Μη-γραμμική ανάλυση χρονοσειρών

ARMA(p,q) μοντέλο qtqttptptt zzzxxx 1111

Γραμμική ανάλυση / Γραμμικά μοντέλα

Πλεονεκτήματα: 1. Απλά

2. Κανονική διαδικασία, ανεπτυγμένη

θεωρία για στοχαστικές διαδικασίες

και στατιστική συμπερασματολογία

3. Χρήσιμα στις εφαρμογές

Μειονεκτήματα: 1. Δεν εξηγούν μη-κανονικές μορφές

της χρονοσειράς

- ασυμμετρία δεδομένων (κατανομής)

- μη-αντιστρεψιμότητα στο χρόνο

- «ξεσπάσματα»

2. Καθοριστικό μέρος:

- σταθερό οριακό σημείο

- ασταθές σύστημα

- ταλάντωση μεταξύ σημείων

αυτοσυσχέτιση AR μοντέλο

περιγραφή μη-

κανονικών

χαρακτηριστικών

εξήγηση / εντοπισμός σύνθετων

καθοριστικών δομών

Χρονοσειρές - Μάθημα 8 Μη-γραμμική ανάλυση χρονοσειρών

),,,,( 21 tptttt XXXfX Γενικό μη-γραμμικό

μοντέλο

tptttt XXXfX ),,,( 21 Προσθετικός

θόρυβος

p

ptttt

'XXX ,,, 211 X pf :

f ?

tptpttt XXXX 2211

Γραμμικό AR

μοντέλο

Γενικεύσεις / επεκτάσεις του γραμμικού ΑR μοντέλου

p ,,, 21

σταθερά (γραμμικό ΑR)

τυχαίες μεταβλητές - RCA

- BL

σταθερό (γραμμικό ΑR, ARMA)

συνάρτηση των Xt - ARCH

- GARCH

τμηματικά μοντέλα

- SETAR

- Μαρκοβιανά

)1()1(

2

)1(

1 ,,, p )2()2(

2

)2(

1 ,,, p

)()(

2

)(

1 ,,, l

p

ll

Αυτοπαλινδρομούμενα μοντέλα με αυτό-διεγερμένο κατώφλι

SETAR

ll rrrr ,,,, 110

lrrr 10

lRRR 21

lirrR iii ,,1],,( 1

pΔιαμερισμός του

επιλογή υστέρησης d,

διαμερισμός του για το dtX

t

j

pt

j

pt

j

t

j

t XXXX )()(

2

)(

21

)(

1

jdt RX

SETAR

όταν

)1,0(~0 αν4.00.1

0 αν6.00.2

11

11

t

ttt

ttt

tXX

XXX

Παράδειγμα SETAR

-5 0 5-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x(t-1)

x(t

)

(xt-1

,xt) for a SETAR model

AR μοντέλα με πιθανοκρατική επιλογή του κατωφλιού

Εκθετικά AR μοντέλα (exponential autoregressive models, EAR)

tt

j

t

j

t XXX 2

)(

21

)(

1

1 με2

με1j

tt

j

t

j

t XXX 2

)(

21

)(

1

AR μοντέλα με περιοδικούς συντελεστές (AR models with periodic coefficients)

12 όταν2

2 όταν1

kt

ktj

1

)1(

1 0)1(

2 0)2(

1 2

)2(

2

Παράδειγμα

AR μοντέλα με Μαρκοβιανούς συντελεστές

(Markov chain driven AR models)

ljJ t ,,2,1

Επιλογή κατωφλίου δίνεται από

Μαρκοβιανή αλυσίδα )|( 1 iJjJP tt

Πίνακας μετάβασης

Παράδειγμα

tt

J

t XX t 1

)( 9.0)1( 9.0)2(

8.02.0

9.01.0)|( 1 iJjJP tt =

Τμηματικά πολυωνυμικά μοντέλα

tptttt XXXfX ),,,( 21

1 2( , , , )t m t t t p tX p X X X

πολυώνυμο

τάξης p

βαθμού m

Παράδειγμα

2

1 1 1 1(1 )t t t t tX aX X aX aX λογιστική

απεικόνιση 1a

aa /)1( Δύο σημεία ισορροπίας: 0 και

Κλασματικά αυτοπαλινδρομούμενα μοντέλα

tq

j

j

tj

p

j

j

tj

t

Xbb

Xaa

X

1

10

1

1010 qp

0pa

0qb

Παράδειγμα

Λόγος δύο πολυωνύμων

AR μοντέλα με τυχαίους συντελεστές, RCA

1 ttt XX AR(1) με πολλαπλασιαστικό θόρυβο

p

i

titiit XtBbX1

)( RCA

ib σταθερά )(tBb iii

)(,),(),( 21 tBtBtB pανεξάρτητα των

t

tXτυχαία με μέση τιμή 0

Παράδειγμα

titit XtBX )(1.0 )9.0,0(~ 2tB

Διγραμμικά μοντέλα, BL

BL βαθμού 1: ttttt XbaXX 11

p

i

titiit XtAaX1

)(

s

k

ktjki btA1

)(

)(tAa iii συντελεστές

ts XXts const, tss ,- Αν γραμμικό ως προς το

«Διγραμμικά» γιατί:

ts Xts const, tsX s ,- Αν γραμμικό ως προς το

23

Αυτοπαλινδρομούμενα μοντέλα με χρονικά

μεταβαλλόμενους συντελεστές (time-varying autoregressive

models) για μη-στάσιμες χρονοσειρές. Παρουσίαση,

εκτίμηση παραμέτρων, παραδείγματα / εφαρμογές

AR μοντέλα με δεσμευμένη ετεροσκεδαστικότητα

tX ~ ARCH ~ BL 2

tX

ARCH ttt VX 22

11 ptptt XXV 0

0i

Μοντέλο πολλαπλασιαστικού θορύβου

),0(~ 2 t

GARCH

q

i

iti

p

i

itit VXV11

2

0ittt VX

0

0i

24

Παρουσίαση μοντέλων ARCH, GARCH.

