν για

παράδειγμα έχουμε ακόμα μία συνάρτηση h με πεδίο ορισμού το Δ, τότε

ορίζεται η συνάρτηση:


f+g+h: ABΔ R x f(x)+g(x)+h(x)

Να τονίσουμε ότι οι συμβολισμοί f+g, fg κ.τ.λ. δηλώνουν ονόματα

συναρτήσεων.

Λύση: Η συνάρτηση gf ορίζεται ως εξής:

gf : Γ R

x )x(g

)x(f

όπου 0)x(g/BAxΓ . Όμως ΑΒ=(2,6)(6,10) (γιατί;).

Ακόμη g(x)=0 x=2 ή x=3. Άρα Γ= ΑΒ{2,3}=(2,3)(3,6)(6,10).

Για κάθε xΓ, η συνάρτηση έχει τύπο:

3x2x

)3x)(2x()2x)(2x(

6x5x4x

)x(g)x(fx

gf

2

2

.

Η Πράξη της Σύνθεσης Συναρτήσεων:

Ας θεωρήσουμε την

διαδοχική αντιστοιχία μεταξύ

τριών συνόλων Α, Β και Γ η

οποία επιτυγχάνεται με τη

βοήθεια δύο συναρτήσεων

f και g (βλ. διπλανό σχήμα):

Παράδειγμα 3.1: Έστω οι συναρτήσεις f(x)=x24 με πεδίο ορισμού

το Α=(2,10) και g(x)=x25x+6 με πεδίο ορισμού το Β= R {6}. Να

οριστεί η συνάρτηση gf .


Η f έχει πεδίο ορισμού το Df=A={1,2,3,4}. Η g έχει πεδίο ορισμού το

σύνολο Dg={100,200,241, 500}.

Βλέπουμε ότι 51001 gf και 102002 gf . Άρα με τη

βοήθεια των f , g ο αριθμός 1 μπορεί να αντιστοιχηθεί στο 5 και ο

αριθμός 2 στο 10. Με αυτό τον τρόπο φτιάχνουμε μία νέα συνάρτηση

που ονομάζεται gof:

Παρατηρούμε ότι (gof)(1)=5,

αλλά και g(100)=5g(f(1))=5.

Άρα (gof)(1)= g(f(1)).

Γενικότερα ισχύει ότι (gof)(x)= g(f(x)) για κάποιες τιμές του xDf, όχι

κατ’ ανάγκη όλες. Η συνάρτηση gof διαβάζεται σύνθεση της f με τη g και

μάλιστα παίζει ρόλο η σειρά με την οποία αναφέρουμε τις συναρτήσεις.

Πρώτη αναφέρουμε εκείνη τη συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού

δίνει τιμές στο x. Για παράδειγμα όταν αναφερόμαστε στη gof, ισχύει ότι

DgofDf. Όμοια ισχύει ότι DfogDg.

Στο προηγούμενο παράδειγμα, βλέπουμε ότι μόνο οι αριθμοί 1 και 2

έχουν αντιστοιχία με στοιχεία του Β (δηλαδή τους αριθμούς 100 και 200)

τα οποία με τη σειρά τους μπορούν να αντιστοιχηθούν στο Γ. Δηλαδή

από το πεδίο ορισμού της f παίρνουμε μόνο αυτά τα x για τα οποία ισχύει

ότι τα αντίστοιχα f(x) ανήκουν στο πεδίο ορισμού της g.

Άρα Dgof={xDf / f(x)Dg}.

Ας δούμε τώρα την παρακάτω αντιστοιχία:


Σε αυτή την αντιστοιχία βλέπουμε ότι κανένα στοιχείο του Α δεν μπορεί

να αντιστοιχηθεί με τη βοήθεια των f και g στους αριθμούς 150 και 248

του Γ, διότι το σύνολο τιμών της f δεν έχει κανένα κοινό στοιχείο με το

πεδίο ορισμού της g.

Για να ορίζεται η gof πρέπει να ισχύει ότι f(Df)Dg≠.

Στη σύνθεση gof, η f θα λέγεται εσωτερική συνάρτηση και η g

εξωτερική συνάρτηση.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Λύση:

Είναι Df= R* και Dg=(0,+)

Εύρεση της gof: Για το πεδίο ορισμού της gof θα πρέπει να ισχύουν

οι περιορισμοί: (xDf και f(x) Dg) (x≠0 και 0x1 ) x>0. Άρα

Παράδειγμα 3.2: Δίνονται οι συναρτήσεις x1)x(f και g(x)=lnx.

Να εξεταστεί αν ισχύει η ισότητα gof=fog.


Dgof=(0,+). H gof έχει τύπο

xlnx1ln

x1g)x(fg)x)(gof(

.

Εύρεση της fog: Για το πεδίο ορισμού της fog θα πρέπει να ισχύουν οι περιορισμοί: (xDg και g(x)Df) (x>0 και lnx≠0) (x>0 και x≠1). Άρα Dfog=(0,1)(1,+). Αφού Dgof≠ Dfog, τότε έπεται

ότι (fog)≠(gof). H fog έχει τύπο xln

1xlnf))x(g(f)x)(fog( .

Ως γενικό συμπέρασμα μπορούμε να πούμε ότι στην πράξη της σύνθεσης

δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα. Ισχύει όμως η προσεταιριστική

ιδιότητα, δηλαδή fo(goh)=(fog)oh.

Λύση: Θέτουμε u=x2+1≥1x2=u1. Επίσης, η u έχει σύνολο τιμών το

[1,+). Επομένως, ισχύει η ισοδυναμία:

(f(x2+1)=x21 για κάθε xR) (f(u)=u2 για κάθε u≥1).

Άρα μία συνάρτηση που ικανοποιεί τη συνθήκη (1) είναι η f(x)=x2 με

x≥1.

Να τονίσουμε ωστόσο ότι η f δεν είναι μοναδική. Για παράδειγμα κάθε

συνάρτηση f1 της μορφής:

B,)x(g

),1[x,2x)x(f1 , όπου g είναι

μία τυχαία συνάρτηση που ορίζεται σε ένα σύνολο Β(,1), ικανοποιεί

επίσης τη συνθήκη (1). Πράγματι: 1x2)1x()1x(f 2211x

21

2

.

Άρα υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που ικανοποιούν τη συνθήκη (1).

Παράδειγμα 3.3: Να βρεθεί συνάρτηση f, ώστε να ισχύει

f(x2+1)=x21, xR (1).


Λύση: Έχουμε 1x)x(f1x)x(f1x)x(f 22222

1x)x(fή1x)x(f 22 .

(Το αποτέλεσμα της προηγούμενης γραμμής δεν πρέπει να μας οδηγεί στο

λανθασμένο συμπέρασμα ότι η συνάρτηση f έχει δύο δυνατούς τύπους

μόνο.

Αυτό που δηλώνει η παράσταση

« 1x)x(fή1x)x(f 22 » είναι δύο δυνατές αντιστοιχίες που μπορεί να έχει η ανεξάρτητη μεταβλητή x:

1xxή1xx 22 . Αυτή η διπλή δυνατότητα αντιστοιχίας μπορεί να ενυπάρχει συγχρόνως στην ίδια συνάρτηση, όπως φαίνεται και στο διπλανό βελοδιάγραμμα.) Επομένως υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις f που ικανοποιούν τη συνθήκη

1x)x(f 22 xR και οι οποίες έχουν τύπο της γενικής μορφής:

Bx,1xAx,1x)x(f

2

2, με AB= και ΑΒ=R.

(Για παράδειγμα δύο συναρτήσεις που ικανοποιούν τη συνθήκη

1x)x(f 22 xR είναι οι εξής:

Παράδειγμα 3.4: Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει

1x)x(f 22 για κάθε xR.

(α) Να αποδειχτεί ότι υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που

ικανοποιούν την παραπάνω συνθήκη.

(β) Να γραφτεί ο τύπος της συνάρτησης f αν είναι γνωστό ότι ισχύει

η ισοδυναμία f(x)>0 x1.


),2()1,(x,1x]2,1[x,1x)x(f

2

2

1 και

1xΟx,1x

x,1x)x(f 22

2

2

π , xR.)

(β) Επειδή ισχύει 01x2 xR και 01x2 xR, έπεται

ότι f(x)0 και από υπόθεση προκύπτει ότι για x1

1x)x(f0)x(f 2 . Επίσης, από υπόθεση προκύπτει ότι f(1)<0,

δηλαδή ότι 211)1(f 2 . Επομένως έχουμε ότι

1xαν,21xαν,1x)x(f

2.

Λύση: (i) Θέτουμε u=g(x) (την εσωτερική συνάρτηση). Τότε έχουμε

3ux3xu . Επειδή (fog)(x)=f(g(x)) και επειδή η u=g(x)=x3

έχει σύνολο τιμών το R, έπεται ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή της f θα

δέχεται ως τιμές οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό, δηλαδή θα ισχύει ότι

Df=R.

Επίσης έχουμε: 16x11x2)x(gf16x11x2)x)(fog( 22

1uu2)u(f...16)3u(11)3u(2uf 22u)x(g

3ux

.

Επομένως βρήκαμε μοναδική συνάρτηση, την 1xx2)x(f 2 , xR.

Παράδειγμα 3.5: Να βρεθεί συνάρτηση f, ώστε να ισχύει:

(i) (fog)(x)=2x2 11x+16 xR, με g(x)=x3.

(ii) (fog)(x)=x+5 x≥0 με g(x)=√퐱.


(ii) Θέτουμε u=g(x) (την εσωτερική συνάρτηση). Τότε έχουμε 2uxxu , u≥0. Το σύνολο τιμών της u=g(x) είναι το σύνολο

[0,+). Τότε για u=g(x)≥0, έχουμε ότι :

5u)u(f5x)x(gf5x)x)(fog( 2u)x(g

ux 2

για κάθε u≥0.

Επειδή το σύνολο τιμών της εσωτερικής συνάρτησης u=g(x) είναι το

[0,+) και όχι το R, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, αυτό σημαίνει

ότι η f μπορεί να οριστεί ελεύθερα και για τις υπόλοιπες τιμές στο

διάστημα (,0). Στην πραγματικότητα υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις f

που ικανοποιούν τη συνθήκη της εκφώνησης και όλες αυτές έχουν τύπο

της γενικής μορφής

Bxαν,)x(h0xαν,5x)x(f

2

, όπου h(x) μία

οποιαδήποτε συνάρτηση που μπορεί να οριστεί σε σύνολο Β με

B(,0).

(Για παράδειγμα αν λάβουμε υπόψη τις συναρτήσεις:

0xαν,x0xαν,5x)x(f

2

1 ,

1x10αν,x1

0xαν,5x)x(f

2

2 και

8x100,x1

1x2,x1

0x,5x

)x(f

2

3 ,τότε για όλες αυτές τις συναρτήσεις

ισχύει η συνθήκη της εκφώνησης.)


ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3.1) Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις ισχύει f=g.

Στην περίπτωση που ισχύει f≠g, να προσδιορίσετε το ευρύτερο

υποσύνολο του R για το οποίο ισχύει f(x)=g(x):

i) 2xxf και 2xxg ii) xx1x)x(f

2

2

και x11)x(g

iii) 1x

1x)x(f

και 1xxg

iv) x2x

2xf

και x2x)x(g

v) 1xlnxf και 1xlnxg

vi) xxxf και 1x1xxg 2

vii) 4xx2x

xf 2

2

και 2x

xxg

viii) f(x)=ημ2x και g(x)=συν(π2x)

3.2) Να βρείτε τις συναρτήσεις f+g, fg, gf :

i) 1x1xxf 3

2

και x1

1xxxg2

ii) x3

xxf

και

9xx26

xg 2

iii) 12x

1xf

και 2x3x

1xg 2

iv)

4x0,x21

0x,x1)x(f και

2x,0

2x3,x2)x(g

3.3) Να ορίσετε τις συναρτήσεις fog και gof στις παρακάτω περιπτώσεις:


i) 2xxf και 2xxg

ii) 2x)x(f 2 και 3x

1)x(g

iii) f(x)=2x1 και 2x1)x(g

iv) x1)x(f και

1xx)x(g

v)

0x,4x

0x,3xxf και

1x,x1

1x,x2xg (μόνο τη gof)

3.4) Να εκφράσετε τη συνάρτηση f ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων

συναρτήσεων:

i) f(x)=ημ(x22) ii) f(x)= 3συν2(5x)+4 iii) f(x)=ln(εφ(2x+1)))

iv) f(x)= xx με x>0 v) 1xxf 2 vi) 1x5x 25)x(f

3.5) Δίνεται η συνάρτηση f:RR και οι συναρτήσεις

))x(f)x(f(21xg , ))x(f)x(f(

21xh , xIR.

α) Να δείξετε ότι η g είναι άρτια και η h περιττή.

β) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται ως άθροισμα μίας άρτιας και μίας

περιττής συνάρτησης.

3.6) Έστω οι συναρτήσεις f:AR και g:BR, ώστε f(A)B≠.

α) Να δείξετε ότι αν η f είναι άρτια, τότε και η gof είναι άρτια.

β) Να δείξετε ότι αν η f είναι περιττή και η g άρτια, τότε η gof είναι

επίσης άρτια.

3.7) Αν για τη συνάρτηση f:RR ισχύει ότι fog=gof για κάθε σταθερή

συνάρτηση g, τότε ισχύει ότι f(x)=x για κάθε xR.


3.8) Έστω η συνάρτηση f:RR και α, β δύο σταθεροί αριθμοί. Αν για

κάθε σταθερή συνάρτηση g ισχύει (fog)(x)=α(gof)(x)+β, τότε να

αποδείξετε ότι f(x)=αx+β.

3.9) Αν x)x(f , τότε να βρείτε τη συνάρτηση θοςήπλτον

f...fff .

3.10) Έστω οι συναρτήσεις f, g και φ που έχουν πεδίο ορισμού το Α=R.

Αν ισχύει ότι fog=goφ=Ι όπου Ι(x)=x για κάθε xR (ταυτοτική

συνάρτηση), τότε να δείξετε ότι f=φ.

3.11) Δίνεται η συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει (fof)(x)=4x3

και (fofof)(x)=8x+λ για κάθε xR. Να αποδείξετε ότι 7λ και να

προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης f.

3.12) Δίνεται η συνάρτηση g(x)=x2+αx+β, xR και μία συνάρτηση

f:RR για την οποία ισχύει (i) fog=gof και (ii) ισχύει η ισοδυναμία

f(x)=x x=ξ

(α) Να δείξετε ότι (α1)2≥4β.

(β) Αν επιπλέον ισχύει η ισοδυναμία f(x)=ξ x=ξ, τότε να δείξετε ότι

(α1)2=4β.

3.13) Έστω συνάρτηση f:RR και αριθμός αR*, ώστε να ισχύει

(fof)(x)=f(x)+αx για κάθε xR. Να βρείτε την τιμή f(0).

3.14) Να βρείτε συνάρτηση f ώστε να ισχύει:

(i) (fog)(x)=3x22x+1 για κάθε xR, με g(x)=x2.

(ii) 2x1)x)(fog( για κάθε xR, με g(x)= x2.


(iii) xημ)x)(gof( για κάθε xR, με 2x1)x(g .

(iv) f(ex)=3x22x+4 για κάθε xR.

(v) f(5+lnx)=x22lnx+1 για κάθε x>0.

(vi) x2x2)x)(fog(

για κάθε x>0 με x≠2 και g(x)=lnx.

Σε κάθε περίπτωση, να εξετάσετε αν η f είναι μοναδική.

3.15) (i) Έστω δύο συναρτήσεις g και h με κοινό πεδίο ορισμού Α, ώστε

η g να είναι άρτια, ενώ η h να μην είναι. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει

συνάρτηση f, τέτοια ώστε (fog)(x)=h(x).

(ii) Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f, ώστε να ισχύει f(x2+1)=x1

για κάθε xR.

56 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4η

(ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ)

A) Μονοτονία Συνάρτησης:

Ορισμός: Μία συνάρτηση f λέμε ότι είναι γνησίως αύξουσα (αντ. γν.

φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, όταν για κάθε x1, x2Δ με x1<x2 να

ισχύει ότι f(x1)<f(x2) (αντ. f(x1)>f(x2)). Αν η συνάρτηση f είναι

γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε γράφουμε «f<Δ» και

αντίστοιχα αν f γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ , τότε θα

γράφουμε «f2Δ».

Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε

ένα διάστημα Δ, τότε θα λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ.

σχ.1

ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 57

Επεκτάσεις του ορισμού:

Η έννοια της γνησίως μονότονης ή γνησίως φθίνουσας συνάρτησης δύναται να επεκταθεί και σε σύνολα που δεν είναι διαστήματα.

Αν η f ορίζεται σε ένα σύνολο Α και ισχύει ότι για κάθε x1, x2Α με x1<x2 ισχύει ότι f(x1)≤f(x2), τότε θα λέμε ότι η f είναι αύξουσα στο Α και θα γράφουμε «f↗Α». Με ανάλογο τρόπο ορίζεται και η φθίνουσα συνάρτηση στο Α και σε αυτή την περίπτωση γράφουμε «f↘A».

Β) Ακρότατα Συνάρτησης:

Ορισμός: Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Τότε θα

λέμε ότι η f:

παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο xoA, το f(xo), όταν f(x)≤f(xo) xA (σχ. 3). Το xo λέγεται θέση μεγίστου, ενώ το f(xo) λέγεται μέγιστη τιμή.

παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο xoA, το f(xo), όταν f(x)≥f(xo) xA (σχ. 4). Το xo λέγεται θέση μεγίστου, ενώ το f(xo) λέγεται μέγιστη τιμή.

σχ.2



σχ.3

σχ.4

Παράδειγμα 4.1: Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα

ακρότατα, τη συνάρτηση με τύπο

0x,x1

0x,e)x(f

2

x

.


Λύση:

Για )x(f)x(fee0xx 21xx

2121 f<(,0).

Για )x(f)x(fx1x1xxxxxx0 21

22

21

22

21

22

2121

f2[0,+).

Ως προς τα ακρότατα, παρατηρούμε

πρωτίστως ότι f(0)=102=1.

Για x<0ex<e0ex<1f(x)<f(0). Για

x≥0x2≥0x2≤01x2≤1f(x)≤f(0).

Άρα xR, ισχύει ότι f(x)≤f(0). Ο αριθμός

xo=0 είναι θέση μεγίστου και η μέγιστη τιμή

ισούται με f(0)=1.

Λύση: Γνωρίζουμε ότι στο διάστημα [0,π] η συνάρτηση είναι γνησίως

φθίνουσα, ενώ στο [π,2π] είναι γνησίως αύξουσα. Η f όμως είναι

περιοδική με περίοδο Τ=2π. Άρα σε κάθε διάστημα της μορφής

[κ2π+0,κ2π+π], όπου κZ η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ

σε κάθε διάστημα της μορφής [κ2π+π,κ2π+2π]= [2κπ+π,2π(κ+1)], όπου

κZ η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.


ακρότατα, τη συνάρτηση f(x)=συνx, x R.


Στο [0,2π] η f παρουσιάζει μέγιστο στους αριθμούς x1=0 και x2=2π. Άρα

λόγω της περιοδικότητας η f θα παρουσιάζει μέγιστο σε κάθε αριθμό

x=κ2π (μορφή 1) και σε κάθε αριθμό x=κ2π+2π=2π(κ+1) (μορφή 2),

κZ. Όμως στη δεύτερη μορφή αν θέσουμε λ=κ+1, τότε η ισότητα

ανάγεται στη μορφή x=λ2π. Όταν το κ διατρέχει όλο το Z, τότε και ο λ

διατρέχει επίσης το όλο το Z. Δηλαδή, οι μορφές 1 και 2 είναι

ισοδύναμες και επομένως χρησιμοποιούμε μόνο τη μία από τις δύο. Άρα

κάθε αριθμός της μορφής xo=κ2π, κZ είναι θέση μεγίστου και η

μέγιστη τιμή ισούται με f(xo)=συν(κ2π)=συν(κ2π+0)=συν0=1.

Στο [0,2π] η f παρουσιάζει ελάχιστο στον αριθμό xo=π το οποίο ισούται

με 10συν)0π(συνσυνπ . Λόγω της περιοδικότητας, κάθε

αριθμός της μορφής x=κ2π+π, κZ είναι επίσης θέση ελαχίστου.

Λύση: Για x1, x2 R με x1<x2

x15<x2

5f(x1)<f(x2). Άρα f< R. Κατά

συνέπεια η f δεν έχει ακρότατα στο R.


ακρότατα, τη συνάρτηση f(x)=x5, x R.


Λύση: Με ανάλογο τρόπο προκύπτει ότι f<[1,3]. Για

.27)x(f1)3(f)x(f)1(f3x1.ξύα.γνf

Η f παρουσιάζει ελάχιστο για x=1 την τιμή

f(1)=1 και μέγιστο για x=3 την τιμή f(3)=27.

Λόγω μονοτονίας, οι θέσεις ακροτάτων είναι

και μοναδικές. Παρατηρούμε από τα δύο

τελευταία παραδείγματα ότι τα ακρότατα

εξαρτώνται όχι μόνο από τον τύπο της συνάρτησης, αλλά και από το

πεδίο ορισμού της.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

4.1) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις:

(i) x21x31)x(f (ii) f(x)=3ln(x1)4

(iii) x241)x(f

x

(iv)

x21x)x(f 5 , x>0

(v) 2e4)x(f x5 (vi) f(x)=(x3)2+1

(vii) f(x)=5x+λ(1x), λR


1x,2x31x0,1

0x,1x3)x(f .

(α) Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης στα διαστήματα (,0],

(0,1) και [1,+).

(β) Να εξετάσετε τη μονοτονία της f στο R.


ακρότατα, τη συνάρτηση f(x)=x3, x[1,3].



2x,x1

2x0,1x

0x,x

)x(f2

2

.

(α) Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης στα διαστήματα (,0],

(0,2] και (2,+).

(β) Είναι η συνάρτηση γνησίως φθίνουσα στο R;

4.4) Να μελετήσετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως προς τα ακρότατα

(θέση και τιμή):

(i) 7x43)x(f (ii) 2x52)x(f (iii) f(x)=(x3)2016 1

(iv) f(x)=ln(x2)+1 (v) f(x)=3ημx4 (vi) f(x)=(x4)2015+2

(vii) 21x3)x(f (viii)

1x,1x2

1x0,1

0x,1x2

)x(f

(ix)

3x1,1x2

1x0,1

0x5,1x2

)x(f

(x)

2x1,1x21

1x0,3)1x()x(f

2

2

Επιπλέον, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων στα

τρία τελευταία ερωτήματα.


4.5) Για τις διάφορες τιμές του λR* να βρείτε το μέγιστο ή το ελάχιστο

της συνάρτησης με τύπο f(x)=λx22λx+4

4.6) Να βρείτε τον αριθμό kR*, ώστε η συνάρτηση

213kx3kx)x(f 2 να έχει μέγιστο τον αριθμό k.

4.7) Να βρείτε το θετικό αριθμό k, ώστε η συνάρτηση

kxkkx)x(f 2 , να έχει ελάχιστο τον αριθμό μηδέν.

4.8) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x)=x2(2k+1)x+k, xR. Να

αποδείξετε ότι για κάθε kR, η γραφική παράσταση της f τέμνει τον x΄x

σε δύο διαφορετικά σημεία A(x1,0) και Β(x2,0). Να βρείτε για ποια τιμή

του kR η παράσταση Γ=x1(x1+3x2)+x2(x2+3x1) παίρνει την ελάχιστη

τιμή της. Ποια είναι αυτή η τιμή;

4.9) Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης:

(i) f στο διάστημα Δ, αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

(ii) f+g στο διάστημα Δ, αν οι f και g είναι γνησίως αύξουσες στο Δ.

(iii) fg στο διάστημα Δ, αν οι f και g είναι γνησίως φθίνουσες στο Δ με

f(x)≥0 και g(x)≥0 στο ίδιο διάστημα.

(iv) της gof στο R, αν η f < R και g2R.

4.10) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:

(i) 3x+4x=5x (ii) 5x+12x=13x (iii) xx ex2e (iv) lnx=2(1x)

(v) αx+(α1)x=2α1 όπου α>1.

4.11) Έστω η συνάρτηση f(x)=x3+x+lnx2.

(α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.


(β) Να λύσετε την εξίσωση x6+x2=2lnx2

4.12) Έστω οι συναρτήσεις f,g: (0,+) R με τύπους 1xe)x(f και

x1)x(g .

(α) Να δείξετε ότι η fg είναι γνησίως αύξουσα.

(β) Να δείξετε ότι οι Cf και Cg έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο.

4.13) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:

(i) 3x+4x<5x (ii) 5x+12x>13x (iii) xx ex2e (iv) lnx>2(1x)

(v) αx+(α1)x≤2α1 όπου α>1 (vi) ex+x<1 (vii) 2x1

x22 για x>0.

4.14) Έστω η συνάρτηση f:[0,+) με τύπο x1

x)x(f

.

(α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

(β) Να αποδείξετε ότι για κάθε α, βR, ισχύει η σχέση

βα1βα

βα1βα

.

4.15) Στα παρακάτω σχήματα δίνονται τα σημεία Α(x1,y1), Β(x2,y2) και

Γ(x3,y3). Να εξετάσετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως προς τα ακρότατα

(θέση και τιμή):

66 ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 5η

Συναρτήσεις 1-1

Αντίστροφες Συναρτήσεις Α) Συναρτήσεις 1-1

Έστω οι συναρτήσεις f, g του παρακάτω σχήματος:

Στην περίπτωση της f , παρατηρούμε ότι για x1≠x2 ισχύει ότι f (x1)≠f(x2),

ενώ δεν συμβαίνει αυτό στην περίπτωση της g, διότι για παράδειγμα

ισχύει ότι 1≠2 αλλά g(1)=g(2)=100. Δίνουμε τον παρακάτω ορισμό:

Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται η παρακάτω πρόταση:

Πρόταση: Μία συνάρτηση f:A R είναι 1-1 αν και μόνο αν για κάθε

x1, x2Α ισχύει η συνεπαγωγή (f(x1)=f(x2)x1=x2).

Προσοχή!!! : Η αντίστροφη συνεπαγωγή, δηλαδή η συνεπαγωγή

(x1=x2f(x1)=f(x2)) ισχύει σε κάθε συνάρτηση, όχι μόνο στις 1-1.


Ορισμός: Μία συνάρτηση f:AR θα λέγεται 1-1(ένα προς ένα), αν

για κάθε x1, x2Α με x1≠x2 ισχύει ότι f (x1)≠f(x2).

Παράδειγμα 5.1: Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f: [0,+∞) R με

f(x)=x2 είναι 1-1.

ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 67

Λύση: Πράγματι έστω x1, x2[0,+∞) με f(x1)=f(x2). Τότε:

21

0x,x

2122

21

22

2121 xxxxxxxx)x(f)x(f

21

.

Λύση: Πράγματι ισχύει 1≠ 1, αλλά f(1)=f(1)=1.

Συμπέρασμα: Όχι μόνο ο τύπος αλλά και το πεδίο ορισμού καθορίζουν

αν μία συνάρτηση είναι 1-1 ή όχι.


Έστω τώρα η συνάρτηση f του πρώτου σχήματος:

(α) Αν επιλέξουμε y=200, τότε η εξίσωση f(x)=200 έχει μοναδική λύση

τη x=2. Γενικά αν μία συνάρτηση f:A R είναι 1-1, τότε η εξίσωση

f(x)=y έχει μοναδική λύση ως προς x, για κάθε yf(A).

(β) Επειδή σε μία συνάρτηση 1-1 δύο διαφορετικά «x» αντιστοιχούν σε

δύο διαφορετικά «y», τότε οποιαδήποτε οριζόντια ευθεία θα τέμνει τη

Cf σε ένα το πολύ σημείο.

Παράδειγμα 5.2: Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f:RR με f(x)=x2

δεν είναι 1-1.


(γ) Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως

μονότονη, τότε προφανώς θα είναι

1-1, το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα

όπως φαίνεται και στο διπλανό

σχήμα:

Β) Αντίστροφη συνάρτηση

Έστω οι συναρτήσεις f και g του παρακάτω σχήματος:

Ας ονομάσουμε 1f και 1g τις αντιστοιχίες που προκύπτουν από τις f

και g αν αντιστρέψουμε τη φορά των βελών:


Παρατηρούμε ότι η g δεν είναι 1-1 και ότι η αντιστοιχία 1g δεν

είναι συνάρτηση. Παρατηρούμε ότι η f είναι 1-1 και ότι η αντιστοιχία 1f είναι

συνάρτηση. Σε αυτή την περίπτωση η 1f λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της f. Παρατηρείστε ότι π.χ. f(1)=100 και 1)100(f 1 .

Γενικά έχουμε τον παρακάτω ορισμό:


(α) Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι η αντίστροφη της 1f είναι

η f, δηλαδή ff 11 .

(β) Το πεδίο ορισμού της 1f είναι το σύνολο τιμών της f και το σύνολο

τιμών της 1f είναι το πεδίο ορισμού της f.

Ορισμός: Έστω μία συνάρτηση f 1-1 η οποία περιγράφεται από την

αντιστοιχία:

f: A R x y Τότε ορίζεται μία συνάρτηση η οποία συμβολίζεται ως 1f και

περιγράφεται από την αντιστοιχία: 1f : f(A) R

y x Η συνάρτηση αυτή λέγεται αντίστροφη της f.


(γ) Ισχύει ότι f(x)=y αν και μόνο αν x)y(f 1 :

(δ) Ως συνέπεια από την προηγούμενη παρατήρηση παίρνουμε τις

παρακάτω ισότητες:

(α) x)y(f))x(f(f 11 x))x(f(f 1 , xA.

(β) y)x(f))y(f(f 1 y))y(f(f 1 , yf(A).

Λύση: Πράγματι είναι:

(α) Df=R=g(Dg) και f(Df)=(0,+∞)=Dg.

(β) Έστω xA και yf(A) ώστε f(x)=y. Τότε f(x)=y αx=y

logαy=x g(y)=x.

Άρα gf 1 .

Γ) Συμμετρία των Cf και 1fC

Έστω οι συναρτήσεις f και 1f που περιγράφονται στο παρακάτω σχήμα:

Παράδειγμα 5.3: Να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις f(x)=αx και

g(x)=logαx είναι αντίστροφες.


Τα γραφήματα των Cf και 1fC είναι τα σύνολα:

Cf={(1,100), (2,200), (3,300)} και 1fC ={(100,1), (200,2), (300,3)}

Παρατηρούμε ότι (x,y) Cf (y,x) 1fC . Αυτή η σχέση ισχύει πάντα

μεταξύ των γραφημάτων δύο αντίστροφων μεταξύ τους συναρτήσεων.

Όμως δύο σημεία Α(x,y) και

Β(y,x), δηλαδή δύο σημεία με

αντίστροφα τοποθετημένες τις

συντεταγμένες τους, είναι

συμμετρικά ως προς την ευθεία

y=x (διχοτόμος του 1ου και 3ου

τεταρτημορίου):

Συμπέρασμα: Οι Cf και

1fC είναι συμμετρικές ως

προς την ευθεία y=x.


Ένας τρόπος να δούμε τη γραφική παράσταση 1fC , χωρίς να τη

σχεδιάσουμε, όταν έχουμε τη γραφική παράσταση της f είναι ο εξής:

(α) Περιστρέφουμε τη Cf κατά 90ο προς τη θετική φορά, ώστε ο άξονας

x΄x να γίνει κατακόρυφος και ο y΄y οριζόντιος (διότι μεταξύ δύο

αντιστρόφων συναρτήσεων τα «x» και «y» αντιμετατίθενται).

(β) Επειδή ο θετικός οριζόντιος ημιάξονας Οy πρέπει να «κοιτάει» προς

τα δεξιά, τότε προβάλουμε το σχήμα σε έναν καθρέπτη και βλέπουμε τη

1fC ή αν δεν έχουμε καθρέπτη, τότε

(γ) στρέφουμε τη σελίδα προς μία φωτεινή πηγή και κοιτάμε το σχήμα

από την πίσω πλευρά της σελίδας (περιστροφή κατά 180ο γύρω από τον

κατακόρυφο άξονα):

Δ) Χρήσιμες Προτάσεις

Πρόταση 5.1: Αν η f είναι γνησίως μονότονη, τότε και η 1f έχει το

ίδιο είδος μονοτονίας.

Απόδειξη: Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι f < σε ένα σύνολο Α.

Θα δείξουμε ότι και η 1f είναι γνησίως αύξουσα στο f(Α). Πράγματι,

έστω y1, y2f(A) με y1<y2. Τότε θα υπάρχουν x1, x2A, ώστε y1=f(x1)

και y2=f(x2). Άρα έχουμε:


)y(f)y(fxx)x(f)x(fyy 21

11

21

.ύ.f

2121

.

Πρόταση 5.2: Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, τότε τα κοινά σημεία

των Cf και 1fC , αν υπάρχουν, θα βρίσκονται στην ευθεία y=x.

Απόδειξη: Έστω ότι το σημείο A(x1,y1) είναι κοινό σημείο των Cf και

1fC . Θα δείξουμε ότι y1=x1. Πράγματι αφού A(x1,y1) κοινό σημείο των

Cf και 1fC , τότε ισχύουν οι σχέσεις:

11

11

111

11

x)y(f

y)x(f

y)x(f

y)x(f.

Αν 11

.ύ.f

1111 xy)x(f)y(fyx

, αδύνατο.

Όμοια αν 11

.ύ.f

1111 xy)x(f)y(fyx

, αδύνατο.

Άρα y1=x1.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε

για παράδειγμα ότι η 2x)x(f

με x0 και η αντίστροφή της

x)x(g έχουν το ίδιο είδος

μονοτονίας (πρόταση 1).

Επιπλέον επειδή η f είναι <,

τότε οι fC και 1fC τέμνονται

στην ευθεία y=x (πρόταση 5.2).

Αν η f δεν είναι γνησίως αύξουσα, τότε ενδέχεται οι Cf και 1fC να έχουν

κοινά σημεία που να μην ανήκουν στην y=x (βλ. παραδείγματα 5.5 και

5.6 παρακάτω).



Λύση:

(α) Έστω x1, x2A, ώστε f(x1)=f(x2) 3x1+1=3x2+1…x1=x2. Άρα η

f είναι 1-1.

(β) (Όταν μας ζητούν να βρούμε μία συνάρτηση, τότε πρέπει να μην

ξεχνούμε ότι εκτός από τον τύπο πρέπει να βρίσκουμε και το πεδίο

ορισμού.)

Επειδή f(x)=y x)y(f 1 , θέτουμε f(x)=y και λύνουμε αυτήν την

εξίσωση ως προς x ώστε να βρούμε τον τύπο της 1f . Το πεδίο ορισμού

θα προέλθει από τους περιορισμούς που θα προκύψουν για το y.

31yx...y1x3

. Άρα 3

1y)y(f 1 . Όμως 2≤x≤3. Άρα

10y591y633

1y2

. Άρα η 1f έχει τύπο

31y)y(f 1

με 5≤y≤10. Επειδή όμως συνηθίζουμε να

χρησιμοποιούμε το γράμμα «x» ως ανεξάρτητη μεταβλητή έχουμε:

31x)x(f 1

με 5≤x≤10.

