Άλγεβρα Β Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Συστήματα

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

1

► ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ



2



3

1. ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

1. Να λυθούν γραφικά τα συστήματα:

α.

12

5

yx

yx β.

432

53

yx

yx γ.

1035

23

yx

yx

δ.

624

32

yx

yx ε.

2

2

yx

yx στ.

15,05,1

23

yx

yx

ζ.

02

33

22y

x

yx

η.

xy

xy

46103

25

θ.

02

2

25

2

5

1

yx

yx

2. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

2. Να λυθούν με τη μέθοδο της αντικατάστασης, τα συστήματα:

α.

13

42

yx

yx β.

1225

243

yx

yx

γ.

144

223

yxyx

yxyx δ.

4222

0123

xyx

yyx

ε.

2

5

4

57

352

yx

yx στ.

343

2

154

3

yxyx

yxyx

3. Να λυθούν με τη μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών, τα συστήματα:

α.

12

534

yx

yx β.

5,1105,0

5,021,0

yx

yx

γ.

2525

232

yx

yx δ.

2

2

32

35yyxyx

yxyx

ε.

227

42

yx

yx στ.

145

123

yx

yx



4

ζ.

326434

10323322

xyyx

yxyx η.

12615

725

yx

yx

4. Να λυθούν τα συστήματα:

α.

1727

05

yx

yx β.

672

35

γ.

02

3

13

δ.

16232

26134423

ε.

40553

482422

yxyx

xyyx στ.

343

3

5

32yxyx

yxyx

ζ.

164

24

5

4

4

3

2

xyxxy

yxyx

η.

2

5

32

26

4

2

23

xyxx

yyxyx

θ.

10

495

6

12

06

45

3

4

yxyx

yxx

ι.

3

61

2

13

2

52

23

xy

yxx

yx

yxyx

5. Να βρεθούν τα α, β ώστε το σύστημα

13

33

yx

yx

να έχει λύση την

(x, y)=(1, –2).

6. Να βρεθούν δύο αριθμοί με άθροισμα 19 και διαφορά 3.

7. Να βρεθεί διψήφιος αριθμός που το άθροισμα των ψηφίων του είναι 12 και αν

εναλλάξουμε τη θέση των ψηφίων του προκύπτει αριθμός κατά 18

μεγαλύτερος του αρχικού.

8. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(4, 2) και

Β(2, 3).



5

9. Να βρεθεί ένα κλάσμα τέτοιο ώστε, αν προσθέσουμε και στους δύο όρους το 1,

να γίνεται ίσο με 3

2, ενώ αν αφαιρέσουμε και από τους δύο όρους του το 2 να

γίνεται ίσο με 2

1.

10. Δύο κινητά τα οποία απέχουν μεταξύ τους 36km ξεκινούν συγχρόνως από

δύο σημεία Α και Β και κινούνται πάνω στην ευθεία ΑΒ. Αν κινούνται με την

ίδια φορά θα συναντηθούν μετά από 8 ώρες, ενώ αν κινούνται με αντίθετη

φορά θα συναντηθούν μετά από 4 ώρες. Να βρεθούν οι ταχύτητες των δύο

κινητών.

11. Αν ελαττώσουμε τη βάση ενός τριγώνου κατά 2m και αυξήσουμε το ύψος

κατά 2m, τότε το εμβαδόν του μειώνεται κατά 1m2. Αν αυξήσουμε τη βάση και

το ύψος κατά 2m, τότε το εμβαδόν αυξάνεται κατά 9m2. Να βρεθεί η βάση και

το ύψος του τριγώνου.


α. )0(,43

23

yx

yx

β. ),0(,

1

1

yx

yx



6

3. ΛΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

Για να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα

yx

yx κάνουμε τα εξής:

Υπολογίζουμε τις ορίζουσες:

D ,

xD ,

yD .

Αν D 0, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση D

Dx x και

D

Dy

y .

Αν D = 0, τότε: – Αν Dx 0, ή Dy 0 το σύστημα είναι αδύνατο.

– Αν Dx = Dy = 0 το σύστημα είναι αόριστο,

εκτός αν α = α΄ = β = β΄ = 0 και γ 0 ή γ΄ 0,

οπότε το σύστημα είναι αδύνατο.

13. Να υπολογιστούν οι ορίζουσες:

α. 43

12

β.

2

3

2

1

85

γ.

123

3

112

δ.

ε. 3

21

στ.

11

11

ζ.

11

11

η. 11

11

2

2

14. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α. 024

1

x β. 0

2

xx

x



7

γ. 013

2

δ. 0

21

ε. 023

2

στ. 0

11

11 22

15. Να λυθούν τα συστήματα με τη μέθοδο των οριζουσών:

α.

392

23

yx

yx β.

2323112

53121

yxyx

yxyx

γ.

1

753

δ.

zzz

zzz

62322

427

3

ε.

6432

335

yx

xy στ.

54

33

3

4

2

6

3

82

xyx

xyxyx

ζ.

7106

753

yx

yx η.

0142

03168

yx

yx

θ.

622

3

yx

yx ι.

21214

164

yx

yx


α.

2

2

yx

yx β.

32

1

yx

yx

γ.

1

2

yx

yx

δ.

523

1

yx

yx

ε.

2

2

yx

yx στ.

1

1

yx

yx

ζ.

11

2

yx

yx

η.

323

1

yx

yx

θ.

yx

yx22

1 ι.

12

1

yx

yx



8


α.

123

12

yx

yx

β.

78234

42

yx

yx

γ.

yx

yx

3

35372 δ.

1

1122

yx

yx

ε.

12

1 2

yx

yx

στ.

4265103

23325

yx

yx

ζ.

yyx

xyx

112

22

η.

03215

232

yyx

yxy

θ.

02

052

yx

yx

ι.

02

0

yx

yx


α.

2

2

yx

yx β.

34

2

yx

yx

γ.

32

1

yx

yx δ.

yx

yx

1

1

19. Να βρεθεί το λR ώστε το σύστημα

854

772

yx

yx να είναι αδύνατο.

20. Όμοια για το σύστημα:

12218

4

yx

yx.

21. Να βρεθεί το αR ώστε το σύστημα

223

1

yx

yx να είναι αόριστο.

22. Όμοια για το σύστημα:

5325

2332

yx

yx

.



9

23. Να βρεθεί το μR ώστε το σύστημα

1112

1112

22

yx

yx να έχει

ακριβώς μία λύση.

24. Δίνεται το σύστημα

412

3

yx

yx

. Να βρεθεί ο μR ώστε:

i) Το σύστημα να είναι αδύνατο.

ii) Το σύστημα να είναι αόριστο.

iii) Το σύστημα να έχει μοναδική λύση (x0, y0) τέτοια ώστε y0 = 2x0.

25. Να βρεθούν τα λ, μR ώστε το σύστημα

412

1432

yx

yx

να έχει άπειρες

λύσεις τις οποίες και να βρείτε.

26. Να βρεθούν τα λ, μR ώστε τα συστήματα

542

31012

yx

yx και

563

712

yx

yx να είναι συγχρόνως αδύνατα.

27. Όμοια για τα συστήματα:

32

1

yx

yx και

52

21

yx

yx .

28. Δίνεται το σύστημα

yx

yx με αβγα΄β΄γ΄0. Να δειχθεί ότι:

i) Αν το σύστημα είναι αόριστο, τότε

.

ii) Αν το σύστημα είναι αδύνατο, τότε

.



10

4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟΥΣ ΑΠΟ ΔΥΟ

ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ

Θεωρούμε ένα σύστημα 3 γραμμικών εξισώσεων με 3 αγνώστους:

3333

2222

1111

yx

yx

yx

.

Δύο βασικές μέθοδοι επίλυσης είναι οι παρακάτω:

1) Μέθοδος της αντικατάστασης:

Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο και αντικαθιστούμε τον άγνωστο

αυτό στις άλλες 2 εξισώσεις.

Λύνουμε κατά τα γνωστά το σύστημα των 2 εξισώσεων.

Αντικαθιστούμε τις τιμές των 2 αγνώστων στην αρχική εξίσωση και βρίσκουμε και

τον τρίτο άγνωστο.

Παράδειγμα:

2379

123

52

852343

6523

52

8343

63

52

yx

yx

yx

yxyx

yxyx

yx

yx

yx

yx

.1521252

2

1

2373

129

3

12

2379

123

yx

y

x

yy

yx

yx

yx

Άρα (x, y, ω)= (1, 2, –1).

2) Μέθοδος της απαλοιφής:

Απαλείφουμε έναν άγνωστο (π.χ. το x) από την 2η και την 3η εξίσωση. Δηλαδή

πολλαπλασιάζουμε την 1η και τη 2η εξίσωση με κατάλληλους αριθμούς ώστε να

δημιουργήσουμε αντίθετους συντελεστές στο x και μετά αντικαθιστούμε την 2η

εξίσωση με το άθροισμα 1η+2η. Το ίδιο κάνουμε ανάμεσα στην 1η και την 3η

εξίσωση.

Λύνουμε το σύστημα των 2 εξισώσεων, με αγνώστους τα y και ω που προκύπτει.

Αντικαθιστούμε στην 1η εξίσωση και βρίσκουμε το x.



11

Παράδειγμα:

3325

96156

22246

3325

)3(3252

21123

yx

yx

yx

yx

yx

yx

4413

13411

1123

996315

13411

5551015

33325

13411

)5(1123

y

y

yx

yx

y

yx

yx

y

yx

.

Λύνουμε τώρα το σύστημα:

.318963

176452

13411

44413

13411

yy

y

y

x

y

.41153231123

.5443134413

xxyx

y

Άρα (x, y, ω)= (4, 3, –5).


α.

1623

5542

1173

yx

yx

yx

β.

52

032

12

yx

yx

yx

γ.

233

423

1132

yx

yx

yx

.

δ.

29273

1335

1232

yx

yx

yx

ε.

453

2434

15225

yx

yx

yx

στ.

415

335

432

yx

yx

yx

.


α.

522

342

1

zy

zx

zyx

β.

366

11644

111443

yx

yx

yx

γ.

3263

2

5

102

3

32

yx

yx

yx

δ.

654

1025

8363

yx

yx

yx

ε.

1623

5542

1473

zyx

zyx

zyx

στ.

662

20483

1432

yx

yx

yx



12


α.

075

02

0323

yx

yx

yx

β.

042

053

032

yx

yx

yx

γ.

026

03

0352

zyx

zyx

zyx


α.

2532

173

145

1034

yx

y

y

x

β.

3832

143

1845

2434

yx

y

zy

zx

.

33. Να λυθεί το σύστημα:

12

112

3

3

5

3

2

yx

yx

y

yx

yx

yx



13

5. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

34. Nα λυθούν αλγεβρικά και γεωμετρικά τα συστήματα :

i.

ii.

iii.

35. Nα λυθούν αλγεβρικά και γεωμετρικά τα συστήματα :

i.

ii.

36. Nα λυθούν τα συστήματα :

i.

ii.

37. Nα λυθούν τα συστήματα :

i. 2

2 3

2 6 6

x y

x xy y

ii.

iii.

2 2

2

2 2 8 0

3 2

yx y xy y

y x x

iv.

v.

38. Για τις διάφορες τιμές του λ, να προσδιοριστεί το πλήθος των ριζών του

συστήματος : 22y x

y x

.

39. Να βρεθεί ο 0 , ώστε ο κύκλος με εξίσωση 2 2 2x y

και η ευθεία με εξίσωση 2x y να έχουν :

(i) κανένα κοινό σημείο



14

(ii) δύο κοινά σημεία

(iii) ένα κοινό σημείο το οποίο και να βρεθεί.

40. Έστω η ευθεία 2y x και η παραβολή y=4x2.

Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ , ώστε η ευθεία να έχει με την παραβολή : (i) ένα κοινό σημείο (ii) δύο κοινά σημεία

(iii) κανένα κοινό σημείο.


i.

1

3²²

yx

xyyx

ii.

0)44)(1(

²

xyy

xy

iii.

1

20

111

yx

yx

iv.

41

9

yx

yx

v.

5

03)(2)²(

yx

yxyx

vi.

2

0))(23(

yx

yxx

vii.

0)5)(12(

0)3)(2(

yx

yx



15

6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ

1) x y

, x y 0΄ ΄

΄x y

.

Θέτουμε 1

x ,

1

y . Οπότε το σύστημα γίνεται:

΄ ΄ ΄

2) x y

, x 0, και y 0΄ x ΄ y ΄

.

Θέτουμε x , y . Οπότε το σύστημα γίνεται:

΄ ΄ ΄

3)

5252

832

52

832

yxyx

yx

yx

yx

(Σ).

Το (Σ) είναι ισοδύναμη με τα συστήματα:

(Σ1)

52

832

yx

yx, (Σ2)

52

832

yx

yx, τα οποία λύνουμε:

.2

1042

832

252

832:)( 1

y

yx

yx

yx

yx

15452252 xxxyx . Οπότε (x, y)=(1, –2).

.18

1042

832

252

832:)( 2

y

yx

yx

yx

yx

31536518252 xxxyx . Οπότε (x, y)=(31, 18).



16

4)

235

2

9

1

3

yx

yx

Θέτουμε

5

2

9

1

3

yx. Οπότε:

255

2

199

1

33

yy

xx

Αντικαθιστούμε στην 2η εξίσωση του συστήματος και έχουμε:

.1992615193

25319323

yx

Επομένως .3215,10119,313 yx

Άρα (x, y, ω) = (–3, –10, –3).

5)

1

2

5

x

y

yx

(συμμετρικό σύστημα).

Προσθέτουμε όλες τις εξισώσεις κατά μέλη:

48222 yxyx .

Χρησιμοποιούμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος:

14544 yxyx .

Όμοια τη δεύτερη εξίσωση:

24244 xxyxyx .

Όμοια την τρίτη εξίσωση:

34144 yyxyyx .

Άρα (x, y, ω) = (2, 3, –1).



17

6)

4823

4623

4423

4223

yxz

yxz

xzy

zyx

Θέτουμε zyx . Οπότε έχουμε:

zyxyxzyxzxzy ,,, .

Το σύστημα γίνεται:

248

246

244

242

48223

46223

44223

42223

4823

4623

4423

4223

z

y

x

zz

yy

xx

zz

yy

xx

Επομένως: 248246244242zyx

2018098180 .

Τώρα βρίσκουμε 220242242 x .

420244244 y .

620246246 .

820248248 z .

Άρα (x, y, ω, z) = (2, 4, 6, 8).

7)

8

132

6

123

6

145

8

132

6

123

6

145

832

623

645

832

623

645

x

y

xy

x

x

x

yy

y

xy

y

xy

x

x

x

y

y

xy

yx

x

x

y

y

yx

xy

Θέτουμε

1

,1

,1

yx. Οπότε το σύστημα γίνεται:

12416

18

12126

301

12416

11218

12430

8

132

6

123

6

145

Αντικαθιστούμε τα α, γ στην τρίτη εξίσωση και έχουμε:



18

1

3

484

3

6021

81

12142

42

30161

3

4

3

2

36

131083484602 .

Οπότε: 144

1

24

36

1301

και 27

1

18

36

1121

.

Επομένως: 144144

111 x

xx ,

3636

111 y

yy ,

2727

111

.

Άρα (x, y, ω) = (144, 36, 27).


i)

1773

531

yx

yx ii)

3175

532

iii)

111

311

yxyx

yxyx iv)

40

37

532

1

1

4

20

7

532

2

1

3

yxyx

yxyx


i)

3

411

232

0312

x

y

yx

ii)

1213

11432

9111

yx

yx

yx

iii)

yx

yx

yx1

.


i)

1285

13

yx

yx ii)

7310

25322

22

yx

yx iii)

042

1223

32

xy

yx



19

iv)

13

52

yx

yx v)

446

732yx

yx


i)

2

332

yx

yx ii)

53

852

yx

yx

iii)

0

12

yxyx

yx iv)

1152

753

132

x

y

yx


i)

132243

yx

yx

ii)

235

2

9

1

3

yx

yx

iii)

15

21

4

8

3

52

yx

yx

iv)

1

yx

yx


i)

12

15

9

x

y

yx

ii)

x

y

yx

iii)

16

18

20

15

yxz

xz

zy

yx


i)

15

111

20

111

12

111

x

y

yx

ii)

111

111

111

x

y

yx

iii)

5

61115

41113

2111

3

1111

yxz

xz

zx

yx



20


i)

38810

645

632

32

yx

yx

xy

yx

ii)

3232

2422

1432

2032

yxz

yxz

xzy

zyx


i)

632

753

345

x

x

y

y

yx

xy

ii)

5

1213

36

5

18

yx

xyx

x

y

y


i)

10111

532

yx

yx

ii)

1111

yx

yx

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Ιδιότητες Συναρτήσεων


21

► ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ



22



23

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

2.1. Μονοτονία – Ακρότατα – Συμμετρίες συνάρτησης

● Μια συνάρτηση f λέγεται: γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της , όταν

για κάθε x1 , x2Δ με x1 < x2 ισχύει f (x1 ) < f (x2 ) και γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της , όταν

για κάθε x1 , x2Δ με x1 < x2 ισχύει f (x1 ) > f (x2 ) . ► Μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο Δ λέγεται γνησίως μονότονη στο Δ. ● Η συνάρτηση f(x ) = αx+β με α>0 είναι γνησίως αύξουσα στο R. ● Η συνάρτηση f(x ) = αx+β με α<0 είναι γνησίως φθίνουσα στο R.

● Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει:

ολικό μέγιστο στο x0 A , όταν f (x) f (x0 ) για κάθε x A

Το x0 ονομάζεται θέση μεγίστου και το f (x0 ) ολικό μέγιστο της f

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει:

ολικό ελάχιστο στο x0A , όταν f (x) f (x0 ) για κάθε xA.

Το x0 ονομάζεται θέση ελαχίστου και το f (x0 ) ολικό ελάχιστο της f ● Άρτια συνάρτηση

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, λέγεται άρτια , όταν για κάθε

xA ισχύει:

-xA και f(-x) = f(x)

Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον y΄y.

● Περιττή συνάρτηση Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, λέγεται περιττή , όταν για

κάθε xA ισχύει: -xA και f(-x) = -f(x)

Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.



24

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

52. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις:

α. f (x) = 7 - x

β. φ(x) = 2 - x -1

γ. g(x) = 4

1

x στα διαστήματα (- , 0) και (0 , + )

γ. h(x) = x3 - 3

1

x στα διαστήματα (- , 0) και (0 , + )

53. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων: α. f (x) = 2x6 – 7 β. g(x) = -3(x – 3)2 + 7

γ. φ (x) = x2 -2x + 3 δ. h(x) = -x2 + 4x - 3

54. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα είναι α) γνησίως αύξουσα, β) γνησίως

φθίνουσα και γ) να προσδιορίσετε το ολικό ακρότατο:

55. Tο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι το ( - , 2) ∪ (2 , + ) . Θα μπορούσε αυτή η συνάρτηση να είναι άρτια ή περιττή;

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

56. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R είναι περιττή.

α. Να υπολογίσετε το f (0). β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = f (1) + f (-1).

Ο x

y



25

57. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και

ποιες είναι περιττές: α. f (x) = 7x2008 + 3x1940

β. g(x) = 7x + 1925 γ. h (χ) = x7 – 77x

δ. f (x) = 23x

x -2

ε. φ(χ) = 4χ

x

στ. f (x) = 4

x

ζ. κ(x) = 2x - 4 + 2 x + 2

η. λ(x) = 3x 1

θ.

4

4

-x ,χ < 0g(x)=

x ,χ 0

58. Ποιες από τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων έχουν άξονα συμμετρίας τον y΄y και ποιες έχουν

κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο(0 , 0):

α. f (x) = 24 - x

β. g(x) = 4

2x

x +4



26


2.2. Κατακόρυφη – Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης

Α. Κατακόρυφη μετατόπιση

● Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f(x ) = φ(x) + c , c > 0

προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα πάνω

● Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f(x ) = φ(x) - c , c > 0

προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα κάτω



27

Β. Οριζόντια μετατόπιση

● Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f(x ) = φ(x - c) , c > 0 προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης

της φ κατά c μονάδες προς τα δεξιά

● Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f(x ) = φ(x + c) , c > 0

προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα αριστερά



28

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

59. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις:

φ(x) = x , f (x) = x +1 , g(x) = x -1

60. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις

συναρτήσεις:

φ(x) = x , f (x) = 1x , g(x) = 1x

61. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις

συναρτήσεις:

φ(x) = x , f (x) = 1x +2 , g(x) = 1x -2

62. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x2 – 2.

Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης g της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της f :

α) κατά 1 μονάδα προς τα δεξιά και κατά 2 μονάδες προς τα πάνω.

β) κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά και κατά 3 μονάδες προς τα κάτω. γ) κατά 1 μονάδα προς τα αριστερά και κατά 2 μονάδες προς τα

πάνω. δ) κατά 2 μονάδες προς τα αριστερά και κατά 3 μονάδες προς τα κάτω.

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία


29

► ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ



30



31

3.1. Οι Τριγωνομετρικοί Αριθμοί


1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

2. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω , 0 ≤ ω ≤ 3600

3. Γωνίες μεγαλύτερες των 3600 – Αρνητικές γωνίες

Β γ

Γ

Α

α β

ημΒ =

συνΒ =

εφΒ =

σφΒ =

Ο

ω

Μ(x , y)

ημω = ρ

y συνω =

ρ

x

εφω = , 0y

xx

σφω = , y 0x

y

όπου 2 20x y

ημ(κ 3600

+ ω) = ημω συν(κ 3600 + ω) = συνω

εφ(κ 3600

+ ω) = εφω σφ(κ 3600

+ ω) = σφω



32

4. Ο Τριγωνομετρικός κύκλος

5. Πρόσημα τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω

Τεταρτημόρια

1ο 2ο 3ο 4ο

ημω + + - -

συνω + - - +

εφω + - + -

σφω + - + -

6. Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών

Αν μ είναι το μέτρο μιας γωνίας σε μοίρες και α το μέτρο της σε ακτίνια τότε:

συνω = x ημω = y

εφω = yE σφω = xΣ

-1 ≤ συνω ≤ 1

-1 ≤ ημω ≤ 1

Ο Η

Ε Σ

0

0180

Ο

ω

Μ(x , y) ρ = 1

1

1

-1

-1 Ε(1 , yΕ)

Σ(xΣ , 1)



33

7. Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών γωνιών

Γωνία ω Τριγωνομετρικοί αριθμοί

Σε

μοίρες

Σε rad ημω συνω εφω σφω

00 0 0 1 0 Δεν ορίζεται

300 6

1

2

3

2

3

3 3

450 4

2

2

2

2 1 1

600 3

3

2

1

2 3

3

3

900 2

1 0 Δεν ορίζεται 0

1800 π 0 -1 0 Δεν ορίζεται



34

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

63. Να εκφράσετε σε rad γωνία:

α) 00 β) 1500 γ) 1200

δ) 3000 ε) 2400 στ) 4200 ζ) – 4320

64. Να μετατρέψετε σε μοίρες γωνία:

α) 3

2

rad

β) 2

3

rad

γ) 18

rad

δ) 4

9

rad

ε) 3

4

rad

στ) -5

36

rad

65. Η διαφορά δύο γωνιών είναι 300 και το άθροισμά τους 2

3

rad.

Πόσα ακτίνια είναι κάθε γωνία;

66. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας: α) 11250 β) 14700

γ) 25800 δ) 11700 ε) 37800 στ) 39600



35

67. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας : 31

3

rad.

68. Αν 3

2x

να βρείτε το πρόσημο της παράστασης:

Α = - εφx + 2ημx – 3 σφx + 7συνx.

69. Αν π

<4 2

x να βρείτε το πρόσημο της παράστασης:

Β = - εφ2x + ημ2x + συνx – συν2x – σφ2x

70. Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου του παρακάτω

σχήματος:

71. Στο παρακάτω σχήμα αν ΑΔ ΒΓ , να υπολογίσετε τα μήκη x , y

καθώς και τη γωνία B.

72. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

Α = ημ300 – συν300 + ημ600 – συν600 + εφ300 – σφ300 + εφ600 – σφ600. Β = ημ00 + συν00 + εφ00 + σφ900 – ημ900 + συν900 + ημ450 – συν450.

Γ = 2 22 4 3 6 4

.

Δ = 2 2 224 3 6 3 2

.

Α

Β Γ

300 60

0

4

Α

Β Γ Δ

x

y

300

8 8 3

3



36

73. Υπάρχει γωνία ω με ημω = 2 ;

74. Να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών παίρνουν τιμές οι παρακάτω παραστάσεις:

Α = 2ημx – 3συνx + 8

B = 5 3 1x x

75. Να εξετάσετε αν υπάρχει γωνία ω ώστε να ισχύει: ημ2ω – 4ημω + 3 < 0.

