τόλης ευάγγελος άλγεβρα β΄λυκείου

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Ευάγγελος Τόλης

www.askisopolis.gr

http://www.askisopolis.gr/

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1.ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ………………………….…………….. 3

1.2.ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ…………………………………. . 9

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ……………………………………... 11

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2.1 .ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ…………………… 13

2.2.ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ…………………. 18

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ……………………………………… 21

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

3.1.ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ…............................................ 24

3.2.ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ…………..…. 26

3.3.ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 10 ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ……………………..….. 29

3.4.ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ……………………………… 33

3.5.ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ…………………………. 38

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓ. ΣΥΝΑΡΤ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ… 44

3.6.ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ……………………..……47

3.7.ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2α……………………………. 52

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ………..………….55

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

4.1.Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ…………………..………….. 57

4.2.ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ………………….…………………. 61

4.3.ΠΟΛΥΩΝΙΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ…………..….. 67

4.4. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ……… 72

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ…………….……… 77

ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ

5.1.ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ…………….………………………… 79

5.2.ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ…………………………..……………………… 90

5.3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ…………….…..……………… .95

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ… 105

ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ………………………….……………………… 109

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ…………………………………………… 118

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ…………………………………………………… 130

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2x2

[3]

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος 2x2

Γραφική επίλυση

Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν:

- οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση 0 0x , y ,που είναι οι

συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών.

- οι δύο ευθείες είναι παράλληλες, τότε το σύστημα είναι αδύνατο, αφού δεν υπάρχει κοινό

σημείο του οποίου οι συντεταγμένες να είναι λύση του συστήματος.

- οι ευθείες ταυτίζονται, τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, αφού υπάρχουν άπειρα κοινά

σημεία στις δύο ευθείες.

Μέθοδος αντικατάστασης

Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς τον έναν άγνωστο, για παράδειγμα ως προς y. Αντικαθιστούμε

το y στην άλλη εξίσωση και έτσι προκύπτει εξίσωση μόνο με έναν άγνωστο, το χ. Από την

τελευταία εξίσωση βρίσκουμε το χ και την τιμή του την αντικαθιστούμε στη πρώτη εξίσωση απ’

όπου υπολογίζουμε το y.

Μέθοδος αντίθετων συντελεστών

Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των δύο εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς,

ώστε οι συντελεστές του ενός αγνώστου στις εξισώσεις που θα προκύψουν

να είναι αντίθετοι. Στη συνέχεια προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που βρήκαμε, οπότε

προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο, την οποία και επιλύουμε.

Τέλος αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε σε μια από τις αρχικές εξισώσεις και

βρίσκουμε την τιμή του άλλου αγνώστου.

Λύση – Διερεύνηση Γραμμικού Συστήματος 2x2

Έστω το γραμμικό σύστημα x y

x y

.

Βρίσκουμε την παράσταση D

που ονομάζεται ορίζουσα του

συστήματος.


[4]

Βρίσκουμε τις ορίζουσες D

και

yD

.

- Αν D 0 , το σύστημα έχει μοναδική λύση x, y , όπου xDx

D και

yDy

D

- Αν D 0 , το σύστημα θα είναι αδύνατο ή θα έχει άπειρες λύσεις.

Γραμμικό σύστημα 3χ3

Όταν έχουμε τρεις γραμμικές εξισώσεις με τρεις αγνώστους x,y,z

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

x y z

x y z

x y z

και

θέλουμε να βρούμε τις κοινές τους λύσεις τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ή, πιο σύντομα, ένα γραμμικό σύστημα 3x3.

Η πιο συνηθισμένη μέθοδος επίλυσης ενός τέτοιου συστήματος είναι η μέθοδος

αντικατάστασης.

Λύνουμε τη μία από τις τρεις εξισώσεις ως προς τον έναν άγνωστο και τον αντικαθιστούμε στις

δύο άλλες εξισώσεις. Έτσι οι δύο τελευταίες εξισώσεις μετατρέπονται σε γραμμικό σύστημα

2x2, το οποίο το λύνουμε με έναν από τους προηγούμενους τρόπους. Αφού προσδιορίσουμε

τους δύο αγνώστους αντικαθιστούμε τις τιμές τους στην πρώτη εξίσωση απ’ όπου υπολογίζουμε

την τιμή και του τρίτου αγνώστου.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑ

1. Να λυθούν τα συστήματα:

i. x y 1

x y 21

ii.

3x 5 2(y 1) 8

2(x 1) 3(1 2y) 9

iii.

x y1

2 3

3x 2(y 3)

2. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β, αν γνωρίζετε ότι τα ζεύγη (1,1) και

(- 1, 5) είναι λύσεις της εξίσωσης x y 9 0 .

3. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα:

i.

x y 1 3x 4y 1 4x 2y

4 2 3

5(x 1) 6(y 1) 3

ii.

x 3 2y 61

5 3

5x 1 y 45

3 2


[5]


i. x 3 y 1 0

x y 3 0

ii.

x 2y 2

2x 3y 3

iii. 2x 3y 6

x 3 y 0

5. Nα λύσετε την ανίσωση:

2x 11 05x 1 1 x

33 x2

2 3

6. Αν ισχύει 2

3 x

11 1

3 x

με 0 και x 0 να αποδείξετε ότι 3 3 3 3 .


i. 2x 3y 5

5 2x 3 3y 1

ii.

5 1 x 4y 4 5 1

x 5 1 y 6 2 5

iii.3x 9y 3 3

x 3 3y 3


i. 2 x 3 y 2

x 2 y 8

ii.

x y 3

x 3 y 7

9. Να βρεθεί το σύστημα των εξισώσεων που έχουν γραφικές παραστάσεις τις ευθείες ε1,ε2 του

διπλανού σχήματος. Μετά να βρεθεί το κοινό σημείο των ε1,ε2.

10. Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ, να βρείτε τα κοινά σημεία των ευθειών:

i. 1 2: x 2y 2 : 2 1 x 1 y 2 1

ii. 1 2: 2 x 4y 8 3 : 2x 4 y 8

11. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής 2y , της οποίας η γραφική παράσταση

διέρχεται από τα σημεία A 1,8 , B 1,2 2,5 .


450

y

x

ý

x´

2

ε1

ε2

0 -1

-1


[6]

i.

x y 1

2x y 6

x y 2 5

ii.

x y 1

x 2y 8

3x y 2 3

iii.

2x y 1

4x y 5

x y 2 5

13. Να βρεθεί κλάσμα τέτοια ώστε αν στους δύο όρους του προσθέσουμε το 2 προκύπτει ο

αριθμός 2 ενώ αν από τους όρους του αφαιρέσουμε 3 προκύπτει ο αριθμός 3.

14. Σ’ ένα γκαράζ υπάρχουν συνολικά 50 οχήματα, αυτοκίνητα και ποδήλατα. Αν όλα τα

οχήματα έχουν 164 ρόδες, πόσα αυτοκίνητα και πόσα ποδήλατα υπάρχουν στο γκαράζ;

15. Να βρείτε τρείς αριθμούς που έχουν άθροισμα 45, ο δεύτερος είναι ο μέσος όρος των δύο

άλλων και ο τρίτος είναι κατά 14 μεγαλύτερος από τον πρώτο.

Β΄ ΟΜΑΔΑ

16. Αν το σύστημα

1 x y 2

3x 1 y 4 2

έχει άπειρες λύσεις, να αποδείξετε ότι το σύστημα

x 2 1 y 3

2x 1 3 y

είναι αδύνατο.

17. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β για τους οποίους τα συστήματα

1

6 x y 2:

x y 0

και 2

x 3y 1:

x y 2

είναι συγχρόνως αδύνατα.

18. Για ποιες τιμές των , τα συστήματα:

x 2y

8x y 1

και

2x y 5

3x 9y 2

είναι συγχρόνως αδύνατα;

19. Δίνεται το σύστημα:2x 3y 11

x 5y 7

, .

i. Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει λύση για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό λ.

ii. Να βρείτε τη μοναδική λύση .

iii. Για ποια τιμή του λ η λύση (x, y) που βρήκατε στο (β) επαληθεύει τη σχέση:59

x y13

20. Δίνονται τα συστήματα: 1

x 2y 1:

3x 7y 2

και 2

x 2y 1:

4x 9y 2

για ποιες τιμές των μ

και κ τα συστήματα είναι ισοδύναμα;


[7]

21. Για ποια τιμή του λ, το σύστημα x 2y 4

x 3y 5

έχει λύση η οποία επαληθεύει την

εξίσωση x 5y 17 ;

22. Για ποιες τιμές των κ, λ το σύστημα 2 2

x y 3

x y

έχει άπειρες λύσεις μία από τις οποίες

είναι η (x, y) 2, 1 ;

23. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει:

x y

x y

D D D

D D 3D

. Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση, να βρεθεί η λύση αυτή.

24. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει: 2 2

x y x yD D 2D D και D 0 . Αν x y 6 , να βρεθούν τα x, y.

25. Σε ένα γραμμικό σύστημα 2x2 με αγνώστους χ,y, για τις ορίζουσες του x yD, D , D

ισχύει η σχέση: 2 2

x x y y2D 2D D D 0 . Να βρείτε τη λύση του συστήματος, αν γνωρίζετε

ότι είναι μοναδική.

26. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει: 2 2 2

x y xD D D 4D 2D 5

i. Να αποδείξετε ότι: 2 2 2

x yD 2 D 1 D 0.

ii. Να βρείτε τη λύση του συστήματος.


i.

x y 6

y 4

x 18

ii.

1 1 3

x y 4

1 10

y

1 1 1

x 2

28. Για ποιες τιμές των x και y η εξίσωση x-2y+1+λ(x-y)=0 αληθεύει για οποιονδήποτε

πραγματικό αριθμό λ;

29. Δίνονται οι ευθείες ε1 και ε2 με εξισώσεις x-y=-1 και λx-y=-1 αντίστοιχα, λ R .

α) Να βρείτε τις σχετικές τους θέσεις για τις διάφορες τιμές του λ R .

β) Να βρείτε το λ για το οποίο τέμνονται κάθετα.

γ) Για το λ που βρήκατε στο (β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου

που σχηματίζεται από τις ευθείες και τον άξονα x΄x.


[8]

30. Δίνεται το σύστημα:

x 2y 5

3x y 5

2x y

ι) Να οριστεί η τιμή της παραμέτρου α ώστε οι ευθείες που παριστάνουν οι πιο πάνω

εξισώσεις να περνούν από το ίδιο σημείο.

ιι) Αν α 0 δείξτε ότι οι παραπάνω ευθείες σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο.

31. Αν ο Μέγας Αλέξανδρος πέθαινε 9 χρόνια νωρίτερα, τότε ο χρόνος της βασιλείας του θα

ήταν ίσος με το 1

8 του χρόνου της ζωής του. Αν όμως πέθαινε 9 χρόνια αργότερα και

εξακολουθούσε να βασιλεύει, τότε ο χρόνος της βασιλείας του θα ήταν ίσος με το 1

2 του

χρόνου της ζωής του. Να βρεθεί πόσα χρόνια έζησε ο Μέγας Αλέξανδρος και πόσα

βασίλεψε.

32. Κάποιος μοιράζει με διαθήκη ένα ποσό σε τρεις ανιψιούς του Α, Β, Γ άνισα, ανάλογα προς

τους αριθμούς 7, 6 και 5. Στη συνέχεια, με μια δεύτερη διαθήκη, αλλάζει τα μερίδια και

διανέμει το ποσό ανάλογα προς τους αριθμούς 6, 5 και 4.

α) Ποιος από τους κληρονόμους κερδίζει με τη νέα μοιρασιά; Ποιος χάνει;

β) Ένας από τους κληρονόμους κερδίζει με τη δεύτερη μοιρασιά 6.000€ περισσότερο απ’ ότι

κερδίζει με την πρώτη. Πόση ήταν η κληρονομιά και πόσο κάθε μερίδιο με τη δεύτερη

μοιρασιά;

33. Να βρεθεί τριψήφιος φυσικός αριθμός αν:

α) το άθροισμα των ψηφίων του είναι 24.

β) ο αριθμός ελαττώνεται κατά 9 στην περίπτωση που αλλάξει η θέση των δύο τελευταίων

ψηφίων του

γ) ο αριθμός ελαττώνεται κατά 90 στην περίπτωση που αλλάξει η θέση των δύο πρώτων

ψηφίων του.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

[9]

1.2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ο πιο συνηθισμένος τρόπος επίλυσης ενός μη γραμμικού 2x2 συστήματος , είναι η μέθοδος

αντικατάστασης. Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς τον άγνωστο που έχει πρώτο βαθμό και

αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση.

Α΄ ΟΜΑΔΑ

1. Να λύσετε το σύστημα: 2x xy 10

2x y 7

.


i. 2 22x y 3x y 11

5x y 2

ii.

2y xy 10

5x y 17

iii.

2x xy 3

3x 2y 7

3. Να βρεθούν τα κοινά σημεία του κύκλου x2+y

2=13 και της παραβολής y= 23

x .4

4. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά.

i. 22x y 0

6x y 4

ii.

2 2x y 4

x y 0

iii.

2 2x y 2

xy 1

5. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά.

i. 22 y 0

2x y 4

ii.2 2x y 25

x y 1

iii.

2 2x y 17

xy 4

iv.

2 2x y 34

x y 8

6. Για ποιες τιμές του λ R η ευθεία y=λx+3 εφάπτεται του κύκλου x2+y

2=4;

7. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η ευθεία y 4x τέμνει την

παραβολή 2y x .

Β΄ ΟΜΑΔΑ

8. Δίνεται η ευθεία με εξίσωση y=λx-2 και η παραβολή 21y x

2 . Να προσδιορίσετε το λ R ,

ώστε η ευθεία να έχει με την παραβολή:

ι) ένα κοινό σημείο ιι) δύο κοινά σημεία. ιιι) κανένα κοινό σημείο.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

[10]


i. 2 2

2 2

x y x y 42

x y x y 18

ii.

x y xy 5

x y xy 6

10. Να λύσετε τα συστήματα :

i. 2

x y w 2

2xy w 4

ii.

x y xy 7

xy(x y) 6


i.2

2

x xy 3

y xy 2

ii.

2 2

x y 6 x y

x y 24

12. Ομοίως τα συστήματα:

i. x(2x y) x 0

x y 2

ii.

2x y y 4 16 y

3x 4y 11


i. 3 3x y 35

x y 5

ii.

x y 6

x y xy 11

iii.

2 2

2 2

x xy y 75

x xy y 25

14. Να λύσετε το σύστημα:

x y xy 4

y z yz 7

z x zx 9

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

[11]

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

1. Δίνεται το σύστημα 5y 4x 1

,2x 3y 2

Α) Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση 0 0x , y για κάθε τιμή του λ.

Β) Να βρείτε τις τιμές των 0 0x , y .

Γ) Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του λ, για τις οποίες η λύση 0 0x , y του συστήματος

ικανοποιεί τη σχέση 0 0x y 3 .

2. Δίνεται το σύστημα k 1 x 2y k 1

kx ky 1

,όπου k πραγματικός αριθμός

Α) Να βρεθεί το k ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση.

Β) Να βρεθεί η μοναδική λύση 0 0x , y για τις παραπάνω τιμές του k.

Γ) Να βρεθούν οι τιμές του k για τις οποίες η λύση 0 0x , y του συστήματος ικανοποιεί τη

σχέση 0 0x y 3 .

3. Α) Να λυθεί το σύστημα: 2

x y 1

x y

, για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου .

Β) Αν 0 0x , y η μοναδική λύση του προηγούμενου συστήματος, να βρεθούν οι τιμές της

παραμέτρου ώστε 0 0y 0 x .

4. Δίνεται το σύστημα 2

x y 2

( 1)x 1 y 2 1

,όπου μ .

i. Να αποδείξετε ότι για κάθε μ το σύστημα έχει μοναδική λύση .

ii. Να βρείτε τη μοναδική λύση 0 0(x , y ) .

iii. Να προσδιορίσετε το μ , ώστε η παράσταση 2 2

0 0x y να γίνει ελάχιστη.

5. Δίνεται το σύστημα

1 x 1 y 2

x 1 y 2

και η εξίσωση 2x 1 x 1 0 .

Α) Να βρείτε τη τιμή του λ για την οποία το σύστημα είναι αδύνατο.

Β) Να αποδείξετε ότι αν το σύστημα είναι αδύνατο, τότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα την οποία

και να βρείτε.

Γ) Να βρείτε την μοναδική λύση του συστήματος 0 0x , y και να αποδείξετε ότι 0 0x 2y .

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

[12]


1 x y 2,

x 1 y 1

το οποίο έχει ορίζουσα D.Επίσης η

εξίσωση 2 D 5 4 D 1 0, έχει μία διπλή ρίζα

i. Να βρείτε την ορίζουσα D και τη διπλή ρίζα της εξίσωσης

ii. Nα λύσετε το σύστημα

7. Δίνεται η συνάρτηση 2f x x x με , , για την οποία ισχύουν:

f(1)=0,f(-1)=10 και f(2)=1.

α)τις τιμές των α,β,γ

β)να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες

γ)να λύσετε την ανίσωση f x f x 1 7

8. Δίνετται η εξίσωση : 2x x 0 η οποία έχει ρίζες 1 2x , x για τις οποίες

ισχύουν οι σχέσεις : 1 2 1 2x x 3,x x 2 και 2 2

1 2x x 3

Να βρείτε τους αριθμούς α,β και γ.

9. Δίνεται το σύστημα :2x y 7

7x 2y 11

α) Να βρείτε τη λύση 0 0x , y του συστήματος

β)Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f x x x έχει κορυφή το σημείο 0 0x , y

i)να βρείτε τους αριθμούς β και γ

ii)να λύσετε την ανίσωση f x 0

iii)να λύσετε το σύστημα

y f x

x y 6


1 x 8y 4

x 3 y 3 1

το οποίο έχει μοναδική λύση 0 0x , y για

την οποία ισχύει 0 0x y 1

α)Να βρείτε τον αριθμό λ.

β)Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 2 x 6

i. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ

ii.Να λύσετε το σύστημα :

y f x

2y f x 1 10x

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ

[13]

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μεθοδολογία ασκήσεων

Μονοτονία συνάρτησης

Γνωρίζοντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

Προβάλουμε τα τμήματα της καμπύλης που κατέρχονται (φθίνει) από αριστερά προς τα

δεξιά, στον άξονα χ΄χ και βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως

φθίνουσα.

Αντίστοιχα προβάλουμε τα τμήματα της καμπύλης τα οποία ανέρχονται (αυξάνει) στον

άξονα χ΄χ και βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Γνωρίζοντας το τύπο της συνάρτησης

Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f.

Θεωρούμε 1 2x , x με 1 2x x , όπου . Στη συνέχεια προσπαθούμε με κατάλληλες

πράξεις να σχηματίσουμε τα 1f x και 2f x .

Αν 1 2f x f x , τότε f στο Δ, ενώ αν 1 2f x f x , τότε f στο Δ.

Ακρότατα συνάρτησης


Βρίσκουμε (αν υπάρχει) το κατώτερο σημείο 0 0x ,f x της fC . Τότε η f παρουσιάζει

ελάχιστο στο 0x το 0f x .

Αντίστοιχα βρίσκουμε (αν υπάρχει) το ανώτερο σημείο 1 1x ,f x της fC .

Τότε η f παρουσιάζει μέγιστο στο 1x το 1f x .


Αρχικά προσπαθούμε να μετατρέψουμε (αν χρειάζεται) το τύπο της συνάρτησης στη μορφή

2k

0f x x x . Τότε:

- Αν 0 , έχουμε

2k 2k 2k

0 0 0 0x x 0 x x 0 x x f x f x ,

οπότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0x το 0f x .


[14]

- Αν 0 , έχουμε

2k 2k 2k

0 0 0 0x x 0 x x 0 x x f x f x ,

οπότε η f παρουσιάζει μέγιστο στο 0x το 0f x .

Άρτια - Περιττή συνάρτηση


Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f. Παρατηρούμε αν αυτό είναι

συμμετρικό γύρω από το 0, γιατί τότε για κάθε x και x .

Στη συνέχεια βρίσκουμε το f x , αντικαθιστώντας στην f όπου x το – x.

Αν f x f x ,τότε η f είναι άρτια ενώ αν f x f x , τότε η f είναι

περιττή. Αν όμως δεν μπορούμε να καταλήξουμε στα προηγούμενα, τότε

θεωρούμε δύο αντίθετες τιμές για το χ που ανήκουν στο Α και αποδεικνύουμε

ότι f x f x και f x f x , οπότε η f δεν είναι ούτε άρτια ούτε

περιττή.


Διπλώνουμε το σχήμα κατά μήκος του άξονα y΄y. Αν τα τμήματα της καμπύλης

συμπέσουν τότε η συνάρτηση είναι άρτια.

Περιστρέφουμε το σχήμα κατά 180 , αν το νέο σχήμα που θα προκύψει είναι

ίδιο με το αρχικό τότε η συνάρτηση είναι περιττή.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑ

1. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις:

i. f x x 4 ii. f x 6x 38 iii. f x 3 x iv. f x 3 2 x 1


[15]

2. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις σε καθένα από τα

διαστήματα του πεδίου ορισμού τους:

i. 3

f xx

ii. 2

1f x

x iii.

2x xf x

x 1

iv. x

f xx

v. 1

f x xx

vi. 1821 1453f x x 3x 2014

3. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων:

i. 2f x 3x 2 ii. 2

f x 4 x 1 3 iii. 2

2014 2f x x x x 1

4. Να αποδείξετε ότι:

i. Η συνάρτηση 2f x x 6x 4 παρουσιάζει ελάχιστο το f 3 5 .

ii. Η συνάρτηση 2

4xg x

x 4

παρουσιάζει μέγιστο για x 2

5. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές:

i. 4 2f x x 3x 2 ii. 5 3g x x 2x 4x iii. 2x

h xx 1

iv. 3x

t xx 5

v. 4 3x x 5x x 4 vi. 2x 9 x

6. Να εξετάσετε ποιες από τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων έχουν

άξονα συμμετρίας τον y΄y και ποιες κέντρο συμμετρίας το O 0,0 :

i. 2f x 25 x ii. 2

2xf x

x 1

iii. 2f x x x

7. Δίνεται η συνάρτηση 2x 9 , x 0

f x2x 8 , x 0

.

i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία σε καθένα από τα διαστήματα

,0 και 0, .

ii. Να βρείτε τις τιμές f 4 και f 1 .

iii. Να εξετάσετε αν η f είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της.

Β΄ ΟΜΑΔΑ

8. Δίνεται συνάρτηση f γνησίως φθίνουσα στο . Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:

i. f 3x 2 f x 4 ii. f x 1 f 3 iii. f x 2 f 2x 3 0


[16]

9. Δίνεται συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο με f x 0 για κάθε x . Να αποδείξετε

ότι η συνάρτηση 1

g xf x

είναι γνησίως φθίνουσα στο .

10. Αν η συνάρτηση f x 3x 1 έχει πεδίο ορισμού το διάστημα 2,5 , να βρείτε τα

ακρότατα της.

11. Να βρείτε, αν υπάρχει το ελάχιστο ή το μέγιστο των συναρτήσεων:

i. 2f x x 2x 10 ii. 2014

3g x

x 3

iii. h x x 1 4

12. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις:

i. 2f x 4 x ii. f x x 2

13. Δίνεται η συνάρτηση 3f (x) 4x x 5 , x .

i. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία.

ii. Να λύσετε την ανίσωση f x 3 0 .