Παράδειγμα 5.4: Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x)=3x+1 όπου

xΑ=[2,3].

(α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι 1-1.

(β) Να βρεθεί η 1f .


Λύση:

(α) Έστω x1 και x2R, με x1<x2. Τότε x1<x2

)x(f)x(fxxxx 2132

31

32

31 . Άρα f > R.

(β) Πρώτα θα βρούμε την 1f .

Αν x≥0 ,τότε y= x3≤0. Άρα 33 yxyx .

Αν x<0 ,τότε y=x3>0. Άρα .yxyxyx 333

Επομένως

0y,y

0y,y)y(f

3

3

1 ή

0x,x

0x,x)x(f

3

3

1 .

Οι τετμημένες των σημείων τομής των Cf και 1fC θα βρεθούν από τη

λύση της εξίσωσης )x(f)x(f 1 .

Για x≤0, τότε 3333331 xxxx)x(f)x(f x9= x x9x=0 x(x81)=0 x=0 ή x= 1 ή x=1 (απορρίπτεται).

Για x>0, τότε 3333331 xxxx)x(f)x(f x9= x x9x=0 x(x81)=0 x=0 (απορρ.) ή x= 1( απορρ.) ή x=1.

Άρα τα σημεία τομής είναι τα

A(1,f(1)) , B(1,f(1)) και

Ο(0,f(0)), δηλαδή Α(1,1),

Β(1,1) και Ο(0,0) όπως

φαίνεται και στο διπλανό σχήμα:

Παράδειγμα 5.5: Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x3, xR.

(α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.

(β) Να βρεθούν τα σημεία τομής των fC και 1fC .


Λύση:

(α)

Έστω x1, x2(∞,0]. Τότε 21

0x,x22

2121 xxxx)x(f)x(f

21

. Έστω x1, x2(0,+∞). Τότε 212121 xxxx)x(f)x(f .

Έστω x1≤0<x2. Τότε 22121 xx)x(f)x(f , αδύνατο διότι

0x 21 , ενώ 0x 2 .

Άρα για κάθε x1, x2R με f(x1)=f(x2) έπεται ότι x1=x2. Δηλαδή η f είναι

1-1.

(β) Έστω y=f(x).

Αν x≤0, τότε y=x2≥0. Άρα, yx .

Αν x>0, τότε y= x<0. Άρα, x= y.

Άρα

0x,x0x,x)x(f 1 .

Οι γραφικές παραστάσεις Cf και

1fC φαίνονται στο διπλανό

σχήμα. Ως άσκηση ο αναγνώστης

μπορεί να υπολογίσει τις

συντεταγμένες των σημείων τομής

των δύο γραφικών παραστάσεων.

Παράδειγμα 5.6: Δίνεται η συνάρτηση με τύπο

0x,x0x,x)x(f

2

.

(α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι 1-1.

(β) Να βρεθεί η 1f .


ΑΣΚΗΣΕΙΣ

5.1) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι 1-1 και για

κάθε μία από αυτές να βρείτε την αντίστροφή της:

(i) f(x)=5x2 (ii) f(x)=x21 (iii) f(x)=ln(2x)

(iv) 3e)x(f x (v) f(x)=ln(2x4) (vi) f(x)=x25x+6

(vii) 4x)x(f (viii) 1e1e)x(f x

x

(ix)

5 x32)x(f

(x) f(x)=6x4, x[1,7) (xi) f(x)=x26x+8, x[3,+)

(xii) 1x2x3)x(f

(xiii) 1x2xln)x(f

(xiv) 1e1e2)x(f x

x

(xv) f(x)=ln(ex1) (xvi)

1x,1x

1x0,2xln)x(f

(xvii) f(x)=max{x,x3} xR.

5.2) Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x7+3x54

(i) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.

(ii) Να λύσετε την εξίσωση x7+3x5=4

(iii) Αν λ, μ ΙR και ισχύει ότι λ7μ7=3μ53λ5, τότε να δείξετε ότι λ=μ.

(iv) Να λύσετε την εξίσωση (x21)7+3(x21)5=4.

5.3) Δίνεται η συνάρτηση 1xlnx1)x(f


(ii) Να λύσετε τις εξισώσεις:


(α) lnxx+x=1 για x>0 και (β) )2x3)(1x(

1x22x31xln 22

2

2

2

5.4) Δίνεται η συνάρτηση 2xe)x(f x3 .


(ii) Να λύσετε τις εξισώσεις:

(α) 2ex x3 (β) 21xe 21x3 2

(γ) 6xx5ee 2x93x4x 2

5.5) Έστω οι συναρτήσεις f,g:RR ώστε η fog να είναι 1-1. Να δείξετε

ότι και η g είναι 1-1.

5.6) Δίνεται η συνάρτηση 1x3x2)x(f

.

(i) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι 1-1.

(ii) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη.

5.7) Αν xR ισχύει 6f(x2)f 2(x)≥9, τότε να αποδείξετε ότι η f δεν

είναι 1-1.

5.8) Έστω μία συνάρτηση f:RR που ικανοποιεί τη συνθήκη

f(f(x))+f3(x)=2x+5, x R.

(i) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

(ii) Να λύσετε την εξίσωση f(2x3+x2)=f(2x)

5.9) Δίνεται η συνάρτηση 3xβxα)x(f

όπου α, βR.

(i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται αν και μόνο αν 3α+β0.

(ii) Να βρείτε τους αριθμούς α και β, ώστε να ισχύει 1ff .


(iii) Ποια μορφή έχει η Cf, όταν 3α+β=0;

5.10) Δίνεται συνάρτηση f:RR για την οποία υπάρχει σταθερός

πραγματικός αριθμός κ0, ώστε να ισχύει f(x+2κ)=f(x) xR. Να

εξετάσετε αν η f είναι 1-1.

5.11) Δίνεται συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει η ιδιότητα:

f(f(x))=αx+f(x) xR (α0). Να αποδείξετε ότι:

(α) η f είναι 1-1. (β) f(0)=0.

5.12) Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3+2x.

(i) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη.

(ii) Να υπολογίσετε το )3(f 1 .

(iii) Να λύσετε την εξίσωση 2)15)5x(f(f 21 .

5.13) Δίνεται η συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει f(2)=10 και

επιπλέον ισχύει (fof)(x)=3x5 xR.

(i) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

(ii) Να υπολογίσετε το )2(f 1 .

(iii) Να λύσετε την εξίσωση 25)2x(ff 1 .

5.14) Δίνεται η συνάρτηση f:(0,+)R για την οποία ισχύει ότι

f(αβ)=f(α)+f(β) α, β(0,+).

(i) Να αποδείξετε ότι f(1)=0 και )x(fx1f

για κάθε θετικό αριθμό x.

(ii) Αν η f έχει μοναδική ρίζα τον αριθμό xo=1, τότε να αποδείξετε ότι η f

είναι 1-1.


5.15) Έστω οι συναρτήσεις f:A R και g:f(A)R. Αν xA ισχύει ότι

(gof)(x)=x και για κάθε xf(A) ισχύει (fog)(x)=x, τότε να αποδείξετε ότι:

(i) οι f, g είναι αντιστρέψιμες.

(ii) 1fg .

5.16) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι

αντιστρέψιμες και για κάθε μία από αυτές να χαράξετε τη γραφική

παράσταση της αντίστροφης:

5.17) Έστω συνάρτηση f 1-1 και σημείο Α(x,y) fC . να βρείτε σε ποιο

τεταρτημόριο ανήκει το σημείο A'(y,x) 1fC , όταν το σημείο Α

βρίσκεται:

(α) στο 1ο τεταρτημόριο. (β) στο 2ο τεταρτημόριο.

(B)

(Γ)

(Δ)

(A)


(γ) στο 3ο τεταρτημόριο. (δ) στο 4ο τεταρτημόριο.

Σε κάθε περίπτωση, να τεκμηριώσετε την απάντησή σας.

82 ΕΝΟΤΗΤΑ 6-ΤΥΠΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 6η

ΤΥΠΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ

ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ* Α) (Συνολοθεωρητικός-Τοπολογικός Ορισμός)

Έστω η συνάρτηση με τύπο 2x4x2)x(f

2

. Ας δούμε το παρακάτω

σχήμα:

Από το σχήμα βλέπουμε ότι αν πάρουμε έναν τυχαίο αριθμό ε>0, τότε

μπορούμε να βρούμε έναν αριθμό δ>0 (που εξαρτάται τόσο από το ε, όσο

και από το xo=2), ώστε x(2δ,2)(2,2+δ) να ισχύει f(x)(8ε,8+ε).

* Αυτή η ενότητα είναι προαιρετική και απευθύνεται στον απαιτητικό αναγνώστη.

ΕΝΟΤΗΤΑ 6-ΤΥΠΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 83

Για παράδειγμα έστω ότι επιλέγουμε κατά περίπτωση για τιμή του ε, τους

αριθμούς ε=1, ε=21

, ε=41

. Τότε ως δ μπορούμε αντίστοιχα να επιλέξουμε

έναν οποιοδήποτε θετικό αριθμό με 41,

21

και 81

αντίστοιχα.


Η επιλογή του δ δεν είναι μονοσήμαντη. Για παράδειγμα όταν ε=1 , τότε

το δ μπορεί να είναι ο αριθμός 21

ή οποιοσδήποτε άλλος θετικός

μικρότερος από αυτόν. Για παράδειγμα όπως φαίνεται και στο παρακάτω

σχήμα αν πάρουμε δ1<δ, τότε επειδή

(2δ1,2)(2,2+δ1)(2δ,2)(2,2+δ), άρα x(2δ1,2)(2,2+δ1)) θα

ισχύει επίσης ότι f(x)(8ε,8+ε).


Τώρα θα δώσουμε τον τοπολογικό Ορισμό του ορίου2:

Β) (Τυπικός Ορισμός)

Η παραπάνω σχέση 1 του προηγούμενου ορισμού γράφεται ισοδύναμα ως εξής: (x(xoδ,xo)(xo,xo+δ)) (x(xoδ,xo+δ) με x≠xo) (xoδ<x<xo+δ με x≠xo) (δ<xxo<δ με x≠xo) ( oxx με x≠xo) ( oxx0 ) (σχέση 1΄)

Η παραπάνω σχέση 2 του προηγούμενου ορισμού γράφεται ισοδύναμα ως εξής: f(x) (Lε,L+ε) Lε <f(x)< L+ε ε <f(x)L< ε L)x(f

(σχέση 2΄)

Τώρα μπορούμε να δώσουμε τον τυπικό ορισμό του ορίου συνάρτησης

με τη χρήση απολύτων τιμών (ή όπως αλλιώς λέμε με χρήση μετρικής):

Οι ορισμοί για τα πλευρικά όρια διατυπώνονται ως εξής:

Στον ορισμό του δεξιού ορίου η σχέση oxx0 αντικαθίσταται από τη σχέση xo<x<xo+δ.

2 Όταν λέμε τοπολογικό ορισμό, εννοούμε έναν ορισμό που διατυπώνεται με τη βοήθεια διαστημάτων ή ένωσης διαστημάτων.

Ορισμός Ορίου (Τοπολογικός): Μία συνάρτηση f θα λέμε ότι έχει

όριο τον αριθμό L και θα γράφουμε L)x(flimoxx

αν και μόνο αν για

κάθε ε>0, υπάρχει δ>0 ώστε x(xoδ,xo)(xo,xo+δ) (σχέση 1) να

ισχύει ότι f(x) (Lε,L+ε) (σχέση 2).

Ορισμός Ορίου (Με χρήση απόλυτης τιμής): Μία συνάρτηση f θα

λέμε ότι έχει όριο τον αριθμό L και θα γράφουμε L)x(flimoxx

αν και

μόνο αν για κάθε ε>0, υπάρχει δ>0 ώστε x με την ιδιότητα

oxx0 να ισχύει ότι L)x(f .


Στον ορισμό του αριστερού ορίου η σχέση oxx0 αντικαθίσταται από τη σχέση xo δ <x<xo.

Παραδείγματα

Λύση: Έστω η συνάρτηση f(x)=c και ε>0. Αναζητούμε δ>0 (όσο μικρό

θέλουμε), ώστε x με την ιδιότητα oxx0 να ισχύει ότι

c)x(f . Για οποιοδήποτε όμως δ>0 παρατηρούμε ότι

0ccc)x(f . Άρα cclimoxx

.

Λύση: Έστω ε>0. Αναζητούμε δ>0 (όσο μικρό θέλουμε), ώστε x με

την ιδιότητα oxx0 να ισχύει ότι x)x(f . Όμως έχουμε

oo xxx)x(f . Αρκεί λοιπόν να επιλέξουμε δ<ε και τότε

oo xxx)x(f .


την ιδιότητα 2x0 να ισχύει ότι 8)x(f . Όμως τότε ισχύει

22x24x284x28)x(f . Αρκεί λοιπόν να

επιλέξουμε το θετικό αριθμό δ, ώστε να ισχύει 2

2 . Άρα για

Παράδειγμα 6.1: Να αποδειχθεί (με τη βοήθεια του τυπικού

ορισμού) ότι cclimoxx

.


ορισμού) ότι .xxlim oxx o


ορισμού) ότι 82x4x2lim

2

2x

.


ε>0, αρκεί να επιλέγουμε οποιοδήποτε 2

0 και τότε για κάθε x με

την ιδιότητα 2x0 θα ισχύει 2

222x28)x(f .


την ιδιότητα oxx0 να ισχύει ότι 2ox)x(f . Όμως :

ooo2o

22o xxxxxxxxx)x(f . Όμως:

δ<xxo<δ xoδ<x<xo+δ. Αν επιλέξουμε 2x o (1), τότε

διακρίνουμε περιπτώσεις:

Αν xo>0, τότε 2xo και άρα

2xxx

2xx o

oo

o

2x5xx

2x30x

2x3xx

2xx

2x3x

2x o

oo

oo

oo

ooo

Άρα για 2xo ισχύει

2x5xxx)x(f o

o2o . Αρκεί να

επιλέξουμε για το δ να ισχύει επιπλέον o

o

x5ε2δε

2x5δ (2).

Άρα για να ισχύουν συγχρόνως οι ανισότητες (1) και (2) θα πρέπει

δ<min{2xo ,

ox5ε2 }. Επομένως για δ<min{

2xo ,

ox5ε2 } ισχύει:

2x5

x52

2x5xxx)x(f o

o

oo

2o .

Αν xo=0, τότε 2222o x0xx)x(f . Αρκεί για το δ να

ισχύει 2 . Για έχουμε

22222

o x0xx)x(f .


ορισμού) ότι 2o

2

xxxxlim

o

.


Αν xo<0, τότε 2xo και άρα

2xxx

2xx o

oo

o

02x3xx

2x5x

2xxx

2x3x

2xx

2x3 o

oo

oo

oo

ooo

Άρα 2x5)xx(xx o

o0 . Άρα για 2xo ισχύει

2x5xxx)x(f o

o2o . Αρκεί να επιλέξουμε για το δ

να ισχύει επιπλέον o

o

x5ε2δε

2x5δ

(3).

Άρα για να ισχύουν συγχρόνως οι ανισότητες (1) και (3) θα πρέπει

δ<min{2xo ,

ox5ε2 }. Επομένως για δ<min{

2xo ,

ox5ε2

} ισχύει:

ε2x5

x5ε2

2x5δxxδx)x(f o

o

oo

2o

.

Δείξαμε λοιπόν ότι για κάθε ε>0 και για κάθε xoR ισχύει ότι 2o

2

xxxxlim

o

.


την ιδιότητα 3x0 να ισχύει ότι 27)x(f .

Όμως 9x3x9x3x3x3x27)x(f 2233 . Αν για

παράδειγμα επιλέξουμε δ<1 (1), τότε:

...13x013x0 2<x<4. Τότε όμως θα έχουμε

37912169x3x9x3x 22 .


ορισμού) ότι 27xlim 3

3x

.


Άρα 379x3x27)x(f 2 . Αρκεί λοιπόν να ισχύει επιπλέον

και η συνθήκη 37

37 (2). Για να ισχύουν συγχρόνως οι

ανισότητες (1) και (2) αρκεί να επιλέξουμε έναν αριθμό δ>0, ώστε

δ<min{1,37 }. Τότε για κάθε xR με 3x0 θα ισχύει ότι

3737

3727)x(f .


την ιδιότητα oxx0 να ισχύει ότι )LL()x(g)x(f 21 .

Όμως

212121 L)x(gL)x(fL)x(gL)x(f)LL()x(g)x(f .

Αρκεί να βρούμε δ>0 δηλαδή ώστε 21 L)x(gL)x(f .

Επειδή 1xxL)x(flim

o

, τότε για τον αριθμό 02

υπάρχει δ1>0,

ώστε x με 1oxx0 να ισχύει ότι 2

L)x(f 1

(1).

Επειδή 2xxL)x(glim

o

, τότε για τον αριθμό 02

υπάρχει δ2>0,

ώστε x με 2oxx0 να ισχύει ότι 2

L)x(g 2

(2).

Αν τώρα επιλέξουμε ως δ έναν θετικό αριθμό δ<min{δ1,δ2}, τότε ισχύουν

συγχρόνως οι ανισώσεις (1) και (2) και άρα

22

L)x(gL)x(f)LL()x(g)x(f 2121 . Άρα

Παράδειγμα 6.6: Έστω δύο συναρτήσεις f και g για τις οποίες

ισχύει ότι 1xxL)x(flim

o

και 1xxL)x(flim

o

. Να αποδειχθεί ότι

21xxLL)x(g)x(flim

o

.

Παράδειγμα 6.6: Έστω δύο συναρτήσεις f και g για τις οποίες

ισχύει ότι 1xxL)x(flim

o

και 1xxL)x(flim

o

. Να αποδειχθεί ότι

21xxLL)x(g)x(flim

o

.


)x(glim)x(flimLL)x(g)x(flimooo xxxx21xx

.

Λύση: Επειδή το )x(flimoxx

υπάρχει και ισχύει ότι 0L)x(flimoxx

, τότε

για τον αριθμό 02L θα υπάρχει δ>0, ώστε x με oxx0 να

ισχύει ότι .2LL)x(f

2LL

2LL)x(f

2L

2LL)x(f

Δηλαδή υπάρχει δ>0 ώστε x με oxx0 να ισχύει ότι

02L

2LL)x(f . Άρα f(x)>0 κοντά στο xo. (βλ. ορισμό παρακάτω,

στην ενότητα 7).

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

6.1) Με τη βοήθεια του ορισμού να αποδείξετε τα παρακάτω όρια:

(α) 161x5lim3x

(β) oxx

xxlimo

(γ) 21x2xlim 24

1x

.

6.2) Έστω δύο συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύει ότι 1xxL)x(flim

o

και 2xxL)x(glim

o

. Να αποδειχθεί ότι 21xxLL)x(g)x(flim

o

.

6.3) Έστω ότι για τη συνάρτηση f ισχύει ότι 0L)x(flimoxx

. Να

αποδειχθεί ότι f(x)<0 κοντά στο xo.

Παράδειγμα 6.7: Έστω ότι για τη συνάρτηση f ισχύει ότι

0L)x(flimoxx

. Να αποδειχθεί ότι f(x)>0 κοντά στο xo.

ΕΝΟΤΗΤΑ 7-ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 91

ΕΝΟΤΗΤΑ 7η

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α) Κοντά στο xo

Έστω η συνάρτηση με τύπο

0x,1

0x,x4x)x(f

24

της οποίας η

γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό

σχήμα:

Η συνάρτηση f όπως βλέπουμε δεν είναι παντού θετική. Όμως στο

σύνολο (1,0)(0,23

) είναι για παράδειγμα θετική (φυσικά το μέγιστο

σύνολο στο οποίο η f είναι θετική είναι το (2,0)(0,2)). Όταν μία

μεταβλητή x παίρνει όλες τις τιμές σε ένα σύνολο της μορφής

(α,xo)(xo,β), τότε θα λέμε ότι το x είναι κοντά στο xo. Ακολουθεί ο

παρακάτω ορισμός:

Έτσι λοιπόν η συνάρτηση f στο προηγούμενο παράδειγμα είναι θετική

κοντά στο xo=0, αν και f(0)= 1<0. Πρέπει να έχουμε υπόψη ότι όταν το

x είναι κοντά στο xo, τότε x≠xo.

Ορισμός: Έστω μία συνάρτηση f. Θα λέμε ότι η f έχει μία ιδιότητα P

κοντά στο xo, όταν ισχύει ακριβώς μία από τις παρακάτω συνθήκες:

(i) Η f ορίζεται σε ένα σύνολο της μορφής (α,xo)(xo,β) και σε αυτό ισχύει η ιδιότητα P.

(ii) Η f ορίζεται σε ένα διάστημα της μορφής (α,xo), αλλά όχι σε διάστημα της μορφής (xo,β) και σε αυτό ισχύει η ιδιότητα P.

(iii) Η f ορίζεται σε ένα διάστημα της μορφής (xo,β), αλλά όχι σε διάστημα της μορφής (α,xo) και σε αυτό ισχύει η ιδιότητα P.

92 ΕΝΟΤΗΤΑ 7-ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Β) Η έννοια του ορίου συνάρτησης

Έστω η συνάρτηση με τύπο 2x4x2)x(f

2

, η οποία προφανώς δεν

ορίζεται στο xo=2. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τις διάφορες τιμές της

συνάρτησης f για τιμές του x που βρίσκονται κοντά στο xo=2:

x= f(x)= x= f(x)=

1,8 7,6 2,2 8,4 1,9 7,8 2,1 8,2

1,99 7,98 2,01 8,02 1,999 7,998 2,001 8,002

1,9999 7,9998 2,0001 8,0002 1,99999 7,99998 2,00001 8,00002

1,999999 7,999998 2,000001 8,000002 1,9999999 7,9999998 2,0000001 8,0000002

1,99999999 7,99999998 2,00000001 8,00000002 1,999999999 7,999999998 2,000000001 8,000000002

Παρατηρούμε ότι όσο καλύτερη προσέγγιση του xo=2 παίρνουμε, τότε η

αντίστοιχη τιμή f(x) είναι καλύτερη προσέγγιση του αριθμού 8. Σε αυτή

την περίπτωση λέμε ότι το όριο του f(x) όταν το x τείνει στον αριθμό 2

είναι 8 και γράφουμε 8)x(flim2x

.

Επειδή 4x2...2x4x2)x(f

2

, η

Cf είναι μία ευθεία με εξαίρεση το

σημείο Α(2,8):

Από τη γραφική παράσταση

παρατηρούμε ότι όσο το x «πλησιάζει»

το 2 (φράση α΄), τότε τόσο το f(x) «πλησιάζει» απεριόριστα τον αριθμό 8

(φράση β΄).


Με μία διαφορετική ανάγνωση, οι φράσεις α΄και β΄μπορούν να

ερμηνευθούν ως εξής:

Η φράση α΄ σημαίνει ότι το x είναι κοντά στον αριθμό xo=2 δηλαδή ότι το x παίρνει όλες τις τιμές σε ένα σύνολο της μορφής (α,2)(2,β) ή σε ένα διάστημα της μορφής (α,2), αν η f δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (2,β), ή σε ένα διάστημα της μορφής (2,β), αν η f δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (α,2).

Η φράση β΄ σημαίνει ότι η απόσταση του f(x) από τον αριθμό 8 μπορεί να γίνει μικρότερη από οποιοδήποτε θετικό αριθμό για κάθε x που ανήκει σε ένα σύνολο της μορφής (α,2)(2,β) ή σε ένα διάστημα της μορφής (α,2), αν η f δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (2,β), ή σε ένα διάστημα της μορφής (2,β), αν η f δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (α,2).

Μπορούμε τώρα να δώσουμε έναν άτυπο, αλλά πολύ περιγραφικό,

ορισμό του ορίου συνάρτησης:

Γ) Πλευρικά όρια συνάρτησης

Έστω η συνάρτηση f του παρακάτω σχήματος:

Παρατηρούμε ότι όταν το x τείνει στο xo=3 με x>3, τότε το f(x) πλησιάζει απεριόριστα τον αριθμό 4. Τότε γράφουμε

4)x(flim3x

και λέμε ότι το όριο της f(x)

όταν το x τείνει στο 3 από τα δεξιά ή από μεγαλύτερες τιμές είναι 4.

Παρατηρούμε επίσης ότι όταν το x τείνει στο xo=3 με x<3, τότε το f(x) πλησιάζει απεριόριστα τον αριθμό 2. Τότε γράφουμε 2)x(flim

3x

και λέμε ότι το όριο της f(x) όταν το x

τείνει στο 3 από τα αριστερά ή από μικρότερες τιμές είναι 2.

Ορισμός: Θα λέμε ότι η f θα έχει όριο τον αριθμό L όταν το x τείνει

στο xo και θα γράφουμε L)x(flimoxx

αν και μόνο αν όσο το x τείνει

στο xo, τότε το f(x) πλησιάζει απεριόριστα τον αριθμό L.


Γενικότερα τα όρια )x(flimLoxx1

και )x(flimLoxx2

λέγονται πλευρικά

όρια της f στο xo.

Βασικό συμπέρασμα:

Αν η f ορίζεται σε ένα σύνολο της μορφής (α,xo)(xo,β), τότε το όριο της

f στο xo υπάρχει και είναι ίσο με L αν και μόνο αν ισχύει η ισοδυναμία:

L)x(flim)x(flimL)x(flimooo xxxxxx

.

Άλλοι Ορισμοί:

Αν η f ορίζεται σε ένα σύνολο της μορφής (α,xo), αλλά όχι σε διάστημα της μορφής (xo,β), τότε ως όριο της f στο xo ορίζουμε το αριστερό όριο της f στο xo, εφόσον υπάρχει, δηλαδή:

( )x(flim)x(flimoo xx

.

xx

).

Αν η f ορίζεται σε ένα σύνολο της μορφής (xo,β), αλλά όχι σε διάστημα της μορφής (α,xo), τότε ως όριο της f στο xo ορίζουμε το δεξιό όριο της f στο xo, εφόσον υπάρχει, δηλαδή:

( )x(flim)x(flimoo xx

.

xx

).

Για παράδειγμα ισχύει ότι 0xlimxlim0x0x

.


Παράδειγμα:

Λύση:

(α) f(2)=2, f(1)=2, f(2)=2, f(3)=4.

(β) (i) 2)x(flim2x

(ii) 1)x(flim1x

Παράδειγμα 7.1: Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το

[2,+∞). Η γραφική της παράσταση φαίνεται στο σχήμα

παρακάτω:

(α) Να υπολογιστούν οι αριθμοί f(2), f(1), f(2), f(3).

(β) Να υπολογιστούν τα όρια:

(i) )x(flim2x

(ii) )x(flim1x

(iii) )x(flim1x

(iv) )x(flim2x

(v) )x(flim2x

(vi) )x(flim3x

(vi) )x(flim3x

.


(iii) 2)x(flim1x

(iv) 3)x(flim2x

(v) 3)x(flim2x

(vi) 3)x(flim3x

(vi) 3)x(flim3x

.

Από τα παραπάνω έπεται ότι 3)x(flim2x

, 3)x(flim3x

, ενώ το όριο

)x(flim1x

δεν υπάρχει διότι )x(flim)x(flim1x1x

.

Βασικές Ιδιότητες:

Με τη βοήθεια του ορισμού στην ενότητα 6 (με απόλυτες τιμές)

αποδεικνύονται οι παρακάτω ισοδυναμίες:

(α) 0L)x(flimL)x(flimoo xxxx

.

(β) L)hx(flimL)x(flim o0hxx o

.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

7.1) Να βρείτε το )x(flimoxx

και το f(xo), εφόσον υπάρχουν, όταν η

γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι:

(A) (B)

(Γ) (Δ)


7.2) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και από αυτή

να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το )x(flimoxx

:

(α) 4x

8x6x)x(f2

με xo=4 (β)

1x,x1

1x,x)x(f με

xo=1.

(γ)

1x,1x2

1x,x)x(f

3

με xo=1 (δ) xxx)x(f

2

και xo=0.

(ε) 1x

3xx3x)x(f 2

23

με xo=1 και xo= 1.

(στ) 2x

4x4x)3x()x(f2

με xo=2.

98 ΕΝΟΤΗΤΑ 8-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ

ΕΝΟΤΗΤΑ 8η

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ I

(ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΥΡΕΣΗΣ ΟΡΙΩΝ) Α) Όρια και Πράξεις (Ομάδα I).

Με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύονται οι ισότητες ότι oxxxxlim

o

και cclimoxx

.*

‡Με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύονται επίσης οι παρακάτω

ιδιότητες (Ομάδα Ι) που συνδέουν τις πράξεις συναρτήσεων με τα

αντίστοιχα όρια:

ΠΡΟΤΑΣΗ Ι (ΟΜΑΔΑ Ι) Έστω ότι τα όρια των f και g υπάρχουν στο xo. Τότε ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: (α) )x(glim)x(flim)x(g)x(flim

ooo xxxxxx .

(β) )x(flimκ)x(fκlimoo xxxx

, για κάθε σταθερό αριθμό κ.

(γ) )x(glim)x(flim)x(g)x(flimooo xxxxxx

.

(δ) )x(glim

)x(flim

)x(g)x(flim

o

o

o

xx

xx

xx

, εφόσον 0)x(glim

oxx

.

(ε) )x(flim)x(flimoo xxxx

.

(στ)

)x(flim)x(flimoo xxxx

, εφόσον ισχύει ότι f(x)≥0 κοντά στο xo.

Οι ιδιότητες (α) και (γ) μπορούν να επεκταθούν σε περισσότερες από δύο

συναρτήσεις.

‡ Βλέπε προαιρετικά τα λυμένα παραδείγματα 6.1 και 6.2 της ενότητας 6.

ΕΝΟΤΗΤΑ 8-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ 99

Λύση: Σύμφωνα με τα παραπάνω έχουμε:

33)x(glim)x(glim4x4x

.

28)x(flim)x(flim 334x

34x

.

41682)x(flim2))x(f2(lim)x(f2lim4x4x4x

.

143]4lim))x(g(lim[]4)x(glim[4)x(glim 55

4x4x

5

4x

5

4x

Άρα

5

4x

34x

5

3

4x )4)x(g()x(f2lim

)x(f)x(glim

4)x(g)x(f2)x(f)x(g

limA

51

1423

4)x(glim)x(f2lim

)x(flim)x(glim5

4x4x

34x4x

.

Β) Υπολογισμός ορίων Πολυωνυμικών και Ρητών Πολυωνυμικών

Συναρτήσεων.

Ως συνέπεια των ιδιοτήτων της Ομάδας Ι, έχουμε τα παρακάτω

πορίσματα:

Πόρισμα 8.1: Έστω ότι το )x(flimoxx

υπάρχει. Τότε

ν

xx

ν

xx)x(flim)x(flim

oo

.

Απόδειξη: Με τη βοήθεια της ιδιότητας (γ) έχουμε:

Παράδειγμα 8.1: Αν 8)x(flim4x

και 3)x(glim4x

, να υπολογιστεί η

παράσταση 5

3

4x 4)x(g)x(f2)x(f)x(g

limA

.


)x(flim)x(flim...)x(flim)x(f...)x(f)x(flim)x(flim

ooooo xx

ά

xxxx

΄ό

άxxxx

Πόρισμα 8.2: Ισχύει ότι

oxx

xxlimo

.

Απόδειξη: Είναι άμεση συνέπεια του γεγονότος ότι oxxxxlim

o

και του

πορίσματος 8.1, δηλαδή

oxxxx

xxlimxlimoo

.

Πόρισμα 8.3: Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση με γενικό τύπο

P(x)=ανxν+αν1xν-1+…+α1x+αο. Τότε ισχύει ότι )x(P)x(Plim oxx o

.

Απόδειξη: Με τη βοήθεια των προηγούμενων παίρνουμε ότι

2.8ρισμαόπ

xx1xx

1ν1νxx

ννxx

΄α.τόιδι

11ν

1νν

νxxxx

αlimxαlim...xαlimxαlim

αxα...xαxαlim)x(Plim

oooo

oo

)x(Px...xx o11

1

Πόρισμα 8.4: Έστω η ρητή πολυωνυμική συνάρτηση με γενικό τύπο

)x(Q)x(P)x(h (δηλαδή οι συναρτήσεις P και Q είναι πολυωνυμικές). Τότε

)x(Q)x(P

)x(Q)x(Plim)x(hlim

o

o

xxxx oo

, εφόσον 0)x(Q o .

Απόδειξη:

Πράγματι έχουμε: )x(Q)x(P

)x(Qlim

)x(Plim

)x(Q)x(Plim)x(hlim

o

o3.8.πορ

xx

xx'δ.ιδιοτ

xxxxo

o

oo

,

εφόσον 0)x(Q)x(Qlim oxx o

.


Εφαρμογές:

(α) 2003450]x345x[lim 5252

0x

.

(β) 109

2018

55852

5x8x2lim 225x

.

(γ) 32

34

21115

2x1x5lim

2

2

2

2

1x

.

(δ) Αν

3x,3x3x,43x,1x8x

)x(f3

2

, τότε για να υπολογίσουμε το όριο

)x(flim3x

πρέπει να έχουμε υπόψη ότι x≠3. Σε αυτή την περίπτωση

υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια:

141x8xlim)x(flim 2

3x3x

.

303xlim)x(flim 3

3x3x

.

Επειδή )x(flim)x(flim3x3x

, έπεται ότι δεν υπάρχει το )x(flim3x

.

Παρατήρηση: Το αντίστροφο των ιδιοτήτων της Ομάδας Ι δεν ισχύει.

Για παράδειγμα μπορεί να υπάρχει το όριο )x(g)x(flimoxx

, αλλά να

μην υπάρχουν τα όρια )x(flimoxx

και )x(glimoxx

, επομένως και η ισότητα

)x(glim)x(flim)x(g)x(flimooo xxxxxx

να μην έχει νόημα. Πράγματι,

έστω οι συναρτήσεις

0x,10x,5

)x(f και

0x,50x,1

)x(g .

Τότε:

11lim)x(flim0x0x

και 55lim)x(flim0x0x

. Επομένως το

όριο )x(flim0x

δεν υπάρχει.

Όμοια δεν υπάρχει το όριο )x(glim0x

.


f(x)+g(x)=4 για κάθε xR* και άρα 44lim)x(g)x(flim0x0x

.


Λύση: Επειδή εκατέρωθεν του xo=3 αλλάζει ο τύπος της συνάρτησης,

τότε θα χρησιμοποιήσουμε την ισοδυναμία:

)x(flim10)x(flim10)x(flim3x3x3x

. Όμως:

106103210x2lim10)x(flim3x3x

(σχέση (1)). 10331033103xlim10)x(flim

3x3x

(σχέση (2)).

Λύνοντας το σύστημα των (1) και (2) παίρνουμε ότι 34

και β=2.


3x,β3xα3x,βxα2

)x(f , όπου α και β πραγματικοί αριθμοί. Να

βρεθούν οι αριθμοί α και β, ώστε 10)x(flim3x

.

Παράδειγμα 8.3: Έστω η συνάρτηση f:AR για την οποία

γνωρίζουμε ότι το όριο )x(flim3x

υπάρχει.