76. Να δείξετε ότι το τρίγωνο του παρακάτω σχήματος είναι ισόπλευρο:

77. Δύο άνθρωποι Α , Β βλέπουν το φως μιας λάμπας Λ που φωτίζει το δρόμο με γωνία 450 και 300 αντίστοιχα , όπως φαίνεται στο παρακάτω

σχήμα. Αν οι άνθρωποι απέχουν μεταξύ τους 16 μέτρα και η ευθεία ΑΒ διέρχεται από τη βάση της λάμπας Λ , να βρείτε το ύψος ΛΔ της

λάμπας.

Α

Β Γ Δ

300

600

3

450 30

0

Λ

Α Β Δ



37

3.2. Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες


1. Τριγωνομετρικές ταυτότητες 2. Βασικές εφαρμογές

ημ2ω + συν2ω = 1

συν2ω = 2

1

1+εφ ω , συνω0

εφω = ημω

συνω , συνω0

σφω = συνω

ημω , ημω0

ημ2ω = 2

2

εφ ω

1+εφ ω , συνω0

εφω σφω = 1 , ημω∙συνω0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

78. Αν συνx = - 3

5 και

2x

, να βρείτε τους άλλους

τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x rad.

79. Αν ημx = - 3

4 και

3π

2x , να βρείτε τους άλλους


80. Αν εφx = - 3 και 3

22

x

, να βρείτε τους άλλους


81. Αν σφx = 2 3

3 και

π0 <





38

82. Αν σφ2x = 3 και 3π



83. Αν εφx = - 1 και 2

x

να υπολογίσετε την τιμή των

παραστάσεων:

α) Α = 7

2 5

x x

x

β) Β = 7συνx – 10 σφx + 5εφxσφx – 5ημ2x

84. Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος: α) Υπάρχουν τιμές του x για τις οποίες να ισχύει ημx = συνx = 0.

β) Υπάρχουν τιμές του x για τις οποίες να ισχύει: ημx = συνx = 1

2.

γ) Υπάρχουν τιμές του x για τις οποίες να ισχύει: ημx + συνx = 2 . δ) Ισχύει : ημ21300 + συν21300 = 1.

85. Να δείξετε ότι τα σημεία Μ(x , y) του επιπέδου με x = 7συνθ και y = 7ημθ , είναι σημεία κύκλου κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ = 7.

86. Αν x = 4συνθ και y = 3ημθ , να δείξετε ότι: 9x2 + 16y2 = 144.

87. Να αποδείξετε ότι:

α) 1

1

.

β) σφ2α – συν2α = σφ2α συν2α.


α) ημ4α – συν4α = 2ημ2α – 1. β) ημ4α + συν4α = 1 – 2ημ2α συν2α.


α) 1 2

1

.

β)2

1 1

.


α)

.



39

β) 1 1

.

91. Να αποδείξετε ότι: 1

1 1

.

92. Να αποδείξετε ότι: 1 1 1

.

93. Αν π

<2 2

x

να αποδείξετε ότι: 1 1 2

1 1

x x

x x x

.

94. Αν 02

x

να αποδείξετε ότι: 1 1

11 1

x x x

xx x

.

95. Αν ημα , συνα είναι ρίζες της εξίσωσης x2 – λx – λ2 = 0 , να βρείτε

τις τιμές που μπορεί να πάρει ο πραγματικός αριθμός λ.

96. Να δείξετε ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός ω τέτοιος , ώστε

ημω = 2λ + 3 και συνω = λ -1 με λ R.

97. Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού κ υπάρχει γωνία ω ώστε:

ημω = κ + 1 και συνω = 2κ ;



40

3.3. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο


Αντίθετες

γωνίες Παραπληρωματικές

γωνίες Συμπληρωματικές

γωνίες Γωνίες που

διαφέρουν κατά π

ημ(-x) = -ημx

συν(-x) = συνx

εφ(-x) = - εφx

σφ(-x) = - σφx

ημ(π - x) = ημx

συν(π - x) = -συνx

εφ(π - x) = -εφx

σφ(π - x) = -σφx

ημπ

x2

= συνx

συνπ

x2

= ημx

εφπ

x2

= σφx

σφπ

x2

= εφx

ημ(π + x) = -ημx

συν(π + x) = -συνx

εφ(π + x) = εφx

σφ(π + x) = σφx

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

98. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας:

α) -11250 β) -14700 γ) -25800 δ) -11700 ε) -37800 στ) -39600

99. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας:

α) 7

6

β) 5

4

γ) 4

3

δ) 5

6

ε) 3

4



41

στ) 2

3

100. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι:

α) ημΒ = ημ(Α + Γ) β) συνΒ + συν(Α + Γ) = 0

γ) ημ2

= συν

2

δ) 2 2 12 2

ε) 12 2

101. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τετράπλευρο ισχύουν:

α) ημ(Α+Β) + ημ(Γ+Δ) = 0

β) συν(Α+Β) – συν(Γ+Δ) = 0

γ) ημ2

= ημ

2

δ) συν2

+ συν

2

= 0

102. Να απλοποιήσετε την παράσταση:

Α =

0 0

0 0

( ) 180 90

( ) 180 90

.

103. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Α =

13

2 2 2

41π(17 ) συν(2π-x) σφ

2

x x x

x x

.


Α = 0 0 0 0

0 0

405 ( 2850 ) 405 ( 2850 )

( 2850 ) 405

.


Α = συν2(π-x) + ημ(π-x) ημ(2π-x) + 2συν22

x

.



42


5(3 ) ( 2 )

21

3(5 )

2 2

.


Α = ημ30 – συν870 + εφ50 – σφ850 + ημ250 – ημ1550 + συν330 + συν1470.


α) 0 0 0 0 0 01 2 3 87 88 89 1 .

β) ημ00+ ημ10 + ημ20 + … + ημ3570 + ημ3580 + ημ3590=0. γ) συν10 + συν20 + συν30 + … + συν1780 + συν1790 = 0.

109. Να αποδείξετε ότι: α) ημ(α-β) + ημ(β-α) = 0

β) 2 2 14 4

x x

110. Αν 3

22

x

να αποδείξετε ότι : εφ(5π – α) + εφ7

2

2 .

111. α) Να αποδείξετε ότι : 2

2

1

1

β) Αν σφα= 3 και 3

2

, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

( )2

3( )

2 2



43

3.4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 112. Κάθε στοιχείο της στήλης Α αντιστοιχεί σε ένα στοιχείο της στήλης

Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας τη σωστή αντιστοίχιση.

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με 090

:

113. Αν ΑΒΓΔ είναι κυρτό τετράπλευρο , τότε το ημ(Α + Β + Γ + Δ) =

Α. 1 Β. -1 Γ. 0 Δ. 1

2 Ε.

3

2

114. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ανισότητες:.... 2 5 ....

.... 8 νx-1 ....

x

115. Υπάρχει γωνία ω με συνω = 3

2 ημω = -

1

2 και ανήκει στο πρώτο

τεταρτημόριο;

116. α. ημ3900 = συν300 Σ Λ

β. συν36820 = συν820 Σ Λ

γ. ημ(-ω) = - ημω = ημ(π + ω) = συν2

. Σ Λ

117. Υπάρχει γωνία ω για την οποία να ισχύει:

ημ2ω = 0 και συνω = - 1

2;

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

Α. ημΒ + συνΒ 1. 1

Β. εφΓ + σφΓ 2.

2

Γ. ημ2Γ + συν2Γ 3. 0

Δ. ημΒ συνΒ 4.

Ε. συνΑ ημΑ 5.

2



44

118. Αν ημω + συνω = 2 τότε η τιμή της παράστασης Α = εφω + σφω

είναι ίση με: Α. 1 Β. 2 Γ. 3 Δ. 1

2 Ε. 2 2

119. Να αποδείξετε την ταυτότητα : εφ2ω = ημ2ω + ημ2ω εφ2ω.

120. Αν εφω = 1 2 τότε η σφω είναι ίση με:

Α. 2 Β. 1 Γ. 2 1 Δ. 1

2 1 Ε. -1

121. Αν ημω = 5

13 και 900 < ω < 1800 να βρείτε τους άλλους

τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

122. Αν α + β = 2

τότε:

Α. εφα εφβ = 1 Β. ημα + ημβ = 3 Γ. συνα = - 2 Δ. ημα + συνβ = 0

123. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω:

α) ημ13

6

= ……

β) συν10

3

= …..

γ) εφ2005

4

= …..

124. Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημ2

= ……….

125. Η παράσταση: σφ100 σφ200 σφ300 … σφ700 σφ800 είναι

ίση με:

Α. 1 Β. -1 Γ. 0 Δ. 3 Ε. 4


Α =

3 21 17

2 2 2

1821π(19 ) συν(8π-x) σφ

2

x x x

x x

127. Αν π < ω < 3

2

και το ημω είναι λύση της εξίσωσης :

2x2 – x – 1 = 0 , να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της



45

γωνίας ω.

128. Αν εφx = 2

3 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Α =

4

3

2 συνx

x x

x

129. Να δείξετε ότι:

200420042004

2004

1 1

1 1

x xx

x x

.

130. Αν ημ120 = 1 3

4

να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς

της γωνίας: 780 .



46

3.5. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις


1. Περιοδικές συναρτήσεις

Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική , όταν υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος , ώστε για κάθε xA να ισχύει: α) x + T A , x – T A και

β) f(x + T) = f(x – T) = f(x).

Ο αριθμός Τ ονομάζεται περίοδος της συνάρτησης f.

2. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις α. Η συνάρτηση f(x) = ημx

H συνάρτηση ημίτονο είναι περιοδική με περίοδο Τ = 2π και είναι

περιττή δηλαδή η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την

αρχή των αξόνων Ο (0, 0).

x 0 2

π

3

2

2π

ημx

0

1

μέγ.

0

-1 ελάχ.

0

0

2

π 3

2

2π

2

-π 3

2

-2π

1

-1

y = ημx



47

H συνάρτηση ημίτονο είναι:

γνησίως αύξουσα στα διαστήματα

2,0

και

2,

2

3

γνησίως φθίνουσα στο διάστημα

2

3,

2

H συνάρτηση ημίτονο παρουσιάζει:

μέγιστο για x =2

το ημ

2

=1 και

ελάχιστο για x =2

3 το ημ

2

3= -1

Η μελέτη της συνάρτησης ημίτονο γίνεται σε διάστημα πλάτους 2π.

β. Η συνάρτηση f(x) = συνx

x 0

2

π

3

2

2π

συνx

1 μέγ

0

-1 ελάχ.

0

1 μέγ.

H συνάρτηση ημίτονο είναι περιοδική με περίοδο Τ = 2π και είναι

άρτια

δηλαδή η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον y΄y.

H συνάρτηση συνημίτονο είναι: γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ,0 και

γνησίως αύξουσα στο διάστημα 2,

H συνάρτηση συνημίτονο παρουσιάζει:

μέγιστο για x = 0 το συν0 = 1 και

ελάχιστο για x = π το συνπ = -1

1

-1

0

y = συνx

-2π 3

2

-π

2

2

π 3

2

2π



48

Η μελέτη της συνάρτησης συνημίτονο γίνεται σε διάστημα πλάτους 2π.

γ. Η συνάρτηση f(x) = εφx

Η συνάρτηση εφαπτομένη συμβολίζεται με εφ, και ορίζεται με τον τύπο

x

xx

, xR -

,2

H συνάρτηση εφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο Τ = π και είναι

περιττή δηλαδή η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την

αρχή των αξόνων Ο(0,0).

H συνάρτηση εφαπτομένη είναι:

γνησίως αύξουσα στο διάστημα

2,

2

Η x = 2

είναι κατακόρυφη εφαπτομένη της γραφικής παράστασης

της f(x) = εφx

Η μελέτη της συνάρτησης εφαπτομένη γίνεται σε διάστημα πλάτους π.

Παρατήρηση

Οι συναρτήσεις f(x) = ρημωx και g(x) = ρσυνωx , ω > 0

Έχουν: ▪ Μέγιστη τιμή : ρ

▪ Ελάχιστη τιμή: -ρ

▪ Περίοδο Τ = 2

y = εφx

2

2

0 π -π 3

2

3

2



49

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

131. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω

συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων: f(x) = 3ημx , g(x) = 2ημx , h(x) = -3ημx 0 2x

132. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων: f(x) = 3συνx , g(x) = 2συνx , h(x) = -3συνx 0 2x

133. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων:

f(x) = συνx , g(x) = 1 + συνx , h(x) = -1 + συνx

134. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων: f(x) = ημx , g(x) = ημ4x , 0 2x


f(x) = συνx , g(x) = συν4x , 0 2x


f(x) = ημx , g(x) = 2ημ3x , 0 2x

137. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων: f(x) = συνx , g(x) = 2συν3x , 0 2x


συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων:

f(x) = ημx , g(x) = 3ημ2

x , 0 2x



f(x) = συνx , g(x) = 2συν3

x , 0 2x





50

f(x) = εφx , g(x) = 2 + εφx , h(x) = -2 + εφx


συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων: f(x) = σφx , g(x) = 1 + εφx , h(x) = -1 + εφx

142. Δίνεται η συνάρτηση : ( )2

f x x x

.

