Donde = la desviación estándar muestral de la regresora X y = la desviación estándar muestral de la regresada.Por consiguiente, se pueden intercambiar los β con los coeficientes beta si se conoce la desviación estándar (muestral) de la regresora y de la regresada.

Formas funcionales de los modelos de regresión.- Como mencionamos anteriormente, este texto trata sobre todo con modelos lineales en los parámetros, que pueden ser o no lineales en las variables. En las secciones que siguen consideraremos algunos modelos de regresión muy comunes, que pueden ser no lineales en las variables pero si lineales en los parámetros, o que pueden serlo mediante transformaciones apropiados de las variables. En particular, analizaremos los siguientes modelos de regresión:

1.- El modelo log-lineal2.- Modelos semilogarítmicos3.- Modelos recíprocos4.- El modelo logarítmico recíprocoAhora analizaremos las características especiales de cada modelo, los casos en los cuales su uso es apropiado y la forma de estimarlos. Cada modelo se ilustra con ejemplos apropiados.

Cómo medir la elasticidad: modelo log-lineal.- Considere el siguiente modelo, conocido como modelo de regresión exponencial: 2.2.1Que puede expresarse también como 2.2.2Donde In = logaritmo natural (es decir, logaritmo en base e y donde e = 2.718).Si escribimos (2.2.2) como 2.2.3

Donde α = , este modelo es lineal en los parámetros α y , lineal en los logaritmos de las variables Y y X, y se estima por regresión MCO.Debido a esta linealidad, tales modelos se denominan modelos log-log, doble-log o log-lineales.Si se cumplen los supuestos del modelo clásico de regresión lineal, los parámetros de (2.2.3) se estiman por el método MCO, considerando que: 2.2.4Donde = y = . Los parámetros de MCO obtenidos, α y , serán los mejores estimadores lineales insesgados de α y , respectivamente.

Y

X

Canti

dad

Dem

anda

da

ln Y = ln β1- β2ln X

FIGURA 2.1Modelo de elasticidad constante

a

Y

Ln X

Log

de la

Can

tidad

Dem

anda

da

Log del Precio

bPrecio

Y = β1X1-β2

Una característica atractiva del modelo log-log, que lo ha hecho muy popular en el trabajo empírico, es que el coeficiente de la pendiente β2 mide la elasticidad de Y respecto de X, es decir, el cambio

porcentual en Y ante un pequeño cambio porcentual en X.Así, si Y representa la cantidad demandada de un bien y X su precio unitario, β2 mide la elasticidad-precio de la demanda, parámetro de

gran interés en economía. Si la relación entre la cantidad demandada y el precio es como se muestra en la figura 2.1a, la transformación doble-log de la figura 2.1b dará entonces la estimación de la elasticidad-precio (-β2).

Pueden observarse dos características especiales del modelo log-lineal: el modelo supone que el coeficiente de la elasticidad entre Y y X, β2, permanece constante a través del tiempo (¿por qué?), de aquí su otro nombre, modelo de elasticidad constante.En otras palabras, como lo indica la figura 2.1b el cambio en In Y por unidad de cambio en In X (es decir, la elasticidad, β2) permanece igual sin importar en cual In X se mida la elasticidad

Otro aspecto del modelo es que, a pesar de α y son estimadores insesgados de α y , (el parámetro del modelo original) al estimarse como = antilog (α) es, en sí, un estimador sesgado. En la mayor parte de los problemas prácticos, sin embargo, el término del intercepto es de importancia secundaria y no es necesario preocuparse por obtener este estimador insesgado.En el modelo de dos variables, la forma más simple de decidir si el modelo log-lineal se ajusta a los datos es graficar el diagrama de dispersión de frente a y ver si las observaciones caen más o menos sobre una línea recta, como en la figura 2.1b.

EJEMPLO 1Gasto en bienes duraderos en relación con el gasto de consumo personal totalLa tabla 2.1 presenta datos sobre el gasto de consumo personal total (GCPERT), el gasto en bienes duraderos (GASBD), el gasto en bienes perecederos (GASBPER) y el gasto en servicios (GASERV), todos medidos en miles de millones de dólares de 2000.In GASBD = -7.5417 + 1.6266 In GCPERT ee = (0.7161) (0.0800) 2.2.5 t = (-10.5309)* (20.3152)* r2 = 0.9695donde * indica que el valor p es en extremo pequeño

Tabla 2.1.Gasto personal total y categorías (miles de millones de dólares de 2000 ajustados por la inflación; datos trimestrales con tasa anuales ajustadas por estacionalidad)

Año o Trimestre GASERV GASBD GASBPER GCPERT

2003-I 4143.3 971.4 2072.5 7184.9

2003-II 4161.3 1009.8 2084.2 7249.3

2003-III 4190.7 1049.6 2123.0 7352.9

2003-IV 4220.2 1051.4 2132.5 7394.3

2004-I 4268.2 1067.0 2155.3 7479.8

2004-II 4308.4 1071.4 2164.3 7534.4

2004-III 4341.5 1093.9 2184.3 7607.1

2004-IV 4377.4 1110.3 2213.1 7687.1

2005-I 4395.3 1116.8 2241.5 7739.4

2005-II 4420.0 1150.8 2268.4 7819.8

2005-III 4454.5 1175.9 2287.6 7895.3

2005-IV 4476.7 1137.9 2309.6 7910.2

2006-I 4494.5 1190.5 2342.8 8003.8

2006-II 4535.4 1190.3 2351.1 8055.0

2006-IV 4566.6 1208.8 2360.1 8111.2

Nota: Véase la tabla B-2 que contiene datos sobre el gasto de consumo personal total correspondiente a 1959-1989GASERV = gasto en servicios (miles de millones de dólares en 2000)GASBD = gasto en bienes duraderos (miles de millones de dólares en 2000)GASBPER = gasto en bienes perecederos (miles de millones de dólares en 2000)GCPERT = gasto de consumo personal total (miles de millones de dólares en 2000)