1. 1. 2016-2017
2. 2. e-mail: theomath@yahoo.gr https://www.facebook.com.theodoros.pagones http://lisari.blogspot.gr/ 2016-2017
3. 3. - 1 - 2016-2017
4. 4. - 2 - 2 - 1. 1) : . ( ) | ln 1| f x x . ( ) 2| | | 1| f x x x . 4 2 ( ) | | f x x x . ( ) | 2| f x x 2) 1, 0 , , 0 x 0 , 3 1x . f x . 3) ( ) x x f x ae e , a . (0) 10f 1 (1) f e , a . 4) 2 ( ) 2 3 f x x x 1 2 2 3 ( 1) 14 0 f x f x f . 5) 4 ( ) 1 2 3 x f x x . 4 1 2 3 x f x x , 3 2 x . 6) f 2 2 1 2 2 3 f x x x x , x . (3)f , (1)f (13)f . 7) : f 3 2 4 ( ) ( ) ( ) 4 f x f x f x x x , x . (1)f . 2. 8) 2 2 2 ( ) ln 81 9 8 x f x x x x . 9) : . 3 2 2 2 1 ( ) 3 4 x x f x x x . 2 3 2 3 1 ( ) 2 x x f x x x x . 2 2 ( ) 3 2 x f x x x 10) : . ( ) 3 7 2 f x x . 2 ( ) 4 2009 f x x . 2 2 ( ) 1 4 5 2 3 f x x x x 11) : . 2 2 ( ) 1 x x f x x . 1 2 3 ( ) 2 4 4 x f x x 12) : . ( ) ln 2 1 ln 2f x x x . 2 ( ) ln 3ln 1 ln 2 f x x x x 13) : . 2 ( ) 1 x f x x . 1 ( ) 1 x f x x . 2 ( ) x f x x x 14) : . 2 1 ( ) 3 x f x x . 2 12 ( ) 2 x f x x x . | | ( ) | 2 | 1 x f x x x
5. 5. - 2 - 3 - 15) : . 2 8 ( ) 8 7 x f x x x . 2 3 6 ( ) ln 9 1 f x x x . 3 8 ( ) 2 16 x x f x . 31 ( ) 1 ln 2 ln f x x x 16) : . 1 ( ) f x x x . 21 ( ) 1 3 1 f x x x . 2 2 ln 2 3 ( ) 25 x x f x x . 2 ( ) 2 f x x x x . ( ) 5 5 f x x . ( ) 2 1 f x x 17) 3 2 22 ( ) 2 f x x x x . 18) 0 , 2 : . 1 ( ) 2 1 f x x x . 1 ( ) 2 1 f x x 19) : . 1 ( ) 1 x f x x . ( ) ln lnf x x . 2 2 ln 2 3 ( ) 25 x x f x x . 4 2 1 ( ) 1 3 ln 1 x x f x x . ( ) f x x . | | 1 2 ( ) ln | | 1 x x f x x 20) | | , 3 6 ( ) 2 2 , 6 12 x a x f x x x . : . f , . a , . ( 2)f (11)f f . 21) 2 3 , 5 1 ( ) 4 2 , 1 15 x x f x x x . . f . . ( 2)f , (3)f , (1)f ( 4)f f . ( ) 6f x . 22) ( ) f x x a (13) ( 3) 4 f f . : . a , . f , . 2 ln (33) ( ) ( 2) | | x f f g x x f f x . 23) ( ) 3 lnf x x a , 2 ( 1) 1f e . : . a , . f , . 1 ( ) ln (2) e g x f f x f e . 24) f 0 , 8 . 2 ( ) 1 g x f x . 25) a : . 2 2 1 ( ) 1 x f x x ax . 2 ( ) 4 3 f x ax x a . 2 ( ) 2 1 x a f x a . 2 ( ) ln ( 1) 2 1f x ax a x a 26) , : . 2 2012 ( ) 4 f x x x . 2 ( ) 2 f x x x 27) ( ) 3 , ( ) 7 ( ) 4 . ( ) x , .
6. 6. - 2 - 4 - 3. 28) 4 ( ) 3 5 3 x f x , . f 3 2 . 29) ( ) 13 2 3 13 2 3 x x f x . 30) : f , 3 2 3 2 ( ) ( ) 7 ( ) 2 4 f x af x f x x x x , x . . (2) 3f , a . . (1)f . 31) : f (0) 0f 2 ( ) ( ) f x y f x y f x f y , , x y . . (0)f . . , ( ) 0f , (2 ) 1 f . 32) : f , 2 5 ( ) 3 ( ) f x f x x x, x . f . 33) f ( ) 2 ( ) 3 3 f x xf x x , x . f . 34) f 1 1 1 ( ) 2 3 xf x f x x x x , * x , f . 35) f ( ) 1 ( ) 1 xf x x f x x , x , : . (0)f , . ( ) ( ) 2 (0) f x f x f , . f . 36) : f 2 1 2 5 f x x x , x . f . 37) f ( ) f x y f x y , x y (0) 2012f . f . 38) : f , x y 3 2 2 6 4 10 f x y f x y x xy x . . (0)f , . f . 39) f , , 2 ( ) ( ) f x y f x y f x f y , , x y . . (0)f . . ( ) ( ) f x f x , x . . 2 (2 ) 2 ( ) 1 f x f x . 40) : f , ( ) ( ) f x f y y x , , x y . f , (0) 1f . 41) : f , 2 2 4 ( ) 10 ( ) 25 f x x f x x , x . 42) 1 ( ) log 1 x f x x . . . . ( ) ( ) f x f x , fx D . . , 1 2, fx x D 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 x x f x f x f x x .