(α) Τι πληροφορία παίρνουμε για το πεδίο ορισμού Α της

συνάρτησης;

(β) Αν 26x5x)x(flim 2

3x

, τότε να βρεθεί το όριο )x(flim

3x.

(γ) Αν 83x12)x(flim

3x

, τότε να βρεθεί το όριο )x(flim

3x.


Λύση: (α) Επειδή έχει νόημα το όριο )x(flim3x

, αυτό σημαίνει ότι η f

ορίζεται κοντά στο xo=3. Δηλαδή ισχύει ακριβώς μία από τις παρακάτω

συνθήκες:

(i) Υπάρχει ένα σύνολο της μορφής (α,3)(3,β), ώστε (α,3)(3,β)Α.

(ii) ή υπάρχει ένα σύνολο της μορφής (α,3), με (α,3)Α, αλλά δεν

υπάρχει σύνολο της μορφής (3,β) ώστε (3,β)Α.

(iii) ή υπάρχει ένα σύνολο της μορφής (3,β) με (3,β)Α, αλλά δεν

υπάρχει σύνολο της μορφής (α,3) ώστε (α,3)Α.

(β) Θέτουμε g(x)=f(x)+x2+5x (1), η οποία ορίζεται κοντά στο xo=3. Τότε

σύμφωνα με την εκφώνηση θα ισχύει ότι 26)x(glim3x

.Λύνοντας την (1)

ως προς f(x), παίρνουμε f(x)=g(x)x25x. Άρα

2242635326x5x)x(glim)x(flim 22

3x3x

.

(γ) Θέτουμε 3x12)x(f)x(h

(2), η οποία ορίζεται κοντά στο xo=3. Τότε

σύμφωνα με την εκφώνηση θα ισχύει ότι 8)x(hlim3x

. Λύνοντας την (2)

ως προς f(x), παίρνουμε f(x)=(x3)h(x)+12. Άρα

12120128)33(12)x(h)3x(lim)x(flim3x3x

.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

8.1) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

(α) 1523

2x5x4x3xlim

(β) 1x7lim 2

1x

(γ) 6x5x

x316)2x(lim

2

32

4x


8.2) Αν 4)x(flim3x

και 2)x(glim3x

, τότε να υπολογίσετε τα όρια:

(α) )x(g)x(flim3x

(β) )x(g3)x(f2lim 2

3x

(γ)

)x(g)x(flim

2

3x

(δ) )x(g4)x(flim 2

3x

(ε)

10)x(f22)x(g

lim3x

8.3) Να βρείτε το )x(flim1x

, όταν:

(α) 10x42)x(f4lim1x

(β) 11x)x(flim

1x

8.4) Έστω η συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει ότι

52x

1x2)x(flim2x

. Να βρείτε τα όρια (α) )x(flim2x

και (β) x2x3)x(flim 22x

8.5) Αν για τη συνάρτηση f ισχύει ότι 82x

22x)x(f)4x(lim2

2x

,

τότε να υπολογίσετε το όριο )x(flim2x

.

8.6) Να υπολογίσετε το )x(flimoxx

, εφόσον υπάρχει, σε κάθε μία από τις

παρακάτω περιπτώσεις:

(α)

3x,1x2

3x,1x5x)x(f

2

, όπου xo=3

(β)

2x,9x152x,102x,1x5

)x(f

2

, όπου xo=2

(γ)

3x,5

3x,1x

3x2x

)x(f

2

, όπου xo=3


(δ)

1x,1x8

1x,1x7x5)x(f

10

3

, όπου xo=1.


3x,x3x2,x2

2x,x5)x(f 2 , όπου α

και β δύο πραγματικοί αριθμοί. Να βρείτε τους αριθμούς α και β, ώστε να

υπάρχουν τα όρια )x(flim2x

και )x(flim3x

.


1x,xx4

1x,4x)x(f

25

82

, όπου

α και β δύο πραγματικοί αριθμοί. Να βρείτε τους αριθμούς α και β, ώστε

να υπάρχει το όριο )x(flim1x

.

106 ΕΝΟΤΗΤΑ 9-ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 9η

Μία Εισαγωγή στις

Συνεχείς Συναρτήσεις Στην επόμενη ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε όρια τα οποία λέμε ότι

είναι της «μορφής 0/0». Βασικό θεωρητικό και πρακτικό εργαλείο που

χρησιμοποιούμε για τον υπολογισμό αυτών των ορίων είναι οι συνεχείς

συναρτήσεις (αν και συνήθως δεν το αναφέρουμε). Σε αυτήν την ενότητα

θα δούμε μερικά πρώτα βασικά στοιχεία των συνεχών συναρτήσεων.

Α) Συνάρτηση συνεχής στο xo.

Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε ότι για κάθε πολυωνυμική συνάρτηση

P(x) ισχύει )x(P)x(Plim oxx o

. Όμοια αν έχουμε τη ρητή (-πολυωνυμική)

συνάρτηση )x(Q)x(P)x(h και xoDh ( Q(xo)≠0), τότε όπως είδαμε

ισχύει ότι )x(h)x(Q)x(P)x(hlim o

o

o

xx o

. Αυτές οι συναρτήσεις λέμε ότι είναι

συνεχείς στο xo. Γενικότερα έχουμε τον παρακάτω ορισμό:


Αν xoDf και το όριο )x(flimoxx

είτε δεν υπάρχει, είτε υπάρχει αλλά

ισχύει ότι )x(f)x(flim oxx o

, τότε θα λέμε ότι η f δεν είναι συνεχής

(ασυνεχής) στο xo. Αν xοDf, τότε θα λέμε ότι δεν έχει νόημα η συνέχεια της f στο xo.

Κλασικές περιπτώσεις συνεχών συναρτήσεων, εκτός από τις

πολυωνυμικές και τις ρητές, είναι οι τριγωνομετρικές, εκθετικές και

λογαριθμικές και αυτές που προκύπτουν από πράξεις μεταξύ αυτών. Για

Ορισμός: Έστω μία συνάρτηση f:ΑR και xoA. Θα λέμε ότι η f

είναι συνεχής στο xo αν και μόνο αν )x(f)x(flim oxx o

.

ΕΝΟΤΗΤΑ 9-ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 107

παράδειγμα ισχύει ότι oxxxxlim

o

, εφόσον 2

x o

για κάθε

κZ.

B) Συνέχεια συνάρτησης στο xo και γραφική παράσταση

Αν μία συνάρτηση f :

(α) ορίζεται σε ένα διάστημα Δ και

(β) xoΔ και

(γ) είναι συνεχής στο xo,

τότε η γραφική παράσταση της f στο σημείο (xo,f(xo)) δεν

διακόπτεται.

Τα παρακάτω σχήματα είναι ενδεικτικά και δείχνουν διάφορες

περιπτώσεις συνέχειας και μη συνέχειας στο σημείο xo:

(α) Στο διπλανό σχήμα η f ορίζεται

σε ένα διάστημα που περιέχει το xo

και επιπλέον είναι συνεχής στο xo,

διότι )x(f)x(flim oxx o

:

(β) Όμοια στο διπλανό

σχήμα η f ορίζεται σε

ένα διάστημα που

περιέχει το xo και

επιπλέον είναι συνεχής

στο xo, διότι )x(f)x(flim oxx o

.


(γ) Στο παρακάτω σχήμα ισχύει ότι xoDf ,αλλά το όριο )x(flimoxx

δεν

υπάρχει διότι )x(flim)x(fL)x(flimoo xxoxx

. Άρα η f δεν είναι συνεχής

στο xo:

(δ) Στο διπλανό σχήμα ισχύει ότι

xoDf και το όριο )x(flimoxx

υπάρχει,

αλλά )x(fL)x(flim oxx o

.

Άρα η f δεν είναι συνεχής στο xo:

(ε) Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε

ότι η f δεν ορίζεται στο xo. Άρα

δεν έχει νόημα να εξετάσουμε τη

συνέχεια της f στο xo:



Λύση: Πράγματι έχουμε ότι 11001xx2lim)x(flim 2

0x0x

,

1xlim)x(flim 3

0x0x

110 . Αφού )x(flim1)x(flim

0x0x έπεται

ότι 1)x(flim0x

. Ακόμη f(0)=1 και άρα )0(f)x(flim0x

, δηλαδή η f είναι

συνεχής στο xo=0.

Λύση: Ισχύει ότι )e(f21eln1xlnlim)x(flimexex

.

Λύση: Πράγματι έχουμε ότι:

2

14

24

x2xlim)x(flim4

x4

x

.

16

xlim)x(flim2

2

4x

4x

.

Άρα )x(flim)x(flim4

x4

x

και επομένως το όριο )x(flim4

x


Παράδειγμα 9.1: Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση

0x,1x0x,1xημx2)x(f 3

2

είναι συνεχής στο xo=0.


ex,2

exκαιx0,1xln)x(f είναι συνεχής στο xo=e.


2π,

4πx,x

4π,0x,x2xσφ

)x(f2

δεν είναι συνεχής στο xo= 4π

.


Λύση: Παρατηρούμε ότι 651x5xlim)x(flim 2

1x1x

, ενώ f(1)=3.

Δηλαδή )1(f)x(flim1x

.

Λύση: Δεν έχει νόημα να εξετάσουμε αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

xo=0, διότι 0Df (παρόλο που σε αυτό το παράδειγμα το όριο )x(flim0x

υπάρχει και ισχύει 1)x(flim0x

).

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

9.1) Στα παρακάτω σχήματα να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο xo.

Να τεκμηριώσετε την απάντησή σας:


1x,31x,x5x)x(f

2

δεν είναι συνεχής στο xo=1.

Παράδειγμα 9.5: Να εξεταστεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

0x,1x20x,1x)x(f

2

στο σημείο xo=0.

(i) (ii)


9.2) Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο xo:

(α) x)x(f , xo=2 (β)

0x,30x,21x)x(f

2

, xo=0

(γ)

1x,1

1x0,xxln

)x(f , xo=1

(δ)

4x,x

4x,x

)x(f , xo= 4

(ε)

0x,10x,x

)x(f , xo=0.

(iii) (iv)

(v)

112 ΕΝΟΤΗΤΑ 10-ΜΟΡΦΗ 0/0

ΕΝΟΤΗΤΑ 10η

Μορφή 0/0 Α) Ορισμός ορίου μορφής 0/0

Για παράδειγμα το όριο 2x4xlim

2

2x

είναι της μορφής 0/0, διότι

ισχύει ότι )2x(lim0)4x(lim2x

2

2x

.

Η λέξη «απροσδιόριστη» σημαίνει ότι το όριο )x(h)x(glim

oxxμπορεί να

ισούται με έναν οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό L ή να μην υπάρχει ή ακόμη να συμβαίνει κάτι άλλο 4.

Β) Υπολογισμός ορίου συνάρτησης της μορφής 0/0 με τη χρήση μίας

βοηθητικής συνεχούς συνάρτησης στο xo.

Έστω δύο συναρτήσεις f, g των οποίων η γραφική παράσταση φαίνεται

στα παρακάτω σχήματα:

4 Σε επόμενη ενότητα θα μάθουμε όρια που θα λέμε ότι είναι ίσα με +∞ ή ∞.

Ορισμός: Έστω μία συνάρτηση f με τύπο της μορφής )x(h)x(g)x(f που

ορίζεται κοντά στο xo. Θα λέμε ότι το όριο της f όταν το x τείνει στο xo

είναι της απροσδιόριστης μορφής 0/0, όταν ισχύει

)x(hlim0)x(glimoo xxxx

.

ΕΝΟΤΗΤΑ 10-ΜΟΡΦΗ 0/0 113

Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση f δεν ορίζεται στο xo, ενώ η g ορίζεται

στο xo και μάλιστα είναι συνεχής στο σημείο αυτό. Επιπλέον οι δύο

συναρτήσεις είναι ίσες κοντά στο xo 5, δηλαδή ισχύει ότι f(x)=g(x)

x(xoδ,xo)(xo,xo+δ) όπου δ ένας κατάλληλος θετικός αριθμός. Για

να υπολογίσουμε το όριο της f στο xo, μπορούμε να

χρησιμοποιήσουμε την ισότητα )x(g)x(glim)x(flim oxxxx oo

(διότι αν

γνωρίζουμε τον τύπο της g, η οποία είναι και συνεχής στο xo, είναι

αρκετό να κάνουμε μία αντικατάσταση στον τύπο της, θέτοντας όπου

x το xo). Αυτή είναι μία γενική μέθοδος για να υπολογίσουμε το όριο

μίας συνάρτησης f όταν αυτή είτε δεν ορίζεται στο xo, είτε δεν είναι

συνεχής στο xo. Για παράδειγμα, έστω οι συναρτήσεις f και g με τύπους

2x,3

2x,2x4x

)x(f

2

και g(x)=x+2. Οι γραφικές τους

παραστάσεις φαίνονται στο παρακάτω σχήμα:

5 Οι Cf και Cg ταυτίζονται στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.


Παρατηρούμε ότι η f δεν είναι συνεχής στο xo=2, διότι L)x(flim

2x

, ενώ

f(2)= 3≠L. H g επιπλέον είναι συνεχής στο xo=2 και παρατηρούμε ότι

f(x)=g(x) κοντά στο xo=2, διότι για x≠2 ισχύει ότι

)x(g2x2x

)2x(2x2x4x)x(f

2

. Άρα εκμεταλλευόμενοι την

ισότητα των συναρτήσεων κοντά στο xo=2, παίρνουμε ότι

422)2(g)x(glim)x(flim2x2x

.

Στην πράξη όμως δεν συνηθίζεται να αναφέρεται η συνεχής συνάρτηση

g, αν και στην πραγματικότητα θα προκύπτει από την f με τη χρήση

κατάλληλων μετασχηματισμών. Για παράδειγμα συνήθως γράφουμε:

4222xlim2x

)2x(2xlim2x4xlim)x(flim

)x(g2x2x

2

2x2x

, χωρίς

να αναφέρουμε ότι η παράσταση x+2 είναι στην ουσία ο τύπος της g.

Λύση: Βλέπουμε ότι:

.123)2x(lim3x

)3x(2xlim3x

6x5xlim)x(flim3x3x

0/0ήμορφ

2

3x3x

(προσέξτε ότι η συνεχής συνάρτηση g που χρησιμοποιούμε, χωρίς να το

αναφέρουμε, είναι η g(x)=x2).

Παράδειγμα 10.1: Έστω η συνάρτηση με τύπο 3x

6x5x)x(f2

.

Να υπολογιστεί το όριο )x(flim3x

.


Ισχύει το παρακάτω θεώρημα:

Θεώρημα 10.1: Έστω η συνάρτηση f:AR η οποία ορίζεται

τουλάχιστον κοντά στον πραγματικό αριθμό xo. Έστω επιπλέον ότι

είτε η f δεν ορίζεται στο xo, είτε ορίζεται στο xo χωρίς να είναι όμως

συνεχής στο σημείο αυτό. Τότε το όριο )x(flimoxx

υπάρχει και είναι

πραγματικός αριθμός αν και μόνο αν υπάρχει συνάρτηση g συνεχής

στο xo, ώστε να ισχύει ότι f(x)=g(x) κοντά στο xo.

Απόδειξη:

() Έστω ότι υπάρχει συνάρτηση g συνεχής στο xo, ώστε να ισχύει ότι

f(x)=g(x) κοντά στο xo. Τότε )x(g)x(glim)x(flim oxxxx oo

R.

() Έστω ότι η συνάρτηση f έχει όριο στο xo έναν πραγματικό αριθμό L.

Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο

o

o

xx,L}x{Ax,)x(f

)x(g .

Τότε ισχύει ότι f(x)=g(x) κοντά στο xo και L)x(flim)x(glimoo xxxx

=g(xo), δηλαδή η g είναι συνεχής στο xo.

Γ) Όριο Μορφής 0/0 Ρητής Συνάρτησης

Έστω η ρητή συνάρτηση της μορφής )x(Q)x(P)x(f (Δηλαδή οι

συναρτήσεις P και Q είναι πολυωνυμικές). Αν το όριο )x(flimoxx

είναι της

μορφής 0/0, αυτό σημαίνει ότι:

)x(P)x(Plim0 oxx o

.

)x(Q)x(Qlim0 oxx o

.

Δηλαδή τα πολυώνυμα P(x) και Q(x) έχουν ρίζα τον αριθμό xo. Όπως

είναι γνωστό από τη Β΄ Λυκείου, αν ένα πολυώνυμο P(x) έχει ρίζα τον


αριθμό xo, τότε το πολυώνυμο αυτό θα έχει παράγοντα το πολυώνυμο

xxo. Με άλλα λόγια θα ισχύει μία ισότητα του τύπου P(x)=(xxo)R(x),

όπου R(x) επίσης πολυώνυμο.

Άρα για τον υπολογισμό του ορίου της μορφής 0/0 δουλεύουμε κατά το

παρακάτω σχήμα:

...)x(R)x(Rlim

)x(R)xx()x(R)xx(lim

)x(Q)x(Plim)x(flim

2

1xx

2o

1o

xxxxxx oooo

.

Αν το όριο )x(R)x(Rlim

2

1

xx o είναι και αυτό της μορφής 0/0 , τότε συνεχίζουμε

κατά τον ίδιο τρόπο, διαφορετικά υπολογίζουμε κατευθείαν το όριο. Να

υπενθυμίσουμε ότι η παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου μπορεί να

πραγματοποιηθεί με ποικίλους τρόπους όπως με εξαγωγή κοινού

παράγοντα, χρήση κατάλληλης ταυτότητας, χρήση σχήματος Horner κ.α.


Λύση:

(α) 21

42

2xxlim

)2x()2x()2x(xlim

4xx2xlim

2x2x

0/0ή

2

2

2x

.

(β)

)25x()1x(

)1x()1x(xlim)

25x()1x(2

)1x(x2lim5x3x2

x2x2lim2

1x

22

1x

0/0ήμορφ

2

24

1x

Παράδειγμα 10.2: Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια:

(α) 4xx2xlim 2

2

2x

(β)

5x3x2x2x2lim 2

24

1x

(γ)

2x5x4x8xlim 23

3

2x

(δ) 2x4x

lim2

2x

.


74

251

2

)25x(

)1x(xlim2

1x

, διότι για το τριώνυμο 2x2+3x5 ισχύουν :

Δ=9+425=49

25

1

473

22493

2

1

2,1

Άρα

25x)1x(2

25x)1x(25x3x2 2 .

(γ) Για το παρακάτω όριο έχουμε:

2

2

2x23

33

2x

0/0ή

23

3

2x )1x()2x()4x2x()2x(lim

2x5x4x2xlim

2x5x4x8xlim

34

912

)1x(4x2xlim 2

2

2x

, διότι εφαρμόζοντας το σχήμα Horner για ρ=2

στο πολυώνυμο x34x2+5x2:

1 4 5 2 ρ=2 2 4 2 1 2 1 0

Άρα x34x2+5x2=(x2)(x22x+1)=(x2)(x1)2.

(δ) Το πρόσημο της παράστασης x24 για τις διάφορες τιμές του x

φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Άρα έχουμε:

Αν για το τριώνυμο

αx2+βx+γ, ισχύει ότι Δ≥0,

τότε

αx2+βx+γ=α(xρ1)(xρ2),

όπου ρ1,2 οι ρίζες του

τριωνύμου


42x

)2x()2x(lim2x

)4x(lim2x

)4x(lim2x4x

lim2x

2

2x

2

2x

2

2x

42x

)2x()2x(lim2x

)4x(lim2x

)4x(lim2x4x

lim2x

2

2x

2

2x

2

2x

.

Επομένως το όριο 2x4x

lim2

2x


Παρατήρηση:

Ο συμβολισμός «0/0» σημαίνει απλώς ότι το όριο του αριθμητή και το

όριο του παρονομαστή όταν το x τείνει στο xo είναι ίσα με μηδέν, άσχετα

από το όριο του κλάσματος. Το σύμβολο «0/0» δηλαδή δεν δηλώνει

κάποιο αποτέλεσμα για το όριο του κλάσματος. Ως εκ τούτου η έκφραση

«00

» είναι λανθασμένη. Για παράδειγμα είναι λάθος να γράφουμε

«00

1x1xlim 21x

». Γενικότερα δεν πρέπει να ταυτίζουμε το αποτέλεσμα

ενός ορίου με τη μορφή του.

(Πράγματι αν ήταν έγκυρη η έκφραση «00

», τότε θα μπορούσαμε να

γράψουμε:00

1x1xlim 21x

και

1x1lim

)1x)(1x(1xlim

1x1xlim

1x1x21x

21

. Δηλαδή 21

00 .

Επιπλέον θα ίσχυε ότι:

00

1x1xlim

2

1x

και 2)1x(lim

1x)1x)(1x(lim

1x1xlim

1x1x

2

1x

.

Δηλαδή 200 . Εκμεταλλευόμενοι τη μεταβατική ιδιότητα της ισότητας, θα

μπορούσαμε να γράψουμε ότι 21

002 , το οποίο προφανώς δεν ισχύει.


ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το όριο της f στο xo:

10.1) 3x9x)x(f

2

, xo=3.

10.2) 1x3x2

1x)x(f 2

3

, xo= 1.

10.3) 6x7x

x2x2)x(f 3

3

, xo=1.

10.4) 6x7x3x3x

1xxx)x(f 234

23

, xo= 1.

10.5)

5x,1x7x

5x,5x25x

)x(f2

2

, xo= 5.

10.6) 1x

21x

1)x(f 2

, xo= 1.

10.7) 3x13

x11)x(f

, xo=1.

10.8)

9x,

21

,9x,9x10x

81x)x(f

2

2

, xo= 9.

10.9) 5x25x

)x(f2

, xo=5.

10.10) x3xx2x3

)x(f 2

2

, xo=0.

10.11) 1x1x)x(f

, xo=1 και νn*.

10.12) 1x

x...xxx)x(f32

, xo=1 και νn*.


10.13) 1x

1x)2(x)x(f 2

, xo=1 και νn*.

ΕΝΟΤΗΤΑ 11-ΜΟΡΦΗ 0/0 ΣΕ ΑΡΡΗΤΕΣ ΜΟΡΦΕΣ 121

ΕΝΟΤΗΤΑ 11η

Μορφή 0/0 σε

άρρητες συναρτήσεις

Α) Συζυγής Παράσταση

Ο παρακάτω πίνακας δείχνει παραστάσεις με τετραγωνικές ρίζες και την

αντίστοιχη συζυγή παράστασή τους:

Η παράσταση Α= έχει συζυγή τις παραστάσεις Β= και

και

Η έννοια της συζυγούς παράστασης σχετίζεται με το γεγονός ότι η

έκφραση στο γινόμενο Α·Β είναι απαλλαγμένη από τα ριζικά.

Β) Χρήση της συζυγούς παράστασης σε συναρτήσεις της μορφής

)x(g)x(f και )x(g)x(f (άρρητες συναρτήσεις).

Τα επόμενα παραδείγματα δείχνουν ενδεικτικά το πώς χρησιμοποιούμε

τις συζυγείς παραστάσεις σε όρια της μορφής 0/0:


Λύση: (α)

)3x()9x(3xlim

)3x()9x()3x()3x(lim

9x3xlim

22

9x9x9x

61

331

3x1lim

)3x()9x(9xlim

9x9x

.


(α) 9x3xlim

9x

(β) 23

2

2x x2x35xlim

(γ)

26xx48xlim

2x

(δ) 1x

1x22x3lim 2

2

1x

.

122 ΕΝΟΤΗΤΑ 11-ΜΟΡΦΗ 0/0 ΣΕ ΑΡΡΗΤΕΣ ΜΟΡΦΕΣ

(Πολλαπλασιάσαμε αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή παράσταση

του αριθμητή)

(β)

)35x)(2x(x

3)5x(lim)35x)(2x(x

)35x()35x(limx2x

35xlim22

222

2x22

22

2x23

2

2x

)35x)(2x(x)2x)(2x(lim

)35x)(2x(x4xlim

)35x)(2x(x95xlim

222x22

2

2x22

2

2x

61

244

)352(222

)35x(x2xlim

22222x

.

(Εφαρμόσαμε τεχνικές παραγοντοποίησης είτε με τη συζυγή παράσταση

που περιέχει τη ρίζα, είτε με παραγοντοποίηση πολυωνύμων)

(γ)

)x48x)(26x()26x()26x()x48x()x48x(lim

26xx48xlim

2x2x

)x48x)(2x(

)26x()4x2(lim)x48x)(46x()26x()x48x(lim

2x2x

62

)24(2x48x)26x(2lim

)x48x)(2x()26x()2x(2lim

2x2x

362

664

64

.

(Σε αυτό το παράδειγμα χρειάστηκε να πολλαπλασιάσουμε τόσο με τη

συζυγή παράσταση του αριθμητή, όσο και του παρονομαστή)

(δ)

1x2x212x3lim

1x1x22x3lim 2

2

1x2

2

1x


1x2x2

)12x3()1x()12x3()12x3(lim

1x2x2

1x12x3lim 222

22

1x22

2

1x

1x2x2

)12x3()1x(3x3lim

1x2x2

)12x3()1x(1)2x3(lim 222

2

1x222

22

1x

1x

212x3

3lim)1x)(1x(

)1x(2)12x3()1x(

)1x(3lim21x22

2

1x

211

23

112

1233

.

(Το σταθερό αριθμό 1, στον αρχικό αριθμητή, τον «σπάσαμε» σε δύο

αριθμούς αντίθετους προς τα όρια 12x3lim 2

1x

και 2)x2(lim

1x

,

δηλαδή 1= 1+2)

Γ) Άλλες Άρρητες Μορφές

Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων:

ανβν=(αβ)(αν-1+αν-2β+αν-3β2+...+βν-1) , νn* αν+βν=(α+β)(αν-1αν-2β+αν-3β2...+βν-1) , όπου ν περιττός φυσικός

αριθμός

μπορούμε να υπολογίσουμε όρια μορφής 0/0 όταν υπάρχουν ρίζες τάξης

μεγαλύτερης του 2. Για παράδειγμα η συζυγής της παράστασης

33 είναι η )()( 33323 με την έννοια ότι το γινόμενο

των παραστάσεων αυτών είναι απαλλαγμένο από ρίζες:

3

33

33332333 )()( .



(α) 8x2xlim

3

8x

(β)

2xx62xlim

3

2x

.


Λύση:

(α)

]88xx[)8x(]88xx[)8x(lim

8x8xlim

8x2xlim 233323

23332333

8x

33

8x

3

8x

2333

238x2

3332

3

33

33

8x 88xx)8x(8xlim

88xx)8x(8xlim

2232333232333238x 23

183

18888

188xx

1lim

121

.

(β) Για τον υπολογισμό του ορίου 2x

x62xlim3

2x

εργαζόμαστε ως

εξής: Επειδή οι ρίζες έχουν διαφορετικές τάξεις, επιλέγουμε να τις

εκφράσουμε ως ρίζες που έχουν τάξη το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

των ριζών τους. Πιο συγκεκριμένα εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό

6 32x2x και 6 23 x6x6 , διότι Ε.Κ.Π.(2,3)=6. Άρα

2x

x62xlim2x

x62xlim6 26 3

2x

3

2x

5

6 36 24

6 35

6 3

56 36 2

46 3

56 36 26 3

2xx6...x62x2x)2x(

x6...x62x2xx62xlim

56 36 2

46 3

56 3

66 2

66 3

2xx6...x62x2x)2x(

x62xlim

56 36 2

46 3

56 3

23

2xx6...x62x2x)2x(

x62xlim


56 36 2

46 3

56 3

23

2xx6...x62x2x)2x(

28x5xlim...

56 36 2

46 3

56 3

2

2xx6...x62x2x)2x(

14x7x)2x(lim

56 36 2

46 3

56 3

2

2x x6...x62x2x

14x7xlim

5

6 36 24

6 35

6 3

2

26...262222

14272

61

2632

64632

64...64646432

556

566

46

56

.

Η παραγοντοποίηση του πολυωνύμου x3+5x228 έγινε με Horner για

ρ=2.

Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε την ταυτότητα:

5432234566 ββαβαβαβααβαβα , όπου θα

ισχύει ότι 2xα και 3 x6β .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το όριο της f στο xo:

11.1) 2

2

xx11)x(f

, xo=0.

11.2) 35x22x)x(f

2

, xo= 2.

11.3) 4x5x

2x)x(f 2

, xo=4.


11.4) 3x4x

22xx)x(f 2

2

, xo=1.

11.5) x7x5

x61x21)x(f2

2

, xo= 2.

11.6) 319x

2x)x(f3

3

, xo= 8.

11.7) 4x

25x1x4)x(f 2

3

, xo=2.

11.8)

1x

x1x)x(f2 , xo=1.

11.9) 3

2

1x1x)x(f

, xo=1.

11.10) 37x26x)x(f

3

, xo=2.

11.11) x23xxx2x)x(f

2

23

, xo=1.

11.12) 1x1

x2x)x(f

, xo=0.

11.13)21x

3x2x3x4x)x(f

22

, xo=3.

11.14) xx

11x)x(f2

, xo=0.

11.15) x

1x1)x(f

, xo=0 ,νn*.

11.16) 1x1x)x(f

, xo=1 , όπου ν,μn*.

ΕΝΟΤΗΤΑ 12-ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΟΡΙΑ 127

ΕΝΟΤΗΤΑ 12η

Διάταξη και Όρια

Α) Βασικά Θεωρήματα Διάταξης

Ισχύει το παρακάτω θεώρημα:

ΘΕΩΡΗΜΑ 12.1

Αν 0)x(flimoxx

, τότε f(x)>0 κοντά στο xo.

Αν 0)x(flimoxx

, τότε f(x)<0 κοντά στο xo.

Απόδειξη: Αποδεικνύεται με τη βοήθεια του ορισμού. Βλέπε και λυμένο παράδειγμα 6.7. Όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα ισχύει 0)x(flim

oxx

, άρα και f(x)>0

κοντά στο xo.

ΘΕΩΡΗΜΑ 12.2

Έστω ότι για τις συναρτήσεις f και g υπάρχουν τα όρια στο xo. Αν ισχύει ότι f(x)≤g(x) κοντά στο xo, τότε θα ισχύει )x(glim)x(flim

oo xxxx .

Απόδειξη: Κοντά στο xo έχουμε ότι f(x)≤g(x) f(x)g(x)≤0. Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x)= f(x)g(x) η οποία προφανώς ορίζεται κοντά στο xo. Επειδή τα όρια των f και g υπάρχουν στο xo, τότε θα υπάρχει και το όριο της h, και θα ισχύει ότι

)x(glim)x(flim)x(g)x(flim)x(hlimoooo xxxxxxxx

.

Επίσης από υπόθεση, έπεται ότι h(x)≤0 κοντά στο xo. Έστω ότι 0)x(hlim

oxx

. Τότε από το θεώρημα 12.1 (α) θα ισχύει ότι h(x)>0 κοντά

στο xo, δηλαδή f(x)>g(x) κοντά στο xo άτοπο. Επομένως )x(glim)x(flim0)x(hlim

ooo xxxxxx .

128 ΕΝΟΤΗΤΑ 12-ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΟΡΙΑ

Το διπλανό σχήμα δείχνει μία περίπτωση στην οποία αναφέρεται το προηγούμενο θεώρημα: Ωστόσο βλέπουμε ότι αν f(x)<g(x) κοντά στο xo, τότε δεν έπεται οπωσδήποτε ότι θα ισχύει και )x(glim)x(flim

oo xxxx .

Δηλαδή η γνήσια ανισότητα μεταξύ των συναρτήσεων δεν μεταφέρεται κατ' ανάγκη και στα όρια. Πράγματι, οι δύο συναρτήσεις στο διπλανό σχήμα, έχουν το ίδιο όριο στο xο. Μία κλασική εφαρμογή των θεωρημάτων διάταξης συναντάμε σε παραστάσεις με απόλυτες τιμές, όταν τα όρια των τελευταίων δεν μηδενίζονται.

Λύση: Ισχύει ότι

1x

31xxlim1x

31xxlim

3

1x

3

1x

41x

)2xx()1x(lim1x

2xxlim2

1x

3

1x

, διότι ισχύει ότι

03)1xx(lim 3

1x

και άρα θα ισχύει x3+x+1>0 κοντά στο xo=1.

Επομένως 1xx1xx 33 κοντά στο xo=1.

(Αν το όριο της απόλυτης τιμής μηδενίζεται, τότε πρέπει να γράψουμε την άσκηση χωρίς απόλυτες τιμές και ενδεχομένως να θεωρήσουμε πλευρικά όρια (βλ. και προηγούμενη ενότητα.)

Παράδειγμα 12.1: Να υπολογιστεί το όριο 1x

31xxlim

3

1x

.


Β) Κριτήριο Παρεμβολής Ισχύει το παρακάτω θεώρημα:

ΘΕΩΡΗΜΑ 12.3

Έστω ότι για τις συναρτήσεις f, g και h ισχύει ότι g(x)≤f(x)≤h(x) κοντά στο xo. Αν επιπλέον ισχύει ότι L)x(hlim)x(glim

oo xxxx

, τότε

η f έχει επίσης όριο στο xo και θα ισχύει ότι L)x(flimoxx

.

Απόδειξη: Αποδεικνύεται με τη βοήθεια του ορισμού. Η απόδειξη παραλείπεται. Η προηγούμενη πρόταση ονομάζεται Κριτήριο Παρεμβολής, είναι όμως γνωστή και ως Θεώρημα Sandwich.

Στο παραπάνω σχήμα, η συνάρτηση f(x)=xημx «εγκλωβίζεται» από τις

xxh )( και xxg )( , διότι g(x)≤f(x)≤h(x) xR. Επειδή επιπλέον ισχύει ότι 0xgxh

0x0x

)(lim)(lim , έπεται ότι και 0xf

0x

)(lim .

Λύση: (α) Επειδή 9xlim18)x6(lim 2

3x3x

, τότε από το κριτήριο

παρεμβολής έπεται ότι 18)x(flim3x

.

Παράδειγμα 12.2: Έστω ότι για τη συνάρτηση f ισχύει ότι 6x≤f(x)≤x2+9 για κάθε xR. (α) Να υπολογιστεί το όριο )x(flim

3x.

(β) Να υπολογιστεί το όριο 3x18)x(flim

3x

.


(β) Για x>3 ισχύει:

189x18)x(f18x69x)x(fx6 22

3x3x18)x(f6)3x)(3x(18)x(f)3x(6

3x

. Επειδή

3xlim6)6(lim3x3x

, τότε από το κριτήριο παρεμβολής έπεται ότι

63x18)x(flim

3x

.

Για x<3 εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο και προκύπτει επίσης ότι

63x18)x(flim

3x

.

Άρα 63x18)x(flim

3x

.

Λύση: Θέτουμε 1x

x4)x(f)x(g2

η οποία ορίζεται x, με x1. Τότε

για x1 ισχύει ότι 222 1x)x(g1x1x)x(g . Επειδή

74

251

2

)25x(

)1x(xlim2

1x

, τότε από το κριτήριο παρεμβολής έπεται

ότι 0)x(glim1x

.

Επιπλέον, για x1 ισχύει ότι f(x)=g(x)·(x1)+4x2. Άρα έχουμε ότι:

25x)1x(2

25x)1x(25x3x2 2 .

