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1. (Ita 2017) Esboce o gráfico da função f : dada por

|x| 1f(x) 2 .

2

2. (Ita 2017) Sejam 21S {(x, y) : y || x | 1|} e 2 2 2

2S {(x, y) : x (y 1) 25}. A

área da região 1 2S S é

a) 25

2.4π

b) 25

1.4π

c) 25

.4π

d) 75

1.4π

e) 75

2.4π

3. (Ita 2017) Sejam a, b, c, d números reais positivos e diferentes de 1. Das afirmações:

I. c c(log b) (log a)a b .

II. d d dlog c log a log b

a b c1.

b c a

III. ab alog (bc) log c

é (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas I e II. d) apenas II e III. e) todas. 4. (Ita 2016) Se x é um número natural com 2015 dígitos, então o número de dígitos da parte

inteira de 7 x é igual a

a) 285. b) 286. c) 287. d) 288. e) 289. 5. (Ita 2016) Considere as seguintes afirmações:

I. A função 10x 1

f(x) logx

é estritamente crescente no intervalo ]1, [.

II. A equação x 2 x 12 3 possui uma única solução real.

III. A equação x(x 1) x admite pelo menos uma solução real positiva.

É (são) verdadeira(s) a) apenas I.


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b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) I, II e III. e) apenas III. 6. (Ita 2016) Seja 1 2 3(a , a , a , ) a sequência definida da seguinte forma: 1a 1000 e

n 10 n 1a log (1 a ) para n 2. Considere as afirmações a seguir:

I. A sequência n(a ) é decrescente.

II. na 0 para todo n 1.

III. na 1para todo n 3.

É (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) I, II e III. e) apenas III.

7. (Ita 2016) Seja f a função definida por 2x 1f(x) log (x 2x 8). Determine:

a) O domínio fD da função f.

b) O conjunto de todos os valores de x Df tais que f(x) 2.

c) O conjunto de todos os valores de x Df tais que f(x) 1.

8. (Ita 2015) Considere as funções 1f , 2,f f : , sendo 11

f (x) x 3,2

23

f (x) x 12

e

f(x) igual ao maior valor entre 1f (x) e 2f (x), para cada x . Determine:

a) Todos os x tais que 1 2f (x) f (x).

b) O menor valor assumido pela função f.

c) Todas as soluções da equação f(x) 5.

9. (Ita 2015) Considere as seguintes afirmações sobre números reais: I. Se a expansão decimal de x é infinita e periódica, então x é um número racional.

II. n

n 0

1 2.

1 2 2( 2 1) 2

III. 3 2

3 4ln e log 2 log 9 é um número racional.

É (são) verdadeira(s): a) nenhuma. b) apenas II. c) apenas I e II. d) apenas I e III. e) I, II e III. 10. (Ita 2014) Determine as soluções reais da equação em x,

3 4 104 4

100

log 16xlog x log x 3 0.

log 16


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11. (Ita 2014) A soma 1/2

1/2

n4

n 21

log 32

log 8 é igual a

a) 8

.9

b) 14

.15

c) 15

.16

d) 17

.18

e) 1. 12. (Ita 2013) Considere as funções f e g, da variável real x, definidas, respectivamente, por

2x ax bf x e e

axg x ln ,

3b

em que a e b são números reais. Se f 1 1 f 2 , então pode-se afirmar sobre a função

composta g f que

a) g f 1 ln 3.

b) g f 0 .

c) g f nunca se anula.

d) g f está definida apenas em x : x 0 .

e) g f admite dois zeros reais distintos.

13. (Ita 2013) Determine o maior domínio D da função

x( x)

4

f : D , f x log (4senx cosx 1).π

14. (Ita 2013) Se os números reais a e b satisfazem, simultaneamente, as equações

1a b

2 e 2ln a b ln 8 ln 5,

um possível valor de a

b é

a) 2

.2

b) 1.

c) 2. d) 2.

e) 3 2.

15. (Ita 2011) Resolva a inequação em 2x x 191

5

log1

:16 .4

16. (Ita 2008) Para x ∈ IR, o conjunto solução de │ 5

3x - 5

2x + 1 + 4 . 5

x │ = │ 5

x - 1 │ é

a) {0, 2 ± 5 , 2 ± 3 }


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b) {0,1, log5(2 + 5 )}

c) {0, (1/2)log5 2, 1

2 log5 3, log5

2

2

d) {0, log5 (2 + 5 ), log5 (2 + 3 ), log5 (2 - 3 )}

e) A única solução é x = 0 17. (Ita 2007) Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base

n são números primos satisfazendo

logn (xy) = 49,

logn (x/z) = 44.

