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SISTEMAS DE CONTROLE II - Algumas situações com desempenho problemático 1) Resposta muito oscilatória 2) Resposta muito lenta

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SISTEMAS DE CONTROLE II

- Algumas situações com desempenho problemático

1) Resposta muito oscilatória

2) Resposta muito lenta

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3) Resposta com erro em regime permanente

4) Resposta pouco robusta a perturbações

5) Resposta muito susceptível a ruídos de medição

Exemplo:

ε.sen(ω.t) Sinal Ondulado

Utilizando um controlador PID (parte Derivativa), a resposta fica:

ε. ω.cos(ω.t) isso mostra que os ruídos são amplificados.

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A resposta adequada é aquela resposta sem oscilações (ou poucas oscilações), rápida,

sem erro em regime permanente (ou com erro em regime permanente nulo), robusta a

perturbações e pouco susceptível a ruídos de medição.

- Regulação x Rastreamento

Regulação

Regulação consiste no problema de levar o sistema de volta ao ponto de operação

x1 = x1-x10

x2 = x2-x20

Regulação (no novo sistema de coordenadas) consiste em levar o sistema para a origem.

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Rastreamento

O rastreamento consiste em levar o sistema a acompanhar um sinal de referência

qualquer.

- Sequência de projeto

1) Escolha do controlador

2) Sintonia inicial

a) Métodos de Ziegler-Nichols

b) Método polinomial

c) Método do lugar das raízes (roots-locus)

d) Método frequencial (Diagrama de Bode)

e) Método por variáveis de estado

3) Sintonia fina (ajuste intuitivo)

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- Índice de desempenho

r Referência

y Saída da planta

yfinal lim𝑡→∞ 𝑦 𝑡

P.O. (Porcentagem de Overshoot)

P.O. = 𝑦𝑚 á𝑥−𝑦𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

𝑦𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙.100%

Ts (Tempo de acomodação ou tempo de estabilização) é o tempo necessário para

a resposta ficar dentro de um percentual em relação ao valor final.

- Critérios para o percentual

Ts5% (Tolerância de 5%)

Ts2% (Tolerância de 2%)

Erro

e = r – y

Erro em regime permanente

e. r. = lim𝑡→∞ 𝑒(𝑡)

- Controlador Proporcional (P)

U(s) = Kc.E(s) => u(t) = Kc.e(t)

Em geral, o erro em regime não é nulo e o ganho é proporcional ao erro.

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Em geral:

Kc pequeno

P.O. baixo

Tempo de acomodação alto

Erro em regime alto

Kc intermediário

Essa é a situação mais adequada para porcentagem de overshoot, tempo de acomodação

e erro em regime. Nos projetos utilizamos o Kc intermediário.

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Kc grande

P.O. alto

Tempo de acomodação alto

Erro em regime baixo

- Controlador Proporcional-Integrativo (PI)

U(s) = 𝐾𝑐 + 𝐾𝑖

𝑠). 𝐸(𝑠) => u(t) = 𝐾𝑐. 𝑒 𝑡 + 𝐾𝑖 𝑒 𝑡 . 𝑑𝑡

𝑡

0

Veja que em u(t), temos uma parte proporcional e outra parte integrativa.

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A parte proporcional age no início e a parte integrativa age no final.

Vamos mostrar porque a saída y não pode ficar abaixo nem acima da referência em

regime permanente.

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Agora vamos ver um exemplo acima do nível da referência em regime permanente.

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- Conclusão geral: Com o controlador PI consegue-se um e. r. = 0 para r(t) tipo degrau.

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Ki pequeno

Porcentagem de overshoot baixa

Tempo de acomodação alto

Ki grande

Porcentagem de overshoot alto

Tempo de acomodação alto

Ki intermediário

Respostas adequadas para porcentagem de overshoot e tempo de acomodação.

- Controlador Proporcional Integrativo Derivativo (PID)

U(s) = 𝐾𝑐 + 𝐾𝑖

𝑠+ 𝐾𝑑. 𝑠 . 𝐸(𝑠) => u(t) = 𝐾𝑐. 𝑒 𝑡 + 𝐾𝑖 𝑒 𝑡 . 𝑑𝑡 + 𝐾𝑑.

𝑑

𝑑𝑡𝑒(𝑡)

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Conclusão: a parte derivativa se opõe as outras duas componentes e faz isso com mais

intensidade quando o módulo da variação do erro é maior.