α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης είναι: f(x) = 2ημx. β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x).

143. Δίνεται η συνάρτηση : 3

( ) 3 32 2

f x x x

.

α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης είναι: f(x) = 2συν3x.

β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x). γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = - f(x).

144. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α ημβx , α , β>0. Αν η f έχει μέγιστο το 2 και περίοδο Τ = 4π να βρείτε τα α και β και να

σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x).

145. Να παρασταθούν γραφικά οι παρακάτω συναρτήσεις:

α) f (x) = 2ημx β) f (x) = ημ4x

γ) f (x) = 2συν2

x

δ) f (x) = εφ2

x

ε) f (x) = 1 + ημx

στ) f (x) = ημ

4

x

ζ) f (x) = -1 + 3ημ2

x

η) f (x) = ημ4

x

θ) g(x) = 1 + 2συν3

x

146. Nα βρείτε την περίοδο και την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων

f(x) = 3συν5

x και f(x) = 5ημ(-2πx)



51

147. Aν η συνάρτηση f(x) = (2 – α)ημβx , α > 2 και β > 0 έχει περίοδο

το 2

και μέγιστη τιμή το 3 να βρείτε τα α ,β.

148. Έστω η συνάρτηση f(x) = 3

2 3

x

α) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f . β) Να λύσετε γραφικά την εξίσωση f(x) = 0 και την ανίσωση f (x) > 0 στο

[0,6π]

149. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = 2ημ2

x + συν

3

x έχει περίοδο

Τ = 12π.

150. Να βρείτε τις εξισώσεις των παρακάτω ημιτονοειδών καμπυλών:

2

-2

0

4

2

3

4

π

0 π 2π 3π 4π

2

3

2

3



52

151. Αν α ,β,γ,δ ,2

με α < β< γ < δ να διατάξετε σε μια σειρά από

τον μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς συνα , συνβ , ημγ , ημδ.

152. Aν x (2,3) να δείξετε ότι ημ3 < ημx < ημ2 και εφ2 < εφx < εφ3



53

3.6. Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις


Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

ημx = ημθx = 2κπ + θ ή x = 2κπ + π – θ ,κZ

συνx = συνθx = 2κπ + θ ή x = 2κπ – θ ,κZ

εφx = εφθx = κπ + θ , κZ

σφx = σφθx = κπ + θ , κZ

Ειδικές περιπτώσεις

ημx = 0 x = κπ , κΖ

συνx = 0 x = κπ + π

2 , κΖ

ημx = -ημθ ημx = ημ(-θ) ……..

συνx = -συνθ συνx = συν(π-θ) ..

εφx = -εφθ εφx = εφ(-θ) ……..

σφx = -σφθ σφx = σφ(-θ) …….

ημx = συνθ ημx = ημ2

.....

εφx = σφθ εφx = εφ2

.......



54

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

153. Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) ημx = 1

2

β) ημx = 2

2

γ) ημx = 3

2

δ) ημx = 1 ε) ημx = 0


α) συνx = 1

2

β) συνx = 2

2

γ) συνx = 3

2

δ) συνx = 1 ε) συνx = 0


α) ημx = -1

2

β) ημx = -2

2

γ) ημx = -3

2

δ) ημx = -1


α) συνx = -1

2

β) συνx = -2

2

γ) συνx = -3

2

δ) συνx = -1



55


α) εφx = 0 β) εφx = 1

γ) εφx = 3

3

δ) εφx = 3


α) σφx = 0 β) σφx = 1

γ) σφx = 3

3

δ) σφx = 3


α) εφx = -3

3

β) εφx = - 3

γ) εφx = -1


α) σφx = -3

3

β) σφx = - 3

γ) σφx = -1


α) (2 ) 2 2 0x x

β) 2 3 1 0x x

γ) 2 1 2 1 0x x

δ) 24 3 2 5 0x x


α) (1 ) 3 3 0x x

β) 3 3 1 0x x

γ) 22 1 3 0x x

δ) 24 1 0x x



56


α) 2ημ4x + 1 = 0

β) 2συν3

x + 3 = 0

γ) 2 29 3

3

x

δ) σφ24x – 3 = 0


α) 2ημ2

x

+ 3 = 0

β) 2συν 23

x

- 1 = 0

γ) 2 04

x


α) 2ημ2ω + 3ημω = 2 β) 2συν2x + συνx = 1

γ) σφ2t + 3 1 σφt - 3 = 0

δ) 3 εφ2x – 4εφx + 3 = 0

ε) συν2ω – 3συνω + 2 = 0

166. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ημ2ω – συν2ω + ημω = 0 β) 3 1x x

γ) συν2t + 5 ημ2t = 2


α) 2ημx + 2 = 0 στο διάστημα [0 , 2π).

β) 3 σφx – 3 = 0 στο διάστημα (3π , 5π).

γ) εφ2ω – 1 = 0 στο διάστημα [0 , 2π)

168. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ημx – συνx = 0 στο διάστημα (5π , 6π).

β) συνx - ημ6

x

= 0.

γ) ημ2x + συνx = 0.

δ) εφ3x - σφ 24

x

= 0 στο διάστημα [0 , 2π).



57


α) 2

1

x + 2εφx = 0.

β) εφx συν2x + 1 = εφx + συν2x. γ) ημx – συνx + ημxσυνx = 1.

δ) συν23x – συν24

x

= 0.

ε) εφx 3x = 2.

στ) 1 2

2 1

x x

x x

στο διάστημα [0 , 2π).

ζ) 1

52

x .

η) 2 22 3 03

x x

.

θ) ημ4x + συν4x = 1

2.

170. Να βρείτε για ποιες τιμές του x , καθεμιά από τις επόμενες

συναρτήσεις έχει τη μέγιστη και για ποιες την ελάχιστη τιμή της:

α) f(x) = 5ημ3

x

, 0 2πx .

β) g(x) = 2συν 24

x

, 0 2πx .

171. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (ημ4x + συν4x)(εφx + σφx)2.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f. β) Να αποδείξετε ότι: f(x) = εφ2x + σφ2x. γ) Να λύσετε την εξίσωση: f(x) = 2. (Εξετάσεις 2000)

172. Να λυθούν οι εξισώσεις :

α) εφ

xx

432

β) 1 + 3 = 3 εφx + σφx

γ) ημx = συνx

δ) εφx - σφ 026

x

στο [0,2π)

ε) 2 ημx + 1 = 0 στο διάστημα [-π ,π] στ) ημ2x – 3|ημx| + 2 = 0

ζ) συν3x = ημ4

x



58

η) σφ 23

x

- εφ 03

x

θ) συνx(1 + εφ2x) – εφx = συνx

ι) 2

3 2 31

x x

ια) 3εφx = ημx

ιβ) εφ2x – (1 - 3 )εφx - 3 = 0

ιγ) 8συν3x + 1 = 0 ιδ) 9εφ4x – 1 = 0 ιε) εφ2x = 4συν2x – 1

ιστ) 2

13 1

2x

x

ιζ) ημx = 3 συνx

ιη) 2 1 0, [ 1,3]2

xx

173. Nα λυθεί η εξίσωση εφ5x σφ10x = 1

174. Δίνεται η f(x) = -3 – συν2x + 3ημ5x – (1- ημx)2. α) Nα αποδείξετε ότι f(x) = 2ημx + 3ημ5x – 5. β) Nα λύσετε την εξίσωση f (x) = 0.

175. Να λυθεί η εξίσωση ημ7x + συν2x = -2.



59

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

Αντίθετες γωνίες

Παραπληρωματικές γωνίες

Συμπληρωματικές γωνίες

Γωνίες που διαφέρουν κατά π

ημ(-x) = -ημx

συν(-x) = συνx

εφ(-x) = - εφx

σφ(-x) = - σφx

ημ(π-x) = ημx

συν(π-x) = -συνx

εφ(π-x) = -εφx

σφ(π-x) = -σφx

ημπ

x2

= συνx

συνπ

x2

= ημx

εφπ

x2

= σφx

σφπ

x2

= εφx

ημ(π+x) = -ημx

συν(π+x) = -συνx

εφ(π+x) = εφx

σφ(π+x) = σφx

Τριγωνομετρικές ταυτότητες Οι συναρτήσεις f(x) = ρ ημωx , g(x) = ρ συνωx

ημ2x + συν2x = 1

εφx = ημx

συνx

σφx = συνx

ημx

εφx σφx = 1

Είναι περιοδικές με περίοδο Τ = 2π

ω

Μέγιστη τιμή : ρ Ελάχιστη τιμή : -ρ

Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

ημx = ημα x = 2κπ + α ή

x = 2κπ + π – α ,κZ

συνx = συνα x = 2κπ + α ή

x = 2κπ – α ,κZ

εφx = εφα x = κπ + α , κZ

σφx = σφα x = κπ + α , κZ

ημx = -ημαημx = ημ(-α)……….

συνx = -συνα συνx = συν(π-α) ….

εφx = -εφα εφx = εφ(-α) ………

σφx = -σφα σφx = σφ(-α) …….

ημx=συναημx=ημ2

.......

εφx=σφα εφx=εφ2

........

Ειδικές περιπτώσεις

ημx = 0 x = κπ , κΖ

συνx = 0 x = κπ + π

2 , κΖ



60

Γωνία ω Τριγωνομετρικοί αριθμοί

Σε μοίρες Σε rad ημω συνω εφω σφω

00 0 0 1 0 Δεν ορίζεται

300 6

1

2

3

2

3

3 3

450 4

2

2

2

2 1 1

600 3

3

2

1

2 3

3

3

900 2

1 0 Δεν ορίζεται 0

1800 π 0 -1 0 Δεν ορίζεται

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Πολυώνυμα


61

► ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ



62

2.1 Πολυώνυμα

1. Πολυώνυμο του x

‣ Είναι κάθε παράσταση της μορφής:

P(x) = ανxν + αν -1xν -1 + … + α1x + α0 , με ν : φυσικός αριθμός και αν , αν -1 , … , α1 , α0 : πραγματικοί αριθμοί που λέγονται συντελεστές του πολυωνύμου.

‣ Ο α0 λέγεται σταθερός όρος του πολυωνύμου .

‣ Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο .

2. Ίσα πολυώνυμα Αν P(x ) = ανxν + αν -1xν -1 + … + α1x + α0 και

Q(x) = βμxμ + βμ -1xμ -1 + … + β1x + β0 με μ ν , τότε: P(x) = Q(x) όταν: α0 = β0 , α1 = β1 , … , αμ = βμ και αμ+1 = αμ+2 = … = αν = 0

3. Βαθμός πολυωνύμου

Αν P(x) = ακxκ + ακ -1xκ -1 + … + α1x + α0 με ακ≠0 , ο αριθμός κ λέγεται βαθμός του πολυωνύμου P(x).

‣ Κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0.

‣ Για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός.

4. Αριθμητική τιμή πολυωνύμου

Έστω P(x) = ανxν + αν -1xν -1 + … + α1x + α0 και ρ .

Για x = ρ , ο πραγματικός αριθμός: P(ρ) = ανρν + αν -1ρν -1 + … + α1ρ + α0 λέγεται αριθμητική τιμή ή τιμή του πολυωνύμου για x = ρ.

5. Ρίζα πολυωνύμου

Έστω P(x) = ανxν + αν -1xν -1 + … + α1x + α0 και ρ . Αν P(ρ) = 0 , τότε το ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου .



63

176. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ τα παρακάτω πολυώνυμα είναι

το μηδενικό πολυώνυμο: α) P(x) = (4λ2 – 1)x2 + (2λ – 1)x + 2λ2 – λ. β) Ρ(x) = (4λ2 – 9)x2 + (9λ – λ2)x + 3 – 2λ.

γ) Ρ(x) = (λ3 + 8)x3 + (λ2 + 2λ)x + 2

+ 1.

δ) P(x) = (λ2 – 1) x4 + (λ2 + λ – 2)x2 + λ2 – 4λ + 3.