Então, logn (xyz) é igual a

a) 52. b) 61. c) 67. d) 80. e) 97.

18. (Ita 2007) Sejam x e y dois números reais tais que ex, e

y e o quociente

x

y

e 2 5

4 e 5

são todos

racionais. A soma x+y é igual a

a) 0. b) 1. c) 2log53. d) log52. e) 3loge2. 19. (Ita 2005) Considere a equação em x

onde a e b são números reais positivos, tais que ℓn b = 2 ℓn a > 0. A soma das soluções da

equação é

a) 0. b) -1. c) 1. d) ℓn 2. e) 2.


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20. (Ita 2004) Para b > 1 e x > 0, resolva a equação em x:

21. (Ita 2002) Dada a função quadrática

f(x) = x2 ln (2/3) + x ln6 - (1/4) ln (3/2)

temos que

a) a equação f(x) = 0 não possui raízes reais. b) a equação f(x) = 0 possui duas raízes reais distintas e o gráfico f possui concavidade para

cima. c) a equação f(x) = 0 possui duas raízes reais iguais e o gráfico de f possui concavidade para

baixo. d) o valor máximo de f é (ln2 ln3)/(ln3 - ln2). e) o valor máximo de f é 2 (ln2 ln3)/(ln3 - ln2). 22. (Ita 2002) Os valores de x , para os quais a função real dada por

f(x) 5 2x 1 6 está definida, formam o conjunto

a) [0, 1]. b) [-5, 6]. c) [ 5,0] [1, ).

d) ( ,0] [1,6].

e) [ 5,0] [1,6].

23. (Ita 2002) Seja a função f dada por

Determine todos os valores de x que tornam f não-negativa.

24. (Ita 2001) O conjunto de todos os valores de m para os quais a função


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está definida e é não-negativa para todo x real é:

a) 1 7

, 4 4

b) 1

, 4

c) 7

0, 4

d) 1

, 4

e) 1 7

, 4 4

25. (Ita 2001) Se a ∈ IR é tal que 3y

2 - y + a = 0 tem raiz dupla, então a solução da equação

32x

+ 1 - 3

x + a = 0 é:

a) log2 6 b) - log2 6 c) log3 6 d) - log3 6 e) 1 - log3 6 26. (Ita 2001) Sendo dado

é igual a:

a) an - 2bn b) 2an - bn c) an - bn d) bn - an


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e) an + bn 27. (Ita 2000) Seja S = [- 2, 2] e considere as afirmações:

I. 1

4 ≤

x1

2

< 6, para todo x ∈ S.

II. x

1

32 2<

1

32, para todo x ∈ S.

III. 22x

- 2x ≤ 0, para todo x ∈ S.

Então, podemos dizer que

a) apenas I é verdadeira. b) apenas III é verdadeira. c) somente I e II são verdadeiras. d) apenas II é falsa. e) todas as afirmações são falsas. 28. (Ita 2000) Sendo x um número real positivo, considere as matrizes mostradas na figura a

seguir

A soma de todos os valores de x para os quais (AB) = (AB)t é igual a

a) 25

3.

b) 28

3.

c) 32

3.

d) 27

2.

e) 25

2.

29. (Ita 1999) Seja S o conjunto de todas as soluções reais da equação


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Então:

a) S é um conjunto unitário e S ⊂ ]2, + ∞[. b) S é um conjunto unitário e S ⊂ ]1, 2[. c) S possui dois elementos distintos S ⊂ ]-2, 2[. d) S possui dois elementos distintos S ⊂ ]1, +∞[. e) S é o conjunto vazio. 30. (Ita 1998) A inequação mostrada na figura adiante

é satisfeita para todo x ∈ S. Então:

a) S = ] - 3, - 2] ⋃ [ - 1, + ∞[ b) S = ] - ∞, - 3[ ⋃ [ - 1, + ∞[ c) S = ] - 3, -1] d) S = ] -2, + ∞] e) S = ] - ∞, - 3 [⋃] - 3, + ∞[ 31. (Ita 1998) O valor de y ∈ IR que satisfaz a igualdade


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a) 1

2

b) 1

3

c) 3

d) 1

8

e) 7 32. (Ita 1997) O domínio D da função

f(x) = ℓn

2 2

2

[ x (1 )x ]