14. Δίνεται η συνάρτηση 3f (x) 8 x , x .


ii. Να λύσετε την ανίσωση f f x 8 8 .

15. Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση f x είναι περιττή στο , τότε η συνάρτηση

2g x f x είναι άρτια.

16. Αν συνάρτηση f είναι περιττή στο , να λύσετε την εξίσωση:

2014 2014f x 1 x 2 f 1 x

17. i. Για κάθε α > 0, να δείξετε ότι α + 1

α 2.

ii.Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f (x) = x + 1

x με x > 0.

18. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R και είναι άρτια. Στο [α, β] με 0<α<β είναι γνησίως

αύξουσα. Να εξεταστεί η μονοτονία της στο [-β, -α].

19. Μια συνάρτηση f είναι περιττή στο διάστημα [-12, 12]. Η μελέτη στο διάστημα

[0, 12] έδωσε τον διπλανό πίνακα.

x

f(x)

0 1 4 12

3 2

0

5


[17]

Να συμπληρώσετε τον πίνακα

για ολόκληρο το διάστημα [-12, 12].

20. Τα παρακάτω σημεία ανήκουν στην γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης. Να

συμπληρώσετε τους αριθμούς που λείπουν:

(-1, 2) (1 1

,2 2

) (…, 2) (…, 4) (3, …) (-3, 18) ( 2 , 4) 1

,...2

21. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα με πεδίο ορισμού το R 0<α<β να διατάξετε από

την μικρότερη προς την μεγαλύτερη τις τιμές:

f2

, f(α), f(β), f(0), f(α-β), f2

3

22. Δίνεται η συνάρτηση f x 1 x 2

i. Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία.

ii. Να δείξετε ότι 1

f 2014 12014

iii. Να λύσετε την ανίσωση f(x) < 2.

23. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο R . Αν 1 2

f f3 5

και η Cf

διέρχεται από το σημείο Α(1, 4) να λύσετε την ανίσωση f 3x 1 4

24. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο R να λύσετε τις εξισώσεις.

i. 2f x f 4x 4

ii. f 2x 5 f 3

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

[18]

2. 2 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ

Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης g x f x c , c 0 προκύπτει από κατακόρυφη

μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f κατά c μονάδες προς τα πάνω και η γραφική

παράσταση της συνάρτησης h x f x c , c 0 προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της

γραφικής παράστασης της f κατά c μονάδες προς τα κάτω.

Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

g x f x c , c 0 , προκύπτει από

οριζόντια μετατόπιση της γραφικής

παράστασης της συνάρτησης f κατά c

μονάδες προς τα αριστερά.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

h x f x c , c 0 , προκύπτει από

οριζόντια μετατόπιση της γραφικής

παράστασης της συνάρτησης f κατά c

μονάδες προς τα δεξιά.

Σημείωση: Για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 1 2g x f x c c ,

χρησιμοποιούμε τόσο την οριζόντια όσο και την κατακόρυφη

μετατόπιση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση

2f x 4 x . Στο ίδιο σύστημα αξόνων να

παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων:

i. 2

1g x 2 x , 2

2g x x και 2

3g x 1 x

ii. 2 2

1 2h x 4 x 2 h x 4 x 2

iii. 2 2

1 2x x 2 x 2 x 2

y

x΄ y΄

x O

y f x

y f x c

c

c

c

c c

y

x΄

y΄

x O

y f x

y f x c

c

c c

c

c

c

y΄

x΄ x O

y

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

[19]


f x x . Στο ίδιο σύστημα αξόνων να


συναρτήσεων:

i. 1g x x 3 , 2g x x 1

ii. 1 2h x x 2 h x x 4

iii. 1 2x x 2 1 x x 4 3


f x x . Στο ίδιο σύστημα αξόνων να


συναρτήσεων g x 3 x ,h x x 2

x 3 x 2 .

4. Δίνεται η συνάρτηση 2f x 3x 2x 1 . Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης

f της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις

της γραφικής παράστασης της f:

i. κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά και κατά 3 μονάδα προς τα πάνω.

ii. κατά 1 μονάδα προς τα δεξιά και κατά 2 μονάδες προς τα κάτω.

iii. κατά 2 μονάδες προς τα αριστερά και κατά 2 μονάδες προς τα πάνω.

iv. κατά 3 μονάδες προς τα αριστερά και κατά 2 μονάδες προς τα κάτω.

x΄

y΄

x O

y

y΄

x΄ x O

y

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

[20]

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική

παράσταση μιας συνάρτησης f.

i. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της.

ii. Να βρείτε το πρόσημο των παραστάσεων:

A f ( 6) f ( 5) f ( 3) f ( 2)

Bf ( 1) f ( 2)

f (3) f (4) f (5) f (6) .

2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 2

3

x x , x 0f (x)

x 4, x 0

, είναι γνησίως

αύξουσα στο .

3. Δίνεται η συνάρτηση x 3 , x 1

f xx , x 1

.

i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.

ii. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

iii. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα ακρότατα της f.

4. Δίνεται η συνάρτηση 2x 1 , x 0

f x2x 1 , x 0

.

i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.

ii. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

iii. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα ακρότατα της f.

5. Δίνεται η συνάρτηση 3f (x) x 5x 1 , x .


ii. Να λύσετε την ανίσωση f f x 7 .

6. Δίνεται συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο και συνάρτηση g γνησίως φθίνουσα

στο .

i. Να δείξετε ότι η συνάρτηση h(x) = 27f 3(x) – 8g

3(x) είναι γνησίως αύξουσα

στο .

ii. Αν ισχύει

f 0 2

g 0 3 , να λύσετε την ανίσωση 27f

3(x) > 8g

3(x) .

7. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x2015

+x2013

+1.

i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο

x

y

0

3 4

5 6-1-2

-3-4

-5-6

fC

y΄

x΄

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

[21]

ii. Να λύσετε την ανίσωση : x2015

+x2013

-2>0

iii. Να λύσετε την ανίσωση : f(f(x))<3

8. Η γραφική παράσταση Cf μιας

συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο

σχήμα.

i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της.

iii. Να λύσετε τις εξισώσεις:

a) f (x) = 0,

b) f (x) = 2,

c) f (x) = - 2

iv. Να λύσετε τις ανισώσεις: a) f (x) > 0,

b) f (x) < 0,

c) f (x) 2, d) f (x) < - 2

v. Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια.

vi. Να εξετάσετε αν η f είναι περιττή.

y

0

21

–1–3

–2

1 3

x

9. Δίνεται η συνάρτηση f x 16 x 3x 9 x 1 .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε το σημείο τομής της f με τον άξονα y΄y

γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία

δ) Να βρείτε τα ακρότατα της f

ε) Να λύσετε την ανίσωση: 16 x 3x 9 x 1

10. Δίνεται η συνάρτηση 3f x x x , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το

σημείο Μ(-1,4)

α) Να αποδείξετε ότι λ=-3

β) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή

γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία

δ) Αν , να συγκρίνετε τους αριθμούς 2 2f και f 2

ε) Να λύσετε την ανίσωση : 33 2 23x 1 x 5 3 x 3x 4

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ

[22]

3.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ισχύουν:

Γ ημ Β = A

B

συν Β = AB

B

εφ Β = A

AB

Α Β

Τριγωνομετρικοί αριθμοί χαρακτηριστικών γωνιών:

ημίτονο

2

1

23

3

2

3

34

2

2

4

5

6

12

6

π 0 συνημίτονο

-1 3

2

2

2

1

2

0 12

2

2

3

2

2π

7

6

1

2

6

54

2

2

4

43

3

2

3

32

-1

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ

[23]

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ΟΜΑΔΑ

1. Να εκφραστεί (i) Η γωνία 030 σε rad. (ii) H γωνία 5

3

rad σε μοίρες

2. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών

0 0 91 611485 , 2790 , , .

3 6

3. Αν 9 14

x2 3

να αποδείξετε ότι: ημx-συνx > εφx+σφx .

4. Αν 5

x 32

να αποδείξετε ότι: ημx-εφx>συνx+σφx.

5. Αν 3

x2

να αποδείξετε ότι: συνx+1+3εφx+4σφx>0.

6. Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή των παραστάσεων:

α) y = 2 + 3 συνx β) y = 5 + ημ2x γ) y =

1

2 - x

7. Να δειχθεί ότι: ημ405 - ημ750

συν1125 + συν1860 = 3 - 2 2 .

Β΄ΟΜΑΔΑ

8. Αν 3 x 4 . Να δείξετε ότι x x x x

2 32 2 2 2

9. Αν ισχύει 3

x2

να δείξετε ότι:

2x. x 2 x. x x x 0

10. Αν 3

x 22

δείξτε ότι 2x x 2 x x x x 0

11. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή των παραστάσεων:

Α= 21 2 x Β= 23 x 2 1

12. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή των παραστάσεων:

Α=1-3συν2x Β=3ημω-2συν

2x-1

13. Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει γωνία ω ώστε : 2 2 3, .

14. Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει γωνία ω ώστε : 24 4 3, .

15. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει x τέτοιος ώστε

i) 2x 12 7 x ii) 2x 1 x 5

16. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει x τέτοιος ώστε

i) 2x 6 5 x ii) 2x 1 x 11

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

[24]

3.2. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

2 2x x 1

x

xx

xx

x

x x 1

2

2

1x

1 x

22

2

xx

1 x

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑ

1. Αν 4

x5

και 3

x ,2

Να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της

γωνίας x rad.

2. Αν x 2 και x .2

Να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της

γωνίας x rad.

3. Aν ένα σημείο Μ ενός τριγωνομετρικού κύκλου που έχει διαγράψει τόξο ω

βρίσκεται στο 20 τεταρτημόριο και έχει τεταγμένη y =

5

13 .Να υπολογίσετε την

τιμή της παράστασης:13 12 2012

5 13 25

4. Απλοποιήστε τις κλασματικές παραστάσεις:

i) 4 2

4 2

συν x - συν x

ημ x - ημ x

ii) 2 2

2 2x - y

συν x - συν y

5. Να αποδειχθεί ότι:

2

2 2

2 2

1 1i) x x

x x

ii) x. x x. x x x

x 1 x 2iii)

1 x x x

iv) 4 4 2

11


[25]

v) x 1 x 1

1 1 2x x

6. Αν x 4 x και 3

x ,22

, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς

αριθμούς της γωνίας x.

7. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες υπάρχει γωνία χ

για την οποία ισχύει ότι:

i. 1

x2

και

3 2x

4

.

ii. x 1 και x 2

iii. 1

x2

και

1x

2

iv. 1

x2

και

2

2x

3

8. Αν 1

2

και

2

2

3

.Να προσδιορίσετε το κ .

Β΄ΟΜΑΔΑ

9. Αν 6ημ2x + ημx - 1 = 0 και π < x <

3π

2, να βρεθεί το συνx.

10. Αν 9

x 52

και 216 9 , να βρείτε την τιμή της παράστασης

1

11. Αν 4 x 3 x 5 και 0 x2

, να υπολογιστεί η x .

12. Να εξετάσετε αν οι ρίζες της εξίσωσης 4x2+2 3 1 x 3 =0 μπορούν να

είναι το ημίτονο και το συνημίτονο μιας γωνίας θ.

13. Αν x x , να υπολογίσετε με τη βοήθεια του 2 τις

παραστάσεις:

i. x x ii. x x iii. 2 2x x iν. 3 3x x

14. Να αποδειχθεί ότι:

i. 2 2 4

4

2 2 4

ημ α -συν α + συν α= εφ α

συν α - ημ α + ημ α ii.

2

2

1- 2ημθ 1-3ημθ- = 3εφ θ

συν θ 1- ημθ


[26]

15. Αν ρ1,ρ2 είναι ρίζες της εξίσωσης

2 21 x 1 x 1 0, 1

τότε να δείξετε ότι ρ1+ρ2+ρ1ρ2=1.

16. Αν 0 και 1

1

,

1

1

Να αποδείξετε ότι :

2

17. Να βρείτε το ,ώστε η παράσταση

6 6 4 4x x x x

Να είναι ανεξάρτητη του x και στη συνέχεια να βρείτε την τιμή της

παράστασης Κ.

18. Να αποδείξετε ότι : 2 2x y 2 x y 2 για κάθε x, y

19. Να αποδείξετε ότι : 1

2

20. Να αποδειχτεί ότι 5 x 2 x 5 .

21. Να δείξετε ότι:

i. 3 x + 2 x 5 ii. 2 x - 10 x 12

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ

[27]

3.3. ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ

Μεθοδολογία Η αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο γίνεται και με εμπειρικούς τρόπους, ένας από

τους οποίους είναι και ο παρακάτω:

1. Για τυχαίο ακέραιο κ ισχύει ότι:

ημ(κπ θ) = ημθ συν(κπ θ) = συνθ

εφ(κπ θ) = εφθ σφ(κπ θ) = σφθ

Δηλαδή:

i. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί τόξων της μορφής x = κπ θ

δεν

αλλάζουν (τα ημίτονα παραμένουν ημίτονα κ.λπ.).

ii. Το πρόσημο στο β΄ μέλος εξαρτάται:

από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται ο αριθμός x (χωρίς να

βλάπτεται η γενικότητα μπορούμε να θεωρούμε ότι π2

θ 0, ).

από το πρόσημο του συγκεκριμένου τριγωνομετρικού αριθμού x

στο τεταρτημόριο αυτό.

2. Για τυχαίο περιττό ακέραιο κ ισχύει ότι:

κπ

ημ θ συνθ2

κπσυν θ ημθ

2

κπ

εφ θ σφθ2

κπσφ θ εφθ

2

Δηλαδή:

i. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί τόξων της μορφής κπ2

x θ , όπου ο κ

είναι (υποχρεωτικά) περιττός ακέραιος αλλάζουν από ημίτονα σε συνημίτονα,

από συνημίτονα σε ημίτονα, από εφαπτομένη σε συνεφαπτομένη και από

συνεφαπτομένη σε εφαπτομένη.

ii. Το πρόσημο στο β΄ μέλος εξαρτάται:

Από το τεταρτημόριο, στο οποίο βρίσκεται ο αριθμός x.

Από το πρόσημο του τριγωνομετρικού αριθμού του α΄ μέλους στο

συγκεκριμένο τεταρτημόριο.


[28]

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑ

1. Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών:

i. 19500 ii. -1215

0 iii.

38

3

iν.

55

4

2. Να δείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε:

i. ημΑ = ημ (Β + Γ) ii. ημ2Β + συν

2(Α + Γ) = 1


5π 7π 4πημ . συν . εφ

24 6 3 = - 4π 5π 7π 4

2ημ . εφ . σφ 3 4 6

.

4. Να απλοποιηθεί η κλασματική παράσταση:

π( x) ( - x)

2 ( x) ( x)

.

5. Να αποδείξετε ότι: - ημ (270 + θ) ημ (180 + θ) - 1

=

1 + συν (90 + θ) συν (180 - θ)

.


3

( ) 0.2 2

7. Να εκφράσετε συναρτήσει του ημx και του συνx τις παραστάσεις:

Α = συν (x - π) + συν (x - π

2) + ημ (x - π) + ημ (x -

π

2)

8. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις:

(3 x). x . (7 x)2

7(9 x). x . x

2 2

( )2 2

( )2


( x). ( x). (9 x)i. 1

17 13x . (x 2 ). x

2 2


[29]

(2 ). ( ). ( ). . (2 )2

ii.3 3

. ( ). .2 2 2

0 0 0

0 0 0

(180 ). (90 ). (180 )iii. 1

(90 ). (90 ). (90 )

5. ( 2 ). (3 )

2iv. 1

3. (5 ). ( )

2 2


9 11 9 11

2 2 2 21

17 19 13 15

2 2 2 2


13 279 23

2 2

911

2

12. Αν για τις οξείες γωνίες Β και Γ τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ότι 11

4 και

5

4 , να αποδειχτεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Β΄ ΟΜΑΔΑ

13. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να δειχθεί ότι:

i. συν2Α=

2

1

1 ii. συν

3 30

2 2

iii. ημ2

2

2

2

21

2

14. Δίνονται οι παραστάσεις Α= 1 91 2 92 και

Β= 2 x ( x). ( x) 2 x . ( x)2 2

.

Να δείξετε ότι 2 .


[30]

15. Αν 2x 2 x 0 και 0 x2

, να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

Α=

2011 33x 2 x

2 2

3 (27 x) ( 3 x)

16. Αν συν23 23 1

2 2 2

να υπολογιστεί η παράσταση

Α=εφ2x+σφ

2x.

17. i. Να αποδείξετε ότι: συν (x + 45°) = ημ (45° - x)

ii. Να βρεθεί η αριθμητική τιμή του αθροίσματος:

συν2(x + 45°) + συν

2(x - 45°) + ημ

2(45° - y) + ημ

2(y + 45°).

18. Δίνεται 1

4 4 2

.Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων:

i. Α= 2 2

4 4

ii. Β=

4 4

19. Δίνεται 5

212 12

.Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων:

Ι) Α= 2 25

12 12

ΙΙ) Β= 3 35

12 12


i. 0 0 0 0 00 1 2 ... 179 180 0

ii. 0 0 0 00 1 2 ... 359 0

21. Αν 02

,να δείξετε ότι:

3 5

2 12 2

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

[31]

3.4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Τύποι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων:

ημ x = ημ θ x = 2kπ + θ ή x = 2kπ + π - θ

συν x = συνθ x = 2kπ + θ ή x = 2kπ - θ

εφ x = εφ θ x = kπ + θ

σφ x = σφ θ x = kπ + θ πάντα με κΖ

Ειδικές περιπτώσεις:

ημ x = 1 x = 2kπ + 2

ημ x = -1 x = 2kπ -

2

συν x = 1 x = 2kπ συν x = -1 x = 2kπ + π

ημ x = 0 x = kπ συν x = 0 x = kπ + 2

εφx=0 x=kπ σφx=0 x = kπ + 2

πάντα με κΖ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑ

1. Να λυθούν οι εξισώσεις:

ι) 2 συνx-1=0 ιι) 3 εφx-1=0 ιιι) 3 σφx-3=0

ιv) εφ2x 3 v) εφx = 0

2. Να λύσετε τις εξισώσεις:

ι) 3

ημ2x2

ιι) 2

συν2x2

ιιι) π

εφ x 36

ιv) σφ2x = -1

3. Ομοίως οι εξισώσεις:

ι) 3 (1+ημx)(2+συνx)=0 ιι) (3εφx+ 3 )(1-συν2x)=0

ιιι) (1-2ημ2x)(1+2συν

2x)=0 ιν) (1+συνx)

11 0

x



[32]

2i) x 1 . 2 x 2 0 ii) x 1 . x 0 iii) 2 x 1 . x 0


1

i) x ii) 3x 3 iii) x x 04 2 3 3

6. Ομοίως οι εξισώσεις:

ι) ημ3x 2x

02 3 ιι) συν2x+συν

x0

2 ιιι) εφx=- εφ2x


i) 3x (x ) ii) 2x x3 6


ι) π

ημ2x συν x3

ιι)

π πσυν x ημ x 0

3 6

ιιι) π

εφ2x σφ x4

ιv)

π πημ 2x συν x 0

4 2


2 2

2 2 2

i) 2 x 5 x 3 0 ii) 2 x 1 5 x

iii)2 x 3 1 x iv) 3 x x 5 x 0

10. Να λυθεί στο 0, η εξίσωση 2 2x 15

.


ι) 2ημ 2x 13

στο (π, 2π) ιι) 1-σφ2x=0 στο ,0

2

ιιι) εφx+ εφ2x=0 στο ,4 4

.

12. Δίνεται η εξίσωση 4ημ(x – π) ημ(2π – x) = ημ

2(x + π) + συν

2(x – π).

α)Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση 4ημ

2x = 1.

β) Να λυθεί η δοσμένη εξίσωση.

Β΄ ΟΜΑΔΑ


i) 2 x x 2 x 2 x 2 0 ii) 3 2x 2 x x


[33]

14. Να λυθεί η εξίσωση 5x 10x 1 .

15. Να λυθεί στο 0,2 η εξίσωση 1 x x .

16. Να λυθεί στο , 2 η εξίσωση x x 3 2 .

17. Να λυθεί η εξίσωση: 2 2 24 x x x x 3 x 0

18. Να λυθεί η εξίσωση: 3 2x 2 x x .

19. Να λυθεί η εξίσωση ημ

4x = 1 – συν

4x.

20. Να λυθεί η εξίσωση: 2 27 x 3 4 x x 2 x

21. Να λυθεί η εξίσωση: 2012 20142x x 0

22. Να λυθεί η εξίσωση: 2 4x 2 x 2


i. 2

ημx 1 4 ημx 1

ημx 1 1 ημx συν x ημx

ii. 2 2

2 2 4

ημ x 3 5 ημ x 15

ημ x 2 ημ x 2 ημ x 4

24. Να λυθεί η εξίσωση 3

21

2xx 3 x 4

.

25. Να λυθεί η εξίσωση: 4

2

x 1 x 1

3 2x

26. Να λυθεί η εξίσωση

2 22 x x 2 .

27. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:

i. x 12

ii. x 1

28. Δίνεται η εξίσωση: 2 2 3ημ x λ συνx λ , λ

4

Αν μια λύση της εξίσωσης είναι ο αριθμός 2π3

x , τότε:

i. να βρείτε την τιμή του λ.

ii. να βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης.

29. Δίνεται η συνάρτηση 1 1

f x x 1 x 1x x

.



[34]

ii. Να λύσετε την εξίσωση f x 2 στο διάστημα 0, .

30. Έστω η συνάρτηση : x 1

f xx

i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή.

iii. Να λύσετε την εξίσωση : f x x .

31. Δίνεται η συνάρτηση 2f x 3 x ( 3 1) x 1 , x 0,2

.

i. Να λύσετε την εξίσωση f x 0 .

ii. Αν η μεγαλύτερη ρίζα της προηγούμενης εξίσωσης, να αποδείξετε ότι:

92

21

171821

2

32. Δίνεται η συνάρτηση x x

f x1 x

.


ii. Να αποδείξετε ότι 1

f x 1x

.

iii. Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια.

iv. Να αποδείξετε ότι 4k 1

f x f x2 2

v. Να λύσετε την εξίσωση f x 32

.

33. Δίνεται η συνάρτηση 3 2f x 2 2x 2x 4 2x 2 .

i. Να αποδείξετε ότι 3

f x f x2 2

.

ii. Να λύσετε την εξίσωση f x 0 .

iii. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης 3g x 2 2x 2 2x f x

καθώς και τις αντίστοιχες τιμές του x.

34. Δίνεται η συνάρτηση 1 2 x x

f xx x

.


ii. Να αποδείξετε ότι f x x x .

iii. Να λύσετε την εξίσωση f x f x 1 0 .


[35]

35. Δίνονται οι συναρτήσεις 2

2

16 xf x

1 x

και 2g x x 1 .

i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού τους.

ii. Να λύσετε την εξίσωση f x 3g x .

iii. Να αποδείξετε ότι 2f x 16 x και 2

1g x

x

.

iv. Να λύσετε την εξίσωση 2 216 x x 3 0 .

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

36. Να λυθούν οι ανισώσεις:

ι) ημx3

2 ιι) ημ3x

1

2 ιιι) συν2x

2

2

ιν) συν3x3

2 ν) συν

1x

3 2

νι) εφx<1

νιι) σφ2x 1 νιιι) εφ 3x 34

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

[36]

3.5. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Μεθοδολογία

Συναρτήσεις της μορφής ημαx ή συναx έχουν περίοδο 2π/α ενώ οι συναρτήσεις της μορφής εφαx ή σφαx έχουν περίοδο π/α.

