Microondas I

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Aula 14

Microondas I

Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão Revisão

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão

Modelo de elementos distribuídos

→ Modelar a linha em pequenos elementos de circuito de tamanho Δz << λ permite aplicar teoria de circuitos.

R → Resistência série devida a condutividade finita dos conectores.

L → Auto-indutância total entre os condutores.

G → Condutância de derivação devida à perda dielétrica no material entre os condutores.

C → Capacitância de derivação devida a proximidade dos condutores.

(Ω/m)

(H /m)

(S /m)

(F /m)

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão

→ Das equações do telegrafista com fonte senoidal e tomando a derivada em z:

d2 V ( z)

d z2 −γ2 V (z)=0

d2 I (z)

d z2 −γ2 I (z)=0

=> Solução de ondaV (z)=V 0

+ e−γ z+V 0- e+γ z

I (z)=I 0+ e−γ z+ I0

- e+γ z

* Equações de onda!

Exemplo de modelo de circuito de linha de transmissão

Apostila de eletrônica 5 – Centro Paula souza

* Ondas de tensão e corrente

Solução de onda

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão

V (z)=V 0+ e−γ z+V 0

- e+γ z

Potência entregue na carga (z = 0)

I (z)=1Z 0

(V 0+ e−γ z

−V 0- e+γ z

)

Z0=R+iω Lγ =√ R+iω L

G+iωC→ Impedância característica da linha

V 0+

I 0+=−V 0

-

I 0-=Z 0

* Na posição da carga, z = 0.

=> Pl=12ℜ{V (0) I *(0)}

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γ=√(R+iω L).(G+iωC)=α+iβ ⇒→ constante de prop. complexa

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão

Linha sem perdas (R = G = 0) →

λ=2πβ ⇒ λ=

2πω√LC

γ=√(R+iω L).(G+iωC)=α+iβ ⇒ α=0 β = ω√LC

Z0=R+iω Lγ =√ R+iω L

G+iωC ⇒ Z 0=√ L

C

Comprimento de onda →

η = √μϵβ = ω√μ ϵ

Velocidade de fase → v f=ωβ ⇒ v f=

1

√LC

v f = 1√μ ϵ

* comparação com onda plana eletromagnética:

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão

2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão

→ Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária.

→ Tensão entre os condutores (C1 e C2)

→ Corrente sendo transportada

V (z)=V 0 e±iβ z

I (z)=I 0 e±iβ z

Como o modelo de elementos de circuito esta relacionado aos campos?

R: Conservação de energia e potência (teorema de Poynting).

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão

2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão

Relação entre o modelo de circuitos e os campos:

Geral

G=ωϵ,,

|V 0|2∫

S

E⃗ . E⃗* ds (S /m)

R=RS

|I 0|2 ∫

C1+C2

H t . H t* dl (Ω/m)

C= ϵ

|V o|2∫

S

E . E* ds (F /m)

L=μ

|I 0|2∫

S

H . H * ds (H /m)

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão

2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão

Exemplo 2.1 – Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo)

Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura:

Os campos de uma onda que se propaga no modo TEM possuem a mesma configuração dos campos estáticos, em um capacitor cilíndrico a menos da constante e−γ z

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão

2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão

Exemplo 2.1 – Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo)

Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura:

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão

2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão

* A constante de propagação, a impedância característica, e a atenuação da maioria das linhas de transmissão são usualmente obtidas diretamente da solução na teoria dos campos.

** Em linhas de geometria simples é possível determinarmos os parâmetros de circuito equivalentes (L, C, R, G) a partir dos cálculos simples apresentados.

*** Em linhas de geometria mais complexa, em geral, é necessária a utilização de softwares CAD que utilizam elementos finitos (FEM).