Como o Kd é mais relacionado a porcentagem de overshoot, vamos analisá-lo com Kc e

Ki constante.

Kd grande

Porcentagem de Overshoot baixo

Kd pequeno

Porcentagem de Overshoot alto

Kd intermediário

Resposta adequada para a porcentagem de overshoot

Conclusão final: Com um controlador PID é possível obter um desempenho transitório

adequado.

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- Controlador PID

Efeito de cada componente

As componentes proporcionais, derivativa e integrativa atuam em momentos distintos.

A parte proporcional P mais importante no início do transitório.

A parte proporcional I mais importante em regime permanente.

A parte proporcional D mais importante quando a saída da planta está variando mais

rapidamente.

Parametrizações do PID

Gc(s) = 𝑈(𝑠)

𝐸(𝑠)

Gc(s) função de transferência do controlador

Gc(s) = 𝐾𝑐 + 𝐾𝑖.1

𝑠+ 𝐾𝑑. 𝑠 (mais intuição)

Gc(s) = 𝐾𝑐(1 + 1

𝜏𝑖 .𝑠+ 𝜏𝑑. 𝑠) (melhor para projeto)

Ki = 𝐾𝑐

𝜏𝑖

Kd = Kc. 𝜏𝑑

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- Sistemas de 1ª Ordem

qi vazão de entrada

qi > 0 bomba está colocando líquido no

reservatório

qi < 0 bomba está retirando líquido do

reservatório

qi = Ki.u

u tensão aplicada na bomba

q0 vazão de saída

q0 = 𝑕

𝑅

h nível

R resistência de restrição

V = A.h

V volume

A área da seção reta

𝐴.𝑑

𝑑𝑡𝑕 = 𝑞𝑖 − 𝑞0 ⇒ 𝐴.

𝑑

𝑑𝑡𝑕 = 𝐾𝑖. 𝑢 −

𝑕

𝑅 ⇒

𝑑

𝑑𝑡𝑕 = −

1

𝑅. 𝐴. 𝑕 +

𝐾𝑖

𝐴. 𝑢 → 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖çã𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜

u entrada

y = h saída

- Aplicando a transformada de Laplace (C. I. nulas)

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𝑠. 𝐻 𝑠 = −1

𝑅. 𝐴. 𝐻 𝑠 +

𝐾𝑖

𝐴. 𝑈 𝑠

𝑠 + 1

𝑅. 𝐴 . 𝐻 𝑠 =

𝐾𝑖

𝐴. 𝑈 𝑠 ⇒

𝐻(𝑠)

𝑈(𝑠)=

𝑌(𝑠)

𝑈(𝑠)= 𝐺 𝑠 =

𝐾𝑖. 𝑅

𝑅. 𝐴. 𝑠 + 1=

𝐾

𝜏𝑠 + 1

K = Ki.R ganho estático

Τ = R.A constante de tempo

G(s) = 𝐾

𝜏𝑠+1 função de transferência

Para u(t) = C1, C1 ≠ 0, U(s) = 𝐶1

𝑠 (u é um degrau)

𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑈 𝑠 =𝐾

𝜏𝑠 + 1.𝐶1

𝑠=

𝐾𝑠

𝑠 + 1𝜏

.𝐶1

𝑠 =

𝐾1

𝑠 + 1𝜏

+ 𝐾2

𝑠

𝐾1 =𝐾. 𝐶1

𝜏

−1𝜏

= −𝐾. 𝐶1

𝐾2 =𝐾. 𝐶1

𝜏

1𝜏

= 𝐾. 𝐶1

y(t) = £-1

{Y(s)} = −𝐾. 𝐶1. 𝑒−𝑡

𝜏 + 𝐾. 𝐶1 = 𝐾. 𝐶1(1 − 𝑒−𝑡

𝜏 )

t Y erro(%)

𝜏 0,63.K.C1 37

2𝜏 0,86.K.C1 14

3𝜏 0,95.K.C1 5

4𝜏 0,98.K.C1 2

5𝜏 > 0,99.K.C1 < 1

Ts5% = 3 𝜏 (tempo necessário para y ficar dentro de uma tolerância de 5% em relação ao valor final)

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Ts2% = 4 𝜏 (tempo necessário para y ficar dentro de uma tolerância de 2% em relação ao valor final)

Regime permanente na pratica: t ≥ 5 𝜏

Ex.

