1. Fungsi Gamma, Beta dan ErrorContent:Fundamental properties of Gamma functions, the value of (1/2) and graph of the Gamma function, Transformation of Gamma function, Different forms of Beta function, Reduction of definite integrals to Gamma functions, Error function or probability integral

Penggunaan Fungsi Gamma/Γ(z)

Normalisasi fungsi gelombang dari potensial Coulomb Perhitungan probabilitas pada problem di Mekanika Statistik

Secara umum fungsi Gamma lebih jarang digunakan dibandingkan dengan fungsi khusus seperti Legendre atau Bessel.

Definisi fungsi Gamma

Cukup banyak definisi fungsi Gamma, dua diantaranya:

(1)

(2)

Dapat dibuktikan bahwa definisi 1 = definisi 2(Bukti lengkap ada pada Arfken page 592-593)

(1.1)

(1.2)

Dapat dibuktikan untuk kedua definisi.

∫∫∞

−∞

− −==+Γ00

)1( tzzt detdttezMaka:

)(0

1

0zzdtzteet zttz Γ=+−= ∫

∞−−∞−

∫∞

−−=Γ0

1)( dttez zt

Bukti untuk definisi 1:

Bukti untuk definisi 2:

(selanjutnya latihan ☺)

Evaluasi beberapa nilai fungsi Gamma

1)1(0

00

11 =−===Γ∞−

∞−

∞−− ∫∫ ttt edtedtet

1)2(0

0000

12 ∫∫∫∫∞

−∞−∞

−∞

−∞

−− =+−=−===Γ dtetetdedttedtet ttttt

2.........)3(0

13 ===Γ ∫∞

−− dtet t

62.3.........)4(0

14 ====Γ ∫∞

−− dtet t

242.3.4.........)5(0

15 ====Γ ∫∞

−− dtet t

<<definisi 1>>

Kalau n bilangan bulat positif, dapat dilihat: Γ(n) = (n-1)!

Oleh karena itu fungsi Gamma sering disebut sebagai fungsi faktorial.

Dapat dibuktikan hal yang sama pada definisi 2:

Γ(1) = …Γ(2) = ….Γ(3) = ….

Sudah tentu hasilnya sama dengan definisi 1

Bagaimana kalau pecahan?Γ(1/2) =?

Γ(1/2) sering dijumpai dalam problem Mekanika statistik.

Integral ini dapat diselesaikan dengan contour integral (variabel kompleks) dan berharga √π

∫∫∞

−−∞

−− ==Γ0

2/1

0

12/121 )( dtetdtet tt

π=Γ )( 21

Latihan:

Gunakan dan sifat Γ(z+1) = z Γ(z) untuk evaluasi fungsi Gamma 3/2, 5/2, 7/2,-1/2,-3/2 dsb

π=Γ )( 21

Beberapa nilai fungsi gamma

Grafik fungsi gamma

z

Sifat-sifat fungsi gamma

Γ(z+1) = z Γ(z)

zzz

ππ

sin)1()( =−ΓΓ

Bentuk lain ekspresi fungsi Gamma (Buktikan!)

∫∞

−−=Γ0

122

2)( dttez zt

∫−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=Γ

1

0

1

)1ln()( dtt

zz

Soal-soal Latihan

1. Hitung kecepatan rms partikel gas yang memenuhi distribusi Maxwell:

Catatan:

2. Perluasan soal no. 1, buktikan:(faizal)

dvvekT

mNdN kTmv 22/

2/32

24 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=π

π

∫= dNvN

vrms21

)()(2

232

32/

ΓΓ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+nnn

mkTv

3. Dari relasi

Tunjukkan bahwa

4. Buktikan:

5. Dengan transformasi ke fungsi gamma, buktikan:

zzz

ππ

sin)1()( =−ΓΓ

π=Γ )( 21

( ) !41

0

4

=∫∞

− dxe x

1)1(

1ln 2

1

0

−>+

=− ∫ kk

xdxxk

Law

Fungsi Beta

Sifat-sifat fungsi Beta:

Fungsi Error Fungsi Gamma Tak Lengkap

∫∞

−−=Γx

at dttexa 1),(

Sering juga dibedakan:

Fungsi Gamma Tak Lengkap Batas Atas:

Fungsi Gamma Tak Lengkap Batas Bawah:

∫∞

−−=Γx

at dttexa 1),(

∫ −−=x

at dttexa0

1),(γ

Sifat-sifatDengan integrasi per-bagian, didapat:

Dari definisi Fungsi Gamma biasa, didapat:

ke Bab 2