7. 7. - 2 - 5 - 43) * : f , 1 2 ( ) ( ) ( ) 5 5 xf x xyf x f y , * , x y . f . 44) : f , x , y , ( ) ( ) 8 f x y f x f y ( ) ( ) 5 8 ( ) 8 ( ) 104 f x f y f xy f x f y . . ; . f x . i. (0)f (1)f . ii. 1 . 4. 45) fC x x y y : . 2 ( ) 5 6 f x x x . ( ) x x f x e e . ( ) 1 f x x x . ( ) 1 2 f x x 46) f 21 ( ) 4 4 x f x . 47) x x y y . . 2 2 ( ) 1 x x f x e . ( ) 1 2 f x x , 0 ,x . ( ) ln ln 3f x x . 2 6 ( ) 2 x x f x x . 2 2 3 ( ) 2 1 x x f x x . ( ) 3 4 f x x 48) 2 ( ) 5 8 f x x x ( ) 1 g x x . 49) : . 2 ( ) 3 f x x x 3 2 ( ) 3 g x x x . ( ) ln 2 f x x x x ( ) g x x . 2 5 ( ) 3 x f x 2 ( ) 3 2 x g x . ( ) ln 1 f x x ( ) 2ln 2 g x x 50) x f g , : . 3 ( ) f x x x 2 ( ) 3 2 g x x . ( ) 10f x x ( ) 5g x , 0 , 2x . 1 ( ) 2 x f x x 3 1 ( ) 2 2 g x x . 3 ( ) ln 1 f x x ( ) ln 5 g x x . 2 2 ( ) 5 x f x 6 8 ( ) 5 x g x . 2 ( ) lnf x x ( ) ln 2 g x x 51) x : . 4 6 y x 3 23 ( ) 2 f x x x . . 3 2 ( ) 7 f x x x 7y x . . 2 ( ) ln ln 1 f x x x ( ) 2ln 3 g x x . 52) f 2 ( ) 3 5 2 f x x x . . f . . f 2 1 y a 1 2 a . 53) f 3 2 1 2 (2 )xf x f x x , x . .
8. 8. - 2 - 6 - 54) * : f * x 21 2 ( ) 3 4 xf x xf x x x . . f . . fC . . fC x x . 55) 2 ( ) ln 2 f x x x a a . : . a , . f , . fC x x , . fC 2ln3y . 56) ( ) kx f x ae . fC 0 , 5 2 1, 5 e , a , k . 57) ( ) ln 2 f x a x x , 2 x . fC y y ln 4 x x 2e , , a . 58) 2 3 2 ( ) ( ) 4 f x x x 6 2 4 5 3 2 2 ( ) ( ) 3 x x x g x x x . , , 1 0 . 59) 2 4 1 y x x . 60) : . ( ) f x x . ( ) ln( 2) f x x . ( ) | |f x x . 3 ( ) 1 f x x . 2 ( ) 2 1 f x x . ( ) 2f x x 61) : . 2 | 4 | , 2 2( ) 2 , 2 x x xf x x x . 1 , 0 ( ) 2 1 , 2 x x g x x x 62) : . 2 , 2 ( ) 4 , 2 x x f x x x . 3 ln , 1 ( ) , 1 x x g x x x 63) , , ln 0x . 64) ln x x e , 0x . 5. 65) 3 2 8 ( ) 2 4 x f x x x 2 2 ( ) 3 5 11 g x x x x 66) 2 ( ) 2 f x x x ( ) 3g x x 0x . 67) 3 ( ) ln 1 x f x x ( ) ln 3 ln 1 g x x x . ; ;
9. 9. - 2 - 7 - 68) f , g : . 1 ( ) | 1| x f x x 2 2 | 9 | ( ) 9 x g x x . 2 | | ( ) | | 1 x x f x x 3 2 ( ) 1 x x g x x . 1 ( ) 1 f x x 2 ( ) 2 x g x x x . 2 9 ( ) ln 3 x f x x 2 ( ) ln 9 ln 3 g x x x 69) 2 2 ( ) 14 49 14 49 f x x x x x ( ) 2g x x . . f g f g . . , , f , g . 70) ( ) 2 1 2 1 f x x x x x 2 , 1 2 ( ) 2 1 , 2 x g x x x . f , g . 71) , : f g 2 ( ) ( ) 4 ( ) ( )f x g x f x g x , x . f g . 72) , : f g 2 2 2 ( ) ( ) 8 4 ( ) ( ) f x g x x x f x g x , x . f g . 73) a , 2 2 5 ( ) 7 10 x f x x x ( ) 2 5 a g x x x . 74) k , 2 3 1 1 ( ) 3 k x k f x x k 7 4 ( ) 4 10 x k g x x . 75) : 5 , 5 f 2 ( ) 4 f x a x : , g 3 2 200 8 16 2000 ( ) 2 20 x x x g x x . a , f g . 76) a , , 2 ( ) 2 1 f x a x x a 2 ( ) 3 2 3 2 g x a x x a . 77) , : f g (0) 0g , x y 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) 3 1 6 f x f y g x g y x y . f g . 78) , : f g (0) 0g , x y 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) 2 6 3f x f y g x g y x x y . . x 2 2 ( ) 1 2 7 3 f x f x x x . . f . . f g . 79) | | 1 , 2 ( ) , 2 x x f x a x g , . a f g . 80) , : f g (0) 0g , x y 2 2 4 4 8 0 f x y f x y g y x g y x . f g .
10. 10. - 2 - 8 - 6. 81) f g f g : . 2 ( ) 1 x f x x 2 2 4 ( ) 1 x g x x . ( ) ln 3 f x x ( ) 1 g x x 82) ( ) 1 f x x x , ( ) 1 g x x x ( ) 1 h x x x , 2 f h g . 83) ( ) ln 3 f x x , ( ) 2 x g x e . ( ) 0 f x g . 84) 2 ( ) 2 1 f x x x 1 , 0 ( ) 2 3 , 0 x x g x x x . 2 f g 2 f g . 85) f g , : . , , 5 ( ) 4 , 5 , 7 x x f x x x 2 , 3 , 5 ( ) 5 , 5 , x x g x x x . 2 3 , 2 , 5 ( ) 3 1 , 5 , 7 x x f x x x 2 3 , 3 , 6 ( ) 3 1 , 6 , 8 x x g x x x 86) ( ) | 3| 2 f x x ( ) 3 | 2 1| g x x x . f g . 87) 3 4 , 0 ( ) 2 , 0 x x f x x x 1 , 3 ( ) 2 3 , 3 x x g x x x . 2 ( ) ( ) 1 f x g x . 88) : f 4 2 ( ) ( ) f x f x x * : g 2 1 3 ( ) 4 ( ) g x g x x . . f g . . f g . . f g . 89) f 0 , 5fD g 1, 4 gD . g 2. f h f g g g . 90) , : f g , . : . f g , . f g . 91) f , g x ( ) ( ) 2 2 ( ) 1 f g x f g x f g x , f g .
