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  • 1DISTRIBUCIN LOG-NORMAL

    1. INTRODUCCIN

    Se trata de la densidad de probabilidad de una variable log x distribuida segnuna funcin normal:

    X = N(,) Y = eX

    Con este cambio de variable quedar:

    Funcin de distribucin: G(y) = P(Yy) = P(eX y) = P(Xlog y) = F(log y) Funcin de densidad : g(y) = G(y) = F(log y) * (1/y)

    Tambin es conocida como Ley de Galton-Mac. Aliester o ley del efectoproporcional, segn Calot (1988).

    Los parmetros principales que la caracterizan son:

    Parmetros

    Soporte

    pdf

    cdf

    Media

    Mediana e

  • 2Moda

    Varianza

    Asimetra

    Curtose

    Entropa

    A continuacin se muestran unos grficos de la funcin de distribucin y dela funcin de densidad:

    Funcin de densidad

    Funcin de distribucin

  • 3Puede comprobarse que la mediana est comprendida entre la moda1 y lamedia y ms cerca de la media que la moda, en particular, puede comprobarseque la mediana2 est casi dos veces ms cerca de la media que de la moda.

    La distribucin lognormal es una probabilidad frecuentemente utilizadapara expresar el comportamiento de observaciones con asimetra positiva, endonde la mayora de los valores ocurren en las proximidades de un valor mnimo.

    Segn Cabrera (1998), una condicin para la validez de que una variable sedistribuya Lognormal es que x sea la resultante de un nmero elevado de causasindependientes con efectos positivos, que se componen de manera multiplicativay cada una de estas causas tiene un efecto despreciable frente al global.

    Esta distribucin es caracterstica en conjuntos de datos donde existe mayorfrecuencia de valores pequeos, por lo cual la media se desplaza hacia la derechay esto hace que el mejor estadgrafo de posicin sea la moda y no la mediaaritmtica (Conferencia UNACH, 1995). Esta consideracin se valora, pero no secomparte en lo referente a la valoracin del centro de los datos por considerarseque el mismo puede hallarse con ms exactitud en el valor de la mediana, la cualse conoce no es influida por valores extremos, lo cual no ocurre con la moda.Tambin se considera que otra medida de posicin vlida para esta distribucines la media geomtrica (Pea, 1994).

    NDICE DE EVENTOS QUE PRESENTAN UNA DISTRIBUCIN

    LOG-NORMAL

    1. Patrones de abundancia de especies.2. Distribucin log-normal de las concentraciones ambientales.3. Modelo log-normal del precio de las acciones.4. Anlisis de la comunidad de una laguna costera en la costa sur

    occidental de Mxico.5. Cuantificacin de la vitamina B2.6. Distribucin del peso molecular de los polmeros.7. Prediccin de sismos una ojeada al futuro.8. Factores que afectan las tasas de captura de langostino amarillo en la

    zona norte de chile.9. Comportamiento de las precipitaciones en el sector del lago Titicaca

    (Bolivia) durante el fenmeno El Nio.10. Produccin de nanopartculas de Cobre.

    1 Es el valor para el cual le distribucin toma su mximo absoluto.2 F(xmed)=P(Xx)=P(Xx)=0.5

  • 41. Patrones de abundancia de especies

    El desarrollo de Fisher y colaboradores llam la atencin de Frank Preston,un ingeniero ingls. Motivado por los trabajos de Fisher, Preston public en 1948un trabajo sobre la abundancia y la rareza de las especies biolgicas que marc eldesarrollo de la teora ecolgica por varias dcadas. El trabajo de Prestondemostr que, aunque el modelo de Fisher era esencialmente correcto, elsupuesto que la abundancia media es una caracterstica fija en cada especie, erainnecesariamente restrictivo. En efecto, el supuesto de Fisher implica que lacantidad de recursos que conquista inicialmente una especie en una comunidadpermanece constante a lo largo del tiempo evolutivo, aunque nuevoscompetidores le disputen su nicho ecolgico. En contraposicin, Preston parti deun supuesto mucho menos restrictivo, basado en un razonamiento estrictamentedemogrfico, que puede demostrarse fcilmente mediante el clculo. Aslogaritmo de la abundancia de una especie en una comunidad depende dellogaritmo de la abundancia inicial y de las variaciones en su tasa real decrecimiento a lo largo del tiempo. Preston infiri correctamente que si unaespecie se encuentra en equilibrio con su medio, las tasas reales de crecimientooscilarn aleatoriamente, a veces incrementando la poblacin cuando ocurrenperiodos favorables y a veces disminuyndola cuando ocurren periodosdesfavorables. De acuerdo con el Teorema del Lmite central (Teorema quedemuestra que todas las variables estadsticas aditivas tienen unadistribucin normal de Gauss), el logaritmo del nmero de individuos tendruna variacin Gaussiana a lo largo del tiempo. El corolario que sac Prestonde esta demostracin fue que, si la distribucin del logaritmo de lasabundancias de una especie vara de forma Gaussiana a lo largo del tiempo,entonces, en un tiempo dado, la distribucin del logaritmo de lasabundancias de varias especies en un slo tiempo y lugar tambin debevariar normalmente. Es decir, que en un instante dado habr algunasespecies que se presenten en grandes abundancias y otras que lo hagan encantidades mucho ms bajas, pero el logaritmo de sus abundancias tendruna distribucin normal.

    En resumen, el modelo de Preston, conocido como modelo de log-normal predice que la cantidad de especies presenten en una comunidadtendr una relacin Gaussiana o normal en el logaritmo de sus abundancias.