Συνθήκες καταλληλότητας, εκτίμηση

παραμέτρων, παραδείγματα / εφαρμογές

Διαδικασία ανάλυσης με στατιστικά μη-γραμμικά μοντέλα

1. Επιλογή μοντέλου

2. Εκτίμηση παραμέτρων

- μέθοδος μεγίστης πιθανοφάνειας

- μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων

3. Διαγνωστικός

έλεγχος ασυσχέτιστα

ακολουθούν κανονική κατανομή

rgm m 2)(ˆ|ln2)(AIC xθx

Μ υποψήφια μοντέλα, m = 1,...,M

σφάλματα (υπόλοιπα):

Πραγματικές χρονοσειρές

μηχανική

φυσιολογία

γεωφυσική οικονομία

Μη-γραμμική ανάλυση χρονοσειρών και δυναμικά συστήματα

Χρονοσειρά 1 2, , , nx x x

Υπόθεση:

: τροχιά δυναμικού συστήματος dts

0s : το διάνυσμα θέσης για χρόνο 0

dd: tf συνάρτηση του συστήματος

t : συνεχής ή διακριτός χρόνος

Για χρονοσειρές συστήματα απώλειας ενέργειας

Τροχιά στο d ελκυστής

d:h συνάρτηση παρατήρησης

( )t tx h sΠαρατήρηση:

0( )t

t s f sΜη-γραμμικό δυναμικό σύστημα

Ελκυστής:

● ευσταθές σημείο ισορροπίας

● πεπερασμένο σύνολο σημείων ισορροπίας

● οριακός κύκλος

● τόρος

● παράξενος ελκυστής

αυτό-ομοιότητα – μορφοκλασματικά

χάος ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες

μπορεί να σχηματιστεί

από γραμμικό σύστημα

δε μπορεί να σχηματιστεί

από γραμμικό σύστημα

Μη-γραμμικά δυναμικά συστήματα, απεικονίσεις (διακριτός χρόνος)

si = 1 – 1.4 si-12 + 0.3si-2

χαοτική απεικόνιση Henon

2

1

1

1

64.0exp9.01

k

kk

s

iiss

χαοτική απεικόνιση Ikeda

si = a si-1(1 - si-1)

περιοδικό a=3.52 χαοτικό a=4

Λογιστική απεικόνιση

Μη-γραμμικά δυναμικά συστήματα,ροές (συνεχής χροόνος)

s3

s1

s2

s1, s2 , s3 Σύστημα Lorenz:

2133

31212

121 )(

sscss

sssbss

ssas

3

82810 cba

Χρόνος δειγματοληψίας τs

Χρονοσειρές με θόρυβο

( )t tx h s

0( )t

t s f s

θόρυβο ( )t t tx h w s

θόρυβος παρατήρησης

θόρυβο

Παρατήρηση

Δυναμικό σύστημα

0( )t

t tf s s

δυναμικός θόρυβος

tw : λευκός θόρυβος, ασυσχέτιστος με και tx ts

t : λευκός θόρυβος, ασυσχέτιστος με us tu

Θόρυβος: δυναμικός (συστήματος) ε παρατήρησης (μέτρησης) w

si = a si-1(1 - si-1)

xi = si + wi, wi ~ N(0,s)

λογιστική απεικόνιση

si = a si-1(1 - si-1) + εi , εi ~ N(0,s2) xi = si

χαοτική

περιοδική

Διαγράμματα διασποράς σε 2 και 3 διαστάσεις

d=1 d=3 d=2

Διαγράμματα διασποράς σε 2 και 3 διαστάσεις

d=1 d=3 d=2

0 50 100 150 200 250 3000

50

100

150

200

time index i

x(i)

annual sunspots 1700-1996

0 50 100 150 2000

50

100

150

200

x(i)

x(i-1)

sunspots

050

100150

200 0

50

100

150

200

0

50

100

150

200

x(i-1)

sunspots

x(i)

x(i-2)

0 50 100 150 200 250 3000

100

200

300

400

500

time index i

x(i)

square of AR(9)

0 100 200 300 400 5000

100

200

300

400

500

x(i)

x(i-1)

Square of AR(9)

0200

400600 0

200

400

600

0

100

200

300

400

500

x(i-1)

Square of AR(9)

x(i)

x(i-2)

50 100 150 200 2500

500

1000

1500

2000

time index i

x(i)

square of z-lorenz

0 500 1000 1500 20000

500

1000

1500

2000

x(i)

x(i-1)

square of z-lorenz

0500

10001500

2000 0

500

1000

1500

2000

0

500

1000

1500

2000

x(i-1)

square of z-lorenz

x(i)

x(i-2)