11. 11. - 2 - 9 - 7. 92) ( ) 3 f x x ( ) | |g x x , (5)g f . 93) g f f g : . 2 ( ) 9 f x x , ( ) 2 1 g x x . ( ) logf x x , 2 ( ) 1 g x x 94) ( ) f x x ( ) ln 1 g x x , : . g f g f , . f g f g . 95) 2 ( ) 1 f x x ( ) ln2g x x , : . g f g f . f g f g . 96) ( ) 1 f x x ( ) ln 1 g x x , : . g f g f . f g f g . 97) ( ) f x x 2 ( ) 3 2 g x x x , : . g f g f . f g f g . 98) 3 , 0 3 ( ) 4 , 3 6 x x f x x x 2 , 1 4 g( ) 5 , 4 8 x x x x x . f g . 99) g f : . 2 ( ) f x x , 1 , 4 ( ) 2 1 , 4 x x g x x x . 1 , 0 ( ) 1 , 0 x x f x x x , 2 , 2 ( ) 2 , 2 x x g x x x 100) 2 ( ) 1 x f x x . f f . 101) 2 2 6 ( ) 4 x x f x x . . f . . f f . 102) ( ) ax f x x a 2 a ( ) 4 4 g x x x . : . ( ) f f x x , x a . ( ) g g x x , 0 , 4x 103) ( ) 1 | | x f x x ( ) 1 | | x g x x , x ( ) g f x x . 104) ( ) 2 1 f x x 2 ( ) ln 9 g x x . ( ) 0g f x . 105) , : f g (2) 2g f 2 ( ) 3 4 f g x x x , x . f g . 106) ( ) 4f x x ( ) 4 2 4g x x . f f g g , . 107) 2 ( ) ln 1 f x x x . : . f . . ( ) g x x , f g f .
12. 12. - 2 - 10 - 108) 3 ( ) 2 ax f x x . a 2 x ( ) f f x x . 109) ( ) 2 3 f x x , 2 ( ) g x ax x 2 ( ) 4 2 h x x x . a , , g f h . 110) f 0 ,1 : . 2 f x . 4f x . lnf x . 1x f e 111) 2 ( ) 4 f x x x , 2 ( ) 1 g x x ( ) 2 h x x . f g h . 112) : 16 , 5 f ( ) 3 4 g x x 2 ( ) 9 h x x . ( ) ( ) ( ) x f g x f h x . 113) ( ) x f x e , 2 ( ) g x x ( ) h x x . f , g h : . 2 ( ) x x e . 2 ( ) x x e . 4 ( ) x x e . 4 2 ( ) x x e 114) 2 ( ) 4 f x x ax ( ) 1 g x x . . a f g , a a . . a f g x x , x . 115) : *f 1 ( ) ln 1 x g x x . . f g . . ( ) 1x f g x , f . . f . 116) 2 2 1 ( ) 2 x f x x ( ) 3 g x x a . a g f . 117) : f 2 ( ) 3 4 f f f x x x , x . (2) 2f . 118) 2 ( ) f f x x x , x , (0)f . 119) : f ( ) 4 9 f f x x ( ) 8 f f f x x a x , a . . 4 9 4 ( ) 9 f x f x x . . (3) 3f . . a . . f . 120) g : . ( ) 3 2 f x x , 2 ( ) 4 2 g f x x x , x . ( ) 2 7 f x x , 2 ( ) 1 g f x x x , x 121) , : f g ( ) 2 1 f x x 2 ( ) 4 4g f x x . g . 122) f g ( ) 2 1f g x x 3 2 ( ) 1 x g x x . f . 123) ( ) 2 x f x e : 2 , g . . g f . . 3 ( ) x g f x x e , g .
13. 13. - 2 - 11 - 124) , : f g ( ) 3 2 g x x 2 ( ) 3 6 10 g f x x x . : . f , . x f g . 125) , : f g ( ) 2 3 g x x ( ) 2 1 15 x x g f x e e . : . f , . f . 126) g ( ) 5 3 f x x 2 1 , 2 ( ) 4 , 2 x x g f x x x . 127) f g g f , g f . 8. 128) : . 5 3 ( ) 3 2 5 7 f x x x x . ( ) 4 1 g x x . 3 ( ) 2 2 ln h x x x . 3 2 ( ) 2 8 x x x e 129) ( ) 2 3ln f x x x 0 , . 130) : . ( ) 1 | | f x x x . ( ) 1 | | g x x x . 5 2 , 0 ( ) 1 , 0 x x h x x x . 2 , 1 ( ) 3 ln 1 , 1 x e x x x x x 131) 2 2 ( ) 4 4 10 25 f x x x x x 2 , 5 . 132) f , f . 133) f , g , x . 1 1 f g . 134) f ( ) 0f x , x 1 f . 135) f . x ( ) 0f x , ( ) ( )g x f x . 136) f g x ( ) 0f x ( ) 0g x . : . f , g , f g . . f , g , f g . 137) f g g f . g f : . , f g , . , f g .
14. 14. - 2 - 12 - 138) f 1, 3 7 ,11 . : . (0) (3) 14 f f . . 6 , 7a 1 3 22 f a f a . 139) : f , 1, 5 2 , 7 . . f . . | | 4 6 5 0 f f x . 140) : f . . ( ) ( ) g x f x x . . 2 4 5 20 2 9 20x x x a a x x , 0 1 a . 141) 3 ( ) 1 ln 1 x f x x x e . . f . . 3 ln 1 1 x x x e . 142) 6 8 ( ) 1 10 10 x x f x . . f . . 6 8 10 x x x . . 2 2 1 2 1 2 6 8 6 8 10 10 10 10 x x x x . 143) 2 ( ) ln f x x x . . f . . x fC 1y . . 2 2 4 4 2 1 4 4 ln 2 1 x x x x . 144) ( ) 2 x f x x . . f . . 2 3 2 6 2 2 2 5 6 x x x x x . 145) ( ) 1 x f x a x , 0 1 a . . . . 2 2 1 0 x a x , 0 1 a . . 2 1 7 2 6 x x a a x x , 0 1 a . 146) 1 ( ) ln 1f x x x . : . 1 ln 1x x . . 2 1 3 ln 2 2 1 a a a a . . 2 1 3 ln 2 2 1 2 a a a a a . 147) : f , 2 , 2 . ( ) 3 ( ) ( ) g x f x f f x . . g . . 3 | | 1 | | 1 f x f f x . 148) , : f g , ( ) 2 5 4 g x f x f x , x f . . g . . 2 0 x g e . 149) : f 0 , 2 2 , 0 . 2 3 1 5 3 6 f x f x f x f x . 150) : 0 ,f ( ) ln ( )f x e f x x x . f .
