10.4 Sistema de uma fila com população infinita e vários canais

No sistema em que existe mais de um “atendente” (canal), as equações se diferenciam também dos sistemas anteriores.

Vamos considerar as seguintes premissas nesse sistema:

• “S” é o número de canais de serviços no sistema

• A população é infinita

• O ritmo de serviço é S*μ

• λ < S*μ

Na página seguinte, veremos as principais equações do sistema

Capitulo 10: Teoria das Filas

Capitulo 10: Teoria das Filas

Nome Descrição Fórmula

ρ Taxa de utilização ρ = λ / μ

P0 Probabilidade de haver 0 cliente no sistema

P0=1/(∑S-1j=0 ρj / j! + (ρS / ((S-1)!*(S-ρ))))

Pn Probabilidade de haver n clientes no sistema (Para n<S)

Pn= ρn * P0/n!

Pn Probabilidade de haver n clientes no sistema (Para n≥S)

Pn= ρn * 1/(S!*Sn-S)* P0

Pocup.total Probabilidade de que todos os canais estejam ocupados(n≥S)

Pocup.total = P0 * ρS / ((S-1)!*(S-ρ))

NF Número médio de clientes na fila NF= Pocup.total * ρ / (S-ρ)

NS Número médio de clientes no sistema

NS= NF + ρ

TF Tempo médio de espera na fila TF= NF * 1/ λ

TS Tempo médio gasto no sistema TS= NS * 1/ λ

Exercício 10.4 - Fonte: Andrade, E (2009)

Uma empresa dispõe de grandes linhas de produção, composta de equipamentos eletrônicos, que se danificam a uma média de 8 por semana, segundo a distribuição de Poisson. Cada equipamento danificado corresponde a uma máquina parada. Cada máquina parada custa $2.200 por dia. A semana tem 5 dias úteis e o ano possui 52 semana.

A empresa possui duas opções de investimentos para montar uma seção de reparos

Opção A: Adquirir uma bancada de teste cujo investimento (anualizado) corresponde a $ 619.150 e cujas despesas anuais somam $120.000 (salários e demais gastos de operação). Com essa bancada, a seção conseguirá reparar em média 10 circuitos eletrônicos por semana.

Opção B: Aquisição de duas bancadas iguais à opção A

Qual a melhor opção?

Capitulo 10: Teoria das Filas

Solução Exercício 10.4

λ = 8

μ = 10

ρ = 8/10 = 0,8

Opção A: O custo total é a soma dos custos de aquisição e operação da bancada mais o custo relativo ao numero médio de máquinas paradas (NS)

NS = λ / (μ - λ ) = 8/(10-8)= 4 máquinas por semana

Custo anual das máquinas paradas = 4máquinas * 5dias * 52semanas * $2.200 = $ 2.288.000

Custo anual total = 619.150 + 120.000 + 2.288.000 = $ 3.027.150

Opção B: O custo total é a soma dos mesmos três custos da opção anterior, porem seus valores agora são diferentes:

Custo anualizado da aquisição: 2 * 619.150 = $ 1.238.300

Custo anual de operação: 2* 120.000 = $ 240.000

Custo anual das máquinas paradas, para dois canais: S=2

NS= NF + ρ

Onde: NF= Pocup.total * ρ / (S-ρ)

Onde: Pocup.total = P0 * ρS / ((S-1)!*(S-ρ))

Onde: P0=1/(∑S-1j=0 ρj / j! + (ρS / ((S-1)!*(S-ρ))))

Capitulo 10: Teoria das Filas

Para P0=1/(∑S-1j=0 ρj / j! + (ρS / ((S-1)!*(S-ρ))))

Temos ∑2-1j=0 ρj / j! = (0,80 / 0!) + (0,81 / 1!) = 1+0,8 = 1,8

ρS / ((S-1)!*(S-ρ))= 0,8 2 / ((2-1)!*(2-0,8)) = 0,64/(1*1,2) = 0,5333

Logo P0 = 1/(1,8+0,533) = 0,42857

Para Pocup.total = P0 * ρS / ((S-1)!*(S-ρ))

Temos Pocup.total = 0,42857* 0,82 / ((2-1)!*(2-0,8))

Pocup.total = 0,228

Para NF= Pocup.total * ρ / (S-ρ)

Temos NF= 0,228 * 0,8 / (2-0,8) = 0,152

Para NS= NF + ρ

Temos NS= 0,152 + 0,8 = 0,952

Logo, o custo anual das máquinas paradas = 0,952máq.*5dias*52sem*$2.200 = $ 544.544

Custo anual total = 544.544 + 1.238.300 + 240.00 = $ 2.022.844

Melhor opção: B

Capitulo 10: Teoria das Filas