177. Να βρείτε τις τιμές του μ για τις οποίες τα πολυώνυμα Ρ(x ) και

Q(x) είναι ίσα: α) P(x) = -8x3 + 4x2 + μ2 – 2μ – 8 , Q(x) = μ2x2 – 8x3 . β) P(x) = (μ2 – 5μ)x4 + 4x3 + μ , Q(x) = -6x4 + μ2x3 + (μ3 – 8)x + 2.

γ) P(x) = 2x3 + μ2x2 – μ2 + 9 , Q(x) = 2x3 + (μ + 12)x2 + (μ2 – 9)x.

178. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το -1 είναι ρίζα του πολυώνυμου Ρ(x) = x3 + 8x2 + 6λx + λ2 + 1.

179. Να βρείτε τις τιμές των α , β ώστε το πολυώνυμο:

Ρ(x) = x3 + αx2 + (β – 2)x + 6 να έχει ρίζες τις : 2 , -1.

180. Για ποιες τιμές των λ , μ το πολυώνυμο :

P(x) = x3 + λx2 + μx + 4 έχει ρίζα το 2 και η τιμή του για x = 1 είναι ίση με 8.

181. Για ποιες τιμές των λ , μ το πολυώνυμο: P(x) = 2x3 + λx2 – μx + 12 έχει ρίζες τις -2 και 3.

182. Να βρείτε πολυώνυμο P(x) δευτέρου βαθμού με ρίζες το -1 και το

1

2 και για το οποίο να ισχύει: P(0) = 7.

183. Να δείξετε ότι αν το πολυώνυμο P(x ) = (α – 1)x3 + βx – 1 έχει ρίζα το 1 , τότε το πολυώνυμο Q(x) = (α – 1)x3 + βx + 1 έχει ρίζα το -1.

184. Να βρείτε για τις διάφορες τιμές του λ το βαθμό των παρακάτω

πολυωνύμων: α) P(x) = (λ3 – λ)x4 + (λ2 – λ)x3 + 1 – λ. β) Q(x) = (λ + 1)x2 + 2λx + 3.

γ) R(x) = (λ5 – 16λ)x2 + (4 – λ2)x + 2 –λ.

185. Να βρείτε τις τιμές των α , β , γ ώστε το πολυώνυμο

2.1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ



64

Q(x) = 2x2 – 1 να παίρνει τη μορφή: α(x – 3)(x + 3) + (α – β)x + βx2 + γ.

186. Να βρείτε το πολυώνυμο P(x) για το οποίο ισχύει:

(x2 + 2)P(x) = 3x4 + 4x3 + 8x – 12.

187. α) Να βρείτε τα α , β ώστε για κάθε x με x 0 και x -1 να

ισχύει: 2

1 α β= +

x + x x x +1.

β) Να υπολογίσετε το άθροισμα: S =

1 1 1 1+ + + ... +

1 2 2 3 3 4 ν(ν +1).

188. Να βρεθεί η τιμή του λ για την οποία το πολυώνυμο : P(x) = (λ+2) x3 – (λ2+λ-2) x +λ2- 4 να είναι το μηδενικό

πολυώνυμο.

189. Δίνονται τα πολυώνυμα P(x) = 2x2 – x + 1 και Q(x) =1 – x.

Να βρεθούν τα: i) Q [Q(x)] ii) Q [P(x)]

iii) P [Q(x)] iv) Q [1- Q(x)]

v) Q [2- Q(x-1)]

190. Αν α3 + β3 + γ3=3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυμο

P(x)= (α+β) x2 +(β-γ) x +γ-α είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

191. Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο P(x)= (κ-2) x2 + (2λ+6) x + κ +λ -3 είναι διάφορο του μηδενικού.

192. Να βρεθεί για ποιες τιμές των κ ,λ ,μ είναι ίσα τα πολυώνυμα:

P(x)= λx2 – (λ-κ) x + μ-2λ

Q(x)= (μ-λ) x2 + 4x + κ + λ

193. Να προσδιοριστεί ο α ώστε το πολυώνυμο:

P(x)= 9x3 – 3x2 + 8x + 27 να παίρνει την μορφή: α(x3+ x)–3x2+(x-3)(x2 +3x+9)

194. Να βρεθεί πολυώνυμο Κ(x) τέτοιο ώστε το τετράγωνο του να ισούται

με το: P(x)= x4 + 2x3 – 3x2 - 4x + 4

195. Να δειχθεί ότι για κάθε κR το πολυώνυμο:

P(x)= (κ-1) x5 + (3κ2+2) x3 + κx δεν έχει ρίζα το 1

2.



65

196. Αν το πολυώνυμο P(x)= x2 + (α-1) x +2α έχει ρίζα το -1 αποδείξτε ότι το ίδιο ισχύει και για το Κ(x)= x 3 + 4x2 + (α2-1) x.

Το αντίστροφο ισχύει;

197. Δίνεται το πολυώνυμο P(x)= x2 +2x +5. Να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός α αν ισχύει: P(α -1) = 13.

198. Αν η διαφορά δύο πολυωνύμων βαθμού ν είναι το μηδενικό πολυώνυμο, δείξτε ότι τα πολυώνυμα είναι ίσα.

199. Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα f(x)= κx2 + λx +μ , κ 0 , τα οποία επαληθεύουν τη σχέση f(x+1) – f(-x) =0.

200. Να βρεθεί πολυώνυμο P(x) τρίτου βαθμού , το οποίο να έχει ρίζα

το 0 και να ικανοποιεί τη σχέση P(x-1) = P(x) – x2.

201. Aν ο αριθμός -2 είναι ρίζα ενός πολυωνύμου P(x) , να αποδειχθεί

ότι ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Q(x)= 3x – 3 – P(3x-5).

202. Nα βρείτε πολυώνυμο P(x) πρώτου βαθμού ώστε: i) P(P(x)) = x – 1 ii) P(x) + P(P(x)) =12x

203. Να βρείτε πολυώνυμο P(x) τέτοιο ώστε :

P(x) + [P(x)]2 = 2x(2x+3)+2.

204. Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P(x) για τα οποία είναι:

[P(x)]2 = x4 + 6x3 +5x2 – 12x +4.

205. Να αποδειχθεί ότι το πολυώνυμο P(x) = 6x3 – x2 + 1 δεν μπορεί να

γραφεί ως γινόμενο δύο πολυωνύμων με ένα παράγοντα το 3x2 – x + 1.

206. Να βρείτε πολυώνυμο P(x) τέτοιο ώστε:

i) P(x-1) = (x-1)2

ii) P(x-1) = 2x-3 iii) P(2x-3) = x-1 iv) P(x) = 3x2 –x

207. Υπάρχει μη σταθερό πολυώνυμο P(x) τέτοιο ώστε (P(x)) 2 = P(x);

Βρείτε όλα τα πολυώνυμα P(x) για τα οποία ισχύει [P(x)] 2 = P(x).

208. α) Να βρείτε πολυώνυμο P(x) ελάχιστου βαθμού τέτοιο , ώστε:

P(x) – P(x – 1) = x. β) Να υπολογίσετε το άθροισμα: S = 1 + 2 + 3 + … + ν.

209. Να βρείτε πολυώνυμο P(x) πρώτου βαθμού για το οποίο να ισχύει:



66

P(P(x)) = 4x – 1.

210. Να βρείτε πολυώνυμο P(x) τέτοιο , ώστε:

2 2

P(x)+ P(x) = 9x +21x +12 .



67

2.2 Διαίρεση πολυωνύμων

Θεώρημα 1ο (Ταυτότητα της διαίρεσης) Για οποιαδήποτε πολυώνυμα Δ(x) και δ(x) με δ(x) 0 υπάρχουν δύο

μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υ(x) τέτοια , ώστε: Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x)

όπου το υ(x): ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο

Παρατηρήσεις

1) Σχηματικά η διαίρεση των πολυωνύμων παριστάνεται ως εξής:

Δ(x) δ(x)

π(x)

υ(x) Δ(x ) = δ(x )π(x ) + υ(x)

2) Το Δ(x) λέγεται Διαιρετέος

Το δ(x) λέγεται διαιρέτης Το υ(x) λέγεται υπόλοιπο

3) Αν υ(x) = 0 τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και η ταυτότητα της

διαίρεσης γράφεται: Δ(x) = δ(x) π(x) Τότε λέμε ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x)

ή ότι το δ(x) είναι παράγοντας του Δ(x) ή ότι το Δ(x) διαιρείται με το Δ(x)

Θεώρημα 2ο Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x ) με το x – ρ είναι ίσο με το P (ρ)

Σχηματικά:

Ρ(x) x - ρ

π(x) υ = P(ρ)

Θεώρημα 3ο Ένα πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x – ρ αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0



68

211. Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα

της διαίρεσης σε κάθε περίπτωση: α) (-3x4 + x2 – 2x + 4) : (x2 – x + 1) β) (4x3 – 5x2 + 2x + 3) : (x2 + 3x + 2)

γ) (-2x5 – 3x4 + 3x2 -2x + 3) : (2x2 + 3x + 1) δ) (3x4 – 4x3 – 6x2 – 5x + 2) : (x4 +2) ε) x5 : (x – 1)3

στ) (3x3 – 5αx2 + 3α2x – 2α3) : (3x2 – 2αx + α2) ε) (x3 + αx2 – α2x – α3) : (x + α)

212. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού κ για τις οποίες το

x – 2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου P(x) = 4 2 23

- x -2κx +4κ4

.

213. Να βρείτε τις τιμές των α , β για τις οποίες το πολυώνυμο:

P(x) = αx3 + 2x2 – βx + 4 έχει παράγοντες τα x – 1 και x – 2.

214. Να βρείτε τις τιμές των α , β για τις οποίες το πολυώνυμο: P(x) = x4 + 2x3 - 7x2 + αx + β έχει παράγοντες τα x – 1 και x + 3.

215. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το

υπόλοιπο των παρακάτω διαιρέσεων: α) (-2x4 + 4x3 – x + 4) : (x – 2) β) (x8 + 3x2 + 1) : (x – 1)

γ) (2x5 – 7x3 – 3x2 + 2x – 5) : ((x + 2) δ) (-6x4 + 5x3 + 38x2 + 17x – 12) : (x – 3)

ε) (3x3 + 5x2 – 6x – 2) : (x + 1

2)

στ) (5x4 – 3α2x2 + α4) : (x + α)

216. Για ποια τιμή του λ το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) = 3x4 – x3 – λx + 2 με το x – 1 είναι ίσο με 3;

217. Αν το x + α είναι παράγοντας του πολυωνύμου :

P(x) = x3 + αx2 + x + β , να δείξετε ότι το x + β είναι επίσης παράγοντας του P(x).

218. Να βρεθεί ο α ώστε το x – α να είναι παράγοντας του πολυωνύμου : P(x) = x3 – α2x2 + 3α2x – α3.

219. Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών κ , λ ώστε το

πολυώνυμο:




69

P(x) = 3x4 + κx3 + 5x2 + 9x – λ να διαιρείται με το x2 – 1.

220. Αν το x – α είναι παράγοντας του P(x) , να δείξετε ότι το x + α + 1 είναι παράγοντας του P(-x – 1).

221. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το (x – 2)(x – 3)

αν είναι γνωστό ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x – 2

είναι 10 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x – 3 είναι 15.

222. Τα υπόλοιπα της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι ίσο με 3 και με το x – 3 είναι ίσο με 15. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης

του P(x) με το x2 – 2x – 3.

223. Τα υπόλοιπα των διαιρέσεων του P(x) με τα x + 2 και 2x – 1 είναι

αντίστοιχα -1 και 4. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το (x + 2)(2x – 1).

224. Αν f(x) = x2 – 3x + 2, να γίνει η διαίρεση:

[ f(x) + f(x – 1) – f(x + 2)] : (x – 8)

225. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυώνυμου P(x) με το

πολυώνυμο x2 + 5x +6 είναι 5x + 1 , να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x + 2).

226. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x3 + λx2 – 20x + 6.

i) Να βρεθεί το λ ώστε το P(x) να έχει παράγοντα το x – 3 .

ii) Για ποια τιμή του λ το υπόλοιπο της διαίρεσης : P(x) : (x – 2) είναι το 2 ;

227. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6. i) Να βρείτε το υπόλοιπο υ1 της διαίρεσης του P(x) με το x – 2 και

το υπόλοιπο υ2 της διαίρεσης του P(x) με το x + 1. ii) Να εξετάσετε αν το P(x) έχει παράγοντα το x – 3 .

iii) Να γράψετε το P(x) ως γινόμενο τριών πρωτοβάθμιων

πολυωνύμων.

228. Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης : P(x) : (x – α + β) , όπου P(x) = x3 + 3αβx – α3 + β3.