𝐺 𝑠 =𝐾

1 + 1𝜏

Pólo(s): −1𝜏 < 0 Sistema estável

Zero(s): -x-

𝜏1 Grande ⇒ 1

𝜏1 pequeno, pólo próximo do eixo imaginário ⇒ sistema lento

𝜏2 Pequeno ⇒ 1

𝜏2 grande, pólo afastado do eixo imaginário ⇒ sistema rápido

-Planta de 2ª Ordem

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f=u Força

x=Y Deslocamento

K Constante da mola

B Coeficiente de atrito viscoso

𝑀. 𝑥 = 𝑓 − 𝐾. 𝑥 − 𝐵. 𝑥

⟹ 𝑀. 𝑥 + 𝐾. +𝐵. 𝑥 = 𝑓

Descrição por variáveis de estado

𝑥1 = 𝑥 𝑥 1 = 𝑥2

x2=𝑥 𝑥 2= −𝐾

𝑀. 𝑥1 –

𝐵

𝑀. 𝑥2+

1

𝑀. 𝑓

𝑦 = 𝑥1

𝑥 = 𝑥1

𝑥2

𝑥 1𝑥 2

= 0 1

−𝐾

𝑀−

𝐵

𝑀

. 𝑥1

𝑥2 +

01

𝑀

.u

𝑦 = 1 0 . 𝑥1

𝑥2

𝑥 = 𝐴. 𝑥 + 𝐵. 𝑢 (B é uma matriz)

𝑦 = 𝐶. 𝑥 + 𝐷. 𝑢 D só aparece quando a saída influencia diretamente na entrada

𝐴 = 0 1

−𝐾

𝑀−

𝐵

𝑀

; 𝐵 = 01

𝑀

; 𝐶 = 1 0

Aplicando a Transformada de Laplace e considerando Condições Iniciais nulas, temos:

𝑀. 𝑠2. 𝑋 𝑠 + 𝐵. 𝑠. 𝑋 𝑠 + 𝐾. 𝑋 𝑠 = 𝐹 𝑠 ⇒

𝑀. 𝑠2 + 𝐵. 𝑠 + 𝐾 . 𝑋 𝑠 = 𝐹 𝑠 ⇒

⇒𝑋 𝑠

𝐹 𝑠 =

𝑌 𝑠

𝑈 𝑠 = 𝐺 𝑠 =

1

𝑀. 𝑠2 + 𝐵. 𝑠 + 𝐾=

1𝑀

𝑠2 + 𝐵𝑀 +

𝐾𝑀

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⇒ 𝐺 𝑠 = 𝐾

𝑠2 + 2. 𝜉. 𝜔𝑛 . 𝑠 + 𝜔𝑛2

Onde:

K = 1

𝑀

2. 𝜉. 𝜔𝑛 = 𝐵

𝑀

𝜔𝑛2 =

𝐾

𝑀

𝜔𝑛 Frequência natural

𝜉 Fator de amortecimento

𝐺 𝑠 = 𝐾

𝑠2 + 2. 𝜉. 𝜔𝑛 . 𝑠 + 𝜔𝑛2

Zeros: -x-

Pólos: 𝑠2 + 2. 𝜉. 𝜔𝑛 . 𝑠 + 𝜔𝑛2 = 0 ⇒

⇒ 𝑠 = −2. 𝜉. 𝜔𝑛

2 ±

4. 𝜉2. 𝜔𝑛2 − 4. 𝜔𝑛

2

2

𝑠 = − 𝜉. 𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 . 𝜉2 − 1

1º Caso: 𝜉 > 1 Pólos reais, distintos e negativos

𝑠1 = − 𝜉. 𝜔𝑛 + 𝜔𝑛 . 𝜉2 − 1

𝑠2 = − 𝜉. 𝜔𝑛 − 𝜔𝑛 . 𝜉2 − 1

O efeito de s1 é muito lento, o efeito de s2 é muito rápido.

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Para 𝑢 𝑡 = 1 ⇒ 𝑈 𝑠 = 1

𝑠

𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑈 𝑠 = 𝐾

(𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 − 𝜔𝑛 . 𝜉2 − 1). 𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 + 𝜔𝑛 . 𝜉2 − 1 . 𝑠 ⇒

⇒ 𝐾1

𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 − 𝜔𝑛 . 𝜉2 − 1)+

𝐾2

𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 + 𝜔𝑛 . 𝜉2 − 1)+

𝐾3

𝑠

𝑦 𝑡 = ℒ−1 𝑌 𝑠 = 𝐾1. 𝑒(−𝜉 .𝜔𝑛 + 𝜔𝑛 . 𝜉2− 1)𝑡 + 𝐾2. 𝑒(−𝜉 .𝜔𝑛 − 𝜔𝑛 . 𝜉2− 1)𝑡 + 𝐾3 , 𝑡 ≥ 0.