    Es probable que las distribuciones de las abundancias de las especies seanlog-normales. A nivel de comunidad es de esperar que los factores que gobiernanla distribucin y la abundancia de las especies sean independientes entre s y queafecten de manera multiplicativa a las variables que de ellos dependen. Enresumen, la distribucin log-normal, es predecible cuando un conjunto de datosdepende del producto de variables aleatorias. Los factores que definen laabundancia de las especies tienden a actuar de esta manera.

    Una de las consecuencias ms importante del modelo de Preston es que, aligual que el de Fisher, es capaz de describir la cantidad de especies a hallar en unrea como una funcin de la cantidad de individuos en el total de la muestra. Peroa diferencia del modelo de Fisher, que predice un rango muy amplio de curvas, elmodelo de Preston predice una relacin del tipo: numero de especies igual a k porA elevado a z, donde A y z son coeficientes derivados del modelo. Para el caso

  • 5de comunidades con distribucin de abundancias de tipo log-normal, Prestondemostr que el valor del exponente z debera estar cerca de 0,23 en muestrasrelativamente grandes y un valor algo mayor en muestras pequeas (May, 1975),pero la ecuacin anterior puede linealizarse sacando logaritmos, de forma que:

    log(s)= log(k) + zlog(A)

    Es decir, que la relacin entre el logaritmo del rea y el logaritmo delnmero de especies para muestras de distintos tamaos debera dar una recta conpendiente aproximada de 0,23 y una pendiente algo mayor en datos decomunidades muy pobres en especies. Si as no ocurriera, deberamos rechazar elmodelo de log-normal de Preston como modelo subyacente en los patrones deabundancia y rareza de las especies biolgicas.

    www.geocities.com/CollegePark/ Classroom/7370/pagina5b.htm

    2. La distribucin log-normal de las concentracionesambientales

    La valoracin higinica clsica de un puesto de trabajo se efectacomparando la exposicin a contaminantes que sufre el trabajador que lo ocupacon las correspondientes "exposiciones mximas permisibles" contempladas en elcriterio de valoracin elegido. En general es la concentracin media ponderada enel tiempo el parmetro bsico a travs del cual se cuantiza la exposicin y sumedicin se realiza mediante un procedimiento de toma de muestras/anlisis. Unpuesto de trabajo queda caracterizado cuando se ha determinado su ciclo detrabajo, es decir, el mnimo conjunto ordenado de tareas que se repite idntica ysucesivamente; entre dos ciclos cualesquiera no deben existir diferenciasmacroscpicamente observables. A efectos de valoracin higinica la exposicina contaminantes quedar caracterizada por la duracin del ciclo de trabajo y lasconcentraciones medias existentes durante el mismo; en consecuencia lasmediciones que se efecten para determinar dichas concentraciones deberncubrir uno o varios (pero siempre un nmero entero) de ciclos de trabajo.

    Se ha demostrado experimentalmente que la concentracin medidadurante un determinado ciclo de trabajo es una variable aleatoria que sigueuna distribucin de probabilidad lognormal (es decir, que los logaritmos dedicha variable siguen una ley normal). Ello significa que las concentracionespueden variar tericamente entre cero e infinito, y que la probabilidad de que laconcentracin medida est ms o menos alejada de la concentracin media realdepende de la mayor o menor desviacin tpica (dispersin) de la distribucin o,lo que es lo mismo, de la mayor o menor variabilidad de los factores aleatoriosque influyen sobre la concentracin.

    La variabilidad de las concentraciones medidas suele ser, en la prctica,considerable. Como parmetro indicador de la misma acostumbra a emplearse lallamada desviacin standard geomtrica (GSD) de las concentraciones; la GSD esel antilogaritmo de la desviacin standard de la distribucin de los logaritmos delas concentraciones. La desviacin standard geomtrica puede variar

  • 6tericamente desde 1 (concentracin constante) hasta cualquier valor positivosuperior a la unidad, aunque en la prctica los valores encontrados suelen hallarseen el intervalo de 1,25 a 2,5. (Figura 1).

    Fig. 1: Distribuciones lognormales de igual media aritmtica (10 ppm) y distintos G.S.D.

    Distribuciones lognormales de igual media aritmtica (10 ppm) y distintosG.S.D.

    En la tabla que se inserta a continuacin se indica, en el supuesto de que laconcentracin media real fuese 10 ppm, la amplitud del intervalo en el que seencontraran el 50% de las muestras obtenidas para distintos valores de GSD; elloimplica por tanto que el 50% restante se encontraran fuera de dicho intervalo.

    Conociendo el tipo de distribucin que siguen las concentracionesambientales es posible tratar los resultados obtenidos en una serie de muestraspara llegar a una estimacin de la concentracin media real. Dicha estimacinpuede expresarse, a travs de lmites de confianza, en la forma: "la concentracinmedia est comprendida entre A y B, con un % de probabilidad."

    www.mtas.es/insht/ntp/ntp_140.htm

  • 73. Modelo log-normal del precio de las acciones

    Abstract

    El modelo de Black-Schooles se basa en el supuesto de que los preciosde las acciones siguen lo que se conoce como distribucin log-normal.Mientras que una variable con distribucin normal puede tomar valor positivo onegativo, una variable distribuida lognormalmente slo puede ser positiva, conmedia, moda y mediana todas diferentes.

    En las siguientes pginas trataremos de demostrar la hiptesis de log-normalidad de los precios de las acciones.

    Introduccin

    Es razonable pensar que los precios de un activo subyacente se distribuyende manera normal? Ms all de la exacta distribucin de los precios en el mundoreal, el supuesto de la distribucin normal tiene serios defectos. Una curva dedistribucin normal es simtrica, por lo cual, bajo el supuesto de la normalidad,para todo posible incremento abrupto de precios en el activo subyacente existe laposibilidad de una cada en los mismos de igual magnitud. Es decir que, si porejemplo permitimos la posibilidad de que cuando el activo subyacente vale $50ste pueda incrementarse en $75 a $125, tambin tendramos que permitir laposibilidad de que los precios cayeran en igual magnitud a - $25. Como todossabemos es imposible que un activo adquiera un valor negativo, por lo quesuponer que los mismos se distribuyen normalmente es una grave falencia1.

