Microondas I - fermassa.com2)_Aula_5.pdf · Uma camada fina e infinita de corrente como fonte de...

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Microondas I

Prof. Fernando Massa Fernandeshttps://www.fermassa.com/microondas-i.php

Sala 5017 [email protected]

Aula 5

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Microondas I

Equação de onda – Solução de onda plana

∇2 E − μϵ

∂2 E

∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ

∂2 H

∂ t2 = 0

→ Solução de onda plana → Modo de propagação transversal eletromagnético (TEM)

z

E

H

Exemplo: E = E x(z , t) →Propagna direção z e Polarização na direção x

Ex = E0 sin(ω t±k z)

Ex = E0 cos(ω t±k z)

Ex = E0 ei(ω t±k z)

Conjunto de soluções

ω = 2π f → Frequência

k = 2πλ

→ Constante de propagação

ω t±kz → Fase v f = ωk

= 1√μϵ

Revisão

H = 1η n× E

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∇2 E − μϵ

∂2 E

∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ

∂2 H

∂ t2 = 0

Exemplo: E = E x(z , t) →Propagna direção z e Polarização na direção x

Ex = E0 sin(ω t±k z)

Ex = E0 cos(ω t±k z)

Ex = E0 ei(ω t±k z)

Conjunto de soluções

ω = 2π f → Frequência

k = 2πλ

→ Constante de propagação

ω t±kz → Fase

** Velocidade de fase da onda – Exemplos:

No dielétrico , v f = c

√μr ϵr Teflon (10 GHz) 2,08 2,08 .108

Vidro (3 GHz) 4,84 1,37 .108

Água destilada (3 GHz) 76,7 3,42 .107

ϵr v f (m/ s)

* não magnético μr = 1

k = ω√μϵ

Revisão

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∇2 E − μϵ

∂2 E

∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ

∂2 H

∂ t2 = 0

Ex(z , t ) = Ex (z)eiω t = (E+ e−ikz

+E- e+ikz)eiω t

→eiω t , é uma constante de tempo na eq de onda .

* O importante no problema é conhecer a amplitude do campo ao longo de ‘z’

⇒ Ex (z) = E+ e−ikz+E- e

+ikz

Equações de Helmholtz → Eq de onda após remover a constante de tempo →eiω t

∇2 E(z)+ω2

μϵ E (z)=0 ∇2 H (z)+ω2

μϵ H ( z)=0

Revisão

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Equações de Helmholtz → Eq de onda após remover a constante de tempo →eiω t

∇2 E(z)+ω2

μϵ E (z)=0 ∇2 H (z)+ω2

μϵ H ( z)=0

Impedância intrínseca do meio ⇒ η = √μϵ (Ω)

H y (z) = 1η(E+ e−ikz

−E- e+ikz) y

Ex(z) = (E+ e−ikz+E- e

+ikz) x

No vácuo , η0 =√μ0ϵ0

= 377Ω

Num material , η =√μrϵr √

μ0ϵ0

= √μrϵrη0 = ηrη0

ηr → Impedância relativado meio

Revisão

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Ondas planas num meio com perdas

→ Permitividade do meio com perdas é complexaϵ = ϵ ,

−i ϵ , ,

→ Condutividade real efetiva (dissipativa) σ* = ωϵ ' ' + σ

⇒ ∇2 E (z)+ω2μ ϵ ' (1−

iσ*

ωϵ ') E (z) = 0 (eq de onda no meio com perdas)

α → Constante de atenuação

⇒ γ = iω√μϵ ' √1−i σωϵ '

≡ α+iβ

Ex = E+ e−γ z = E+ e−α z e−iβ z (amortecimento)

Revisão

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⇒ ∇2 E (z)+ω2μ ϵ ' (1−

iσ*

ωϵ ') E (z) = 0

→ Meio bom condutor *

γ ≡ α+iβ

v f = ωβ

⇒ η = √μϵ

⇒ γ = iω√μϵ

λ = 2πβ

(σ≫ωϵ ')

γ = iω√μϵ ' √1−i σωϵ '

⇒ γ ≈ iω√μϵ ' √−i σωϵ '

= (1+i)√ωμσ

2

⇒ α ≈ √ωμϵ

2

η = iωμγ ≈ (1+i)√

ωμ

2σ

* Fase de 45o entre E e H:

H y (z) = 1η(E+ e−ikz

−E- e+ikz) y

Ex(z) = (E+ e−ikz+E- e

+ikz) x

Revisão

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⇒ ∇2 E (z)+ω2μ ϵ ' (1−

iσ*

ωϵ ') E (z) = 0

→ Profundidade de película

→ Distância percorrida para a qual a amplitude é reduzida pelo fator 1/e (~ 1/3)

→ Para bom condutor

→ Metais como ouro, cobre e alumínio!

e−αδp = e−1 = 0,368 (redução para 36,8 %)

Ex = E+ e−γ z = E+ e−α z e−iβ z (amortecimento)

(δ p)

δp = 1α

(σ≫ωϵ ')δ p = √ 2

ωμσ

η = (1+i)√ωμ

2σ =

(1+i)δ pσ

Revisão

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Exemplo 1.2 (do livro):

Calule a profundidade de película na frequência de 10GHz para o alumínio, cobre, ouro e prata.

δ p = √ 2ωμσ

Bons condutores!

Revisão

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Equação de onda – Solução (geral) de onda plana

n → direção de propagação

k → vetor de onda

→ Eq. de Helmholtz no espaço livre (ρ = 0)

→ Para cada componente (i = x, y, z)

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→ Separação de variáveis

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→ Substituindo Ex na eq diferencial

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→ Definindo as constantes de separação k

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→ Soluções independentes para x, y, e z.

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→ Soluções independentes para x, y, e z.

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→ Soluções na formae∓ i k x x , e∓ i k y y , e∓ i k z z

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→Para a componente do campo elétrico em ‘x’

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→ Eq. de Helmholtz no espaço livre (ρ = 0)


→Para a componente do campo elétrico em ‘x’

(A é a amplitude arbitrária da onda)

(×eiω t)

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n → direção de propagação

k → vetor de onda

→Para a componente do campo elétrico em ‘x’ (o mesmo para ‘y’ e ‘z’)

(A é a amplitude arbitrária da onda)

r → vetor posição

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→ E é perpendicular a direção de propagação−Prova

→ Da eq. de Maxwell (∇ . D=0)

⇒ ∇ . D=∇ .(ϵ0 E)=∇ .(ϵ0E0 e−i k . r

)=0

→ Id vetorial ∇ .( E0 e−i k . r) = E0∇ .(

e−i k . r

) + e−i k . r∇ .( E0)=0

∇ .( E0)=0

→ E0∇ .(e−i k . r)= E0(−i k )e−i k . r

=0

E= E0 e−i k r

⇒ E0 . k=0

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Da equação de Maxwell (1) →∇×E = −∂ B∂ t

= −μ∂ H∂ t

= −iωμ H (z)

⇒ H = iωμ ∇× E = ∇×( E0 e−i k r

)

E (z) H ( z)Relação entre os campos e

H ( r ) = 1η0

n× E ( r )

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Da equação de Maxwell (1) →∇×E = −∂ B∂ t

= −μ∂ H∂ t

= −iωμ H (z)

⇒ H = iωμ ∇× E = ∇×( E0 e−i k r

)

E (z) H ( z)Relação entre os campos e

= 1η0

n× E ⇒ η0 = √μ0ϵ0

= 377Ω

No vácuo

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H = 1η n× E

E= E0 e−i k r

Vetor campo elétrico no tempo

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Exemplo 1.3 (do livro): Uma camada fina e infinita de corrente como fonte de ondas planas.

Se existe uma densidade de corrente superficial no plano z = 0, no espaço livre, imponha condições de contorno e encontre os campos resultantes assumindo ondas planas nos dois lados da camada de corrente.

J s = J 0 x

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J s = J 0 x

Naregião(1) z<0 , E1 = A ei(ω t+k0 z)

Naregião(2) z>0 , E2 = B ei (ω t−k0 z)

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J s = J 0 x

4) Campo magnético tangencial

(H 2−H 1)×n = −J S

3) Campo elétrico tangencial

( E2−E1)×n = M S

2) Campo magnético normal à superfície

n . B2 = n . B1

1) Campo elétrico normal à superfície

n .( D2−D1) = ρs

“As quatro relações devem ser satisfeitas na interface”

H = 1η n× E

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