( 2x 3 x)

π π π

π

é o conjunto

a) D = {x ∈ IR : 0 < x < 3

2

π}

b) D = {x ∈ IR : x < 1

π ou x >ð}

c) D = {x ∈ IR : 0 < x ≤ 1

π ou x ≥ ð}

d) D = {x ∈ IR : x > 0}

e) D = {x ∈ IR : 0 < x < 1

π ou ð < x <

3

2

π}

33. (Ita 1996) Seja a ∈ R, a > 1. Para que

valor de a é:

a) 2 b) 3 c) 5 d) 9 e) 10 34. (Ita 1996) Se (x0,y0) é uma solução real do sistema


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2 3

2 2

log x 2y log x 2y 2

x 4y 4

então x0 + y0 é igual a:

a) 7

4

b) 9

4

c) 11

4

d) 13

4

e) 17

4

35. (Ita 1995) Os dados experimentais da tabela a seguir correspondem às concentrações de

uma substância química medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo que a linha que passa

pelos três pontos experimentais é uma parábola, tem-se que a concentração (em moles) após

2,5 segundos é:

a) 3,60 b) 3,65 c) 3,70 d) 3,75 e) 3,80 36. (Ita 1995) Se x é um número real positivo, com x ≠ 1 e x ≠ 1/3, satisfazendo:

(2 + log3x) / (logx+2x) - (logx(x + 2)) / (1 + log3x) = logx(x + 2)


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então x pertence ao intervalo I, onde:

a) I = (0, 1/9) b) I = (0, 1/3) c) I = (1/2, 1) d) I = (1, 3/2) e) I = (3/2, 2)


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Gabarito: Resposta da questão 1: Dividindo a função em “partes” para esboçar:

xx

x|x|

x

|x|

1g(x) 2

2

1h(x) 2

2

1 1m(x)

2 2

1f(x) 2

2

Resposta da questão 2: [A]

Esboçando o gráfico de y || x | 1| e a circunferência definida por 2 2x (y 1) 25, a região

1 2S S será a apresentada em amarelo na figura a seguir.


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Calculando sua área, tem-se que essa será igual a um quarto da área do círculo menos a área

de um quadrado de lado 2, ou seja:

2 2

1 25 25

S S 2 24 4

π π

Resposta da questão 3: [C] Analisando as afirmativas: [I] Verdadeira. Calculando:

c

c

c c

(log b)

log bb b

log b log ab c b b c

cb c b c

c

a x

log a log x

log a log b log a log x log a x b

log alog a log b log a log a

log b

[II] Verdadeiro. Utilizando a relação obtida na alternativa anterior, pode-se escrever:

d d d d d d d d d

d d d d d d

log c log a log b log c log a log b log a log b log c

log c log a log b log c log a log b

a b c a b c c a b1

b c a b c a b c a

[III] Falsa. A igualdade só se verifica se o valor de a for igual ao valor de c, e b 1. No caso de

números distintos, a igualdade não se verifica, pois:

ab a

aa a a a a a a a a

a

a a a a a a a a a

a a a a

log (bc) log c

log bclog c log bc log c log ab log b log c log c log a log b

log ab

log b log c log c 1 log b log b log c log c log b log c

log b log b log c log c 1 a c

Resposta da questão 4: [D]

Se x é um número natural com 2015 dígitos, então:

7 72014 2015 2014 2015710 x 10 10 x 10

Sabendo que:


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20147 2014 287,77

20157 2015 287,87

287 2887

10 10 10

10 10 10

10 x 10

Logo , 7 x terá 288 algarismos. Resposta da questão 5: [B]

[I] Verdadeira. Para 1x e 2x pertencentes ao intervalo ]1, [ e 1 2x x .

1 21 2 1 2 1 2

1 2 1 210 10

1 2 1 2

1 1 1 1 1 1x x 1 1

x x x x x x

x 1 x 1 x 1 x 1log log

x x x x

Portanto a função é crescente para todo x real maior que 1. [II] Verdadeira.

xxx 2

3

2

3 32 2 12 x log 12,

3 2

Portanto, a equação tem apenas uma solução real.

[III] Falsa.

Se

111

x 1 1 2 2,1

portanto 1 não é raiz da equação.

Se x x xx 1 x 1 x (x 1) x x (x 1) x

Se x0 x 1 x 1 1 x 1 1 (x 1) 1 x

Portanto, a equação não admite nenhuma raiz real positiva. Resposta da questão 6: [D]

1

2 10

3 10

4 10

n 10

a 1000

a log (1 1000) 3,

a log (1 3, ) 0,

a log (1 0, ) 0,

a log (1 0, ) 0,

Portanto, a alternativa [D] é a correta. Resposta da questão 7: a) Condições para a existência do logaritmo:


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2x 2x 8 0 x 2 ou x 4

x 1 0 x -1

x 1 0 x -1

Portanto, o domínio da função será D ]4, [.

b) 2 2 2x 1f(x) 2 log (x 2x 8) 2 x 2x 8 (x 1) 4x 9 x 2,25

Como 2,25 4, o conjunto pedido é o conjunto vazio. Ou seja S = .

c) Teremos:

2 2 2x 1 x 1 x 1

2

log (x 2x 8) 1 log (x 2x 8) log x 1 x 2x 8 x 1

3 3 5 3 3 5x 3x 9 0 x ou x

2 2

Como x 4, concluímos que 3 3 5

x ,2

portanto o conjunto pedido será dado por:

3 3 5S ,

2

Resposta da questão 8:

a) 1 21 3

f (x) f (x) | x | 3 | x 1| | x | 6 3 | x 1|2 2

Daí a solução da equação será dada por 9 3

S , .2 2

b) Construindo os gráficos das funções 1f e 2f num mesmo sistema, temos:


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De acordo com o gráfico o menor valor assumido por f(x) é f(0) 3.

c) Se 9 3

x ou x ,2 2

temos:

3 10 7 13| x 1| 5 | x 1| x ou x

2 3 3 3 (não convém)

Portanto, 3

7x

Se 9 2

x ,2 3

temos:

1| x | 3 5 | x | 4 x 4 (não convém) ou x 4

2

Portanto, x 4.

E o conjunto solução da equação f(x) 5 será dado por: 7

S 4, .3

Resposta da questão 9: [D] [I] Verdadeira, pois toda dízima periódica admite uma fração geratriz.

[II] Falsa. A soma indicada representa uma P.G infinita com 11

a2 1

e a razão 1

q .2

Daí,

2n

n 0

1 1

1 2 22 1 2 11 2 1 3 2 22 1 2 1 2 12 2

[III] Verdadeira.


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2

3 2 333 4 3 2

3

log 9 2 5ln e log 2 log 9 lne log 2 1

3 3log 2 (racional)


Calculando, inicialmente, o valor de

4

10 44 4

4100

4

log 16x

log 16x log 10log 16x 2 log x

log 16log 16

log 100

Substituindo o resultado acima na equação pedida, temos:

3 44 4 4

34 4 4

34 4

log x log x 3 2 log x 0

log x 4log x 6 3log x 0

log x 7log x 6 0

Fazendo 4log x y, temos:

3 3 2

2

y 7y 6 0 y y 6y 6 0 y(y 1) 6(y 1) 0 y(y 1)(y 1) 6(y 1) 0

(y 1)(y y 6) 0 y 1 ou y 2 ou y 3.

Logo:

4

4

4

1log x 1 x

4

1log x 2 x

16

log x 3 x 64

1 1S , ,64

16 4

Resposta da questão 11: [D]

n4 4 4 45n1/2 1/2

n 2 3(n 2)1/2 1/21 1 1 1

5log 32 log 2 5 1 5 1 1 1 1 17n .

3(n 2) 3 n (n 2) 3 3 8 15 24 18log 8 log 2

Resposta da questão 12: [E]

Como f( 1) 1 f( 2), segue que

2( 1) a ( 1) be 1 b a 1

e

2( 2) a ( 2) be 1 b 2a 4.

Logo,

a 1 2a 4 a 3

e, portanto,


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b 3 1 2.

Assim,

x

g(x) n n x n 2.2

A função composta g f é dada por

2x 3x 2

2

(g f)(x) n (e ) n 2

x 3x 2 n 2.

Para que a função g f tenha dois zeros reais e distintos o discriminante da equação

2x 3x 2 n 2 0 deve ser um número real positivo. De fato, como h : , definida

por h(x) n x, é uma função crescente, temos que n2 n1 0. Daí,

23 4 1 (2 n 2) 1 4 n 2 0Δ

e, por conseguinte, g f possui dois zeros reais e distintos.

Resposta da questão 13: Pelas condições de existência dos logaritmos, vem

2

1sen2x

24senxcos x 1 0

x x 01 x x 0 4

4

x x 1 0 ( 0)4

5k x k

12 12

0 x4

x .12 4

Portanto,

D , .12 4

Resposta da questão 14: [A]

Observando que a e b devem ser reais positivos, vem

4 2

2

1 1a b a b

2 2

1a .

16b


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Simplificando e substituindo, obtemos

2 2

2

2

2

n (a b) n 8 n 5 n 8(a b) n 5

8(a b) 5

5a b

8

1 5b

16b 8

16b 10b 1 0

1 1b ou b .

2 8

Portanto, como 1

b2

implica em 2

a4

e 1

b8

implica em 2

a ,2

segue que a 2

b 2 ou

a4 2.

b


S x x 2 ou x 3

21

5

log x x 191

164

21

5

2 log x x 191 1

4 4

2

1 1

5 5

log (x x 19) log 25

x2 – x + 19 > 25

x2 –x – 6 > 0

Logo, x < -2 ou x > 3

Resposta da questão 16: [D] Resposta da questão 17: [A] Resposta da questão 18: [E] Resposta da questão 19: [B] Resposta da questão 20:

S =1

6


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Resposta da questão 21: [D] Resposta da questão 22: [E] Resposta da questão 23:

1

5≤ x ≤ 1

Resposta da questão 24: [D] Resposta da questão 25: [D] Resposta da questão 26: [C] Resposta da questão 27: [A] Resposta da questão 28: [B] Resposta da questão 29: [B] Resposta da questão 30: [A] Resposta da questão 31: [D] Resposta da questão 32: [E] Resposta da questão 33: [E] Resposta da questão 34: [D] Resposta da questão 35: [D] Resposta da questão 36: [B]


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Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 02/10/2017 às 07:54 Nome do arquivo: lista 4 ita

Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 1 ............. 166686 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2017 ................................ Analítica 2 ............. 166669 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2017 ................................ Múltipla escolha 3 ............. 166670 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2017 ................................ Múltipla escolha 4 ............. 153099 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2016 ................................ Múltipla escolha 5 ............. 153098 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2016 ................................ Múltipla escolha 6 ............. 153102 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2016 ................................ Múltipla escolha 7 ............. 153118 ..... Média ............ Matemática ... Ita/2016 ................................ Analítica 8 ............. 137178 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2015 ................................ Analítica 9 ............. 137158 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2015 ................................ Múltipla escolha 10 ........... 129809 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2014 ................................ Analítica 11 ........... 129788 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2014 ................................ Múltipla escolha 12 ........... 123566 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2013 ................................ Múltipla escolha 13 ........... 123606 ..... Média ............ Matemática ... Ita/2013 ................................ Analítica 14 ........... 123565 ..... Média ............ Matemática ... Ita/2013 ................................ Múltipla escolha 15 ........... 101543 ..... Média ............ Matemática ... Ita/2011 ................................ Analítica 16 ........... 79927 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2008 ................................ Múltipla escolha 17 ........... 73609 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2007 ................................ Múltipla escolha 18 ........... 73610 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2007 ................................ Múltipla escolha 19 ........... 57031 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2005 ................................ Múltipla escolha 20 ........... 57025 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2004 ................................ Analítica 21 ........... 40085 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2002 ................................ Múltipla escolha 22 ........... 40078 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2002 ................................ Múltipla escolha


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23 ........... 40095 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2002 ................................ Analítica 24 ........... 36014 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2001 ................................ Múltipla escolha 25 ........... 36000 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2001 ................................ Múltipla escolha 26 ........... 36019 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2001 ................................ Múltipla escolha 27 ........... 33568 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2000 ................................ Múltipla escolha 28 ........... 33580 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2000 ................................ Múltipla escolha 29 ........... 30090 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/1999 ................................ Múltipla escolha 30 ........... 23710 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/1998 ................................ Múltipla escolha 31 ........... 23700 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/1998 ................................ Múltipla escolha 32 ........... 23472 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/1997 ................................ Múltipla escolha 33 ........... 7119 ......... Não definida .. Matemática ... Ita/1996 ................................ Múltipla escolha 34 ........... 7120 ......... Não definida .. Matemática ... Ita/1996 ................................ Múltipla escolha 35 ........... 841 ........... Não definida .. Matemática ... Ita/1995 ................................ Múltipla escolha 36 ........... 847 ........... Não definida .. Matemática ... Ita/1995 ................................ Múltipla escolha

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