Με τη βοήθεια του κριτηρίου παρεμβολής μπορούμε να αποδείξουμε και την παρακάτω πρόταση που αναφέραμε και στην ενότητα 7 (βλ. και άσκηση (12.11):

Παράδειγμα 12.3: Έστω ότι για τη συνάρτηση f:RR ισχύει ότι

1x2x1x

x4)x(f 22

για κάθε πραγματικό αριθμό x, με x1. Να

βρεθεί το όριο )x(flim1x

.


Πρόταση: Έστω LR. Τότε ισχύει η ισοδυναμία

0L)x(flimL)x(flimoo xxxx

.

ΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

12.1) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια, εφόσον υπάρχουν:

(α) 2x

46x5xlim

3

2x

(β)

3x25x2

lim3

3x

(γ) 35x

74x2x13lim

22x

(δ) 1x

x31xxlim

2

1x

(ε) 5x

5x4x5xlim

2

5x

12.2) Έστω συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει 1x2≤f(x)≤1+x2

xR.

(α) Να υπολογίσετε την τιμή f(0).

(β) Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο xo=0.

TIP !!!

Είναι χρήσιμο να θυμόμαστε τις παρακάτω

ανισότητες που σχετίζονται με απόλυτες τιμές:

(α) , όπου Β≥0.

(β)


(γ) Να υπολογίσετε το όριο x

1)x(flim0x

.

12.3) Έστω συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει xx2≤f(x)≤x xR.

(α) Να δείξετε ότι f(0)=0.

(β) Να υπολογίσετε τα όρια )x(flim0x

και x

)x(flim0x

.

12.4) Έστω συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει

3x1≤f(x)≤ x+x2xR. Να υπολογίσετε τα όρια:

(α) )x(flim1x

(β) 1x

)1(f)x(flim1x

.

12.5) Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύει

1xx2x

x2)x(f 2

xR{2}. Να υπολογίσετε τo όριο )x(flim2x

.

12.6) Αν ισχύει ότι x2x)x(f 2 xR, τότε να υπολογίσετε το όριο

)x(flim0x

.

12.7) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β, ώστε για τη

συνάρτηση 2x3x

43x1x)x(f 2

να ισχύει ότι L)x(flim

2x

R.

Ύστερα, να υπολογίσετε τον αριθμό L.

12.8) Να αποδείξετε την ισοδυναμία 0)x(flim0)x(flimoo xxxx

.


12.9) (α) Αν ισχύει ότι f(x)≥0 και g(x)≥0 κοντά στον αριθμό xo και

επιπλέον ότι 0)x(g)x(flimoxx

, τότε να αποδείξετε ότι

0)x(glim)x(flimoo xxxx

.

(β) Αν ισχύει ότι 0)x(g)x(flim 22

xx o

, τότε να αποδείξετε ότι

0)x(glim)x(flimoo xxxx

.

(γ) Αν ισχύει ότι x5)x(g4)x(f2)x(g)x(f 22 xR, να

υπολογίσετε τα όρια )x(flim0x

και )x(glim0x

.

12.10) Θεωρώντας γνωστή την ανισότητα ημx<x<εφx x

2,0 , να

αποδείξετε ότι:

(α) 1x

xx

x

2,00,

2.

(β) 1x

xlim0x

.

12.11) Να αποδείξετε την ισοδυναμία 0L)x(flimL)x(flim

oo xxxx

,

όπου LR.

134 ΕΝΟΤΗΤΑ 13-ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ

ΕΝΟΤΗΤΑ 13η

Όριο Σύνθετης Συνάρτησης-

Τριγωνομετρικά Όρια

Α) Όριο Σύνθετης Συνάρτησης

Ισχύει το παρακάτω θεώρημα

ΘΕΩΡΗΜΑ 13.1 (Αλλαγή μεταβλητής σε όριο)

Έστω δύο συναρτήσεις f και g. Αν ισχύουν οι παρακάτω τρεις

συνθήκες:

oxxu)x(glim

o

R.

g(x)uo κοντά στο xo. L)u(flim

ouu

R.

Τότε L)x)(fog(limoxx

.


Λύση: Για να υπολογίσουμε το όριο 1x

1xlim1x

, θέτουμε u=x1. Τότε

για x1 έπεται ότι u11=0 *. Σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα θα ισχύει

ότι 0ulim

u

uulimuu

uulimu

ulim1x

1xlim0u20u0u0u1x

.

* Για την ακρίβεια το όριο 1x

1xlim1x

ταυτίζεται με το όριο 1x

1xlim1x

,

διότι η συνάρτηση όριζεται για x>1. Οπότε για x1+, τότε u0+.


1xlim1x

.

ΕΝΟΤΗΤΑ 13-ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ 135

Λύση: Έστω από υπόθεση ότι L)x(flim

7x

R. Επειδή

,8)3x(flim 2

2x

τότε για να υπολογίσουμε το όριο )x(flim

7x

εργαζόμαστε ως εξής: Θέτουμε u=x2+3. Τότε για x2, έπεται ότι u22+3=7. Άρα εφαρμόζοντας το θεώρημα αλλαγής μεταβλητής έχουμε ότι

L)u(flim)3x(flim7u

2

2x

και από υπόθεση ισχύει 8)3x(flim 2

2x

.

Άρα L=8, δηλαδή 8)x(flim)u(flim7x7u

.

Σημαντική Παρατήρηση: Στις υποθέσεις του προηγούμενου παραδείγματος ήταν απαραίτητο να αναφερθεί η ύπαρξη του ορίου

)x(flim7x

. Αυτό συμβαίνει, διότι η ύπαρξη του ορίου )3x(flim 2

2x

δεν

εξασφαλίζει απαραίτητα και την ύπαρξη του ορίου )x(flim7x

. Για να το

κατανοήσουμε λίγο καλύτερα αυτό, ας δούμε τη δομή του αρχικού θεωρήματος:

(ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΛΛΑΓΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΕ ΟΡΙΟ)

Υπόθεση:

(α) oxxu)x(glim

o

R.

(β) g(x)uo κοντά στο xo. (γ) L)u(flim

ouu

R.

Συμπέρασμα: L)x)(fog(limoxx

.

Παράδειγμα 13.2: Έστω ότι 8)3x(flim 2

2x

και έστω ότι υπάρχει

το όριο )x(flim7x

R. Να υπολογιστεί το όριο )x(flim7x

.


Στο προηγούμενο παράδειγμα αν δεν ήταν απαραίτητη η αναφορά της ύπαρξης του ορίου )x(flim

7x στην υπόθεση, τότε για την εύρεσή του, θα

έπρεπε να ισχύει η παρακάτω πρόταση η οποία είναι αντίστροφη της αρχικής και η οποία όμως όπως θα δούμε είναι λανθασμένη:

(ΑΥΤΗ Η ΠΡΟΤΑΣΗ ΕΙΝΑΙ ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΗ !!!)

Υπόθεση:

(α) oxxu)x(glim

o

R.

(β) g(x)uo κοντά στο xo.

(γ) L)x)(fog(limoxx

R.

Συμπέρασμα: L)u(flimouu

R.

Ας αποδείξουμε αμέσως παρακάτω για ποιο λόγο είναι λάθος η προηγούμενη πρόταση:

Λύση: Έστω οι συναρτήσεις

0x,x10x,x)x(f και 2x)x(g .

Εύκολα παρατηρούμε ότι 0)x(glim0x

. Επίσης βλέπουμε ότι

Παράδειγμα 13.3: Έστω ότι για δύο συναρτήσεις f και g ισχύουν οι

παρακάτω συνθήκες: (α) oxxu)x(glim

o

R, (β) g(x)uo κοντά στο

xo και (γ) L)x)(fog(limoxx

R.

Να αποδειχτεί ότι το όριο )u(flimouu

ενδέχεται και να μην υπάρχει.


xx)x(f)x)(fog( 20x

22

και άρα θα ισχύει ότι

0xlim)x)(fog(lim0x0x

. Ωστόσο το όριο )u(flim0u

δεν υπάρχει, διότι τα

πλευρικά όρια της f για u0 είναι διαφορετικά. Σχόλιο: Θα ήταν λοιπόν λάθος για τις παραπάνω συναρτήσεις να γράφαμε: « ... επειδή 0)x(flim 2

0x

, θέτω u=x2. Για x0, τότε u0. Άρα

)u(flim)x(flim0u

2

0x . Επομένως 0)u(flim

0u

.»6

(το λάθος ξεκινά από αυτό το σημείο.) Λύση: Μία κλασική εφαρμογή υπολογισμού ορίου με αλλαγή μεταβλητής έχουμε στην περίπτωση ριζών με διαφορετική τάξη και κοινή υπόρριζη ποσότητα. Προκειμένου να υπολογίσουμε λοιπόν το όριο

64

3

4x x5x55x54x5lim

θεωρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των

τάξεων των ριζών, δηλαδή τον αριθμό Ε.Κ.Π.(2,3,4,6)=12. Κατόπιν θέτουμε 12 x5u . Θεωρώντας τη ρίζα με τάξη το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων, μπορούμε να εκφράσουμε τις αρχικές ρίζες σε συνάρτηση της νέας μεταβλητής u: 6 Η σχολαστικότητά μας στο να τονίσουμε αυτή τη λανθασμένη μεθοδολογία, έχει να κάνει με το γεγονός ότι οι μαθητές πολύ συχνά εφαρμόζουν μηχανικά τέτοιους μετασχηματισμούς αλλαγής μεταβλητής, χωρίς να ελέγχουν αν ικανοποιείται η τρίτη συνθήκη του αρχικού θεωρήματος. Ωστόσο με τη βοήθεια του ορισμού μπορεί να αποδειχθεί ότι όταν η εσωτερική συνάρτηση g της εκφώνησης στο 13.3 είναι γραμμική, δηλαδή g(x)=αx+β, τότε ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος αλλαγής μεταβλητής, δηλαδή θα υπάρχει το όριο )u(flim

ouu.

Παράδειγμα 13.4: Να υπολογιστεί το όριο64

3

4x x5x55x54x5lim


6612 ux5x5 .

44123 ux5x5 .

33124 ux5x5 .

22126 ux5x5 .

Επίσης για x4, έπεται ότι 145u 12 . Άρα έχουμε ότι:

)1u(u)5u5u5u5uu()1u(lim

uu5u4ulim

x5x55x54x5lim

2

2345

1u23

46

1u64

3

4x

22122

.

Β) Τριγωνομετρικά Όρια Όπως έχουμε αναφέρει σε προηγούμενο μάθημα, οι συναρτήσεις f(x)=ημx και g(x)=συνx είναι συνεχείς για κάθε xoR, δηλαδή ισχύει ότι

oxxxημxημlim

o

και oxxxσυνxσυνlim

o

xoR. Επίσης ισχύουν τα όρια

1xxημlim

0x

και 0

x1xσυνlim

0x

. Οι αποδείξεις βρίσκονται στο σχολικό

βιβλίο. Άμεσες συνέπειες των δύο πρώτων ορίων είναι ότι

oo

oxxxxxx

xεφxσυνxημlim

xσυνxημlimxεφlim

ooo

2πκπxo , κ Z.

oo

oxxxxxx

xσφxημxσυνlim

xημxσυνlimxσφlim

ooo

κπxo , κ Z.



(α) x

x5ημlim0x

(β) x

x4συν1lim3

0x

.


Λύση:

(α) 515u

uημ5limx5

x5ημ5limx

x5ημlim0u

x5u

0x0x

, διότι αν u=5x

τότε για x0 έπεται ότι και u0.

(β)

x4

x4συνx4συν1x4συν14limx

x4συν1lim2

0x

3

0x

uσυνuσυν1lim

uuσυν1lim4

uuσυνuσυν1uσυν14lim 2

0x0u

2

0u

x4u

=4·0·3=0.

Λύση:

Για x>0 ισχύει ότι

xx2x3

x)x(f

xx7x2 22

2x3x

)x(fx72 . Επειδή )2x3(lim2)x72(lim0x0x

, έπεται

ότι 2x

)x(flim0x

.

Όμοια αποδεικνύεται ότι 2x

)x(flim0x

. Άρα 2x

)x(flim0x

.

2112

xxημ

1x

)x(flimxημ

xx

)x(flimxημ)x(flim

0x0x0x

.

Παράδειγμα 13.6: Έστω ότι για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει

ότι 2x7x2≤f(x)≤3x2+2x. Να βρεθούν τα όρια x

)x(flim0x

και

xημ)x(flim

0x.


Γ) Οριακά μηδενική συνάρτηση επί φραγμένη Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=ημx είναι φραγμένη, διότι 1≤ημx≤1 1xημ xR (M=1). Πρόταση 13.1: Αν οι συναρτήσεις f και g ορίζονται κοντά στο xo, ώστε η g να είναι φραγμένη κοντά στο xo και να ισχύει 0)x(flim

oxx

,

τότε ισχύει ότι 0)x(g)x(flimoxx

.

Απόδειξη: Από υπόθεση, υπάρχει θετικός αριθμός Μ, ώστε M)x(g κοντά στο xo. Τότε ισχύει ότι:

M)x(f)x(g)x(f)x(fMM)x(f)x(g)x(f)x(g)x(f κοντά στο xo. Επειδή 0)x(fΜlim

oxx

, τότε από κριτήριο

παρεμβολής έπεται ότι 0)x(g)x(flimoxx

.

Λύση: Ισχύει ότι 0x1ημx2xlim 2

0x

, διότι

1x2xx1ημx2x

x1ημx2x 222

x2xx1ημx2xx2x 222 και επειδή 0x2xlim 2

0x

,

από κριτήριο παρεμβολής έπεται ότι 0x1ημx2xlim 2

0x

.

Ορισμός: Έστω μία συνάρτηση f:ΑR. Η f λέγεται φραγμένη σε ένα

σύνολο ΒΑ αν υπάρχει θετικός αριθμός Μ, ώστε να ισχύει

M)x(f xΒ. Αν Β=Α, τότε λέμε απλώς ότι η f είναι φραγμένη.

Παράδειγμα 13.7: Να υπολογιστεί το όριο 0x1ημx2xlim 2

0x

.


Δ) Η ανισότητα xxημ . Πρόταση 13.2: Ισχύει η ανισότητα xxημ xR, με την ισότητα να ισχύει μόνο για x=0. Λύση: ημ(x22x)+x2=2x ημ(x22x)= (x22x). Από την προηγούμενη πρόταση ισχύει 0ΑΑΑημ . Όμως ισχύει ακόμη ότι

ΑΑημήAΑημΑΑημ . Άρα αποδείξαμε τη διαδοχική

ισοδυναμία 0ΑΑΑημήAΑημΑΑημ . Σύμφωνα με την παραπάνω διαπίστωση θα ισχύει ότι ημ(x22x)= (x22x) x22x=0 x·(x2)=0 x=0 ή x=2. Λύση: Ισχύει ότι ημ(x22x)x2 < 2x ημ(x22x) < x22x (1). Εφαρμόζοντας την ανισοτική πρόταση έπεται ότι:

x2x)x2x(ημx2xx2x)x2x(ημ 22222 xR.

Διακρίνουμε περιπτώσεις: (α) Αν x22x<0 x·(x2)<0 0<x<2 (γιατί;). Σε αυτήν την περίπτωση ισχύει ότι x22x<ημ(x22x)<(x22x), δηλαδή ημ(x22x)>x22x το οποίο απορρίπτεται από την (1). (β) Αν x22x=0 x·(x2)=0 x=0 ή x=2, τότε από την παραπάνω πρόταση ισχύει ότι ημ(x22x) = x22x το οποίο απορρίπτεται επίσης από την (1). (γ) Αν x22x>0 x·(x2)>0 x<0 ή x>2. Σε αυτήν την περίπτωση ισχύει ότι (x22x)<ημ(x22x)<x22x, δηλαδή ημ(x22x)<x22x το οποίο είναι δεκτό.

Παράδειγμα 13.8: Να λυθεί η εξίσωση ημ(x22x)+x2=2x.

Παράδειγμα 13.9: Να λυθεί η ανίσωση ημ(x22x)x2 < 2x.


Άρα ημ(x22x)x2 <2x x<0 ή x>2.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ


(α) x

x30x

lim (β) xx

0x

lim (γ) x2x4

0x

lim (δ)

xxx

0xlim

(ε) xx

x30x

lim (στ)

24x5x5

0x

lim (ζ)

x1x2

x

lim (η)

x5x2

0x

lim

(θ) x2

x1 2

0x

lim

13.2) Όμοια:

(α) )()(lim

x2x3

0x

(β)

xxx

0x

lim (γ)

)(lim

x33xx2

2x

(δ) 2

2

0x xxx3x

lim (ε)

x1xx

0x

lim (στ)

22

0x xxx3x

lim

(ζ) x

xx2

3

0x

lim (η)

)(

lim1x

23x1x

(θ)

2

2

0x xx

lim

(ι)

x

xσυν1συν1lim0x

13.3) Όμοια:

(α) 2xxx

1x1x

lim (β) 1xxx

4

3

1x

lim (γ)

11x21x1x

6

3

2x

lim

(δ) 23x3x

1x3x32x

lim


13.4) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει 611xxxf

0x

)(lim . Να

υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

(α) )(lim xf0x

(β) xxf

0x

)(lim

(γ) 24xxxxf

2

2

0x

)(lim

13.5) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει ημ2x≤f(x)+2xσυνx<x2

xR. Να υπολογίσετε τα όρια: (α) )(lim xf0x

και (β) 20x xx2xf

)(lim .

13.6) Έστω συνάρτηση f:RR και πραγματικός αριθμός L, ώστε να

ισχύει Lxf0x

)(lim και f(x)·ημx≤2x+ημ3x xR. Να υπολογίσετε

τον πραγματικό αριθμό L.

13.7) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει xxx3xf )(

xR. Να υπολογίσετε τα όρια:

(α) xxf

0x

)(lim

(β) xx2f

0x

)(lim

(γ) x3

x5f0x

)(lim

(δ) 11xxxf

xx3fxfx520x

)(

)()(lim

13.8) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει 3xxf

0x

)(lim . Να

υπολογίσετε το όριο xxxf

xxxxfxf222

2

0x

)()()(lim .



(α)

x1x

0xlim (β)

x1x

0xlim (γ)

x

1x

xx0x

lim

(δ)

x3xx3124x

2

2

0xlim

13.10) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει Lxxf

0x

)(lim R. Να

υπολογίσετε το όριο x

xf0x

)(lim

όπου αR*.

13.11) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει f(α+β)=f(α)+f(β)

α,βR και 2xxf

0x

)(lim . Να υπολογίσετε το όριο 1x

1fxf1x

)()(lim .

13.12) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει L)hx(flim o0h

R.

Να αποδείξετε ότι 0)hx(f)hx(flim oo0h

.

13.13) Έστω α, xo, LR, με L)x(flimoxx

. Να αποδείξετε ότι ισχύει η

ισοδυναμία: Lh

α)hx(flimLxx

α)x(flim o0hoxx o

.

13.14) Έστω συνάρτηση f:RR περιττή, ώστε για κάθε x>0 να ισχύει

22x8x4xf4x4xx 22

2

)()( .

Να υπολογίσετε τα όρια: (α) )(lim xf2x

και (β) )(lim xf2x

.


13.15) Αν η συνάρτηση f είναι περιττή και ισχύει ότι

5x3xf 2

2x

)(lim , τότε να υπολογίσετε το όριο )(lim xf

2x .

13.16) Έστω ότι η συνάρτηση f είναι άρτια. Να υπολογίσετε το όριο:

(α) xfoxx

lim αν ισχύει ότι Lxfoxx

lim R.

(β) xf3x

lim αν ισχύει ότι 45x2)x(flim3x

.

13.17) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει 5xfxf2x

)()(lim .

Να υπολογίσετε τα όρια:

(α) )()(lim xfxf2x

(β) )(lim xf2x

αν είναι γνωστό ότι 3xf2x

)(lim .

13.18) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει f(x)=f(1x) xR και

12x

4xf2x

)(lim . Να υπολογίσετε το όριο )(lim xf1x

.

13.19) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει

f(x+y)=f(x)συνy+f(y)συνx x,yR (1) και 0)x(flim0x

(2).

(α) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0.

(β) Να υπολογίσετε το όριο )(lim xfx

, όπου αR.

(γ) Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f η οποία να ικανοποιεί τη

συνθήκη (1), αλλά να ισχύει ότι L)x(flim0x

R με L0.

13.20) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις και ανισώσεις:

(α) ημ(x25x+6)x2=65x. (β) ex+x3=1+ημ(ex+x31)

(γ) ημ(x32x+1)+2x<x3+1

146 ΕΝΟΤΗΤΑ 14-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ

ΕΝΟΤΗΤΑ 14η

Μη Πεπερασμένο όριο στο xoR

Α) Η έννοια του Άπειρου Ορίου

Στα παρακάτω σχήματα βλέπουμε ότι όσο το x πλησιάζει το xo, τότε oι

τιμές των συναρτήσεων αυξάνονται απεριόριστα, δηλαδή οι τιμές των

συναρτήσεων f γίνονται μεγαλύτερες από οποιοδήποτε θετικό αριθμό Μ,

για x αρκετά κοντά στο xo:

Σε αυτή την περίπτωση

γράφουμε ότι

)x(flim1x

.

Σε αυτή την περίπτωση γράφουμε ότι

)x(flim

0x.

Όπως φαίνεται και στη δεύτερη περίπτωση, η συνάρτηση δεν χρειάζεται να είναι μονότονη στα διαστήματα που ορίζονται εκατέρωθεν του xo.

Στα παρακάτω σχήματα βλέπουμε ότι όσο το x πλησιάζει το xo, τότε oι

τιμές των συναρτήσεων μειώνονται απεριόριστα, δηλαδή οι τιμές των

ΕΝΟΤΗΤΑ 14-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ 147

συναρτήσεων f και g γίνονται μικρότερες από οποιοδήποτε αρνητικό

αριθμό Μ, για x αρκετά κοντά στο xo:

Και στις δύο περιπτώσεις γράφουμε ότι

)x(flimoxx

.

Ο τυπικός ορισμός του άπειρου ορίου στο xo έχει ως εξής: Για παράδειγμα, στο διπλανό σχήμα βλέπουμε ότι αν θεωρήσουμε έναν οποιοδήποτε θετικό αριθμό Μ, τότε μπορούμε να βρούμε ένα σύνολο της μορφής A=(xoδ,xo)(xo,xo+δ), ώστε η τιμή f(x) να είναι μεγαλύτερη από τον αριθμό Μ>0 xA: Ανάλογοι ορισμοί μπορούν να διατυπωθούν όταν xxo

και xxo+.

Ορισμός: Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής

(α,xo)(xo,β). Τότε ορίζουμε:

)x(flimoxx

, όταν για κάθε Μ>0 υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε για

κάθε x(xoδ,xo)(xo,xo+δ) να ισχύει f(x)>M.

)x(flim

oxx, όταν για κάθε Μ>0 υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε για

κάθε x(xoδ,xo)(xo,xo+δ) να ισχύει f(x)<M.


Όπως και στα πεπερασμένα όρια, έτσι και εδώ, αν η f ορίζεται σε ένα σύνολο της μορφής (α,xo)(xo,β), τότε ισχύουν οι ισοδυναμίες:

)x(flim)x(flim)x(flim

ooo xxxxxx.

)x(flim)x(flim)x(flimooo xxxxxx


B) Ιδιότητες Μη Πεπερασμένων Ορίων Με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύονται οι παρακάτω ιδιότητες:

Αν

)x(flimoxx

, τότε f(x)>0

κοντά στο xo.

Αν

)x(flimoxx

, τότε f(x)<0

κοντά στο xo. Αν

)x(flim

oxx, τότε

)x(flimoxx

.

Αν

)x(flimoxx

, τότε

)x(flimoxx

.

Αν

)x(flimoxx

ή (), τότε 0)x(f

1limoxx

.

Αν 0)x(flimoxx

και f(x)>0 κοντά

στο xo, τότε )x(f

1limoxx

.

Αν 0)x(flimoxx

και f(x)<0 κοντά

στο xo, τότε )x(f

1limoxx

.

Αν

)x(flimoxx

ή (), τότε

)x(flimoxx

.

Αν

)x(flimoxx

, τότε

kxx

)x(flimo

.

Εφαρμογές:

1)

0/1ήμορφ

0xστοάκοντ

0xμε20x

o

2x1lim

Γενικά ισχύει ότι

ν20x x

1lim . (Αν νn, τότε

παρατηρήστε ότι ο αριθμός 2ν είναι άρτιος.)


2)

0/1ήμορφ

0στοάκοντ0xμε0x x

1lim

και

0/1ήμορφ

0στοάκοντ0xμε0x x

1lim .

Άρα δεν υπάρχει το όριο x1lim

0x.

Γενικά ισχύει ότι 1ν20x x1lim και 1ν20x x

1lim .

(Αν νn, τότε παρατηρήστε ότι ο αριθμός 2ν+1 είναι περιττός.) Γ) Πράξεις με Μη Πεπερασμένα Όρια Για τα όρια αθροίσματος και γινομένου αποδεικνύονται τα παρακάτω:

ΠΙΝΑΚΑΣ Ι

Αν

)x(flimoxx

αR αR + +

Και αν

)x(glimoxx

+ + +

Τότε

)x(g)x(flim

oxx + + ; ;

ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙ

Αν

)x(flimoxx

α>0 α<0 α>0 α<0 0 0 + +

Και αν

)x(glimoxx

+ + + + +

Τότε

)x(g)x(flim

oxx + + ; ; + +


Στους παραπάνω πίνακες, όπου υπάρχει ερωτηματικό, το όριο αν υπάρχει εξαρτάται από τις εκάστοτε συναρτήσεις και για αυτό λέμε ότι έχουμε απροσδιόριστη μορφή. Δηλαδή απροσδιόριστες μορφές είναι οι

(+)+() και 0·(). Επειδή fg=f+(g) και g1f

gf , τότε προκύπτει

ότι απροσδιόριστες μορφές είναι επίσης οι (+)(+), ()(), 00 ,

, όπου στο τελευταίο κλάσμα τα πρόσημα στον αριθμητή και

παρονομαστή δεν είναι κατ' ανάγκη σε αντιστοιχία, (π.χ. μπορούμε να έχουμε το «+» στον αριθμητή και το «» στον παρονομαστή). Ας δούμε τώρα δύο παραδείγματα ορίων της μορφής (+)(+) με διαφορετικό αποτέλεσμα:

Λύση: Παρατηρούμε ότι

20x0x x1lim)x(flim και

)1()(ήμορφ

20x0x1

x1lim)x(glim . Όμως f(x)g(x)=1. Επομένως έχουμε

ότι ισχύει 11lim)x(g)x(flim0x

)()(ήμορφ

0x

.

Παράδειγμα 14.1: Έστω οι συναρτήσεις 2x1)x(f και 1

x1)x(g 2 .

Να υπολογιστεί το όριο )x(g)x(flim0x

.


Λύση: Παρατηρούμε εύκολα ότι

)x(glim)x(flim

0x0x και η διαφορά

42

4

2

24 x1x1

xx1

x1

x1)x(f)x(g

. Τότε έχουμε το όριο:

)(1ήμορφ

42

0x

)()(ήμορφ

0x x1x1lim)x(f)x(glim , διότι 1x1lim 2

0x

και 40x x

1lim .

Από τα δύο παραδείγματα στα οποία τα όρια έχουν την ίδια μορφή αλλά διαφορετικό αποτέλεσμα, δικαιολογείται ο όρος απροσδιόριστη μορφή. Ένας τρόπος για να υποψιαστούμε διαισθητικά ότι ένα όριο της μορφής (+)(+) έχει ως αποτέλεσμα το είναι παρατηρώντας τη διαφορά d=f(x)g(x) ή d=g(x)f(x). Στο πρώτο παράδειγμα η διαφορά d ήταν σταθερή και το όριο είχε ως αποτέλεσμα αυτή τη διαφορά. Στο δεύτερο παράδειγμα η διαφορά d συνεχώς μεγάλωνε και το αποτέλεσμα του ορίου όπως είδαμε ήταν +. Ωστόσο αν η διαφορά d αυξάνεται για xxo, δεν έπεται οπωσδήποτε ότι το όριο θα ισούται με + ή . Προσοχή!!! Όπως έχει αναφερθεί και στην ενότητα 10, είναι λάθος να γράφουμε

)x(flim

oxx(απροσδιόριστη μορφή).

Παράδειγμα 14.2: Έστω οι συναρτήσεις 2x1)x(f και 4x

1)x(g . Να

υπολογιστεί το όριο )x(g)x(flim0x

.


Για παράδειγμα είναι λάθος να γράφουμε )()(x1

x1lim 420x

,

διότι μετά το "=" πρέπει να ακολουθεί το αποτέλεσμα του ορίου και όχι η μορφή του7. Μπορούμε όμως την απροσδιόριστη μορφή του ορίου να την αναφέρουμε πάνω από το "=" όπως είδαμε στα προηγούμενα παραδείγματα. Λύση: Ισχύει ότι :

)()1(ήμορφ

2

2x

01

ήμορφ

2

2x 2x13x4xlim

2x3x4xlim , διότι:

13x4xlim 2

2x

και

2x1lim

2x, αφού 02xlim

2x

και 2x >0 κοντά στο xo=2.

(Σε όρια της μορφής 0α , όπου α0, χωρίζουμε το όριο στη μορφή

01α

και υπολογίζουμε ξεχωριστά το όριο της μορφής 01 , εφόσον υπάρχει.

Αυτό θα συμβαίνει εφόσον ο παρονομαστής έχει σταθερό πρόσημο

κοντά στο xo.)

Λύση: Παρατηρούμε ότι κοντά στο xo=1, ο παρονομαστής δεν έχει

σταθερό πρόσημο.

7 Δεν πρέπει να συγχέουμε την απροσδιόριστη μορφή ενός ορίου με το αποτέλεσμά του.


3x4xlim2

2x

.

Παράδειγμα 14.4: Να εξεταστεί αν υπάρχει το όριο 1x

x2xlim3

1x

.


Σε αυτή την περίπτωση θέτουμε

1xx2x)x(f

3

1x

1x2x3

και

υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια:

)()1(ήμορφ

1x)x(flim , διότι 1x2xlim 3

1x

και

1x1lim

1x αφού

x1<0 για x<1 (εναλλακτική έκφραση: για x κοντά στο 1 ).

)()1(ήμορφ

1x)x(flim , διότι 1x2xlim 3

1x

και

1x1lim

1x αφού

x1>0 για x>1 (εναλλακτική έκφραση: για x κοντά στο 1+).

(Συνήθως εργαζόμαστε με πλευρικά όρια σε όρια της μορφής 0α , όπου

α0, όταν το πρόσημο του παρονομαστή δεν είναι σταθερό κοντά στο

xo.)

Δ) Το σύνολο R

Ως R ορίζουμε το σύνολο R{,+} και διαβάζεται θήκη του R. Το

σύνολο R είναι εφοδιασμένο με τις πράξεις όπως ορίστηκαν στους

πίνακες με τις πράξεις με τα μη πεπερασμένα όρια. Για παράδειγμα

ισχύει ότι 5+()= , (+)+(+)=+, 0α

αR, ενώ δεν

ορίζονται οι πράξεις (+)(+), 0·() κ.τ.λ. Επιπλέον αR ορίζουμε

να ισχύει <α<+.

Στο τρέχον σχολικό βιβλίο το σύνολο R δεν αναφέρεται. Ωστόσο υπήρχε

αναφορά σε παλαιότερα σχολικά βιβλία. Αυτό μας επέτρεπε να

γράφουμε π.χ.

)()1(...)x(flimoxx

. Στο τωρινό σχολικό

βιβλίο, επειδή δεν αναφέρεται το σύνολο R , δεν έχει νόημα να

γράφουμε την παράσταση (1)·(+) παρά μόνο σαν μορφή ορίου.

Δηλαδή η προηγούμενη έκφραση, για να είναι συμβατή με την ύλη του

τωρινού σχολικού βιβλίου πρέπει να γραφτεί ως εξής:


)()1(ήμορφ

xx...)x(flim

o

. Ωστόσο για λόγους πρακτικούς και για λόγους

συνήθειας θα μπορούμε να εκφραζόμαστε όπως και στην πρώτη μορφή.

Πάντα όμως ισχύει ο περιορισμός ότι μετά το σύμβολο της ισότητας δεν

μπορούμε να γράφουμε πράξεις που παραπέμπουν σε απροσδιόριστες

μορφές.

Λύση: Έχουμε ότι

1x1

3x1x

1x3lim

)3x)(1x(1x

1x3lim

3x2x1x

1x3lim

2

1x

2

1x2

2

1x

)(25

ήμορφ

**

2

1x

2

1x

)(21)(ήμορφ

* 1x1

3x8x3xlim

)3x)(1x(1x)3x(3lim ,

διότι:

* (α)

)(3ήμορφ

1x1x 1x13lim

1x3lim , αφού 01xlim

1x

και x1>0

για x>1.

(β)

)(3111

ήμορφ

2

1x

2

1x1

3x1xlim .

** 25

410

318131

3x8x3xlim

22

1x

.

Παράδειγμα 14.5: Να υπολογιστεί το όριο

3x2x

1x1x

3lim 2

2

1x.

Παράδειγμα 14.6: Να υπολογιστεί το όριο 22

1x 1x1xλxlim

, για τις

διάφορες τιμές του λR.


Λύση: Θέτουμε

2

22

2

1x11xλx

1x1xλx)x(f

. Παρατηρούμε

ότι λ21xλxlim 2

1x

και

21x 1x1lim , αφού 01xlim 2

1x

και

(x1)2>0 κοντά στο xo=1. Επομένως το όριο της συνάρτησης f είναι της

μορφής (2λ)·(+). Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Για 2λ>0 λ<2, ισχύει ότι

0λ2

1x)()λ2()x(flim .

Για 2λ<0 λ>2, ισχύει ότι

0λ2

1x)()λ2()x(flim .

Για 2λ=0λ=2, το όριο έχει την απροσδιόριστη μορφή 0·(+). Αντικαθιστώντας όπου λ=2, τότε η συνάρτηση f έχει τύπο

1

)1x()1x(

1x1x2x)x(f 2

2

2

2

. Άρα 1)1(lim)x(flim

1x1x

.

Συνοψίζοντας έχουμε ότι

2λαν,12λαν,2λαν,

)x(flim1x

.

Λύση:

(α) Θέτουμε g(x)=(x24x+4)·f(x)=(x2)2·f(x). Τότε για x2, ισχύει ότι

2)2x()x(g)x(f

και 8)x(glim

2x

. Άρα το όριο της f είναι ίσο με :

)(8

22x22x2x )2x(1)x(glim

)2x()x(glim)x(flim

Παράδειγμα 14.7: Αν ισχύει ότι 8)]x(f4x4x[lim 2

2x

, τότε να

υπολογιστούν τα όρια:

(α) )x(flim2x

και (β) 1)x(f5

4)x(f)x(f3lim 3

2

2x

.


(β)

)x(f15)x(f

)x(f4

)x(f13)x(f

lim1)x(f5

4)x(f)x(f3lim

33

22

2x3

2

2x

0)x(f

1

)x(f15

)x(f4

)x(f13

lim

)x(f15)x(f

)x(f4

)x(f13

lim0

05003ήμορφ

3

2

2x

3

2

2x

, διότι

0)x(f

1lim)/(1

ήμορφ

2x

.