229. Αν τα πολυώνυμα P(x) = x3 – αx + 30 και Q(x) = αx4 + 2x – 2 δίνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν με το x + 2 , να βρεθεί η

τιμή του α .

230. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς κ ,λ ώστε αν το

πολυώνυμο P(x) = x4 + 1 διαιρεθεί με το πολυώνυμο x2 + κx + λ να



70

αφήνει υπόλοιπο 0.

231. Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + αx2 + βx + 4 διαιρείται ακριβώς με το x – 2 και εάν επιπλέον f(1) = 8, να προσδιοριστούν τα α , β.

232. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = 2x3 + αx2 +-13x + β.

Αν το P(x) διαιρείται με το x2- x – 6, τότε να προσδιοριστούν τα α ,

β.

233. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = λ2x2 + 2 (λ2 – 3λ +1) x - 3 (4λ + 1).

Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x + 2) είναι ανεξάρτητο του λ.

234. Έστω P(x) ένα πολυώνυμο.

Να αποδείξετε ότι οι διαιρέσεις :

P(x + 1) : (x – 1) και P(2x + 3) : (x + 3) έχουν το ίδιο υπόλοιπο.

235. Να αποδείξετε ότι αν το πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x – 5, τότε το πολυώνυμο P(2x – 3) , έχει παράγοντα το x – 4.

236. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ , λ ώστε το πολυώνυμο P(x) = x3 – κx2 + (λ – 1) x + 5 να έχει για παράγοντα το (x – 1)(x + 2).

237. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α , β ώστε το

πολυώνυμο P(x) = x3 – x2 – (3 + α) x + β + 10 να έχει για παράγοντα το (x – 2)2.

238. Το πολυώνυμο P(x) διαιρούμενο με x – 2 αφήνει υπόλοιπο 10 και διαιρούμενο με το x + 3 αφήνει υπόλοιπο 5. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το ( x – 2 )( x + 3 ).

239. Το πολυώνυμο P(x) διαιρούμενο με x + 2 αφήνει υπόλοιπο 3 και

διαιρούμενο με x2 – 4x + 3 αφήνει υπόλοιπο 2x + 7. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x): (x + 2)(x 2 – 4x +3).

240. Να βρεθεί η τιμή του λ για την οποία το υπόλοιπο της διαίρεσης [2λx3 – (λ + 1)x – 3] : (2x + 3) είναι ίσο με 9.

241. Να βρεθεί για ποια τιμή του λ R * το πολυώνυμο:

f(x) = x3 – 5x2 + 6

λ διαιρείται με το λx – 1.

242. Να βρεθεί πολυώνυμο 2ου βαθμού ώστε οι διαιρέσεις του με τα x – 1 , x και x + 2 να δίνουν υπόλοιπο 4, 3 και 13 αντίστοιχα.

243. Να αποδείξετε ότι: i) ένα πολυώνυμο P(x) διαιρείται με το (x – α)(x – β) αν και μόνο



71

αν διαιρείται με καθένα από τα x – α , x – β (όπου α , β R με

α β) ii) το πολυώνυμο (x – 1)2ν + xν – 1 διαιρείται με το x2 – x .

244. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β ώστε το πολυώνυμο

P(x) = x4 – x3 + (α + β)x2 + (α + β)x + 4 να διαιρείται με τη

μεγαλύτερη δυνατή δύναμη του x + 1. Ποιος είναι σε αυτή την περίπτωση ο εκθέτης του x + 1;

245. Nα εξεταστεί για ποιες τιμές του φυσικού αριθμού ν το x + 2 είναι

παράγοντας του xν + 2ν. Για αυτές τις τιμές του ν, το x ν + 2ν να

γίνει γινόμενο δύο πολυωνύμων.

246. Αν το πολυώνυμο P(x) = αx ν + 1 + βxν + 1 έχει παράγοντα το

( x – 1 )2 αποδείξτε ότι το πολυώνυμο Q(x) = ( ν + 1 ) αx ν + νβxν – 1

.

247. Αν το πολυώνυμο P(x) = (ν + 1) x ν – νxν + 1 + α διαιρείται με το x – 1 , τότε αποδείξτε ότι διαιρείται και με το ( x – 1 )2.

248. Αν το πολυώνυμο φ(x) διαιρεί τα πολυώνυμα f(x) και g(x), να

αποδείξετε ότι διαιρεί και το λf(x) + μg(x), όπου λ , μR.



72


α) 9x4 = 4x2

β) x3 + 7x2 – 2x -14 = 0 γ) 5x5 + 3x4 = 5x3

+ 3x 2

δ) x5 – 32 = 0 ε) x3 – 5x – 6 = 0 στ) 4x3 – 4x2 – x + 1 = 0

ζ) x4 + x3 + x + 1 = 0 η) (x + 2)(x2 – 2x + 4) + 3(x2 – 4) = 0

250. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x3 – x2 = x – 1

β) x3 – 2x2 – x + 2 = 0 γ) 2x3 – x2 + 2x – 1 = 0 δ) 2x4 – x3 + 3x2 – 2x = 2


α) 3 21 1 1

x + x + x +1= 010 5 2

β) 3 21 1 7

x + x + x +1= 06 3 6

252. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) ω6 – 9ω3 + 8 = 0

β) 6 3

x +7 -9 x +7 +8 = 0

253. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των

παρακάτω συναρτήσεων με τον άξονα x΄x: α) f(x) = 4x4 – 9x2 – 2x + 3 β) g(x) = 6x3 – 5x2 – 44x + 15

254. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις δεν έχουν ακέραιες ρίζες:

α) x3 + 5x – 3 = 0

2.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις - ανισώσεις

Θεώρημα (ακεραίων ριζών)

Έστω η πολυωνυμική εξίσωση α νxν + αν -1xν -1 + … + α1x + α0 = 0 με ακέραιους συντελεστές.

Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης , τότε ο ρ είναι διαιρέτης

του σταθερού όρου α0.




73

β) 5x2006 + 3x2004 + 4x2 + 1 = 0

255. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) 2x3 + 5x2 + x – 2 > 0

β) – x3 + 6x2 + 6x + 7 < 0 γ) x5 – 4x3 x2 - 4 δ) x4 – 3x3 + 5x2 – 9x - 6

256. Να βρείτε τα διαστήματα , στα οποία οι γραφικές παραστάσεις των

παρακάτω συναρτήσεων βρίσκονται πάνω από τον άξονα x΄x:

α) f(x) = x3 + 5x2 + 2x – 8 β) g(x) = x4 - 3x3 – 2x2 + 12x – 8

257. Να βρείτε τα διαστήματα , στα οποία οι γραφικές παραστάσεις των

παρακάτω συναρτήσεων βρίσκονται κάτω από τον άξονα x΄x:

α) f(x) = x3 + x2 + 8x + 8 β) g(x) = 2x3 – x2 + x – 2

258. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x3 και g(x) = 3x – 2.

α) Για ποιες τιμές του x η γραφική παράσταση της f βρίσκεται

πάνω από τον άξονα x΄x ; β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και g.

γ) Για ποιες τιμές του x η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g ;

259. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε το x – 1 να είναι

παράγοντας του πολυωνύμου: P(x) = λ x3 + 2 λ3 x2 – λ2 x – 2.

Στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση: Ρ(x) = 0.

260. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α , β , γ ώστε το

πολυώνυμο :P(x ) = αx4 + βx3 + x2 + γx – 6 να έχει παράγοντες τους x – 2 και x + 1 και αν διαιρεθεί με το x – 1 δίνει υπόλοιπο -8.

Μετά να λύσετε την ανίσωση: P(x) 0.

261. Αν υ είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου:

Ρ(x) = 2001x2004 + x1002 + 2 με το x – ρ , τότε: α) Να δείξετε ότι υ > 0.

β) Να λύσετε την ανίσωση: Ρ(1) x3 – P(0) x – 2002 > 0.

262. Να βρείτε τα α , βR ώστε το πολυώνυμο:

Ρ(x) = x3 + 5x4 – αx3 – βx2 + 5x + 1 διαιρούμενο με το x2 – 3 δίνει υπόλοιπο υ(x)=32x + 64. Για τις τιμές των α και β που βρήκατε να λύσετε την εξίσωση:

P(x) = 0 καθώς και την ανίσωση: Ρ(χ) < 0 .

263. Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού, το οποίο διαιρείται με το

πολυώνυμο x2+1, έχει ρίζα το 0 και του οποίου το άθροισμα των



74

συντελεστών είναι ίσο με 2. α) Να αποδείξετε ότι Ρ(x) = x3 + x .

β) Να λύσετε την ανίσωση: (Ρ(x) – 2)3 + (Ρ(x) –2)2 + Ρ(x) > 2.

264. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις και ανισώσεις :

i) x4 – 5x3 + 6x2 + x – 2 = 0 ii) x4 – 2x3 – 7x2 + 8x +12 = 0 iii) (x3 – 2x) x + x + 2 = 0

iv) (x – 1) (x4 + 4) – 3 (x + 4) = 0 v) x6 – 9x3 + 8 = 0 vi) (x + 2)8 – 3 (x + 2)4 – 4 = 0

vii) (x2 + 3x – 2)6 – 9 (x2 + 3x – 2)3 + 8 = 0 viii) (x3 – 11x +12)4 – 3(x3 – 11x + 12)2 – 4=0

ix)

2

x -1

x -

x -1

x

+ 6 =0

x) (2ημx – 1)4 + 6(2ημx – 1)2 – 7 = 0

xi) 2συν4x – 5συν3x + 5συνx – 2 = 0

265. Να λυθούν οι ανισώσεις :

i) x3 – 2x2 – x + 2 > 0 ii) x3 + 3x 5x2 – 9

iii) 3x4 – x3 – 9x2 + 9x - 2 0 iv) x4(3x – 4) 10x2 ( 2x – 1) + 6 – 17x

v)

3x + 2x - 4

x - 2 1

vi) 3x + 7 < x + 3

266. Αν κ ακέραιος αριθμός να δειχθεί ότι η εξίσωση: 5x2ν + 9κx – 1 = 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες.

267. Αν κ, λ ακέραιοι αριθμοί να δειχθεί ότι η εξίσωση:

8λx2ν – 2 (κ – 1)x + 1 =0 δεν έχει ακέραια λύση.

268. Δίνεται η εξίσωση x5 – αx3 + βx2 + x – 1 = 0. Να βρεθούν οι

πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε η εξίσωση να έχει το ανώτερο

δυνατό πλήθος ακέραιων ριζών.

269. Δίνεται η εξίσωση x5 + x4 + κx + λ = 0. Να προσδιοριστούν οι κ, λ ώστε το πολυώνυμο να έχει ρίζα το -1 με πολλαπλότητα 2 (διπλή ρίζα). Μετά να βρεθούν και οι άλλες ρίζες της εξίσωσης.

270. Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του κ για τις οποίες η εξίσωση:

x3 + κx2 + x–3 =0 έχει:

i) μια τουλάχιστον ακέραια ρίζα, ii) μια ακριβώς ακέραια ρίζα.