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão

2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão

2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão

Exercício 2.3 - Livro O cabo coaxial semirrígido RG-402U possui um condutor interno com diâmetro de 0,91 mm e um dielétrico com diâmetro externo de 3,02 mm (mesmo diâmetro do condutor externo). Ambos os condutores são de cobre, e o material dielétrico utilizado é o Teflon. Calcule os parâmetros R, L, G e C dessa linha em 1GHz, e utilize o resultado para encontrar a impedância característica e atenuação da linha em 1GHz.

* Compare seus resultados com a especificação do fabricante.

* comente sobre as discrepâncias.

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Revisão

Z0=49,87Ω

α=0,0436 Np /m=0,38 dB /m

→ Z0=50Ω

→ α=39.37 dB /100 m=0,3937 dB /m

* Os valores obtidos no produto dependem da qualidade do processo de fabricação (Rugosidade da superfície do metal, homogeneidade do dielétrico, etc...)

** Qto mais a atenuação se aproxima do valor teórico mais caro é o cabo!!

→ C=98.1 pF /m C=96.5 pF /m

2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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Onda gerada em z < 0

Onda refletida em z = 0

V (z)I (z)

=Z0Ao longo da linha →

V 0+

I 0+=−V 0

-

I 0-=Z 0

* Na posição da carga, z = 0.

I (z)=I 0+ e−γ z+ I0

- e+γ z

2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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Z = 0 →

V (z)I (z)

=Z0

Onda refletida →

Coef. de reflexão (z=0) →

Ao longo da linha →

2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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Z = 0 →

V (z)I (z)

=Z0

Onda refletida →

Coef. de reflexão (z=0) →

Ao longo da linha →

2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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→ Potência média entregue (no ponto z)

→ Na linha sem perdas não depende de z!

⟨P ⟩=⟨P ⟩+− ⟨P ⟩

-

Incidente Refletida

⟨P ⟩=12ℜ [V (z). I*

(z) ]=12|V 0

+|2

Z0

(1−|Γ|2 )

2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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→ Potência média entregue (no ponto z)

⟨P ⟩=12ℜ [V (z). I*

(z) ]=12|V 0

+|2

Z0

(1−|Γ|2 ) → Não depende de z!

→ Potência média entregue máxima →

Casamento de impedância →( ZL = Z0 )

(Γ=0)

(Γ=1)⇒ZL→∞→ Potência média entregue nula →

2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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→ Potência média entregue (no ponto z)

⟨P ⟩=12ℜ [V (z). I*

(z) ]=12|V 0

+|2

Z0

(1−|Γ|2 ) → Não depende de z!

→ Perda de retorno (RL) ⟨0 dB →Γ=∓1∞dB →Γ=0 ⟩

→ Quando → “Linha lisa”(Γ=0) |V (z)| = |V 0+| “A amplitude da tensão (da onda

estacionária) na linha é constante”

* Quantidade de potência refletida na carga.

2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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→ Perda de retorno (RL)

→ Quando → “Linha lisa”(Γ=0)

Exemplo: Casamento de impedância →

(Γ≈0,02)70 MHz

RL→∞

2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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→ Onda estacionária → → (Γ≠0) Onda incidente + Onda refletida(ZL≠Z 0)

“O módulo da tensão (amplitude) oscila ao longo da linha”

Na distância l da carga (z = - l ) →

O coef de reflexão pode ser escrito =>

2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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→ Onda estacionária → → (Γ≠0) Onda incidente + Onda refletida(ZL≠Z 0)

“O módulo da tensão (amplitude) oscila ao longo da linha”

(z = - l ) →

Quando e j (Θ−2β l)

= 1 ⇒V MAX = |V 0+|.(1 + |Γ|)

e j (Θ−2β l)=−1 ⇒V MIN = |V 0

+|.(1 − |Γ|)

Γ ≡ Γ(l)

→ Razão da onda estacionária

2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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→ Onda estacionária → → (Γ≠0) (ZL≠Z 0)

→ Generalização do coef de reflexão Γ(z) = V 0

- . e jβ z

V 0+ . e− jβ z

(z=−l) ⇒ Γ(l) = V 0

-

V 0+

e− jβ l

e+ jβ z = Γ(0). e−2 jβl “Casamento de impedância em

função da distância do gerador”

