CF7001

Eletrodinmica Clssica I

Prof. Dante H. Mosca

2018

Teoria da Radiao

Radiao em colises - Espalhamento de partculas carregadas - Espalhamento de Rutherford - Transferncia e perda de energia: limites clssico e quntico - Anlise dos campos eltrico e magntico de interao - Penetrao de ons leves e pesados na matriaRadiao de frenagem (bremsstrahlung)Radiao de CherenkovRadiao de transio de meioRadiao emitida por cargas em movimentos retilneo e circular - Anlise espectral - Distribuio angularRadiao sncrotronRadiao de decaimento betaRadiao de captura eletrnica

Lab & CM

Espalhamento de Rutherford(espalhamento coulombiano elstico)

Conceitualmente

N. Bohr, 1913 :

de Broglie < b < (blindagem)

(invarncia abiabtica)

Parametrizao

densidade eletrnicaenergia de excitao mdia

Seo de choque de perda de energia(correo devido ao spin eletrnico no referencial C. M. )

Frmula de Mott

Espalhamento de uma partcula num campo de fora central

(Mecnica Clssica)

Energia conservada:

Momentum conservado:

Seo de choque diferencial

ngulo de deflexo

Colises inelsticas e fator Q (perda ou ganho)

Converso de energia cintica em calor (perda) ou converso (liberao) de energia interna, por exemplo, energia qumica armazenada (ganho).

(trajetrias abertas, mas eventualmente, h captura em rbitas fechadas)

Espalhamento elsticoSeo de choque diferencial de Rutherford em baixos ngulos:

Obs.: o erro experimental 30% em /2 e adota-se a hiptese de Bohr:

Obs.: definindo um "cut-off" com o potencial de blindagem tipoThomas-Fermi

~ 0,1 mrad

Limite de mximo desvio

Seo de Choque

ngulo mdio

numericamente:

Single & Multiple

Distribuio angular

Exerccio 1

Exercicio 2

Exercicio 3

Taxa de perda de energia ao longo da trajetria num meio material

N tomos por unidade de volume com Z eltrons cada tomo

contribuio de spin

Aproximao semi-clssica baseada no parmetro de impacto

Para , temos T ~ b-2, implicando que se T > temos b >1

=1

EntoSe t grande em relao ao perodo atmico, a resposta do tomo ser adiabtica,pois a deformao ser lenta e rapidamente o tomo volta ao estado normal.

Se t curto em relao ao perodo atmico, o eltron ligado pode ser tratado como quase-livre.

Logo, o parmetro de impacto efetivo mximo, alm do qual no h transferncia deenergia efetiva, :

Na aproximao semiclssica:

1

Limite Clssico e Limite Quntico O conceito clssico de transferncia de energia em cada evento de coliso incorretona Mecnica Quntica.

Em inmeras colises apenas uma pequena quantidade de energia transferida. Emuma frao nfima das colises uma significativa quantidade de energia transferida. Na maioria das coliso no h transferncia de energia; i.e., predominam colises elsticas com eltrons.

Somente no sentido estatstico, o mecanismo discreto de transferncia de energia daMecnica Quntica se reconcilia com o mecanismo contnuo de transferncia de energia da Mecnica Clssica.

O tratamento semi-clssico dessas colises necessita de uma interpretao estatsticae da aplicao do Princpio da Incerteza para a definio apropriada do parmetro de impacto mnimo.

Taxa de perda de energia em colises leves (Bethe, 1930)

Obs.: a transferncia de energia por coliso depende do parmetro de impacto

devido ao Princpio da Incerteza o valor mnimo de b para uma partculacom p = mv, tal que :

Obs.: Para eltrons a mxima perda de energia e

Heavy & Soft

2

1~ ln~

ioni

zatio

n m

inim

um

electron capture density effect

Energy loss of charge particles

Anlise numrica

~

Anlise de colises eletrnicas leves

Relao entre a transferncia de momento e a transferncia de energia:

Relao entre a disperso do pacote de onda eletrnico e o momento transversal:

Parmetro de impacto mnimo efetivo para uma transferncia de energia < :

Parmetro de impacto mximo efetivo devido a interao eltron -tomo :

Expresso proposta por Bethe:

os ons leves so desacelerados em materiais pesados...