Συναρτήσεις της μορφής αημx ή ασυνx έχουν ακρότατα -α και α.

Συναρτήσεις της μορφής -ημx, -συνx, -εφx, -σφx είναι συμμετρικές των

αρχικών ως προς τον οριζόντιο άξονα.

Συναρτήσεις της μορφής α+ημx, α+συνx, α+εφx, α+σφx είναι μετατοπισμένες στον κάθετο άξονα κατά α.

Συναρτήσεις της μορφής ημ(αx+β), συν(αx+β), εφ(αx+β), σφ(αx+β) είναι μετατοπισμένες στον οριζόντιο άξονα κατά -β/α.

Μία τριγωνομετρική συνάρτηση μπορεί να υπάγεται σε περισσότερες από μία

από τις παραπάνω περιπτώσεις π.χ. -3ημ(2x-4

)+5

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑ

1. Να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο των συναρτήσεων:

α) f(x) = 4ημx β) f(x) = 2συν2x-5

γ) f(x) = -3ημ3x+4 δ) f(x) = -5συν3x

2. Να βρείτε την περίοδο των συναρτήσεων:

α) f(x) = 3ημ2x β)

f(x) = 2συν3x

γ) x

f (x) 52

ημ δ) x

f (x) 23

συν

3. Να μελετηθούν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις:

α. f(x) = ημ x β. f(x) = 3ημ x γ. f(x) = ημ 2x δ. f(x) = 4ημ 2x

4. Να μελετηθούν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις:

α. f(x) = συν x β. f(x) = -4συν x γ. f(x) = 1

2συν 2x

5. Να βρεθεί η περίοδος των συναρτήσεων.

α. 5 2 f(x) x β. 63

x

f(x) γ. 8 8 f(x) x δ. 42

x

f(x)

6. Να βρείτε το πεδίο τιμών της συνάρτησης f(x) = 4-3ημ 5x

7. Δίνονται οι συναρτήσεις:

α. 3

22

f(x) x β. 5 3 g(x) ( x) γ. 2

2

xh(x)

Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή καθώς και η περίοδος για κάθε μια

από τις παραπάνω συναρτήσεις.


[37]

8. Να μελετηθούν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις :

α. f(x) = 1+συνx β. f(x) = 2συν3x -5 γ. f(x) = 4-3ημx

2

9. Να μελετηθούν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις :

α. f(x)=εφx β. f(x)=εφ2x γ. f(x)=σφx δ. f(x)=σφx

2

10. Δίνεται η συνάρτηση: π

f(x) = συν - x - ημ(π + x)2

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f(x)

και να απλοποιηθεί ο τύπος της.

β) Να βρεθούν η περίοδος και τα ακρότατα της f(x),

δηλαδή η μέγιστη και η

ελάχιστη τιμή.

γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της f(x).

Β΄ ΟΜΑΔΑ

11. Δείξτε ότι οι συναρτήσεις:

ι) 4 4 2 2f x x x 2 x x

ιι) g(x)=2

2

2

2 x2( x 1)

1 x

είναι σταθερές.

12. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων.

α. f(x) = ημ (x-

4) β. f(x)= 2 2x

3

γ. f(x)=2συν 4x

13. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) ( x) 0, , , η οποία έχει μέγιστη τιμή το

5 και περίοδο 3

,να βρείτε τις τιμές των και ω.

14. Το διπλανό σχήμα παριστάνει

τη γραφική παράσταση της

0 g(x) ( x), ,

Nα βρείτε τις τιμές των πραγματικών

αριθμών ω, .

15. Δίνεται η συνάρτηση 2

3

xf(x) με x και α>0,

i. Αν η μέγιστη τιμή της f είναι το 3 και η γραφική παράσταση τέμνει τον ψ΄ψ στο

1 βρείτε τον τύπο της f .

ii. Να κάνετε την γραφική παράσταση σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου και στο

διάστημα να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα

χ΄χ.

16. Δίνεται η συνάρτηση: 3

h x 2x 2 2x2


[38]

Ι. Να αποδείξετε ότι h x 3 2x .

ΙΙ. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση h x , όταν

0 x 2 .

ΙΙΙ. Να βρείτε πόσες λύσεις έχει η εξίσωση h x 1 όταν 0 x 2 .

17. Δίνεται η συνάρτηση: 7

g x 3x 3x2

i) Να αποδείξετε ότι g x 2 3x .

ii) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση g x , όταν

0 x 2 .

iii)Να βρείτε πόσες λύσεις έχει η εξίσωση g x 1 όταν 0 x 2

18. Δίνεται η συνάρτηση 2 + ημ(x - π) -συν(x + π)

f(x) =3+ συν(x - π) + ημ(x + π)

.

α) Να αποδειχθεί ότι 2 - ημx + συνx

f(x) =3- ημx - συνx

.

β) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της f.

γ) Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός Τ = 2π

είναι περίοδος της

f(x).

19. Δίνονται οι συναρτήσεις (2 1)x

f (x) 3 23

και

( 2)xg(x) 6 10 3

4

να βρεθούν τα 2, και 0, αν είναι

γνωστό ότι έχουν την ιδία μέγιστη τιμή και η περίοδος της f είναι τριπλάσια από την

περίοδο της g .

20. Nα λυθεί η ανίσωση 2

x 2x6 3

όταν

2x ,

2 3

21. Δίνεται περιοδική συνάρτηση f με περίοδο Τ , Τ > 0, και πεδίο ορισμού το R.

Στο διάστημα [0 , Τ] η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή το 2016 για το

μοναδικό x = 4

και στο διάστημα [2Τ , 3Τ] η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή

για x = 9

4

.

i) Να βρεθεί η περίοδος Τ της συνάρτησης.

ii) Αν f (x) ( x) να βρείτε το α και το ω και να σχεδιάσετε την γραφική

παράσταση της συνάρτησης στο διάστημα [0 , 3Τ].

22. Δίνεται η συνάρτηση: f x 2 2 x 2x

i)Να αποδείξετε ότι f x 2x .

ii)Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α, την περίοδο και τα ακρότατα της f(x).

iii)Να χαράξετε τη γραφική παράσταση Cf της f(x).


[39]

iv)Να χαράξετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων:

α) g x f x 2 β) g x f x 1

γ) π

g(x) f x3

δ)

πg(x) f x

2

23. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

i) f (x) x ii) f (x) x iii) f (x) x iv) f (x) x


f (x) 2ημ(π 2x) συν 2x2

α) Να αποδείξετε ότι f(x) = 3ημ2x

και να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f.

β) Να βρείτε την περίοδο, το μέγιστο και το ελάχιστο της f.

γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση Cf της f.

δ) Να εξετάσετε αν η εξίσωση f(x) = 4

έχει λύση.


2ημ x ημ(x π) 1

f (x)3 ημ(x π) συν(x π)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της

f.

γ) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός Τ = 2π

είναι περίοδος της

f.

26. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2συν3x.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f(x).

β) Να βρείτε την περίοδο και τα ακρότατα της f(x).

γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της f(x).

δ) Να λύσετε την εξίσωση x

2 = 2(συν3x – 1).

27. Μια συνάρτηση f : R R

έχει την ιδιότητα:

f(x) + f(x + 1) + f(x + 2) = 0, για κάθε

xR . Να αποδειχθεί ότι:

α) f(x + 3) = f(x), για κάθε

xR

.

β) Η f είναι περιοδική με περίοδο

Τ = 3.

γ) Ο αριθμός Τ = 6

είναι επίσης περίοδος της

f(x).

28. Δίνεται η συνάρτηση:

x 20 x 22

f x7

x 5 x 42

.

α) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f. β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

γ) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο 2 .

δ) Να λύσετε την εξίσωση 1

f x2

.

29. Δίνεται η συνάρτηση 2x

f x , 0,3

η οποία έχει μέγιστο το 3 και η

γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y΄y στο 1.

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 1.

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ.

γ) ) Να αποδείξετε ότι

2

2 3f x 1 f x 1 4

4.

δ) Να λύσετε την εξίσωση f 6x f 3x στο διάστημα 0, .


[40]

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

1. Έστω η συνάρτηση f(x) = (α+1)συν(βπx), όπου α και β είναι θετικοί πραγματικοί

αριθμοί.

i.Αν η μέγιστη τιμή της f(x) είναι 3 και η περίοδός της είναι 4, να αποδείξετε ότι

α = 2 και β =1

2.

ii. Για τις τιμές α = 2 και β =1

2, να λύσετε την εξίσωση f(x) =

3

2 .

2. Οι ετήσιες πωλήσεις ενός προϊόντος (σε δεκάδες χιλ .κομμάτια ) δίνονται κατά

προσέγγιση από τον τύπο: t

f (t) 15 23

,όπου t ο χρόνος σε έτη 0 t 6 .

i. Να βρεθεί το έτος που θα έχουμε το μέγιστο αριθμό πωλήσεων και πόσες θα

είναι αυτές;

ii. Σε ποιο έτος οι πωλήσεις θα φτάσουν τις 160.000 κομμάτια.

3. To βάθος του νερού κάτω από τη γέφυρα του Ευρίπου κατά τη διάρκεια της

ημέρας δίνεται από τη συνάρτηση t

f (t) 20 4 ,3

όπου t o χρόνος σε ώρες

με 0 t 24 .

i. Να βρεθεί η περίοδος της συνάρτησης.

ii. Ποιο είναι το μέγιστο και το ελάχιστο βάθος του νερού;

iii. Αν το ύψος της γέφυρας είναι 30μ( από τον πυθμένα του νερού) να ελεγχθεί αν

το σκάφος ύψους 8μ πάνω από (την επιφάνεια του νερού) μπορεί να περάσει

κάτω από τη γέφυρα στις 12 το πρωί.

iv. Ποια ώρα της ημέρας το βάθος του νερού είναι 18μ;

4. Δίνεται η συνάρτηση 2f x 2 x 5 x 1 .

α) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο 2π.

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες.

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2

2 2f x 2 x 8 f x 2 x 20 0

5. Δίνονται οι συναρτήσεις f x 2 2 x και g x x ,

, 0 .

Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο, τότε:

α) να αποδείξετε ότι 1 .

β) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης f g3 4

γ) Να λύσετε την εξίσωση f x 3 2g x στο διάστημα , 2 .

6. Δίνεται η παράσταση: 2f x x 2 x 2 , x

α) Να παραγοντοποιήσετε την f.

β) Να αποδείξετε ότι f x 0 , x .


[41]

γ) Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες f x 0 .

δ) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια.

ε) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο 2π.

στ) Να αποδείξετε ότι η f έχει μέγιστο το 4.

7. Δίνεται η συνάρτηση f x x4

, , της οποίας η γραφική

παράσταση διέρχεται από τα σημεία A , 1 , B ,14 4

, τότε:

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 1

β) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης καθώς

και την περίοδό της.

γ) Να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της f .

δ) Να λύσετε την εξίσωση f 2x 24

.

ε) Να αποδείξετε ότι: 3 5 7 9

f f f f f 14 4 4 4 4

8. Δίνεται η συνάρτηση 2f x x x 2, x .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο 2 .

β) Να αποδείξετε ότι κανένα σημείο της γραφικής παράστασης της f δεν

βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ.

γ) Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f στο διάστημα

0, με τεταγμένη 2.

δ) Να λύσετε στο διάστημα 0,2 την εξίσωση: f x f x2

.

9. Δίνεται η συνάρτηση 2 2f x x x 3 x 2, x .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο 2 .

β) Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο το 1

8 .

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον

άξονα χ΄χ.

δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τη

γραφική παράσταση της συνάρτησης g x 2 3 x .

ε) Να λύσετε στο διάστημα 0, την εξίσωση: f x f x2

.

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

[42]

3.6. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Τυπολόγιο:

1

1

1( )

1( )

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις :

Α=5 5

12 12 12 12

Β=

7 5 7 5

12 12 12 12

Γ= 0 0 0 063 27 27 63

Δ= 0 0 0 050 40 40 50

2. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 5

12

και

7

12

.

3. Αν 0<x<2

και

2

<y<π και

12x

13 ,

3y

4 να υπολογιστούν:

i) x y x y ii) x y x y


0 0

2 2

2 2

i) 24 4

ii) ( )

iii) x 120 x 240 x 0

2iv) 3

1 2

5. Έστω συνάρτηση 2 2f (x) x (x ) 2 x. . (x ) .Δείξτε ότι η

f είναι σταθερή (ανεξάρτητη του x).

6. Αν 0225 , να δείξετε ότι 1

1 1 2

.

7. Αν ( ) 0 , να δείξετε ότι: (2 ) ( )


[43]

8. Αν 090 να αποδειχθεί ότι:

i) 1

ii)

iii) 2. . .

9. Αν x y και x y , να βρείτε το x y και να

δείξετε ότι 2 2 4 .

10. Αν σ΄ ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση 2 , να δείξετε ότι

είναι ισοσκελές.

11. Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: (B )

( )

.Τότε το τρίγωνο είναι

ορθογώνιο.

12. Στο εικονιζόμενο τρίγωνο δίνεται ότι ΓΔ=2x,ΑΔ=x και ΑΒ=4x.Να δείξετε ότι:

i) 8

19

ii)

13. Έστω ότι: ΜΛ=3,ΚΛ=4,ΔΛ=x,και ΜΔ

διχοτόμος της

Να δείξετε ότι:

i) 1

ii) ii)Να βρείτε την τιμή του x.


i) 2 x x 6

ii) x 1 x

4 4

iii) x x 2 34 4

3

iv)συν2x συνx ημ2x ημx2

15. Οι πωλήσεις, σε εκατοντάδες χιλιάδες, ενός σχολικού προϊόντος από μια

εταιρεία με σχολικά είδη δίνονται από τη συνάρτηση

t tf (t) 2

6 6

εκατοντάδες χιλιάδες , όπου t ο χρόνος σε μήνες

από την έναρξη της σχολικής χρονιάς, (Σεπτέμβριος) και α σταθερός πραγματικός

αριθμός με 0 ,2

.


[44]

i) Να δείξετε ότι 1 t

f (t) 26

ii) Αν γνωρίζουμε ότι οι μέγιστες πωλήσεις της εταιρείας είναι 400000

μονάδες προϊόντος να υπολογίσετε την τιμή της σταθεράς α και κατόπιν να

απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα:

α. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός των πωλήσεων του προϊόντος;

β. Γιατί οι πωλήσεις του προϊόντος στον ίδιο μήνα κάθε χρόνο είναι οι ίδιες;

γ. Σε ποιόν μήνα του χρόνου οι πωλήσεις του προϊόντος είναι μέγιστες και σε

ποιον ελάχιστες;

H ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=αημx+βσυνx

Θυμίζουμε

H συνάρτηση f(x)=ρημx

H συνάρτηση αυτή έχει περίοδο 2π

έχει ελάχιστο και μέγιστο το .

Η συνάρτηση f(x)=ρημ(x+φ)

Έχει περίοδο 2π, ελάχιστο

και μέγιστο , ενώ είναι

μετατοπισμένη αριστερά κατά φ.

Η συνάρτηση f(x)=αημx+βσυνx

Όταν εμφανιστεί παράσταση της παραπάνω μορφής είτε στη μελέτη

συνάρτησης είτε στη λύση εξίσωσης, χρησιμοποιούμε το μετασχηματισμό.

H συνάρτηση f(x)=αημx+βσυνx μπορεί να πάρει τη μορφή αημx+βσυνx=ρημ(x+φ)

όπου ρ= 2 2 και ,

, οπότε ανάγεται στην προηγούμενη

μορφή. Η περίοδος μιας συνάρτησης f(x)=ρημ(αx+φ) είναι 2

.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

16. Να βρεθεί η περίοδος, η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή των παρακάτω

συναρτήσεων και στη συνέχεια να παρασταθούν γραφικά.

i) f x 2 2x6

ii) g x 2 4x

8

17. Να γράψετε στη μορφή f(x)=ρ ημ (x+φ) τις παρακάτω συναρτήσεις και στη

συνέχεια να τις παραστήσετε γραφικά:

i) f(x)=ημx+συνx ii) f(x)=ημx+ 3 συνx

iii) f(x)=ημ3x+ 3 συν3x iv) f(x)= 3 ημx+συνx

0

2

2

3

π

2

π

0

2

2

3

π 2

π


[45]


i) x 3 x 1 ii) 3

2x 2x 13

iii) 3 x x 2

19. Δίνεται η συνάρτηση f x x x , x .

i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παίρνει τη μορφή 5

f x 2 x4

.

ii) Να λύσετε την εξίσωση: x x 2

(ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛ ΣΕΠΤ 2000)

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2α

[46]

3.7. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2α

Τυπολόγιο

ημ2α=2ημασυνα εφ2α=2

2

1

συν2α=συν2α-ημ

2α=2συν

2α-1=1-2ημ

2α σφ2α=

2 1

2

Τύποι αποτετραγωνισμού

ημ2α=

1 2

2

, συν

2α=

1 2

2

, εφ

2α=

1 2

1 2

Τύποι του 2α συναρτήσει της εφα

ημ2α=2

2,

1

συν2α=

2

2

1,

1

εφ2α=

2

2

1

Τύποι συναρτήσει του 2

ημα=2ημ ,2 2

συνα=συν

22 ,

2 2

εφα=2

22

12

ημ2

1

2 2

συνα =2συν2 1

2

συν2

1

2 2

συνα =1-2ημ2

2

εφ

21

2 1

ημα=2

22 ,

12

συνα=

2

2

12

12

Τύποι του 3α

ημ3α=3ημα-4ημ3α, συν3α=4συν

3α-3συνα


[47]

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Αν συνα=1

4 και π<α<

3

2

υπολογίστε το ημ2α και το συν2α.

2. Αν εφα=2 να υπολογίσετε τα ημ2α, συν2α, εφ2α.

3. Αν ημα+συνα=2

3 να υπολογιστεί το ημ2α και το συν2α αν γνωρίζουμε ότι

0.4

4. Για τη γωνία α ισχύει ότι: 5 2 14 7 0 .

i) Να αποδείξετε ότι 3

5

ii) Αν επιπλέον ισχύει: 3

2

, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς

αριθμούς ημ2α , συν2α, εφ2α .

(ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ Ιούνιος 2001)

5. Να δείξετε ότι

α)

21 24 2

β)

2

4 1 2

γ) εφ (π

4 + α) - εφ (

π

4 - α) = 2εφ2α


i) 1 + συν4α + συν2α

ημ4α + ημ2α = σφ2α ii)

ημ2α

1 + συν2α

συνα

1 + συνα = εφ

α

2

12iii)

11

2

12iv)

2

2


α) 3 5 7 1

1 1 1 . 18 8 8 8 8

β) 4 4 3 3

8 8 4

γ) 2 45 1

12 12 16

8. Έστω οτι ισχύει η σχέση 2x 2x 1 με x 0,2

.

i) Να υπολογίσετε την x .

ii) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του τόξου 2x.



[48]

ι)2 4 1

7 7 7 8

ιι)

2 4 8 1

17 17 17 17 16

10. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 2συνΓσυνA

2=ημΑ, να δείξετε ότι το τρίγωνο

είναι ισοσκελές


2

3 2

xi) 2x x 0 ii) x 2 iii) 2x x 2

2

xiv) 2x x 2 x 1 v) 1 x 2x x 0 vi) 2x 2 0

2


ι) 3 (2ημx+1)+2συν2x=2+2ημx ιι) 1+συνx+συν2x=0

ιιι) συν2x=4συνx+5 ιν) συν2x+6συν2x=1

ν) 1+συν2x=6ημ2x νι) συνx+2ημ

x

2=1

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

[49]

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

1. Δίνεται η συνάρτηση 2 2f x 2 x x 2 x 4 x , x .

i) Να μετατρέψετε τη συνάρτηση f στη μορφή f x 2x ,ρ,φ,κ

ii) Να βρείτε για ποιες τιμές του x η συνάρτηση παίρνει τη μέγιστη τιμή της και

ποια είναι αυτή.

iii) Να λύσετε την εξίσωση: f x f x 24

στο διάστημα [0 , π ]

(ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ Ιούνιος 2000)

2. Δίνεται η συνάρτηση f (x) 1 x x με. x 0,2

i) Να δείξετε ότι x x x

f (x) 22 2 2

για κάθε x 0,2

ii) Να βρείτε τις τιμές του x 0,2 για τις οποίες ισχύει f (x) 0

iii) Για τις τιμές του x που βρήκατε στο (ii) ερώτημα να δείξετε ότι f ( x) x

1f (x) 2

3. Δίνεται η συνάρτηση 4 4f x 8 x 8 x 3,x

i) Να δείξετε ότι f x 2 4x 3

ii) Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της

συνάρτησης f.

iii) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων Μ x,f x με x 0,2 ,στις

οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει την ευθεία y=2

4. Δίνεται η συνάρτηση 1 2x

f xx x

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της .

ii) Να δείξετε ότι f x x x

iii) Να λύσετε την εξίσωση f x 1

5. Δίνεται η συνάρτηση: π π

f (x) 3 2ημ x συν x , x4 4

i) Να αποδείξετε ότι f x 3 2x

ii) Να αποδείξετε ότι 2 f (x) 4 για κάθε xR.

iii) Να βρείτε τις τιμές του xR

για τις οποίες η συνάρτηση f παίρνει τη μέγιστη

τιμή της.

iv) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης f;

v) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) σε πλάτος μίας περιόδου.

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

[50]

4.1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ

Ορισμοί

Μονώνυμο του x ονομάζεται κάθε παράσταση της μορφής αxv, όπου α , ν

και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από το .

• Μονώνυμο του x λέμε επίσης κάθε πραγματικό αριθμό.

Πολυώνυμο του x

ονομάζεται κάθε

παράσταση της μορφής v v 1v v-1 1 oα x α x ...α x+α

,όπου 0 1, ,..., είναι

πραγματικοί αριθμοί και v φυσικός αριθμός.

Για να απλουστεύσουμε τη γραφή των πολυωνύμων χρησιμοποιούμε τους

συμβολισμούς P(x), Q(x), Φ(x)… κ.λπ.

Επομένως, πιο απλά γράφουμε: v v 1

v v-1 1 0P x α x α x ...α x α

Στοιχεία ενός πολυωνύμου

Παράδειγμα:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ναxΣυντελεστής α

Μονώνυμο του x

Κύριο μέρος νx

Βαθμός ν

Όροι λέγονται τα μονώνυμα

ν ν 1

ν ν 1 0α x ,α x ,...,α

Συντελεστές λέγονται

οι πραγματικοί

αριθμοί 0 1 να ,α ,...,α

Σταθερός όρος είναι

το όρος 0α

που δεν περιέχει x

Βαθμός

είναι

ο εκθέτης ν

ν ν 1ν ν 1 1 0 νP(x)=α x α x ... α x+α , α 0

Αριθμητική τιμή 0P(x )=0 λέγεται ο

αριθμός 0

ν ν 10 ν ν 1 0 1 0 0P(x )=α x α x ... α x +α

που προκύπτει αν στο P(x) θέσουμε όπου x

το x0

αντικαταστήσουμε το x με 0x

Ρίζα του P(x)

λέγεται ένας αριθμός ρ

αν και μόνο αν

P(ρ)=0


[51]

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑ

1. Να βρείτε για ποιες τιμές του α το πολυώνυμο :

2 3 3 2P(x) 4 x 3 3 5 2 x 2 4 είναι το μηδενικό

πολυώνυμο.

2. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ για τον οποίο το πολυώνυμο

2 3 2P x 2 x 5 6 x 12

είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

3. Να προσδιορίσετε το βαθμό του πολυωνύμου

2 4 2P x 6 8 x 2 x 3 10 για τις διάφορες τιμές του .

4. Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου :

2 3 2 2P(x) ( 1) 9 x 4 3 x 3 9 , για τις διάφορες τιμές του

.

5. Να βρείτε το για το οποίο τα πολυώνυμα 3 2 2P x 5x x 9 8 και

3 2Q x 4 x x 1 είναι ίσα.

6. Να βρείτε τα , , , για τα οποία το πολυώνυμο

4 3 2P x x x x x 16 είναι τέλειο τετράγωνο του 2Q x x x .

7. Για ποιες τιμές των α,β τα πολυώνυμα Ρ(x) και Π(x) είναι ίσα ;

i) 3x x x 1 και 3 2x x x 2x 1

ii) 2 3 2x x 3x x 2 και 3 2 2x x 2 x x

8. Να βρείτε τις τιμές των α, β ,ώστε οι αριθμητικές τιμές του πολυωνύμου 3 2P(x) x (2 3 )x (2 )x ,για x 1 και x 1 ,να είναι 3 και –5

αντίστοιχα.

9. Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x)=(α2-3)x

3+(β-2)x

2+(3α-2β)x+α και

Q(x)=2x3+αx

2+9x+γ. Να βρείτε τις τιμές των α,β,γ ώστε το πολυώνυμο

Π(x)=Ρ(x)+Q(x) να είναι :

α) το μηδενικό πολυώνυμο β)μηδενικού βαθμού γ) 3ου

βαθμού

10. Δίνονται τα πολυώνυμα 3 2P x 4x 6x 4x 8 και

3 2Q x x x x . Να βρείτε τι πρέπει να ισχύει για τους αριθμούς

α,β,γ,δ, ώστε το πολυώνυμο P x Q x , να είναι:

α) 3ου βαθμού β) το πολύ 2ου βαθμού γ) μηδενικού βαθμού


[52]

11. Να βρείτε πολυώνυμο Ρ(x) δευτέρου βαθμού αν ισχύουν:

Ρ(-1)=1, Ρ(0)= -4, και Ρ(2)+2=0

12. Να προσδιοριστεί ο α R ώστε το πολυώνυμο P (x) = 9x3 - 3x

2 + 8x - 27

να παίρνει τη μορφή α (x3 + x) - 3x

2 + (x - 3) (x

2 + 3x + 9).

13. Δίνονται τα πολυώνυμα: P(x) = x4 – (α + β)x

3 + γx

2 – (α + δ)x + β – δ

και Q(x) = (β – α)x4 – γx

3 + (β + δ)x

2 – βx + 1. Αν

P(x) = Q(x):

α) να βρείτε τις τιμές των α, β, γ και δ,

β) να εξετάσετε αν το ρ = 1

είναι ρίζα του P(x).

14. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β,γ,δ για τους οποίους ισχύει:

2 22 2

2 x δ

x x x 1x x 1

15. Να αναλυθεί η κλασματική παράσταση 2

3x 3

x 9

σε άθροισμα κλασμάτων.

Β΄ΟΜΑΔΑ

16. Αν το πολυώνυμο P (x) = x2 + (α - 1) x + 2α έχει ρίζα το - 1

αποδείξτε ότι το ίδιο ισχύει και για το Κ (x) = x3 + 4x

2 + (α

2 - 1) x.

Το αντίστροφο ισχύει;

17. Δίνεται το πολυώνυμο P(x)= 2 3 2 2x ( )x ( )x 1 .Αν η τιμή του

πολυωνύμου P(x) για x=1 είναι ίση με –3,τότε:

i) Να βρεθούν οι τιμές των α, β.

ii) Να βρεθεί ο βαθμός του P(x),

iii) Να βρεθεί το πολυώνυμο Q(x)=P(P(x-2))

18. Να βρείτε το πολυώνυμο Ρ(x) τέτοιο ώστε Ρ(x)+[P(x)]2=2x(2x+3)+2.

19. Να βρείτε το πολυώνυμο Π(x) δευτέρου βαθμού τέτοιο ώστε Π(x)= 2 1x

x

και Π(1)=Π(-1)-6=1.

20. Θεωρούμε δύο πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) με Q(x)=Ρ(Ρ(x)). Αν ρ είναι μία ρίζα

του Ρ(x)-x, να δείξετε ότι είναι ρίζα και του Q(x)-x.

21. Δίνονται τα πολυώνυμα P x και Q x για τα οποία ισχύει ότι

P x 2 Q x 1 2 . Να αποδείξετε ότι:

α) τα P x και Q x είναι σταθερά πολυώνυμα.

β) P x Q x 4 2Q x P x

22. Σε ένα πολυώνυμο P(x) ο σταθερός όρος είναι 2 και το άθροισμα των


[53]

συντελεστών ισούται με 3.Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός χ=1 είναι ρίζα του

πολυωνύμου Q(x)=P(P(P(x)-3)-2)-2x.

23. Έστω πολυώνυμο P(x) τέτοιο, ώστε : P(2x 1) 2P(x) 3 για κάθε x και

P(0) 0 .Να υπολογίσετε το P(15).

24. Αν A(x) και B(x) είναι δύο πολυώνυμα χωρίς ρίζες, να αποδείξετε ότι τα

πολυώνυμα: P(x) = 2A(x) + 3B(x) και Q(x) = 3A(x) + 2B(x)

δεν έχουν κοινή ρίζα.

25. Αν το πολυώνυμο 3 2P x x 3x 3x 3 έχει ρίζα τον θετικό αριθμό ν, να

αποδείξετε ότι 4 .

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

[54]

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Η ταυτότητα της διαίρεσης

A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα

της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι:

Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0

υπάρχουν δύο μοναδικά

πολυώνυμα π(x) και υ(x) τέτοια, ώστε:

Δ(x) = δ(x) π(x) + υ(x)

όπου το υ(x) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό

του δ(x).

Το Δ(x) ονομάζεται διαιρετέος, το δ(x) διαιρέτης, το π(x) πηλίκο και το υ(x)

υπόλοιπο της διαίρεσης.

Β. α) Αν Δ(x) = δ(x)

π(x),

δηλαδή αν το υπόλοιπο υ(x) της διαίρεσης

Δ(x) : δ(x) είναι

το μηδενικό πολυώνυμο (υ(x) = 0),

τότε λέμε ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x) ή ότι

το Δ(x) διαιρείται με το δ(x). Το δ(x) λέγεται επίσης παράγοντας του Δ(x) ή

διαιρέτης του Δ(x) και η διαίρεση του Δ(x) με το δ(x) λέγεται τέλεια.

Διαίρεση πολυωνύμου με x - ρ

A. Για τη διαίρεση ενός πολυωνύμου P(x) με ένα πολυώνυμο της μορφής x – ρ

ισχύουν τα εξής συμπεράσματα:

α) Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x – ρ

είναι ίσο με

την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ.

Ισχύει δηλαδή ότι:

υ = Ρ(ρ)

β) Ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x – ρ,

αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα

του Ρ(x), δηλαδή αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0.

Για να βρούμε λοιπόν το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x – ρ),

αρκεί να βρούμε

το Ρ(ρ). Αν Ρ(ρ) = 0,

τότε το

x – ρ

είναι παράγοντας του P(x) και αντιστρόφως.

Τονίζουμε ότι:

Το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x + α)

είναι

υ = Ρ(-α).

Το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (αx + β)

είναι

,

όπου

α 0.

Τα παραπάνω συμπεράσματα δεν ισχύουν, αν ο διαιρέτης είναι δευτέρου ή

μεγαλύτερου βαθμού.

Β. Δίνεται το πολυώνυμο P(x). Τότε οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες:

i. Το P(x) διαιρείται με το x – ρ.

ii. Το x – ρ

διαιρεί το P(x).

iii. Το x – ρ

είναι διαιρέτης του P(x).

iv. Το P(x) έχει παράγοντα το x – ρ.

v. Το x – ρ

είναι παράγοντας του P(x).

vi. Η διαίρεση του P(x) με το x – ρ

είναι τέλεια.

vii. Ο αριθμός ρ είναι ρίζα του P(x).

viii. Ισχύει ότι Ρ(ρ) = 0.


[55]

ix. Το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x – ρ)

είναι ίσο με μηδέν.

Αυτό σημαίνει ότι αν ισχύει (αν δοθεί) μία από αυτές, τότε θα ισχύουν συγχρόνως

όλες μαζί. Συνήθως όλες αυτές τις προτάσεις τις συσχετίζουμε με την (viii), διότι η

πρόταση Ρ(ρ) = 0

είναι αμέσως αξιοποιήσιμη.

Γ. Έστω P(x) = ανx

ν + αν-1x

ν-1 + … + α1x + α0 ,

με

αν 0.

Αν ρ1 , ρ2 , …, ρν είναι οι ρίζες του P(x), τότε ισχύει ότι:

P(x) = αν(x – ρ1)(x – ρ2) … (x – ρν)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑ

1. Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης.

α) (x4 + x

3 + 3x

2 + 2x + 7) : (x

2 + 1)

β) (x4 – 2x

3 + 5x

2 – 4x + 6) : (x

2 – 2x + 3)

γ) (x5 + x

4 + 2x

3 + 2x

2 + 4x + 2) : (x

2 + x + 1)

δ) (3x3 - 4αx + α

2) : (x - 2α)

ε) [7x3 - (9α + 7α

2) x + 9α

2] : (x - α)

2. Να βρείτε πολυώνυμο f(x) που όταν διαιρείται με x2+1 δίνει πηλίκο 3x+2 και

υπόλοιπο -x+3.

3. Να βρείτε τα κ,λ ώστε το Ρ(x)=x4+1 να διαιρείται ακριβώς με x

2+κx+λ.

4. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner,να βρεθούν τα πηλίκα και τα

υπόλοιπα των διαιρέσεων :

i) 4 3 2x 2x 5x 3x 14 : (x 2) ii) 3 22x x 7x 5 : (x 1)

iii) 5 2x 3x x 1 : (x 1) iv) 2 25x 2 x 3 : (x )

5. Να βρείτε το ,ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου:

3P(x) 2 x ( 3)x 3 3 με το x 1 ,να είναι 12.

6. Να βρείτε α, β ,ώστε το πολυώνυμο

4 3 2P(x) x 1 x (2 3 )x 7 x 10 ,να έχει παράγοντες τους

x 1 και x 2 .

7. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x2014

– x2012

+ x2010

+ x - 2

α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1.

β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x – 1.

γ) Ποιο από τα πολυώνυμα x + 1

και

x – 1 είναι διαιρέτης του P(x);

8. Δίνεται το πολυώνυμο 3 2P(x) x (2 1)x ( )x 1 .Να βρείτε τα α, β ,

ώστε το P(x) ,να έχει παράγοντα το x 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x)

με το x 1 ,να είναι 4.

9. Να βρείτε τα α, β, ώστε το πολυώνυμο


[56]

4 3 2x x 3 2 x 3 2 x 5 x 6 να έχει παράγοντα το

x2+x-2.

10. Αν το x-3 είναι παράγοντας του Ρ(x), να δείξετε ότι το x-2 είναι παράγοντας του

Q(x)=Ρ(4x-5).

11. Έστω πολυώνυμο P(x) με ακέραιους συντελεστές και P(1) P(3) 5 .

Δείξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης 2P(x) : x 4x 3 είναι 5 .

12. Αν το πολυώνυμο Ρ(x) διαιρούμενο με το πολυώνυμο x2-x δίνει υπόλοιπο 2x+1,

να βρείτε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων Ρ(x):x και Ρ(x):x-1.

13. Αν οι διαιρέσεις ενός πολυωνύμου Ρ(x) με τα x+1 και x-2 δίνουν αντίστοιχα

υπόλοιπα 3 και -3, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x): (x2-x-2).

14. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο 3 2P(x) 2x 5x 9x 18 διαιρείται με το γινόμενο (x 2)(x 3) και να βρείτε το

πηλίκο.

15. Να βρείτε το α, β ,ώστε το πολυώνυμο 3 2P(x) x 2 x x 6 ,να

διαιρείται με το γινόμενο (x 2)(x 3) .

16. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε το πολυώνυμο

3 2P x x x 1 x 5 να έχει για παράγοντα το x 1 x 2 .

17. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner, να δείξετε ότι το

4 3 2P(x) 2x x x 7x 5 έχει παράγοντα το 2(x 1) .

18. Να βρείτε το α, β ,ώστε το πολυώνυμο 3 2P(x) x 5x x 12 ,να

έχει παράγοντα το 2(x 2) .

19. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε το πολυώνυμο

3 2P x x x 3 x 10 να έχει για παράγοντα το 2

x 2 .

Β΄ ΟΜΑΔΑ

20. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = xν+1

– (ν + 1)x + ν όπου νN

*. Να αποδείξετε ότι:

α) το P(x)

έχει παράγονται το

x – 1,

β) το P(x)

διαιρείται με το

(x – 1)

2.

21. Αν το πολυώνυμο P (x) = αxν+1

+ βxν + 1 έχει παράγοντα το (x - 1)

2 αποδείξτε ότι

το πολυώνυμο Q (x) = (ν + 1) αxν + νβx

ν-1 έχει παράγοντα το x - 1.

22. Αν το πολυώνυμο P (x) = (ν + 1) xν - νx

ν+1 + α διαιρείται με το x - 1, τότε

αποδείξτε ότι διαιρείται και με το (x - 1)2.


[57]

23. Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο 3 3 1P(x) (1 3 )x 3 x 1 διαιρείται με

το 2x 2x 1 .

24. Να βρείτε τους λ,μR ώστε το πολυώνυμο x4+(λ-μ)x

3+2λx

2-5x+4 να διαιρείται

με τη μεγαλύτερη δυνατή δύναμη του x-1.

25. Δίνεται το πολυώνυμο 1821 1453

P x x x 2 x 1 2

α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P x με το 3 2Q x x 3x 2x .

β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 1821 145310 8 9 89 είναι πολλαπλάσιο του720.

26. Δίνεται το πολυώνυμο 20 15

P x x 4 2x 5 2 .

α) Να αποδείξετε ότι το x 3 είναι παράγοντας του P x .

β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 40 152 11 2 είναι πολλαπλάσιο του 5.

γ) Να αποδείξετε ότι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 20 159 21 1 είναι το 3.

27. Ένα πολυώνυμο P(x) έχει την ιδιότητα:

xP(x + 1) + (x + 2)P(x + 3) = 2x5 -2x

2 -10 για κάθε

xR

.

i) Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x)

με τα

x – 3

και

x + 1.

ii) Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο:

Q(x) = x2 – 2x – 3

28. Δίνονται τα πολυώνυμα : 3 2P x x ax 1 2a x 4 και

3 2Q x 1 a x x 2a 1 x 5 .Τα πολυώνυμα P(x) και Q(x),όταν διαιρεθούν με

το x-1,αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο.

α) Να βρείτε τον αριθμό a

β) Αν R(x)=Q(x)-P(x),τότε:

i) Να αποδείξετε ότι το x-1 είναι διαιρέτης του R(x)

ii) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του R(x) με το 2

x 1 .

29. Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντες τους x-α και x-β, αβ, να δείξετε ότι

διαιρείται ακριβώς με (x-α)(x-β).

30. Δίνονται δύο πολυώνυμα P(x) και Q(x) με τις ιδιότητες:

α. Υπάρχει α τέτοιο ώστε P(α)-1=Q(α)-1=0.

β. P(x)=Q(x)+Q(P(x))+P(Q(x)).

Να δείξετε ότι το πολυώνυμο R(x)=P(x)+Q(x) διαιρείται με x-1.

31. Αν Π(x) είναι το πηλίκο της διαίρεσης Ρ(x): (x-α), να δείξετε ότι το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x): (x-α)2 είναι υ(x)=Π(α)x+Ρ(α)-αΠ(α).

32. Αν τα πηλίκα των διαιρέσεων Ρ(x): (x-α) και Ρ(x): (x-β), αβ είναι αντίστοιχα

Π1(x) και Π2(x), να δείξετε ότι Π1(β)=Π2(α).

33. Έστω πολυώνυμο Ρ(x) με Ρ(1)=1 και Ρ(x)=Ρ(1-x). Να δείξετε ότι υπάρχει

πολυώνυμο Q(x) έτσι ώστε Ρ(x)=x(x-1)Q(x)+1.

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

[58]

4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Αν η εξίσωση ανxν+αν-1x

ν-1+ . . . +α1x+α0 = 0 με αν,αν-1, . . . ,α1,α 0 Ζ :

έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α0.

έχει ρίζα το κλάσμα

, τότε το κ διαιρεί το α0 και το λ διαιρεί το αν.

Αν Ρ(x) πολυώνυμο και α,βR έτσι ώστε Ρ(α)Ρ(β)<0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα

ξ(α,β) τέτοιο, ώστε Ρ(ξ)=0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑ

1. Να λύσετε τις εξισώσεις :

i) x4+5x

3+6x

2=0 ii) 4 3 23x 8x 12x 32x 0

iii) 2 22x 8 (x 2)(2x 1) x 5x 6 iv) 3 2x 2x 6x 27 0

v) (x + 1)2(2x – 3) – (x

2 – 1)

2 = 0 vi) (x+3)

3-27=0


i) 3 2x x 10x 8 0 ii) 4 3 2x 3x x 3x 2 0

iii) 3 24x 8x x 3 0 iv) 4 3 26x 7x 12x 3x 2 0

v) 3 22 5 17x x x 0

3 2 6

3. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

f(x)=x4-4x

3+10x

2+20x-10 και g(x)=5x

3-8x

2+2x+30.

4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 3 2x x 2x 3x 3 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες.

5. Να βρείτε το κ, ώστε η εξίσωση x6-3x

4-6x

2+κ = 0 να έχει ρίζα το 2. Στη συνέχεια

λύσετε την εξίσωση.

6. Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου 2 2 2x x x 5x 6 x 4 .

7. Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου 2 2x 2 3 2x x x 5x 8 .

8. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:

i. 25x 10 x 3 x 9x 20 0 ii. 2 210 x 3x x 2x 1 0

iii. 2 21 x x 8x 16 0 iv. 2 2x 4x 6 4x 5 x 0

v. 2 23x 2x 1 x 6x 9 0 vi. 2 2 24 1 x x x x 2x 3 0

9. Να λύσετε τις ανισώσεις:

i) x4-x

3+3x

2-3x 0 ii) x

3+3x

2-x-3<0

iii) x3-4x

2+2x-8>0 iv) x

4-5x

2+6 0

10. Να λύσετε τις ανισώσεις :


[59]

i) x3-5x

2+8x-4 > 0 ii) x

4+2x

3 7x

2+20x +12 iii) x

4+3x

2+x < 5x

3

11. Δύο ρίζες της εξίσωσης: x4-(2α+1)x

3+5x

2+(β-2)x-6=0

είναι οι x = 1

και

x = 2. Να βρείτε:

i) τις τιμές των α και β, ii) τις άλλες ρίζες της εξίσωσης.

12. Η εξίσωση x3+αx

2+βx+2 = 0 να έχει διπλή ρίζα το 1. Να βρείτε:

i) τις τιμές των α και β, ii) την άλλη ρίζα της εξίσωσης.

13. Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 2f x x x x x 2 ,x .

Α. Να αποδείξετε ότι το x+1 είναι παράγοντας του f(x) και να βρείτε το πηλίκο

π(x) της διαίρεσης του f(x) με το (x+1).

Β. Να αποδείξετε ότι το x – 2 είναι παράγοντας του π(x) και να βρείτε το πηλίκο

π(x) της διαίρεσης του του π(x) με το (x-2).

Γ. Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται

πάνω από τον άξονα x΄x. ( Σεπτ. 2001)

Β΄ΟΜΑΔΑ

14. Δίνονται τα πολυώνυμα:

P(x) = x4 – 3x

3 – 3x

2 + 8x + 4 και δ(x) = x

2 – 2x - 3

α) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο

δ(x).

β) Να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης P(x) : δ(x).

γ) Να λυθεί η ανίσωση P(x) x – 2.

15. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x

4 + αx

3 + βx

2 – 18x + β – 1

το οποίο έχει

παράγοντα το πολυώνυμο Q(x) = x

2 + 2x + 1.

α) Να βρεθούν οι τιμές των α και β.

β) Να βρεθούν όλες οι ρίζες του P(x).

γ) Να γίνει γινόμενο το πολυώνυμο P(x).

δ) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση P(x)

έχει τη γραφική της παράσταση κάτω από τον άξονα x´x.

16. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x4 + αx

3 + βx

2 + γx - 2

Αν το x = -1

είναι ρίζα με πολλαπλότητα 3:

i) να βρείτε τις τιμές των α, β και γ,

ii) να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0.

17. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x4 – 2x

3 – 4x

2 + 2x + 3

i) Να γράψετε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης του P(x) με το x

2 – 4.

ii) Να βρείτε το υπόλοιπο της προηγούμενης διαίρεσης, χωρίς να γίνει η διαίρεση.

iii) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0.

iv) Να λύσετε την ανίσωση P(x) > 0.

18. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x4 – 4x

3 – x

2 + 16x - λ

το οποίο διαιρείται με x – 1.

i) Να βρείτε την τιμή του λ.

ii) Να βρείτε τις πιθανές ακέραιες ρίζες του P(x).


[60]

iii) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0.

iv) Να λύσετε την ανίσωση P(x) < 0.

19. Δίνεται το πολυώνυμο 3 2P x x x 5 x 4, .

Αν το P x έχει ρίζα για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού , τότε:

α) να βρείτε τη ρίζα.

β) να βρείτε τις υπόλοιπες ρίζες του.

γ) Αν 1 , να λύσετε την εξίσωση 2

3 3P x x 6P x 6x 5 .

20. Δίνεται η συνάρτηση: f(x) = λx3 + 2λ

3x

2 – λ

2x - 2

Αν η γραφική παράσταση Cf της f τέμνει τον άξονα x´x στο σημείο

Α(1, 0), τότε να βρείτε:

i) την τιμή του λ,

ii) όλα τα κοινά σημεία της Cf με τον άξονα x´x,

iii) τα διαστήματα, στα οποία η Cf είναι πάνω από τον άξονα x´x.

21. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f(x)=x6+2x

5+2x

4+2x

3+x

2+(x+1)

2 δεν έχει κανένα σημείο κάτω από τον x΄x.


i) 24x4+4x

3+15 = 66x

2+x ii) 3x

3+13x

2+10x+2 = 0


i)

2x 1 x 1

3 10 3 0x x

ii) (x

2+x+2).(x

2+x+1)=12

iii) (x2-2x-5)

2-2(x

2-2x-3)=4 iv) x 2 x 1 x 3 x 6 56 0

24. Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου

βαθμού, το οποίο διαιρείται με το x2 +1 , έχει ρίζα το 0

και του οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2.

Α. Να αποδείξετε ότι Ρ(x)= x3 + x

Β. Να λύσετε την ανίσωση 3 2

x 2 x 2 x 2

(Σεπτ. 2003)

25. Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 2x x 8x 5 1 x 8x 3 6 ,α

Α. Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) δια του x2 – 1 και να γράψετε τη σχετική

ταυτότητα.

Β. Να βρείτε τη τιμή του α, ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια.

