CF7001

Eletrodinâmica Clássica I

Prof. Dante H. Mosca

2018

Teoria da Radiação

Radiação em colisões - Espalhamento de partículas carregadas - Espalhamento de Rutherford - Transferência e perda de energia: limites clássico e quântico - Análise dos campos elétrico e magnético de interação - Penetração de íons leves e pesados na matériaRadiação de frenagem (bremsstrahlung)Radiação de CherenkovRadiação de transição de meioRadiação emitida por cargas em movimentos retilíneo e circular - Análise espectral - Distribuição angularRadiação síncrotronRadiação de decaimento betaRadiação de captura eletrônica

Lab & CM

Espalhamento de Rutherford(espalhamento coulombiano elástico)

Conceitualmente

N. Bohr, 1913 :

de Broglie < b < (blindagem)

(invarância abiabática)

Parametrização

densidade eletrônicaenergia de excitação média

Seção de choque de perda de energia(correção devido ao spin eletrônico no referencial C. M. )

Fórmula de Mott

Espalhamento de uma partícula num campo de força central

(Mecânica Clássica)

Energia é conservada:

Momentum é conservado:

Seção de choque diferencial

Ângulo de deflexão

Colisões inelásticas e fator Q (perda ou ganho)

Conversão de energia cinética em calor (perda) ou conversão (liberação) de energia interna, por exemplo, energia química armazenada (ganho).

(trajetórias abertas, mas eventualmente, há captura em órbitas fechadas)

Espalhamento elásticoSeção de choque diferencial de Rutherford em baixos ângulos:

Obs.: o erro experimental é 30% em /2 e adota-se a hipótese de Bohr:

Obs.: definindo um "cut-off" com o potencial de blindagem tipoThomas-Fermi

~ 0,1 mrad

Limite de máximo desvio

Seção de Choque

Ângulo médio

numericamente:

Single & Multiple

Distribuição angular

Exercício 1

Exercicio 2

Exercicio 3

Taxa de perda de energia ao longo da trajetória num meio material

N átomos por unidade de volume com Z elétrons cada átomo

contribuição de spin

Aproximação semi-clássica baseada no parâmetro de impacto

Para , temos T ~ b-2, implicando que se T > temos b <

( T é a perda de energia da partícula )

AnáliseA energia de ligação pode ser caracterizada pelo inverso da frequência média do movimento eletrônico <> e o tempo de interação eletromagnética característico é:

>>1

=1

EntãoSe t é grande em relação ao período atômico, a resposta do átomo será adiabática,pois a deformação será lenta e rapidamente o átomo volta ao estado normal.

Se t é curto em relação ao período atômico, o elétron ligado pode ser tratado como quase-livre.

Logo, o parâmetro de impacto efetivo máximo, além do qual não há transferência deenergia efetiva, é:

Na aproximação semiclássica:

1 << << 1

limite limiteclássico quântico

parâmetro semi-empírico

Limite Clássico e Limite Quântico O conceito clássico de transferência de energia em cada evento de colisão é incorretona Mecânica Quântica.

Em inúmeras colisões apenas uma pequena quantidade de energia é transferida. Emuma fração ínfima das colisões uma significativa quantidade de energia é transferida. Na maioria das colisão não há transferência de energia; i.e., predominam colisões elásticas com elétrons.

Somente no sentido estatístico, o mecanismo discreto de transferência de energia daMecânica Quântica se reconcilia com o mecanismo contínuo de transferência de energia da Mecânica Clássica.

O tratamento semi-clássico dessas colisões necessita de uma interpretação estatísticae da aplicação do Princípio da Incerteza para a definição apropriada do parâmetro de impacto mínimo.

Taxa de perda de energia em colisões leves (Bethe, 1930)

Obs.: a transferência de energia por colisão depende do parâmetro de impacto

devido ao Princípio da Incerteza o valor mínimo de b para uma partículacom p = mv, tal que é:

Obs.: Para elétrons a máxima perda de energia é e

Heavy & Soft

2

1

β~ γln~

ioni

zatio

n m

inim

um

electron capture density effect

Energy loss of charge particles

Análise numérica

~

Análise de colisões eletrônicas leves

Relação entre a transferência de momento e a transferência de energia:

Relação entre a dispersão do pacote de onda eletrônico e o momento transversal:

Parâmetro de impacto mínimo efetivo para uma transferência de energia < :

Parâmetro de impacto máximo efetivo devido a interação elétron -átomo :

Expressão proposta por Bethe:

os íons leves são desacelerados em materiais pesados...

10 - 100 keV

> MeV

Taxa de perda de energia em baixas energias

Ver referências e simulações no SRIM.

H+

100 keV

SRIMThe Stopping and Range of Ions in Matter

http://www.srim.org/

Al Z = 13A = 272,7 g/cm3

Pb Z = 82A = 20711,3 g/cm3

íon H+ & alvo Al

100 keV 10 MeV

10 keV10 eV

Exercício 4

Exercício 5

(a) Explique o significado de "straggling" no processo de implantação de íons.