10 - 100 keV

> MeV

Taxa de perda de energia em baixas energias

Ver referncias e simulaes no SRIM.

H+

100 keV

SRIMThe Stopping and Range of Ions in Matter

http://www.srim.org/

Al Z = 13A = 272,7 g/cm3

Pb Z = 82A = 20711,3 g/cm3

on H+ & alvo Al

100 keV 10 MeV

10 keV10 eV

Exerccio 4

Exerccio 5(a) Explique o significado de "straggling" no processo de implantao de ons.

(b) Explique o significado de .

(c) Explique o interesse de conhecer o produto tal que para

a terapia de tumores.

Exerccio 6

Esboce um grfico parametrizada em M. )ln(versusdxdE

Considere a frmula Bethe-Bloch de perda de energia de partculas carregadas.

Obs.: a taxa de perda de energia para eltrons modificada pois espalhamento de partculas idnticas e indistinguveis.

Bremsstrahlung(perda de energia por multiplos processos)

Obs.: ademais...

Campo eltrico devido a passagem de uma partcula num meio material

Sendo

Ento

Logo

Potenciais e Campos

Perda de energia para um eltron sobre um tomo sob um parmetro de impacto b

Em O

Campos eltrico e magntico a distncia b da trajetria:

Energia transferida ao tomo considerados todos os deslocamentos eletrnicos

Funes de Bessel modificadas de 2a espcie

Exerccio 7

Perda de energia ao longo da trajetria com parmetro de impacto b > a

a

ou

Exerccio 8

Mostre que:

resulta em com

admitindo

com e

Efeito de densidade na taxa de perda de energia(provm dos argumentos complexos nas funes de Bessel modificadas)

O limite relativstico, desprezado o efeito de densidade, usado como referncia:

Ou seja,

Partindo da expresso:

obtenha o limite relativstico desprezado o efeito de densidade:

tal que

Exerccio 9

)ln(~ badx

dE

Radiao de CherenkovO efeito de densidade na taxa de perda de energia est conectado a respostacoerente do meio a passagem da partcula relativstica que causa a radiao.

No limite so validas as expanses assintticas:

Tal que

AnliseTomando a parte real da integral

temos a taxa de energia alocada ao longo da trajetria. Se real > 0,

Ento, o fator exponencial decai rapidamente com a distncia. Mas se

imaginrio, a exponencial tende a 1 desaparecendo a dependncia com a

e . Logo,

Neste caso, mesmo com v = cte temos a radiao de Cerenkov :

Banda de Cherenkov

ngulo de emisso da radiao :

Obs.: a determinao experimental de C permite medir v.

Onda de choque

Eletrobras em Itaorna

Radiao de transio Radiao observada quando uma partcula transiciona de um meio para outro.

Coerncia ao longo da trajetria( )

Acima das frequncias pticas da radiao de Cherenkov :

Comprimento de formao :

Volume de coerncia :

ngulo polar do lbulo de radiao:

AnliseOs campos se acomodam ou atualizam no outro meio ( ) irradiando.

Caractersticas da TR

prtons com = 103 num meio com p = 20 eV emitem raios x de 2 - 20 keV

Radiao emitida por cargas em movimento, distribuio angular da radiao e espectro de frequncia

Expresso dos campos de velocidade e de acelerao

Obs.:

Interpretao do fator

Exerccio 10

Exercicio 11

Generalizao invariante

Como e

Num acelerador linear ...

Em aceleradores circulares ...

Perda radiativa por revoluo

Energia emitida num certo intervalo de tempo:

Potncia irradiada por unidade de ngulo slido:

Num curto intervalo de tempo so paralelos e quase constantes

e

Se velocidade e acelerao so colineares:

Movimento circular instantneo com

Limite relativstico

Obs.: comparao entre movimentos instantneos retilneo e circular

Frente de onda e largura do pulso

Avano da frente de onda em t :

Lagura do pulso de onda :

Se o pulso tem largura L no espao ento tem largura L/c em tempo. Logo, a anlise de Fourier prev um espectro de radiao com uma frequncia crtica superior:

Consequncia

Anlise geral da potncia irradiada

Energia total irradiada por unidade de ngulo slido

Anlise espectral( intercmbio da ordem de integraao leve a )

Se A(t) for real, pois

Calculando a transformada de Fourier

Para observao distante da fonte :

Distribuio espectral de intensidade no ponto de observao

Exerccio 12

Mostre que:

(a)

(b)

Distribuio continua de carga em movimento

Polarizao perpendicular ao plano da rbita: e

Logo, para t e pequenos:

Passagem de clculo

...

...

...

...)(

2

22

2

2

232

2

2

23

2

2

2

2

2

2

3

12

3

12

62

1

61

6

6

6

tc)t(

tc)t(

t2

tct

t2

tct

)2

)(1

tct(t

)2

)(1

c

tvcvt

(t

)2

)(1

tvvt

(c

t

3

3

23

233

233

233

2

3

33

Exerccio 13Analise a mudana de fase tal que

Mostre que sendo o tempo de coliso e >> 1:

(a)

(b) satisfeita pois

AnliseEstender as integrais aos limite de tempo infinito permitido uma vez que as frequncias levam a oscilaes rpidas da fase, mantendo o integrando nulo por tempos to pequenos quanto os usados nas aproximaes anteriores.

Parametrizando:

Polarizaes paralela e perpendicular ao plano da rbita.

Integrais de Airy

Anlise espectral da potncia irradiada

Irradiao com polarizao paralela ao plano da rbita predominante.

Airy Integrals

Em vista de , a irradiao baixa para .

Ou seja, baixa radiao em altos ngulo e altas frequncias.

A radiao confinada no plano da rbita, sendo mais confinada quanto mais alta for a frequncia.

Propriedades das funes de Bessel modificadas

Define-se: para e

Para e

Limites na anlise do plano orbital

Se , ento quando :

Energia total irradiada

Mas

e

Espectro de frequncia diferencial

Radiao Sncroton

Potncia por harmnico, n :

Pico de intensidade e energia total

Synchrotron Radiation Spectrum

J. Schwinger, Phys. Rev. 75, 1912 (1949)

Exerccio 14

(a)

(b) Considere a radiao sncroton do LNLS (www.lnls.br). Obtenha os dados do anel e calcule se a intensidade e a frequncia do pico de mxima intensidade so comparveis as expresses aproximadas citadas. Obtenha ainda c, c e nc.

Distribuio de frequncia dos ftons

Sendo e , integrando em frequncia resulta:

Energia mdia por ftons, i.e., tal que I/N

Comoc, o comprimento de onda fundamental ~ metros

corresponde a ftons com comprimento de onda de Angstrons.

-e

( )

Efeito Compton (caso S = 0)

Efeitos quantum-mecnicos

(a) Mostre que a seo de choque transversal diferencial de Klein-Nishina :

com

e Ef = hf a energia do fton, se reduz a expresso de Thomson:

quando Ef

Limite de baixas frequncias

Processos :

Seo transversal de espalhamento por nmero de ftons relativa aos ngulos slidos

que envolvem a partcula e o fton

invariante de Lorentz

dp

d

Irradiao em movimento no-relativstico (NR)

Irradiao em movimento relativstico

Exerccio 16

Mostre que:

Polarizao

=

Exerccio 17Mostre que para >> 1:

(a)

(b) P(0) = 0 (radiao no polarizada na direo frontal)

(c) O mximo de P

Irradiao colimada para frente

NR

Espalhamento Rutherford elstico correto para uma partcula no-relativstica para qualquer ngulo e coincide com o resultado da mecnica quntica parauma partcula relatvistica sob baixos ngulos de espalhamento.