75


α) 2

1 2 3- =

x -2 x +1 x - x -2

β)

2 2

2

3x -1 2 x -3x +2- =

x -1 x - x x

γ) 2

6 5 1- 8x- =

2x -1 2x +1 1- 4x

δ) 22 32

x 3 1- =

x +2x +1 x +1x +1 x - x +1


α) 4συν4x – 37συν2x + 9 = 0 β) 2ημ3x – 3συν2x – 11ημx – 3 = 0

γ) 4 2

2ημx -1 + 6 2ημx -1 - 7 = 0

δ) 4 3 2

εφ x -2εφ x -2εφ x +6εφx -3= 0


α) 3 5

x = -4x

β) 3x -2 = 4

γ) 3x - 2 = -4

δ) 1+ x = 3(x -1)

ε) 3x +1+ x -1 = 7x +1

στ) 1+ x = x -2

ζ) x +2 - x -6 = 2

η) 3x +4 + x +5 = 7

274. Να λυθούν οι ανισώσεις:

α) 5 - x > x - 3

β) x -5 >2- x

γ) x - 5 4 - x

δ) 2

x + x -12 x + 4

ε) 2

-x + x +2 > x - 4

στ) 2x +1 < 4-3x

2.4 Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές



76


α) x - 3 x + 2 = 0

β) x + x -2= 0

γ) 3 2 3x + x -12 = 0

δ) 5 2 5x + x - 6 = 0

276. Αντίστροφες

Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 2x4 + 5x3 + 4x2 + 5x + 2 = 0 β) 2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0

γ) x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1 = 0 δ) 6x4 + 25x3 + 12x2 – 25x + 6 = 0

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση


77

► ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ



78

Α. Στοιχεία Θεωρίας

f(x) = αx , α > 1 f(x) = αx , 0 < α < 1

Πεδίο ορισμού : R

Σύνολο τιμών : (0 , +)

Είναι γνησίως αύξουσα στο R

δηλ για κάθε x1 , x2 R ισχύει:

αν x1 < x2 , τότε 1 2x x

Γραφική παράσταση:

Α(0,1)

Πεδίο ορισμού : R

Σύνολο τιμών : (0 , +)

Είναι γνησίως φθίνουσα στο R


αν x1 < x2 , τότε 1 2x x


Α(0,1)

Νόμος εκθετικής μεταβολής

ct0Q(t)=Q e



79

Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α. Γραφική παράσταση

277. Να παραστήσετε γραφικά στο ίδιο σύστημα αξόνων τις συναρτήσεις:

α. f(x) = x2 και g(x) =

x1

2

β. f(x) = x2 και g(x) = x2 + 1 και h(x) = x2 - 1

γ. f(x) = x2 και g(x) = x-12 και h(x) = x+12

δ. f(x) = x2 και g(x) = x-12 + 1

ε. f(x) = xe και g(x) = -xe +1

ζ. f(x) = x

2 και g(x) = x

2

Β. Εξισώσεις


α. x3 81 0

β. x

1 1

3 27

γ. x

19

3

δ. x 12

8

ε. x

2 81

3 16

στ. x x 216 4

ζ. 2 3x x125 25

η. x 3

1 x6 1 0

θ. 3x 3x 2e 1

ι. x

3x 4 24 2 16

κ. 4 2x 5x 4

3 1 1


α. x 3 x 2 x 12 2 2 48

β. x x 1 x 23 2 3 2 3 1

γ. 2x x2 3 2 1 0

δ. 2x 1 x2 3 2 1 0

ε. x x 12 9 3 135 0



80

στ. x 1 1 x3 3 4 0

ζ. x 1 x4 2 4 2 33 0

η. 2 29 2 3 1 19 3 x x

θ. x 1 x43 3 1

3

ι. x x x

0,1 0,01 0,001 1


α. x 1 x 22 2 5

β. x 1 x 1 x x 27 3 18 3 6 2 8 2

γ. 1 1 1

x x x2 2 22 3 2 0

δ. x 2x2008 1925 7 0

281. Να λύσετε την εξίσωση: 282 4 6 2 *5 5 5 ... 5 0,04 , xx

.

282. Nα λύσετε την εξίσωση: 4ημx+1 - 9∙2ημx + 2 = 0.

283. Nα λύσετε την εξίσωση: 2x2 2ημ

ημ x2 +2 2 = 3 .

284. Να λύσετε στο 0,2

την εξίσωση: x x

x x

.


α. 3x 5

2x 3x 1 1

β. 2x 3x 1x x

γ. 22x -10x

2x -7x+10 = 1

286. Να βρεθούν οι αριθμοί x , y , ω οι οποίοι είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου , ο y είναι η ακέραια ρίζα της εξίσωσης

2 29 2 3 1 19 3y y και το άθροισμα των αντιστρόφων τους είναι ίσο με

11

6.

287. Αν οι αριθμοί α β γ2 , 2 και 2 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής

προόδου, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α, β και γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.



81

Γ. Ανισώσεις

288. Να λύσετε τις ανισώσεις:

α. 3x 3x 24 1

β. x 2 2x 13 9

γ.

22x 1 x 11 1

2 2

δ. 3 x 3x 1

1 1

2 16

ε.

2 5x 2x x

21 10

5 25

στ. 2x3 81

ζ.

22x x x 167 4

2 49

η.

4 3 2x 5x 3x x3 3

θ. x+3

1< 8

2

ι. x

4

2 16<

e e


α. x x4 6 2 8 0

β. x x x27 12 2 8 0

γ. x

x

2 +32

2 +1

δ. x

x

3 2 -1>1

2 4

ε. 2x x 1e e 0

στ. x xe +3 e -1 > 0

ζ. 2 x+1x+1 x3 4 +2 3 35 6

η. x

x

2 - 40

2 -8

290. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: f(x) = 2x x-13 -28 3 +3 .



82

291. Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f με f(x) =

2x -2

x1- e

e

βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x.

292. Να λύσετε στο (0 , 2π) την ανίσωση: 2 21 281 9 6x x .

293. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex – e και g(x) = e1-x –1 .Nα βρεθούν

τα κοινά σημεία των f ,g και να βρείτε τις τιμές των x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από της g.

Δ. Συστήματα

294. Να λύσετε τα συστήματα:

α. x y 1

y x 9

2 8

9 3

β.

2 2x -y2 = 256

5x +3y = 2(10 - y)

γ. x y 1

x 1 y 2

5 4 9

5 4 69

δ. x y

y x

2 3 = 72

2 3 =108

ε. x

x

2 3y

3 2y

στ. x+1 y

x y+1

3 +5 =106

3 +5 =152

ζ.

x y

yx

3 3 = 9

13 =

27

η. x

x

2 25y

5 4y

θ. 6 x y

3 5x y

27 81 3 3

2 8 2

ι. x y

x y

3 5 4

9 3 5 6



83

Ε. Ορισμός - Ιδιότητες εκθετικής συνάρτησης

295. Nα βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων:

α. g(x)=x

23α+

α

β. f(x) = x

5 -α

α+4

296. Δίνεται η εκθετική συνάρτηση x

f(x) = 3-α .

α. Να βρείτε τις τιμές του αR για τις οποίες ορίζεται στο R η συνάρτηση

f. β. Για ποιες τιμές του α η f είναι: 1) γνησίως φθίνουσα και 2) γνησίως αύξουσα;

297. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο:

x1

f(x)1


f.

β. Να βρείτε τις τιμές του αR για τις οποίες η f είναι εκθετική

συνάρτηση.

γ. Για ποιες τιμές του αR η f είναι γνησίως αύξουσα;

δ. Για ποιες τιμές του αR η f είναι γνησίως φθίνουσα;

298. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: x

2f(x)

1

.


f.

β. Για ποιες τιμές του αR η f είναι γνησίως φθίνουσα;

299. Δίνεται η συνάρτηση: 1

( ) .5

x

f x

α. Για ποιες τιμές του αR η f(x) είναι εκθετική συνάρτηση;

β. Να λυθεί η ανίσωση 2 6f x f x όταν -1 < α < 5.

300. Αν ισχύει: x -xe +e

f(x) =2

και x -xe +e

g(x) =2

να αποδείξετε ότι

2 2f (x)-g (x) =1.



84

ΣΤ. Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής

301. Ένας βιολόγος μελετώντας την ανάπτυξη ενός είδους βακτηριδίων

, παρατηρεί ότι:

2 ώρες μετά την έναρξη της παρατήρησης , τα βακτηρίδια ήταν 400 και 4 ώρες μετά την έναρξη της παρατήρησης τα βακτηρίδια ήταν 3200.

Αν ο τύπος που δίνει τον αριθμό των βακτηριδίων είναι 0( ) 2 tP t P ,

όπου P(t) ο αριθμός των βακτηριδίων σε χρόνο t , Ρ0 ο αρχικός αριθμός τους και κ σταθερά που εξαρτάται από το είδος των βακτηριδίων , τότε:

α. να βρείτε τη σταθερά κ.

β. να βρείτε τον αρχικό αριθμό των βακτηριδίων. γ. σε πόσα λεπτά ο αρχικός αριθμός των βακτηριδίων είχε διπλασιαστεί;

302. Η ποσότητα αλκοόλ στο αίμα ενός οδηγού έπειτα από κατανάλωση αλκοόλ είναι 45mgr.Το αλκοόλ απορροφάται από τον οργανισμό σύμφωνα με τον τύπο Q(t) = Qoe-αt όπου Qo η αρχική ποσότητα αλκοόλ στο αίμα , t ο χρόνος σε ώρες και α σταθερά . Ο χρόνος απορρόφησης από τον οργανισμό της μισής ποσότητας αλκοόλ είναι 2 ώρες . Να υπολογίσετε τη σταθερά α . Πόσο χρόνο χρειάζεται να περιμένει ο

οδηγός μέχρι να είναι σε θέση να οδηγήσει ώστε να μην πληρώσει

πρόστιμο σε ενδεχόμενο αλκοτέστ , δεδομένου ότι το όριο αλκοόλ στον οργανισμό είναι 15mgr.

303. Έστω η γεωμετρική πρόοδος με α1 = 4 και λόγο λ = ½ . Αν Q(t) είναι η τιμή ενός προϊόντος που ακολουθεί το νόμο της εκθετικής

μεταβολής , όπου t ο χρόνος σε έτη κυκλοφορίας του προϊόντος στην αγορά και η αρχική τιμή είναι ογδονταπλάσια του α6 τότε:

α) Να αποδείξετε ότι Q(t) = 10 4-t , δεδομένου ότι 8

4

αQ(5)=

Q(3) α.

β) Να βρείτε το χρόνο υποδιπλασιασμού της αρχικής τιμής του

προϊόντος

γ) Να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για τον οποίο η τιμή του προϊόντος δεν υπερβαίνει τα 2/5 της αρχικής τιμής του.

304. H θερμοκρασία Θ(t) (σε οC) σε μια πόλη t ώρες μετά την ανατολή του ηλίου δίνεται από τη συνάρτηση Θ(t) = 10 + α(1 – eβt) , t ≥ 0 .

α) Να βρείτε τη θερμοκρασία της πόλης όταν ανατέλλει ο ήλιος. β) Αν 2 ώρες μετά την ανατολή του ηλίου η θερμοκρασία είναι 14οC και μετά από άλλες 2 ώρες η θερμοκρασία είναι 16οC. i) Nα βρείτε τα α και β.

ii) Nα δείξετε ότι Q(t) = 10 + 8t

-21- 2

και να βρείτε τη θερμοκρασία μετά



85

από 6 ώρες από την ανατολή του ηλίου. iii) Να δείξετε ότι κατά τη διάρκεια της ημέρας η θερμοκρασία δε θα ξεπεράσει τους 18οC.

305. Ο αριθμός των βακτηριδίων Q(t) που εμφανίζονται σε μια καλλιέργεια μετά από t ώρες αφότου άρχισε η παρατήρηση από ένα βιολόγο , δίνεται από τον τύπο lnQ(t) = lnQo + αt , t ≥ 0 , Qo > 0 , α > 0. Αν μετά από 3 ώρες ο αριθμός των βακτηριδίων είναι διπλάσιος και μετά από 9 ώρες είναι 80 τότε

α) Να δείξετε ότι Q(t) = 10 t

32

β) Να βρείτε την αύξηση του αριθμού των βακτηριδίων από την 7η ώρα έως και την 12η ώρα γ) να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο που απαιτείται ώστε ο αριθμός των βακτηριδίων να μην είναι μικρότερος του 25. 306. Μετά τον καθαρισμό δύο λιμνών την ίδια χρονική στιγμή ο

πληθυσμός των ψαριών τους είναι ο ίδιος. Στην λίμνη Α ο πληθυσμός

αυξάνει 10% από χρόνο σε χρόνο για τα πρώτα 10 χρόνια μετά τον καθαρισμό της και μετά από 3 χρόνια είναι 1331 χιλιάδες ψάρια . Στην λίμνη Β ο πληθυσμός σε χιλιάδες ψάρια δίνεται από τη συνάρτηση Π(t) = α + β(1 – eγt) , t ≥ 0 ,

γ < 0 , β > 0. Αν μετά από 2 χρόνια ο πληθυσμός στη λίμνη Β είναι κατά 200.000 περισσότερος και μετά από άλλα δύο χρόνια είναι κατά

300.000 περισσότερος από τον αρχικό πληθυσμό α) Να βρείτε τον πληθυσμό των λιμνών όταν άρχισε ο καθαρισμός β) Να βρείτε τα α ,β και γ

γ) Αν α = 1000 , β = 400 και γ = ln2

-2

, να βρείτε μετά από πόσα χρόνια

ο πληθυσμός της λίμνης Β θα είναι 1.350.000 ψάρια.