15. 15. - 2 - 13 - 151) : f 3 ( ) ( )f x f x x x . . f . . (0)f . . 3 ( ) ( )g x xf x . 152) 2009 2011 ( ) 2010 1 1 2009 f x x x . . f . . (0)f . . f . 153) : f (1) 0f . . f . . 2 5 0 f 2 5 7 5 f f . . : , a 0 2 a , f a f . . ( ) ( ) 1 f x g x x . 154) . , : f g , g g f . f . . : f , ( ) 3 ( ) ( ) 2 f x h x e f x , . i. f . ii. 2 4 1 1 0 2 2 f x x f x . 155) 3 2 9 x x e . 156) : 0 , 0 ,f ( ) 3 2 ( ) 2 ( ) ln 1f x e f x f x x x x , 0x . f . 157) f , x y ( ) ( ) ( ) f x f y f xy . 2 5 4 2 4 1 f x f x f x f x . 158) . : ( ) f f , x ( ) ( ) f f x x f x x . . 55 5 1 1 1 x x x x x . 9. 159) : . ( ) 3| 2| 5 f x x . 2 ( ) 4 1 f x x x . 2 1 ( ) 2 f x x x 160) , , 3 2 , 3 ( ) 14 , 3 x x f x x x . 161) : f , 5 ,1 . 2 ( ) ( ) 2 ( ) 4 g x f x f x , . 162) : f , 3, 1 . 2 2 ( ) ( ) 1 ( ) f x g x f x 1 m 1 .
16. 16. - 2 - 14 - 163) 2 2 1 ( ) 1 x x f x x x , 1 3 m 3 . 10. 1-1 164) 1 1 : . 2 ( ) 1 2 x x f x . ( ) 3 1 f x x . ( ) x x x x e e f x e e . 1 ( ) 1 x f x x 165) 1 1 1 2 ( ) 1 x x e f x e . 166) 1 1 2 ( ) f x x x , 0 , 2 x . 167) 3 2 ( ) 3 4 f x x x . . f x x . . f 1 1. 168) : f 2 3 3 ( ) 1 x f x x f x , x . . (0)f (2)f . . f 1 1. 169) 1 1 2 2 1 ( ) 1 x f x x , x . 170) 1 1 : . 3 2 , 2 , 3 ( ) 4 , 4 , 7 x x f x x x . 3 , 0 ( ) 2 1 , 0 x x f x x x 171) : f ( ) f f x x , x . : . f , . f 1 1. 172) : f 3 ( ) ( ) 3 2 f f x f x x , x . f 1 1. 173) : 0 , f 5 ( ) 3 ( ) ln 2 1 f x f x x , 0x . f 1 1 0 , . 174) , : f g 2 ( ) 5 9 f f x x x 2 ( ) ( ) 3 g x x xf x , x . : . (3) 3f . . g 1 1. 175) : f , 2 ( ) 3 4 f f x x x , x : . (2) 2f . . 2 ( ) ( ) 4 g x x xf x 1 1. 176) : . 7 1 x e x . ln 1 2 x x 177) ( ) x f x a x , 0 1 a . 2 4 2 2 4 2 a a . 178) 3 ( ) f x x x . . f 1 1. . 3 3 1 1 x x e x e x .
17. 17. - 2 - 15 - 179) ( ) ln f x x x . . f 1 1. . 2 2 1 ln 1 x x x x . 180) : f 3 ( ) ( ) 2 3 f f x f x x , x . . f 1 1. . 3 2 4 f x x f x . 181) : f , x , 3 3 ( ) ( ) 27 8 f x f x x . . f 1 1. . ( ) 0f x . . 2 ln 2ln 3f x f x . 182) * : f , ( ) 2 ( ) f f x x f x , x . . f 1 1. . (3)f . . 1 | | 1 2 0 f x f x f x . 183) f ( ) 9 4 f f x x ( ) 27 13 f f f x x , x . . f 1 1. . f . . f . 184) 7 75 5 ln 4 1 ln 3 5 2 3 5 2 4 1 4 1 3 5 x x x x x x 185) 3 ( ) 8 x f x x , x . . f 1 1. . 2 3 3 1 8 1 8 x x x x x . . 3 3 8 27 9 0 x x . 186) f g 1 1 , g 1 1 . 187) , : f g 3 ( ) 3 ( ) 2 g f x x f x , x . f 1 1. 188) : f 1 1 4 2 2 2 1 f x f x . 189) : . 5 31 1 1 3 3 0 x x x e x e x e x . . 2 23 32 2 2 2 1 2 2 3 4 2 2 x x x x x x x x . 190) : f ( ) 2 f x f y f x y , , x y , ( ) 2 f x x . 191) : 0 , 0 , f ( ) ( )f f x xf x . : . f 1 1, . (1) 1f , . 0 , 0 , f , ( ) f x f x x , 0 , x . 192) * * : f , x y ( ) ( ) ( )f xy f x f y . ( ) 1f x , f 1 1. 11. 193) 3 4 7 5 ( ) 2 x e f x .