Coeficiente de atrito grande deixa o ξ > 0

Caso Sobre-Amortecido

lim𝑡→∞

𝑦(𝑡) = lim𝑠→0

𝑠. 𝑌(𝑠) = lim𝑠→0

𝑠.𝐾

𝑠2 + 2ξ. ωn . s + ωn2

.1

𝑠=

𝐾

ωn2

2º caso: ξ=1 pólos reais iguais e negativos

s1 = s2 = -ωn

𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑈 𝑠 =𝑘

𝑠 + ωn 2.1

𝑠=

𝑘1

𝑠 + ωn 2+

𝑘2

𝑠 + ωn +

𝑘3

𝑠

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𝑦 𝑡 = ℒ−1 𝑌(𝑠) = 𝐾1. 𝑒− ωn .t + 𝐾2. 𝑒− ωn .t + 𝐾3

3º caso: 0 < ξ < 1

𝑠1,2 = ξ. ωn ± j. ωn 1 − ξ2

𝑎2 = ξ. ωn2 + ωn

2. 1 − ξ2

𝑎 = ωn

cos Θ =ξ. ωn

ωn

ξ = cos Θ

Para 𝑢 𝑡 = 1, 𝑈 𝑠 = 1

𝑠

𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑈 𝑠

= 𝐾

𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 − 𝑗. 𝜔𝑛 . 1 − 𝜉2 . 𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 + 𝑗. 𝜔𝑛 . 1 − 𝜉2 . 𝑠 ⇒

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⇒ 𝐾1

𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 − 𝑗. 𝜔𝑛 . 1 − 𝜉2 +

𝐾2

𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 + 𝑗. 𝜔𝑛 . 1 − 𝜉2 +

𝐾3

𝑠

𝑦 𝑡 = ℒ−1 𝑌 𝑠 = 𝐾1. 𝑒(−𝜉 .𝜔𝑛 + 𝑗 .𝜔𝑛 . 1− 𝜉2)𝑡 + 𝐾2. 𝑒(−𝜉 .𝜔𝑛 − 𝑗 .𝜔𝑛 . 1− 𝜉2)𝑡 + 𝐾3 , 𝑡

≥ 0.

𝑦 𝑡 = 𝐾

𝜔𝑛2

. [1 − 𝑒−𝜉 .𝜔𝑛 .𝑡

1 − 𝜉2. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑛 . 1 − 𝜉2. 𝑡 + 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜉 ]

P.O. (Porcentagem de Overshoot)

P.O. = 𝑦𝑚 á𝑥− 𝐾

𝜔𝑛2

𝐾𝜔𝑛

2 . 100 = 100. 𝑒

−𝜋 .𝜉

1−𝜉2

Para:

𝜉 = 0,7 ⇒ 𝑃. 𝑂. = 5%

𝜃 = 45º

Para:

𝜉 = 0,5 ⇒ 𝑃. 𝑂. = 16,3%

𝜃 = 60º

Ts5% = 3.τ = 3

𝜉 .𝜔𝑛, τ valor para a exponencial ficar -1.

Ts2% = 4.τ = 4

𝜉 .𝜔𝑛

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Regime permanente na prática t ≥ 5

𝜉 .𝜔𝑛

Ex.: Deseja-se

P.O. ≤ 5%

Ts2% ≤ 4s

P.O. = 5% ⇒ ξ = 0,7 ⇒ 𝜃 = 45º

Ts2% = 4 = 4

𝜉 .𝜔𝑛 ⇒ 𝜉. 𝜔𝑛 = 1

Pólos: -1 + j, -1 – j.