86

► ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ

►ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ



87

Α. Στοιχεία Θεωρίας

ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ

Ο log είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον α για να

βρούμε το θ.

logx

x , 1 0 0

logx

x

loga

log 1 0

log 1

Αν 1 2

1 0 , , 0

1. 1 2 1 2log log log

2. 1

1 2

2

log log log

3. log log

Δεκαδικοί λογάριθμοι

log 10x

x

Φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθμοι

lnx

x e

Αλλαγή βάσης

, 0 , 1 , 0 :

log log

log

ό ά



88

ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

( ) log , 1f x x

( ) log , 0< 1f x x

Πεδίο ορισμού : (0 , +)

Σύνολο τιμών : R

Είναι γνησίως αύξουσα στο R


αν x1 < x2 , τότε 1 2

log logx x


Α(1,0)

Πεδίο ορισμού : (0 , +)

Σύνολο τιμών : R

Είναι γνησίως φθίνουσα στο R


αν x1 < x2 , τότε

1 2log logx x


Α(1,0)

Ισχύει η ισοδυναμία:

1 2 1 2log logx x x x



89

Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α. Ορισμός λογαρίθμου - Ιδιότητες

307. Να υπολογίσετε τους παρακάτω αριθμούς:

α. log0,0001

β. log10000 γ. lne3

δ. 1

lne

ε. 1

lne

στ. 102-3log2

ζ. e2-ln5

η. 3log10010

θ. ln(-e)κ με κ:άρτιο θετικό ακέραιο

308. Να βρείτε το x ώστε να ισχύει: α. logx=-2

β. lnx 3

γ. 2ln x 1

δ. 2lnx 1

ε. 2lnx 1

στ. 2lnx 0

309. Να αποδείξετε ότι: α. 2log5 + 3log2 - log60 + log3 =1

β. 1 1 1

log25 log8 log32 1 log22 3 5

γ. log 125 log 27 log 8 3

log15 log2 2

δ. log7 logxx 7 , για x>0.

310. α. Να υπολογίσετε το άθροισμα : 2 3 70log3+log3 +log3 +...+log3 .

β. Να βρείτε το θετικό αριθμό x ώστε να ισχύει: 3 5 2ν-1 2logx+logx +logx +...+logx = 2ν .

311. Να σημειώσετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: 1. Σε αριθμητική πρόοδο : α1 = log2 και α2 = log20. Ο ενδέκατος όρος της προόδου είναι:

Α. 10log2 B. log20 Γ. log(2 1010) Δ. 1 + log2 E. 10

2. Σε γεωμετρική πρόοδο α1 = 1 και λ = e2 . Τότε: ln( 4 5 6 48... )



90

είναι: Α. 2004 Β. 2002 Γ. 200 Δ. 100 Ε. 2250

312. Σε μια αριθμητική πρόοδο με α1 = ln2 και α2 = ln16 να δειχθεί

ότι το άθροισμα των ν πρώτων όρων της δίνεται από τον τύπο Sν = ν(3ν -1)

ln22

.

313. Σε μια γεωμετρική πρόοδο ο 1ος όρος είναι ο log2 και ο 2ος ο log8.

Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ν πρώτων όρων της προόδου δίνεται

από τον τύπο: ν

ν

3 -1S = log2

2

314. Να δείξετε ότι:

ln1

1+2

+ ln1

1+3

+ln1

1+4

+…+ ln1

1+κ

= ln(κ +1) –ln2.

315. Να βρείτε το θετικό αριθμό x , ώστε να ισχύει :

lnx + lnx4 + lnx7 + … + lnx100 = 3434.

Β. Γραφική παράσταση

316. Nα παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις:

α. f(x) = 2 + lnx β. f(x) = 2 + ln(x – 1) γ. f (x) = log(x + 2) – 1

δ. f (x) = ln1

x

ε. f(x) = lnx

στ. f (x) = 41lnx

2

Γ. Εξισώσεις


α. log(x+2) + log(x-2) = log5

β. log(x+2) - log(x-2) = log5 γ. lnx2 – ln(2x – 2) = ln2e -1

δ. 1

log(x + 2) + log x - 3 = 1+ log 32

ε. x lnx

ln =3 3

στ. lnx = ln2x

ζ. lnx2 = ln2x



91

η. ln x = ln2x

θ. log3x = x ι. ln2x – 1 = x + 2

κ. logx + 2 1 1

- =logx + 4 logx 2

λ. ln2x = 2

lnx +1


α. 2x = 3x β. 6x + 6 = 2x+1 + 3x+1

γ. 4x3x + 212x = 96x

δ. ln(ex + 9 – e) = 1 – x + ln9

ε. lnx lnx 2ln 24 - 2 - e = 0

στ. 11

log(x-1)-11+ logx32100 +1000 = 1

ζ. ln(e2x + 2) = x η. ln(e2x + 2) = x + ln3

θ. x + log(1 + 2x) = xlog5 + log6 ι. 5lnx – 3lnx -1 = 3lnx + 1 – 5lnx -1

κ. lnxx = e

λ. 5

2lnx

2

xx =

e


α. 2

3ln x

2

xx =

e

β. ln xx = e

γ. lnx 2-lnx2 + 2 = 5

δ. x x 1log 2 3 log 2 1

ε. log log log x 1 0

στ. 2log log x 4x 6 0

ζ. 2 logx 3 logx

52 logx 3 logx

η. log xx 10

θ. x xlog 5 2 3 log27 log71 xlog3

ι. xx log 1 2 xlog5 log6

320. Να λυθούν οι εξισώσεις :

α. ln3x -6ln2x + 11lnx -6 = 0

β. 2lnx + 22-lnx = 5



92

321. Nα βρεθεί σε ποια σημεία η γραφική παράσταση της f(x) =

ln[ln(x2-x+e)] τέμνει τον άξονα x΄x

322. Να βρείτε το θετικό αριθμό x , ώστε να ισχύει : lnx + lnx4 + lnx7 + … + lnx100 = 3434.

323. Να λύσετε τις εξισώσεις ln(ημx) = 0 , x(0,π) και ln(συνx) = 0,

x

π0,

2.

324. Aν οι αριθμοί logx, log(x+6), log(2x+7) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να βρεθεί το x.

325. Για ποιες τιμές του x οι αριθμοί: log178 , log 81 2 2 3 , log3x x x

είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου;

326. Για ποιες τιμές του xΙR οι αριθμοί log(3 2x – 1), log(4 2x – 1),

log(82x – 2) με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου; Εάν ο τέταρτος όρος της παραπάνω αριθμητικής προόδου είναι :

α4 = – log2, να βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου.

327. Δίνονται οι αριθμοί 1

log ,log 5xx +1

και 2. Να βρείτε τις τιμές του

xώστε οι παραπάνω αριθμοί να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.

328. Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α – ln2)x3 – (eα – β)x + ln3

2 και

Q(x) = (1 – lnβ)x3 – (e – 2)x + ln3

2. Αν τα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα:

α) Να βρείτε τα α και β β) Να αποδείξετε ότι Ρ(-1) > 0.



93

Δ. Ανισώσεις


α. x

x

e -1 1>

e +1 2

β. 2x

x

e -3<3

e -1

γ. ln2x – 5lnx + 6 > 0

δ. ln2x > lnx ε. ln2x > 1 στ. 2lnx > 1

ζ. lnx2 > 1 η. log(x+1) – log(x-1) > log2

θ. 1 2

>lnx-1 3lnx+1

ι. 2lnx+1

> 1lnx+1

κ. lnx-1 1

lnx 2

330. Δίνεται η f(x) = 1 1

+1 + logx 1- logx

.

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f . β. Να αποδείξετε ότι f(x) = f(1/x) και να λύσετε την ανίσωση: f(x) + f(1/x) > 4.

331. α) Να δείξετε ότι lnβ lnαα = β για κάθε α ,β > 0

β) Να λυθεί η ανίσωση 1

lnlnx 22 - 2 x <1

γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = lnxα . Nα βρείτε το α ώστε 5f(3) – 3f(5) > 0

Ε. Συστήματα


α. y x2 - 2 = 4

log(2x +2)- log(3+ y) = 0

β. x + y = 25

logx + logy = 2

γ. 2 2log x + log y = 1

logy - logx = 1



94

δ. x y 15

logx 2 logy


α. x y5 - 2 = 1

xln5 + yln2 = ln20

β. 2

xln -1= 0

e

lnx - ln y = -1

γ. 2

ln(x y) = 3ln3

lnx lny = 2ln 3

δ. 2 2x y 425

logx logy 2

ΣΤ. Ορισμός λογαριθμικής συνάρτησης

334. Nα βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α. f(x) = log(x2 – 1)

β. f (x) = ln

5 - x

x -3

γ. f (x) = ln1

x -x

δ. f (x) = ln

x

x

e -1

e - e

ε. f(x) = x

lnx - 2

στ. f(x) = lnx -1

335. Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(5 – 3x)

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β. Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf με τους άξονες γ. Να λύσετε τη f(x) > 0

336. Έστω η συνάρτηση f(x) = x2 – 2(1 + lnθ)x + 5 – ln2θ , θ > 0

α. Να βρείτε το θ ώστε η Cf να εφάπτεται στον άξονα x΄x β. Να βρείτε το θ ώστε η f να παρουσιάζει ελάχιστο στο 3 γ. Να βρείτε το θ ώστε η f να έχει ελάχιστη τιμή το 4

337. Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(ln(x – 1)) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f



95

β. Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf με τους άξονες γ. Να λύσετε τη f(x) < 0

338. Δίνονται οι συναρτήσεις: f(x) = ln(e2x-2ex+3) και g(x) = ln3+ln(ex-1).

α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x). β. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x). γ. Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 2g(x). (Πανελλήνιες 2003)

339. Δίνεται η συνάρτηση 2 1

( ) ln5

x

x

ef x

e

.

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x). β. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2 .

γ. Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 0. (Πανελλήνιες 2002)


( ) log1

xf x

x

.

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β. Να υπολογίσετε το άθροισμα:

Α = 1 1 1 1 1

...3 5 7 9 199

f f f f f

.

γ. Να δείξετε ότι: ( ) ( )1

f f f

, όπου κ , λ ανήκουν στο πεδίο

ορισμού της f.

341. Δίνεται η συνάρτηση x

x

e - 2f(x) = x + ln

e + 4

.

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f(x). β. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = ln5- ln3 .

γ. Να λυθεί η ανίσωση f(x)> 0 .

342. Δίνεται η συνάρτηση f με f(0) = f(1) = 0 και τύπο:

xf x log e β x α , α , β R 1

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

Β. Να βρείτε τις τιμές των α , β.

Γ. Να δείξετε ότι:



96

x

x

x

ef x log

e

112

1.

343. Να δειχθεί ότι: log

10 0,01 100x

x x .

344. Δίνεται η συνάρτηση: f(x) lnx 2 .

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β. Να λύσετε την εξίσωση: f(x) = 0.

γ. Να λύσετε την ανίσωση: f(x) – 2 > 0.


( ) ln3

xf x

x

.

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β. Να λύσετε την εξίσωση: f(x) + ln2 = 0. γ. Να βρείτε για ποιες τιμές του χ η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x.

δ. Να λύσετε την εξίσωση: 3 (1)xf e f .

346. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln x2 -3 και g(x) = xln 2 - 3 .

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g. β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x). γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3).

347. Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x - 54x) και η ευθεία ε : y = x + log3.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της

ευθείας ε.

γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3

,f2 2

βρίσκεται πάνω από το σημείο Β

με τετμημένη 3

2 της ευθείας ε.

348. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln 2x + x +1 .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να δείξετε ότι η f είναι περιττή. γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(-1).



97

δ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) > x + ln3.

349. Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α – ln2)x3 – (eα – β)x + ln3

2 και

Q(x) = (1 – lnβ)x3 – (e – 2)x + ln3

2. Αν τα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα.

α) Να βρείτε τα α και β . β) Να αποδείξετε ότι Ρ(-1) > 0.

350. α) Να λύσετε την εξίσωση y3 + y – 2 = 0.

β) Αν η γραφική παράσταση της f (x) = 27x + 1

212xlnα2 - 28xlnα

διέρχεται από την αρχή των αξόνων, i) να αποδείξετε ότι α = e ii) να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x.

351. Έστω f (x) = (3 - 2lnα)x.

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R. β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα.

γ) Αν α = e να λύσετε την εξίσωση f(1 + συν2θ) – f (2ημ2θ) = 3.

352. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (2lnκ – 1)x4 + x3 + (e – 1)x2 – ex + 1 +

2ημθ , θ(0,2π) . Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει

παράγοντα το x – 1’ α) Να βρείτε τα κ και θ. β) Να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) < 0 . γ) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της f με f(x) = e3x + (e – 1)e2x – ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x.

353. Δίνεται η συνάρτηση 2

( )ln 1

f xx

.

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β. Να λύσετε την εξίσωση: f(x) = 2. γ. Να λύσετε την ανίσωση: f(x) < 2.

Άλγεβρα Β Λυκείου

Documents

Transcript of Άλγεβρα Β Λυκείου