7/28/2019 00 epan ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ g gymn

http://slidepdf.com/reader/full/00-epan-g-gymn 1/7

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Παλιό βιβλίο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο - ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

1.1  ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΕΛ.13

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1,2 ΣΕΛ.15

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 1,3,7,9,11 ΣΕΛ.28

1.2  ΔΥΝΑΜΕΙΣ-ΣΕΛ.18

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΟΥΣ ΟΡΙΣΜΟΥΣ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕΛ.18

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕΛ.19

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1,2,3,4 ΣΕΛ.19-20

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 1,2,3,6,7,9,10,11,12,16 ΣΕΛ.21-22

1.3  ΡΙΖΕΣ-ΣΕΛ.23

ΙΣΧΥΕΙ 2a = a

ΙΣΧΥΕΙ β α β  ⋅=•a ΚΑΙβ 

α 

β =

a

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1,2,3 ΣΕΛ.25-26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 2,3,4,5,6,9,11,12,13 ΣΕΛ.26-27

1.4  ΔΙΑΤΑΞΗ-ΣΕΛ.27

Αν α-β>0 τότε α>β, Αν α-β<0 τότε α<β

Αν α>β τότε α+γ>β+γ

Αν α>β και γ>δ τότε α+γ>β+δ

Αν α>β και γ>0 τότε αγ>βγ

Αν α>β και γ<0 τότε αγ<βγ

ΣΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1,2,3 ΣΕΛ.29-30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 2,3,4,5,6,7,9,10,11 ΣΕΛ.31-32

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1,2,7 ΣΕΛ.32-33 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο -ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

2.1 ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΣΕΛ.37

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΕΤΑΙ ΜΟΝΩΝΥΜΟ ?ΤΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΚΑΙ ΤΙ ΚΥΡΙΟ ΜΕΡΟΣ ΜΟΝΩΝΥΜΟΥ? ΠΟΙΑ

ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΛΕΓΟΝΤΑΙ ΟΜΟΙΑ?

ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΟΜΟΙΩΝ ΜΟΝΩΝΥΜΩΝ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ ΟΜΟΙΟ ΜΟΝΩΝΥΜΟ ΠΟΥ ΕΧΕΙ

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΤΟΥ

ΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΜΟΝΩΝΥΜΩΝ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ ΜΟΝΩΝΥΜΟ ΠΟΥ ΕΧΕΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΟΓΙΝΟΜΕΝΟ ΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΚΑΙ ΚΥΡΙΟ ΜΕΡΟΣ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΣΕ

ΚΑΘΕΜΙΑ ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΕΚΘΕΤΩΝ ΤΟΥΣ.

1

7/28/2019 00 epan ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ g gymn

http://slidepdf.com/reader/full/00-epan-g-gymn 2/7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 4,5,9,10,11,12 ΣΕΛ.40-41

2.2 ΑΝΑΓΩΓΗ ΟΜΟΙΩΝ ΟΡΩΝ-ΣΕΛ.41

ΑΝΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΟΡΩΝ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΟΡΩΝ

ΜΕ ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΟΥΣ ΣΕ ΜΙΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1,2 ΣΕΛ.42

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 2,5,6 ΣΕΛ.43

2.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ-ΣΕΛ.44

ΓΙΑ ΝΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΟΥΜΕ ΔΥΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΖΟΥΜΕ ΚΑΘΕ ΟΡΟ ΤΟΥ

ΕΝΟΣ ΜΕ ΚΑΘΕ ΟΡΟ ΤΟΥ ΑΛΛΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΘΕΤΟΥΜΕ ΤΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΟΥΝ.

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1,2 ΣΕΛ.45

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 6,7,8 ΣΕΛ.46

2.4 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ-ΣΕΛ.46

(α+β)2=α2+2αβ+β2 

(α-β)2=α2-2αβ+β2

(α+β)(α-β)=α2-β2

(α+β)3=α3+3α2β+3αβ2+β3

(α-β)3=α3-3α2β+3αβ2-β3

α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)

α3-β3=(α-β)(α2-αβ+β2)

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕΛ.47-48-49-50

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 2,3,5,7,9,10,11,12,13 ΣΕΛ.50-51

2.5 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ-ΣΕΛ.52

Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΤΟ ΝΑ ΜΕΤΑΤΡΕΠΟΥΜΕ ΜΙΑ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΠΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ(ΓΙΑ

ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ,ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) ΟΝΟΜΑΖΕΤΑΙ

ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ.

ΠΟΙΟ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΙΝΑΙ:

1)  ΚΟΙΝΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ

2)  ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

3)  ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ

4)  ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ

5)  ΤΡΙΩΝΥΜΟ – ΣΤΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΠΑΡΑΤΗΡΟΥΜΕ ΟΤΙ χ2+(α+β)χ+αβ=(χ+α)(χ+β)

ΚΑΝΟΝΑΣ: 1. Αν αβ θετικό τότε οι α,β ομόσημοι και θα έχουν το ίδιο πρόσημο με το πρόσημο του

συντελεστή του πρωτοβάθμιου όρου χ.

-π.χ χ 2-5χ+6 . Επειδή αβ=6>0 οι α,β ομόσημοι και επειδή ο συντελεστής του χ είναι το -5 θα είναι

αρνητικοί . Είναι οι -2 και -3 γιατί αβ=-6 και α+β=-5 Άρα χ 2-5χ+6=(χ-2)(χ-5)

2. Αν αβ αρνητικό τότε οι α,β ετερόσημοι, αυτός ο αριθμός από τα α και β που έχει

μεγαλύτερη απόλυτη τιμή θα έχει πρόσημο ίδιο με το πρόσημο του συντελεστή του πρωτοβάθμιου όρου

χ 

-π.χ. χ 2

+3χ-10 Επειδή αβ=-10<0 τα α,β ετερόσημοι αυτός δε που έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή θαείναι θετικός γιατί ο συντελεστής του χ είναι το +3>0. οι αριθμοί είναι ο 5 και ο -2 Άρα χ 2+3χ-10=(χ+5)

(χ-2)

2

7/28/2019 00 epan ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ g gymn

http://slidepdf.com/reader/full/00-epan-g-gymn 3/7

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕΛ.53-54-55-56-57

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 3,5,6,8,9,10,12,13,14,17 ΣΕΛ.57-58-59

2.6 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΣΕΛ.60

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1,2,3 ΣΕΛ.62-63

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 3,4,6,7,9,10 ΣΕΛ.63-64

2.7 ΠΡΟΣΘΕΣΗ-ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ-ΣΕΛ.64

ΠΡΟΣΟΧΗ ΜΕΓΑΛΗ ΣΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΕΛ.66

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 4,5,6,7 ΣΕΛ.67

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1,4 ΣΕΛ.68

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο - ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ –ΣΕΛ.75

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 1,2,3 ΣΕΛ.77

3.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ-ΣΕΛ.78

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1,2,3ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΕΛ.78-79-80

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 3,4 ΣΕΛ.82

3.3 ΤΥΠΟΣ ΛΥΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ-ΣΕΛ.82

αχ 2+βχ+γ=0 με α διάφορο του μηδενός

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΤΥΠΟ χ=2α

4αγββ 2−±−

(προσοχή στην απόδειξη σελ.82)

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1,2,3 ΣΕΛ.83-84

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ αχ 2+βχ+γ=0 , Δ=β2-4αγ 

1. αν Δ > 0 τότε έχουμε 2 λύσεις χ=2α

4αγββ 2−±−

2. αν Δ=0 τότε έχουμε μια λύση διπλή χ=-β/2α (παράδειγμα 2ι,σελ.84)

3. αν Δ<0 τότε δεν έχουμε λύσεις (αδύνατη εξίσωση)(παράδειγμα 2ιι,σελ.84)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 2,3,4,5,6,8,11,12,17 ΣΕΛ. 86-87-88

3.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΣΕΛ.88

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1,2 ΣΕΛ. 88-89

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 2,3,4,5,6,7 ΣΕΛ.91

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4,6,7 ΣΕΛ.92

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4Ο- ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ–ΣΕΛ.99

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1,2,3 ΣΕΛ.101-102-103

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 1,2,3,4,8,9 ΣΕΛ.103-104-105

4.2 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ=αχ - ΣΕΛ.106

Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ψ=αχ 

ΕΙΝΑΙ ΕΥΘΕΙΑ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ.

3

7/28/2019 00 epan ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ g gymn

http://slidepdf.com/reader/full/00-epan-g-gymn 4/7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 1,2,3,4,5 ΣΕΛ.107

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ=αχ+β -ΣΕΛ.108

Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ψ=αχ+β

ΕΙΝΑΙ ΕΥΘΕΙΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ψ=αχ 

ΚΑΘΕ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ αχ+βψ=γ ΠΑΡΙΣΤΑΝΕΙ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΣΕΛ. 111

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 1,2,3,4,5,8,9 ΣΕΛ.112-113

4.4 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ=αχ 2 -ΣΕΛ.114

Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ψ=αχ 2

ΕΙΝΑΙ ΚΑΜΠΥΛΗ ΠΟΥ ΛΕΓΕΤΑΙ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

1)  για α>0 έχει ελάχιστο, βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ’χ, έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα ψ’ψ ,

έχει κορυφή το σημείο (0,0)

2)  για α<0 έχει μέγιστο, βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ’χ, έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα ψ’ψ ,

έχει κορυφή το σημείο (0,0)

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΕΛ. 116

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 1,2,3,4,5,6 ΣΕΛ.117-118

4.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ=αχ 2+βχ+γ -ΣΕΛ.118

Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ=αχ 2+βχ+γ με α διάφορο του 0 ΕΙΝΑΙ ΚΑΙ ΑΥΤΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΚΑΙ ΕΧΕΙ ΓΙΑ

α>0 ελάχιστο ΚΑΙ ΓΙΑ α<0 μέγιστο που είναι ίσο την τεταγμένη της κορυφής της παραβολής .

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΣΕΛ 120

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 1,2,3,4 ΣΕΛ.121-122

4.6 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ=α/χ -ΣΕΛ.122

Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ψ=α/χ ΛΕΓΕΤΑΙ ΥΠΕΡΒΟΛΗ

1. αν το α>0 τότε η γραφική παράσταση είναι στο 1ο και το 3ο τεταρτημόριο .

2. αν το α<0 τότε η γραφική παράσταση είναι στο 2ο και 4ο τεταρτημόριο .

Οι άξονες χ’χ και ψ’ψ λέγονται ασύμπτωτες της υπερβολής .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 1,3 ΣΕΛ.124

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 1,2,3,4,5 ΣΕΛ 124-125

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6Ο-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

6.1 ΤΡΙΓΩΝΑ(ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ-ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ)-ΣΕΛ.161

ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ: ΚΑΘΕ ΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙΝΑΙ ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ ΑΠΟ ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΩΝ

ΑΛΛΩΝ ΔΥΟ α<β+γ ,β<α+γ,γ<α+β

6.2 ΙΣΑ ΤΡΙΓΩΝΑ-ΣΕΛ.162

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

1)  ΟΤΑΝ ΟΙ ΠΛΕΥΡΕΣ ΕΝΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙΝΑΙ ΙΣΕΣ ΜΙΑ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΜΕ ΤΙΣ ΠΛΕΥΡΕΣ

ΕΝΟΣ ΑΛΛΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΤΟΤΕ ΤΑ ΔΥΟ ΤΡΙΓΩΝΑ ΕΙΝΑΙ ΙΣΑ.

2)  ΟΤΑΝ ΔΥΟ ΠΛΕΥΡΕΣ ΕΝΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙΝΑΙ ΙΣΕΣ ΜΙΑ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΜΕ ΔΥΟ ΠΛΕΥΡΕΣ

ΕΝΟΣ ΑΛΛΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΟΙ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΕΣ ΣΤΙΣ ΠΛΕΥΡΕΣ ΑΥΤΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ΕΙΝΑΙ

ΙΣΕΣ, ΤΟΤΕ ΤΑ ΔΥΟ ΤΡΙΓΩΝΑ ΕΙΝΑΙ ΙΣΑ.

4

7/28/2019 00 epan ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ g gymn

http://slidepdf.com/reader/full/00-epan-g-gymn 5/7

3)  ΟΤΑΝ ΜΙΑ ΠΛΕΥΡΑ ΕΝΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙΝΑΙ ΙΣΗ ΜΕ ΜΙΑ ΠΛΕΥΡΑ ΕΝΟΣ

ΑΛΛΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΟΣΚΕΙΜΕΝΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ΤΩΝ ΠΛΕΥΡΩΝ ΑΥΤΩΝ

ΕΙΝΑΙ ΜΙΑ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΙΣΕΣ, ΤΟΤΕ ΤΑ ΔΥΟ ΤΡΙΓΩΝΑ ΕΙΝΑΙ ΙΣΑ.

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

1)  ΟΤΑΝ ΜΙΑ ΠΛΕΥΡΑ ΚΑΙ ΜΙΑ ΟΞΕΙΑ ΓΩΝΙΑ ΕΝΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΕΙΝΑΙ ΙΣΕΣ ΜΕ ΜΙΑ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗ ΠΛΕΥΡΑ ΚΑΙ ΟΞΕΙΑ ΓΩΝΙΑ ΕΝΟΣ ΑΛΛΟΥΤΟΤΕ ΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΕΙΝΑΙ ΙΣΑ.

2)  ΟΤΑΝ ΔΥΟ ΠΛΕΥΡΕΣ ΕΝΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙΝΑΙ ΙΣΕΣ ΜΕ ΔΥΟ

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣ ΕΝΟΣ ΑΛΛΟΥ ΤΟΤΕ ΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΕΙΝΑΙ

ΙΣΑ.

ΠΡΟΣΟΧΗ ΜΕΓΑΛΗ ΣΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1,2 ΣΕΛ.164-165

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 2,3,4,5,7,8 ΣΕΛ.165-166

6.3 ΙΣΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΞΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ-ΣΕΛ.167

1) ΟΤΑΝ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΟΡΙΖΟΥΝ ΙΣΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΣΕ ΜΙΑ ΤΕΜΝΟΥΣΑ ΕΥΘΕΙΑ ,

ΤΟΤΕ ΘΑ ΟΡΙΖΟΥΝ ΙΣΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΕ ΚΑΘΕ ΑΛΛΗ ΤΕΜΝΟΥΣΑ ΕΥΘΕΙΑ.

2) ΑΝ ΑΠΟ ΤΟ ΜΕΣΟ ΠΛΕΥΡΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΦΕΡΟΥΜΕ ΤΗΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΠΛΕΥΡΑ

ΤΟΥ ,ΤΟΤΕ ΑΥΤΗ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΜΕΣΟ ΤΗΣ ΤΡΙΤΗΣ ΠΛΕΥΡΑΣ ΤΟΥ.(προσοχή στην

απόδειξη σελ.168)

3) ΤΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΥ ΣΥΝΔΕΕΙ ΤΑ ΜΕΣΑ ΔΥΟ ΠΛΕΥΡΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙΝΑΙ

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΤΡΙΤΗ ΠΛΕΥΡΑ ΚΑΙ ΙΣΟ ΜΕ ΤΟ ΜΙΣΟ ΤΗΣ. (προσοχή στην απόδειξη

σελ.168)

ΠΡΟΣΟΧΗ ΜΕΓΑΛΗ ΣΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1,2 ΣΕΛ.168-169

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2:η διάμεσος προς την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της

 υποτείνουσας .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 3,4,5,6,7,8 ΣΕΛ.170

6.4 ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ-ΣΕΛ.171

1) ΟΤΑΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΤΕΜΝΟΥΝ ΔΥΟ ΑΛΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΤΟΤΕ ΤΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΠΟΥ

ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΤΗ ΜΙΑ ΕΙΝΑΙ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΡΟΣ ΤΑ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΑΛΛΗΣ.

2) ΚΑΘΕ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΧΩΡΙΖΕΙ ΤΙΣ ΑΛΛΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣ ΤΟΥ ΣΕ

ΙΣΟΥΣ ΛΟΓΟΥΣ.

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕΛ.172

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 1,2,4,5,6 ΣΕΛ.172-173-174

6.5 ΟΜΟΙΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ-ΣΕΛ.174

ΔΥΟ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΕΙΝΑΙ ΟΜΟΙΑ , ΟΤΑΝ ΕΧΟΥΝ ΤΙΣ ΠΛΕΥΡΕΣ ΤΟΥΣ ΑΝΑΛΟΓΕΣ ΚΑΙ ΤΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ΤΟΥΣ ΙΣΕΣ.

ΠΡΟΣΟΧΗ ΜΕΓΑΛΗ ΣΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1,2 ΣΕΛ.175-176

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 1,2,3,4,5 ΣΕΛ.176-177

6.6 ΟΜΟΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ-ΣΕΛ.178ΟΤΑΝ ΔΥΟ ΤΡΙΓΩΝΑ ΕΧΟΥΝ ΤΙΣ ΓΩΝΙΕΣ ΤΟΥΣ ΙΣΕΣ ,ΤΟΤΕ ΕΧΟΥΝ ΚΑΙ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ

ΠΛΕΥΡΕΣ ΤΟΥΣ ΑΝΑΛΟΓΕΣ(ΕΙΝΑΙ ΔΗΛΑΔΗ ΟΜΟΙΑ)

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ:ΟΤΑΝ ΔΥΟ ΤΡΙΓΩΝΑ ΕΧΟΥΝ ΤΙΣ ΠΛΕΥΡΕΣ ΤΟΥΣ ΑΝΑΛΟΓΕΣ, ΤΟΤΕ ΕΧΟΥΝ

ΚΑΙ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ΤΟΥΣ ΙΣΕΣ(ΕΙΝΑΙ ΔΗΛΑΔΗ ΟΜΟΙΑ) .(προσοχή στην απόδειξη

σελ.178)

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1,2 ΣΕΛ.179

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 1,3,5,6 ΣΕΛ.180-181

5

7/28/2019 00 epan ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ g gymn

http://slidepdf.com/reader/full/00-epan-g-gymn 6/7

6.7 ΕΜΒΑΔΑ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ-ΣΕΛ.181

Ο ΛΟΓΟΣ ΤΩΝ ΕΜΒΑΔΩΝ ΔΥΟ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΙΝΑΙ ΙΣΟΣ ΜΕ ΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΤΟΥ

ΛΟΓΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ.