Να σημειώσουμε ότι μετά την πρώτη ισότητα, βγάλαμε κοινό παράγοντα

από αριθμητή και παρονομαστή την f(x) στο μέγιστο εκθέτη ανά

αριθμητή και παρονομαστή. Αυτό θα το κάνουμε πάντα, όταν το όριο της

f είναι . (Σε άλλη ενότητα, θα μάθουμε και άλλον τρόπο κάνοντας

αλλαγή μεταβλητής.)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ


(α) 240x x2x31xlim

(β) 22x )2x(

8x3lim

(γ)

x1

x2lim

0x

(δ)

1x3

1x4lim 21x

(ε) xx

2x3x2lim5

0x

(στ)

xημx2x3lim

0x

(ζ)

x11xlim 4

0x (η)

xημx1x5lim

0x

(θ) 440x xxημ

3x2lim

(ι) xημ8x5lim

0x

(ια) xσυν4x2lim

2πx

(ιβ) xεφlim

2πx


(ιγ) xσφlim0x

(ιδ) 8x4x2xx

1x3lim4x

(ιε) 9x2xx4

4x1lim 23x

14.2) Να βρείτε τα παρακάτω όρια για τις διάφορες τιμές των λ,μR:

(α) 1x

2xx)1λ(lim 2

2

1x

(β)

xμx2xlim

2

0x

(γ) μxλx2lim 23x

(δ) 4x4x

4xμx)2λ(lim 2

2

2x

14.3) Να βρείτε τους λR, ώστε τα παρακάτω όρια να είναι πραγματικοί

αριθμοί:

(α) 1x

2xλxλlim22

1x

(β)

1x2xλxλx2lim

22

1x

14.4) Να βρείτε το όριο )x(flimoxx

, όταν:

(α)

)x(f3xlim

2x και xo=2 (β)

3x)x(flim

1x και xo=1

(γ)

27x4)x(flim 2

3x και xo=3

14.5) Έστω μία συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι 3)x(fxlim 6

0x

.


(α) )x(flim0x

(β) )x(f1xlim

3

0x

(γ) xημ)x(f

xlim 70x


14.6) Αν για μία συνάρτηση f ισχύει ότι 8)x(fxημlim 4

0x

, να

υπολογίσετε τα όρια: (α) )x(flim0x

και (β)

)x(f1ημ)x(flim

0x.

14.7) Αν για τη συνάρτηση f ισχύει ότι

)x(flim3x

, τότε να

υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

(α) )x(f

1lim3x

(β) 1)x(f

)x(f2)x(flim2

3x

(γ)

1)x(f3)x(f53)x(f2)x(f3lim 4

24

3x

(δ) 1)x(f4)x(f2)x(f

8)x(f2)x(flim 23

2

3x

(ε)

6)x(f1)x(f5)x(f3

lim2

3x

160 ΕΝΟΤΗΤΑ 15-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΤΑΞΗΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 15η

Μη Πεπερασμένο όριο στο xoR

και Θεωρήματα Διάταξης

Ισχύει η παρακάτω πρόταση:

Πρόταση: Έστω ότι f(x)≤g(x) κοντά στο xoR και επιπλέον

(α) ισχύει ότι

)x(flimoxx

, τότε

)x(glimoxx

.

(β) ) ισχύει ότι

)x(glimoxx

, τότε

)x(flimoxx

.

Απόδειξη: (α) Αφού

)x(flimoxx

, τότε f(x)>0 κοντά στο xo. Άρα

0<f(x)≤g(x))x(f

1)x(g

10 . Όμως 0)x(f

1lim/1

ήμορφ

xx o

. Από κριτήριο

παρεμβολής έπεται ότι 0)x(g

1limoxx

. Θέτουμε 0)x(g

1xφ κοντά

στο xo. Επίσης ισχύει ότι 0)x(φlimoxx

. Τότε έχουμε ότι:

0/1ήμορφ

0)x(φxxxx )x(φ1lim)x(glim

oo

.

(β) Αποδεικνύεται όμοια.

Η προηγούμενη πρόταση θα πρέπει να αποδεικνύεται κατά περίσταση.

Λύση: Έστω 2)1x(2x)x(g

. Τότε για τη συνάρτηση g, θα ισχύει ότι

Παράδειγμα 15.1: Αν 2)1x(2x)x(f

κοντά στο xo=1, τότε να βρεθεί

το όριο )x(flim1x

.

ΕΝΟΤΗΤΑ 15-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΤΑΞΗΣ 161

)()1(

21x21x1x )1x(1)2x(lim

)1x(2xlim)x(glim . Άρα g(x)<0

κοντά στο xo=1. Ακόμη, κοντά στο xo=1, θα ισχύει ότι f(x)≤g(x)<0

0)x(f

1)x(g

1 . Όμως 0)x(g

1lim)/(1

ήμορφ

1x

και από κριτήριο παρεμβολής

έπεται ότι 0)x(f

1lim1x

. Θέτουμε 0)x(f

1xφ κοντά στο xo=1. Τότε

θα ισχύει ότι

0/1ήμορφ

0)x(φ1x1x )x(φ1lim)x(flim .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

15.1) Αν για τη συνάρτηση f: RR ισχύει ότι 2x1)x(f xR*, τότε

να υπολογίσετε το όριο )x(flim0x

.

15.2) Αν για τη συνάρτηση f: RR ισχύει ότι

3x)x(f)4x4x( 2 x2, τότε να υπολογίσετε το όριο )x(flim2x

.

162 ΕΝΟΤΗΤΑ 16-ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

ΕΝΟΤΗΤΑ 16η

Όριο στο Άπειρο

Α) Η έννοια του ορίου στο xo=.

(i) Στα παρακάτω σχήματα παρατηρούμε ότι όσο το x αυξάνεται

απεριόριστα, τότε οι συναρτήσεις f και g προσεγγίζουν απεριόριστα τους

αριθμούς L1 και L2 αντίστοιχα:

Γράφουμε ότι 1xL)x(flim

.

Γράφουμε ότι 2xL)x(glim

.

(ii) Στα παρακάτω σχήματα παρατηρούμε ότι όσο το x αυξάνεται

απεριόριστα, τότε οι συναρτήσεις f και g αυξάνονται επίσης απεριόριστα,

δηλαδή υπερβαίνουν κάθε θετικό αριθμό Μ:

Γράφουμε ότι

)x(flimx

.

ΕΝΟΤΗΤΑ 16-ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ 163


)x(glimx

(iii) Στα παρακάτω σχήματα παρατηρούμε ότι όσο το x αυξάνεται

απεριόριστα, τότε οι συναρτήσεις f και g μειώνονται απεριόριστα,

δηλαδή οι τιμές τους γίνονται μικρότερες από κάθε αρνητικό αριθμό Μ:


)x(flimx

.


)x(glimx

.

Για να ορίζεται το όριο μίας συνάρτησης στο +, θα πρέπει η f να

ορίζεται σε διάστημα της μορφής (α,+) ή όπως αλλιώς λέμε ότι η f να

ορίζεται κοντά στο +.


Ανάλογοι ορισμοί μπορούν όταν x δεδομένου ότι η συνάρτηση

ορίζεται σε διάστημα της μορφής (,β) (η f δηλαδή ορίζεται κοντά στο

):

Γράφουμε ότι 1xL)x(flim

.


)x(glimx

.


)x(hlimx

.


Β) Όρια Βασικών συναρτήσεων στο xo=.

Ισχύουν τα παρακάτω όρια:

(α)

ν

xxlim , νn*.

(β) Αν νn*, τότε

ςόπεριττναν,

ρτιοςάναν,xlim ν

x.

(γ) 0x1lim νx

, νn*.

Για παράδειγμα ισχύει ότι

5)(ήμορφ

5

xxlim ,

6)(ήμορφ

6

xxlim και

0x1lim

)/(1ήμορφ

3x

.

Γ) Όριο Πολυωνυμικής συνάρτησης στο xo=.

Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση f(x)=5x3+3x2+2x+1. Τότε βγάζοντας

κοινό παράγοντα το μεγιστοβάθμιο όρο παίρνουμε ότι:

]x51

x52

x531[x5]

x51

x5x2

x5x31[x5)x(f 32

3333

23 . Άρα θα

ισχύει ότι

)1231)((5ήμορφ

x)x(flim , διότι τα όρια της μορφής

α

είναι ίσα με μηδέν. Παρατηρούμε επίσης ότι

)x5(lim 3

x, δηλαδή ότι

)x5(lim)1x2x3x5(lim 3

x

23

x . Γενικότερα ισχύει το παρακάτω

θεώρημα:

Θεώρημα: Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση

ο11ν

1νν

ν αxα...xαxα)x(P . Τότε το όριο της συνάρτησης P

στο είναι ίσο με το όριο του μεγιστοβαθμίου όρου στο , δηλαδή

)xα(lim)x(Plim ννxx

.


Για παράδειγμα ισχύει ότι

7)(3ήμορφ7

x

57

x)x3(lim)1x8x2x3(lim .

Δ) Όριο ρητής συνάρτησης στο xo=.

Έστω η ρητή συνάρτηση 8xx2x7

1xx3)x(f 23

2

. Τότε βγάζοντας

κοινούς παράγοντες από τον αριθμητή και τον παρονομαστή τους

μεγιστοβαθμίους όρους έχουμε ότι:

]x78

x71

x721[x7

]x31

x311[3

]x78

x7x

x7x21[x7

]x31

x3x1[x3

)x(f32

2

333

23

222

. Τότε θα

ισχύει: 0)x(flim]0001)[(7

]001[3ήμορφ

x

. Παρατηρήστε επίσης ότι

0x73lim

x7x3lim

)/(3ήμορφ

x3

2

x

. Γενικά ισχύει το παρακάτω θεώρημα:

Θεώρημα: Έστω η ρητή συνάρτηση .β...xβxβα...xαxα)x(f

ο1μ

1μμ

μ

ο1ν

1νν

ν

Τότε ισχύει ότι μμ

νν

xο

1μ1μ

μμ

ο1ν

1νν

ν

x xβxα

limβ...xβxβα...xαxα

lim

, δηλαδή

το όριο μίας ρητής συνάρτησης στο ισούται με το όριο του

πηλίκου των μεγιστοβαθμίων όρων του αριθμητή και παρονομαστή.

Για παράδειγμα ισχύει ότι 21

x10x5lim

2x9x2x101x6x7x5lim 3

3

x23

23

x

.

Ε) Βασικά Τριγωνομετρικά Όρια στο xo=.

Είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε πώς υπολογίζονται τα παρακάτω όρια:

0uημlim)x1(ημlim

0u

x1u

x

.


1uσυνlim)x1(συνlim

0u

x1u

x

.

1u

uημlim

x1

)x1(ημ

lim)]x1(ημx[lim

0u

x1u

xx

.

0xxημlim

u

, διότι ισχύει:

x1

xxημ

x11

x1xημ

x1

xxημ

. Όμως 0)x1(lim

x

και από κριτήριο παρεμβολής έπεται ότι 0u

uημlimu

.

)01()(ήμορφ

xx)]

xxημ1(x[lim)xημx(lim .

Τα όρια των συναρτήσεων f(x)=ημx και g(x)=συνx δεν υπάρχουν στο εξαιτίας της περιοδικότητάς τους.

Παραδείγματα: Λύση: Το πρόσημο της παράστασης λ21 φαίνεται παρακάτω:

Παράδειγμα 16.1: Να βρεθεί το ]7x)1λ(x)1λ[(lim 82

x

για

τις διάφορες τιμές του λR.


λ21>0 λ<1 ή λ>1 (γιατί;) λ21=0 λ=1 λ21<0 1<λ<1

Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση P(x)=( λ21)x8+(λ1)x+7. Διακρίνουμε

τις παρακάτω περιπτώσεις:

(α) Αν λ21>0 λ<1 ή λ>1, τότε

01λ282

xx

2

)()1λ(]x)1λ[(lim)x(Plim .

(β) Αν λ21<0 1<λ<1, τότε

01λ282

xx

2

)()1λ(]x)1λ[(lim)x(Plim .

(γ) Αν λ=1, τότε P(x)=7 και άρα 7)7(lim)x(Plimxx

.

(δ) Αν λ= 1, τότε P(x)= 2x+7 και άρα

)()2()x2(lim)x(Plimxx

.

Λύση: Επειδή το όριο στο άπειρο μίας ρητής συνάρτησης είναι ίσο με το

όριο του πηλίκου των μεγιστοβαθμίων όρων, θα διακρίνουμε

περιπτώσεις για την παράσταση 1λ2λ

:

(α) Αν 2λή1λ0)1λ)(2λ(01λ2λ

, τότε

]x

)1λ()2λ([lim

x)1λ(x)2λ(lim

8x3x)1λ(1xλx)2λ(lim

x3

4

x23

24

x

0

1λ2λ

)()1λ()2λ(

Παράδειγμα 16.2: Να βρεθεί το 8x3x)1λ(1xλx)2λ(lim 23

24

x

για τις

διάφορες τιμές του λR.


(β) Αν 2λ10)1λ)(2λ(01λ2λ

, τότε

]x

)1λ()2λ([lim

x)1λ(x)2λ(lim


x3

4

x23

24

x

0

1λ2λ

)()1λ()2λ(

(γ) Αν λ=2, τότε:

.0x2lim

xx2lim

8x3x1x2lim


)/(2ήμορφ

x3

2

x23

2

x23

24

x

(δ) Αν λ=1, τότε:

3xlim

x3xlim

8x31xxlim


2

x2

4

x2

24

x23

24

x

2)(31 .

Λύση:

(Α΄ τρόπος):

)x57

x5x61(x5lim7x6x5lim 22

2

x

2

x

]x57

x561x5[lim)

x57

x561(x5lim 2

2

x22

x

]

x57

x5615x[lim]

x57

x561x5[lim 2x

0x

22

x

0015)( .

(B΄τρόπος):

ήμορφ2

x7x6x5lim , διότι ισχύει ότι

)x5(lim)7x6x5(lim 2

x

2

x.

Παράδειγμα 16.3: Να υπολογιστεί το όριο 7 2

x7x6x5lim

.


Γνωρίζουμε ότι αν

)x(flimoxx

, τότε

κxx

)x(flimo

. Γενικότερα

για τα όρια στο ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων όπως και

στην περίπτωση στην οποία xxoR, με την προϋπόθεση ότι οι

συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και δεν καταλήγουμε

σε απροσδιόριστη μορφή.

Λύση:

)()()(2)x21x6x(lim 1515 8

x, διότι

)x(lim)1x6x(lim 8

x

8

x και άρα

15 8

x1x6xlim .

Λύση: Καταρχάς παρατηρούμε ότι το όριο είναι της μορφής +. Όταν

συμβαίνει κάτι τέτοιο και επειδή έχουμε όριο στο άπειρο, ενώ ο τύπος

της συνάρτησης έχει τη μορφή )x(Q)x(Pκ ή τη μορφή

λκ )x(Q)x(P , P και Q πολυωνυμικές συναρτήσεις, τότε εξετάζουμε

αν η αντίστοιχη μορφή που περιέχει μόνο τους μεγιστοβάθμιους όρους

ανάγεται στη μορφή 0x. Σε αυτό το παράδειγμα για την αντίστοιχη

μορφή που περιέχει μόνο τους μεγιστοβάθμιους όρους ισχύει

.x0xx2xx2xx2x0x

2

Αν λοιπόν δεν ανάγεται στη μορφή 0x, τότε για τον υπολογισμό του

ορίου βγάζουμε κοινό παράγοντα τους μεγιστοβάθμιους όρους:

)x12(x)

x7

xx61(x(lim)1x27x6x(lim 22

2

x

2

x

)]x12(x

x7

x61x[lim)]

x12(x)

x7

x61(x[lim 2

2

x22

x

Παράδειγμα 16.4: Να βρεθεί το όριο )x21x6x(lim 15 8

x

.

Παράδειγμα 16.5: Να βρεθεί το όριο )1x27x6x(lim 2

x

.


)]

x12(x

x7

x61x[lim)]

x12(x

x7

x61x[lim 2x

0x

2x

.)1()()]02(001[)()]]x12(

x7

x61[(x[lim 2x

Λύση: Σε αντίθεση με το προηγούμενο παράδειγμα η αντίστοιχη

παράσταση με τους μεγιστοβάθμιους όρους δίνει

x0x3x3x3x3x3x90x

2

. Όταν λοιπόν αναγόμαστε στη

μορφή 0x, τότε για τον υπολογισμό του ορίου χρησιμοποιούμε τη συζυγή

παράσταση:

x31x3x9)x31x3x9()x31x3x9(lim)x31x3x9(lim

2

22

x

2

x

)1x91

x311(x3

)x13(x

limx3

x91

x9x31x3

x91x3x9lim

2

x

22

22

x

21

)1001(303

)1x91

x311(3

x13

lim

2

x

.

Λύση: Αν λάβουμε υπόψη μόνο τους μεγιστοβάθμιους όρους, τότε

αναγόμαστε στη μορφή 0x: x0x3xx4x3xx160x

22

. Σε

αυτή την περίπτωση «σπάμε» τον όρο 3x, που δεν περιέχεται σε ρίζα,

Παράδειγμα 16.6: Να βρεθεί το όριο )x31x3x9(lim 2

x

.

Παράδειγμα 16.7: Να βρεθεί το όριο

)x31x6x18x5x16(lim 22

x

.


στην παράσταση 3x= 4x+x. Παρατηρήστε ότι οι δύο τελευταίοι όροι

είναι αντίθετοι από τις παραστάσεις με ριζικά όταν αυτές περιέχουν μόνο

τους μεγιστοβάθμιους όρους. Τότε λοιπόν υπολογίζουμε το όριο με

χρήση των κατάλληλων συζυγών παραστάσεων:

)x31x6x18x5x16(lim 22

x

)x1x6xx418x5x16(lim 22

x

=

]x1x6x

)x1x6x()x1x6x(x418x5x16

)x418x5x16()x418x5x16([lim2

22

2

22

x

=...

Σύνοψη: Από τα παραδείγματα 5, 6 και 7 βλέπουμε ότι όταν η

παράσταση που περιέχει μόνο τους μεγιστοβάθμιους όρους είναι διάφορη

της μορφής 0x, τότε για τον υπολογισμό του ορίου βγάζουμε κοινό

παράγοντα το μεγιστοβάθμιο όρο. Διαφορετικά, αν η παράσταση

ανάγεται στη μορφή 0x χρησιμοποιούμε την κατάλληλη ή τις κατάλληλες

συζυγείς παραστάσεις.

Λύση: Επειδή

)x(lim)1xx(lim 3

x

23

x, τότε έπεται ότι

x3+x21<0 για κάποιο διάστημα της μορφής (,α) (κοντά στο ).

Άρα:

.)1x2x(lim)]1xx(x[lim]1xxx[lim 23

x

232

x

232

x

Παράδειγμα 16.8: Να βρεθεί το όριο ]1xxx[lim 232

x

.

Παράδειγμα 16.9: Να βρεθεί το όριο xσυνxx2ημx3lim

x

.


Λύση: Είναι :

30103

xxσυν1

xx2ημ3

lim)

xxσυν1(x

)x

x2ημ3(xlim

xσυνxx2ημx3lim

xxx

, διότι

για τα τριγωνομετρικά όρια ισχύουν:

(α) x1

xx2ημ

x1

x11

x1x2ημ

x1

xx2ημ

και επειδή

0)x1(lim

x

, τότε από κριτήριο παρεμβολής έπεται 0

xx2ημlim

x

.

(β) Προκύπτει όμοια ότι 0x

xσυνlimx

.

Λύση: Ισχύει ότι

)1x7x(lim 3

x, άρα x3+7x+1<0 για κάποιο

διάστημα της μορφής (,α).

Άρα για κάθε x που ανήκει σε αυτό το διάστημα θα ισχύει:

1x7xx7x2)x(f 3

25

.

Όμως

)x2(limxx2lim

1x7xx7x2lim 2

x3

5

x3

25

x. Τότε θα ισχύει

ότι 01x7x

x7x2)x(f 3

25

, για x(,α). Θέτουμε 0

)x(f1)x(g για

x(,α). Θα ισχύει επομένως ότι 25

3

x7x21x7x

)x(f1)x(g0

. Επειδή

Παράδειγμα 16.10: Έστω συνάρτηση f:RR, για την οποία ισχύει

ότι : (x3+7x+1)·f(x)<2x5+7x2 για κάθε x ≤ 100e.

Να υπολογιστεί το όριο )x(flimx

.


01x7x2

1x7xlim 25

3

x

, τότε από κριτήριο παρεμβολής έπεται ότι

.0)x(glimx

Τέλος θα έχουμε ότι

0/1ήμορφ

0)x(gμεxx )x(g1lim)x(flim .

Λύση: Έστω η συνάρτηση xημxxx)x(g 2 , η οποία ορίζεται

για x>0 (γιατί;). Έστω ότι το όριο )x(glimx

υπάρχει και ισχύει

L)x(glimx

R{}. Τότε θα ισχύει ότι )xxx(

)x(gxημ2

.

Έχουμε τότε:

2x

]1x11[x

limx

xxxlim...xxx

1limx

2

x2x

.

Άρα

)x(glimxxx

1limxxx

)x(glimxημlimx2x2xx

=2·LR{}, άτοπο διότι το όριο xημlimx

δεν υπάρχει εξαιτίας της

περιοδικότητας της συνάρτησης του ημιτόνου.

Επομένως η g δεν έχει όριο για x+.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ


(α) 1x5x8lim 5

x

(β) 1x2x6x3lim 27

x

(γ)

1x5lim 3x

Παράδειγμα 16.11: Να αποδειχθεί ότι το όριο

]xημ)xxx[(lim 2

x



(δ) 7x2x5x8

1x6x7lim 34

2

x

(ε)

2x3x

x5xlim

22

x

16.2) Όμοια:

(α) 1x6x5lim 2

x

(β) 8x2x7lim 3

x

(γ) 8x7x5x2xlim 22

x

(δ) 8x6x91x7xlim 22

x

16.3) Όμοια:

(α) x2

1xlim2

x

(β) 1xx1xxlim

2

2

x

(γ)

22

xx2x2xxlim

16.4) Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, να υπολογίσετε

τα όρια:

(α) xλ3x2xlim 2

x

(β)

1x6xλ1x6x3x)2λ(lim 2

23

x

16.5) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε το όριο

xλ7x6xlim 2

x

να είναι πραγματικός αριθμός.

16.6) Να υπολογίσετε τα όρια:

(α) 8x7x

x27x6xlim 2

2

x

(β) 1x8x1

x51xlim23

2

x


16.7) Όμοια:

(α) x

xxημlimx

(β) x8ημx3

x5x3συνlim 23

2

x

(γ)

x

x1συνxlim

x

(δ) 1x2

x1ημx

lim 3x (ε)

1x6xxημxlim 2x

(στ)xσυνx2x1x4xημxlim

4

8

x

(ζ)

x1ημ

3x2x81x6x5x7lim 2

23

x

(η) ]x7ημ)x23x6x4[(lim 2

x

16.8) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει

5x36x2+2≤(x2+5x7)·f(x)≤5x3+4x2+7 xR. Να υπολογίσετε τα όρια:

(α) )x(flimx

και (β) 1x2)x(flim

x .

16.9) Έστω f:RR, ώστε να ισχύει xx4)x(f8x2x 23 x>0.


(α) )x(flimx

(β) xσυν)x(flimx

16.10) Έστω f:RR περιττή, για την οποία ισχύει ότι

4x5)x(flimx

. Να υπολογίσετε τα όρια:

(α) )x(flimx

(β) 3x2x8)x(xf

x5)x(f3lim 2x

(γ) 1)x(f6)x(f2)x(f5

21)x(f2)x(f3lim 23

2

x

ΕΝΟΤΗΤΑ 17-ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 177

ΕΝΟΤΗΤΑ 17η

Όριο Εκθετικής και Λογαριθμικής

Συνάρτησης

Αποδεικνύεται ότι

Αν α>1, τότε:

0αlim x

x

x

xαlim

xloglim α0x

xloglim αx

Αν 0<α<1, τότε:

x

xαlim 0αlim x

x

xloglim α0x

xloglim αx

Τα παραπάνω όρια μπορούμε εύκολα να τα θυμόμαστε από τη γραφική τους παράσταση. Παραδείγματα:

Λύση:

u

u

2xu2x

x5lim5lim

44

.


x

4

5lim

.

Παράδειγμα 17.2: Να υπολογιστεί το όριο 1xxlnlim 2

x

.

178 ΕΝΟΤΗΤΑ 17-ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Λύση: Θέτουμε 1xx)x(uu 2 . Τότε ισχύει ότι

1xx1lim

1xx1xx1xxlim1xxlim

2x2

22

x

2

x

0

1ήμορφ

. Άρα για x , τότε u0. Επομένως έχουμε ότι

ulnlim1xxlnlim0u

2

x.

Λύση:

u

u

xlnxuxlnx

x

xln

x

x

xelimelimelimxlim

x

, διότι αν

θέσουμε u=u(x)=x·lnx, τότε

)()(ήμορφ

xx)xlnx(lim)x(ulim .

Στο παραπάνω παράδειγμα εφαρμόσαμε το μετασχηματισμό

AlnBAlnΒ eeΑB

, για Α>0 (πολύ χρήσιμο). Λύση:

3x1x2u

3x

3

xx x1x2lnlim]xln)1x2[ln(lim]xln3)1x2[ln(lim

ulnlim0u

, διότι αν θέσουμε u=u(x)= 3x1x2 , τότε

0x2lim

xx2lim

x1x2lim)x(ulim

)/(2ήμορφ

2x3x3xx

.

Όταν έχουμε απροσδιόριστη μορφή με λογαρίθμους είναι χρήσιμο να εφαρμόζουμε γνωστές ιδιότητες αυτών.

Παράδειγμα 17.3: Να υπολογιστεί το όριο x

xxlim

.

.

Παράδειγμα 17.4: Να υπολογιστεί το όριο ]xln3)1x2[ln(limx

.

ΕΝΟΤΗΤΑ 17-ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 179

Λύση: 101

1

5xσυν1

1lim)

5xσυν1(5

5limxσυν5

5limx

xx

x

x

xx

x

x

,

διότι xxxx

051

xxx 51

5xσυν

51

51

51xσυν

51

5xσυν x

και επειδή

051lim

1ήμορφ

xx

, τότε από κριτήριο παρεμβολής έπεται ότι

05

xσυνlim xx

.

Λύση:

001100]

651

153

65[lim

6516

1535

lim5653lim x

x

x

x

x

xx

x

xx

xxx

xx

x

.

Το μυστικό σε ασκήσεις τέτοιου τύπου είναι να βγάλουμε κοινούς παράγοντες από τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτές τις δυνάμεις,

ώστε να σχηματιστεί κλάσμα της μορφής )x(β)x(α με 0

)x(β)x(α ή

)x(β)x(α

(βλ. επίσης και το επόμενο παράδειγμα).

Παράδειγμα 17.5: Να υπολογιστεί το όριοxσυν5

5lim x

x

x .

Παράδειγμα 17.6: Να υπολογιστεί το όριο xx

xx

x 5653lim

.

Παράδειγμα 17.7: Να υπολογιστεί το όριο xx

xx

x 5653lim

.

180 ΕΝΟΤΗΤΑ 17-ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Λύση:

.1001)(]

156

351

53[lim

1565

3513

lim5653lim x

x

x

x

x

xx

x

xx

xxx

xx

x

ΑΣΚΗΣΕΙΣ


(α) x

x5lim

(β)

x

x 51lim

(γ)

135lim x

x

x (δ) x5

x3

x 35lim

17.2) Όμοια:

(α) 12382472lim xx

xx

x

(β)

358823lim xx

xx

x

(γ) 4x3x

1x2x

x 3528lim

17.3) Να υπολογίσετε το όριο 2xx

x1x

x α3α5lim

για τις διάφορες τιμές του

θετικού αριθμού α.


(α) )]1xln()x4x[ln(lim 35

x

(β) ]x)45[ln(lim xx

x

(γ)

x1

31lnlim

x

x (δ)

2xln3xln21xln6xln5lim 2

2

x

17.5) Όμοια:

(α) xlnxημlim

x (β)

x1ημx

x

2

elim (γ) x3ημelim x

x

(δ) x3συνxln2limx

(ε) x4x3x

x

22

55lim

ΕΝΟΤΗΤΑ 18-ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙΙ) 181

ΕΝΟΤΗΤΑ 18η

Συνεχείς Συναρτήσεις (ΙΙ) Α) Συνεχείς Συναρτήσεις

Στην ενότητα 8 είδαμε τι σημαίνει συνεχής συνάρτηση στο xo και τη

χρησιμότητά τους στην εύρεση ορίων.

Υπενθυμίσεις-Παρατηρήσεις: Έστω συνάρτηση f: AR.

(α) Η f λέγεται συνεχής στο xoA, όταν ισχύει )x(f)x(flim oxx o

.

(β) Το xo πρέπει οπωσδήποτε να ανήκει στο πεδίο ορισμού Α της

συνάρτησης. Πιο συγκεκριμένα:

(i) Το xo πρέπει να ανήκει σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της

συνάρτησης, δηλαδή xoΔA.

(ii) Το xo δύναται επίσης και να μην ανήκει σε διάστημα Δ του πεδίου

ορισμού, περίπτωση η οποία όμως ξεφεύγει από το πνεύμα της σχολικής

ύλης.

(γ) Αν το όριο )x(flimoxx

δεν υπάρχει ή ισχύει ότι )x(f)x(flim oxx o

, τότε

θα λέμε ότι η f δεν είναι συνεχής στο xo ή ισοδύναμα ότι η f είναι ασυνεχής

στο xo.

(δ) Αν το xo δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης, τότε θα λέμε

ότι δεν έχει νόημα η συνέχεια της f στο xo.

Δίνουμε τον παρακάτω ορισμό:

Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση P είναι συνεχής, αφού όπως έχουμε δει ισχύει ότι )x(P)x(Plim oxx o

xoR.

Ορισμός 18.1: Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα

λέμε ότι είναι συνεχής, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου

ορισμού της, δηλαδή όταν ισχύει ότι )x(f)x(flim oxx o

xoA.

182 ΕΝΟΤΗΤΑ 18-ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙΙ)

Κάθε ρητή συνάρτηση QPf είναι συνεχής, αφού ισχύει ότι

)x(f)x(Q)x(Plim

)x(Q)x(Plim)x(flim o

o

oxxxxxx ooo

xDf.

Οι συναρτήσεις f(x)=ημx και g(x)=συνx είναι συνεχείς, όπως έχουμε δει. Αποδεικνύεται ότι οι συναρτήσεις f(x)=αx και g(x)=logαx με 0<α1 είναι συνεχείς. Β) Πράξεις με Συνεχείς Συναρτήσεις Ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα: Θεώρημα 1: Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο xo, τότε

είναι συνεχείς στο xo και οι συναρτήσεις: f+g, c·f όπου cR, f·g, gf ,

f και ν f , με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το xo. Θεώρημα 2: Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο xo και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο f(xo), τότε η σύνθεση gof είναι συνεχής στο xo. Εφαρμογές: Οι συναρτήσεις f(x)=εφx και g(x)=σφx είναι συνεχείς ως πηλίκα συνεχών συναρτήσεων. Η συνάρτηση f(x)=(x22x+7)·lnx είναι συνεχής ως γινόμενο των συνεχών συναρτήσεων f1(x)= x22x+7 και f2(x)=lnx. Η συνάρτηση f(x)=ημ(x2+2x) είναι συνεχής ως σύνθεση της συνεχούς συνάρτησης f1(x)= x2+2x με τη συνεχή συνάρτηση f2(x)=ημx (f=f2of1). Τα αντίστροφα των παραπάνω θεωρημάτων δεν ισχύουν. Πράγματι έστω

οι συναρτήσεις

0x,10x,1

)x(f1 και

0x,10x,1

)x(f2 οι

οποίες προφανώς δεν είναι συνεχείς στο xo=0. Ωστόσο:


(α) Η συνάρτηση f1+f2 είναι συνεχής ως σταθερή (πολυωνυμική), αφού (f1+f2)(x)=0 xR.

(β) Η συνάρτηση 2

1

ff είναι επίσης συνεχής αφού 1

)x(f)x(f)x(

ff

2

1

2

1

xR. Παραδείγματα: Λύση: Παρατηρούμε ότι: Η f είναι συνεχής x(,1) ως πολυωνυμική. Η f είναι συνεχής x(1,+) ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Εξετάζουμε τη συνέχεια της συνάρτησης στο xo=1: (α) f(1)=125·1+7=3. (β) 37151)7x5x(lim)x(flim 22

1x1x

.

(γ) 21...

)1x()1x()1x(xlim

1xxxlim)x(flim

1x2

2

1x1x

.

Βλέπουμε ότι το όριο )x(flim1x

δεν υπάρχει ( )x(flim)x(flim1x1x

) και

επομένως η f δεν είναι συνεχής στο xο=1.*8

*Παρόλο που η f δεν είναι συνεχής στο xo=1, σε επόμενο μάθημα θα δούμε εντούτοις ότι η f είναι συνεχής στο διάστημα (,1] !!!

Παράδειγμα 18.1: Να εξεταστεί αν η συνάρτηση f με τύπο

1x,1xxx

1x,7x5x)x(f

2

2

2

είναι συνεχής.


Λύση: Ισχύει ότι Η f είναι συνεχής x(,1) ως πολυωνυμική. Η f είναι συνεχής x(1,+) ως πολυωνυμική. Για να είναι η f συνεχής στο xo=1, θα πρέπει να ισχύει επιπλέον η συνθήκη:

6)3xβ2xαx(lim

6)βxαx(lim6)1(f)x(flim)x(flim

23

1x

2

1x

1x1x

3βκαι2α8β2α

5βα

.

Λύση: Αφού η f είναι συνεχής στο xo=3, θα ισχύει ότι )x(flim)3(f

3x .

Όμως για x3 ισχύει 3x

36x)x(f

. Άρα έχουμε:

61...

3x36xlim)x(flim)3(f

3x3x

.

Παράδειγμα 18.2: Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β,

ώστε η συνάρτηση με τύπο

1x,3xβ2xαx1x,61x,βxαx

)x(f23

2

να


Παράδειγμα 18.3: Έστω η συνάρτηση f:RR συνεχής στο xo=3 για την οποία ισχύει ότι 36x)x(f)3x( xR. Να βρεθεί η τιμή f(3).


Λύση: Αφού f συνεχής στο xo=0 και επειδή η f ορίζεται στο σύνολο (,0)(0,+), τότε υπάρχουν τα πλευρικά όρια )x(flim

0x , )x(flim

0x

και ισχύει L)0(f)x(flim)x(flim0x0x

.

Για x>0, ισχύει ότι x

1xσυν)x(f . Κατά συνέπεια θα ισχύει ότι

0Lx

1xσυνlim)x(flim0x0x

(1).

Για x<0, ισχύει ότι x

1xσυν)x(f . Κατά συνέπεια θα ισχύει ότι

0Lx

1xσυνlim)x(flim0x0x

(2).

Από (1) και (2) έπεται ότι L=0 f(0)=0.