18. 18. - 2 - 16 - 194) , , : . ( ) 3 2 f x x . 3 1 ( ) 1 x g x x . ( ) 8 3 h x x . ( ) 5 ln 2x x . 2 , 3 ( ) 2 5 , 3 x x f x x x . ln 2 , 0 1 ( ) 1 , 1 x x g x x x 195) 3 2 1 ( ) 5 x f x . . . . f 1 f . 196) : 2 , f 2 ( ) 4 5 f x x x . . f 1 1. . 1 f . 197) : , 4 f 2 ( ) 8 10 f x x x . . f 1 1. . 1 f . 198) 3 3 1 ( ) ln 8 x f x x . . 1 f . . 1 f . . f 1 f . 199) 3 ( ) 2 1 x f x e . . f 1 1. . 1 f . . 1 f . 200) 1 ( ) 1 x f x x . 1 f f . 201) ( ) 2 1 f x x 1 f . 202) ( ) 1 f x x , 1, x 2 ( ) g x x , , 0 x . g f 1 ( ) g f x x . 203) ( ) 1 x f x e 1 ( ) 1 x x e g x e . . f 1 1 1 f . . g . . 1 g f . 204) ( ) 2 f x a x , , a . a , f 1 f f . 205) : 0,f ln ( ) 1 x f x f x e 0,x . f . . f 1 1 1 f . 206) : f , x , 3 ( ) 6 ( ) 3 0 f x f x x . f 1 f . 207) : f , 3 ( ) 2 ( ) 0 f x f x x , x . . f . . f . . 1 f . 208) * : f 3 ( ) ( ) 1 0 f x xf x , * x . . ( ) 0f x , * x . . f 1 1. . f . 209) , : f g ( ) f ( ) f f g f x x x . f 1 ( ) ( ) ( ) f x f x g x , x .
19. 19. - 2 - 17 - 210) , : f g 3 ( ) 3 ( ) 3 g f x x f x , x f . 211) ( ) 4 2 f x x 1 ( ) 2 ( ) 1 g x f x . 1 g . 212) : f (2) 10f ( ) 3 5 f f x x , x . . f . . 1 (2) f . . 1 | | 2 5 2 f f x . 213) 3 ( ) 2 10 f x x x . . f . . 1 ( 10) f . . 1 ( ) ( ) f x f x . . 1 3 1 2 1 x f x . 214) 5 ( ) 1 f x x x . . f . . 1 (1) f . . 1 2 1 2 3 5 f x f x . 215) : f 1, 5 3 , 8 . . 1 2 3 3 3 3 f f x x . . 1 2 10 2 8 1 x f f x . 216) : f 3, 2 5 , 9 . . 1 2 2 9 f f x x . . 1 2 8 2 2 f f x x . 217) f ( ) 3 2 f f x x , x . . f . . 3 2 3 ( ) 2 f x f x . . ( ) f x x . 218) : f 5 3 2 ( ) ( ) f x f x x x x , x . . f . . f . 219) : f 3 ( ) 2 ( ) 4 0 f x f x x , x . . f 1 - 1. . 1 f . . (0)f 3 4 f . . 1 ( ) ( ) f x f x . 220) : f 3 ( ) 2 ( ) 0 f x f x x . . f 1 1. . 1 f . . ( 9 15) 1f x x . 221) f g ( ) ( ) g x f x x , x . . g . . 2 2 2 2 2 2 f x x x f x x x . . ( ) 2 2f x x , 0 , x 1 g . , . 222) , : f g g f g 1 - 1 ( ) 3 2f f x x , x . . f 1 - 1. . (1) 1f . . 3 1 1 x g f e x , x 1 (1) 5 g , 1 (5) f .
20. 20. - 2 - 18 - 223) , : f g g f 1 - 1. . f 1 - 1. . 2 2 2 1 3 1 f x f x x . . f 1 2 1 1 1 f x f x . 224) f , g x ( ) 3 2 2 ( ) f x f x g x . . f , g . . x 2 ( ) 2 1 f x f x x x f , g fC , gC . . 1 f 1 g . 12. 225) : . 1 ( ) f x x , 0 ( )lim x f x . 3 ( ) f x x , 0 ( )limx f x . 2 1 ( ) 1 x f x x , 1 ( )limx f x . ( ) | | 1 f x x , 0 ( )limx f x . | 1| ( ) 1 x f x x , 1 ( )limx f x . 2 1 , 2 ( ) 6 , 2 x x f x x x , 2 ( )limx f x 226) , 0 3 3 ( ) ( ) ( )lim lim lim x x x f x f x f x . 227) f . : . 0 ( )lim x f x , 0 ( )lim x f x , 0 ( )limx f x . 2 ( )lim x f x , 2 ( )lim x f x , 2 ( )limx f x . (2)f 228) f . : . 0 ( )lim x f x , 0 ( )lim x f x , 0 ( )limx f x . 2 ( )lim x f x , 2 ( )lim x f x , 2 ( )limx f x . (2)f
21. 21. - 2 - 19 - 229) f 0 0, ,a x x 0 3 ( ) 4lim x x f x 0 ( ) 3 4lim x x f x , . , 0 ( )limx x f x . 230) f 0 0, ,a x x . 2 0 ( )lim x x f x e 0 2 ( )lim x x f x e , 0 ( )limx x f x . 231) : f 2 ( ) 2lim x f x 2 ( ) 2lim x f x , , . 2 ( ) 5lim x f x . 232) : f 0 2 4lim h f h . : . 2 ( )limx f x . 2 ( ) 4lim x f x . 2 ( ) 1lim x f x . 2 ( ) 6lim x f x 233) : f 2 ( ) 1lim x f x 2 ( ) 5 9lim x f x , . 2 ( )limx f x , : . , . 0 2lim h f h , . 2 ( ) 5lim x f x . 234) 2 ( ) 5lim x f x 2 ( ) 3lim x g x , 3 2 2 ( ) 5 ( ) ( ) 1lim x f x g x g x . 235) 1 ( )lim x f x 2 1 5 ( ) 2 ( ) 1lim x f x f x , . 236) , , f 0x , : . ( ) f x x , 0 0x . ( ) f x x , 0 2 3 x . ( ) f x x , 0 97 6 x 237) : . 2012 1lim x x . 22 2 16lim x x x . 5 4 3 2 1 1lim x x x x x . 400 1lim x x . 