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Microondas I

Prof. Fernando Massa Fernandeshttps://www.fermassa.com/microondas-i.php

Sala 5017 Efermassa@lee.uerj.br

Aula 5

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Microondas I

Equação de onda – Solução de onda plana

∇ 2 E⃗ − μϵ ∂2 E⃗∂ t 2

= 0 ∇ 2 H⃗ − μϵ ∂2 H⃗∂ t2

= 0

→ Solução de onda plana → Modo de propagação transversal eletromagnético (TEM)

z

E

H

Exemplo: E⃗ = E⃗ x(z , t) →Propagna direção ẑ e Polarização na direção x̂

Ex = E0 sin(ω t±k z)

Ex = E0 cos(ω t±k z)

Ex = E0 ei(ω t±k z)

Conjunto de soluções

ω = 2π f → Frequência

k = 2πλ → Constante de propagação

ω t±kz → Fase v f = ωk

= 1√μϵ

Revisão

H⃗ = 1η n̂× E⃗

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Equação de onda – Solução de onda plana

∇ 2 E⃗ − μϵ ∂2 E⃗∂ t 2

= 0 ∇ 2 H⃗ − μϵ ∂2 H⃗∂ t2

= 0

Exemplo: E⃗ = E⃗ x(z , t) →Propagna direção ẑ e Polarização na direção x̂

Ex = E0 sin(ω t±k z)

Ex = E0 cos(ω t±k z)

Ex = E0 ei(ω t±k z)

Conjunto de soluções

ω = 2π f → Frequência

k = 2πλ → Constante de propagação

ω t±kz → Fase

** Velocidade de fase da onda – Exemplos:

No dielétrico , v f = c

√μr ϵr Teflon (10 GHz) 2,08 2,08 .108

Vidro (3 GHz) 4,84 1,37 .108

Água destilada (3 GHz) 76,7 3,42 .107

ϵr v f (m/ s)

* não magnético μr = 1

k = ω√μϵ

Revisão

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Equação de onda – Solução de onda plana

∇ 2 E⃗ − μϵ ∂2 E⃗∂ t 2

= 0 ∇ 2 H⃗ − μϵ ∂2 H⃗∂ t2

= 0

Ex(z , t ) = Ex (z)eiω t = (E+ e

−ikz+E- e+ikz)eiω t

→eiω t , é uma constante de tempo na eq de onda .

* O importante no problema é conhecer a amplitude do campo ao longo de ‘z’

⇒ Ex (z) = E+ e−ikz+E- e

+ikz

Equações de Helmholtz → Eq de onda após remover a constante de tempo →eiω t

∇ 2 E⃗(z)+ω2μϵ E⃗ (z)=0 ∇ 2 H⃗ (z)+ω2μϵ H⃗ ( z)=0

Revisão

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Equação de onda – Solução de onda planaEquações de Helmholtz → Eq de onda após remover a constante de tempo →eiω t

∇ 2 E⃗(z)+ω2μϵ E⃗ (z)=0 ∇ 2 H⃗ (z)+ω2μϵ H⃗ ( z)=0

Impedância intrínseca do meio ⇒ η = √μϵ (Ω)

H⃗ y (z) = 1η(E+ e

−ikz−E- e+ikz) ŷ

E⃗x(z) = (E+ e−ikz+E- e

+ikz) x̂No vácuo , η0 =√μ0ϵ0 = 377Ω

Num material , η =√μrϵr √μ0ϵ0 = √μrϵr η0 = ηrη0ηr → Impedância relativado meio

Revisão

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Equação de onda – Solução de onda planaOndas planas num meio com perdas

→ Permitividade do meio com perdas é complexa ϵ = ϵ ,−i ϵ , ,

→ Condutividade real efetiva (dissipativa) σ* = ωϵ ' ' + σ

⇒ ∇2 E⃗ (z)+ω2μ ϵ ' (1− iσ*

ωϵ ') E⃗ (z) = 0 (eq de onda no meio com perdas)