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2 ΣΕΛ.183

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 1,3,4,5,6,7 ΣΕΛ.183-184

6.8 ΟΓΚΟΙ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ-ΣΕΛ.184

Ο ΛΟΓΟΣ ΤΩΝ ΟΓΚΩΝ ΔΥΟ ΟΜΟΙΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΕΙΝΑΙ ΙΣΟΣ ΜΕ ΤΟΝ ΚΥΒΟ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ

ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ

ΠΡΟΣΟΧΗ ΜΕΓΑΛΗ ΣΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1,2 ΣΕΛ.185

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 1,2,3,4 ΣΕΛ.186

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 2,7 ΣΕΛ.186-187

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7Ο-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

7.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ-ΣΕΛ.193

ΣΕ ΕΝΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΑΝ Β ΕΙΝΑΙ ΜΙΑ ΟΞΕΙΑ ΓΩΝΙΑ ΤΟΥ

ΤΟΤΕ: ημΒ = απέναντι πλευρά / υποτείνουσα

συνΒ =προσκείμενη πλευρά / υποτείνουσα

εφΒ= απέναντι πλευρά / προσκείμενη πλευρά

σφΒ= προσκείμενη πλευρά / απέναντι πλευρά

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ:

ημ(90ο-ω)=συνω και συν(90ο –ω)=ημω

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕΛ.195--196

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 1,2,3,4,5,6,9,10 ΣΕΛ.196-197-198

7.2 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΠΟΙΑΣΔΗΠΟΤΕ ΓΩΝΙΑΣ-ΣΕΛ.198

ΙΣΧΥΕΙ -1≤συνω≤1 -1≤ημω≤1

ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΕ ΚΑΘΕ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ

Τεταρτημόριο 1ο 2ο 3ο 4ο 

ημχ + + - -

συνχ + - - +

εφχ + - + -

ΠΡΟΣΟΧΗ ΜΕΓΑΛΗ ΣΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1,2,3 ΣΕΛ.200-201

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 1,5,6 ΣΕΛ.201-202

7.3 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ-ΣΕΛ.204ΙΣΧΥΕΙ ημ(180ο – ω)= ημω συν(180ο –ω)=-συνω εφ(180ο ω)=-εφω

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1,2 ΣΕΛ.205

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΗΝ 1 ΣΕΛ.205

7.4 ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ –ΣΕΛ.206εφω=ημω/συνω ημ2ω+συν2ω=1 (προσοχή στις αποδείξεις των τύπων)

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1,2,3 ΣΕΛ.207

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 1,2.3,4,5,6 ΣΕΛ.208

7.5 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΣΕΛ.209α/ημΑ = β/ημΒ =γ/ημΓ (προσοχή στην απόδειξη)

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1,2 ΣΕΛ.210

6

7/28/2019 00 epan ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ g gymn

http://slidepdf.com/reader/full/00-epan-g-gymn 7/7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 2,4,5,7,8,10,13 ΣΕΛ.211-213

7.6 ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΣΕΛ.213α2=β2+γ2-2βγσυνΑ (προσοχή στην απόδειξη)

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1,2 ΣΕΛ.214-215

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 1,2,3,5,7,11 ΣΕΛ.215-216

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 2,3,4,5,8 ΣΕΛ.218

 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8Ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ

8.1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ-ΣΕΛ.221

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΕΛ. 223

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΗΝ 2, ΣΕΛ.224

8.2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ-ΣΕΛ.224

ΕΧΟΥΜΕ 1) ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ

2) ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΑΝΤΙΘΕΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΣΤΗΝ ΣΕΛ.227

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1,2,4,5 ΣΕΛ.227-230

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 1,2,5,7,9,12,13 ΣΕΛ.231-232

8.3 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-ΣΕΛ.233

ΓΙΑ ΝΑ ΛΥΘΕΙ ΜΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΙΣΩΣΗ αχ+βψ>ή =γ

1.  σχεδιάζουμε την ευθεία αχ+βψ=γ

2.  εντοπίζουμε τα ένα από τα δύο ημιεπίπεδα του οποίου τα σημεία έχουν συντεταγμένες που

αποτελούν λύσεις της γραμμικής ανίσωσης .

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΚΑΙ ΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1,2 ΣΕΛ.234-235-236

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 2,4,5,6,7 ΣΕΛ.237-238

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ 2,3ΣΕΛ.239

7