3 2 2 2 2lim x x x x x . 2 0 5 25 2 1lim x x x 238) 1 ( )lim x f x , 1 ( )lim x g x m , 1 5 ( ) 2 ( ) 60lim x f x g x 1 7 ( ) 3 ( ) 85lim x f x g x , m . 239) f , g 2 [ ( ) 2 ( )] 3lim x xf x g x 2 [ ( ) 1 4 ( )] 5lim x f x x g x . 2 ( )limx f x 2 ( )limx g x . 240) : . 2 1 2 1lim x x x x . 2 2 2 6lim x x x x . 2 2 1 2 3 2lim x x x x x . 2 0 5 25 lim x x x . 3 2 3 2 3 9 2 3 2limx x x x x x . 3 2 2 2 2 4lim x x x x x . 3 4 2 8 16lim x x x . 2 5 1 2 1lim x x x x . 3 2 2 3 2 5 4 3 6lim x x x x x x . 2 3 1 2 3 1 1lim x x x 241) : . 0 4 16 lim x x x . 0 1 3 1 lim x x x . 0 1 1 lim x x x . 1 5 2 1lim x x x
22. 22. - 2 - 20 - 242) : . 5 2 10 5 5 lim x x x . 4 4 3 5 lim x x x . 0 2 2 lim x x x . 20 5 5 4 4 lim x x x . 2 2 2 1 2 1 6 5 7 lim x x x x x . 3 0 1 1 1 1 lim x x x 243) : f 2 ( ) 2lim x f x . 3 2 2 ( ) 8 4 ( ) 12 lim x f x f x . 244) : f 3 ( ) 2lim x f x . : . 2 3 ( ) 4 ( ) 7 3 lim x f x f x . 2 3 ( ) 2 ( ) ( ) 5 3 lim x f x f x f x 245) 2 9 , 3 ( ) 3 3 5 , 3 x x f x x x x . , , : . 4 ( )limx f x . 2 ( )limx f x . 3 ( )limx f x 246) 2 2 1 , 1 3 2 ( ) 3 5 2 , 0 1 x x x f x x x x x x . , , 1 ( )limx f x . 247) 2 2 2 2 , 4 0 4 2 ( ) 1 , 0 2 2 , 2 3 2 x x x x f x x x x x x x x . . f . . , , : i. 0 ( )limx f x ii. 2 ( )limx f x 248) : . 1 ( )limx f x , 2 3 2 , 1 1 ( ) 8 , 1 3 x x x x f x x x . 0 ( )limx f x , 2 1 1 , 1 0 ( ) , 0 x x x xf x x x x x 249) : . 2 2 0 3 2 | | 3| |lim x x x x x . 2 2 5 | 5 | 7 10 5lim x x x x x x . 1 9 | 2 | 3| | 1limx x x x . 2 3 | 3| 10 | 4 | 10 9lim x x x x . 2 2 | 2 | 2 2lim x x x x x . 2 2 | 3| 2 | 1| 7 2lim x x x x . 2 2 3 2 3 | |lim x a ax a x a x a . 2 2 4 | 2 | | 7 | 3 | | 2lim x x x x . 2 1 | 1| 1lim x x x 250) : . 6 2 4 4 | 6 |lim x x x . 2 3| 1| 2 | 4 | 7 1 1 lim x x x x . 2 2 2 | 5 11 | 4lim x x x x . 2 2 1 2 3 1 3 8 10 lim x x x x x x . 2 1 | 13| 13 1lim x x x x . 2 3 2 3 3 9 9 limx x x x x x 251) : . 2 1 1 1lim x x x x . 3 4 5 1 3 lim x x x x x x . 2 3 1 1 1 lim x x x . 3 5 64 1 3 3 lim x x x x x x x . 5 3 3 50 lim x x x x x . 2 4 4 8 16 12 5 4 lim x x x x x x . 3 2 2 1 2 3 2 lim x x x x x x . 3 2 2 4 1 25 4lim x x x x . 44 33 2 2 2 lim x x x . 3 2 2 1 2 1 lim x x x x x . 2 1 1 1 1 lim x x x x . 2 2 1 1 1 lim v v x x x x
23. 23. - 2 - 21 - 252) : 1, f , 2 ( ) 3lim x f x . 2 2 ( ) 2 ( ) 5 ( ) 5 ( ) 1 2 lim x f x f x f x f x . 253) ( ) x , 1, 3 . 2 2 2 1 ( ) 2 ( ) 2 3 2lim x x x x x x x x . 254) 1 2 ( ) 5 2 2lim x f x x , 1 ( )limx f x . 255) f 2 5 ( ) 1 8 ( ) 3lim x f x f x , 2 ( )limx f x . 256) 0 ( ) 0 ( )lim x x f x a f x a , 0 ( )limx x f x . 257) 0 ( ) 1 lim x f x m x , 0 ( ) 1lim x f x . 258) : f 0 ( ) 4 1 1 lim x f x x x , 0 ( )limx f x 259) : f 2 2 ( ) 8 6lim x xf x x . , , 2 ( )limx f x 2 2 ( ) 5 ( ) ( ) 1 2 lim x f x f x f x . 260) 1 ( ) 1 1 1lim x f x x , 2 1 ( ) 1 1 lim x x f x x . 261) : f 2 2 ( ) 2 3lim x f x x x . 2 2 2 ( ) 2 ( ) 3 2 ( ) 1lim x f x f x f x . 262) : f 2 2 ( ) 5 2 4lim x f x x x . , , : . 2 ( )limx f x . 2 ( ) 3 2lim x f x x . 2 2 2 ( ) 2 ( ) 3 6 8lim x f x f x x x 263) 1 ( ) 2 2 1limx f x x : . 1 ( ) 2 ( ) 2 2 lim x f x f x . 1 ( ) 2 ( ) 7 5 ( ) 2lim x f x f x f x . 1 1 ( ) 7 ( ) 2 5 limx x f x f x 264) 2 ( ) 1 3 2lim x f x x , 2 ( ) 2 2lim v v x x f x x . 265) , : f g , 0 ( ) 1 3lim x f x x 0 ( ) 2 1lim x g x x , : . 0 ( )limx f x . 0 ( )limx g x . 2 0 ( ) ( ) 4 lim x f x g x x x x 266) , : f g 2 2 ( ) 2 ( ) 4 12 2 5 3 lim x f x x g x x x 2 2 ( ) 2 ( ) 2 8 2 2 lim x f x x g x x x x . , , 2 ( )limx f x 2 ( )limx g x .