Obs: para 𝜉 = 0, temos:

𝑦 𝑡 =𝐾

𝜔𝑛2

. 1 − sin 𝜔𝑛 . 𝑡 + 90𝑜 =𝐾

𝜔𝑛2

. 1 − cos 𝜔𝑛 . 𝑡

0,1,-1

P.O=100%

Ts2% ∞

Ts5% ∞

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-Sistemas de ordem maior

Aproxima-se por um sistema de 1ª ordem Aproxima-se por um sistema de 2ª ordem

|Real de um pólo dominado| ≥ 5*.|Real de um pólo dominante |

* boa aproximação

Sistema aproximadamente de 1ª ordem

- Estabilidade

Ex.:

𝑢 𝑡 = 1 Degrau unitário

𝑈 𝑠 = 1

𝑠

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𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑈 𝑠 = 1

𝑠 − 2.1

𝑠=

𝐾1

𝑠 − 2+

𝐾2

𝑠

𝐾1 = 1

𝑠|s=2 =

1

2

𝐾2 = 1

𝑠−2|s=0 = -

1

2

𝑦 𝑡 = 1

2. 𝑒2.𝑡 −

1

2 ∀ 𝑡 ≥ 0

yh(t) = 1

2. 𝑒2.𝑡

Componente homogênea

yp(t) = −1

2 Componente particular

lim𝑡→∞ 𝑦𝑕 (𝑡) ∞ Sistema instável

Pólo: 2

Pólo com parte real positiva, sistema instável.

Ex.:

𝑢 𝑡 = 1 Degrau unitário

𝑈 𝑠 = 1

𝑠

𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑈 𝑠 = 1

𝑠 + 2.1

𝑠=

𝐾1

𝑠 + 2+

𝐾2

𝑠

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𝐾1 = 1

𝑠|s=-2 = -

1

2

𝐾2 = 1

𝑠+2|s=0 =

1

2

𝑦 𝑡 = −1

2. 𝑒−2.𝑡 +

1

2 ∀ 𝑡 ≥ 0

yh(t) = −1

2. 𝑒−2.𝑡

Componente homogênea

yp(t) = +1

2 Componente particular

Pólo: -2

Pólo real negativo, sistema estável.

-Critério algébrico para a estabilidade (critério de Routh-Hurwitg)

𝐺 𝑠 =𝑁 𝑠

𝑎3𝑠3 + 𝑎2𝑠2 + 𝑎2𝑠 + 𝑎0

1º passo: a0, a1, a2,e a3 com mesmo sinal (nenhum pode se anular)\

2º passo: s3 a3 a1

s2 a2 a0 𝑏0 =

𝑎2 .𝑎1−𝑎3 .𝑎0

𝑎2

s1 b0 0

s0 a0

Coeficientes da 1ª coluna com o mesmo sinal (nenhum pode se anular)

1º passo + 2º passo sistema estável

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-Zeros e pólos

𝐺 𝑠 =𝑠 + 𝑎

𝑠 + 2 (𝑠 + 3)

Zero: -a

Pólos: -2,-3

𝑢 𝑡 = 1 𝑡 ⟹ 𝑈 𝑠 =1

𝑠

𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑈 𝑠 =𝑠 + 𝑎

𝑠 + 2 𝑠 + 3 𝑠=

𝐾1

𝑠 + 2+

𝐾2

𝑠 + 3+

𝐾3

𝑠

𝐾1 =𝑠 + 𝑎

𝑠 + 3 |𝑠=−2 =

𝑎 − 2

−2=

2 − 𝑎

2

𝐾2 = 𝑠+𝑎

𝑠+2 𝑠|𝑠=−3 =

𝑎−3

3

𝐾3 = 𝑠+𝑎

𝑠+2 . 𝑠+3 |𝑠=0 =

𝑎

6

𝑦 𝑡 = 2−𝑎

2. 𝑒−2.𝑡 +

𝑎−3

3. 𝑒−3.𝑡 +

𝑎

6, t ≥ 0.

yh(t) = 2−𝑎

2. 𝑒−2.𝑡 +

𝑎−3

3. 𝑒−3.𝑡

yp(t) = 𝑎

6

𝑒−2.𝑡

Modos do sistema (Determinado pelos pólos)

𝑒−3𝑡

Pólo em -2 modo 𝑒−2.𝑡

Pólo em -3 modo 𝑒−3.𝑡

O efeito do pólo pode ser atenuado pelo zero reduz o efeito do pólo com o

zero próximo a ele. Zero em –a pondera os modos do sistema.

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- Desempenho em regime permanente

Supor o sistema em malha fechada estável

r Referência (Comportamento desejado para y).

y Saída da planta.