(b) Explique o significado de .

(c) Explique o interesse de conhecer o produto tal que para

a terapia de tumores.

Exercício 6

Esboce um gráfico parametrizada em M. )ln(γβversusdx

dE

Considere a fórmula Bethe-Bloch de perda de energia de partículas carregadas.

Obs.: a taxa de perda de energia para elétrons é modificada pois é espalhamento de partículas idênticas e indistinguíveis.

Bremsstrahlung(perda de energia por multiplos processos)

Obs.: ademais...

Campo elétrico devido a passagem de uma partícula num meio material

Sendo

Então

Logo

Potenciais e Campos

Perda de energia para um elétron sobre um átomo sob um parâmetro de impacto b

Em O

Campos elétrico e magnético a distância b da trajetória:

Energia transferida ao átomo considerados todos os deslocamentos eletrônicos

Funções de Bessel modificadas de 2a espécie

Exercício 7

Perda de energia ao longo da trajetória com parâmetro de impacto b > a

a

ou

Exercício 8

Mostre que:

resulta em com

admitindo

com e

Efeito de densidade na taxa de perda de energia

(provém dos argumentos complexos nas funções de Bessel modificadas)

O limite relativístico, desprezado o efeito de densidade, é usado como referência:

Ou seja,

Partindo da expressão:

obtenha o limite relativístico desprezado o efeito de densidade:

tal que

Exercício 9

)ln(~ γbadx

dE

Radiação de CherenkovO efeito de densidade na taxa de perda de energia está conectado a respostacoerente do meio a passagem da partícula relativística que causa a radiação.

No limite são validas as expansões assintóticas:

Tal que

AnáliseTomando a parte real da integral

temos a taxa de energia alocada ao longo da trajetória. Se é real > 0,

Então, o fator exponencial decai rapidamente com a distância. Mas se é

imaginário, a exponencial tende a 1 desaparecendo a dependência com a

e . Logo,

Neste caso, mesmo com v = cte temos a radiação de Cerenkov :

Banda de Cherenkov

Ângulo de emissão da radiação :

Obs.: a determinação experimental de C permite medir v.

Onda de choque

Eletrobras em Itaorna

Radiação de transição Radiação observada quando uma partícula transiciona de um meio para outro.

Coerência ao longo da trajetória( )

Acima das frequências ópticas da radiação de Cherenkov :

Comprimento de formação :

Volume de coerência :

Ângulo polar do lóbulo de radiação:

AnáliseOs campos se acomodam ou atualizam no outro meio ( ) irradiando.

Características da TR

prótons com = 103 num meio com ħp = 20 eV emitem raios x de 2 - 20 keV

Radiação emitida por cargas em movimento, distribuição angular da radiação e espectro de frequência

Expressão dos campos de velocidade e de aceleração

Obs.:

Interpretação do fator

Exercício 10

Exercicio 11

Generalização invariante

Como e

Num acelerador linear ...

Em aceleradores circulares ...

Perda radiativa por revolução

Energia emitida num certo intervalo de tempo:

Potência irradiada por unidade de ângulo sólido:

Num curto intervalo de tempo são paralelos e quase constantes

ββ e

Se velocidade e aceleração são colineares:

Movimento circular instantâneo com ββ

Limite relativístico

Obs.: comparação entre movimentos instantâneos retilíneo e circular

Frente de onda e largura do pulso

Avanço da frente de onda em t :

Lagura do pulso de onda :

Se o pulso tem largura L no espaço então tem largura L/c em tempo. Logo, a análise de Fourier prevê um espectro de radiação com uma frequência crítica superior:

Consequência

Análise geral da potência irradiada

Energia total irradiada por unidade de ângulo sólido

Análise espectral( intercâmbio da ordem de integraçao leve a )

Se A(t) for real, pois

Calculando a transformada de Fourier

Para observação distante da fonte :

Distribuição espectral de intensidade no ponto de observação

Exercício 12

Mostre que:

(a)

(b)

Distribuição continua de carga em movimento

Polarização perpendicular ao plano da órbita: e

Logo, para t e pequenos:

Passagem de cálculo

...

...

...

...)(

2

22

2

2

232

2

2

23

2

2

2

2

2

2

3

1

2

3

1

2

62

1

61

6

6

6

ρ

tc)t(

ρ

tc)t(

t2ρ

tct

t2ρ

tct

)2

θ)(1

ρ

tct(t

)2

θ)(1

cρ

tv

c

vt(t

)2

θ)(1

ρ

tv

ρ

vt(

c

ρt

3

3

23

233

233

233

2

3

33

θγ

ω

ββθγ

ω

βθβ

γω

βθβ

βω

ββω

ω

ω

Exercício 13Analise a mudança de fase tal que

Mostre que sendo o tempo de colisão e >> 1:

(a)

(b) é satisfeita pois

AnáliseEstender as integrais aos limite de tempo infinito é permitido uma vez que as frequências levam a oscilações rápidas da fase, mantendo o integrando nulo por tempos tão pequenos quanto os usados nas aproximações anteriores.