    Qu podramos hacer entonces al respecto? Si definimos volatilidad comoel porcentaje de cambio en los precios de un activo subyacente, tasa de inters yvolatilidad pueden considerarse similares en trminos de que ambos representantasas de retorno. La primera diferencia entre la tasa de inters y la volatilidad esque el inters generalmente acumula una tasa positiva mientras que la volatilidadrepresenta una combinacin de retornos positivos y negativos. Si invertimos unasuma de dinero a una tasa fija, el valor del principal siempre se incrementar,pero si invertimos en un activo subyacente con una volatilidad distinta de cero, elprecio del instrumento puede subir o bajar. La volatilidad, definida como desvoestndar, no nos dice nada acerca de la direccin que tomarn los movimientos deprecios. De la misma manera que el inters, la volatilidad puede calcularse adiferentes intervalos. Con el propsito de valuar tericamente las opciones, seasume que la volatilidad se calcula de manera continua (de la misma manera enque se dan los cambios en el precio del activo subyacente).

    Cuando se asume que los cambios en los precios se distribuyennormalmente, el clculo continuo de estos cambios causan que los precios alvencimiento se distribuyan log -normalmente. Tal distribucin es simtrica a laderecha, debido a que los incrementos de precios resultan de tasas de retornospositivas cada vez ms grandes.

  • 8La log-normalidad en el precio de las acciones

    Una variable tiene distribucin lognormal si el logaritmo natural de lavariable se distribuye normalmente.

    Los parmetros claves que describen el comportamiento del precio de lasacciones cuando se hace una hiptesis lognormal son:

    1. el rendimiento esperado de las acciones2. la volatilidad del precio de las acciones

    La rentabilidad esperada es la rentabilidad media anual obtenida por losinversores en un perodo de tiempo corto. Llamaremos a sta . La volatilidad esla medida de nuestra incertidumbre sobre los movimientos futuros del precio delas acciones, es decir, es la medida de nuestra incertidumbre sobre los cambiosproporcionales del precio de las acciones.

    Llamaremos a la volatilidad . La hiptesis lognormal para los precios de las acciones implica, por lo tanto, quelnST es normal, donde ST es el precio de las acciones en un tiempo futuro T.Puede demostrarse que la media y la desviacin estndar de ln ST son:

    (1)

    La ecuacin (1) muestra que LnST est normalmente distribuido, por locual ST tiene distribucin lognormal.Una variable que tiene una distribucin lognormal puede tomar cualquier valorentre cero e infinito. De la ecuacin (1) y de las propiedades de la distribucinlognormal puede obtenerse que el valor esperado de ST, E(ST) viene dado por:

    Esto corresponde con la definicin de como la tasa de rentabilidadesperada. La varianza de ST, var(ST), puede demostrarse que viene dada por:

  • 9A partir de la ecuacin (1) puede demostrarse que:

    La expresin ln(ST/S) es la rentabilidad compuesta continua proporcionadapor las acciones en un tiempo T. La ecuacin precedente muestra que estnormalmente distribuida.

    Conclusin

    El modelo de Black - Scholes es un modelo de tiempo continuo. Asume quela volatilidad de un determinado instrumento subyacente es constante durantetoda la vida de la opcin, pero esta volatilidad se calcula continuamente. Estosdos supuestos implican que los posibles precios del subyacente al vencimiento dela opcin se distribuyen log - normalmente. El supuesto de log normalidadincluido en el modelo de Black - Scholes supera el problema inicialmentepresentado. Una distribucin log normal permite incremento de preciosilimitados (el logaritmo de + es +) mientras que permite cadas pero slo hasta cero (el logaritmo de - es 0). sta es una representacin ms realista de cmo se distribuyen los precios en el mundo real.

    Podemos resumir los supuestos ms importantes que gobiernan losmovimientos de precios en el modelo de Black - Scholes:

    Los cambios en los precios de un instrumento subyacente son aleatorios yno pueden ser manipulados artificialmente, no es posible predecir deantemano la direccin en la que se movern los mismos. El porcentaje de cambio en el precio de un instrumento subyacente estdistribuido normalmente. Debido a que se asume que el porcentaje de cambio en el precio delsubyacente se calcul de manera continua, los precios del subyacente alvencimiento se distribuirn log normalmente.

    El punto ms importante a tener en cuenta es que el modelo de BS supone quelos cambios en los precios son aleatorios y que la direccin de dichos cambiosno puede ser prevista. Este supuesto puede crear cierta resistencia en losoperadores de opciones.

    www.bcr.com.ar/.../images/pdf/Modelo%20de%20valuacin%20de%20opciones%20sobre%20acciones%202005_DIC.pdf

  • 10

    4. Anlisis de la comunidad de una laguna costera enla costa sur occidental de Mxico.

    ABUNDANCIA RELATIVA DE LAS ESPECIES Y MODELOS DEAJUSTE

    La comunidad analizada est compuesta por 97 especies de las cuales 72son peces, 24 son invertebrados (15 crustceos, seis moluscos, dos medusas y unpoliqueto) y adems se registr una tortuga marina. Las especies ms abundantesresultaron ser el camarn caf (Penaeus californiensis), el camarn blanco (P.vannamei), una sardina (Lile stolifera), anchovetas (Anchoa spp) y variasespecies de mojarras (Gerreidae).

    La abundancia relativa de las especies se describi mediante ladistribucin log-normal.

    Con el inters de lograr entender mejor los mecanismos que determinan laestructura de la comunidad, el estudio se ha enfocado, desde hace algn tiempo,hacia el conocimiento de la abundancia relativa de las especies analizado desdeun punto de vista estadstico, pretendiendo con ello tomar en cuenta no slo lamanera en la que los recursos se distribuyen entre los distintos elementos que laconstituyen sino tambin los posibles mecanismos de interaccin de unasespecies con otras y con su medio ambiente, que por otra parte, se traduzcan ensituaciones tangibles que determinen el grado de dominancia, estabilidad,madurez y sucesin de una comunidad. Como resultado de tal inters se hanpropuesto varios modelos, los que desafortunadamente tienen ms valorheurstico que analtico, pues simplemente describen con mayor o menorprecisin la abundancia relativa de las especies que componen la comunidad,pero dicen muy poco con respecto a su estructura. Los modelos mejor conocidosy ampliamente discutidos en la literatura son la serie logartmica, propuesta porFisher y el modelo de la llamada distribucin log normal de Preston (1948)3. Losdatos recopilados en el presente estudio se utilizaron con la intencin de hacer elajuste de los mismos al modelo ms adecuado; por lo tanto, en las lneas quesiguen a continuacin se hace una breve exposicin de los postulados en que sebasa cada uno y los resultados del ajuste: 4

    La serie log normal. Esta distribucin se basa en la hiptesis segn la cualel nicho de cada especie se considera dependiente de una multitud de factoresdistintos que determinan la amplitud del tal nicho y consecuentemente losrecursos de que la comunidad dispone se deben repartir entre las especies de stade una manera equivalente a una curva normal, de modo que tanto las especiesabundantes como las raras se dispondrn hacia los extremos de la distribucin,

    3 Ver el primer documento.4 Yo slo he recogido los resultados de la distribucin log-normal, los resultados de la serielogartmica los he omitido, ya que no son objeto de este trabajo.

  • 11

    mientras que la mayor parte del inventario, que est representado por especies defrecuencia intermedia, ocupar la parte central de la curva. Este modelo tiene lapeculiaridad de que los intervalos de la distribucin son sus logaritmos de basedos5 y de acuerdo con lo antes indicado, su valor modal se localiza en el intervaloque corresponde al mayor nmero de individuos. Adems, debido a que suelehaber muchas especies raras que no aparecen representadas en la muestra ladistribucin log normal suele aparecer truncada hacia la izquierda y en unacomunidad no alterada el valor modal generalmente se localiza en el primerintervalo. En un trabajo posterior a aquel en el que se postul por primera vezeste modelo, Williams, (1964) hace un anlisis bastante ambicioso sobre laaplicacin de esta serie, as como de la logartmica a distintos grupos decolecciones faunsticas. La funcin que describe la serie log normal es lasiguiente:

    S = Soe- (a R) donde:

    S = Es el nmero de especies en el R-simo intervalo a la izquierda y derecha del valor modal.So = Es el nmero de especies en el intervalo modal.a = Parmetro estimado a partir de los datos

    Fig. 11. Nmero y abundancia relativa de las especies de la comunidad y las distribuciones tericasesperadas de acuerdo con el modelo de MacArtur y con la log normal.

    5 Aunque en la introduccin se ha definido la distribucin log-normal con logaritmos neperianos, labase no tiene demasiada importancia.

  • 12

    Como resultado de la aplicacin de los datos a esta serie se encontr unajuste ms aceptable que en los dos primeros casos, segn puede observarse enlas figuras 11 y 12.

    En atencin a los patrones que determinan la abundancia y diversidad de lasespecies, May (1975) hace una revisin analtica del tema, con nfasis en laintencin de separar de los modelos de distribucin a los aspectos que reflejenalgn detalle de la estructura de las comunidades los que tengan un significadosimplemente estadstico gobernado por leyes de grandes nmeros. Una de lascaractersticas por l sealadas y que vale la pena hacer notar, se refiere al hechode que en los modelos que describen la abundancia de las especies, ladistribucin log normal refleja el teorema del lmite central, mientras que enaquellos casos donde es posible hacer el ajuste de los modelos tales como el de labarra fragmentada, o la serie logartmica, est implcito algn aspecto de labiologa de la comunidad.

    Fig. 12. Relacin que describe la abundancia relativa de las especies y su ajuste a la serie log-normal.

    May (1975), menciona que las distribuciones de abundancia del tipo lognormal en comunidades con organismos "oportunistas", como posiblemente seael caso de las que son objeto del presente estudio, reflejan poco detalle sobre laestructura de la comunidad y que las especies dominantes son simplementeaquellas que recientemente han disfrutado de un valor grande de r, o sea supotencial bitico y por lo mismo, en momentos distintos habr diferentesdominantes. Por lo que respecta a la peculiaridad observada en la serie log

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    normal de que el valor de a usualmente vale 0.2 y el de y 29 1, es decir, larelacin existente entre el intervalo donde el nmero de especies es mximo,dividido por el intervalo donde se localiza la especie ms abundante, May sugiereque en su opinin estas caractersticas no tienen mayor significado que el de serpropiedades matemticas de la distribucin log normal. Al respecto de losmodelos de la barra fragmentada y la serie logartmica o geomtrica, l opina queson distribuciones caractersticas de comunidades relativamente simples cuyadinmica est dominada por algn factor individual, pues en un extremo est elcitado en primer trmino, que es una expresin estadstica realista de unadistribucin intrnsecamente uniformes; y en el otro est la serie logartmica quecon frecuencia expresa estadsticamente el proceso desigual del "nichepreemption", o sea, el derecho de ocupar un nicho disponible antes de que otraespecie lo haga, del cual la forma ideal es la serie geomtrica. Por otra parte, laserie log normal, que probablemente es la ms importante, se puede considerar enmuchos aspectos como intermedia entre las otras dos.

    http://biblioweb.dgsca.unam.mx/cienciasdelmar/centro/1979-2/articulo68.html

    5. Cuantificacin de la vitamina B2

    Los valores de referencia para la cuantificacin de riboflavina (vitaminaB2) srica fueron establecidos en el presente trabajo a partir de una muestra delpersonal que recibe asistencia en los servicios del Instituto Superior de MedicinaMilitar "Dr. Luis Daz Soto". Se estudiaron 88 sujetos de uno y otro sexos, conedades entre 17 y 50 a. Todos cumplan la condicin de supuestamente sanossegn criterios aplicados. La vitamina B2 fue cuantificada por un procederanaltico de tipo fluorimtrico desarrollado por Natelson y otros.

    Mediante el control de calidad de esta tcnica se pudieron obtenerresultados aceptables en la precisin con coeficientes de variacin de 5,27 y 3,74% para la reproducibilidad y repetibilidad respectivamente, y en la exactitud concoeficiente de correlacin de 0,99 y un ndice de recuperacin de 96,96 %. Segnel anlisis estadstico de los datos de la muestra se estableci que la variablevitamina B2 tena una distribucin logartmica normal. No se encontrarondiferencias significativas segn el sexo. El recorrido de valores de referenciacuantificados se enmarc en un lmite mnimo de 5,01 g/100 mL y mximo de9,57 g/100 mL, con una media de 7,29 mg/100 mL, expresado como X 2DE6.Estos valores se insertan razonablemente en el entorno de los recorridosinformados por otros autores, obtenidos por iguales o diferentes mtodos.

    www.bvs.sld.cu/revistas/mil/vol29_3_00/mil05300.pdf

    6 Desviacin estndar

  • 14

    6. Distribucin del peso molecular de los polmeros

    El comportamiento de cualquier polmero depende de la distribucin demasas en este polmero. Esta distribucin de masas afectar tanto a laspropiedades termomecnicas (capacidad de elongacin, punto de rotura...) comofsico-qumicas (solubilidad, estabilidad...). No se comportar igual un polietilenode cadenas cortas que otro de cadenas largas, el segundo tendr propiedadesmecnicas ms fuertes pero sin embargo costar ms de trabajar ya que para suprocesado se requerirn temperaturas ms altas.

    Afortunadamente los polmeros presentan una distribucin de pesosmoleculares que sigue una ley fija: la distribucin log-normal dada por laecuacin:

    donde W(M) corresponde a la fraccin msica de una cadena de peso "M", M0corresponde a la masa para la cual el producto M.W(M) es mxima y "c" es unparmetro que mide la polidispersidad de la mezcla (la anchura de sudistribucin).

    Conviene adems definir un par de pesos moleculares: Mn y Mw. Sudefinicin es la siguiente:

  • 15

    Obsrvese que a partir de estas tres definiciones (Mn, Mw y W(M)) yteniendo en cuenta las correspondientes a H()7 y y admitiendo unadistribucin log-normal para una mezcla de polmeros, es posible, obtener unafuncin tipo:

    G'(+G''() = f(,c,M0)

    Por tanto, en principio slo habra que probar diferentes valores de c y M0hasta hacer que los resultados de la funcin f(,c,M0) coincidieran con losexperimentales G'(+G''(

    Desgraciadamente esto no es totalmente posible, ya que analizandof(,c,M0) puede demostrarse que esta funcin es independiente del parmetroM0. De modo que a partir de los ensayos oscilatorios slo es posible obtener unode los parmetros de la mezcla. El segundo parmetro (M0), deber hallarse pormtodos distintos...

    www.angel.qui.ub.es/~curco/Reologia/viscoel.html

    7. Prediccin de Sismos: Una ojeada al futuro9

    El caso de los sismos caractersticos

    Veamos ahora el caso de la posible existencia de "sismos caractersticos",definidos en la siguiente forma: "Un evento caracterstico es un sismo que romperepetidamente el mismo segmento de falla y cuyas dimensiones definen talsegmento" (Nishenko y Buland, 1987). En la tabla 1 del trabajo citadoencontramos 14 segmentos definidos de esta manera, entre ellos, por cierto, el deParkfield. Estos segmentos estn definidos con base en 62 temblores"caractersticos", o sea 48 intervalos entre temblores, lo que hace un promedio de3.43 intervalos para cada segmento. No es una muestra gigantesca. Un ejemplotpico es el siguiente:

    7

    8

    9 Este documento no es demasiado preciso y probablemente parte de su contenido podra haberseomitido de este trabajo.

  • 16

    Regin: san Marcos

    Eventos Intervalo T Promedio T ave1907-1845 62 56.01957-1907 50

    Esto nos dice que el segmento de San Marcos (cerca de Acapulco) estdefinido por tres sismos "caractersticos", en 1845, 1907 y en 1957 (que fuellamado "Sismo del ngel"). Los intervalos respectivos fueron de 62 y 50 aos, yel intervalo promedio fue de 56.0 aos.

    Ahora bien, en el mismo nmero del Bulletin of the Seismological Societyof America aparece otro artculo (Nishenko y Singh, 1987) que casualmentehabla del segmento de San Marcos. Dice lo siguiente: "Los sismos de 1937 y de1950 y 1957 representan cada uno una ruptura parcial de la zona de 1907... Por lotanto, los intervalos observados de recurrencia para la regin de Acapulco-Ometepec durante el presente siglo varan entre ms de 30 a 50 aos (o sea, 1937a 1907 y 1957 a 1907)". Ntese que el primer autor de ambos artculos es lamisma persona.

    Resulta que uno de los sismos mencionados en el primer artculo, el de1907, no era definitorio solamente del segmento de San Marcos, sino tambin deun segmento ms grande que lo incluye y que ahora se llama la "regin" deAcapulco-Ometepec. Esta "regin" se rompi parcialmente en el sismo de SanMarcos de 1957, y tambin parcialmente en otros sismos (1937, 1950) que no semencionan en el primer artculo. Todos ellos, sin embargo siguen siendo sismos"caractersticos".

    No que los sismos caractersticos "definen" los segmentos en que ocurren?Cmo puede decirse entonces que tanto el sismo de 1907 como el de 1957"define" el segmento de San Marcos, y que al mismo tiempo el de 1907 "define"el segmento de Ometepec, y adems la regin de Acapulco-Ometepec, que no esla misma?.

    En cuanto al intervalo promedio, ya no sabemos si es 56.0 aos comoafirma el primer artculo, o menos de 50 como dice el segundo. Quin sabe a qusismos "caractersticos" se refiere cada uno de los artculos. Si los sismos"caractersticos" rompen repetidamente el mismo segmento de falla no deberaadmitirse traslapes ni rupturas parciales. Una de dos: o bien algunos sismoscitados no son eventos caractersticos (lo que arrojara dudas sobre el autorcomn de ambos trabajos), o bien los datos de la Tabla 1 eran incompletos.Aceptaremos esta ltima hiptesis, porque es la ms compleja y por lo tantoprobablemente ms real; por lo dems, el co-autor del segundo trabajo es el msdistinguido conocedor de la sismicidad de Mxico, especialista en la zona deGuerrero y Oaxaca.

    Ahora bien, si la muestra de San Marcos era incompleta, ello deberamodificar el promedio Tave cuyo papel en el primer trabajo es muy interesante.En efecto, Nishenko y Buland (1987) normalizaron los intervalos T mediantesubdivisin por Tave (digamos, dividen 62 y 50 por 56), y hacen lo propio contodas las 14 regiones. Luego juntan todos los datos y los grafican en un mismo

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    histograma, al que calzan una distribucin logartmico-normal. Reproduzco laconclusin de este procedimiento que suena a brujera: "Por lo tanto, ladistribucin de los intervalos de recurrencia para cada segmento de fallatambin es logartmico-normal y In(T) obedece a una distribucin normal"(Nishenko y Buland, 1987).

    Sobra decir que la distribucin de muestras combinadas de 14 procesoslogartmicos-normales no tiene por qu ser tambin logartmico-normal. Pero esono es todo. La normalizacin de las muestras no se justifica por nada. Lospromedios Tave an en el caso de que las muestras fueran completas, tienen unaenorme varianza ya que el tamao de las muestras es apenas de 3 a 4. No existerazn alguna para que la muestra combinada siguiera alguna distribucin enparticular. Por lo dems, los autores nunca efectan una prueba de normalidad delog(T).

    Podra argumentarse que la distribucin logartmico-normal posee unaspropiedades interesantes y que yo mismo he especulado con ella en mi libro(1974) por ser apta para representar la distribucin de magnitudes de lostemblores. Este resultado se basa en la idea de autosimilitud de las fracturasen la Tierra, cuyo mecanismo fuera discutido por primera vez porKolmogorov (1941) y que ahora se ha hecho famoso con el nombre defractalidad.

    En tal caso, sin embargo, cmo explicar el hecho de que los intervalosmedios, en dos "segmentos" tan cercanos como Parkfield y Pallett Creek, ambosen la falla de San Andrs, sean tan diferentes? El intervalo promedio de Parkfield(ya lo mencionamos) es de 21.8 aos. El de Pallett Creek, de 194.3 aos. Ambossupuestamente definidos con base en sismos "caractersticos". Ambos sobre lamisma falla. El corrimiento anual de la falla es el mismo en ambos lugares. Sihay auto-similitud el mecanismo de fractura debe ser homogneo (Kolmogorov,1941). Pero no lo es, puesto que hay diferencias tan enormes en el intervalopromedio de temblores.

    Sin embargo, los autores explcitamente declaran que todos los sismoscaractersticos son generados por un solo proceso comn. Esto significa quedebera poder predecirse un sismo de Pallett Creek mediante observacioneshechas en Parkfield, lo que es absurdo, puesto que los intervalos soncompletamente diversos. En conclusin, los sismos "caractersticos" nocaracterizan nada, a no ser un gran deseo de predecir fenmenos que an noentendemos suficientemente bien.

    www.ssn.unam.mx/SSN/Doc/Prediccion/cinna.htm

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    8. Factores que afectan las tasas de captura delangostino amarillo (Cervimunida johni) en la zona nortede Chile

    Se analizan factores que afectan las tasas de captura de langostinoamarillo (Cervimunida johni) en la zona norte de Chile (2603'-3210'S),utilizando las bitcoras de pesca comercial entre los aos 1993 y 2003. Seutilizaron los factores ao, mes, estratos de profundidad, regiones de pesca ycaractersticas operacionales de la flota como predictores lineales de un modelolineal generalizado (MLG) que da cuenta de la variabilidad en las tasas decaptura. A diferencia de otras pesqueras, en este recurso las caractersticastcnicas de la flota y su especializacin explican escasamente la varianza en lastasas de captura y por el contrario, los factores temporales y su interaccin sonaltamente significativos. Los resultados de esta investigacin, en conjunto con lahistoria de vida, permiten suponer que las tasas de captura estandarizadas son unadecuado ndice de abundancia relativa para este recurso.

    Los datos utilizados en este trabajo son obtenidos desde el Programa deSeguimiento de las Principales Pesqueras Nacionales de Crustceos (PSPC)desarrollado por el Instituto de Fomento Pesquero (IFOP). Los registros de pescautilizados corresponden a los de la flota arrastrera que oper en la zona norte deChile en el perodo 1993-2003.

    Las tasas de captura de langostino amarillo son predichas mediante unacombinacin lineal de diferentes variables explicatorias utilizando un MLG. Lasvariables categricas incluidas en el anlisis son ao, mes, zona, profundidad yestrato de embarcacin. El modelo a utilizar es el siguiente:

    donde, Y es la tasa de captura observada, con distribucin de probabilidadperteneciente a la familia exponencial, g() es la funcin de enlace, es el predictor lineal; es la media global de las tasas de captura; a es el ndice deabundancia en el ao i-simo; es el ndice de abundancia en el mes j-simo; esel ndice de abundancia en la zona de pesca k-sima; es la abundancia para elestrato de profundidad l-simo y es el estrato de embarcacin m-simo.

    Durante el ajuste se utilizaron las distribuciones de probabilidadgamma y log-normal para describir la variable respuesta (Y), con funcin deenlace logartmica e identidad, respectivamente. La seleccin de estasdistribuciones se bas en la bondad de ajuste de diferentes modelos querelacionan la media y la varianza de las tasas de captura mensuales (McCullagh

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    & Nelder, 1989). Segn Punt et al., (2000) las distribuciones gamma y log-normal son candidatas adecuadas para describir la distribucin de la variablerespuesta, siempre que la varianza de las tasas de captura sea proporcional alcuadrado de la media. En el caso de las tasas de captura mensuales de langostinoamarillo para la zona norte, la relacin potencial no es significativamentediferente de la cuadrtica (P < 0,05; r2 = 0,85) (Fig. 3).

    Figura 3. Relacin entre la varianza y la media de las tasas decaptura mensuales (kgh.a.-1) en las Regiones III y IV en elperodo 1993-2003.

    Los percentiles10 de la distribucin normal terica de los residuales de losMLG indican que el modelo log-normal describe de mejor forma la distribucinde las tasas de captura, en comparacin con la distribucin gamma.

    www.scielo.cl/pdf/imar/v33n1/art03.pdf

    10 Se llaman percentil Pn (1

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    9. Comportamiento de las precipitacionesen el sector del Lago Titicaca (Bolivia)durante "El Fenmeno El Nio"

    El fenmeno "El Nio" afecta significativamente a todo el TerritorioBoliviano, con sequas en diferentes regiones del Altiplano del que noescapa el Sector del lago Titicaca, an teniendo en cuenta el comportamientotermorregulador del gran volumen de agua del Lago.

    Para el anlisis de el NIO se utilizaron datos del periodo hmedo de octubrea marzo porque en este periodo es donde se presenta dicho fenmeno con mayorintensidad.

    El mtodo empleado, considera la variacin espacial de la precipitacin, estose hizo con el afn de hallar las probabilidades de precipitacin en forma local.

    Para el ajuste de los datos a una funcin de distribucin adecuada se hizo eltest de Kolmogorov y Smirnov el cual nos da el nivel de significacin para elajuste a una determinada funcin de distribucin.

    Las funciones de distribucin que mejor se ajustaron fueron GAMMA,LOGNORMAL Y NORMAL en todos los casos.

    Nios que se tomaron para el anlisis

    Para el anlisis del fenmeno se utilizaron datos pluviomtricos en los queocurrieron los ENOS 1972/73, 1976/77, 1982/83, 1986/87 y 1991/92; de loscuales el ms intenso fue el de 1982/83.

    Anlisis local (considera la variacin espacial de laprecipitacin en el lago)

    Para esta anlisis se tom la precipitacin acumulada del periodo hmedo(octubre a marzo) de cada estacin considerando la variacin espacial de laprecipitacin en el lago.

    Se hizo el ajuste a unA funcin de distribucin, siendo estas la NORMAL,LOGNORMAL Y GAMA.

    Las precipitaciones de COPACABANA se ajustaron a la funcin NORMALpor tener esta el mayor nivel de significacin; en donde la probabilidad al 35% dela precipitacin acumulada de octubre a marzo no sobrepasara los 528.1 mm., al50% no superara los 596.2 mm, al 65% no seria mayor a los 664.3 mm y al 80%la precipitacin acumulada no estara por encima de los 754 mm.

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    EL BELN se ajust a la funcin LOG NORMAL por tener esta el mayornivel de significacin; la probabilidad al 50% la precipitacin acumulada deoctubre a marzo no sobrepasara los 357.1 mm.

    HUARINA se ajust a la funcin LOG NORMAL; haciendo la probabilidadal 50% la precipitacin no superara los 390 mm

    Precipitaciones medias de la poca hmedaESTACION OCT NOV DIC ENE FEB MAR TOTAL

    COPACABANA 44,4 67,6 116,2 191,0 133,2 113,8 666,3EL BELEN 33,9 41,7 82,1 96,1 74,4 61,2 389,4HUARINA 40,5 55,7 83,2 120,9 89,6 97,9 487,9PUERTO ACOSTA 52,7 50,1 115,8 146,7 133,3 82,9 581,5DESAGUADERO 32,1 60,2 96,1 178,7 138,5 129,1 634,7GUAQUI 31,9 53,8 71,7 142,3 79,3 87,4 466,4

    www.unesco.org.uy/phi/libros/enso/maldonado.html

    10. Produccin de Nanopartculas de Cobre

    a) Nanopartculas.Dentro de las diversas reas cientfica-tecnolgicas, cada da estn tomando

    ms fuerza las que dicen relacin con el estudio y desarrollo de nuevosmateriales.

    Las nanopartculas son materiales con un tamao de grano del orden de losnanometros, cuyo confinamiento espacial es menor a los 100[nm]

    Estos tipos de materiales exhiben propiedades mecnicas y qumicas muydistintas en comparacin con materiales de tamao de grano micromtrico y de lamisma composicin. Por ejemplo, micropartculas de metales muestran hastacinco veces ms dureza que los materiales normales.

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    Existen diversas formas de producir Nanopartculas, las ms tpicas son:condensacin desde el vapor, reaccin qumica y deformacin mecnica, cadauna con sus ventajas y desventajas dependiendo de las propiedades que sebuscan. Agregados de tomos (clusters) son generalmente sintetizados vacondensacin desde el vapor, que es esencialmente evaporacin de un slidometlico seguido por una condensacin rpida para formar agregados de tomosde tamao del orden de nanmetros.

    Desde las primeras investigaciones (Ref 1) sobre agregados de tomosformados por condensacin por gas inerte, se ha definido la importancia de losparmetros experimentales para controlar el tamao de los agregados que seforman. Los primeros trabajos mostraron que una gran variedad de partculasultra finas podan ser fabricadas a bajas presiones de Ar y que el tamao de estaspoda ser controlado variando la presin del gas, dentro del rango de 0,13-4 kPa.

    Un material precursor, que puede ser un compuesto o un elemento, esevaporado en presencia de un gas inerte a baja presin (generalmente muy pordebajo de la presin atmosfrica). El tomo o la molcula evaporada pierdeenerga por medio de las colisiones con los tomos del gas inerte(macroscpicamente el gas se enfra) y sufre una condensacin homognea paraformar los agregados de tomos (clusters) en las cercanas de la fuente deprecursor (regin sobresaturada).

    Una vez alcanzada la nucleacin, comienza el estado de crecimiento, el cualse cree que ocurre en una zona por sobre la superficie del metal calientedependiendo de las caractersticas del metal y de la presin de gas inerte.Para poder mantener el pequeo tamao de los agregados, es necesario evitar la

    coalescencia entre ellos, por lo que estos una vez nucleados, deben ser removidosrpidamente de la regin de alta saturacin.

    Existe una dependencia de las variables de operacin sobre el tamaopromedio de las partculas. En particular se ha demostrado que existe unarelacin directa entre el tamao de las partculas con la presin de vapor delmetal. Tambin, al aumentar el peso molecular del gas inerte y la presin de estese aumenta el dimetro de las partculas.

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    Se sabe de la termodinmica que el dimetro crtico Xcrit para la formacinespontnea de partculas embrionarias est dado por la siguiente relacin:

    donde pv y p0 son la presin de vapor real y de equilibrio respectivamente, es ladensidad, y es la energa libre superficial especfica del material; R la constanteuniversal y T la temperatura absoluta. Luego al aumentar la presin de gas, selogra un mejor enfriamiento, por lo que el Xcrit disminuye, con lo que el aumentode la probabilidad de coalescencia tambin aumenta.Una forma de entender el efecto de la presin y de la temperatura es a travs de

    la siguiente expresin, obtenida de la fsica estadstica, suponiendo interaccindel tipo Lennard-Jones:

    donde es el parmetro de colisin de Lennard-Jonbes; es la integral decolisin; P es la presin absoluta del sistema; T temperatura absoluta; M pesomolecular. Es decir, a medida que aumenta la presin, la velocidad detransferencia de masa disminuye, lo que se traduce en un aumento en el tamaode las partculas.

    Por otro lado, en este tipo de sistemas se recolectan las partculas en un mediofro (enfriado con agua o nitrgeno lquido) para evitar que se aglomeren losnanopolvos. Lo anterior genera un gradiente de temperatura, que a su vez generaun flujo de masa inverso al del tipo difusivo, que viene dado por la siguienterelacin:

    donde J denota el flujo msico del sistema, T la temperatura en escala absoluta yDAB coeficiente de difusin del sistema.

    En resumen, al aumentar la presin de gas inerte existe un mejorconfinamiento de las partculas a la zona de sobresaturacin y se baja el tamaocrtico de crecimiento, producto de un mayor enfriamiento por contacto por loque la probabilidad de coalescencia aumenta con el aumento de gas. Adems,existe una mayor probabilidad de reingreso a la zona de sobresaturacin alaumentar la presin.

    Como se puede deducir de lo comentado anteriormente, en la prctica existeuna distribucin de dimetros de partculas, por lo que se hace necesario tener unmetodologa para tener una funcin distribucin de tamao de partculas.

    El modelo a desarrollar supone que slo existe crecimiento por coalescencia.Adems, se supone una distribucin inicial de tamaos, F0(v), que representa laproporcin de partculas con un volumen menor que v. Estas partculas estnsujetas a una secuencia de procesos de coalescencia independientes. Si seconsidera la coalescencia de slo 2 partculas a la vez, se tiene que la funcindistribucin para el proceso j-simo est dada por

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    donde u es el volumen de una partcula que se combina con otra para dar v y G esuna funcin que no se necesita explicitar.

    Otro supuesto es que el cambio en el volumen de cada evento de coalescenciaes una fraccin aleatoria del volumen despus de la coalescencia, luego:

    donde {j} es un grupo de variables aleatorias. Por lo que se redefine la funcinG:

    Luego la ecuacin para la distribucin se transforma en:

    Aplicando Teorema del Lmite Central, tenemos la funcin dedistribucin log-normal para el tamao de partculas:

    expresin que es valida para un volumen de la forma , con a y bconstantes y dependientes de la forma de las partculas.

    En el presente trabajo se mostrarn los resultados de la produccin denanopolvos de cobre mediante el mtodo de evaporacin en gas inerte. Enparticular, para este estudio se emplear N2 y He.

    cabierta.uchile.cl/revista/21/articulos/pdf/edu1.pdf