Onda incidente + Onda refletida

2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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→ Impedância de entrada ZIN, na distância l = -z da carga

≡ Γ(0)

2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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→ Casos especiais de linha de transmissão sem perdas

i) ZL = 0, curto circuito (Γ = -1)

ii) ZL = ∞ , circuito aberto (Γ = +1)

iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (nλ/2) → (transformador quarto de onda)

iv) Junção entre linhas de transmissão

2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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i) Linha de transmissão terminada em curto circuito

ZL = 0, curto circuito (Γ = -1)

Impedância puramente complexa!(sistema conservativo)

2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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ii) Linha de transmissão terminada em circuito aberto

ZL = ∞ , circuito aberto (Γ = +1)

Impedância puramente complexa!(sistema conservativo)

2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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ii) Linha de transmissão terminada em circuito aberto

i) Linha de transmissão terminada em curto circuito

2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (nλ/2), n =1,2,3...

β . ŀ = 2πλ

.( λ4

+ n λ2) = π

2 + nπ ⇒ tan (β . ŀ ) = ∓∞

⇒

2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (nλ/2), n =1,2,3...

β . ŀ = 2πλ

.( λ4

+ n λ2) = π

2 + nπ ⇒ tan (β . ŀ ) = ∓∞

⇒

Transformador quarto de onda →

Útil para o casamento de impedância quando sabemos λ e sabemos que ZL > Z0, mas não sabemos exatamente o valor de ZL.

“Linha com comprimento que transforma inversamente a impedância da carga ZL”

Para l = n.(λ/2) ⇒ tan (β . ŀ ) = 0

2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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iv) Junção entre linhas de transmissão → Linha Z0 alimenta a Z1 linha

Na região z < 0

Na região z > 0

Em z = 0

⇒

⇒

⇒

(assumindo que não existem ondas refletidas)

2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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iv) Junção entre linhas de transmissão → Linha Z0 alimenta a Z1 linha

Perda de inserção

⇒

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Revisão Prova 1 – 06/06/18

1. A água do mar pode ser considerada como um bom condutor, de modo que a comunicação com um submarino submerso é dificultada pela atenuação rigorosa do sinal.Considere para água do mar, μ = μ0 e σ ≈ 4,3 S/m.a) Determine a distância de atenuação (profundidade de película) para uma frequência de 60KHz. (0,50)b) Determine a atenuação total do sinal, em dB, a uma distância de 100 metros da fonte. (1,00)

2. Uma onda circularmente polarizada, incide obliquamente sobre a superfície que separa o ar de um bloco de teflon (єr = 2,08). Determine o ângulo de incidência θi para que a onda refletida esteja polarizada perpendicularmente ao plano de incidência. (1,50)

3. Uma onda plana na banda S, com frequência de 2,5 GHz, incide normalmente sobre a superfície plana de uma placa espessa de alumínio com uma densidade de potência de 7 mW/m².

(σAl = 3,816x107 S/m)a) Calcule a profundidade de película (δp) para o alumínio nessa frequência. (0,50)b) Calcule a corrente superficial total Js (A/m). (1,50)c) Estime a corrente superficial total na aproximação para um condutor perfeito (1,50)

4. Em geral, a antena e equipamentos eletrônicos de um radar são envolvidos por um radome. A função principal do radome é prover um ambiente estável (para operação e manutenção do equipamento), proteger o sistema de condições climáticas adversas e fornecer proteção balística. O Kevlar é um importante material (leve e resistente) muito utilizado na fabricação de radomes. Estime a atenuação, em dB, provocada por um radome de Kevlar com 4 mm de espessura. Para o Kevlar, na banda-X, єr = 4,1 e tgδ = 0,02. (f = 10 GHz) (3,50)

N 1=(0.7⋅P 1) + (0.3⋅P 1Rev)