24. 24. - 2 - 22 - 267) , : f g . 2 1 ( ) 5 3 2lim x f x x x 2 1 ( ) 1 2 1 lim x g x x x , 1 ( ) ( )lim x f x g x . 268) , : f g 2 3 ( ) 7 4 6lim x f x x 3 ( ) 2 1 2lim x g x x . 3 ( ) ( )limx f x g x . 269) a 3 2 2 2 7 8 16 26lim x ax a x x a . 270) , 2 2 1 2 5 3 2lim x x x x x . 271) 2 1 4 5 1lim x ax x x , a . 272) 2 2 3 5 ( ) 2 ax x f x x , , a 2 ( ) 6lim x f x . 273) , a , : . 3 2 2 1 2 3 8 1 21lim x a x x x x . 3 2 2 1 1 2 2limx a x x x x . 2 2 | 1| | 3| 4 6 3 2lim x a x x x x 274) , a , 2 2 5 5 2 3lim x x ax x . 275) 10 15 5 ( ) 1 ax x f x x , , a 1 ( ) 20lim x f x . 276) 3 2 2 ( ) 3 2 x ax x f x x x , a , 1 ( ) 2lim x f x . a 1 ( ) 2 1lim x f x x . 277) 3 2 1 3 1lim x x x a x , . . a . . . 278) a 2 2 5 3 ( ) 9 x a x a f x x 0 3x . a 3 ( )limx f x . 279) , a , 2 2 2 2 ( ) 1 ax x f x x , 0 1x , 1. 280) 2 2 , 1 ( ) 2 , 1 ax x f x x x a x . , a , fC 2 , 2 1 ( )limx f x . 281) 3 2 , 2 2 ( ) 8 , 2 2 ax x x f x x x x , , a , f 0 2x . 282) 2 2 2 , 1 ( ) 3 1 , 1 2 2 , 2 x ax x f x x x x x a x . , a , 1 ( )limx f x 2 ( )limx f x .
25. 25. - 2 - 23 - 283) , a , 4 ( )limx f x , 2 2 , 4 ( ) 2 2 , 4 x a x f x x x x x . 284) 2 2 2 , 1 ( ) , 1 1 x ax a x f x ax x x x . , , a fC y y 2 1 ( )limx f x . 285) m , 1 ( )limx f x , 3 1 10 , 1 31( ) 1 , 1 1 m x x x xf x x x x . 286) 2 2 ( ) 2 a x x f x x , a , 2 ( )limx f x . a , 2 ( )limx f x . 287) 2 ( ) 3 x ax f x x , a , 3 ( )limx f x . a , 3 ( )limx f x . 288) 2 2 2 1 ( ) 3 x a x a f x x a , 3 ( )lim x f x . : . a , . 2 2 3 2 ( ) 50 ( ) 6 ( ) 5lim x f x f x f x . 289) f , g 2 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 f x g x g x g x 2 ( ) 0lim x g x . 2 ( )limx f x . 290) f , g 2 | ( ) ( ) | f x g x x 0 ( ) 0lim x g x . 0 ( )limx f x . 291) 2 2 3 ( ) 1 4 x x x f x x , 1x , 1 ( )limx f x . 292) 3 5 3 1 1 ( ) 2 4 x x x f x , 0x , 1 ( )limx f x . 293) 2 ( )limx f x , x , 4 1 3 2 ( ) 4 7 12 x x f x x . 294) 2 2 | 1| ( ) 2 2 3 x f x x x x , x , 1 ( )limx f x . 295) 2 ( ) 5 3 4 f x x , x , 2 ( )limx f x . 296) 2 2 5 ( ) 2 x x f x x , x , 0 ( )limx f x 0 ( ) limx f x x . 297) : f 2 ( ) ( ) 2 3 xf x f x x x , x 1 ( )limx f x . 1 ( )limx f x . 298) : f 2 2 2 7 5 ( ) 4 x x f x x x , 2 , 6x . : . 3 ( )limx f x . 3 ( ) 2 3lim x f x x
26. 26. - 2 - 24 - 299) : f 2 2 3 ( ) 3 x x f x x x , x . 2 0 ( ) (0) 3lim x f x f x x . 300) : f 2 ( ) 12 3 22 x x f x x , x : . 1 ( )limx f x . 1 ( ) (1) 1lim x f x f x 301) : f 2 ( ) 2f x x , x . : . 0 ( )limx f x . 0 ( ) 4 lim x f x x x 302) : f 2 2 ( ) 2 ( ) 4 4 4 xf x f x x x x , x . 2 ( )limx f x . 303) : f 2 2( ) 6 ( ) 3 3 f x xf x x x x , 3 x . 0 ( )limx f x . 304) : f 2 ( ) 6 ( )f x xf x , x . 0 ( )limx f x . 305) : f 2 ( ) 3 xf x x x , x 0 ( )limx f x . : . 0 ( )limx f x . 2 0 ( ) 3 ( ) 1 ( ) 4 ( ) 1 2 lim x f x f x f x f x 306) , : f g 0 2 2 ( ) ( ) 0lim x x f x g x , 0 0 ( ) ( ) 0lim lim x x x x f x g x . 307) , : f g 0 ( ) ( ) 0lim x x f x g x 0 ( ) ( ) 0lim x x f x g x , : . 0 2 2 ( ) ( ) 0lim x x f x g x . 0 0 ( ) ( ) 0lim lim x x x x f x g x 308) f ( ) ( 3)f x f x , x 2 [ ( ) 2 5] 4lim x f x x , 1 ( )limx f x . 309) f 2 [ ( ) 3 4] 5lim x f x x , 2 ( )limx f x . 310) f ( ) f a x f x x , x [2 ( ) 2 ] 1lim x a f x x a , 0 ( )limx f x . 311) f 2 ( ) 3lim x f x , 4 2 2lim x f x f x . 312) : f 2 3 ( ) 2 9lim x f x x x . : . 3 ( )limx f x . 3 ( )limx f x 313) : 0 , f ( ) ( ) f xy f x f y , , 0x y 1 ( ) 1 1lim x f x x . a , ( ) ( ) lim x a xf x af a x a . 314) :f 3 ( ) 3 2 3limx f x x 3 3 ( ) ( ) 40 3limx f x af x x , ,a . : . 3 ( )limx f x . ,a