α → Constante de atenuação

⇒ γ = iω√μϵ ' √1−i σωϵ ' ≡ α+iβEx = E+ e

−γ z = E+ e−α z e−iβ z (amortecimento)

Revisão

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Equação de onda – Solução de onda planaOndas planas num meio com perdas

⇒ ∇2 E⃗ (z)+ω2μ ϵ ' (1− iσ*

ωϵ ') E⃗ (z) = 0

→ Meio bom condutor *

γ ≡ α+iβ

v f = ωβ

⇒ η = √μϵ

⇒ γ = iω√μϵ

λ = 2πβ

(σ≫ωϵ ')

γ = iω√μϵ ' √1−i σωϵ ' ⇒ γ ≈ iω√μϵ ' √−i σωϵ ' = (1+i)√ωμσ2⇒ α ≈ √ωμϵ2

η = iωμγ ≈ (1+i)√ωμ2σ* Fase de 45o entre E e H:

H⃗ y (z) = 1η(E+ e

−ikz−E- e+ikz) ŷ

E⃗x(z) = (E+ e−ikz+E- e

+ikz) x̂

Revisão

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Equação de onda – Solução de onda planaOndas planas num meio com perdas

⇒ ∇2 E⃗ (z)+ω2μ ϵ ' (1− iσ*

ωϵ ') E⃗ (z) = 0

→ Profundidade de película

→ Distância percorrida para a qual a amplitude é reduzida pelo fator 1/e (~ 1/3)

→ Para bom condutor

→ Metais como ouro, cobre e alumínio!

e−αδp = e−1 = 0,368 (redução para 36,8 %)

Ex = E+ e−γ z = E+ e

−α z e−iβ z (amortecimento)

(δ p)

δp = 1α

(σ≫ωϵ ')δ p = √ 2ωμσ

η = (1+i)√ωμ2σ = (1+i)δ pσ

Revisão

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Equação de onda – Solução de onda plana

Exemplo 1.2 (do livro):

Calule a profundidade de película na frequência de 10GHz para o alumínio, cobre, ouro e prata.

δ p = √ 2ωμσBons condutores!

Revisão

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Equação de onda – Solução (geral) de onda plana

n̂ → direção de propagação

k⃗ → vetor de onda

→ Eq. de Helmholtz no espaço livre (ρ = 0)

→ Para cada componente (i = x, y, z)

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Equação de onda – Solução (geral) de onda plana

→ Para cada componente (i = x, y, z)

→ Separação de variáveis

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Equação de onda – Solução (geral) de onda plana

→ Para cada componente (i = x, y, z)

→ Separação de variáveis

→ Substituindo Ex na eq diferencial

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Equação de onda – Solução (geral) de onda plana

→ Para cada componente (i = x, y, z)

→ Separação de variáveis

→ Substituindo Ex na eq diferencial

→ Definindo as constantes de separação k

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Equação de onda – Solução (geral) de onda plana

→ Para cada componente (i = x, y, z)

→ Separação de variáveis

→ Substituindo Ex na eq diferencial

→ Definindo as constantes de separação k

→ Soluções independentes para x, y, e z.

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Equação de onda – Solução (geral) de onda plana

→ Para cada componente (i = x, y, z)

→ Separação de variáveis

→ Substituindo Ex na eq diferencial

→ Definindo as constantes de separação k

→ Soluções independentes para x, y, e z.

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Equação de onda – Solução (geral) de onda plana

→ Para cada componente (i = x, y, z)

→ Separação de variáveis

→ Soluções na forma e∓ i k x x , e∓ i k y y , e∓ i k z z

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Equação de onda – Solução (geral) de onda plana

→ Para cada componente (i = x, y, z)

→ Separação de variáveis

→Para a componente do campo elétrico em ‘x’

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Equação de onda – Solução (geral) de onda plana

→ Eq. de Helmholtz no espaço livre (ρ = 0)

→ Para cada componente (i = x, y, z)

→Para a componente do campo elétrico em ‘x’

(A é a amplitude arbitrária da onda)

(×eiω t )

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Equação de onda – Solução (geral) de onda plana

n̂ → direção de propagação

k⃗ → vetor de onda

→Para a componente do campo elétrico em ‘x’ (o mesmo para ‘y’ e ‘z’)