Γ. Για α=3, να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 καθώς και τα διαστήματα

στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναι

κάτω από τον άξονα x΄x. (Mάιος 2004)

26. α) Να λύσετε την ανίσωση 4 3 2t 2t 2t 2t 3 0, t .

β) Ένα παιδάκι τη χρονική στιγμή t=0 min αρχίζει να φουσκώνει ένα

μπαλόνι, το οποίο όμως εχει λίγο αέρα. Στη συνέχεια το μπαλόνι χάνει


[61]

αέρα, έως ότου ξεφουσκώσει τελείως τη χρονική στιγμή t1>0. Αν ο όγκος του αέρα

του μπαλονιού συμβολίζεται με V(t), μετριέται σε λίτρα και δίνεται από την

συνάρτηση V(t)= 4 3 2

1t 2t 2t 2t 3 0,(t..min), t 0, t ,να βρείτε:

τον όγκο του αέρα που υπήρχε στο μπαλόνι αρχικά και τη χρονική στιγμή t1,στην

οποία το μπαλόνι ξεφουσκώνει τελείως.

27. Δίνεται το πολυώνυμο f(x) = x

2 + x + 1. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο:

Q(x) = f(f(x)) – f(x) - 2

διαιρείται με το πολυώνυμο R(x) = f(x) – 1.

28. Δίνεται το πολυώνυμο: f(x) = αx2015

+ βx2014

– γx – δ. Αν το f(x) διαιρείται με

αx + β, να αποδείξετε ότι το f(x) διαιρείται και με

γx + δ.

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

[62]

4.4. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Μεθοδολογία ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Η εξίσωση μετατρέπεται σε πολυωνυμική με κατάλληλη αλλαγή μεταβλητής :

παράδειγμα : 2ημ

3x-7ημ

2x+7ημx-2=0

Αν ψ=ημx, τότε 2ψ3-7ψ

2+7ψ-2=0

(ψ-1)(2ψ-1)(ψ-2)=0 ψ=1 ή ψ=1/2 ή ψ=2 (απορ.)

ημx=1 x=2κπ+π/2

ημx=1/2 x=2κπ+π/6 ή x=2κπ+5π/6

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΡΙΖΙΚΑ

Για να λύσουμε μια εξίσωση με ριζικά (δευτέρας τάξεως) εργαζόμαστε ως εξής:

Θέτουμε όλα τα υπόρριζα μεγαλύτερα ή ίσα από το μηδέν (περιορισμοί).

Απομονώνουμε στο ένα μέλος, αν διευκολύνει, το ένα ριζικό.

Απαιτούμε τα δύο μέλη να είναι ομόσημοι αριθμοί (νέοι περιορισμοί) και

υψώνουμε στο τετράγωνο.

Επαναλαμβάνουμε τα παραπάνω βήματα όσες φορές χρειαστεί και λύνουμε την τελική πολυωνυμική εξίσωση.

Απορρίπτουμε τις τιμές που δεν επαληθεύουν τους περιορισμούς (ή την εξίσωση).

παράδειγμα : x 3 x 1

x+30 x-3

x+10 x 1 άρα x-1

2 2

x 3 x 1 x+3 = x2+2x+1 x

2+x-2=0 x=1 ή x= -2 (απορ.)

ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α. Η συμμετρική εξίσωση 3ου βαθμού έχει τη μορφή:

3 2x x x 0 (1)

Η (1) λύνεται με παραγοντοποίηση ως εξής:

αx3 + βx

2 + βx + α = 0

(αx3 + α) + (βx

2 + βx) = 0

α(x + 1)(x2 – x + 1) + βx(x + 1) = 0

(x + 1)[αx2 + (β – α)

x + α] = 0

Η εξίσωση αυτή λύνεται χωρίς δυσκολία.

Β. Η συμμετρική εξίσωση 4ου βαθμού έχει μία από τις μορφές: 4 3 2x x x x 0

(2) ή 4 3 2x x x – x 0 (3)

Επειδή α 0,

η τιμή

x = 0

δεν είναι ρίζα. Διαιρούμε όλους τους όρους με x

2,


[63]

ομαδοποιούμε και οι εξισώσεις αυτές παίρνουν τη μορφή:

2

2

1 1α x β x γ 0 (4)

x x

ή

2

2

1 1α x β x γ 0 (5)

x x

Θέτουμε 1

x yx

στην (4) και 1

x yx

στην (5), οπότε αντίστοιχα παίρνουμε:

2 2 2 2

2 2

1 1x y 2 και x y 2

x x

Θέτουμε τις τιμές αυτές στις εξισώσεις (4) και (5) και έτσι προκύπτουν εξισώσεις β΄

βαθμού που λύνονται εύκολα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑ


i) 2

2

2x 1 x 3x 6

x 3 x 2 x 5x 6

ii)

2 2

2

2(x 1) x 2x 12 5

x x 4x x 4

iii) 2 2 2

x 3 1

x 9 6x 2x x 3x


i. x 2

0x 2

ii.

x 30

x 4

iii.

2

2x 30

x 1

iv. 2x 4

0x 5

v.

2x x0

2 x

vi.

3x 9x0

x 3


i. 2x 2x 3

0x 2

ii.

2

2

1 x x x 20

x 4x 3

iii.

2

2

2 x x0

x 4

iv. 2

2

x 6x 80

x 2x 3

v.

22

2

5x 3x 2 x 30

x 3x 4

vi.

2

2

x 3x 100

2 x x 1

4. Να λύσετε την ανίσωση: 3 2

3

x 6x 8x0

x 4x


i. 2x 1

1x 3

ii.

x 13

3x 1

iii.

4x 73

x 2

iv.

2x x1

x 4


i) 2

1 2 3

x 2 x 1 x x 2

ii)

2 2 2

1 x 3

x 3x x 9 2x 6x


[64]


α) x 1 2 β) x 3 4 γ) 2x 7 x 2 δ) x 2x


α) 5x 10 8 x β) 2x 6 x 1 2

γ) x 32 x 16 δ) 4x 20 4 x

24 x

ε) 2

x 1 1x 1

στ) 4

2 x 23 2 x

ζ) 2 22x 7 x 4 x 3x 5


i) 2 x 5 x 2 ii) 24 2x x x 2

iii) 2x 1 x 1 iv) 2x 3 1 4x 4

v) x 2 6 x 4 x


i) 5 x x 1 ii) x x 2

iii) x 1 x 1 iv) 4 x x


α) 3x 7 x 3 β) x 1 x 5 γ) 2 1x x 3 x

2

Β΄ΟΜΑΔΑ

12. Να λύσετε την ανίσωση: 3 2

2

x 1 x 6 x3

x 4 x 2 x 2

.

13. Να λύσετε την ανίσωση: 2x 3

2x

14. Να λύσετε την ανίσωση: 2

3x 442 5

x 3x 10


i) 4 22 x –17 x 8 0 ii) 4 3 2x – 2 x x 2 x –1 0


i) 4 2

x 1 – 5 x 1 4 0

ii) 2 2 2(x 3x 1) 10(x 3x 3) 51

iii) 3 2

2 2 2x 4 2 x 4 5 x 4 6 0

iv) 2 2(x 5x 7) (x – 2)(x – 3) 1


[65]

v) (x 5)(x 7)(x 6)(x 4) 504


i) 2 x

x 2 xx

ii) 2 x 3 x x,x

iii) 3 5x 7 x 1 iv) 3 2 x 1 x 1

18. Να λυθεί : 3 32x 3 x 1

2x 1 2x 3

.


i) 9 x

1 4 4x x 9

ii) 2x 2 x 2 7

x 2 2x 2 12

iii) 2 22x 3x 2 2x 3x 2 3 iv) 2x 4 x 1 6 3 x 5x 2


i) x 1 2 x ii) x x 2

iii) 2x 3x 10 8 x iv) 2x 5 2x 1

21. Να λυθεί η εξίσωση 2

2

1 12 x 11 x 19 0

x x

.


α) 4 3 2x 4x 6x 4x 1 0 β) 4 3 26x 25x 12x 25x 6 0


i) 5 4 3 2x 2x 2x 2x x 0

ii) 4 3 26x 35x 62x 35x 6 0

iii) 5 4 3 26x 41x 97x 97x 41x 6 0

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

[66]

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = kx3 - (k + λ)x

2 + λx + 1,με το υπόλοιπο

της διαίρεσης P x : 2x 1 να είναι 7 και P 1 23

i) Να αποδείξετε ότι k 6 και 5 .

ii) Αν k 6 και 5 , τότε:

α) Να γίνει η διαίρεση του P(x) με το πολυώνυμο 2x + 1 και να

γραφεί το P(x) με την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης.

β) Να λυθεί η ανίσωση P(x) > 7 .

2. Δίνονται τα πολυώνυμα: 4 3 2P x x 3x – 6x 2x – 7 , Q x x

και το πολυώνυμο Φ(x) = P(x) + Q(x)

που έχει παράγοντα το x

2 + 4.

i) Να αποδείξετε ότι 10 και 33 .

ii) Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Φ(x) έχει παράγονται το x – 2.

iii) Να λύσετε την ανίσωση Φ(x) 0.


2

x 2x xf x

x 2x 3

. Η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(2,0).

i) Να αποδείξετε ότι 2 .

ii) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f.

iii) Να βρείτε για ποια x η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω

από την ευθεία y x .

4. Δίνεται το πολυώνυμο: 4 3 2P x 2x –3x 3x 3x 1

i) Να αποδείξετε ότι το P(x) διαιρείται με το πολυώνυμο 2x – 1.

Ποιο είναι το

πηλίκο π(x);

ii) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0.

iii) Να λύσετε την ανίσωση P(x) 0.

iv) Να βρείτε το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του P(x) με το x + 1.

v) Να λύσετε την εξίσωση: 4 3 22 x –3 x –3 x –3 x 4 0

5. Δίνεται το πολυώνυμο: 3 2P y 2y – 7y 2y 3

i) Ποιες είναι οι πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου P(y);

ii) Να λύσετε την εξίσωση P(y) = 0.

iii) Να λύσετε την ανίσωση P(y) 0.

6. Αν το πολυώνυμο f(x) έχει ακέραιους συντελεστές και οι αριθμοί f(0) και f(1)

είναι περιττοί, να αποδειχθεί ότι το f(x) δεν έχει ακέραια ρίζα.

7. Δίνεται η συνάρτηση: 3 2

3 2

x 6x 11x 6f x

x 4x x 6

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f.

ii) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f.

iii) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Cf

της f με τον άξονα

x´x.

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

[67]

iv) Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf με την ευθεία ε : y = 2.

8. Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 2f x x x x x 2, x

α) Να αποδείξετε ότι το x 1 είναι παράγοντας του f x και να βρείτε το πηλίκο

x της διαίρεσης του f x με το x

β) Να αποδείξετε ότι το x – 2 είναι παράγοντας του x και να βρείτε το

πηλίκο της διαίρεσης του x με το x – 2 .

γ) Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται

πάνω από τον άξονα .

9. Δίνεται το πολυώνυμο 1 2P x x 2x 3x 8, , x

το οποίο έχει ρίζα το -1

i) Να δείξετε ότι 4 3P x x 2x 3x 4

ii) Να δείξετε ότι η εξίσωση P x 0 δεν έχει άλλες ακέραιες ρίζες .

iii) Να λύσετε την ανίσωση P x P x 40

ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

[68]

1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

5.1. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Δυνάμεις με άρρητο εκθέτη Αν α, β είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και

1 2x,x ,x ,τότε :

1 2 1 2x x x x

1 2 1 2x x x x

:

x x x

x x

x

21 1 2

xx x x

Εκθετική συνάρτηση

Αντιστοιχίζοντας κάθε x ,στη δύναμη x ,ορίζουμε την συνάρτηση :

f : με xf (x) η οποία στην περίπτωση

που είναι 0< 1 ,λέγεται εκθετική συνάρτηση

με βάση α Αν είναι α=1 ,τότε έχουμε την σταθερή

συνάρτηση f (x) 1 .

Κάθε συνάρτηση της μορφής xf (x) με

α>1, αποδεικνύεται ότι:

Έχει πεδίο ορισμού το .

Έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, ) των

θετικών πραγματικών αριθμών.

Είναι γνησίως αύξουσα στο .Δηλαδή για

κάθε 1 2x,x ,x ισχύει :

αν 1 2x x ,τότε 1 2x x

Η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα yý στο σημείο Α(0,1) και έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα των x.

Κάθε συνάρτηση της μορφής xf (x) με

0<α<1, αποδεικνύεται ότι :

Έχει πεδίο ορισμού το .

Έχει σύνολο τιμών το διάστημα

(0, ) των θετικών πραγματικών αριθμών.

Είναι γνησίως φθίνουσα στο . Δηλαδή

για κάθε 1 2x,x ,x ισχύει :

αν 1 2x x , τότε 1 2x x

Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα yý στο σημείο Α(0,1) και έχει

ασύμπτωτο το θετικό ημιάξονα των x.

Παρατήρηση 1:


[69]

1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

Για τις συναρτήσεις xf (x) 2 και

x1

g(x)2

παρατηρούμε ότι για κάθε

x ισχύει :

x

x

x

1 1g(x) 2 f ( x)

2 2

.

Αυτό σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις τους είναι συμμετρικές ως προς τον

άξονα yý.

Παρατήρηση 2 :

Η γραφική παράσταση της xy e είναι :

O αριθμός e Ισχύει :

v

v →+∞

1e = lim 1+

v

Ο αριθμός e με προσέγγιση πέντε δεκαδικών ψηφίων είναι e=2,71828.

Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής

Η εκθετική συνάρτηση 0

ctQ(t) Q e , με βάση το e, γνωστή ως νόμος της εκθετικής

μεταβολής, εκφράζει ένα φυσικό μέγεθος που μεταβάλλεται με το χρόνο t.

Το 0Q είναι η αρχική τιμή του Q (για t=0) και είναι 0Q 0 ,ενώ το c είναι μια

σταθερά που εξαρτάται κάθε φορά από τη συγκεκριμένη εφαρμογή.

Αν c > 0, η συνάρτηση Q είναι γνησίως αύξουσα και εκφράζει το νόμο της εκθετικής

αύξησης, ενώ

αν c < 0, η Q είναι γνησίως φθίνουσα και εκφράζει το νόμο της εκθετικής

απόσβεσης.

Ο χρόνος που χρειάζεται για να διασπασθεί ή να εξαφανισθεί η μισή ποσότητα μιας ραδιενεργού ουσίας λέγεται ημιζωή ή χρόνος υποδιπλασιασμού της

ραδιενεργού ουσίας

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

α) Έστω φ(x)

μια παράσταση του x και

0 < α 1.

Τότε η εξίσωση:

(x)

έχει λύση μόνο αν β > 0.

Προσπαθώντας να γράψουμε

β = α

γ, παίρνουμε:

αφ(x)

= β αφ(x)

= αγ φ(x) = γ

β) Εξισώσεις της μορφής: 2x x 0

λύνονται με την αντικατάσταση α

x = y,

όπου y πραγματικός. Με την

αντικατάσταση αυτή η εξίσωση γίνεται:

λy2 + μy + ν = 0

η οποία λύνεται κατά τα γνωστά.

γ) Εξισώσεις της μορφής: 2x x 2x 0 , με β = αγ , λύνονται ως εξής:

Διαιρούμε με γ

2x και παίρνουμε:


[70]

2x xα α

λ μ ν 0γ γ

και θέτουμε y

όπου

y > 0.

Τονίζουμε ότι η εμφάνιση δυνάμεων με διαφορετική βάση μαρτυράει και τον

τρόπο λύσης της εξίσωσης.

δ) Οι λύσεις εξισώσεων της μορφής: x

x 1

αναζητούνται στη λύση των επιμέρους εξισώσεων:

α(x) = 1. Οι τιμές που προκύπτουν είναι δεκτές, αρκεί να ορίζονται τα α(x)

και φ(x).

φ(x) = 0. Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση στην αρχική εξίσωση. (Αρκεί να

είναι α(x) 0.)

α(x) = -1. Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση. (Αρκεί ο φ(x) να είναι άρτιος.)

ε) Η λύση της εξίσωσης:

x x

x x

(δεν είναι εκθετική με την αυστηρή έννοια) ανάγεται στη λύση των εξισώσεων:

α(x) = 1. Οι τιμές που προκύπτουν είναι δεκτές.

α(x) = -1. Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση. (Αρκεί οι εκθέτες φ(x) και ω(x) να

είναι συγχρόνως άρτιοι ή συγχρόνως περιττοί.)

φ(x) = ω(x). Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση στην αρχική εξίσωση. (Να μην

προκύψει η μορφή 00.)

α(x) = 0. Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση. (Αρκεί να μην είναι

φ(x) 0

ή

ω(x) 0.)

Σχόλιο

Η εξίσωση φ(x) ω(x)

α(x) α(x) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση:

ω(x) φ(x) ω(x) ω(x) φ(x) ω(x)α(x) α(x) 1 0 α(x) 0 Þ α(x) 1

οι οποίες λύνονται με τον τρόπο που προηγήθηκε.

Παραδείγματα σε όλες τις κατηγορίες ασκήσεων θα παρουσιαστούν στα θέματα

που ακολουθούν.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ

α) Οι εκθετικές ανισώσεις λύνονται ανάλογα. Επισημαίνουμε ωστόσο ότι:

φ(x) ω(x)φ(x) ω(x), αν α 1

α αφ(x) ω(x), αν 0 α 1

Έτσι, η βάση είναι πολύ σημαντική παράμετρος για τον τρόπο λύσης της ανίσωσης.

β) Σε ορισμένες περιπτώσεις εισάγουμε βοηθητικό άγνωστο και παραγοντοποιούμε.

Η χρήση πίνακα είναι σ’ αυτές τις περιπτώσεις μεγάλης σημασίας. Τονίζουμε ότι

παραστάσεις της μορφής α

φ(x) + θ,

με

θ > 0,

είναι πάντα θετικές.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τα εκθετικά συστήματα λύνονται:

Με τη βοήθεια των παραπάνω παρατηρήσεων που ισχύουν για τις εξισώσεις.

Με εισαγωγή βοηθητικών αγνώστων και μετατροπή τους σε αλγεβρικά


[71]

συστήματα.

Με πολλαπλασιασμό ή διαίρεση κάποιων εξισώσεών τους ή ακόμα με

πρόσθεση ή αφαίρεση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑ

1. Να κάνετε στο ίδιο σύστημα αναφοράς τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων: f(x)=5x, και g(x)=

x1

5

.

2. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

i) xf (x) 5 1 ii) x 2g(x) 5 iii) x 2(x) 5 1 .

3. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

α) x 2f x 3 2 β) x 1f x 2 2 γ) x 2

1f x 1

2

δ) x 1f x e 1

4. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων:

ι) f(x)=

x3 x

2x 1

ιι)

x2g x 3x 5x 2 ιιι) h(x)=

xx 1

x

5. Αν

x3

f (x)2

,να βρεθούν οι τιμές του α ώστε :

i) να ορίζεται η f

ii) να είναι γνησίως φθίνουσα

iii) να είναι σταθερή στο .

6. Δίνεται η εκθετική συνάρτηση: x

f x 3

i) Να βρείτε τις τιμές του α.

ii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f(x).

iii) Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από

το σημείο Α(1, 4). Ποια είναι η μονοτονία της f στην περίπτωση αυτή;


i)

2x 1 x 63 5

5 3

ii)

4 2x 5x 4

3 1 1

iii) x5 625

iν) 2x 9x 113 27 ν)

2x 2x x 22 8 νi) 2 xx3 81

νii) x 1x 2 2x 427 3 νiii)

2x 3x 13

9

ix) 2 x

3 x4 1

x)

2x 4 5x2 3

3 2

xi) x 1 x 2x 2 27 9 xii)

3x 28 4x18 54 2


i) 2x+3

-2x+2

+2x+1

=48 ii) x 2 x x 1 x 23 5 3 3 3 128


[72]

iii) x 1 x

x 1 x 1

15 213 3 0

3 3

iv) x x 1

x 2 x

45 73 3

3 3


i) x x 12 9 3 135 0 ii) 2 2x 1 x5 25 6

iii) x x3 4 3 3 0 iν) 2x x x 1e e e e


i) x 1 x 2 x 4 x 37 3 5 3 5 ii) x 1 x x 1 x 33 2 3 2

iii) x 4 x 1 x 2 x 33 2 2 5 6 5 iv) 5x-2

-3 x 3 x 3 x2 7 5 2

11. Να λυθεί η εξίσωση : x x x 18 3 4 3 2 8 0

12. Να λυθεί η εξίσωση : x 1 x43 3 1

3

.

13. Να λυθεί η εξίσωση :

x x3 2

3 2 52 3

.


i) 2x 3x 22 1 ii) x 1 2x 42 2 iii)

2x 33 81

iv) x x4 2 8.2 0 ν) x x 1 x x 1 x 26 6 2 2 2

15. Να λύσετε τις ανισώσεις

i)2x 7x 64 1 ii)

2 5x 2x x

21 1

2 4

iii) x x4 8 6 2 iv) x 1 x 1 x6 4 10 9

16. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) x xe 3 e 1 0 ii) x

x

2 40

2 8


i)

2x 1 4y 1

x y 2y 1

8 32 2

5 5 25

ii) x 2 y 3

x y 3

4 2 1

3 3 9

iii) x y 3

y x 3

3 2 5

2 3 3

iv)

x y 2

x 2 y 4

4 2 32

3 3 27

18. Να λυθεί το σύστημα : 3x 1 y 1

2x 4 y 1

5 25 1

4 8 8

.


[73]

Β΄ ΟΜΑΔΑ

19. Δίνεται η συνάρτηση

x3 2a

f (x)a 3

. Να βρεθούν οι τιμές του α αν γνωρίζουμε

ότι f x 1 x .

20. Δίνεται η συνάρτηση x

1f x

. Να βρεθούν οι τιμές του α αν

γνωρίζουμε ότι f x 1 x .


2λ - λ - 2f x = .

λ + 6

Να βρεθούν οι τιμές του λ, για τις

οποίες:

i) η f(x)

είναι σταθερή,

ii) η f(x)

είναι εκθετική συνάρτηση,

iii) η f(x)

είναι γνησίως αύξουσα,

iv) η f(x)

είναι γνησίως φθίνουσα,

v) ισχύει f(2) = 81.

22. Δίνεται η εκθετική συνάρτηση: x

3 λf x

1 λ

i) Να βρείτε τις τιμές του λ.

ii) Για ποιες τιμές του λ η f(x) είναι γνησίως αύξουσα;

iii) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η f να είναι γνησίως φθίνουσα.

iv) Αν λ = 2,

να λύσετε την ανίσωση: 2 3 λ

f x x 11 λ

23. Δίνονται οι συναρτήσεις x x1f x e e

2

και x x1g x e e

2

.Να δειχθεί

ότι η f είναι άρτια, η g περιττή και ότι 2 2f x g x 1 , για κάθε x .

Επίσης να δείξετε ότι:

i) f f f g g και ii) g g f g f


i) x x x2 4 3 9 5 6 ii) x x x9 6 2 4 iii) x x x4 2 14 3 49


i) 2x 3x

2x 2x 1

ii) 2x 2x

2x 5x 6 1

iii) 2x x 2x 1 iv)

2x x 2x 3 x 3

26. Να λυθεί η εξίσωση : x x2 8 2 6 .