Λύση: (α) Για x=y=0 η συναρτησιακή σχέση δίνει f(0+0)=f(0)·f(0)

f(0)=f2(0)f2(0)f(0)=0 f(0)·[f(0)1]=0 f(0)1=0 f(0)=1, διότι

f(0)>0.

Παράδειγμα 18.4: Έστω f:RR συνεχής για την οποία ισχύει x·f(x)≤ συνx1 xR. Να βρεθεί η τιμή f(0).

Παράδειγμα 18.5: Έστω η συνάρτηση f:R(0,+) για την οποία

ισχύει ότι f(x+y)=f(x)·f(y) x,yR.

(α) Να βρεθεί η τιμή f(0).

(β) Να αποδειχθεί ότι )α(f

1)α(f .

(γ) Να αποδειχθεί ότι αν η f είναι συνεχής στο xo=0, τότε η f είναι

συνεχής (σε όλο το πεδίο ορισμού της)

(δ) Να αποδειχθεί ότι αν η f είναι συνεχής στο τυχαίο xo=αR, τότε

η f είναι συνεχής.


(β) Έχουμε ότι )α(f)α(f)αα(f και 1)0(f)αα(f . Άρα

)α(f1)α(f1)α(f)α(f .

(γ) Από υπόθεση έχουμε ότι 1)0(f)x(flim0x

. Έστω ένα

οποιοδήποτε xoR.

Εκμεταλλευόμενοι την ιδιότητα της συνάρτησης από υπόθεση, έχουμε

ότι:

).x(f1)x(f)h(flim)x(f)]h(f)x(f[lim)hx(flim oo0hoo0ho0h

Αφού υπάρχει το όριο )hx(flim o0h

, τότε από γνωστή ιδιότητα των

ορίων (βλ. στο τέλος της ενότητας 7), θα έχουμε ότι

)x(f)hx(flim)x(flim oo0hxx o

.

Επομένως η f είναι συνεχής.

(δ) Από υπόθεση ισχύει ότι )α(f)x(flimαx

R. Άρα από ιδιότητα των

ορίων θα ισχύει ότι ).α(f)x(flim)hα(flimαx0h

Έστω ένα οποιοδήποτε xoR. Τότε έχουμε:

)]hα(f)αx(f[lim)hααx(flim)hx(flim o0ho0ho0h

)hα(f

)α(f)x(flim)]hα(f)α(f)x(f[lim o

0ho0h

)x(f)α(f)α(f)x(f)hα(flim

)α(f)x(f

oo

0ho

.

Από ιδιότητα των ορίων (ενότητα 7) θα έχουμε ότι

)x(f)hx(flim)x(flim oo0hxx o

.

Άρα η f είναι συνεχής.


Λύση:

)1(1)x(f

xln)x(fxln]1)x(f[)x(fxln)x(f)x(f 445

,

διότι 01)x(f 4 .

Τότε xln1xln

1)x(fxln

)x(f 4

. Άρα xln)x(fxln . Όμως

0xlnlim1x

. Από το κριτήριο παρεμβολής έπεται ότι 0)x(flim1x

.

Από (1) για x=1 παίρνουμε: 01)1(f

1ln)1(f 4

. Άρα

)1(f0)x(flim1x

, δηλαδή η f είναι συνεχής στο xo=1.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

18.1) Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις:

(α)

2x,x2x,4x)x(f 4

2

(β)

1x,x31x,1x)x(f

2

(γ)

2x,3

2x,2x

2xx

)x(f

2

(δ)

1x,xln1x,x)x(f

2

Παράδειγμα 18.6: Έστω f:(0,+)R, ώστε να ισχύει

xln)x(f)x(f 5 x>0. Να αποδειχτεί ότι η f είναι συνεχής στο

xo=1.


(ε)

1x,xlnσυν1x,1x2)x(f

2

(στ)

1x,x2

1x,x2)x(f

2

(ζ)

0x,x20x,e)x(f 2

x

(η)

0x,)exln(

0x,x

xημ

)x(f

(θ)

2πx,xσυνe

2πx,e

)x(f

xημ

(ι)

0x,0

0x,x1συνx

)x(f

(ια)

0x,21

0x,x

xσυν1

)x(f2

(ιβ) 1x1x

)x(f2

(ιγ) 1x2 2

x)x(f , x>0

18.2) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β και γ, ώστε η f να είναι

συνεχής:

(α)

1x,α

1x0,1xxx

)x(f

2

(β)

1x,xβ

1x,xα3)x(f

2


(γ)

2πx,xσυν

2πx

2π,βxημα

2πx,xημ2

)x(f

(δ)

2x,γ

2x,2x

βxαx

)x(f

3

(ε)

2πx,β

π,2πx,αxσφ

xεφ1

2π,0x,

x2συν1x

)x(f

(στ)

0x,α

0x,x1συν3

x1ημ2x

)x(f

2

18.3) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο xo=0 και ισχύει 2xxημ)x(xf xR, τότε να βρείτε την τιμή f(0).

18.4) Αν για τις συναρτήσεις f και g ισχύει x)x(g)x(f xR, τότε

να αποδείξετε ότι οι f και g είναι συνεχείς στο xo=0.


18.5) Έστω η συνάρτηση με τύπο tx

tx2

t e1xexlim)x(f

, xR. Να

γράψετε τον τύπο της συνάρτησης f σε απλούστερη μορφή και να

αποδείξετε ότι είναι συνεχής.

18.6) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, τότε να αποδείξετε ότι

)x(f2)]hx(f)hx(f[lim ooo0h

.

18.7) Έστω η συνάρτηση

ρρητοςάxαν,xxημ

ςόρητxαν,xxημ)x(f 2

2

. Να


(α) ημxx2≤f(x)≤ημx+x2 xR. (β) η f είναι συνεχής στο xo=0.

(γ) 1x

)0(f)x(flim0x

.

18.8) Έστω η συνάρτηση με τύπο

ρρητοςάxαν,x1ημxημ

ςόρητxαν,x)x(f .

Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο xo=0.

18.9) Έστω κ ένας πραγματικός αριθμός και έστω συνάρτηση f για την

οποία ισχύει ότι yxκ)y(f)x(f x,yR (Συνθήκη Lipschitz). Να


(α) η f είναι συνεχής .

(β) αν λ>κ, τότε η εξίσωση f(x)=λx έχει το πολύ μία πραγματική ρίζα.

18.10) Έστω η συνάρτηση f:(0,+)R, ώστε f(x·y)=f(x)+f(y)

x,y(0,+).

(α) Αν η f είναι συνεχής στο xo=1, να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής.


(β) Αν η f είναι συνεχής στον τυχαίο αριθμό α, όπου 0<α1, να

αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής.

18.11) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει ότι f(x+y)=f(x)+f(y)

x,yR.

(α) Να υπολογίσετε την τιμή f(0) και να αποδείξετε ότι f(xy)=f(x)f(y)

x,yR.

(β) Αν η f είναι συνεχής στον αριθμό αR*, τότε να αποδείξετε ότι η f


192 ΕΝΟΤΗΤΑ 19-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 19η

Συνέχεια Συνάρτησης σε Διάστημα-Γραφική Παράσταση

Συνεχούς Συνάρτησης

Η γραφική παράσταση μίας συνεχούς συνάρτησης πολλές φορές ταυτίζεται

στο νου μας με μία καμπύλη που δεν διακόπτεται. Αυτό δεν είναι πάντα

σωστό. Σε αυτή την ενότητα θα δούμε ότι βασικός παράγοντας που

καθορίζει αν μία συνεχής συνάρτηση έχει καμπύλη που δεν διακόπτεται

είναι η μορφή του πεδίου ορισμού της. Επίσης θα εξετάσουμε και το

αντίστροφο, δηλαδή αν και κατά πόσο μία καμπύλη που δεν διακόπτεται

αντιστοιχεί πάντα σε συνεχή συνάρτηση.

Α) Συνέχεια Συνάρτησης σε Διάστημα.


Ανάλογοι ορισμοί μπορούν να δοθούν για τα ημιάνοικτα διαστήματα

[α,β) και (α,β] όπου α }{R και β }{R (δοκιμάστε να τους

διατυπώσετε).

Ορισμός 19,1: Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη στο ανοικτό διάστημα

(α,β), δηλαδή (α,β)Df. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο (α,β) αν

είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β), δηλαδή όταν ισχύει

)x(f)x(flim oxx o

xo(α,β).

Ορισμός 19.2: Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη στο κλειστό διάστημα

[α,β], δηλαδή [α,β]Df. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο [α,β] όταν:

(α) είναι συνεχής στο (α,β)

(β) ισχύει ότι )α(f)x(flimαx

και )β(f)x(flimβx

.

ΕΝΟΤΗΤΑ 19-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 193

Β) Γραφική Παράσταση Συνεχούς Συνάρτησης.

(i) Γραφική παράσταση συνεχούς συνάρτησης σε διάστημα

Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής σε διάστημα, τότε η γραφική της

παράσταση δεν «διακόπτεται» στο διάστημα αυτό:

Παράδειγμα 1ο:

Στο διπλανό σχήμα η f είναι

συνεχής στο [α,β).



συνεχής στο [α,β].



συνεχής στο (α,β).


(ii) Γραφική παράσταση συνεχούς συνάρτησης ορισμένης σε ένωση ξένων

μεταξύ τους διαστημάτων

Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο

ορισμού την ένωση δύο ξένων

διαστημάτων π.χ. έστω Df=(α,β](γ,δ)

με β<γ (βλέπε σχήμα δίπλα). Έστω

επιπλέον ότι η συνάρτηση f είναι

συνεχής, δηλαδή συνεχής για κάθε xoDf. Τότε η γραφική παράσταση

της f διακόπτεται, διότι δεν ορίζεται στο διάστημα (β,γ), εντούτοις όπως

είπαμε είναι συνεχής.

Επίσης αν μία συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού την ένωση δύο ή

περισσοτέρων ξένων μεταξύ τους ανοικτών διαστημάτων ώστε

Df=(α,β)(β,γ)(γ,δ)... , τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f

θα διακόπτεται ακόμη και αν η f είναι συνεχής (στο πεδίο ορισμού της).

Κλασικό παράδειγμα αποτελεί η

συνάρτηση με τύπο x1)x(f η οποία

είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών. Το

γράφημα της όμως διακόπτεται, διότι

έχει πεδίο ορισμού την ένωση

(,0)(0,+).

Ας εξετάσουμε τη συνέχεια

της συνάρτησης f η οποία

φέρει τη γραφική παράσταση

του διπλανού σχήματος:


Η γραφική της παράσταση βλέπουμε ότι διακόπτεται για x=α. Αυτό δεν

πρέπει να μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η συνάρτηση δεν είναι

συνεχής, διότι για τον αριθμό α ισχύει ότι αDf (δεν εξετάζουμε τη

συνέχεια σε σημεία που δεν ανήκουν στο πεδίο ορισμού). Στην

πραγματικότητα αν πάρουμε ένα οποιοδήποτε xo του πεδίου ορισμού,

τότε βλέπουμε ότι ισχύει )x(f)x(flim oxx o

και επομένως η f είναι

συνεχής (στο πεδίο ορισμού της).

Μία συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο xo όταν:

(α) xoΔDf, όπου Δ (ανοικτό) διάστημα του πεδίου ορισμού και

(β) η γραφική παράσταση της f

διακόπτεται για x=xo.

Σύμφωνα με την παραπάνω

παρατήρηση η συνάρτηση του

διπλανού σχήματος δεν είναι συνεχής

στο xo:

Λύση:

(α) Ισχύει ότι 1xlim)x(flim 2

1x1x

και

2)x2(lim)x(flim1x1x

.


2x1,x2

1x,x)x(f2

. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση f είναι :

(α) συνεχής στο xo=1 (β) συνεχής στο [1,2]

(γ) συνεχής για κάθε x[1,2].


Επειδή )x(flim)x(flim1x1x

έπεται ότι η f δεν είναι συνεχής στο xo=1.

Βλ. και σχήμα παραπάνω.

(β) Η f είναι συνεχής στο (1,2) ως πολυωνυμική. Επίσης ισχύει ότι:

(i) )1(f2)x2(lim)x(flim1x1x

.

(ii) )2(f4)x2(lim)x(flim2x2x

.

Άρα η f είναι συνεχής στο [1,2].

Δηλαδή η f είναι συνεχής στο [1,2]

χωρίς να είναι συνεχής στο xo=1 !!!

Αυτό μπορούμε να το καταλάβουμε

καλύτερα, αν περιορίσουμε το πεδίο

ορισμού της συνάρτησης f στο [1,2]:

Βλέπουμε ότι αν η f οριζόταν μόνο

στο [1,2], η f θα ήταν συνεχής σε

αυτό το διάστημα και το γράφημά

της δεν θα διακοπτόταν.

(γ) Αφού η f δεν είναι συνεχής στο xo=1, τότε προφανώς δεν είναι

συνεχής για κάθε x[1,2].

Σημαντικά σχόλια:

Από τις απαντήσεις στα ερωτήματα (β) και (γ) βλέπουμε ότι οι εκφράσεις: «συνάρτηση συνεχής στο διάστημα Δ» και «συνάρτηση συνεχής για κάθε x που ανήκει σε διάστημα Δ» δεν είναι εννοιολογικά ταυτόσημες. Στην πρώτη περίπτωση περιορίζουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f στο διάστημα Δ, οπότε εξετάζουμε τη συνέχεια σε αυτή τη νέα συνάρτηση που προκύπτει, ενώ στη δεύτερη περίπτωση όχι.

Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να επεκταθεί η έννοια και σε ένωση διαστημάτων.


Γ) Συνεχές ή Συνεκτικό Γράφημα.


Ωστόσο ο παραπάνω ορισμός στερείται αυστηρότητας, δηλαδή δίνει έναν

περιγραφικό και όχι αυστηρό ορισμό, όταν επικαλείται τη φράση «δεν

σηκώνουμε το μολύβι από το χαρτί».

Ας δούμε τη συνάρτηση f του

διπλανού σχήματος:

Σύμφωνα με τον προηγούμενο

ορισμό, η συνάρτηση f του

σχήματος είναι συνεχής στο

[α,β] και έχει συνεκτικό

γράφημα στο [α,β].

Παρατηρήστε ότι το σύνολο τιμών στο [α,β] είναι επίσης διάστημα,

δηλαδή το f([α,β]) είναι διάστημα.

Ας δούμε ένα παράδειγμα μη

συνεκτικού γραφήματος

συνάρτησης ορισμένης στο

διάστημα Δ=(,+):

Παρατηρούμε ότι όταν διακόπτεται

η γραφική παράσταση μίας

συνάρτησης f με πεδίο ορισμού ένα

διάστημα Δ, τότε υπάρχει κάποιο διάστημα ΑΔ, ώστε η εικόνα f(A) να

μην είναι διάστημα. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα αν θεωρήσουμε το

διάστημα Α=[0,2], τότε f(A)=[0,1)[2,4] (ένωση ξένων διαστημάτων και

όχι διάστημα).

Ορισμός 19.3: Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ

(ΔDf). Θα λέμε ότι το γράφημα της f είναι συνεχές ή συνεκτικό στο

Δ, όταν για τη χάραξή του «δεν σηκώνουμε το μολύβι από το χαρτί».


Με τη βοήθεια των προηγούμενων παραδειγμάτων μπορούμε να

οδηγηθούμε στον παρακάτω αυστηρό ορισμό για τη συνεκτικότητα ενός

γραφήματος:

Στην παράγραφο Β(i) αυτής της ενότητας είδαμε ουσιαστικά την

παρακάτω συνεπαγωγή:

Το ερώτημα που τίθεται είναι αν ισχύει το αντίστροφο:

Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι αρνητική !!! Υπάρχουν δηλαδή

συναρτήσεις ορισμένες σε διάστημα Δ των οποίων το γράφημα είναι

συνεκτικό (συνεχές) και εντούτοις οι συναρτήσεις δεν είναι συνεχείς στο

διάστημα αυτό.

Ορισμός 19.4: Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ

(ΔDf). Θα λέμε ότι το γράφημα της f είναι συνεχές ή συνεκτικό στο

Δ, όταν για κάθε διάστημα Α με ΑΔ, τότε η εικόνα f(A) είναι επίσης

διάστημα.

f συνεχής σε

διάστημα Δ.

Το γράφημα

Cf είναι

συνεκτικό

(συνεχές)

στο Δ.

f συνεχής

στο

διάστημα Δ.

Έστω συνάρτηση f

ορισμένη σε διάστημα Δ

και το γράφημα Cf είναι

συνεκτικό στο (συνεχές)

Δ.

(τότε ;;;;)


Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί η συνάρτηση με τύπο

0x,0

0x,x1ημ

)x(f . Το γράφημά της φαίνεται στο επόμενο σχήμα:

Όσο το x0, τότε το γράφημα Cf μοιάζει με ένα ελατήριο που έχει

άπειρες σπείρες.

Η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής, διότι δεν υπάρχει το όριο

x1ημlim

0x.

Πράγματι, όταν x0, τότε η τιμή f(x) παίρνει όλες τις τιμές του

διαστήματος [1.1] (ανεβαίνει μέχρι το 1-κατεβαίνει μέχρι το 1 και

επαναλαμβάνεται συνεχώς η ίδια διαδικασία άπειρες φορές). Ωστόσο το

γράφημα Cf είναι συνεκτικό, διότι για κάθε διάστημα ΑDf (=R)

παρατηρούμε ότι το f(A) είναι επίσης διάστημα με f(A)[1,1].

Σύνοψη:

(α) Το γράφημα μίας συνεχούς συνάρτησης σε διάστημα δεν

διακόπτεται.

(β) Μία συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε ένωση ξένων μεταξύ τους

διαστημάτων θα έχει γράφημα το οποίο ενδέχεται να διακόπτεται.

(γ) Υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες δεν είναι συνεχείς σε διάστημα και

εντούτοις το γράφημα τους δεν διακόπτεται στο διάστημα αυτό.


ΑΣΚΗΣΕΙΣ

19.1) Να εξετάσετε ποιες συναρτήσεις είναι συνεχείς και ποιες όχι , όταν

το γράφημα τους έχει τη μορφή:

Α) Β)

Γ) Δ)

Ε)


0x,x30x,1x7)x(f

2

. Να

εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής:

(α) στο xo=0 (β) στο διάστημα [0,+)

(γ) για κάθε x που ανήκει στο διάστημα [0,+).



2πx,x62πx,xημ3

)x(g . Να

εξετάσετε αν η συνάρτηση g είναι συνεχής:

(α) στο xo= 2π (β) στο διάστημα [

2π ,+)

(γ) για κάθε x που ανήκει στο διάστημα [2π ,+).

202 ΕΝΟΤΗΤΑ 20-ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO

ΕΝΟΤΗΤΑ 20η

Το θεώρημα Bolzano Ισχύει το παρακάτω χρήσιμο θεώρημα που μας εξασφαλίζει την ύπαρξη

μίας τουλάχιστον ρίζας σε ανοικτό διάστημα (α,β) υπό προϋποθέσεις:

Γεωμετρική Ερμηνεία:

Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και οι

τιμές f(α) και f(β) είναι ετερόσημες, τότε η Cf τέμνει τον άξονα x΄x σε

ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη xo όπου xo(α,β) (βλ. σχήμα

παρακάτω).


Το θεώρημα Bolzano εξασφαλίζει την ύπαρξη μίας τουλάχιστον ρίζας της εξίσωσης f(x)=0 στο (α,β). Η εξίσωση ενδέχεται να έχει περισσότερες από μία ρίζες.

Θεώρημα Bolzano: Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη στο κλειστό

διάστημα [α,β], δηλαδή [α,β]Df. Αν ισχύουν ότι:

(α) η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και

(β) f(α)·f(β)<0

τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον xo(α,β) τέτοιο, ώστε f(xo)=0.

Δηλαδή υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 στο

ανοικτό διάστημα (α,β).

ΕΝΟΤΗΤΑ 20-ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO 203

Με το θεώρημα Bolzano δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε ούτε τις τιμές των ριζών, ούτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x)=0 στο (α,β).

Το αντίστροφο του θεωρήματος Bolzano δεν ισχύει. Δηλαδή αν η εξίσωση f(x)=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ανοικτό διάστημα (α,β), τότε δεν έπεται ότι η f είναι συνεχής στο [α,β], ούτε ότι f(α)·f(β)<0 όπως φαίνεται και στα παρακάτω σχήματα:


Λύση: Ισχύει ότι ημx=x1 ημxx+1=0. Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x)=ημxx+1.

Η f είναι συνεχής στο [0,π] ως πράξη συνεχών. Ισχύει ότι f(0)=ημ00+1=1>0 και f(π)=ημππ+1=1π<0. Άρα

f(0)·f(π)<0. Από το θεώρημα Bolzano έπεται ότι υπάρχει ένα (τουλάχιστον9) xo(0,π), ώστε f(xo)=0 ημxo=xo1.

9 Στα μαθηματικά όταν αναφέρουμε τη λέξη ένα(ς), μία κ.τ.λ. εννοούμε τουλάχιστο. Για παράδειγμα η φράση «μία ρίζα» σημαίνει τουλάχιστον μία ρίζα. Διαφορετικά θα χρησιμοποιούμε τον όρο μοναδική ρίζα ή τον όρο ακριβώς μία ρίζα κ.τ.λ.

Παράδειγμα 20.1: Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση ημx=x1 έχει μία

τουλάχιστον ρίζα στο (0,π).


Σχόλιο: Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μία εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β), τότε θα μεταφέρουμε όλους τους όρους της εξίσωσης στο ένα μέλος και θα θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο αυτόν που προέκυψε από την εξίσωση μετά τη μεταφορά. Λύση: Έστω ότι η εξίσωση της εκφώνησης έχει ρίζα xo(1,2). Τότε

0)1x()1x()2x()1x(02x1x

1x1x 6

οοο4ο

ο

6ο

ο

4ο

. Θεωρούμε

τη συνάρτηση με τύπο )1x()1x()2x()1x()x(f 64 .

Παρατηρούμε ότι: Η f είναι συνεχής στο [1,2] ως πολυωνυμική. f(1)=2·(1)= 2<0 και f(2)=65>0. Άρα f(1)·f(2)<0.

Από το θεώρημα Bolzano έπεται ότι υπάρχει ένα xo(1,2), ώστε

f(xo)=0... 02x1x

1x1x

ο

6ο

ο

4ο

.

Σχόλιο: Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μία κλασματική εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α,β) και η παράσταση της εξίσωσης δεν ορίζεται για x=α ή για x=β, τότε κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και εργαζόμαστε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα.

Λύση: Ισχύει ότι 3f(α)+2f(β)=0 )β(f32)α(f . Παρατηρούμε ότι:

Η f είναι συνεχής στο [α,β] από υπόθεση.

Παράδειγμα 20.2: Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση 02x1x

1x1x 64

έχει ρίζα στο (1,2).

Παράδειγμα 20.3: Έστω συνάρτηση f:[α,β]R συνεχής, για την οποία ισχύει ότι 3f(α)+2f(β)=0. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει ρίζα στο [α,β].


0)β(f32)β(f)α(f 2 .

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: (α) Αν f(α)·f(β)=0 f(α)=0 ή f(β)=0. Σε αυτή την περίπτωση η εξίσωση f(x)=0 έχει ρίζα τουλάχιστον έναν από τους αριθμούς α και β. (β) Αν f(α)·f(β)<0, τότε από το θεώρημα Bolzano έπεται ότι υπάρχει xo(α,β), ώστε f(xo)=0. Σε κάθε περίπτωση, η εξίσωση f(x)=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [α,β]. Σχόλιο: Αν η f συνεχής στο [α,β] και f(α)·f(β)≤0, τότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις (i) f(α)·f(β)=0 και (ii) f(α)·f(β)<0 όπως παραπάνω. Λύση: Ισχύει ότι lnx=x5 lnxx+5=0. Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x)=lnxx+5, x>0. Τότε

50)(ήμορφ

0x0x)5xx(lnlim)x(flim .

Άρα υπάρχει πραγματικός αριθμός α κοντά στο 0 με 0<α<1, ώστε f(α)<0. Τώρα παρατηρούμε ότι: Η f είναι συνεχής στο [α,1] ως πράξη συνεχών. f(α)<0 και f(1)=ln11+5=4>0. Άρα f(α)·f(1)<0.

Από το θεώρημα Bolzano έπεται ότι υπάρχει xo(α,1)(0,1), ώστε f(xo)=0lnxo=xo5. Σχόλιο: Αν αR και )ή()x(flim

αx

, τότε f(x)>0 (ή f(x)<0)

κοντά στο α.

Παράδειγμα 20.4: Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση lnx=x5 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,1).

Παράδειγμα 20.5: Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση x3+x=1 έχει ακριβώς μία ρίζα, η οποία μάλιστα ανήκει στο (0,1).


Λύση: Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x)=x3+x1 η οποία εύκολα αποδεικνύεται με τη βοήθεια του θεωρήματος Bolzano ότι έχει μία τουλάχιστον ρίζα xo(0,1) (όπως στα προηγούμενα παραδείγματα). Η μοναδικότητα θα αποδειχτεί με τη βοήθεια της μονοτονίας: Έστω x1,x2R με x1<x2. Τότε x1<x2 2

321

31

32

31 xxxxxx

)x(f)x(f1xx1xx 212321

31 . Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα

και έπεται ότι η ρίζα της f είναι μοναδική. (Πράγματι αν θεωρήσουμε έναν αριθμό λ με λxo, τότε επειδή η f είναι 1-1, θα ισχύει ότι f(λ)f(xo) f(λ)0.) Με τη βοήθεια του θεωρήματος Bolzano, μπορούμε να αποδείξουμε την παρακάτω πρόταση: Πρόταση: Έστω συνάρτηση f συνεχής και 1-1 σε διάστημα Δ. Τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα αυτό. Λύση: Ας υποθέσουμε ότι η f δεν είναι γνησίως μονότονη. Τότε θα υπάρχουν x1,x2,x3Δ με x1<x2<x3, ώστε να ισχύει ακριβώς μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: (Ι) f(x1) < f(x3) < f(x2) (II) f(x3) < f(x1) < f(x2) (III) f(x2) < f(x1) < f(x3) (IV) f(x2) < f(x3) < f(x1) Έστω ότι ισχύει η περίπτωση (Ι). Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x)f(x3). Η g είναι συνεχής στο [x1,x2] ως διαφορά της συνεχούς

συνάρτησης f με τη σταθερή, άρα και συνεχή, συνάρτηση f(x3). (Το f(x3) είναι σταθερός αριθμός).

Ισχύει g(x1)=f(x1)f(x3)<0 και g(x2)=f(x2)f(x3)>0. Άρα g(x1)·g(x2)<0.


Από το θεώρημα Bolzano έπεται ότι υπάρχει ξ(x1,x2), ώστε

g(ξ)=0f(ξ)f(x3)=0f(ξ)=f(x3)11f

ξ=x3, άτοπο διότι ξ<x2<x3. Όμοια απορρίπτονται και οι άλλες περιπτώσεις. (Πράγματι αν ισχύει f(xλ) < f(xκ) < f(xμ), τότε θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x)f(xκ) στο διάστημα [xλ,xμ] αν xλ<xμ ή στο διάστημα [xμ,xλ] αν xμ<xλ.) Αφού απορρίπτονται όλες οι περιπτώσεις, έπεται ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

20.1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:

(α) 8x212x2=6x5 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,1).

(β) 3 x5x έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,2).

(γ) x3=2x έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 2 ).

(δ) 01x1x

3x1x 26

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,3).

(ε) 2

1xxημ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,3).

(στ) x=συνx έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (6π ,

4π ).

(ζ) (2α4+7)x6α2x5+(α1)x3αx3=0 έχει, για κάθε πραγματικό αριθμό α,

μία τουλάχιστον θετική ρίζα xo με xo<1.

(η) x2+x=42λ έχει για κάθε λR, με 1<λ<2 μία τουλάχιστον ρίζα στο

διάστημα (1,1).

(θ) 2xσφ3xεφ4 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα(4π ,

3π ).


(ι) 02x

xln1x

ex

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,2).

20.2) Έστω συνάρτηση f:[α,α][α,α] συνεχής. Να δείξετε ότι

υπάρχει:

(α) ένα τουλάχιστον ξ[α,α], ώστε f(ξ)= ξ.

(β) ένα τουλάχιστον σημείο της Cf που ανήκει στην ευθεία y=x.

20.3) Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g:[α,β][α,β] με g(α)=α και

g(β)=β. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=g(x) έχει μία τουλάχιστον

πραγματική ρίζα.

20.4) Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f:R(,1) και g:R(1,+). Αν

υπάρχουν ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί α και β με f(α)=α, g(β)=β και

α<β, να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον xo(α,β) ώστε

f(xo)·g(xo)=xo.

20.5) Αν α,β,γ,δ>0 και κ<λ<μ<ν, τότε να δείξετε ότι η εξίσωση

0νx

δμx

γλx

βκx

α

έχει ακριβώς μία ρίζα σε καθένα από τα

διαστήματα (κ,λ), (λ,μ) και (μ,ν).

20.6) Να δείξετε ότι η εξίσωση

α(xμ)(xν)+β(xλ)(xν)+γ(xλ)(xμ)=0 με α,β,γ>0 και λ<μ<ν έχει δύο

ρίζες άνισες, μία στο (λ,μ) και μία στο (μ,ν).


20.7) Να δείξετε ότι η εξίσωση x2πημαxημ έχει τουλάχιστον μία

ρίζα στο (0,2π ] για κάθε αR.

20.8) Έστω η συνεχής συνάρτηση f:[α,β]R και οι θετικοί αριθμοί κ και

λ για τους οποίους ισχύει ότι κf(α)+λf(β)=0. Να δείξετε ότι η εξίσωση

f(x)=0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο [α,β].

20.9) Έστω η συνεχής συνάρτηση f:RR, ώστε f(ημx)+f(συνx)=1

xR. Να δείξετε ότι:

(α) f(0)+f(1)=1.

(β) η εξίσωση f(x)=x έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο [0,1].

20.10) Έστω f:[0,1]R συνεχής, ώστε 2

)1(f)0(f)x(f x[0,1]. Να

δείξετε ότι:

(α) f(0)=f(1)

(β) υπάρχει ένα τουλάχιστον xo[0,1], ώστε 2

)x(f)x(fx o2oo .

20.11) Έστω α>0 και f:[0,α]R συνεχής με f(0)=f(α). Έστω η

συνάρτηση με τύπο )2αx(f)x(f)x(g .

(α) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της g.

(β) Να δείξετε ότι η εξίσωση )2αx(f)x(f έχει μία τουλάχιστον ρίζα

στο [0, ]2α .


20.12) Έστω f:RR συνεχής και οι πραγματικοί αριθμοί β και γ, ώστε

να ισχύει 1x6x2x)x(fγ)x(fβ)x(f 2323 xR με β2<3γ. Να

δείξετε ότι η f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,1).

20.13) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [0,1] με f(0)=f(1). Να δείξετε ότι

υπάρχει:

(α) τουλάχιστον ένα ξ[0,1], ώστε )21ξ(f)ξ(f .

(β) τουλάχιστον ένα ξ[0,1], ώστε )31ξ(f)ξ(f .

20.14) Έστω f:[0,1](0,1) συνεχής. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ(0,1),

ώστε .ξξ)ξ(f)ξ(f 22

20.15) Έστω η συνάρτηση f:[π,π]R με τύπο f(x)=x2xημxσυνx. Να

δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο διάστημα

(π,π).

20.16) Να δείξετε ότι η εξίσωση x1xημ έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο

(0,π).

20.17) Να δείξετε ότι η εξίσωση σφx=x έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο

(2π,

2π

).

20.18) Να προσδιορίσετε το πλήθος των ριζών της συνάρτησης με τύπο

f(x)=x7+3x+1.


20.19) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x·2x=1 έχει μοναδική πραγματική

ρίζα xo και μάλιστα ισχύει ότι xo(0,1).

20.20) Να δείξετε ότι κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει

τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα.

20.21) Να δείξετε ότι η εξίσωση x·ex=1 έχει ακριβώς μία πραγματική

ρίζα.

20.22) Έστω νn* με ν άρτιο. Να δείξετε ότι η εξίσωση ex=xν έχει

μοναδική πραγματική ρίζα στο διάστημα (,0).

20.23) Να δείξετε ότι το πολυώνυμο P(x)=x4+αx3+βx21 έχει

τουλάχιστον δύο πραγματικές ρίζες α,βR.

20.24) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

f(x)=lnx και x1)x(g έχουν μοναδικό κοινό σημείο.

20.25) (Πρόβλημα σταθερού σημείου)

Ένας περιπατητής ξεκίνησε στις 8:00 π.μ. από το σημείο Β που βρίσκεται

στους πρόποδες ενός βουνού και έφτασε στην κορυφή του στο σημείο Α

στις 21:00. Την επόμενη ημέρα ξεκίνησε να κατεβαίνει το βουνό, από το

ίδιο μονοπάτι, κατά τις 8:00 π.μ. και έφτασε ξανά στο σημείο Β κατά τις

21:00. Και στις δύο διαδρομές του ο περιπατητής έκανε διάφορες

στάσεις. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα σημείο Γ στο μονοπάτι στο οποίο

ο περιπατητής έφτασε την ίδια ώρα και όταν ανέβαινε και όταν

κατέβαινε.


20.26) (Ειδική Περίπτωση του Θεωρήματος Borsuk-Ulam)

Αν υποθέσουμε ότι η θερμοκρασία όλων των σημείων του ισημερινού

της Γης την ίδια χρονική στιγμή to περιγράφεται από μία συνεχή

συνάρτηση, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον

αντιδιαμετρικά σημεία που έχουν ταυτόχρονα την ίδια θερμοκρασία.

ΕΝΟΤΗΤΑ 21- ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 213

ΕΝΟΤΗΤΑ 21η

Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano (I)

Πρόσημο Συνεχούς Συνάρτησης Α) Συνεχής συνάρτηση σε διάστημα με τιμές διάφορες του μηδενός

Ισχύει η παρακάτω πρόταση:

Απόδειξη: Έστω ότι υπάρχουν αριθμοί x1, x2Δ με f(x1)<0<f(x2). Τότε η f είναι συνεχής στο [x1,x2] αν x1<x2 ή είναι συνεχής στο [x2, x1] αν x2<x1 και f(x1)·f(x2)<0. Από το θεώρημα Bolzano έπεται ότι υπάρχει xoR ανάμεσα στους αριθμούς x1 και x2, ώστε f(xo)=0, άτοπο. Εφαρμογή 1: Έστω συνάρτηση f συνεχής στο Δ=[1,3] με f(x)0 xΔ και f(2)= 8. Σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση η f θα έχει σταθερό πρόσημο στο Δ και επειδή f(2)<0, έπεται ότι f(x)<0 για κάθε xΔ=[1,3]. Χρήσιμη είναι και η παρακάτω πρόταση η οποία είναι άμεση συνέπεια της πρότασης 21.1:

Πρόταση 21.1: Έστω συνάρτηση f συνεχής σε διάστημα Δ με f(x)0

για κάθε xΔ. Τότε η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα Δ.