𝐸 𝑠 = 𝑅 𝑠 − 𝑌 𝑠 = 𝑅 𝑠 − 𝐺 𝑠 . 𝐸 𝑠 ⟹

⇒ 𝐸 𝑠 = 1

1 + 𝐺 𝑠 . 𝑅(𝑠)

e.r. erro em regime permanente

e.r. = lim𝑡→∞ 𝑒 𝑡 = lim𝑠→0 𝑠. 𝐸 𝑠

e.r. = lim𝑡→∞ 𝑒 𝑡 = lim𝑠→0𝑠

1+𝐺 𝑠 . 𝑅(𝑠)

1º caso: 𝑟 𝑡 = 𝐶1 , 𝑡 ≥ 0 (degrau)

𝑅(𝑠) =𝐶1

𝑠

e.r. = lim𝑠→0𝑠

1+𝐺 𝑠 .𝐶1

𝑠=

𝐶1

1+𝐾𝑃

Kp constate de erro ao degrau

Kp = lim𝑠→0 𝐺 𝑠

2º caso: 𝑟 𝑡 = 𝐶2. 𝑡 , 𝑡 ≥ 0 (rampa)

𝑅 𝑠 =𝐶2

𝑠2

e.r. = lim𝑠→0𝑠

1+𝐺 𝑠 .𝐶2

𝑠2 =𝐶2

𝐾𝑣

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𝐾𝑣 = lim𝑠→0

𝑠. 𝐺 𝑠 constante de erro à rampa

-Planta tipo 0

𝐺 𝑠 = 𝐾1 . 𝑠+𝑍1 𝑠+𝑍2 …

𝑠+𝑃1 𝑠+𝑃2 𝑠+𝑃3 …

𝐾𝑝 = lim𝑠→0

𝐺(𝑠) =𝐾1. 𝑍1. 𝑍2

𝑃1. 𝑃2. 𝑃3 ≠ 0

e.r ≠ 0

𝐾𝑣 = lim𝑠→0

𝑠. 𝐺 𝑠 = 0 e.r. → ∞

Planta tipo 1

𝐺 𝑠 =𝐾1 𝑠 + 𝑍1 (𝑠 + 𝑍2)

𝑠 𝑠 + 𝑃1 𝑠 + 𝑃2 𝑠 + 𝑃3 …

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𝐾𝑝 = lim𝑠→0

𝐺(𝑠) → ∞ ⇒ 𝑒. 𝑟. = 0

𝐾𝑣 = lim𝑠→0

𝑠𝐺 𝑠 =𝑍1 . 𝑍2. 𝑍3 …

𝑃1. 𝑃2 . 𝑃3 …≠ 0 ⇒ 𝑒. 𝑟. ≠ 0

Efeito de perturbações

r Referência

p Perturbação

Se G1(s) = 1, perturbação na entrada da planta

Se G2(s) = 1, perturbação na saída da planta

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Se G1(s) ≠ 1 e G2(s) ≠ 1, perturbação em um ponto intermediário da planta

- Efeito de R(s)

Considera-se P(s) ≡ 0

𝑌(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝐺1 𝑠 . 𝐺2(𝑠)

1 + 𝐺1 𝑠 . 𝐺2(𝑠)= 𝐺𝑇𝐶 𝑠 ⟶ 𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜

Efeito de P(s)

Considera-se 𝑅(𝑠) ≡ 0

𝑌(𝑠)

𝑃(𝑠)=

𝐺2(𝑠)

1+𝐺1(𝑠).𝐺2(𝑠)= 𝐺𝑡𝑝 𝑠 → função de transferência de perturbação

𝑌 𝑠 = 𝐺𝑡𝑐 𝑠 . 𝑅 𝑠 + 𝐺𝑡𝑝 𝑠 . 𝑃 𝑠

Influência da referência Influência da perturbação

Teorema do valor inicial e valor final

Teorema do valor inicial

lim𝑡→0

𝑓 𝑡 = lim𝑠→∞

𝑠. 𝐹 𝑠

Teorema do valor final (função estável)

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lim𝑡→∞

𝑓 𝑡 = lim𝑠→0

𝑠. 𝐹 𝑠

-Efeito de ruídos

Supor r = constante = c | r referência

Na prática, a medida de y vem contaminada por ruídos, em geral, na forma de

oscilações.

𝑦𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 = 𝑦𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 + 𝜀. sin 𝜔𝑡

Se houver necessidade de uti lização da componente derivativa (D) nos

controladores do tipo PID (controlador PD e controlador PID), ocorrerá uma

amplificação do ruído.