27. 27. - 2 - 25 - 315) : *f 2 ( ) 4 2limx f x x . g 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( )4 4 f x f x g x x f xx x 2x . , , : . 2 ( )limx f x . 2 ( )limx g x 316) f ( ) ( ) f x y f x f y xy , , x y 0 ( ) 0lim x f x , 0 0( ) ( )lim x x f x f x . 317) ( ) ( ) f x y f x f y xy , , x y 0 ( ) 1 1lim x f x x , 2 1 ( ) (1) 1lim x x f x f x . 318) : f ( ) ( ) f x y f x f y xy , , x y 0 ( ) 4lim x f x x . ( ) ( ) lim x a f x f a x a , a . 319) : 0 , f ( ) ( ) f xy f x f y , , 0x y 1 ( ) 0lim x f x . : . (1) 0f . . 0 0( ) ( )lim x x f x f x , 0 0x 0 1x . 320) : 0 , f ( ) ( ) f x y f x f y , , x y 0 ( ) 1lim x f x . : . (0) 1f . . 0 0( ) ( )lim x x f x f x , 0 x . 321) : . 0 6 1lim x x x . 2 4 3 2 lim x x x . 2 2 3lim x x x x . 2 1 lim x x x . 3 0 lim x x x x . 3 0 lim x x x x 322) : . 2 0 lim x x x x . 0 4 2 lim x x x . 2 0 9 3 lim x x x x x . 2 0 4 2 lim x x x x . 2 2 0 9 3 lim x x x x . 2 0 4 2 lim x x x x x 323) : . 0 limx x x . 0 limx x x . 2 0 1 lim x x x . 2 0 1 2 limx x x . 2 1lim x x x . 2 2 2 0 1 4 2 lim x x x x . 2 0 1 lim x x x . 2 1 1lim x x x 324) : . 0 1 1lim x x x x x . 2 0 1 limx x x x . 2 0 4 4 3lim x x x x x 325) : . 3 5 3 0 2lim x x x x . 3 0 1 lim x x x x . 2 2 0 2 1 lim x x x x 326) : . 0 limx ax x . 0 limx ax x , 0a . 0 limx ax x , 0a
28. 28. - 2 - 26 - 327) : . 0 3 limx x x . 0 4 limx x x . 2 2 0 5 limx x x . 0 9 3limx x x . 0 4 5limx x x . 0 3 5 lim x x x x 328) : . 0 9 3 4lim x x x . 0 2 lim x x x x . 2009 1972 0 limx x x . 0 3 4 2 lim x x x . 2 2 0 limx x x . 3 3 0 2 lim x x x x x 329) lim x a x a x a . 330) : . lim x x x . 1 1 1 lim x x x . 3 2 1 1 2 1 2lim x x x x x . 2 2 lim x x x . 4 4 lim x x x x . 2 2lim x x x 331) : . 0 2 3lim x x x x x . 2 3 2 0 3 5 5 1 lim x x x x x x . 0 2 5lim x x x x x . 2 0 2 lim x x x x x . 2 2 2 0 2 3lim x x x x x x . 3 4 2 2 0 3 4 lim x x x x x 332) 2 2 , 0 1 1( ) 5 9 , 0 3 4 x x x x xf x x x x x x . , , 0 ( )limx f x . 333) 3 2 3 , 0 ( ) 3 3 5 , 0 3 x x x x f x x x x x x x x . , , 0 ( )limx f x . 334) 0 2 ... lim x x x vx x , v , 3v . 335) : f 0 ( ) 6 1 1 lim x f x x x . : . 0 ( )limx f x . 0 ( ) limx f x x . 2 2 0 ( ) 4 2 lim x xf x x x 336) : f 0 ( ) 3lim x xf x x x . : . 0 ( )limx f x . 2 0 ( ) 3 lim x xf x x x x 337) : f 0 ( ) 2lim x f x x . : . 0 ( )limx f x . 0 5 6 3lim x f x x x x 338) : f 2 0 ( ) 3 2lim x f x x x x . : . 0 ( ) limx f x x . 0 2 1 1 5lim x f x x x 339) : f 2 0 ( ) 5 4 2lim x f x x x x . : . 0 ( ) limx f x x . 2 0 ( ) 3 1 1 lim x f x x x x x x
29. 29. - 2 - 27 - 340) , : f g 0 ( ) 2 5lim x f x x x 0 ( ) 7 3lim x g x x x . : . 0 ( )limx f x 0 ( )limx g x . 2 0 ( ) ( ) 3 1lim x f x g x x x 341) a , : . 2 0 2 3lim x x ax x . 0 3 4 1 5lim x x a x x 342) f 0 ( ) 1lim x f x x , 2 2 0 2 ( ) 3 2lim x xf x f x x x x . 343) : f 1 1 ( ) 1 2 21 lim x x f x x . : . 1 ( )limx f x . 1 ( ) 1 1lim x f x x 344) : f 0 ( ) lim x f x x . : . 0 limx f x x . 0 2 ( ) lim x f x f x x 345) : f ( ) ( ) f x y f x f y x y , , x y , (0) 0f 0 ( ) 1 0lim x f x x . ( ) ( ) lim x a f x f a x a , a . 346) : . 0 1 limx x x . 3 0 5 limx x x . 2 0 1 limx x x . 2 0 1 3lim x x x x . 2 0 1 3 2lim x x x . 2 0 1 1 1 lim x x xx 347) : . 0 1 lim x x x . 2 0 1 lim x x x x . 0 1 lim x x x x x 348) 2 3 5 3 ( ) 3 x x f x x x , x , 0 ( )limx f x 0 ( ) limx f x x . 349) : f , x , 2 | | ( ) 2 | | x x x f x x x x . : . (0)f . 0 ( )limx f x . 0 ( ) limx f x x 350) 2 ( ) 1 2 1 f x x x x , : . 1 ( ) (1)lim x f x f . 1 ( ) (1) 1 1lim x f x f x 351) : f , ( ) 3 f x x x x , x . : . 0 ( ) limx f x x . 0 5 3limx f x x 352) : f x , 2 ( ) 3 f x x x x , : . 0 ( )limx f x . 0 6 2 ( )lim x x x xf x x 353) 41 ( ) f x x x x , 1 1 , 0 0 , 2 2 x , 0 ( )limx f x . 354) 2 21 ( ) xf x x x x , * x , 0 ( )lim x f x .