Πρόταση 21.2: Έστω συνάρτηση f συνεχής σε διάστημα Δ και ρ1, ρ2

δύο διαδοχικές ρίζες της f που ανήκουν στο Δ, δηλαδή ρ1, ρ2Δ με

ρ1<ρ2 και f(ρ1)=f(ρ2)=0 ενώ f(x)0 για κάθε x(ρ1,ρ2)Δ. Τότε η f

διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα (ρ1,ρ2).

214 ΕΝΟΤΗΤΑ 21- ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Παραδείγματα: Λύση: Η f είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Επιπλέον

έχουμε:

)1(

1xσυνxημxσυνxημ0xσυνxημ0)x(f

4π7xή

4π3x1xεφ

14πεφ

]π2,0[x

(2).

(1) Είναι συνx0, διότι αν συνx=0, τότε θα ίσχυε και ημx=0, άτοπο από την ταυτότητα ημ2x+συν2x=1. (2) Οι λύσεις στο [0,2π] προκύπτουν άμεσα από το παρακάτω σχήμα:

Παράδειγμα 21.1: Να εξεταστεί το πρόσημο της συνάρτησης με τύπο f(x)=ημx+συνx για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού x[0,2π].


Το πρόσημο της συνάρτησης f για τις διάφορες τιμές του x[0,2π] φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Σε κάθε διάστημα [α,β] επιλέγουμε κατάλληλο αριθμό xo[α,β], ώστε ο υπολογισμός του προσήμου της τιμής του f(xo) να είναι εύκολος. Αν μάλιστα κάποια από τις τιμές f(α) και f(β) είναι διάφορη από το μηδέν, τότε ως xo μπορούμε να επιλέξουμε αντίστοιχα τους αριθμούς α ή β (π.χ. xo=0 και xo=2π).

Λύση: (α) 1x)x(f1x)x(f1x)x(f 22

.1x)x(fή1x)x(f (1) Δεν πρέπει να νομίζουμε ότι η f έχει δύο μόνο πιθανούς τύπους. Στην πραγματικότητα αυτό που δείχνει η σχέση (1) είναι δύο διαφορετικές δυνατότητες αντιστοιχίας του εκάστοτε xDf: 1xx ή

1xx . Η σχέση (1) λοιπόν αναφέρεται σε άπειρες συναρτήσεις

της μορφής

Bx,1xAx,1x)x(f όπου ΑΒ=Df=[1,+) και

ΑΒ=. Για παράδειγμα μία συνάρτηση που ικανοποιεί την προηγούμενη συνθήκη είναι αυτή που περιγράφεται από το παρακάτω βελοδιάγραμμα:

Παράδειγμα 21.2: Έστω συνάρτηση f :[1,+)R για την οποία ισχύει ότι 1x)x(f 2 x[1,+). (α) Να βρεθούν οι δυνατοί τύποι της συνάρτησης f. (β) Να προσδιοριστεί ο τύπος της f, αν είναι συνεχής και επιπλέον ισχύει ότι f(3)= 2.


Δύο ειδικές περιπτώσεις, από τις άπειρες, έχουμε όταν: (i) Β=, οπότε A=Df και τότε 1x)x(f xA=[1,+).

(ii) A=, οπότε B=Df και τότε 1x)x(f xB=[1,+). (β) Λύνουμε την εξίσωση 1x01x0)x(f0)x(f 2 . Οπότε για x(1,+) ισχύει f(x)0, ενώ f(1)=0. Επιπλέον η f είναι συνεχής, οπότε θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα (1,+). Παρατηρούμε επίσης ότι: (i) για κάθε x(1,+) θα ισχύει ότι 1x)x(f0)x(f και

(ii) για κάθε x(1,+) θα ισχύει ότι 1x)x(f0)x(f . Όμως f(3)= 2, οπότε για κάθε x(1,+) θα ισχύει ότι f(x)<0. Άρα για κάθε x(1,+), έχουμε ότι 1x)x(f . Ο τελευταίος τύπος επαληθεύει και την ισότητα f(1)=0. Επομένως 1x)x(f για κάθε x[1,+).

Παράδειγμα 21.3: Έστω συνάρτηση f:RR συνεχής για την οποία ισχύει 1)x(xf2)x(f 2 για κάθε xR. Αν 1)0(f ,να βρεθεί ο τύπος της f.


Λύση: Με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου έχουμε: 1xx)x(xf2)x(f1)x(xf2)x(f1)x(xf2)x(f 22222

1x]x)x(f[ 22 . Θέτουμε h(x)=[f(x)x]2, xR. Τότε η h είναι συνεχής ως πράξη συνεχών και ισχύει ότι:

1x)x(h1x)x(h 222 ή 1x)x(h 2 . Ακόμη h(x)=0h2(x)=0x2+1=0x2= 1 αδύνατο. Άρα h(x)0 xR και επομένως η συνάρτηση h διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. Ισχύει όμως 10)0(f)0(h . Άρα h(x)<0 xR. Δηλαδή

1xx)x(f1xx)x(f1x)x(h 222 xR. Λύση: Για κάθε xR ισχύει ότι

x)x(fήx)x(fx)x(fx)x(fx)x(f 2222 .

Άρα η συνάρτηση f έχει τύπο της γενικής μορφής

Bx,xAx,x

)x(f ,

όπου ΑΒ=R. Επιπλέον, ισχύει η ισοδυναμία 0x0x0)x(f0)x(f 22 . Δηλαδή η συνάρτηση f έχει μοναδική ρίζα τη x=0. Επειδή λοιπόν η συνάρτηση f είναι συνεχής και μηδενίζεται μόνο για x=0, τότε θα έχει σταθερό πρόσημο σε κάθε ένα από τα διαστήματα (,0) και (0,). Το πρόσημο των παραστάσεων x και x φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

Για x(,0) Για x(0,+)

Τότε x<0 x>0

x>0 x<0

Παράδειγμα 21.4: Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f:RR, για τις οποίες ισχύει η συναρτησιακή σχέση 22 x)x(f

xR.


Όπως είπαμε η συνάρτηση f θα έχει σταθερό πρόσημο σε κάθε ένα από τα διαστήματα (,0) και (0,). Επομένως προκύπτουν οι εξής τέσσερις περιπτώσεις: (α) Αν f(x)>0 x(,0) και f(x)>0 x(0,+): Τότε σύμφωνα και με τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι:

x)x(f0x,x0x,x

)x(f0x,x0x,00x,x

)x(f

xR.

(Επειδή η αντιστοιχία x=0 y=0, επαληθεύεται από την αντιστοιχία x x, για αυτό την περίπτωση x=0 τη συγχωνεύσαμε με την περίπτωση x<0. Όμοια την περίπτωση x=0, θα μπορούσαμε να τη συγχωνεύσουμε με την περίπτωση x>0. Δηλαδή θα μπορούσαμε να γράψουμε και

0x,x0x,x

)x(f )

(β) Αν f(x)>0 x(,0) και f(x)<0 x(0,+):

Τότε θα έχουμε ότι x)x(f0x,x0x,00x,x

)x(f

xR.

(γ) Αν f(x)<0 x(,0) και f(x)<0 x(0,+):

Τότε θα έχουμε ότι

0x,x0x,x

)x(f0x,x0x,00x,x

)x(f

x)x(f xR.

(δ) Αν f(x)<0 x(,0) και f(x)>0 x(0,+):

Τότε θα έχουμε ότι x)x(f0x,x0x,00x,x

)x(f

xR.


ΑΣΚΗΣΕΙΣ

21.1) Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f για όλες τις τιμές του

πραγματικού αριθμού x, όταν:

(α) 2xx2x)x(f 23 , xR.

(β) 3xεφ)x(f ,

π,

2π

2π,

2π

2π,πx .

(γ) xσυνxημ)x(f , x[π,π].

(δ) f(x)=ημ2x+ 2 συνx, x[0,2π].

(ε) xσφxεφ)x(f ,

π2,

2π3

2π3,ππ,

2π

2π,0x .

(στ) xx)x(f , x[0,+).

21.2) Έστω συνάρτηση f:[1,1]R, συνεχής, ώστε να ισχύει

1)x(fx 22 x[1,1] και f(0)=1. Να βρείτε τον τύπο της f και να

χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

21.3) Έστω συνάρτηση f:ΑR, συνεχής με 0Α και επιπλέον να ισχύει

η συναρτησιακή σχέση )x(xf2x31)x(f 22 xA. Αν επιπλέον

ισχύει ότι f(0)=1, τότε:

(α) να υπολογίσετε το ευρύτερο σύνολο Α που μπορεί να έχει ως πεδίο

ορισμού η συνάρτηση f.

(β) να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f για το σύνολο Α του

προηγούμενου ερωτήματος.


21.4) Έστω συνάρτηση f:

2π,

2π R, ώστε να ισχύει 1)x(fxημ 22

x

2π,

2π και 1)0(f .

(α) Να βρείτε τη γενική μορφή που έχει ο τύπος της συνάρτησης f.

(β) Να βρείτε τον συγκεκριμένο τύπο της f, αν είναι γνωστό ότι είναι

συνεχής.

21.5) Έστω η συνεχής συνάρτηση f:AR, ώστε να ισχύει ότι

x4x)x(f 22 xA.

(α) Να βρείτε το ευρύτερο σύνολο Α το οποίο μπορεί να έχει η

συνάρτηση ως πεδίο ορισμού.

(β) Να προσδιορίσετε τους τύπους που μπορεί να έχει η συνάρτηση f στο

σύνολο Α που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα.

ΕΝΟΤΗΤΑ 22-ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 221

ΕΝΟΤΗΤΑ 22η

Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano (IΙ)

Σύνολο Τιμών Συνεχούς Συνάρτησης Α) Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής

Ισχύει το παρακάτω θεώρημα, το οποίο αποτελεί γενίκευση του

θεωρήματος Bolzano:

Απόδειξη: Έστω f(α)<yo<f(β). Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x)yo η οποία είναι συνεχής στο [α,β] ως διαφορά συνεχών και για την οποία ισχύει ότι g(α)·g(β)<0, διότι g(α)=f(α)yo<0 και g(β)=f(β)yo>0. Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει xo(α,β), ώστε g(xo)=yof(xo)=yo.

Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής (Θ.Ε.Τ.): Έστω συνάρτηση f ορισμένη

σε ένα κλειστό διάστημα [α,β], δηλαδή [α,β]Df. Αν η συνάρτηση f

είναι:

(α) συνεχής στο [α,β] και

(β) f(α)f(β) τότε,

για κάθε αριθμό yo μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένα τουλάχιστον

xo(α,β), ώστε f(xo)=yo.

222 ΕΝΟΤΗΤΑ 22-ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχόλιο: Αν μία συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [α,β], τότε δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα: Με τη βοήθεια του Θ.Ε.Τ. αποδεικνύεται η παρακάτω πρόταση: Πρόταση: Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μία συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα. Απόδειξη: Παραλείπεται

Εφαρμογή 1: Έστω η συνάρτηση f(x)=x35x+1, x[1,2]. Τότε υπάρχει ξ(1,2), ώστε f(ξ)= 2. Λύση: Η f είναι συνεχής στο [1,2] ως πολυωνυμική. Ακόμη f(1)= 3 και f(2)= 1. Επειδή f(1)<2<f(2), σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(1,2) ώστε f(ξ)= 2.


Β) Θεώρημα Μέγιστης-Ελάχιστης Τιμής Ισχύει το παρακάτω θεώρημα: Το παραπάνω θεώρημα εξασφαλίζει την ύπαρξη δύο τουλάχιστον αριθμών x1,x2[α,β], ώστε f(x1)=m, f(x2)=M και m≤f(x)≤M για κάθε x[α,β]. Παρατήρηση: Με εφαρμογή των θεωρημάτων Θ.Ε.Τ. και Θ.Μ.Ε.Τ. έπεται ότι η εικόνα f([α,β]) είναι ίση με το διάστημα [m,M]. Για παράδειγμα για τη συνεχή συνάρτηση f(x)=x44x2, με

xΑ=[59,

21

], ισχύει ότι

3≤f(x)≤0 για κάθε xA.

Δηλαδή ]0,3[])59,

21([f με

f(0)=0 και f(1)= 3. (βλ. σχήμα δίπλα)

Θεώρημα Μέγιστης-Ελάχιστης Τιμής (Θ.Μ.Ε.Τ.): Αν η f είναι

συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β], τότε η f παίρνει μία μέγιστη Μ

και μία ελάχιστη τιμή m.


Γ) Σύνολο Τιμών Συνεχούς και Γνησίως Μονότονης Συνάρτησης Ο παρακάτω πίνακας δείχνει το σύνολο τιμών μίας συνεχούς και γνησίως μονότονης συνάρτησης σε διάστημα:

Διάστημα Δ Μονοτονία f στο Δ f(Δ) Ενδεικτικό Σχήμα

Δ=[α,β] f1 [f(α),f(β)] (i)

f> [f(β),f(α)] (v)

Δ=[α,β) f1 [f(α), )x(flim

βx ) (ii)

f> ( )x(flimβx

,f(α)] (vi)

Δ=(α,β] f1 ( )x(flim

αx ,f(β)] (iii)

f> [f(β), )x(flimαx

) (vii)

Δ=(α,β) f1 ( )x(flim

αx , )x(flim

βx ) (iv)

f> ( )x(flimβx

, )x(flimαx

) (viii)

Στην περίπτωση που το ένα ή και τα δύο άκρα του διαστήματος Δ είναι ανοικτά, τότε ως α και β μπορούμε να θεωρήσουμε αντίστοιχα και τα στοιχεία ,+. Η κατανόηση και απομνημόνευση αυτών των αποτελεσμάτων μπορεί να γίνει μόνο με την ανάκληση κατάλληλων ενδεικτικών σχημάτων όπως φαίνονται και παρακάτω:

(i) (ii)



Λύση: (α) Πρέπει 2x00x

0x2

. Άρα Df=(0,2].

(β) Έστω x1,x2Df με x1<x2. Τότε 0<x1<x2≤2 και: )1(x23x23x2x2x2x2xx0 21212121

)2(1xln1xlnxlnxlnxlnxlnxx 21212121

Παράδειγμα 22.1: Δίνεται η συνάρτηση με τύπο 1xlnx23)x(f . Να βρεθούν για τη συνάρτηση f:

(α) το πεδίο ορισμού (β) η μονοτονία (γ) το σύνολο τιμών.

(iii) (iv)

(v) (vi)

(vii) (viii)


Με πρόσθεση κατά μέλη των (1), (2) παίρνουμε ότι)x(f)x(f1xlnx231xlnx23 212211 . Άρα f>Df.

(γ) Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (0,2]. Άρα το σύνολο

τιμών της f είναι το σύνολο

,2ln1)x(flim),2(f]2,0(f

0x.

Λύση: (α) x5+ex=2016 x5+ex2016=0. Θέτουμε f(x)= x5+ex2016 η οποία είναι συνεχής στο R ως πράξη συνεχών. Η εξίσωση (1) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση f(x)=0 και έχουμε:

20160)()2016ex(lim)x(flim x5

xx.

2016)()()2016ex(lim)x(flim x5

xx.

Άρα f(R)=(,+)=R. Επειδή 0(,+), δηλαδή ο αριθμός yo=0

ανήκει στο σύνολο τιμών της f, έπεται ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον

xoR, ώστε f(xo)=0. Άρα η εξίσωση (1) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο R.

Με τη βοήθεια της μονοτονίας θα αποδείξουμε ότι η ρίζα αυτή είναι

μοναδική. Έστω x1,x2R με x1<x2. Τότε:

52

5121 xxxx (1)

2016e2016eeexx 2121 xxxx21 (2)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) λαμβάνουμε τελικά ότι

f(x1)<f(x2). Άρα f1R και επομένως η (1) έχει μοναδική ρίζα.

(β) Α΄ τρόπος (Με θ. Bolzano): f(0)= 2016 και

)x(flimx

. Άρα

υπάρχει α>0, ώστε f(α)>0. Η f είναι συνεχής στο [0,α] και ακόμη ισχύει

Παράδειγμα 22.2: Έστω η εξίσωση x5+ex=2016 (1). (α) Να αποδειχτεί ότι η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική ρίζα. (β) Να αποδειχτεί ότι η ρίζα της εξίσωσης είναι θετική.


ότι f(0)·f(α)<0. Από θεώρημα Bolzano έπεται ότι η εξίσωση (1) έχει

θετική ρίζα η οποία είναι και μοναδική, όπως αποδείχτηκε στο

προηγούμενο ερώτημα.

Β΄ τρόπος (Με σύνολο τιμών): Επειδή f1R, άρα και f1[0,+). Επίσης

2015)0(f και όπως έχουμε δείξει ισχύει ότι

)x(flimx

.

Επομένως f([0,+))=(2015,+). Επειδή 0(2015,+), έπεται ότι

υπάρχει xo[0,+), ώστε f(xo)=0. Όμως f(0)0, άρα xo(0,+). Δηλαδή

η εξίσωση (1) έχει τουλάχιστον μία θετική ρίζα που όπως αποδείχτηκε

από μονοτονία είναι μοναδική.

Στο ερώτημα (α) χρησιμοποιήσαμε την παρακάτω (προφανή) πρόταση:

Αν η f:(α,β)R είναι συνεχής και ισχύει

)x(flimκαι)x(flimή

)x(flimκαι)x(flim

βxαx

βxαx, τότε f((α,β))=(,+)=R

ακόμη και αν η f δεν είναι γνησίως μονότονη.

Λύση: Επειδή η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [2,8], έπεται ότι η

f θα έχει μία μέγιστη Μ και μία ελάχιστη τιμή m, δηλαδή θα ισχύει ότι

m≤f(x)≤M x[2,8]. Άρα m≤f(3)≤M 3m≤3f(3)≤3M (1). Όμοια

προκύπτει ότι 5m≤5f(4)≤5M (2) και 2m≤2f(7)≤2M (3). Προσθέτοντας τις

(1), (2) και (3) κατά μέλη παίρνουμε ότι:

Παράδειγμα 22.3: Έστω συνάρτηση f:[2,8]R συνεχής. Να αποδειχτεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον xo[2,8], ώστε

10)7(f2)4(f5)3(f3)x(f o

.


M10

)7(f2)4(f5)3(f3mM10)7(f2)4(f5)3(f3m10

.

Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

Αν m=M, τότε η συνάρτηση είναι σταθερή και άρα

Mm10

)7(f2)4(f5)3(f3)x(f

για κάθε x[2,8].

Αν m<M, τότε θα ισχύει ότι f([2,8])=[m,M]. Επειδή

]M,m[10

)7(f2)4(f5)3(f3

, θα υπάρχει xo[2,8] ώστε

10)7(f2)4(f5)3(f3)x(f o

.

Παρατήρηση: Το κλάσμα ήταν της μορφής

ν21

νν2211

λ...λλ)x(fλ...)x(fλ)x(fλ

, δηλαδή το άθροισμα των συντελεστών

των f(xi) ήταν ίσο με τον παρονομαστή. Λύση: Επειδή f1[2,8], έπεται ότι m=f(2)<f(3)<f(4)<f(7)<f(8)=M. Άρα m<f(3)<M και άρα 3m<3f(3)<3M. Εργαζόμενοι όμοια όπως στο παράδειγμα 3 καταλήγουμε στην ανισοτική σχέση

M10

)7(f2)4(f5)3(f3m

, δηλαδή )M,m(10

)7(f2)4(f5)3(f3

.

Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα xo[2,8], ώστε

10)7(f2)4(f5)3(f3)x(f o

. Όμως f(2)=m και f(8)=M. Άρα xo2 και

xo8. Επομένως καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι xo(2,8).

Παράδειγμα 22.4: Αν η f του προηγούμενου παραδείγματος είναι επιπλέον γνησίως αύξουσα, τότε το xo ανήκει ειδικότερα στο ανοικτό διάστημα (2,8).


Λύση: (α) (i) Έστω x1,x2[5,0] με x1<x2. Τότε έχουμε:

x1<x2≤0 x1>x2≥0 (x1)2>(x2)2 x12>x2

2 x1

2<x22 (1)

x1<x2 2x1<2x2 (2) Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε τελικά f(x1)<f(x2), δηλαδή f1[5,0]. Επιπλέον η f είναι συνεχής στο [5,0] ως πολυωνυμική και άρα f([5,0])=[f(5),f(0)]=[35,0]. (ii) Έστω x1,x2(0,+) με x1<x2. Τότε έχουμε ότι:

1e1eee0x1

x1xx0 2121 x

1x1

x1

x1

2121

).x(f)x(f 21 Άρα f>(0,+). Επίσης η f είναι συνεχής στο ίδιο διάστημα ως πράξη συνεχών. Άρα ),2())x(flim),x(flim(),0(f

0xx

, διότι ισχύει:

211)1e(lim)1e(lim)x(flim u

0u

x/1ux1

xx

.

)1e(lim)1e(lim)x(flim u

u

x/1u

0xμε0/1ήμορφ

x1

0x0x.

Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο f([5,+))=f([5,0])f((0,+))=[35,0](2,+). (β) Επειδή 1500f([5,+)) έπεται ότι η εξίσωση 1500)x(f είναι αδύνατη.


),0(x,1e

]0,5[x,x2x)x(f

x1

2

.

(α) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f. (β) Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση 1500)x(f είναι αδύνατη.


ΑΣΚΗΣΕΙΣ

22.1) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f, όταν:

(α) f(x)=lnx+1, x(0,2e] (β) f(x)= x2+2x, x[2,+)

(γ) f(x)= 3συνx+2, x[0,π] (δ) 3e2)x(f x1

, x(,0)

(ε)

),0(x,1x

1

]0,5(x,1x)x(f

3

(στ) )x1xln()x(f 2

(ζ)

),0(x,x1

]0,6(x,1x3)x(f

4

(η) f(x)=xημx

(θ) x32x)x(f

(Σε κάθε περίπτωση να βρείτε και το πλήθος των ριζών της εξίσωσης

f(x)=0.)

22.2) Έστω συνάρτηση f:[0,3]R, συνεχής. Να δείξετε ότι υπάρχει

xo[0,3], ώστε να ισχύει ότι 5

)2(f3)1(f)21(f

)x(f o

.

22.3) Έστω συνάρτηση f:[0,3]R, συνεχής και γνησίως φθίνουσα. Να

δείξετε ότι υπάρχει xo(0,3), ώστε να ισχύει ότι

.5

)2(f3)1(f)21(f

)x(f o

22.4) Έστω η συνάρτηση 2ee)x(f

x1

x1

, x>0.


(α) Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία.

(β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να προσδιορίσετε το πεδίο

ορισμού της συνάρτησης 1f . Να βρείτε τον τύπο της 1f .

22.5) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x)=lnxln(2x+1).

(α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

(β) Να δείξετε ότι οι fC και 1fC δεν έχουν κοινά σημεία, χωρίς να

υπολογίσετε τον τύπο της 1f .

(γ) Να βρείτε τον τύπο της 1f .

22.6) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x)=xln(1ex).

(α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

(β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.

(γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=2050 έχει μοναδική ρίζα.

(δ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και τον τύπο της 1f .

(ε) Να δείξετε ότι οι fC και 1fC δεν έχουν κοινά σημεία.

22.7) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x)=x5+ex3+1, xR.


(β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

(γ) Να λύσετε την ανίσωση 3)e1245ex(f 3

3x51 .

(δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 45x3

e1)10x(ef .

22.8) Έστω η συνάρτηση με τύπο

2x,11xe

2x,x)1xln()x(f

3x2

2

.


(α) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής. (β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της

f.

(γ) Να δείξετε ότι για κάθε α,βR, η εξίσωση 03x

)β(f31x

)α(f2

έχει

μία τουλάχιστον ρίζα στο (1,3).

(δ) Να εξετάσετε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x)=λ, για τις

διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ.

22.9) Έστω η συνάρτηση f:(0,2]R συνεχής για την οποία ισχύει ότι

f<(0,1] και f>[1,2]. Αν ισχύει ότι

)x(flim0x

, f(1)=3 και f(2)=1, τότε

να βρείτε:

(α) το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.

(β) το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x)=2 στο (0,2].

22.10) Έστω συνάρτηση f:(0,+)R συνεχής και γνησίως αύξουσα για

την οποία ισχύει ότι x3+x2+2≤f(x)x≤x3+2x2+2 x>0.


(β) Να δείξετε ότι η 1f είναι γνησίως αύξουσα.

(γ) Αν υποτεθεί ότι η 1f είναι επίσης συνεχής, να υπολογίσετε τα όρια:

(i) )x(f2x3lim 12x

και (ii) )x(fx

xημlim 1x .

ΕΝΟΤΗΤΑ 23-ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 233

ΕΝΟΤΗΤΑ 23η

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

23.1) Έστω συνάρτηση f:RR, με f(R)=R και για την οποία ισχύει η

συναρτησιακή σχέση 1x2)x(f5)x(f 3 xR.

(α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε την

αντίστροφή της.

(β) Να δείξετε ότι οι fC και 1fC , τέμνονται σε ένα μόνο σημείο της

μορφής Α(xo,xo), όπου xo(0,1).

(γ) Να υπολογίσετε το όριο 4

1

x xx2συν)x(flim

.

(δ) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής.

23.2) Έστω συνάρτηση f:(0,+)R συνεχής, ώστε να ισχύει η

συναρτησιακή σχέση 0x4)x(xf2)x(f 33 , για κάθε x(0,+).

(α) Να δείξετε ότι για κάθε x(0,+), ισχύει ότι 2x2<f(x)<0.

(β) Να υπολογίσετε τα όρια:

(i)

x1συν)x(flim

0x (ii)

x)x(flim

0x και (iii) 20x x

)x(flim

.

(γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 6x2+3f(x)=xf(x)+2x3 έχει μία

τουλάχιστον ρίζα στο (2,4).

23.3) Έστω συνάρτηση f:RR, για την οποία ισχύει η συναρτησιακή

σχέση 1x2)x(fx2 22 xR.

(α) Να δείξετε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός xo[0,1), ώστε να ισχύει

η ισότητα oο x3)x(f .

(β) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

(i)

x1fxημlim 2

0x (ii) 4x x

x2συν)x(flim

και

234 ΕΝΟΤΗΤΑ 23-ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

(iii) x5ημx

x6x1fxημ

lim 4

3

0x

.

23.4) Δίνονται οι συναρτήσεις f:RR και g:RR, ώστε για κάθε

πραγματικό αριθμό x να ισχύουν οι σχέσεις 1ex)x(f x3 και

1xe)x(g )x(g3 , με g(R)=R.

(α) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0.

(β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.

(γ) Να εξετάσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία.

(δ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιμη και ότι fg 1 .

(ε) Να λύσετε την ανίσωση (gof)(x)≤0.

23.5) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο 3x

x2ln)x(f

.

(α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

(β) Να υπολογίσετε τα όρια )x(flim0x

και )x(flim3x

.

(γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο (0,+).

(δ) Έστω η συνάρτηση g:(0,+)R, με g(x)=f(x) x>0. Να βρείτε τη

συνάρτηση 1g .

23.6) Έστω διάστημα Δ και συνάρτηση f:ΔR η οποία είναι γνησίως

αύξουσα.

ΕΝΟΤΗΤΑ 23-ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 235

(α) Να αποδείξετε πλήρως, την ευρέως χρησιμοποιούμενη σε ασκήσεις,

ιδιότητα: «Αν x1,x2Δ, με f(x1)<f(x2) τότε θα ισχύει και x1<x2.»

(β) Έστω συνάρτηση g:ΔR για την οποία ισχύει η ιδιότητα:

«Αν x1,x2Δ με g(x1)<g(x2), τότε θα ισχύει και x1<x2.»

Να εξετάσετε, αν συνεπάγεται ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα.

23.7) Έστω η συνεχής συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει η

συναρτησιακή σχέση: 1xx2)x(f 22 xR.

(α) Να βρείτε τους πιθανούς τύπους της συνάρτησης f.

(β) Να υπολογίσετε το όριο )x(fxημlim

5

x .

23.8) (α) Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ και κR*. Αν για

κάθε x,yΔ ισχύει η συνθήκη yxκ)y(f)x(f (συνθήκη

Lipschitz), να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο Δ.

(β) Με τη βοήθεια της τριγωνομετρικής ταυτότητας:

2ΒΑσυν

2ΒΑημ2ΒημΑημ

, να δείξετε ότι η συνάρτηση

f(x)=ημx είναι συνεχής.

23.9) Δίνεται η συνάρτηση f:[0,+)R με τύπο f(x)=ex+2x2+1.

(α) Να εξετάσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.

(β) Να υπολογίσετε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.

(γ) Να αποδείξετε η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη και να εξετάσετε τη

συνάρτηση 1f ως προς τη μονοτονία.

236 ΕΝΟΤΗΤΑ 23-ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

(δ) Να δείξετε ότι x)x(f 1 x 1fD .

(ε) Αν είναι γνωστό ότι η 1f είναι συνεχής, να υπολογίσετε τα όρια:

(i) 2x

1)2x(συν)x(flim1

2x

και

x2)1x()x(flim

1

x

.

23.10) (α) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό

2π,0ξ , ώστε να ισχύει η

ισότητα 6

9πημ3

7πημ2

8πημ

ημξ

.

(β) Να δείξετε ότι η εξίσωση 02x2xημ

1x1xημ

έχει μία τουλάχιστον

ρίζα xo(1,2).

(γ) Να προσδιορίσετε το πρόσημο της συνάρτησης 3xσφ)x(f ,

όταν x(0,π)(π,2π)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 237

ΕΝΟΤΗΤΑ 1η

1.1) (i) 3x

1)3x)(1x(

1x)x(f

, Df=R{1,3}. (ii) Dg=[2,2].

(iii) x)1x(x)1x(x)x(h 2

3

, Dh=R{0,1}. (iv) Dw=R{3}.

(v) }0{],1[D2f . (vi) ),1()1,(D

3f .

(vii) }κπ)1κ2(x/x{D4f ZR .

(viii) xεφ)x(f5 , με }κ2πκx/x{D

5f ZR .

1.4) (i) Df=(1,+){2,3,4,...}. (ii) Dg=[0,1]. (iii) Dh=R.

1.5) 01xxx3x201xxx

3x20)x(f 2323

με

01xxx 23 ...

1.7) }κ3π2κπ2x/x{Df ZR .

1.10) Df=R{ln2,ln3}. Ακόμη, προκύπτει η ισοδυναμία

),3(ln)1,2(lnx0)x(f .

1.13) (i) R, (ii) R, (iii)

3,31 , (iv) (2,3], (v) R, (vi) ]3,0[ ,

(vii) R.

1.14) Να θέσετε όπου x το 1x.

1.16) Να μελετήσετε το παράδειγμα 1.5.

1.17) Αρκεί να δείξετε ότι f(x)≥0.

1.18) Να λάβετε υπόψη ότι α≤f(x)≤β, x[α,β]. Τελικά, προκύπτει ότι

f(x)=x x[α,β] ή f(x)=α+βx x[α,β].

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

238 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 2η

2.1) (iii)

5x3,81x40x5

3x,8

3x3,2x34

)x(f2

2.2) (β) Προκύπτει ότι 3α και β=3.

2.7) Ισχύει ότι Df=Z. Να διακρίνετε τις περιπτώσεις:

Αν x περιττός, τότε f(x2)=...

Αν x άρτιος, τότε f(x2)=...

2.9) Οι τετμημένες των σημείων τομής προσδιορίζονται από τη λύση της

εξίσωσης f(x)=g(x) με xDfDg.

2.10) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης χωρίς απόλυτα.

2.11) f(x)>0... 2.14) Να χρησιμοποιήσετε τον ορισμό.

2.17) Να θέσετε όπου x το x.

2.19) Να εξετάσετε αν υπάρχει xoR, ώστε η παράσταση f(xo) να

εκφράζει σταθερό πολυώνυμο ως προς α (γιατί;).

2.20) Να θέσετε όπου x, το x1

. 2.21) Να μελετήσετε το παράδειγμα 2.5.

2.22) Το σημείο Μ έχει τετμημένη xo=161 . 2.23) x=

22

.

ΕΝΟΤΗΤΑ 3η

3.1) Να ελέγξετε το πεδίο ορισμού και τους κανόνες αντιστοιχίας των

δύο συναρτήσεων.


3.4) (i) Αν g(x)=x22 και h(x)=ημx, τότε f(x)=(hog)(x)=h(g(x)).


(iv) Για x>0, παρατηρήστε ότι xlnxxlnx eex)x(fx .

3.7) Έστω c ένας οποιοδήποτε πραγματικός αριθμός. Θεωρούμε τη

συνάρτηση g(x)=c με Dg=A ένα οποιοδήποτε μη κενό σύνολο Α.

Τελικά... f(c)=c και επειδή c είναι ένας οποιοδήποτε τυχαίος πραγματικός

αριθμός, έπεται ότι f(x)=x xR.

3.8) Να μελετήσετε την υπόδειξη της προηγούμενης άσκησης.

3.10) Αφού f(g(x))=g(f(x)) xR, τότε θα ισχύει και

f(f(g(x)))=f(g(f(x)))...

3.11) Από τον τύπο (fof)(x)=4x3, για x=0 έπεται ότι 3)0)(fof( . Από

τον τύπο (fofοf)(x)=8x+λ, για x=0 έχουμε την ισοδυναμία:

λ)3(fλ))0)(fof((fλ)0)(fοfof( .

3.12) Ισχύει ότι (fog)(ξ)=(gof)(ξ).

3.13) Για x=0, ισχύει ότι f(f(0))=f(0)+α·0=f(0). Επίσης ισχύει ότι

(fof)(f(0))=f(f(0))+α·f(0)... Τελικά προκύπτει ότι 1)0(f .

3.14) Να μελετήσετε τα παραδείγματα 3.3, 3.4 και 3.5. Ειδικότερα

έχουμε ότι:

(i) Υπάρχει μοναδική συνάρτηση με τύπο f(x)=3x2+10x+9 και Df=R.

(ii) Υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις με τύπο x1)x(f και πεδίο

ορισμού οποιοδήποτε σύνολο Df με Df(,1].

(iii) Υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις με τύπο της μορφής

Bx,xσυνAx,xσυν

)x(f , όπου ΑΒ= και ΑΒ=R. (βλ. και

παράδειγμα 3.4)

3.15) (i) Αφού η g είναι άρτια με πεδίο ορισμού το Α, τότε για κάθε xA

ισχύει ότι xA. Αφού η h δεν είναι άρτια, θα υπάρχει xoA ώστε

h(xo)h(xo).


ΕΝΟΤΗΤΑ 4η

4.1) (i) γν. φθίνουσα. (ii) γν. αύξουσα. (iii) γν. φθίνουσα.

(iv) γν. αύξουσα. (v) γν. φθίνουσα. (vi) γν. φθίνουσα στο (,3]

και γν. αύξουσα στο [3,+).

(vii) Να διερευνήσετε τις περιπτώσεις λ<5, λ>5 και λ=5 (γιατί;).

4.2) Είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (,0] και [1,+), ενώ είναι

σταθερή στο [0,1].

4.3) Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σε κάθε ένα από τα

διαστήματα που αναφέρονται στην εκφώνηση. Όμως η f δεν είναι

γνησίως φθίνουσα στο R, διότι για παράδειγμα βλέπουμε ότι 1<3 αλλά

f(1)<0<f(3).

