Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ, 2010-11

Εργασία 1

Προθεσµία: ∆ευτέρα 28/3/2011.

Παράδοση: Ο τρόπος παράδοσης της εργασίας θα ανακοινωθεί στην eclass

http://eclass.uoa.gr/courses/MATH246 .

1. Έστω ( ), ( ) [ ]x x xϕ θ ∈F , όπου 2( ) ( 2)( 3)x x xϕ = − − , 2( ) ( 2)( 5 6)x x x xθ = − − + .

a. Βρείτε το ( ( ), ( ))x xµκδ ϕ θ και το ( ( ), ( ))x xεκπ ϕ θ .

b. ∆είξτε ότι αν ο A ν ν×∈F είναι τέτοιος ώστε ( ) ( ) 0A Aϕ θ= = , τότε

( 2 )( 3 ) 0A I A Iν ν− − = .

2. Βρείτε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα 3 3

3 1 1

0 2 1

0 3 1

A×

= − ∈ −

F .

3. Έστω c∈F . Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση 2 2: , ( , ) ( , )f f x y x cy x y→ = + +F F .

a. Βρείτε όλες τις τιµές του c τέτοιες ώστε το (1, 2) να είναι ένα ιδιοδιάνυσµα

της f .

b. Υπολογίστε τον πίνακα ˆ ˆ( : , )f e e της f ως προς τη συνήθη διατεταγµένη

βάση e του 2F και στη συνέχεια βρείτε όλες τις τιµές του c τέτοιες ώστε το

2 να είναι µια ιδιοτιµή της f .

c. Βρείτε όλες τις τιµές του c τέτοιες ώστε το 0 να είναι µια ιδιοτιµή της 2011f .

4. Έστω 3 3A ×∈F µε 3( )A

x x xχ = − + .

a. Είναι ο A αντιστρέψιµος; Είναι ο 32A I− αντιστρέψιµος;

b. Είναι ο A όµοιος µε τον 3 3

0 1 1

0 2 1

0 0 2

×

− ∈

F ;

c. Έστω 2011.B A= Βρείτε το ( )B

xχ .

5. Έστω A ν ν×∈F , λ∈F µια ιδιοτιµή του A και { }1( )A

V X AX Xνλ λ×= ∈ =F .

∆είξτε ότι το ( )A

V λ είναι ένας υπόχωρος του 1ν×F και dim ( )

AV λ =F

( )rank A Iνν λ− − .

6. Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές. Σε κάθε περίπτωση

δώστε µια απόδειξη ή ένα αντιπαράδειγµα. Έστω A ν ν×∈� .

a. Αν το i∈� είναι µια ιδιοτιµή του A , τότε υπάρχει µη µηδενικό 1X ν×∈�

τέτοιο ώστε 2A X X= − .

b. Αν το 1 είναι µια ιδιοτιµή του 2A , τότε υπάρχει µη µηδενικό 1X ν×∈� τέτοιο

ώστε AX X= .

c. Αν το 1 είναι µια ιδιοτιµή του 2A , τότε υπάρχει µη µηδενικό 1X ν×∈� τέτοιο

ώστε AX X= ή AX X= − .

7. Έστω 2ν ≥ και 1 1,...,a aν − ∈F . Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο και τις

ιδιοτιµές του

1 2 2 1

1 2 2 1

1 2 2 1

1 2 3 1

1 2 3 1

0

0

0

0

0

a a a a

a a a a

a a a aA

a a a a

a a a a

ν ν

ν ν

ν ν ν ν

ν

ν

− −

− −

− − ×

−

−

= ∈

�

�

�

� � � � �

�

�

F .