27. Να λυθεί η εξίσωση : 2 23x 2x 3x 2x4 4 2 9 2


[74]

28. Να λυθεί η εξίσωση:3.4x+2.9

x=5.6

x


i) x x9 10 3 9 0 ii) x x 2 x9 3 3 9

iii) x 2 x 3 x 4 x 1 x 22 2 2 5 5

iv) x x x8 18 2 27 0

30. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x)= x x 2(e 1)(2 4)(x 2x)

31. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e

x + x.

Να αποδείξετε ότι:

i) η f είναι γνησίως αύξουσα στο ,

ii) 2x x 1 x 1 2e e x 0 , για κάθε

x .


i)

x y

2

x y

2

x y

x y

3 4 3 45

2 3 2 4

ii) x

x

2 3y

3 2y

iii)

x y 3

x y 3

x y

y x

iv)x y

x y

3 5 4

27 125 604

v)

x y

x y

3 4 77

3 2 7

vi)x x y

x x y

9 5 7 2 457

6 5 14 2 890

.

vii) x

x

3 5y

5 3y

viii)

x y

y x

2 3 4

2 3 9

33. Ένας βιολόγος μελετώντας την ανάπτυξη ενός είδους βακτηριδίων παρατηρεί

ότι:

α) 2 ώρες μετά την έναρξη της παρατήρησης τα βακτηρίδια ήταν 400.

β) 4 ώρες μετά την έναρξη της παρατήρησης τα βακτηρίδια ήταν 3.200.

Αν ο τύπος που δίνει το αριθμό των βακτηριδίων σε t ώρες δίνεται από τη σχέση kt

oP(t) 2 , όπου Ρ0 το αρχικό πλήθος των βακτηριδίων και k σταθερά που

εξαρτάται από το είδος των βακτηριδίων τότε:

i) Να βρείτε τη σταθερά k.

ii) Να βρείτε τον αρχικό αριθμό των βακτηριδίων.

iii) Σε πόσα λεπτά ο αρχικός αριθμός των βακτηριδίων είχε διπλασιαστεί;

34. Σ’ ένα ασθενή με υψηλό πυρετό χορηγείται ένα αντιπυρετικό φάρμακο.

Η θερμοκρασία (πυρετός) Θ(t) του ασθενούς t ώρες μετά την λήψη του φαρμάκου

δίνεται από τον τύπο

t1

Θ(t) 36 42

σε βαθμούς Κελσίου.

i) Να βρείτε πόσο πυρετό είχε ο ασθενής τη στιγμή που του χορηγήθηκε το

φάρμακο.

ii) Να βρείτε σε πόσες ώρες η θερμοκρασία του ασθενούς θα πάρει την

φυσιολογική τιμή των 36,5°C.

iii) Αν η επίδραση του αντιπυρετικού διαρκεί 4 ώρες πόση θα είναι η θερμοκρασία

του ασθενούς μόλις σταματήσει η επίδραση του φαρμάκου.


[75]

35. Ο πληθυσμός μιας πόλης ήταν 125.000 κάτοικοι το 1990 και αυξάνει κατά 12%

κάθε 20 χρόνια. Αν η συνάρτηση που περιγράφει την αύξηση αυτή του πληθυσμού

είναι ct

0P(t) P (1 r) ,όπου r το ποσοστό αύξησης του να βρεθεί ο πληθυσμός της

πόλης το 2030.

36. Εστω Q(t) η τιμή ενός προϊόντος (σε εκατοντάδες χιλιάδες ευρώ), t έτη μετά την

κυκλοφορία του προϊόντος στην αγορά. Η αρχική τιμή του προϊόντος ήταν

300.000 ευρώ, ενώ μετά από 6 μήνες η τιμή του είχε μειωθεί στο μισό της αρχικής

του τιμής. Αν είναι γνωστό ότι ισχύει Q(t) = te , t 0 όπου α, β ΙR , τότε:

i) να δείξετε ότι tQ t 3 4 , t 0 ,

ii) να βρείτε σε πόσο χρόνο η τιμή του προϊόντος θα γίνει ίση με 1/16 της αρχικής

του τιμής,

iii) να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για τον οποίο η τιμή του προϊόντος δεν

υπερβαίνει το 1

9 της αρχικής του τιμής.

(Ιούνιος 2001)

37. α) Να λύσετε την εξίσωση: x x x x3 4 2 5 4 3 5 2

β) Δίνονται οι συναρτήσεις x xf x 3 4 2 5 και x xg x 4 3 5 2

Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω

από τη γραφική παράσταση της .

38. Δίνεται η γνησίως αύξουσα στο συνάρτηση x

3f x 5 .

α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές της παραμέτρου λ.

β) Να λύσετε την ανίσωση: x 1 x 3 x 4 x 2f 7 3 5 f 3 5 .

γ) Να βρείτε τη τιμή του λ για την οποία η γραφική παράσταση της f διέρχεται από

το σημείο A 1,19 .

δ) Αν 3 , να λύσετε την εξίσωση f x f x 2 .

39. Δίνονται οι συναρτήσεις x x1f x e e

2

και x x1g x e e

2

.

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή συνάρτηση.

β) Να αποδείξετε ότι 2 2f x g x 1 για κάθε x .

γ) Να αποδείξετε ότι g g f g f , , .

δ) Να λύσετε την εξίσωση f x 2g x 1 .


2f x 4 4

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η f είναι γνησίως αύξουσα.

β) Να βρείτε το ώστε η γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σημείο

1,9 .

γ) Αν 2,3 , να λύσετε την ανίσωση 2f x f 5x 6 .

δ) Αν 4 , να λύσετε την ανίσωση x x2f x 3 9 5 6 0 .

ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ

[76]

5.2. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ

Ορισμός: Ο logαθ είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον α για να

βρούμε το θ.

x

x log

Από τον παραπάνω ορισμό έχουμε:

log 1 0 log 1

xlog x

alog

Ιδιότητες: Αν α>0 με α 1 τότε για κάθε θ1, θ2, θ>0 και κ R ισχύει:

ι) 1 2 1 2log log log

ιι) 1

1 2

2

log log log

ιιι) log log

Αλλαγή βάσης λογαρίθμου

Αν α, β>0 με α,β 1 τότε για κάθε θ>0 ισχύει:

logβ θ= a

a

log

log

Δεκαδικοί λογάριθμοι

Δεκαδικός λογάριθμος λέγεται αυτός που έχει σαν βάση το 10 και

συμβολίζεται log θ. Ισχύει:

xlog x 10

Φυσικοί λογάριθμοι

Λέγονται αυτοί που έχουν σαν βάση τον αριθμό e 2,71… και συμβολίζονται

lnθ. Έχουμε:

xln x 10

Ισχύουν όλες οι γνωστές ιδιότητες:(με τους κατάλληλους περιορισμούς )

ln1=0 ln(θ1θ2)=lnθ1+lnθ2

lne=1 ln 1

2

= lnθ1-lnθ2

lnex=x lnθ

κ=κ.lnθ

elnθ

=θ

Τα κυριότερα είδη ασκήσεων στην ενότητα αυτή είναι:


[77]

α) Υπολογιστικά θέματα και απλοποίηση παραστάσεων

ΜΕΘΟΔΟΣ

Για τη λύση των ασκήσεων αυτών εφαρμόζουμε τον ορισμό και τις ιδιότητες των

λογαρίθμων. Τονίζουμε ότι πολλές φορές οι ιδιότητες των λογαρίθμων

εφαρμόζονται από διαφορετική κατεύθυνση, δηλαδή από το δεύτερο μέλος προς το

πρώτο. Έτσι:

α α αlog x log y log xy

α α α

xlog x log y log

y

log x log x

όπου x, y > 0,

0 < α 1

και

νR.

β) Αποδεικτικά θέματα

ΜΕΘΟΔΟΣ

Για την απόδειξη ταυτοτήτων ή ανισοτήτων στους λογάριθμους

χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των λογαρίθμων και τον τύπο αλλαγής βάσης.

Συνήθως υπάρχουν περισσότεροι από ένας τρόποι για τη λύση, ανάλογα με τη σειρά

εφαρμογής των ιδιοτήτων. Τονίζουμε ότι αν σε ένα θέμα παρουσιάζονται

λογάριθμοι με διαφορετικές βάσεις, τότε γράφουμε όλους τους λογάριθμους ως

προς μία κοινή βάση, της επιλογής μας.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ΟΜΑΔΑ

1. Να βρεθούν οι αριθμοί:

α) 1

2

log 128 β) 3

1log

81

2. Να υπολογίσετε το x ώστε να αληθεύουν οι ισότητες:

i) logx81=-4 ii) logx27=3

2 iii) logx

1

27=

3

5

iv) 32

log x 4 ν) 17

2log x

3

3. Να αποδείξετε ότι αληθεύουν οι ισότητες:

i) log32+2log4-log64=log8 ii) log3+2log4-log12=2log2

iii) log 125 log 27 log 8 3

log15 log 2 2

iν) 2log

5 3 40 105log log log 0

2 11 77 32

ν) 3log32+1

2log316=5log32 νi) 2+3log52-2log510=log52

4. Να γράψετε υπό μορφή λογαρίθμου ενός αριθμού τις παρακάτω προτάσεις.

α)1

3log 2 log8

β) log15 log5


[78]

5. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 3 2

12

3

1 1log 27 log

12 64Alog 8 2log 9

6. Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης :

2 3 8 8A log 8 log 27 log 2 log 32 .

7. Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης : 5

11 log 8

3A 25

.

8.


α)2log5 + 3log2 – log60 + log3 = 1 β) 3log32 + 2log36 – log34 – log38 = 2


α) log25 + log4 – log2 – log5 = 1 β)

log5 + 3log2 – log4 = 1

Β΄ ΟΜΑΔΑ

11. Να δείξετε ότι :

i) log y log xa ax y x, y 0 0 1

ii) 1 1

ln 9 ln 64 ln 4 ln32 3

iii)

log2

log33 2

12. Να δείξετε ότι :

α) log x log x

log xlog x log x

β) log2log9=log4log3

γ) 2 2 2

1 1 1log 1 log 1 ... log 1 7

2 3 255

δ) 1

1 log loglog

ε) 21ln log e 1

στ) log 2 log 2 log 2 ... log 2

ζ) log 1 log 2 ... log 89 0

13. Αν x,y,z *R να εφαρμόσετε όλες τις δυνατές ιδιότητες των λογαρίθμων για

να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

i) 3

3

xlog 3x

2x

ii) 3

3

x ylog

4 x y


[79]

14. Να βρείτε τον θετικό αριθμό x ώστε να ισχύει: 3 5 2ν 1 2log x log x log x log x 2ν

15. Αν 1 x

f (x) log1 x

, δείξτε ότι f f f

1

.

16. Αν α, β>0 και 2 2 23 , να δείξετε ότι: ln ln 2ln5

17. Αν για τους διαφορετικούς μεταξύ τους αριθμούς α, β, γ ισχύει:

log log log

δείξτε ότι 1

18. Αν x>0, α>β, β 1 , αβ 1 , τότε ισχύει:1 1 1

log x log x log x

.

19. Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες:

i) αlogβ

=βlogα

α, β R

ii) a

loglog

1 log

α, β, γ *R β 1 και αβ 1 .

iii) 2 22 2log a 1 log 1 log a 1 a

iν) 2 3 4 7log 3 log 4 log 5 log 8 3

20. Να βρείτε τις τιμές του θ, ώστε η εξίσωση: 2 2x – 2(1 log )x 1– log 0

να έχει μία διπλή ρίζα.

21. Για τη συνάρτηση f(x) ισχύει ότι: lnf(x) = αx + β

για κάθε xR.

Αν

f(0) = 3

και

1 3f

2 2

:

i) να βρείτε τα α και β,

ii) να αποδείξετε ότι f(x) = 3

4

-x.

22. Δίνεται η συνάρτηση x x x xf x 36 225 3 4 3 25 .

α) Να βρείτε το σημείο τομής της με τον άξονα x΄x.

β) Να αποδείξετε ότι

f 0 5 f 0 3 f 0 40 f 0 1052log log log log 0

f 0 2 f 0 11 f 0 77 f 0 32

ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

[80]

Α f(A)

f

g(y)=x y=f(x)

g

(0, )

f

log y x xy

1f

y

1 y=2

x

O 1 x y=log2x

5.3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Αντίστροφη συνάρτηση

Έστω μια συνάρτηση f : A .Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι ‘1-1’ τότε για κάθε

στοιχείο y του συνόλου τιμών f (A) της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου

ορισμού της Α για το οποίο ισχύει f (x) y .

Επομένως ορίζεται μια συνάρτηση g : f (A) με την οποία κάθε y f (A)

αντιστοιχίζεται στο μοναδικό x A ,για το οποίο ισχύει :

f (x) y .

Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι :

Έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f (A) της f

Έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f

και

Ισχύει η ισοδυναμία f (x) y g(y) x

Αυτό σημαίνει ότι αν η f αντιστοιχίζει το x στο y τότε η g αντιστοιχίζει το y στο x και

αντιστρόφως.

Δηλαδή η g είναι η αντίστροφη διαδικασία της f. Για το λόγο αυτό η g λέγεται

αντίστροφη συνάρτηση της f και συμβολίζεται με 1f .Επομένως έχουμε :

Παρατήρηση :

Οι γραφικές παραστάσεις C και C΄ των συναρτήσεων f και f

-1 είναι συμμετρικές ως

προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες xOy και ΄ ΄x y .

Λογαριθμική συνάρτηση

Η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης xf (x)

είναι η συνάρτηση g(x) log x , που λέγεται

λογαριθμική συνάρτηση ως προς τη βάση α.

Παρατήρηση :

Επειδή λοιπόν η λογαριθμική συνάρτηση g(x) log x

είναι αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης xf (x) οι γραφικές τους παραστάσεις είναι

συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί

τις γωνίες xOy και ΄ ΄x y .

1f (x) y f (y) x


[81]

y

logαx2

logαx1

A(1,0)

O 1x 2x x

y=logαx, α>1

y y=logαx, 0<α<1

O 1x 2x

Α(1,0) x

logαx1

logαx2

Aν α>1, τότε η λογαριθμική συνάρτηση g(x) log x :

Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (0, )

Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών

Είναι γνησίως αύξουσα ,που σημαίνει ότι : αν

1 2x x ,τότε 1 2log x log x , απ’

όπου προκύπτει ότι log x 0, αν 0<x<1 και

log x 0, αν x>1.

Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα x´x στο σημείο Α(1,0) και έχει

ασύμπτωτο τον ημιάξονα Oy΄ .

Αν 0<α<1 τότε η λογαριθμική συνάρτηση g(x) log x :

Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (0, )

Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Είναι γνησίως φθίνουσα ,που σημαίνει ότι : αν 1 2x x ,

τότε 1 2log x log x , απ’

όπου προκύπτει ότι log x 0, αν 0<x<1 και log x 0, αν x>1.

Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα x´x στο σημείο Α(1,0) και έχει

ασύμπτωτο τον ημιάξονα Oy .

Η λογαριθμική συνάρτηση ως αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης είναι

συνάρτηση 1-1 δηλαδή αν 1 2log x log x ,τότε 1 2x x

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Α. Έστω μια συνάρτηση f με τύπο της μορφής:

f(x) = lnφ(x) (ή της μορφής f(x) = logφ(x))

Τότε:

α) Για να βρούμε το πεδίο ορισμού Α της f(x)

λύνουμε την ανίσωση

φ(x) > 0.

β) Για να βρούμε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Cf

με τον άξονα

x´x

λύνουμε την εξίσωση f(x) = 0.

Ας προσέξουμε ότι

f(x) = 0 φ(x) = 1.

γ) Για να βρούμε τα διαστήματα, στα οποία η Cf βρίσκεται πάνω (αντίστοιχα κάτω)

από τον άξονα x´x,

λύνουμε την ανίσωση

f(x) > 0

(f(x) < 0

αντίστοιχα).

Ας παρατηρήσουμε ότι:

f(x) > 0 lnφ(x) > 0 φ(x) > 1 και f(x) < 0 lnφ(x) < 0 0 < φ(x) < 1 Τα ίδια συμπεράσματα ισχύουν και για τη συνάρτηση

g(x) = logφ(x).

Β. Ακριβώς όμοια εργαζόμαστε και στην περίπτωση που f(x) = logφ(x).

Αξίζει να τονίσουμε τον τρόπο λύσης δύο βασικών εξισώσεων:

α) ω(x)φ(x) 10

logφ(x) ω(x)φ(x) 0

ω(x)φ(x) e

lnφ(x) ω(x)φ(x) 0


[82]

β) φ(x)φ(x) logω(x)

10 ω(x)ω(x) 0

φ(x)φ(x) lnω(x)

e ω(x)ω(x) 0

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Η πρώτη και σημαντικότερη ενέργεια σε κάθε λογαριθμική εξίσωση είναι να θέσου-

με τους απαραίτητους περιορισμούς. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε όρο της μορφής

logαΑ(x) απαιτούμε

Α(x) > 0.

Οι σημαντικότερες μέθοδοι – τεχνικές για την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων

συνίστανται στις παρακάτω ενέργειες:

α) Χρησιμοποιούμε τον ορισμό του λογαρίθμου.

β) Προσπαθούμε με αντίστροφη εφαρμογή των ιδιοτήτων των λογαρίθμων να

απαλλάξουμε την εξίσωση από τους λογάριθμους.

γ) Βασιζόμαστε στην ιδιότητα αlog θα θ ,

θ > 0.

δ) Παίρνουμε λογαρίθμους και στα δύο μέλη της εξίσωσης. Αυτό συνήθως το

επιχειρούμε όταν οι όροι της εξίσωσης είναι γινόμενα, πηλίκα και δυνάμεις.

ε) Χρησιμοποιούμε αλλαγή μεταβλητής. Δημιουργούμε δηλαδή, πιθανόν ύστερα

από εφαρμογή κάποιων ιδιοτήτων, έναν όρο, του οποίου συνάρτηση είναι και τα

δύο μέλη της εξίσωσης. Τον όρο αυτό θέτουμε y και καταλήγουμε σε αλγεβρική

εξίσωση. Η μέθοδος αυτή λέγεται και “αλγεβρική μέθοδος”.

στ) Κάνουμε αλλαγή βάσης. Αν λοιπόν οι παρουσιαζόμενες (διαφορετικές) βάσεις

δεν επιτρέπουν την απλοποίηση της εξίσωσης, τότε εκφράζουμε όλους τους

λογαρίθμους ως προς κάποια κατάλληλη βάση (πιθανόν και ως κάποια βάση

που ήδη παρουσιάζεται στην άσκηση).

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ

α) Για τη λύση λογαριθμικών ανισώσεων ακολουθούμε σε βασικές γραμμές την

πορεία λύσης που γνωρίσαμε στις λογαριθμικές εξισώσεις. Η πρώτη σημαντική

διαφορά είναι ότι:

δεν απαλείφουμε τους παρονομαστές, αν αυτοί περιέχουν τη μεταβλητή, πριν μελετήσουμε το πρόσημό τους,

δεν πολλαπλασιάζουμε, ούτε διαιρούμε με μεταβλητές ποσότητες, αν δεν

βεβαιωθούμε πρώτα για το πρόσημό τους.

β) Οι βασικότερες μορφές λογαριθμικών ανισώσεων είναι ίδιες με αυτές που προ-

κύπτουν από λογαριθμικές εξισώσεις αντικαθιστώντας το σύμβολο (=) της ισότητας

με τα ανισοτικά σύμβολα (<) και (>) ή (), (). Πριν περάσουμε στα βασικά θέματα, υπενθυμίζουμε ότι για τη λύση ανισώσεων της μορφής

logαφ(x) > 0

(< 0) διακρίνουμε περιπτώσεις:

i. αν α > 1,

τότε:

logαφ(x) > 0 φ(x) > 1 logαφ(x) < 0 0 < φ(x) < 1

ii. αν 0 < α < 1,

τότε:

logαφ(x) > 0 0 < φ(x) < 1 logαφ(x) < 0 φ(x) > 1


[83]

Με τη βοήθεια των παραπάνω σχέσεων οι λογαριθμικές ανισώσεις οδηγούνται σε

αλγεβρικές ανισώσεις.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Για την επίλυση λογαριθμικών συστημάτων εφαρμόζουμε τα παρακάτω:

Θέτουμε τους απαραίτητους περιορισμούς για τους αγνώστους του συστήματος.

Προσπαθούμε να μετατρέψουμε το σύστημα σε αλγεβρικό, απαλλάσσοντας

την κάθε εξίσωση του συστήματος από τους λογαρίθμους.

Λογαριθμίζουμε ενδεχομένως τη μία εξίσωση (αν περιέχει γινόμενα και δυνάμεις) και εισάγουμε νέες μεταβλητές. Αυτό σημαίνει ότι θέτουμε για

παράδειγμα logx = φ

και

logy = ω,

οπότε το σύστημα μετατρέπεται σε

αλγεβρικό.

Πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε ανάλογα (όλες ή ορισμένες από) τις

εξισώσεις του συστήματος, ώστε να προκύψουν απλούστερες εξισώσεις.

Εφαρμόζουμε οποιοδήποτε αλγεβρικό τέχνασμα, το οποίο οδηγεί σε απλούστερες εξισώσεις.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑ

1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:

ι) x

x 1f (x) log

2 x

ιι)

2

3 xf (x) log

3 x

ιιι) 2

2

log(x 8x 15)f (x)

16 x

ιν) 2

x 1f (x) log

2 x

2. Να συγκριθούν μεταξύ τους οι αριθμοί:

i) log53 και log51

3 ii) log 1

2

7 και log 12

11

3. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις

f (x) log x, g(x) log x 2 και h(x) log (x 1) .

4. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) log(x – 2)

2 = 2log4 ii) log(x-6)+log(x-7)=1-log5

iii) log(x-9)+2log 2x 1 2 iν) 2logx-log4=log(x-1)-log3

ν) log(35-x3)=3log(5-x) νi) 2log(2x-1)-log(3x-2x

2)=log(4x-3)-logx

νii) log(2x-5)+log(3x+7)=4log2 νiii) 3 21ln(x 1) ln(x 2x 1) ln3

2

5. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) x+log(1+2

x)=xlog5+log6 ii) log(4

x-2+9)-log(2

x-2+1)=1-log2

iii) log x 1log 21 42 log 4 log 21 log x log76


[84]


i) 1 1

log(3x 1) log(8x 2) log(4x 1)2 2

ii) 1

log(x 1) log x log 23

iii)

2

log 2x 50,5

log x 8


i) 3 log x 2 log x

53 log x 2 log x

ii)

log x 3 log x 2 9

log x log x 3 2

iii) log(x 1) 2log 2

1log 2 log(x 1)

iν) 2

logx+2

5-logx=12

v) log x log x log x vi) 3 2 2(log x ) 2log x 5 0 .

8. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) log(2x-3)>log(24-6x) ii) ln(2x-1)>ln(3-x) iii) log(4-x

2)<log(-3x)


i) log(x2 – 5x + 7) < 0 ii) 2log log(x 7x 22) 0


i) x y 65

log x log y 3

ii)

3log x log y

2

1log x log y

2

iii) 2 2log x log y 10

log x log y 2

iν)

log x 2log y 6

log x log y 3

Β΄ΟΜΑΔΑ

11. Δίνεται η 2

f (x) ln 1 x 2 3 x

. Να βρείτε το λ ώστε η f να

ορίζεται για κάθε x R .

12. Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα με θετικές τιμές. Να τοποθετήσετε το κατάλληλο ανισωτικό σύμβολο στα κενά:

i) 1/2 1/2log f (3)...log f (5) ii) logf (1)...logf (0)

iii) 2ln f (e)...ln f e iv) 1/3 1/3log f (1)...log f (0)

13. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων και να βρείτε τη

μονοτονία και το σύνολο τιμών τους.

i) f(x) = log(x – 1) ii) f(x) = log|x – 2|

iii) f(x) = ln|x| - 1 iv) f(x) = ln(1 – 2x + x2)



[85]

i) 2log log 2x x 11 0

ii) x xln(9 3 5) 0


i) 2 log xx 1

10 x

ii) log x 21x x x

10

iii) log xx 100 iν) (100x)log(100x)-2

=1000

ν) log2 log x(4x) 100 vi) 22x

= 3x+1

vii) 102logx-3

= x

16. i)Να αποδείξετε ότι: logx log33 x

ii) Να λύσετε την εξίσωση: logx log33 54 x

17. i) Να αποδείξετε ότι: 5 5log 2 log xx 2 αν 0 < x 1

ii) Να λύσετε την εξίσωση 5 5log 2 log x3x 2 64

iii) Να αποδείξετε ότι ισχύει γενικά β βlog γ log αα γ με (0 < α,β,γ 1)


i) log(x2+9)>1+logx ii) 2ln(x 1) 1 ln(x 1)

iii) log2x – 11

logx + 10 0 iν) (logx)

2 –5logx + 4 0

ν) ln x 1 1

ln x 2


i)2log(x 15x)2 4 ii) xln(5.2 6) 2x ln 2 iii) x

logx>10


i) log yx 1000

log(xy) 4

ii)

log x log y 2

log(x y) 2log5

iii) 2 2x y 425

log x log y 2

iν)

2 2log x y 1 log13

log(x y) log(x y) 3log 2


i) log x log y

log x log y

2 3 1

4 9 25

ii)

x y5 2 1

x log5 ylog 2 log 20

iii) log3 log5

log x log y

(3x) (5y)

5 3

iν)

log y log x

log y log x 4

x y 200

x y y

ν)

x

x 7

x y 2

x y 3 6

νi) 2x x

x log y 1

y 10 11 y

22. Δίνονται οι συναρτήσεις 2f x log x 1 log x 2x και


[86]

g x 1 log x 1 .

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων f,g.

β) Να βρείτε τη τετμημένη του σημείου τομής των γραφικών τους παραστάσεων.

γ) Να λύσετε τις εξισώσεις: i. f x 0 και ii. g x 0 .

δ) Να αποδείξετε ότι: f 4 3g 1 4 log30 .


f x log x 8 log x log 100x ,x 0 ,

α) Να βρείτε τη τιμή του α για την οποία η γραφική παράσταση της f διέρχεται

από το σημείο M 10,25 .

β) Αν α = 1, τότε:

i. να αποδείξετε ότι η f παίρνει τη μορφή: 2

2f x log x 4log x

ii. να λύσετε την εξίσωση f x 0 .

24. Δίνεται η συνάρτηση 2f x log x .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

β) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια.

γ) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση.

δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

g x f x 2 με την ευθεία y 2log 4 .


log 3x 14f x

log x 4

.


β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία

y 2 .

γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την ευθεία

y 1 .

26. Δίνεται η συνάρτηση f x ln x 2 .


β) Να απαλλάξετε τον τύπο της f από την απόλυτη τιμή.

γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.

δ) Να λύσετε την εξίσωση 2ln x 2 f x 2 0 .

27. Δίνεται η συνάρτηση f x log log x 4 .


β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x.

γ) Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του x για τις οποίες f x 0 .


α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.



[87]

γ) Να λύσετε την ανίσωση f x 7 f x 1 log 2 .

δ) Να αποδείξετε ότι 3f 101 2f 1001 f 10001 log18

29. Δίνεται η συνάρτηση x 1

f x ln x1 x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή.

γ) Να διατάξετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς 1 1

f , f , f 02 2

.

δ) Να λύσετε την εξίσωση: f x f x 1 1 2x 0 .

ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

[88]

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ

1. Εστω η συνάρτηση f x 2ln x 1 1

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

ii) Να κάνετε τον πίνακα προσήμου της f.

iii) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι κάτω από τον άξονα x’x.

2. Εστω η συνάρτηση xf x ln 2 5


ii) Tα σημεία τομής της Cf με τους άξονες.

iii) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από τον άξονα x’x.

3. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(3 – x) – ln(3 + x).

i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της f(x).

ii) Να αποδειχθεί ότι η f(x)

είναι γνησίως φθίνουσα.

iii) Να βρεθούν οι αριθμοί x, για τους οποίους

f(x) = -ln2.

4. Δίνεται η συνάρτηση 2 - x

f(x) = ln2 + x

.

i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f(x).

ii) Να βρεθούν τα κοινά σημεία της Cf με τον άξονα x´x, όπου Cf είναι η

γραφική παράσταση της f(x).

iii) Να αποδειχθεί ότι η f(x)

είναι περιττή συνάρτηση.

iν) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η Cf

είναι πάνω από τον άξονα

x´x.

ν) Πού τέμνει η Cf

την ευθεία

(ε) : y = ln3

;

5. Δίνεται η συνάρτηση: x x

x 1

4 2f x ln

2 4

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x).

ii) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = -2ln2.

iii) Να λύσετε την ανίσωση f(x) < 0.

iν) Να αποδείξετε ότι: x

x

2 1f (x) (x 1) ln 2 ln

2 2


x

e 1 f(x) ln

e 5

-

.

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x).

ii) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2 .

iii) Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 0.

(Πανελλήνιες Β΄ Λυκείου 2002)

7. Δίνεται η συνάρτηση f x 1 x ln x,x 0

i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα.

ii) Αν 0 x 1 να δείξετε ότι f x 0 .

iii) Να λύσετε την ανίσωση x 2x 5f e 1 e x


[89]

iv) Να δείξετε ότι για κάθε 0,2

ισχύει ότι

eln

.

8. Δίνονται οι συναρτήσεις xf x ln e 1 και 1 xg x ln 2e 2 .

i) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων f,g.

ii) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,g έχουν ένα μόνο κοινό

σημείο.

iii) Να λύσετε την ανίσωση f 2x g x 1 .

iv) Να αποδείξετε ότι g 1 x f x ln 2 .

9. Δίνεται η συνάρτηση 2f x log 2x 4x 4 2log x .

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

ii) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες.

iii) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 f 1 xf 1 f 1

10 5 10 10 f 2

iv) Να αποδείξετε ότι f 1 logxx 2 και να λύσετε την εξίσωση

2f 1 logxx 2 2

10. Να Δίνονται οι συναρτήσεις 2x xf x ln e 2e 3 και xg x ln3 ln e 1 .

i) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f και g.

ii) Να λύσετε την εξίσωση f x g x

iii) Να λύσετε την ανίσωση f x 2g x .

iv) Να αποδείξετε ότι η g είναι 1 1 .

v) Να λύσετε την εξίσωση g x g 1 f 0

11. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2x x

1 1f x 2 3 1

5 5

ii) Δίνεται η συνάρτηση xg x 5 . Να λύσετε την εξίσωση :

50125 5 1

g x g x 1 g x 2 ..... g x 494

12. Δίνεται η 2x xf x ln e – e


ii) Να αποδείξετε ότι xf x x ln e –1

iii) Να λύσετε την εξίσωση f x x

iv)Να λύσετε την ανίσωση f x x 2ln 2

v) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 και να λύσετε την εξίσωση

2x 1 x2x 1 e x ee ln e –1 e ln e –1

13. Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 6e 8 .

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της .


[90]

ii) Να λύσετε την ανίσωση f x ln3

iii) Να λύσετε την εξίσωση f x x ln3

14. Δίνεται η συνάρτηση f x log x 4 3 .


ii) Τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες.

iii) Τη τιμή του k για την οποία το σημείο k, 2 ανήκει στη γραφική

παράσταση της f.

iv) Να λύσετε την εξίσωση x 3 x x x 3f 3 2 f 23 3 2

15. Δίνεται η συνάρτηση ln x 1

f xln x 1

.


ii) Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται

πάνω από τον άξονα χ΄χ.

iii) Να αποδείξετε ότι 1

f x fx

για κάθε

1 1x 0, ,e e,

e e

.

iv) Να λύσετε την εξίσωση 1

f x 11

fx


4f x

2

για την οποία ισχύει ότι

6 7f f

7 6

.

α) Να βρείτε τις τιμές του .

β) Έστω 0 .

i. Να λύσετε την εξίσωση f x 1 f x 2 f x 3 48

ii. Να αποδείξετε ότι log2

2f log x log f x

iii. Να λύσετε την ανίσωση logx log22 x 16

17. Δίνεται η συνάρτηση f x log x .

i. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων y f x , y x και xy 10 .

ii. Να συγκρίνεται τους αριθμούς f 12 και 2.

iii. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 1

g xf x

.

iv. Να αποδείξετε ότι 3f 2 f 5 f 4 1 .

v. Να λύσετε την ανίσωση x xf 2 4 f 5 2

10 2 10

.

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

[91]

ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

1. Δίνεται το σύστημα:

x y 12

3 x 2 y 8

, , 0,2

.

α) Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση, την οποία και να βρείτε.

β) Να βρείτε τα , για τα οποία το ζεύγος 4, 2 είναι λύση του συστήματος.

2. Δίνεται το σύστημα 2

x y 2

1 x 1 y 2 1

,όπου μ .

α) Να αποδείξετε ότι για κάθε μ το σύστημα έχει μοναδική λύση .

β) Να βρείτε τη μοναδική λύση 0 0(x , y ) .

γ) Να προσδιορίσετε το μ , ώστε η παράσταση 2

0 02x y να γίνει

ελάχιστη.

3. Δίνεται το σύστημα k 1 x 2y k 1

kx ky 1

,όπου k πραγματικός αριθμός

α) Να βρείτε το k ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση.

β) Να βρείτε τη μοναδική λύση 0 0x , y για τις παραπάνω τιμές του k.

γ) Αν k 1 ,

i. να λύσετε την εξίσωση 2

0 0y x 0 .

ii. να λύσετε την ανίσωση 0 0x t t yt 3 t 4

021 3 x 5 3 5

4. Έστω x yD, D , D οι ορίζουσες ενός συστήματος 2χ2 που έχει μοναδική λύση. Αν

x yD D 4D και x yD D 2D , να αποδείξετε ότι :

α) το σύστημα έχει μοναδική λύση 0 0x , y 3, 1 .

β) υπάρχει για το οποίο ισχύει: 0 0x y

5

, 0x

5 .

γ) 0 0 0log32 log x y x log2 0 .

5. Δίνεται το πολυώνυμο 3 2f x 2x 5x x , , , το οποίο έχει

παράγοντα το 2

x 1 .

α) Χωρίς να υπολογίσετε τα α,β, να αποδείξετε ότι 3 .

β) Να αποδείξετε ότι 4 και 1 .

γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω

από τον άξονα χ΄χ.

δ) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 x 5 x 4 x 1

ε) Δίνεται το σύστημα

x f 0 y 2

x y 2 f 1

.


[92]

i. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το σύστημα έχει μοναδική λύση 0 0x , y .

ii. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες υπάρχει για το οποίο ισχύει:

0x και 0y .

6. Μια εκδοτική εταιρεία πουλάει βιβλία.

Οι ετήσιες πωλήσεις σε χιλιάδες βιβλία δίνονται από τη συνάρτηση

πtf (t) 100 50συν ,

3 όπου t ο χρόνος σε έτη με t(0, 6].

i) Να βρείτε το έτος που η εταιρεία θα έχει το μέγιστο αριθμό πωλήσεων. Ποιος

είναι ο αριθμός αυτός;

ii) Σε ποιο έτος οι πωλήσεις θα φτάσουν τα 125 χιλιάδες βιβλία;

7. Δίνεται η συνάρτηση f x 2 2x 1 , x .

α) Να βρείτε τη περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της και να σχεδιάσετε

τη γραφική της παράσταση σε διάστημα μιας περιόδου.

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες.

γ) Να λύσετε την εξίσωση f x f x4

στο διάστημα 0, .

δ) Να αποδείξετε ότι 5

f log 2 log f 3log f log1284 12 12

.

ε) Να βρείτε τα , για τα οποία το πολυώνυμο 3 2P x x 6x x έχει

παράγοντες τα x f4

και x f

12


2

2 2x 1f x

2 x 1

.


β) Να λύσετε την εξίσωση f x 0 .

γ) Να λύσετε την εξίσωση log x f log x f log36 6

9. Δίνεται το πολυώνυμο:

P(x) = x4 + (β – α)x

3 – (α + β)x

2 - (2β + α)x – β, όπου

α, βR

i) Να προσδιορίσετε τα α, βR,

ώστε το πολυώνυμο P(x) να διαιρείται

με τη μεγαλύτερη δύναμη του x + 1.

ii)Για τις τιμές των α και β που βρήκατε στο ερώτημα (α) να λύσετε

την ανίσωση P(x) < 0.

10. Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 2P x 4x 3 x x 2, ,2

.

α) Να βρείτε το ω για το οποίο το υπόλοιπο της διαίρεσης του P x με το

x να είναι ίσο με 2.

β) Να λύσετε την εξίσωση 2

P x 2 για 3

4

.


[93]

γ) Να λύσετε την εξίσωση 6 2P 1 11 0 .

11. Δίνεται το πολυώνυμο 2 2P x 1 x 1 x 1 .

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες το πολυώνυμο είναι 1ου βαθμού.

β) Αν το P x είναι 2ου βαθμού και 1 2x , x είναι ρίζες του, να αποδείξετε ότι:

1 2 1 2x x x x 1 .

γ) Αν 3 2Q x x x x , να βρείτε τα , , για τα οποία τα πολυώνυμα

P x και Q x είναι ίσα.

12. Δίνεται το πολυώνυμο 3 2P x 2x 7x x το οποίο έχει παράγοντα το

x 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το x 1 είναι 18 .

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2 .

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2x 7 2x 7 2x 2 0 .

γ) Να λύσετε την ανίσωση x x x2 8 7 4 7 2 2 0 .

13. Έστω P(x) περιττή πολυωνυμική συνάρτηση με P(1) = 2.

i) Να βρείτε τον σταθερό όρο α0 του P(x).

ii) Να βρείτε το P(-1).

iii) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P(x) με το

Q(x) = x

3 – x.

14. Δίνεται το πολυώνυμο f(x), όπου 1

λ4 2λ 1 3 2 λ2f (x) x 5 x 2 3 x 25 x 1,

λR.

i) Αν x – 1

είναι παράγοντας του f(x), τότε να βρείτε το λ.

ii) Για 1

λ2

:

α) Να αποδείξετε ότι το (x – 1)

2 είναι παράγοντας του:

1

λ4 2λ 1 3 2 λ2f (x) x 5 x 2 3 x 25 x 1

β) Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της

πολυωνυμικής συνάρτησης: 1

λ4 2λ 1 3 2 λ2f (x) x 5 x 2 3 x 25 x 1

βρίσκεται

πάνω από τον άξονα x´x.

15. Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 2P x x x 2x x , , και η

συνάρτηση f x logP x .Αν το P x έχει παράγοντα το 2

x 1 , τότε:


β) Να λύσετε την εξίσωση P 2 x 0 .

γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

δ) Να αποδείξετε ότι f 7 f 2 f 3 log9 .

16. Δίνεται η συνάρτηση 3 x

f (x) ln .3 x


ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή.


[94]

iii) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1

f .3

iv) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(x + 1) = 0.

17. Δίνονται οι συναρτήσεις 2x xf x ln e 2e 3 και xg x ln3 ln e 1 .

i) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x).

ii) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x).

iii) Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 2g(x).

18. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x

3 – 7x – 6.

i) Να βρείτε τις ρίζες του P(x).

ii) Να λύσετε την ανίσωση P(x) > 0.

iii) Να λύσετε την εξίσωση 3logx logx10 – 7 10 – 6 0 .

19. Δίνεται η συνάρτηση x+1 x+2

x x

2 + 2 - 24f(x) = ln .

4 -6 2 +8

i) Να λύσετε την εξίσωση 2

x+1 + 2

x+2 = 24.

ii) Να λύσετε την εξίσωση 4

x – 6

2

x + 8 = 0.

iii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f(x).

iv) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0.


i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτηση f.

ii) Για ποιες τιμές του x η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει

τον άξονα x’x.

iii) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη.

iv) Να λύσετε την ανίσωση f x 0 .

21. Δίνεται η εκθετική συνάρτηση x

f x 3 .

i) Να βρείτε τις τιμές του α.

ii) Να βρείτε τις τιμές του α ώστε η f να είναι γνησίως φθίνουσα.

iii) Αν 3 4 ,τότε να λύσετε την εξίσωση 2f x 5x 7 3 .

22. Δίνεται η συνάρτηση: f x 2log(12 – x) – log(x 8) 1

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f.

ii)Να αποδείξετε ότι f(0) = log9 – log5.

iii)Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Cf

της

f(x) με

τον άξονα x´x.

iv)Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η Cf βρίσκεται κάτω από τον

άξονα x´x.

23. Δίνονται οι συναρτήσεις: f(x) = ex – e και g(x) = e

1-x - 1

i) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και g.

ii) Να βρείτε τις τιμές του xR

για τις οποίες η γραφική παράσταση της

f βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της g.


[95]

iii) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των f και g.


f x 2 , 0,2 . Να βρείτε τις τιμές του ω για

τις οποίες η f είναι:

α) σταθερή στο

β) γνησίως αύξουσα

γ) γνησίως φθίνουσα

δ) Να λύσετε την εξίσωση f 2 f 1 6 .

25. Σε μια ουσία ρίπτεται ένας ορισμένος αριθμός ενζύμων και αρχίζει η

ζύμωση. Τα ένζυμα πολλαπλασιάζονται σύμφωνα με τον νόμο της εκθετικής

μεταβολής. Μετά από δύο ώρες τα ένζυμα ανέρχονται σε 400000 και δύο ώρες

αργότερα σε 3200000.

i)Να αποδείξετε ότι ο αριθμός f(t) σε χιλιάδες των ενζύμων t ώρες από την

εισαγωγή τους στην ουσία δίνεται από τον τύπο: t

2f (t) 50 8

ii)Να βρείτε σε πόσο χρόνο διπλασιάστηκαν τα ένζυμα.

iii)Για πόσες ώρες ο αριθμός των ενζύμων δεν θα ξεπεράσει τον 8

20

5;

26. Ένας πληθυσμός από 210

βακτήρια αρχίζει από κάποια στιγμή και μετά

να διπλασιάζεται ανά είκοσι λεπτά.

i) Πόσος θα είναι ο πληθυσμός των βακτηρίων μετά από 10 ώρες;

ii) Με το πέρας της 10ης ώρας ρίχνουμε ένα φάρμακο, το οποίο έχει ως

αποτέλεσμα να χάνονται κάθε 8 λεπτά 235

βακτήρια.

α.Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν 80 λεπτά μετά την εισαγωγή του φαρμάκου;

β.Σε πόσα λεπτά θα έχουν πεθάνει όλα τα βακτήρια;

27. Δίνεται η εξίσωση 2

3

5 1x x

3 3

x 1

18 , x 0,2

4

.

α) Να αποδείξετε ότι η μεγαλύτερη ρίζα της προηγούμενης εξίσωσης είναι η

4

3

.

β) Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης

3 4

1 3log 3 ln2 4

32

6 27A log e

4

28. Δίνεται η συνάρτηση xf x log 2, x 0 .

α) Να λύσετε την εξίσωση f x 2 .

β) Να αποδείξετε ότι: i. 2 f 10

10 50

ii. 1

f 2 f 02

29. Δίνεται η συνάρτηση 1 xf (x) (3 ) , x και 1 .

Α. Αν το σημείο Μ(1,3) ανήκει στην γραφική παράσταση της f , να βρείτε το α.

Β. Για α=0 να λύσετε τις εξισώσεις:

α. f (x) f (2x) 2 β. f (2 x) 3


[96]

30. Δίνεται η συνάρτηση ln x

f (x)1 ln x

Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης .

Β. Να λύσετε την εξίσωση f (x) 1 .

Γ. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται

πάνω από τον άξονα x 'x .

31. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο x

x

2f (x) ln e 3

e

.

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

Β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f παίρνει την μορφή :

x xf (x) ln e 1 e 2 x

Γ. Να βρείτε τα σημεία για τα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω

από την γραφική παράσταση της g(x)=x.

Δ. Να λύσετε την εξίσωση f(x)+g(x)= 2 ln 2 3 .

32. Δίνεται η συνάρτηση xf x ln(4 8) x ln 2

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β. Να λυθεί η εξίσωση f x ln7

γ. Να λυθεί η ανίσωση f x ln7


1f x 1

e

.

Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνήσια φθίνουσα στο R

Β) Να λύσετε την εξίσωση 1

x f 1 f 04 e

Γ) Να λύσετε την εξίσωση x f 0 0 στο διάστημα 3

,2 2


2

2

log xf x

log x

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

Β) Να λύσετε την εξίσωση 1

f x2

Γ) Να λύσετε την ανίσωση 1

1f x


x

e 1f x ln

e 5

.


β) Να λύσετε την εξίσωση f x 2ln 2 .


[97]

γ) Να λύσετε την ανίσωση f x 0 .

δ) Έστω η συνάρτηση f xxg x e 5 e .

i. Να αποδείξετε ότι η g είναι 1-1.

ii. Να λύσετε την εξίσωση g x x g x


f x log x log x .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.


γ) Να λύσετε την εξίσωση f x 0 .

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α,β με ισχύει ότι f f , να

αποδείξετε ότι 10.000 .

37. Δίνεται η συνάρτηση f x ln x k3

.


β) Αν e

f ln ln6 2

, να βρείτε το k.

γ) Αν k 1 , τότε:

i. να λύσετε στο διάστημα 0,2

την εξίσωση:

ln x f 2ln 2 f ln36

.

ii. να λύσετε την εξίσωση f x 1 f x 1

e e

.

38. Δίνεται το πολυώνυμο 3 2P x x x x 4 , , .Αν το υπόλοιπο της

διαίρεσης του P x με το 2x x είναι 2x 4 τότε :


β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P x με το x 1

γ) Nα λύσετε την ανίσωση x 2xP 10 10 5 .

δ) Να λύσετε την εξίσωση

1 3log x P 1 log x log

2 P 0

39. Θεωρούμε το πολυώνυμο 3P x x x 2 4 , ,

α) Αν έχει παράγοντα το 2

x 1 , να βρείτε τα και .

Αν 3 και 1 , τότε:

β) να λύσετε την ανίσωση P x 0

γ) να λύσετε την εξίσωση P x 0

δ) να αποδείξετε ότι

12 log 3P 2 2P 0

210 25


[98]

40. Δίνεται η συνάρτηση f x log log x .


β) Να λύσετε την ανίσωση f x 1 .

γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση x

g x f για την οποία γνωρίζουμε ότι είναι

γνησίως φθίνουσα στο .

i. Να βρείτε τις δυνατές τιμές του λ.

ii. Να λύσετε την ανίσωση 3g x 4x g x 4

41. Δίνεται η συνάρτηση xf x x ln e 3 .


β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f 1821 και f 2015 .

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της

ευθείας y ln10 .