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𝑒 = 𝑟 − 𝑦 = 𝑟 − 𝑦𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 + 𝜀. sin 𝜔𝑡

𝑑

𝑑𝑡𝑒 𝑡 =

𝑑

𝑑𝑡{ 𝑟 − 𝑦𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 + 𝜀. sin 𝜔𝑡 }

Em regime permanente, lim𝑡→∞ 𝑦𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 = 𝐶 (supor e.r. = 0)

lim𝑡→∞𝑑

𝑑𝑡𝑒 𝑡 = − 𝜀. 𝜔. sin 𝜔𝑡, há uma amplificação de 𝜔 vezes

Obs.: no caso de ruídos causados pela fonte de alimentação, temos:

f = 60 Hz

𝜔 = 2.𝜋.f = 377 rad/s

Um sistema com grande ruído não usamos controladores.

- Introdução de um filtro

Ex: Filtro passivo de 1ª Ordem

Análise em aberto:

𝑉𝑖 = 𝑅. 𝑖 + 𝑉𝑜

𝑖 = 𝐶.𝑑

𝑑𝑡𝑉𝑜

𝑉𝑖 = 𝑅. 𝐶.𝑑

𝑑𝑡𝑉𝑜 + 𝑉𝑜

Aplicando a transformada de Laplace

𝑉𝑖 𝑠 = 𝑅. 𝐶. 𝑠. 𝑉𝑜 𝑠 + 𝑉𝑜(𝑠)

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𝑉𝑜(𝑠)

𝑉𝑖(𝑠)=

1

𝑅. 𝐶. 𝑠 + 1=

1

𝜏′. 𝑠 + 1→ 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑎

𝜏′ = 𝑅. 𝐶

- Introdução de um filtro na parte derivativa dos controladores PID

Teoria 𝜏𝑑 . 𝑠

Pratica 𝜏𝑑 .𝑠

1+𝜏𝑑′ .𝑠

introdução de um filtro

Projeto sem filtro

o Projeto mais simples

o Sintonia fina mais trabalhosa

Projeto com filtro

o Projeto mais complexo

o Sintonia fina menos trabalhosa

No caso do projeto sem filtro, como a implementação sempre é feita com filtro,

calcula-se a constante do filtro como:

𝜏𝑑′ =

𝜏𝑑

𝑁 , 3 ≤ N ≤ 10 constante N sempre é números inteiros

N=10

o Comportamento próximo do caso teórico

o Amplificação significativa dos ruídos

N=3

o Comportamento distante do caso teórico

o Amplificação pequena dos ruídos

Valor mais usado na pratica: N=5

*Na parte integrativa, atenua-se o ruído, pois 𝜀. 𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑡) → 𝜀

𝜔. 𝑐𝑜𝑠 𝜔. 𝑡 → 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑢𝑎

- Projeto de controladores

Controlador tipo relé

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Seja r = c

u=M, para e ≥ 0

u=-M, para e ≤ 0

Supor: 𝐺 𝑠 = 𝐾

𝑠+𝑎 .(𝑠+𝑏), K,a,b > 0

Para u=M ⇒ 𝑈 𝑠 = 𝑀

𝑠

Para 𝑌 𝑠 = 𝐾

𝑠+𝑎 .(𝑠+𝑏).𝑀

𝑠

lim𝑡→∞

𝑦 𝑡 = lim𝑠→0

𝑠. 𝑌 𝑠 = lim𝑠→0

𝑠.𝐾

𝑠 + 𝑎 . (𝑠 + 𝑏).𝑀

𝑠=

𝐾. 𝑀

𝑎. 𝑏

Se 𝐾.𝑀

𝑎 .𝑏 < c, temos:

Se 𝐾.𝑀

𝑎 .𝑏 = c, temos:

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Para 𝑢 = −𝑀 ⇒ 𝑈 𝑠 = −𝑀

𝑠

lim𝑡→∞

𝑦 𝑡 = lim𝑠→0

𝑌 𝑠 = −𝐾. 𝑀

𝑎. 𝑏

Se 𝐾.𝑀

𝑎 .𝑏 > c, temos:

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M↑

o Resposta atinge a referência mais rapidamente

o Oscilações maiores amplitude das oscilações maiores

o Tempo de estabilização maior

M↓

o Resposta atinge a referência mais lentamente

o Oscilações menores

o Tempo de estabilização menor

Problema: alta freqüência de chaveamento

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Solução: introdução de histerese

u = M , para :

e ≥ ∆

−∆ < e < ∆ e 𝑑

𝑑𝑥 𝑒 𝑡 < 0

u = -M , para :

e ≤ -∆

−∆ < e < ∆ e 𝑑

𝑑𝑥 𝑒 > 0

∆→largura da histerese

𝐾𝑀

𝑎𝑏> 𝑐

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Resposta oscilatória com pequena freqüência de chaveamento

∆↑

o Oscilações ↑

o Freqüência de chaveamento ↓

∆↓

o Oscilações ↓

o Freqüência de chaveamento ↑

Obs:

PI melhora o erro a parte integrativa ajuda a proporcional

PID melhora o transitório a parte derivativa se opõem as partes P e I

Ex: 𝐺 𝑠 = 1

𝑠+2 𝑠+3

r=1

- Controlador PID

Método de sintonia inicial

o Ziegler-Nichols

o Polinomial

o Lugar das raízes

o Frequencial

Método da sensibilidade malha fechada

Método da curva de reação malha aberta

- Método de Ziegler-Nichols

1) Sintonia inicial pelo método da sensibilidade

2) Sintonia inicial pelo método da curva de reação

𝐺 𝑠 = 𝐾𝑐 1 +1

𝜏𝑖 . 𝑠+ 𝜏𝑑 . 𝑠 ⟹ 𝐾𝑐

𝜏𝑖 . 𝜏𝑑 . 𝑠2 + 𝜏𝑖 . 𝑠 + 1

𝜏𝑖 . 𝑠

⟹ 𝐾𝑐 . 𝜏𝑖 . 𝜏𝑑

𝜏𝑖

𝑠2 +1𝜏𝑑

. 𝑠 +1

𝜏𝑖 . 𝜏𝑑

𝑠 ⟹ 𝐾𝑐 . 𝜏𝑑

𝑠2 +1𝜏𝑑

. 𝑠 +1

𝜏𝑖 . 𝜏𝑑

𝑠

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𝑠2 +1

𝜏𝑑. 𝑠 +

1

𝜏𝑖 .𝜏𝑑 = 0 ⟹ 𝑠 =

−1

𝜏𝑑±

1

𝜏𝑑2 +

4

𝜏𝑖 .𝜏𝑑

2

⟹ s =

−1τd

± τi − 4τd

τi . τd2

2

Caso mais simples: zeros reais iguais

𝜏𝑖 − 4𝜏𝑑 = 0 ⟹ 𝜏𝑖 = 4𝜏𝑑

Zeros reais e iguais são: - 1

2𝜏𝑑

- Método polinomial

o Oferece a melhor sintonia inicial

o Método que faz mais cálculos controladores mais sofisticado.

4

𝑠(𝑠+1)=

𝑏(𝑠)

𝑎(𝑠)

𝑛𝑝 = 0

𝑛𝑎 = 2

Projetar o controlador mais simples de forma que o sistema em malha fechada

apresente:

P.O ≤ 5%

Ts2% ≤ 4s

e.r ≤ 0,01 para r(t) = 2

Projete o controlador mais simples

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Planta tipo 1 e.r = 0 , para r(t) = 1

P.O ≤ 5% ⟹ 𝜉 = 0,7 ⟹ 𝜃 = 45º

Ts2% = 4

𝜉 .𝜔𝑛= 4 ⟹ 𝜉. 𝜔𝑛 = 1

Pólos de malha fechada:

𝑎∗ 𝑠 = 𝑠 + 1 − 𝑗 𝑠 + 1 + 𝑗 = 𝑠 + 1 2 + 1 = 𝑠2 + 2𝑠 + 2 ⟹ 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑎∗ = 2

Grau 𝑎∗ tem que ser maior ou igual ao grau da planta.

𝐺 𝑠 =𝑝(𝑠)

𝑙 𝑠

Se p(s) e l(s) forem coprimos; podemos escrever da seguinte forma:

np < na ⟹ np < 2 𝑛𝑝 = 0 → 𝑝 𝑠 = 𝑝0 → 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

𝑛𝑝 = 1 → 𝑝 𝑠 = 𝑝1 → 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

𝑛𝑙 ≤ max(𝑛𝑎∗ − 𝑛𝑎 , 𝑛𝑏 − 1) ⟹ 𝑛𝑙 max(0, −1)

𝑛𝑙 ≤ 0 ⟹ 𝑙 𝑠 = 𝑙0