Transformação de deformação no...

Prof. MSc. Douglas M. A. [email protected]

Resistência dos Materiais I – SLIDES 08

Capítulo 7Transformação de

deformação no plano

SLIDES 08 – Capítulo 7 / Transformação de deformação no plano

REMA I – Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt

Objetivos do capítulo

Transformar as componentes de deformação

associadas a um determinado sistema de

coordenadas em componentes associadas a

um sistema de coordenadas com uma orientação

diferente

Obter a deformação normal máxima e a

deformação de cisalhamento máxima em um

ponto e determinar a orientação dos elementos

sobre os quais elas agem

2



Transformação da deformação no

plano

3

Estado geral de

deformação no espaço 3D

zzyzx

yzyyx

xzxyx

Estado geral de

deformação no plano 2D

yyx

xyx



7.1) Deformação Plana

4

O estado plano de deformação em um ponto é representado

exclusivamente por três componentes que agem sobre um

elemento que tenha uma orientação específica neste ponto.


REMA I – Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt5

Estado plano de tensão ≠ Estado plano de deformação



7.2) Equações de transformação de


Convenção de sinal positiva:

6



)1.7(2sin2

2cos22

'

xyyxyx

x

)2.7(2cos2

2sin22

''

xyyxyx

)3.7(2sin2

2cos22

'

xyyxyx

y







8





Deformações principais:

9

)4.7(2tanyx

xy

p

)5.7(222

22

2,1

xyyxyx





Deformação por cisalhamento máxima:

10

)6.7(2tan

xy

yx

s

)7.7(222

22

max

xyyx

)8.7(2

med

yx



7.3 Círculo de Mohr para Deformações

Consiste na solução gráfica das equações de

transformação de deformação no plano

Permite a “visualização” das componentes de

deformação de acordo com a orientação do

plano em que agem.

11

)1.7(2sin2

2cos22

'

xyyxyx

x

)2.7(2cos2

2sin22

''

xyyxyx



Da mesma forma que foi feito para as tensões,

pode-se obter a equação do círculo de Mohr

para as deformações:

Dedução do Círculo de Mohr

12

)9.7(2

2

2

''2

' Ryx

medx

2

yx

med

22

22

xyyxR



Dedução do Círculo de Mohr

13



Construção do Círculo de Mohr

14

1. Estabelecer um sistema de coordenadas com ε positiva

para a direita e γ/2 positiva para baixo

2. Utilizar a convenção mostrada abaixo para os valores

positivos de ε e de γ




3. Marcar o centro do círculo C, que está localizado no

eixo ε a uma distância de εméd = (εx+ εy)/2 da origem

4. Marcar o ponto de referência A cujas coordenadas são

A(εx, γxy/2), referente ao ângulo θ=0º, ou seja, alinhado

com o eixo εx do estado de deformações dado

5. Unir o ponto A ao centro C, determinando a hipotenusa

CA, que representa o raio R do círculo. Um ponto de

coordenadas (εx, -γxy/2), diametralmente oposto ao

ponto A também pode ser marcado

6. Traçar o círculo utilizando o raio encontrado

15




16



Análise com o Círculo de Mohr

17

As deformações principais ε1 e ε2 são apresentadas pelos dois pontos B e

D, onde o círculo intercepta o eixo ε

As deformações principais agem nos planos definidos por 2θp1 e 2θp2

(sentido anti-horário neste caso) da linha CA até a linha do CB




18

A rotação de θp1 deve

ser na mesma direção

do eixo x de referência

do elemento até o eixo x’




19

A deformação normal

média e a metade da

deformação por

cisalhamento máxima no

plano são determinadas pelo

círculo com as coordenadas

dos pontos E e F

O ângulo 2θs1 é determinado

por trigonometria. Aqui a

rotação é em sentido horário




20

A rotação de θs1 deve

ser na mesma direção

do eixo x de referência

do elemento até o eixo x’




21

As componentes εx’ e γx’y’

num ponto qualquer P

atuantes em um plano

definido por um ângulo θ,

medido no sentido anti-

horário, são obtidos por

trigonometria

Para localizar P, o ângulo

θ de um plano (no sentido

anti-horário) é medido no

círculo como 2θ (no mesmo

sentido anti-horário) da linha

CA para CP




22

As medições de 2θ no

círculo devem estar na

mesma direção de θ

para o eixo x'



Exemplo 10.4 (Hibbeler)

O estado plano de deformação em um ponto é representado pelas

componentes εx = 250x10-6, εy = -150x10-6 e γxy = 120x10-6. Determine

as deformações principais e a orientação do elemento.

Centro do círculo:

610x502

150250

2

yx

med

As coordenadas do ponto de referência

para θ = 0º são A(εx, γxy/2).

A(250x10-6, 60x10-6)






as deformações principais e a orientação do elemento.

Raio do Círculo = CA:

226050250 R

610x81,208 R




Deformações principais (Pontos B e D):

6

11 10x2598,20850 6

22 10x1598,20850

Orientação dos

planos principais

50250

60tan2 1

1

p

º70,162 1 p

º35,81 p






as deformações por cisalhamento máximas no plano e a orientação

do elemento.

Centro do círculo:

610x502

150250

2

yx

med



A(250x10-6, 60x10-6)

Mesmo círculo de Mohr

do exemplo anterior




Deformação por cisalhamento máxima no plano (Pontos E e F):

Orientação dos planos

de deformação

cisalhante máxima

60

50250tan2 1

1s

º30,732 1 s

º65,361 s

Não é o raio do círculo de Mohr!!! 6max,''10x8,208

2

yx

6

max,'' 10x418 yx





componentes εx = -300x10-6, εy = -100x10-6 e γxy = 100x10-6.

Determine o estado de deformação em um elemento orientado em

20º em sentido horário.

Centro do círculo:

610x2002

100300

2

yx

med



A(-300x10-6, 50x10-6)








Raio do Círculo = CA:

2250200300 R

610x8,111 R








Como o elemento deve sofrer

rotação de 20º em sentido

horário, deve-se traçar a linha

radial CP, 2(20º) = 40º em

sentido horário, medida em

relação a CA (θ = 0º).

Deformações no elemento a -20º







20º em sentido horário.Deformações no elemento a -20º

Coordenadas do Ponto P:

º57,26200300

50tan 1

º43,13º57,26º40

6

'

10x308

43,13cos8,111200

x

6

''

''

10x52

43,13sin8,1112

yx

yx








6

' 10x308 x6

'' 10x52 yx

Deformações no elemento a -20º

Coordenadas do Ponto Q:

6

'' 10x52 yx

6

'

10x3,91

43,13cos8,111200

y

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