4.4) (i) fmax=7 για x=4. (ii) 2fmin για x=5. (iii) 1fmin για x=3.

(iv) Δεν έχει ακρότατα. (v) 7fmin και 1fmax . Το πλήθος των

θέσεων ακροτάτων είναι άπειρο (να γράψετε τη γενική μορφή τους).

(ix) 1fmin και 11fmax .

4.5) Να διερευνήσετε τις περιπτώσεις λ>0 και λ<0. Θυμηθείτε ότι το

πρόσημο του συντελεστή του μεγιστοβαθμίου όρου καθορίζει και το

είδος του ακροτάτου. (βλ. συνάρτηση f(x)=αx2+βx+γ, α0).

4.10) (i) 0154

43543

xxxxx

. Η συνάρτηση

154

43)x(f

xx

είναι γνησίως φθίνουσα (γιατί;) και έχει προφανή

ρίζα τη x=0. Άρα 0x)0(f)x(f0)x(ff

>

. (Αν μία συνάρτηση

είναι γνησίως μονότονη, τότε έχει το πολύ μία ρίζα.) Όμοια λύνονται και

τα υπόλοιπα ερωτήματα.


4.13) (i) 0154

43543

xxxxx

. Η συνάρτηση

154

43)x(f

xx

είναι γνησίως φθίνουσα και έχει προφανή ρίζα τη

x=0. Άρα 0x)0(f)x(f0)x(ff

>

. Όμοια λύνονται και τα

υπόλοιπα ερωτήματα.

4.14) (ii) Θυμηθείτε την τριγωνική ανισότητα βαβαβα

που ισχύει α,βR. Εδώ χρειάζεται να εφαρμόσετε κατάλληλα την

ανισότητα βαβα .

ΕΝΟΤΗΤΑ 5η

5.1) (i) 2

2x)x(f 1 , xR. (ii) Δεν είναι 1-1. (iii) x1 e2)x(f .

(iv) )3xln()x(f 1 , x>3. (v) Δεν είναι 1-1.

(viii) x1x1ln)x(f 1

, 1<x<1, (xi) x123)x(f 1 , x≥1.

(xvi)

0x,1x2x,e)x(f 2

2x1 .

(xvii)

),1(x,x)0,1(x,x

]1,0[]1,(x,x)x(f

3

31 .

5.2) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

5.3) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.

5.7) Ισχύει ότι 1xή0x...xx 2 . Να δείξετε ότι f(0)=f(1).

5.8) Θεωρήστε τη συνάρτηση g(x)=f(x)+x3. Από υπόθεση έπεται ότι

(gof)(x)=2x+5, άρα η gof είναι 1-1...


5.9) (ii) α=3 και βR, με β9.

5.11) (α) Έστω f(x1)=f(x2) f(f(x1))=f(f(x2))...

5.12) (ii) 3)x(f)x(f))3(f(fx)3(f 11 ...

5.14) (i) Για κάθε x0, ισχύει ότι 1x1x .

5.15) (ii) Αρκεί να δείξετε ότι xA και yf(A) που συνδέονται με τη

σχέση f(x)=y, τότε προκύπτει ότι g(y)=x.

ΕΝΟΤΗΤΑ 6η

6.2) Εργαστείτε όπως στο παράδειγμα 6.6.

6.3) Εργαστείτε όπως στο παράδειγμα 6.7.

ΕΝΟΤΗΤΑ 7η

7.2) (α) 2x4x

2x4x4x

8x6x)x(f2

, x4...

Σε όλα τα ερωτήματα απλοποιείστε τον τύπο της συνάρτησης όπου αυτό

είναι εφικτό.

ΕΝΟΤΗΤΑ 8η

8.1) (α) 15242325x4x3xlim15231523

2x

.

(β) 81)1(7)1x7(lim1x7lim 22

1x

2

1x

. Μπορείτε και

κατευθείαν να κάνετε αντικατάσταση, δηλαδή να γράψετε

81)1(71x7lim 22

1x

.


8.2) Επειδή υπάρχουν τα όρια )x(flim3x

και )x(glim3x

, τότε εφαρμόζοντας

ιδιότητες των ορίων, θα έχουμε...

(β) 20)2(342)x(glim3)x(flim2)x(g3)x(f2lim 22

3x3x

2

3x

.

8.3) (α) Θέτουμε g(x)=4f(x)+24x. Από υπόθεση, η g ορίζεται κοντά στο

xo=1 και επιπλέον ισχύει ότι 10)x(glim1x

. Ακόμη, κοντά στο xo=1

ισχύει ότι 4

2x4)x(g)x(f . Επομένως θα έχουμε ότι

2

42410

4

)2x4(lim)x(glim

4lim

2x4)x(glim)x(flim 1x1x

1x

1x1x

.

8.5) Εργαστείτε όπως στην άσκηση 8.3. Πιο συγκεκριμένα έχουμε ότι

...2x

2x22x

)x(f4x2x

22x)x(f4x 22

8.6) Στα ερωτήματα (α), (β) και (δ) να εξετάσετε αν ισχύει η ισότητα

)x(flim)x(flimoo xxxx

.

8.7) Πρέπει να ισχύουν οι ισότητες )x(flim)x(flim2x2x

και

)x(flim)x(flim3x3x

.

8.8) Εργαστείτε όμοια, όπως προτείνεται στην υπόδειξη της άσκησης 8.7.

ΕΝΟΤΗΤΑ 9η

9.2) Να εξετάσετε αν ισχύει η ισότητα )x(f)x(flim oxx o

.

ΕΝΟΤΗΤΑ 10η

10.1) 6 10.2) Για την παραγοντοποίηση του αριθμητή, μπορείτε να

εφαρμόσετε την ταυτότητα 2233 βαβαβαβα .


10.3) 1. 10.4) Εφαρμόστε σχήμα Horner, για την παραγοντοποίηση

του αριθμητή και του παρονομαστή για ρ=1.

10.5) Να εξετάσετε τα πλευρικά όρια στο xo=5. 10.6) 21

.

10.7) ...)xx1)(x1(

2xx)xx1)(x1(

3x1

1)x(f 2

2

2

10.8)

49

.

10.9) Εργαστείτε όπως στο παράδειγμα 10.2 (δ).

10.10) Παρατηρήστε ότι 22 xx .

10.11) Ισχύει 1ν23ν2ν1ννν β...βαβααβαβα ...

10.12) Ισχύει ότι νx...xxνx...xxx 1ννν32 .

Παραγοντοποιήστε τον αριθμητή (με ποιο τρόπο;).

ΕΝΟΤΗΤΑ 11η

11.1) 21

11.2) 83 11.3)

121

11.4) 83

11.5) 54

11.6) 49

11.7) Ε.Κ.Π.(2,3)=6. Να εφαρμόσετε την ταυτότητα

5432234566 βαββαβαβααβαβα , για την άρση της

απροσδιοριστίας από τον αριθμητή. (βλ. και παράδειγμα 11.2(β)).

11.8) Παρατηρήστε ότι Df=(1,0](1,+) (γιατί;). Άρα

...)x(flim)x(flim1x1x

, διότι η f κοντά στο xo=1 ορίζεται μόνο από

δεξιά. Τελικά 0)x(flim1x

.

11.9) Παρατηρήστε ότι Df=(1,+). Άρα για x>1, ισχύει ότι

...1x

1x1x)x(f31

21

21


11.12-11.14) Εφαρμόστε πλευρικά όρια. 11.15) Να εφαρμόσετε την

ταυτότητα 1ν23ν2ν1ννν β...βαβααβαβα , όπου

x1α και β=1.

ΕΝΟΤΗΤΑ 12η


12.2) (α) Για x=0, προκύπτει ότι 1≤f(0)≤1. Άρα f(0)=1. (β) Να

εφαρμόσετε κριτήριο παρεμβολής.

12.5) Για x2, από υπόθεση έπεται ότι 2x1xxx2)x(f 2 ,

διότι 02x . Άρα θα ισχύει ότι :

2x1xxx2)x(f2x1xx 22 ...

12.7) Για x κοντά στο xo=2, ισχύει ότι 1<x<3. Τελικά 4L .

12.8) Ισχύει η ανισότητα )x(f)x(f)x(f .

12.9) Ισχύει η ανισότητα 0≤f(x)≤f(x)+g(x) κοντά στο xo.

12.11) () Έστω ότι L)x(flimoxx

. Να θέσετε g(x)=f(x)L...

() Έστω ότι 0L)x(flimoxx

. Να εφαρμόσετε για κατάλληλο Α την

ανισότητα ΑΑΑ .

ΕΝΟΤΗΤΑ 13η

13.1) (α) Βλέπε παράδειγμα 13.5(α).

(β) ...xσυν

1x

xημlimx

xεφlim0x0x


(γ) ...x4συν

1

x4x2ημ

x4x4ημ

limx4συν

1x2ημx4ημlim

x2ημx4εφlim

0x0x0x

(ζ) ...xσυν1xσυν1lim

xσυν1xημlim

2

πx

2

πx

13.2) (α) ...

x2x2ημ

xπ)xπ(ημ

2xπlim

)xπ(2x2ημ)xπ(2

)xπ(ημ

limx2ημ

)xπ(ημlim

3

23

0x3

3

3

0x

3

0x

(β) ...xσυν

1

xxx

xxημ

limxx

xσυνxημ

limxx

xεφlim0x0x0x

(ζ) Να θέσετε 3 xσυνu . Τότε xσυνu3 .

13.3) (α) Να θέσετε xu . Τότε xu2 .

(β) Να εργαστείτε όπως στο παράδειγμα 13.4.

13.4) Να θέσετε 11xxημ)x(f)x(g

για x κοντά στο xo=0.

13.5) (α) Να εφαρμόσετε κριτήριο παρεμβολής.

13.6) Για x>0 ισχύει ότι ...x

x3ημ2x

xημ)x(f

13.7) Για x0 ισχύει ότι ...x

xημxx

x3)x(f

13.9) Να εργαστείτε όπως στο παράδειγμα 13.7.

13.11) Να θέσετε 1xu .

13.12) Στην ενότητα 7 είδαμε την ισοδυναμία

L)x(flimL)hx(flimoxxo0h

. Αυτό σημαίνει ότι ικανοποιείται η

τρίτη συνθήκη του θεωρήματος αλλαγής μεταβλητής στα όρια...


13.13) Επειδή L)x(flimoxx

R, έπεται ότι η f ορίζεται κοντά στο xo.

Τότε, κοντά στο xo θα ορίζεται και η συνάρτηση oxxα)x(f)x(g

. Αν το

h ορίζεται κοντά στο 0, τότε το xo+h ορίζεται κοντά στο xo. Επομένως, η

παράσταση h

α)hx(f)hx(g oo

ορίζεται κοντά στο 0 (προσέξτε ότι

η h είναι η μεταβλητή). Σύμφωνα με τη βασική ιδιότητα (β) της ενότητας

7, αποδεικνύεται η ζητούμενη ισοδυναμία ως εξής:

L)x(glimL)hx(glimL

hα)hx(flim

oxx

τηταόιδιήβασικ

o0ho

0h

Lxx

α)x(flimoxx o

.

Θα ήταν λάθος (ή τουλάχιστον ανεπαρκές) να κάναμε αλλαγή

μεταβλητής για την απόδειξη της συνεπαγωγής από αριστερά προς τα

δεξιά, όπως περιγράφεται παρακάτω:

«Έστω ότι Lh

α)hx(flim o0h

. Θέτω x=xo+h. Για h0, τότε xxo.

Επίσης h=xxo. Άρα oxx

o0h xx

α)x(flimh

α)hx(flimo

»

Βλέπε και σχόλια που ακολουθούν τα παραδείγματα 13.2 και 13.3 καθώς

επίσης και τα σχόλια στην υποσημείωση.

13.14) Αν L)x(flimoxx

και η f είναι περιττή (ή άρτια), τότε για τον

υπολογισμό του ορίου )x(flimoxx

γράφουμε

...)x(flim)x(flimoo xx)(xx

και συνεχίζουμε εφαρμόζοντας το

μετασχηματισμό xu .

Αυτή η ισότητα δεν ισχύει πάντα.


13.17) Θεωρήστε τη συνάρτηση g(x)=f(x)+f(x) η οποία είναι άρτια...

13.19) (α) Να δείξετε ότι f(0)=0.

(β) Υπολογίστε το όριο )hα(flim0h

.

(γ) Έστω ότι L)x(flim0x

R με L0. Θεωρούμε την τιμή 2πxo για

την οποία μηδενίζεται το συνημίτονο. Τότε έχουμε ότι

)2π(f...)h

2π(flim

0h

. Άρα )

2π(f)x(flim

2πx

(Α)

Επιπλέον, )A(

2πx

2πx

xσυν)2π(f)

2π(συν)x(flim)

2πx(flim

00)2π(f0)

2π(f . Ακόμη ισχύει ότι

.L)u(flim)2πx(flim

0u

2πxu

2πx

Άρα L=0 (άτοπο).

13.20) Να μελετήσετε τα παραδείγματα 13.8 και 13.9.

ΕΝΟΤΗΤΑ 14η

14.1) (α) + (β) (γ) Δεν υπάρχει (ε) Δεν υπάρχει

(στ) Να εξετάσετε το πρόσημο της συνάρτησης g(x)=x·ημx στο

.2π,

2π

(η) Θυμηθείτε ότι για x0, ισχύει ότι xxημ .

(ιδ) Να θέσετε xu

(ιε) Ισχύει ότι 02)x1(lim3x

. Άρα 1x<0 κοντά στο xo=3.

Επομένως, κοντά στο xo=3 ισχύει η ισότητα 1x)x1(x1 . Με


τον ίδιο τρόπο μπορείτε να εργαστείτε και για τις υπόλοιπες παραστάσεις

που έχουν απόλυτα.

14.2) (α) Το όριο υπάρχει μόνο για λ=2 (γιατί;)

(γ) Αν μ9, τότε μ9λ6)x(flim

3x

R.

Αν μ=9 και 6λ , τότε τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα.

Αν μ=9 και 6λ , τότε 31)x(flim

3x

.

14.3) (α) 1x1lim

1x και 2λλ2xλxλlim 222

1x

.

Αν 02λλ2 , τότε

1x

2xλxλlim22

1x ή . Άρα... (βλ. και

παράδειγμα 14.6).

14.4) (α) Να θέσετε )x(f3x)x(g . Τότε

)x(glim

2x και

)x(g3x)x(f

κοντά στο xo=2...

14.7) (β) ...

)x(f11

2)x(flim

)x(f1)x(f

)x(f)x(f2)x(f

lim1)x(f

)x(f2)x(flim3x

2

3x

2

3x

(γ) Να μελετήσετε το παράδειγμα 14.7 (β).

ΕΝΟΤΗΤΑ 15η

15.1) και 15.2) Να μελετήσετε το παράδειγμα 15.1.

ΕΝΟΤΗΤΑ 16η

16.1) (α) + . (β) +. (γ) 0. (δ) 0. (ε) 2.


16.2) (α) + . (β) +. (γ) +. (δ) .

16.3) (α) 21

(β) 1 (γ) Αν λάβουμε υπόψη τους

μεγιστοβάθμιους όρους, τότε για x>0 έχουμε ότι

...x0xxxxxxxx 222222 Να μελετήσετε και το

παράδειγμα 16.6.

16.4) (α) Έστω xλ3x2x)x(f 2 . Για x<0, τότε xx και

22

2

x3

x21λxxλ

x3

x21xxλ3x2x . Ισχύει ότι

xlimx

και 1λx3

x21λlim 2x

. Να διακρίνετε τις

περιπτώσεις: λ1<0, λ1>0 και λ1=0...

(β) Να μελετήσετε το παράδειγμα 16.2.


16.7) Να μελετήσετε την παράγραφο Ε΄ της ενότητας 16 και το

παράδειγμα 16.9.

16.8) (α)

)x(flimx

και

)x(flimx

. (β) 25

16.9) (α) 0.

16.10) (α)

)x(flimx

. Για τον υπολογισμό του ορίου )x(flimx

, να

λάβετε υπόψη ότι η f είναι περιττή.

(β) Να θέσετε g(x)=f(x)5x. Τότε f(x)=g(x)+5x για x κοντά στο + με

4)x(glimx

...

ΕΝΟΤΗΤΑ 17η

17.1) (α)

x

x5lim , 05lim x

x

. (β) 0

51lim xx

,

xx 51lim .


(γ) +. (δ) +.

17.2) (α) 0. (β) 38

. (γ) +.

17.3) Θα λάβετε υπόψη τις περιπτώσεις: α<3, α=3, 3<α<5, α=5 και α>5.

17.4) Να μελετήσετε τα παραδείγματα 17.2 και 17.4. Ειδικότερα έχουμε:

(α) +. (β)+. (γ)+. (δ) 25 .

17.5) (α) Να εφαρμόσετε το κριτήριο παρεμβολής. (β) 0.

(γ) Ισχύει ότι x3ημe1e xx . (δ) + (ε) .

ΕΝΟΤΗΤΑ 18η

18.1) (α) Η f συνεχής xR{2} (β) συνεχής (γ) συνεχής

(δ) 1Df. (ε) συνεχής (στ) H f συνεχής xR{1}

(ιγ) Για x>0 ισχύει ότι xln)1x2(xln1x2 212x22

eex

.

18.2) (α) α=3. (β) H f είναι συνεχής για κάθε ζεύγος (α,β) της

μορφής (α,β)=(κ,3κ), κR. (γ) 21α και

23β .

(δ) (α,β,γ)=(12,16,0). (ε) 4

2πβα . (στ) α=0.

18.3) Να μελετήσετε τα παραδείγματα 18.3 και 18.4.

18.4) Ισχύει ότι f(0)=g(0)=0 (γιατί;). Παρατηρήστε επίσης ότι

)x(g)x(f)x(f .

18.5) Να διακρίνετε τις περιπτώσεις x>0, x<0 και x=0 (γιατί;). Τελικά,

προκύπτει ότι

0x,x0x,x

)x(f 2 .


18.6) Να εφαρμόσετε αλλαγή μεταβλητής στα όρια )hx(flim o0h

και

)hx(flim o0h

. Πρώτα όμως, πρέπει να παρατηρήσετε ότι το όριο

)x(flimoxx

υπάρχει και ισούται με )x(f ο . (Βλέπετε και σχόλια στην

ενότητα 13, στα παραδείγματα 13.2 και 13.3).

18.7) (α) Εύκολα παρατηρούμε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει

ότι ημxx2≤ημx+x2, με την ισότητα να ισχύει μόνο για x=0.

Για x;, έχουμε ότι f(x)=ημxx2. Άρα σε αυτή την περίπτωση

ισχύει ότι ημxx2=f(x)<ημx+x2.

Για xR;, τότε ισχύει και x0. Επομένως, θα έχουμε ότι 22 xxημxxημ)x(f . Δηλαδή 22 xxημ)x(fxxημ .

Σε κάθε περίπτωση ισχύει το ζητούμενο.

18.8) Να αποδείξετε ότι x)x(fx xR.

18.9) (α) Για ένα οποιοδήποτε xoR, ισχύει ότι

oooo xxκ)x(f)x(fxxκ)x(f (γιατί;).

18.10) (α) Παρατηρήστε ότι f(1)=0 (γιατί;). Άρα, από υπόθεση έπεται ότι

0)1(f)x(flimoxx

. Τότε για οποιαδήποτε xo>0, ισχύει ότι

)x(f...xxxlim)x(flim oo

oxxxx oo

.

(β) Να αποδείξετε πρωτίστως ότι για κάθε x,y>0 ισχύει ότι

)y(f)x(fyxf

και ότι 0

αxflim

αx

...

18.11) (α) Για x=y=0 προκύπτει ότι f(0)=0. Επίσης f(xx)=f(0) και

f(xx)=f(x)+f(x). Άρα )x(f)x(f ...

(β) ...)αx(f)αxx(flimαxαxxflim)x(flim ooxxooxxxx ooo


ΕΝΟΤΗΤΑ 19η

19.2) και 19.3) Να μελετήσετε το παράδειγμα 19.1.

ΕΝΟΤΗΤΑ 20η

20.1) Να μελετήσετε τα παραδείγματα 20.1, 20.2. 20.4 και 20.5.

Ειδικότερα:

(β) Παρατηρήστε ότι 041 3 , διότι

41414104133333 που ισχύει.

(στ) Παρατηρήστε ότι 023

6π

, διότι

27π33π33π23

6π0

23

6π 222 , που ισχύει

διότι 16π4π4π 222 άρα και 27π2 .

20.2) Να μελετήσετε τα σχόλια του παραδείγματος 20.3. Παρατηρήστε

ότι α≤f(x)≤α x[α,α].

20.4) Από υπόθεση ισχύει ότι α·β>0 και β>0. Άρα α>0. Να θεωρήσετε τη

συνάρτηση h(x)=f(x)·g(x)x στο [α,β]...


20.7) Παρατηρήστε ότι 12π και 1ημα≥0, με την ισότητα να ισχύει

μόνο όταν 2πκπ2α , όπου κ ένας οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός.


20.10) (α) Να δείξετε ότι f(0)≤f(1) και f(1)≤f(0).


20.11) (α) Είναι

2α,0Dg . (β) Να εφαρμόσετε το θεώρημα Bolzano

για τη συνάρτηση g στο

2α,0 .

20.12) Να θέσετε στη συναρτησιακή σχέση όπου x=0 και όπου x=1. Στην

πρώτη περίπτωση προκύπτει ότι 1]γ)0(fβ)0(f[)0(f 2 ...

20.13) (α) Θεωρήστε τη συνάρτηση

21xf)x(f)x(g και

εφαρμόστε το θεώρημα Bolzano στο ευρύτερο διάστημα στο οποίο

ορίζεται η g.

(β) Θεωρήστε τη συνάρτηση

31xf)x(f)x(g η οποία ορίζεται στο

32,0 . Θα πρέπει να διερευνήσετε τις περιπτώσεις:

(i) g(0)=0, (ii) 032g

και (iii) 0

32g0g

.

20.15) Παρατηρήστε ότι η συνάρτηση είναι άρτια και άρα η Cf έχει

άξονα συμμετρίας τον y΄y. Αυτό σημαίνει ότι αν η f έχει ρίζα στο (0,π),

τότε θα έχει ρίζα και στο (π,0)...

20.16) Θεωρήστε τη συνάρτηση g(x)=x·ημx1...

20.17) Για x0, ισχύει ότι 0xσυνxημxxxημxσυνxxσφ ...


20.19) Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

Για x≤0, ισχύει ότι x·2x≤0≤1. Άρα η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο

(,0].


Για x>0, ισχύει η ισοδυναμία 0x1212x xx . Για τη

μοναδικότητα της ρίζας, μελετήστε τη μονοτονία της συνάρτησης

x12)x(g x στο (0,+).

20.20) Να μελετήσετε τα σχόλια στο παράδειγμα 20.4. Αν ο

μεγιστοβάθμιος όρος του P(x) είναι ο 1ν21ν2 xα με 0α 1ν2 , τότε ισχύει

ότι

)x(Plimx

και

)x(Plimx

.

20.23)

)x(Plimx

...

20.24) Να θεωρήσετε τη συνάρτηση h(x)=f(x)g(x)...

20.25) (Α΄ τρόπος) Υποθέστε ότι η συνάρτηση f εκφράζει το διάστημα

που διάνυσε ο περιπατητής ο περιπατητής από το σημείο Α σε

συνάρτηση με το χρόνο και υποθέστε ότι η f είναι συνεχής. Τότε f(8)=0

και f(21)=L, όπου L είναι το μήκος της διαδρομής ΑΒ. Έστω ότι κατ'

αναλογία η συνάρτηση g εκφράζει την απόσταση του περιπατητή από το

σημείο Α κατά την περιπλάνησή του τη δεύτερη ημέρα. Τότε g(8)=L και

g(21)=0...

(Β΄ τρόπος) Ένας πιο πρακτικός τρόπος να αποδειχθεί ο ισχυρισμός είναι

ο εξής: Υποθέστε ότι η κίνηση του περιπατητή από το σημείο Α στο Β

και από το Β στο Α γινόταν ταυτόχρονα. Τότε θα υπήρχε σημείο Γ στο

ενδιάμεσο της διαδρομής στο οποίο ο περιπατητής κάποια χρονική

στιγμή θα συναντούσε τον εαυτό του!

20.26) Έστω ένα σημείο αναφοράς Α πάνω στον κύκλο του ισημερινού.

Τότε η θερμοκρασία σε κάθε σημείο του ισημερινού μπορεί να

αντιστοιχεί σε μία γωνία. Για παράδειγμα στα σημεία Β και Γ

αντιστοιχούν οι θερμοκρασίες f(θ1) και f(θ2) αντίστοιχα, όπου f είναι η


συνάρτηση της υπόθεσης με

ΑΒθ1 και

ΑΓθ2 (βλ. σχήμα

παρακάτω).

Για ένα οποιοδήποτε

σημείο Δ του κύκλου

παρατηρούμε ότι αν θ

είναι η γωνία στην

οποία αντιστοιχεί, τότε

στο αντιδιαμετρικό του

σημείο Δ΄ θα αντιστοιχεί η γωνία π+θ.

Επίσης, η θερμοκρασία στο σημείο Α μπορεί να εκφραστεί με δύο

διαφορετικά ορίσματα της f, δηλαδή f(0)=f(2π)...

ΕΝΟΤΗΤΑ 21η

21.1) Να μελετήσετε το παράδειγμα 21.1. Ειδικότερα προκύπτει ότι:

(α) ■ f(x)>0x(2,1)(1,+).

■ f(x)=0x=1 ή x= 1 ή x= 2.

■ f(x)<0x(,2)(1,1).

(β) ■

2π,

3π

2π,

3π2x0)x(f .

■

π,

2π

3π,

2π

3π2,πx0)x(f .

■ 3πxή

3π2x0)x(f .

(γ) ■

π,

4π

4π3,πx0)x(f .

■

4π,

4π3x0)x(f .


■ 4πxή

4π3x0)x(f .

(στ) f(x)>0 0<x<1.

21.2) Η συνάρτηση εκφράζει ημικύκλιο με τύπο x2+y2=1, όπου y≥0.

21.3) (α)

22,

22Α . (β) Να μελετήσετε το παράδειγμα 21.3.


ΕΝΟΤΗΤΑ 22η

22.1) Τα σύνολα τιμών είναι τα εξής:

(α) (,2+2ln2]. (β) (,0]. (γ) [1,5]. (δ) (3,1). (ε) (124,1).

(στ) Ισχύει ότι xxx1x 22 . Άρα 0x1x2 xR...

(ζ) (0,+). (η) Ισχύει ότι 1≤ημx≤1. Άρα x1≤xημx≤x+1...

(θ) [1,1].



22.4) )1xxln(

1)x(f2

1

.

22.5) (α) Είναι 1x2

xln)x(f

, με x>0. Να δείξετε ότι

2121 xx...)x(f)x(f (προσοχή η απόδειξη αυτή πρέπει να

εξασφαλίζει την ισοδυναμία σε κάθε βήμα). Τελικά f((0,+))=(,ln2).

(β) Έστω fCy,x . Τότε x>0 και y<0. Δηλαδή όλα τα σημεία της fC

βρίσκονται στο 4ο τεταρτημόριο. Λόγω συμμετρίας της fC με τη 1fC ως

προς τον άξονα y=x, ισχύει ότι 1ff Cx,yCy,x με x>0 και y<0.

Άρα όλα τα σημεία της 1fC βρίσκονται στο 2ο τεταρτημόριο.


(γ) 1e2

e)x(f x

x1

, x<ln2.

22.6) Ο τύπος της f γράφεται και ως x

x

e1eln)x(f

, x<0...

22.7) (α) Είναι f(R)=R, με f<R.

(β) Αφού f<R, έχουμε γενικά ότι )λ(f)y(ffλ)y(f 11 ... εφόσον

yf(Df) και λDf.

22.8) (β) f(R)=[4,+). 22.9) f(0,2])=(,3].

22.10) (α) f((0,+))=(2,+)

(β) Να μελετήσετε την απόδειξη της πρότασης 5.1 στην ενότητα 5.

(γ) Επειδή η 1f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα με

),0()),2((f 1 , τότε έπεται ότι 0)x(flim 1

2x

και

)x(flim 1

x.

ΕΝΟΤΗΤΑ 23η

23.1) (α) Έστω x1,x2R. Τότε ... )x(f5)x(f)x(f5)x(f 223

113

...0)]x(f)x(f[5)]x(f)x(f[ 2123

13

Θυμηθείτε ότι α,βR, ισχύει ότι 0βαβα 22 .

(β) Έστω ότι Α(xo,yo) κοινό σημείο των fC και 1fC . Τότε f(xo)=yo και

oo1 y)x(f . Όμως oo

1oo x)y(fy)x(f . Λύνουμε το σύστημα

oo1

oo1

y)x(fx)y(f ...


(δ) Έστω αR. Μετά από πράξεις προκύπτει ότι

5αx2

5)α(f)α(f)x(f)x(f)αx(2)α(f)x(f 22

...

23.2) (α) Έστω ότι υπάρχει xo>0, ώστε f(xo)=0. Τότε

0x0x4)x(fx2)x(f o3oooo

3 , άτοπο. Άρα f(x)0 x>0 και

επειδή είναι συνεχής, διατηρεί πρόσημο...

(β) (i) 0 (ii) 0 (iii) 2.

(γ) Να εφαρμόσετε θεώρημα Bolzano.

23.3) (α) Να θεωρήσετε τη συνάρτηση g(x)=f(x)3x. Παρατηρήστε ότι

f(0)0, ενώ f(1)<3...

(β) (i) 2 (ii) 0 (iii) 58 .

23.4) (α) x=0 (β) (,+)

(γ) Έστω x1<x2. Τότε θα έχουμε ότι:

<f

21)x(g

23)x(g

13

21 )x(gf)x(gf1e)x(g1e)x(gxx 21

)x(g)x(g 21 . Άρα g<R.

(ε) Ισχύει ότι 0)0(g)0(g)0(gg0)0(g 11 ...

23.5) (α) ),0()3,(Df .

(β)

)x(flim0x

και

)x(flim3x

.

(γ) x

x1

e2e3)x(g

, με x(,ln2) (γιατί;)

23.6) (α) Έστω f γνησίως αύξουσα και x1,x2Δ με f(x1)<f(x2). Τότε θα

ισχύει είτε x1<x2, είτε x1=x2, είτε x1>x2.

■ Αν x1=x2, τότε f(x1)=f(x2), άτοπο από την υπόθεση ότι f(x1)<f(x2).

■ Αν x1>x2, τότε επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα έπεται ότι f(x1)>f(x2),

πάλι άτοπο από την υπόθεση ότι f(x1)<f(x2).

Άρα τελικά x1<x2.


(β) Όχι απαραίτητα (γιατί;)

23.7) (α) Όπως στο παράδειγμα 21.4... (β) 0.

23.8) Να χρησιμοποιήσετε κριτήριο παρεμβολής.

23.9) (α) f<. (β) [2,+)

(γ) Στην ενότητα 5, να διαβάσετε την πρόταση 5.1. Χρειάζεται να την

αποδεικνύετε. Τελικά 1f <.

(δ) Να δείξετε πρώτα ότι f(x)>x xDf. Τότε για κάθε σημείο (xo,yo)Cf

με xoDf, ισχύει ότι yo>xo. Λόγω συμμετρίας της 1fC με τη fC ως προς

την ευθεία y=x, έπεται ότι όλα τα σημεία της 1fC θα είναι της μορφής

(yo,xo) με yo 1fD και xo fD . Τότε όμως όπως είπαμε θα ισχύει ότι

yo>xo. Όμως )y(fx o1

o . Άρα oo

1 y)y(f για κάθε yo 1fD . Αν τη

μεταβλητή yo τη συμβολίσουμε ως x, τότε προκύπτει το ζητούμενο.

(ε) Είναι ),2[D 1f και ),0[)),2([f 1 . Επιπλέον η 1f είναι

συνεχής και γνησίως αύξουσα...

23.10) (α) Να μελετήσετε τα παραδείγματα 22.3 και 22.4.

(β) Να μελετήσετε το παράδειγμα 20.2.

(γ) Πρέπει να λύσετε πρώτα την εξίσωση f(x)=0 και μετά να κάνετε

πίνακα προσήμων για τη συνάρτηση f, όπως στο παράδειγμα 21.1.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 261

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ανδρεαδάκης Σ., Κατσαργύρης Β., κ.α. (2006). Μαθηματικά

Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης (έκδοση Η΄). Εκδ. Ο.Ε.Δ.Β. Κατσαργύρης Β., Μέντης Κ., κ.α. (1998). Μαθηματικά Γ΄Λυκείου.

Ανάλυση. (Έκδοση Ζ΄). Εκδ. Ο.Ε.Δ.Β. Λουρίδας Σωτήρης (2006). Μαθηματικά για Μαθηματικούς. Εκδ.

Μπόνια. Μαμούρης Α.Ι. (1977). Συναρτήσεις Θεωρία-Λυμένα Θέματα.

(Αυτοέκδοση) Μπάρλας Αναστ. (2015). Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Ομάδας

Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Οικονομίας και Πληροφορικής, τεύχος Α΄. Εκδ. Ελληνοεκδοτική.

Νεγρεπόντης Σ., Γιωτόπουλος Σ., Γιαννακούλιας Ευστ., (1992). Απειροστικός Λογισμός, τόμος Ι. Εκδόσεις Αίθρα.

Ξένος Θανάσης (1999). Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου. Συναρτήσεις, Όριο και Συνέχεια Συνάρτησης, τόμος 2. Εκδ. Ζήτη.

Ξένος Θανάσης (2002). Κριτήρια Αξιολόγησης στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. Εκδ. Ζήτη.

Παπαδάκης Β. (2009). Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, τόμος Γ1. Εκδ. Σαββάλας.

Σκόμπρης Ν. (2007). Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου, τόμοι Γ1 και Γ2. Εκδ. Σαββάλας.

Στεργίου Χ., Νάκης Χρ., Στεργίου Ι. (2006). Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου (Μιγαδικοί-Όρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Εκδ. Σαββάλας.

Τζουβάρας Θ, Τζιρώνης Κ. (1999). Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου (Μιγαδικοί-Συναρτήσεις-Όριο-Συνέχεια συνάρτησης-Η έννοια της παραγώγου-Παράγωγος Συνάρτηση, τόμος 2. Εκδ. Σαββάλας.

Χατζημανώλης Νίκος (2015). Σημειώσεις Πολυωνύμων Β΄ Λυκείου. Αυτοέκδοση.

Χατζημανώλης Νίκος (2014). Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β΄ Λυκείου. Αυτοέκδοση

Lysari team: Αντωνόπουλος Νίκος, Βελαώρας Ι., κ.α. (2016). Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών-Οικονομίας και Πληροφορικής. Οδηγός Προετοιμασίας για τις Πανελλαδικές εξετάσεις. Εκδ. Ελληνοεκδοτική.

Spivak Michael (2004). Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός (8η έκδοση). Εκδ. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.

μαθηματικα γ΄ λυκειου συναρτησεισ-ορια-συνεχεια...

Education

Transcript of μαθηματικα γ΄ λυκειου συναρτησεισ-ορια-συνεχεια...