ε) Να λύσετε την εξίσωση 22 x 3 4x ln e 3 1 ln e 3

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

[99]

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

2006 ZHTHMA 1

o

Α. Πότε μία ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος; Μονάδες 8

Β. Να αποδείξετε ότι ο νος

όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α1 και

διαφορά ω είναι αν = α1 + (ν-1)ω. Μονάδες 12

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας

την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1. Η συνάρτηση f(x)=συνx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0,π]

2. Ισχύει ότι ημx = ημθ (x = 2κπ + θ ή x = 2κπ – θ),

κZ.

3. Αν ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x–ρ, τότε το ρ είναι ρίζα του P(x).

4. Αν α > 1,

τότε η συνάρτηση

f(x) = α

x είναι γνησίως αύξουσα.

5. Ισχύει ότι logα(θ1 + θ2) = logαθ1

logαθ2 , 0 1 , 1 2, 0 .

Μονάδες 5

ZHTHMA 2o

Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x

4 – 2x

3 – 3x

2 + 8x – 4.

α) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0. Μονάδες 13

β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) 0. Μονάδες 12

ZHTHMA 3

o

Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με υποτείνουσα ΒΓ 2 cm .

α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει μιας οξείας γωνίας του θ

είναι 1

E( ) 22

. Μονάδες 4

β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Ε(θ). Μονάδες 5

γ) Για ποιες τιμές της γωνίας θ το εμβαδόν Ε(θ) γίνεται ίσο με 21cm

4; Μονάδες 6

δ) Για τη μικρότερη τιμή του θ που βρήκατε στο γ) ερώτημα, να βρείτε την απόσταση

του μέσο Μ της υποτείνουσας ΒΓ από την κάθετη πλευρά του ορθογωνίου

τριγώνου που είναι προσκείμενη στη γωνία θ . Μονάδες 5

ZHTHMA 4o

Δίνεται η συνάρτηση xf (x) ln(e 2) της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται

από το σημείο (ln3,1) .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f . Μονάδες 4

β) Να αποδείξετε ότι 1 . Μονάδες

3 γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα . Μονάδες 5

δ) Να λύσετε τις εξισώσεις :

i. f (x) 0 ii. f (x) ln(3e) Μονάδες 8

ε) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) f (ln x) 1

Μονάδες 5


[100]

2007

ZHTHMA 1o

Α. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ρημωχ , με , 0 . Να γράψετε:

α. τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της Μονάδες 3

β. την περίοδο της Μονάδες 2

Β. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το

x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Μονάδες 10 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας

την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1. Αν ο αριθμός ρ είναι ακέραια ρίζα του πολυωνύμου P(x) και το P(x) έχει

ακέραιους συντελεστές, τότε ο ρ διαιρεί τον αριθμό P(0).

2. Δεν υπάρχει αριθμητική πρόοδος που να περιέχει ως όρο της ακολουθίας τον

αριθμό 0.

3. Η συνάρτηση xf (x) , με 0 1

, είναι γνησίως φθίνουσα

4. Αν lnθ = x ,

τότε ex

.

5. Ισχύει ότι lne , 0 .

Μονάδες 10

ZHTHMA 2o

α) Να λύσετε την εξίσωση (Ε):

3 2x 5x 7x 3 0 Μονάδες 10

β) Αν η αριθμητική πρόοδος έχει πρώτο όρο ίσο με τη μικρότερη ρίζα της (Ε) και

διαφορά ίση με τη μεγαλύτερη ρίζα της (Ε) , να βρείτε:

i. τον 100 Μονάδες 7

ii. το 40S Μονάδες 8

ZHTHMA 3o

Δίνεται η συνάρτηση xf (x) ln(e 2) της οποίας η γραφική παράσταση

διέρχεται από το σημείο (ln3,1) .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f . Μονάδες 7

β) Να αποδείξετε ότι 1 . Μονάδες

8 γ) Να λύσετε την εξίσωση f (x) 0 Μονάδες 10

ZHTHMA 4

o

Δίνεται το πολυώνυμο 3 2P(x) x x (log 2)x log , 0 .

α) Να αποδείξετε ότι το x 1 είναι παράγοντας του P(x) . Μονάδες 3

β) Να βρείτε τις τιμές του α , για τις οποίες το πολυώνυμο P(x) έχει τρεις

πραγματικές ρίζες. Μονάδες 8

γ) Για 10 να λύσετε:

i. την ανίσωση P(x) 0 Μονάδες 6

ii. την εξίσωση 2P( x) x , x [0, ] Μονάδες 8


[101]

2008

ZHTHMA 1o

Α. Έστω Ρ(x) ένα πολυώνυμο του x και ρ ένας πραγματικός αριθμός.

Αν π(x) είναι το πηλίκο και υ(x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με

το πολυώνυμο x-ρ, τότε:

α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του Ρ(x) με το x-ρ .

Μονάδες 3

β) Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με

το x-ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x=ρ. Είναι δηλαδή υ=Ρ(ρ).

Μονάδες 10 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την

λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

1. Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου

είναι Sν =

1(α α ) ·ν

ν

2.

2. Αν α, β, γ, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε β - α = β - γ.

3. Ο νιοστός όρος αν μιας αριθμητικής προόδου με διαφορά

ω είναι αν = α1 + (ν - 1) ω.

Μονάδες 6

Γ. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις:

1 . Α ν x = l n κ κ = … … … … .

Μονάδες 2

2. Αν α είναι ένας θετικός αριθμός και α≠1, τότε η συνάρτηση

f(x) = αx έχει σύνολο τιμών το διάστημα ....... Μονάδες 2

3 . Α ν 1 0l o g χ

= κ , μ ε χ > 0 τ ό τ ε κ = … … … … .

Μονάδες 2

ZHTHMA 2o

Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x3 -αx

2 + βx -4 ,

Α. Αν η εξίσωση Ρ(x)=0 έχει ρίζα τον αριθμό 4, ενώ το Ρ(x) διαιρούμενο με x-1 αφήνει

υπόλοιπο -6,να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β.

Μονάδες 9 Β. Για α=4 και β=1

Ι) Να λύσετε την ανίσωση P(x) < 0. Μονάδες 8

ΙΙ) Να βρείτε το άθροισμα των 10 πρώτων όρων αριθμητικής προόδου η οποία

έχει πρώτο όρο την πραγματική ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και διαφορά ω=2

Μονάδες 8

ZHTHMA 3o

Δίνεται η συνάρτηση 4x

f (x)1 4x

.

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f . Μονάδες 6

β. Να δείξετε ότι f (x) 2x . Μονάδες 7


[102]

γ. Να λύσετε την εξίσωση f (x) 1 . Μονάδες 6

δ. Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου.

Μονάδες 6

ZHTHMA 4o

Δίνεται η συνάρτηση x

x x

12 3 3f(x) = ln .

9 - 4 3 + 3

α. Να λύσετε την εξίσωση 9

x – 4

3

x + 3 = 0. Μονάδες 8

β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f(x). Μονάδες 9

γ. Να λύσετε την εξίσωση f(x) =ln3 – ln2. Μονάδες 8

2009

ZHTHMA 1o

Α. Να δείξετε ότι αν α >0 με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ2 >0 ισχύει:

1 2 1 2log log log (Μονάδες 10)

B. Πότε μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος ;

(Μονάδες 5) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας τη

λέξη ΄΄Σωστό΄΄ ή ΄΄Λάθος ΄΄ δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση:

1. Το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου (αν ) με λόγο

λ 1 δίνεται από τον τύπο: 1

1S

1

2. Η συνάρτηση συνx είναι γνησίως αύξουσα στο ,2

3. Αν 0< α <1, η συνάρτηση f(x) = αx είναι γνησίως. αύξουσα.

4. Σε κάθε αριθμητική πρόοδο (αν) με διαφορά ω ισχύει ότι αν = α1 + (ν +1)·ω.

5. Οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν 2β = α + γ.

(Μονάδες 10)

ZHTHMA 2o

Δίνεται η συνάρτηση: f (x) συν 2x 2x2

α) Να αποδείξετε ότι f(x) = 2ημ2x. (Μονάδες 6)

β) Να βρείτε την περίοδο Τ της συνάρτησης f,καθώς επίσης τη μέγιστη και την

ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f. (Μονάδες 6)

γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f σε διάστημα πλάτους

μιας περιόδου. (Μονάδες 6)

δ) Nα λύσετε την εξίσωση f x 1 0 . (Μονάδες 7)


[103]

ZHTHMA 3o

Δίνεται το πολυώνυμο 3 2P x x x x , α,β .Αν το υπόλοιπο της

διαίρεσης 2P x : x 2x είναι υ(x)=9x-3 τότε :

α) Να αποδείξετε ότι α=3 και β= -3. (Μονάδες 9)

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x’x. (Μονάδες 8)

γ) Nα λύσετε την ανίσωση xP e 0 . (Μονάδες 8)

ZHTHMA 4o

Δίνεται η συνάρτηση xf (x) x ln(e 3) .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. (Μονάδες 5)

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. (Μονάδες 5)

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f (ln4) και f (ln6) . (Μονάδες 5)

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της

ευθείας y ln10 . (Μονάδες 5)

ε) Να λύσετε την ανίσωση xf (x) ln 2 ln(e 2) . (Μονάδες 5)

2010

ΘΕΜΑ Α

Α 1. Να αποδείξετε ότι ο νος

όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α1

και διαφορά ω είναι 1 1 . (μον.10)

Α 2. Πότε μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος. (μον.5)

Α 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο

τετράδιό σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί

σε κάθε πρόταση

α. Η συνάρτηση f(x)=συνx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0,π]

β. Ισχύει ότι ημx = ημθ (x = 2κπ + θ ή x = 2κπ +π– θ),

κ .

γ. Αν ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x–ρ, τότε το ρ είναι ρίζα

του P(x).

δ. Ισχύει ότι 2log x 2 log x,x 0 .

ε. Ισχύει ότι lne , 0 . (μον.10)

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 2P x x x 3x x 2,x

Β 1. Να λύσετε την εξίσωση P x 0 (μον.8)

Β 2. Να λύσετε την ανίσωση P x 0 (μον.9)

Β 3. Έστω η αριθμητική πρόοδος η οποία έχει ως πρώτο όρο α1 τη μεγαλύτερη ρίζα

και ως διαφορά ω τη μικρότερη ρίζα της εξίσωσης P x 0 .Να βρείτε το

άθροισμα των 20 πρώτων όρων της παραπάνω αριθμητικής προόδου. (μον.8)


[104]

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνάρτηση 4 4f x 8 x 8 x 3,x

Γ 1. Να δείξετε ότι f x 2 4x 3 (μον.10)

Γ 2. Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή

της συνάρτησης f. (μον.7)

Γ 3. Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων Μ x,f x με x 0, ,στις οποίες

η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει την ευθεία y=2 (μον.8)

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση f x 1 x ln x, x 0

Δ 1. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα

x’x στο σημείο A 1,0 . (μον.5)

Δ 2. Να λύσετε την ανίσωση x 2x 5f e 1 e x (μον.8)

Δ 3. Αν 0 x 1 να δείξετε ότι f x 0 . (μον.7)

Δ 4. Να δείξετε ότι για κάθε 0,2

ισχύει ότι

eln

. (μον.5)

2011

ΘΕΜΑ Α

Α1. Να αποδείξετε ότι, αν το πολυώνυμο

1

1 1 0P x x x x

, 0 1, , , με 0 0

έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το σταθερό όρο 0

του πολυωνύμου.

Μονάδες 10

Α2. Έστω 0, και 0 1 .Τι ονομάζουμε λογάριθμο του θ ως

προς βάση α;

Μονάδες 5 Α3. Να χαρακτηρίσετε ως ΣΩΣΤΕΣ (Σ) ή ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΕΣ (Λ) τις

παρακάτω προτάσεις:

α) Αν 1 2, 0, και 0 1 ισχύει πάντοτε ότι:

1 2 1 2log log log

β) Η συνάρτηση xg(x) με 0 1 έχει πεδίο ορισμού το

διάστημα (0, ) και σύνολο τιμών το .

γ) Για τη συνάρτηση h(x) ln x ισχύει: h(x) 0 για κάθε x 1 και

h(x) 0 για κάθε 0 x 1 .

δ) Αν 1 , τότε ο αριθμός 1

ln

είναι θετικός.

ε) Το μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού.

Μονάδες 10


[105]

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται το πολυώνυμο 3 2P(x) 2x 5x 4x 3 .

Β1. Να λύσετε την εξίσωση: P(x) 0 .

Μονάδες 9

Β2. Να λύσετε την ανίσωση: P(x) 0 .

Μονάδες 7

Β3. Να λύσετε την εξίσωση: 3 22 x 5 x 4 x 2 0 .

Μονάδες 9

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνάρτηση 3

f (x) (3 3x) 3x2

.

Γ1. Να αποδείξετε ότι: f (x) 2 3x .

Μονάδες 6 Γ2. Να βρείτε:

α) Τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης f.

β) Την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f.

γ) Την περίοδο της συνάρτησης f.

Μονάδες 9

Γ3. Έστω η συνάρτηση x 1 1 xg(x) 2 2 2 3x 5

2

.

Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων f και g.

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση 5f (x) x log(x 8) .

Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

Μονάδες 3

Δ2. Να λύσετε την εξίσωση: 5logxf (x) 10 1

Μονάδες 8

Δ3. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

Μονάδες 7

Δ4. Να λύσετε την ανίσωση: 5log(x 8) 33 x .

Μονάδες 7

2012

ΘΕΜΑ Α

Α 1. Αν α > 0 με α ≠ 1 να αποδείξετε ότι ισχύει klog k log ,όπου θ

οποιοσδήποτε θετικός αριθμός και k . (Μονάδες 9)

Α 2. Να συμπληρώσετε τα κενά στις σχέσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα

σας αυτό που λείπει δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. xln e ...


[106]

β. log1 ...

γ. ln x x ...

δ. log10 ... (Μονάδες 8)

Α 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας τη

λέξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

πρόταση.

α. Το σταθερό πολυώνυμο έχει βαθμό 1.

β. Η συνάρτηση f (x) x είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0,2π].

γ. Αν το πολυώνυμο 1

1 1 0P x x x x

με ακέραιους συντελεστές,

και 0 0 έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ 0 τότε το ρ διαιρεί το σταθερό όρο 0 .

δ. Αν θR, τότε ισχύει πάντοτε η ισοδυναμία: x x k , .

(Μονάδες 8)

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση f (x) 3 (2x) 1

Β 1. Να υπολογίσετε την περίοδο της συνάρτησης. (Μονάδες 4)

Β 2. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f.(Μονάδες 6)

Β 3. Να λύσετε την εξίσωση 1

f (x)2

. (Μονάδες 9)

Β 2. Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης του ερωτήματος Β3 που βρίσκονται στο

διάστημα ,2 2

(Μονάδες 6)

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνάρτηση 3f (x) x αx+β , β+ α,

Γ 1. Να βρείτε τις τιμές των α και β αν γνωρίζετε ότι ισχύουν οι σχέσεις:

Η f (x) έχει παράγοντα το x 1 και

Το υπόλοιπο της διαίρεσης f (x) : (x 1) είναι 12.

(Μονάδες 7)

Γ 2. Για 7 και 6

i/ Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα x΄x. (Μονάδες 7)

ii/ Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι κάτω από τον άξονα x΄x. (Μονάδες 6)

iii/ Να δείξετε ότι η συνάρτηση 3 4 3h(x) x f (x) 9x 6x 2012 δεν έχει

πραγματικές ρίζες. (Μονάδες 5)

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση

xln ln 3

f (x)ln ln

με 3< α < β η οποία είναι γνησίως

φθίνουσα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών .


[107]

Δ 1. Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln . (Μονάδες 3)

Δ 2. Να αποδείξετε ότι: 2 3 . (Μονάδες 6)

Δ 3. Αν 6 και 24 τότε:

i/ Να αποδείξετε ότι:

x1

f (x)2

(Μονάδες 4)

ii/ Να αποδείξετε ότι για κάθε , ισχύει η ανισότητα:

2 f f f2

(Μονάδες 5)

iii/ Να λυθεί η εξίσωση 2 2f ( x) f ( x) 3 (Μονάδες 7)

2013

ΘΕΜΑ Α

Α 1. Αν α > 0 με α ≠ 1 να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε θ1, θ2 > 0 ισχύει:

1 2 1 2log ( ) log log . (Μονάδες 9)

Α 2. Να συμπληρώσετε τα κενά στις σχέσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα

σας αυτό που λείπει δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. log100 ...

β. Αν log 0 ... ,με θ > 0

γ. Αν ln xe k k ... ,με x,k > 0

δ. 1

ln ...e (Μονάδες 8)


λέξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Αν ένας ακέραιος 0 είναι διαιρέτης του σταθερού όρου 0a ενός πολυωνύμου,

τότε είναι ρίζα του πολυωνύμου αυτού.

β. Η συνάρτηση xf (x) με (0,1) είναι γνησίως φθίνουσα..

γ. Αν ένα γραμμικό σύστημα 2x2 έχει ορίζουσα D ίση με 0, τότε είναι αδύνατο.

δ. Αν , τότε ισχύει πάντοτε η ισοδυναμία: x x 2k ,k .

(Μονάδες 8)

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 25x 3xP(x) x (10 k)x 10

Β 1. Να βρείτε την τιμή του k αν γνωρίζετε ότι το πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα

το x 1 (Μονάδες 5)

Β 2. Για k 7

iv/ Να λύσετε την εξίσωση: P(x) 0 . (Μονάδες 10)

v/ Να λύσετε την ανίσωση: P(x) 0 . (Μονάδες 10)

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνάρτηση f (x) 3 (4x)

Γ 1. Να υπολογίσετε την περίοδο της συνάρτησης. (Μονάδες 4)


[108]

Γ 2. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f.(Μονάδες 6)

Γ 3. Να λύσετε την εξίσωση 3 2

f (x)2


Γ 4. Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης του ερωτήματος Γ3 που βρίσκονται στο

διάστημα 0,2

(Μονάδες 6)

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση 2x xf (x) ln( e 4)5e .

Δ 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. (Μονάδες 7)

Δ 2. Να λύσετε την εξίσωση f (x) x (Μονάδες 7)

Δ 3. Να δείξετε ότι x xf )(x) ln(4 e 1)ln(e (Μονάδες 6)

Δ 4. Να δείξετε ότι το σύστημα x f (ln 2) y ln 2 ln 3

( ) :x y 1

είναι αδύνατο. (Μονάδες 5)

2014

ΘΕΜΑ Α

Α 1. Να αποδείξετε ότι ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x-ρ αν και μόνο αν

το ρ είναι ρίζα του P(x), δηλαδή αν και μόνο αν P(ρ) = 0. (Μονάδες 15)



α. Αν θ ένας πραγματικός θετικός αριθμός τότε ισχύει πάντοτε η ισοδυναμία: xe ln x

β. Η συνάρτηση xf (x) με 1 είναι γνησίως αύξουσα και έχει σύνολο τιμών το

διάστημα [0, ) .

γ. Αν ένα γραμμικό σύστημα 2x2 έχει ορίζουσα D ίση με 0, τότε είναι πάντοτε

αδύνατο.

δ. Κάθε σταθερό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού.

ε. Αν 1 0 τότε για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς θ1, θ2 > 0 ισχύει:

1 2 1 2log log log

(Μονάδες 10)

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 22xP(x x 20x7x)

Β 1. Να βρείτε την τιμή του λ αν γνωρίζετε ότι το πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα

το x 1 (Μονάδες 5)

Β 2. Για 12

i/ Να λύσετε την εξίσωση: P(x) 0 . (Μονάδες 10)

ii/ Να λύσετε την ανίσωση: P(x) 0 . (Μονάδες 10)


[109]

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνάρτηση x

f (x) 42

Γ 1. Να υπολογίσετε την περίοδο της συνάρτησης. (Μονάδες 4)

Γ 2. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f . (Μονάδες 6)

Γ 3. Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα x΄x.

(Μονάδες 5)

Γ 4. Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης f (x) 3 που βρίσκονται στο διάστημα [0,7 ]

(Μονάδες 10)

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση xf (x) ln(1 e ) x , όπου , .

Δ 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f . (Μονάδες 5)

Δ 2. Αν f (1) f (0) 0 τότε:

i/ Να δείξετε ότι : 1 e

ln2

και ln 2 . (Μονάδες 5)

ii/ Να δείξετε ότι η f γράφεται :

xx 1

x

1 ef (x) ln 2

1 e

(Μονάδες 5)

iii/ Να δείξετε ότι το σύστημα x f (0) y f (1) ln 2

( ) :x y 1

είναι αδύνατο. (Μονάδες 5)

iv/ Να λύσετε την ανίσωση: 1 e

f (x) x ln2e


2015

ΘΕΜΑ Α



α. Ισχύει ότι ln , 0e .

β. Η συνάρτηση xf (x) , 0 1 έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (0, ) .

γ. Αν ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x–ρ, τότε το ρ είναι ρίζα του P(x).

δ. Η συνάρτηση f (x) x είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ( , )2 2

.

ε. Αν 1 0 τότε για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς θ1, θ2 > 0 ισχύει:

1 2 1 2log log log

(Μονάδες 10)

Α 2. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x-ρ

είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x=ρ, είναι δηλαδή υ=P(ρ).

(Μονάδες 15)


[110]

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση f (x) 2 2x 2x 102 6

Β 1. Να δείξετε ότι f (x) 3 2x 5 . (Μονάδες 9)

Β 2. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή, την ελάχιστη τιμή καθώς και την περίοδο της

συνάρτησης f . (Μονάδες 6)

Β 3. Να λύσετε την εξίσωση 7

f (x)2


ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x4+αx

3+βx

2 16x12 με α, β ΙR που έχει ρίζα το 1

και όταν διαιρεθεί με το x 1 αφήνει υπόλοιπο 24.

Γ 1. Να αποδείξετε ότι α = 4 και β = 1 (Μονάδες 8)

Γ 2. Για α = 4 και β = 1

i. Να κάνετε την διαίρεση Ρ(x): x2x2 (Μονάδες 8)

ii. Να λύσετε την ανίσωση: Ρ(x) ≤ 0. (Μονάδες 9)

ΘΕΜΑ Δ

Δίνονται οι συναρτήσεις 2x xf (x) ln(e 5e 14) και xg(x) x ln(1 2e ) .

Δ 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g . (Μονάδες 8)

Δ 2. Να λύσετε την εξίσωση: f (x) ln3 g(x) 2ln 2 . (Μονάδες 9)

Δ 3. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι πάνω από τη

γραφική παράσταση της συνάρτησης g για κάθε x (ln 2, ) .

(Μονάδες 8)

[111]

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Π.ΜΑΜΑΛΗΣ - Σ.ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ-ΕΥΑΓ. ΤΟΛΗΣ:ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Χ.ΣΤΕΡΓΙΟΥ-Χ. ΝΑΚΗΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Κ.ΓΚΑΤΖΟΥΛΗ-Κ. ΣΤΡΑΝΗ: ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Ε.ΚΩΣΤΟΓΙΑΝΝΟΥ: ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Ε.ΣΠΑΝΔΑΓΟΥ: ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄

ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ

blogs.sch.gr/smichailog

blogs.sch.gr/patsimas

www.hms.gr

www.mathematica.gr

www.askisopolis.gr

blogs.sch.gr/smichailog

blogs.sch.gr/patsimas

http://www.hms.gr/

http://www.mathematica.gr/

http://www.askisopolis.gr/

τόλης ευάγγελος άλγεβρα β΄λυκείου

Education

Transcript of τόλης ευάγγελος άλγεβρα β΄λυκείου