(A é a amplitude arbitrária da onda)

r⃗ → vetor posição

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Equação de onda – Solução (geral) de onda plana

→ E⃗ é perpendicular a direção de propagação−Prova

→ Da eq. de Maxwell (∇ . D⃗=0)

⇒ ∇ . D⃗=∇ .(ϵ0 E⃗)=∇ .(ϵ0⃗⃗E0 e

−i k⃗ . r⃗ )=0

→ Id vetorial ∇ .( E⃗0 e−i k⃗ . r⃗ ) = E⃗0∇ .(

⃗e−i k⃗ . r⃗ ) + e−i k⃗ . r⃗∇ .( E⃗0)=0

∇ .( E⃗0)=0

→ E⃗0∇ .(e−i k⃗ . r⃗ )= E⃗0(−i k⃗ )e

−i k⃗ . r⃗=0

E⃗= E⃗0 e−i k⃗ r⃗

⇒ E⃗0 . k⃗=0

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Equação de onda – Solução (geral) de onda plana

Da equação de Maxwell (1) →∇×E⃗ = −∂ B⃗∂ t

= −μ ∂ H⃗∂ t

= −iωμ H⃗ (z)

⇒ H⃗ = iωμ ∇× E⃗ = ∇×( E⃗0 e−i k⃗ r⃗ )

E⃗ (z) H⃗ ( z)Relação entre os campos e

H⃗ ( r⃗ ) = 1η0 n̂× E⃗ ( r⃗ )

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Equação de onda – Solução (geral) de onda plana

Da equação de Maxwell (1) →∇×E⃗ = −∂ B⃗∂ t

= −μ ∂ H⃗∂ t

= −iωμ H⃗ (z)

⇒ H⃗ = iωμ ∇× E⃗ = ∇×( E⃗0 e−i k⃗ r⃗ )

E⃗ (z) H⃗ ( z)Relação entre os campos e

= 1η0 n̂× E⃗ ⇒ η0 = √μ0ϵ0 = 377ΩNo vácuo

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Equação de onda – Solução (geral) de onda plana

H⃗ = 1η n̂× E⃗

E⃗= E⃗0 e−i k⃗ r⃗

Vetor campo elétrico no tempo

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Equação de onda – Solução (geral) de onda plana

Exemplo 1.3 (do livro): Uma camada fina e infinita de corrente como fonte de ondas planas.

Se existe uma densidade de corrente superficial no plano z = 0, no espaço livre, imponha condições de contorno e encontre os campos resultantes assumindo ondas planas nos dois lados da camada de corrente.

J⃗ s = J 0 x̂

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Equação de onda – Solução (geral) de onda plana

Exemplo 1.3 (do livro): Uma camada fina e infinita de corrente como fonte de ondas planas.

Se existe uma densidade de corrente superficial no plano z = 0, no espaço livre, imponha condições de contorno e encontre os campos resultantes assumindo ondas planas nos dois lados da camada de corrente.

J⃗ s = J 0 x̂

Naregião(1) z0 , E⃗2 = B⃗ ei (ω t−k0 z)

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Equação de onda – Solução (geral) de onda plana

Exemplo 1.3 (do livro): Uma camada fina e infinita de corrente como fonte de ondas planas.

Se existe uma densidade de corrente superficial no plano z = 0, no espaço livre, imponha condições de contorno e encontre os campos resultantes assumindo ondas planas nos dois lados da camada de corrente.

J⃗ s = J 0 x̂

4) Campo magnético tangencial

(H⃗ 2−H⃗ 1)×n̂ = −J⃗ S

3) Campo elétrico tangencial

( E⃗2−E⃗1)×n̂ = M⃗ S

2) Campo magnético normal à superfície

n̂ . B⃗2 = n̂ . B⃗1

1) Campo elétrico normal à superfície

n̂ .( D⃗2−D⃗1) = ρs

“As quatro relações devem ser satisfeitas na interface”

H⃗ = 1η n̂× E⃗

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