Reescrevendo

De acordo com o slide 106 :

Energia total irradiada

2

slide 18

perda radiativa desprezivel se v

Obs.:

Transformao de Lorentz

Exerccio 18

Pulsos transversais de de radiao

Limites

Distribuio espectral de ftons virtuais

Exerccio 19

Radiao no decaimento beta

Formao de um eltron na origem em S(t = 0)

Intensidade espectral e nmero de ftons

Energia total irradiada

Weak force

Helicity

N(T) = A p E (Q-T)2

E = T + mc2 ; p2 = (E/c)2 + (mc)2

Emax ~ 30 mc2

Isotope

Isotone

Isobar

Synthesis of proton-rich nuclei (A ~100)

decay

Radiao na captura de eltron orbital

Anlise

Mediante mdia no ngulo de fase

Intensidade espectral e nmero de ftons

Desaparecimento do momento magntico gera radiao

(aproximao dipolar magntica no-relativstica: e )

Obs.: classicamente

Mediante mdia no movimento precessional

Nmero de ftons por intervalo de frequncia

Emisso de neutrino e fton

Probabilidade de emisso de neutrino

Espectro de ftons modificado

Espectro de ftons na captura eletrnica devido ao desaparecimento do momento magntico

Espectro de ftons na captura eletrnica radiativa devido ao desaparecimento da carga e do momento magntico

Exercicio 20A descrio do decaimento radiativo com uma constante de tempo atravs de uma lei exponencial mera escolha de base pois usando a chamada 1/2-vida tem-se:

(a) Use a base 10 e defina a constante 1/10-vida em termos da constante de tempo.

(b) Em alto grau de preciso, os decaimentos radiativos no so em geral afetadospor condies externas ou ambientais como: temperatura, presso, ambiente qumicoe campos eltricos, magnticos ou gravitacionais. H alguma exceo? Explique.

(c) Explique os processos fsicos das transmutaes nucleares abaixo:

Slide 1Slide 2Slide 3Slide 4Slide 5Slide 6Slide 7Slide 8Slide 9Slide 10Slide 11Slide 12Slide 13Slide 14Slide 15Slide 16Slide 17Slide 18Slide 19Slide 20Slide 21Slide 22Slide 23Slide 24Slide 25Slide 26Slide 27Slide 28Slide 29Slide 30Slide 31Slide 32Slide 33Slide 34Slide 35Slide 36Slide 37Slide 38Slide 39Slide 40Slide 41Slide 42Slide 43Slide 44Slide 45Slide 46Slide 47Slide 48Slide 49Slide 50Slide 51Slide 52Slide 53Slide 54Slide 55Slide 56Slide 57Slide 58Slide 59Slide 60Slide 61Slide 62Slide 63Slide 64Slide 65Slide 66Slide 67Slide 68Slide 69Slide 70Slide 71Slide 72Slide 73Slide 74Slide 75Slide 76Slide 77Slide 78Slide 79Slide 80Slide 81Slide 82Slide 83Slide 84Slide 85Slide 86Slide 87Slide 88Slide 89Slide 90Slide 91Slide 92Slide 93Slide 94Slide 95Slide 96Slide 97Slide 98Slide 99Slide 100Slide 101Slide 102Slide 103Slide 104Slide 105Slide 106Slide 107Slide 108Slide 109Slide 110Slide 111Slide 112Slide 113Slide 114Slide 115Slide 116Slide 117Slide 118Slide 119Slide 120Slide 121Slide 122Slide 123Slide 124Slide 125Slide 126Slide 127Slide 128Slide 129Slide 130Slide 131Slide 132Slide 133Slide 134Slide 135Slide 136Slide 137Slide 138Slide 139Slide 140Slide 141Slide 142Slide 143