Parametrizando:

Polarizações paralela e perpendicular ao plano da órbita.

Integrais de Airy

Análise espectral da potência irradiada

Irradiação com polarização paralela ao plano da órbita é predominante.

Airy Integrals

Em vista de , a irradiação é baixa para .

Ou seja, baixa radiação em altos ângulo e altas frequências.

A radiação é confinada no plano da órbita, sendo mais confinada é quanto mais alta for a frequência.

Propriedades das funções de Bessel modificadas

Define-se: para e

Para e

Limites na análise do plano orbital

Se , então quando :

Energia total irradiada

Mas

e

Espectro de frequência diferencial

Radiação Síncroton

Potência por harmônico, n :

Pico de intensidade e energia total

Synchrotron Radiation Spectrum

J. Schwinger, Phys. Rev. 75, 1912 (1949)

Exercício 14

(a)

(b) Considere a radiação síncroton do LNLS (www.lnls.br). Obtenha os dados do anel e calcule se a intensidade e a frequência do pico de máxima intensidade são comparáveis as expressões aproximadas citadas. Obtenha ainda c, c e nc.

Distribuição de frequência dos fótons

Sendo e , integrando em frequência resulta:

Energia média por fótons, i.e., tal que I/N

Comoc, o comprimento de onda fundamental ~ metros

corresponde a fótons com comprimento de onda de Angstrons.

-e

( )

Efeito Compton (caso S = 0)

Efeitos quantum-mecânicos

(a) Mostre que a seção de choque transversal diferencial de Klein-Nishina :

com

e Ef = hf a energia do fóton, se reduz a expressão de Thomson:

quando Ef << mc2.

(b) Deduza ou explique a relação entre as energias dos fótos incidente e espalhado: E'f = P Ef

Exercício15

θσ 212 12

1cos

PPAP

d

d

12 11

θcos/ cmEP ef

θσ 212

1cos

A

d

d

Limite de baixas frequências

Processos :

Seção transversal de espalhamento por número de fótons relativa aos ângulos sólidos

que envolvem a partícula e o fóton

invariante de Lorentz

dp

d

Irradiação em movimento não-relativístico (NR)

Irradiação em movimento relativístico

Exercício 16

Mostre que:

Polarização

=

Exercício 17Mostre que para >> 1:

(a)

(b) P(0) = 0 (radiação não polarizada na direção frontal)

(c) O máximo de P é

Irradiação colimada para frente

NR

Espalhamento Rutherford elástico é correto para uma partícula não-relativística para qualquer ângulo e coincide com o resultado da mecânica quântica parauma partícula relatívistica sob baixos ângulos de espalhamento.

Reescrevendo

De acordo com o slide 106 :

Energia total irradiada

2

slide 18

perda radiativa desprezivel se v << c !

2

2

Obs.:

Transformação de Lorentz

Exercício 18

Pulsos transversais de de radiação

Limites

Distribuição espectral de fótons virtuais

Exercício 19

Radiação no decaimento beta

Formação de um elétron na origem em S(t = 0)

Intensidade espectral e número de fótons

Energia total irradiada

Weak force

Helicity

N(T) = A p E (Q-T)2

E = T + mc2 ; p2 = (E/c)2 + (mc)2

Emax ~ 30 mc2

Isotope

Isotone

Isobar

Synthesis of proton-rich nuclei (A ~100)

decay

Radiação na captura de elétron orbital

Análise

Mediante média no ângulo de fase

Intensidade espectral e número de fótons

Desaparecimento do momento magnético gera radiação

(aproximação dipolar magnética não-relativística: e )

Obs.: classicamente

Mediante média no movimento precessional

Número de fótons por intervalo de frequência

Emissão de neutrino e fóton

Probabilidade de emissão de neutrino

Espectro de fótons modificado

Espectro de fótons na captura eletrônica devido ao desaparecimento do momento magnético

Espectro de fótons na captura eletrônica radiativa devido ao desaparecimento da carga e do momento magnético

Exercicio 20A descrição do decaimento radiativo com uma constante de tempo através de uma lei exponencial é mera escolha de base pois usando a chamada 1/2-vida tem-se:

(a) Use a base 10 e defina a constante 1/10-vida em termos da constante de tempo.

(b) Em alto grau de precisão, os decaimentos radiativos não são em geral afetadospor condições externas ou ambientais como: temperatura, pressão, ambiente químicoe campos elétricos, magnéticos ou gravitacionais. Há alguma exceção? Explique.

(c) Explique os processos físicos das transmutações nucleares abaixo: