ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

3.1 Α' ΟΜΑΔΑΣ

1. Έχουμε:

i) | ( * 3 + η μ τ + σ υ ν χ ) < & = | χ 3 ί ώ ^ \$xdx+ j συνχάχ

χ4

= — -συνχ + ημχ+c

ii) j* * + x + ^dx = jxrfx+jidx + j"-?-£&·

x2

= — + x + ln| x\+c 2

hi r 2

iii) ^3x-jxdx = 'i^x1dx='i^— + c = — x2 +c

2 + 1

iv) j^-^~-dx= jx2dx + 2jxdx+j4dx

x 3 2 =—+x +4x+c

3

v) [ f e x + <τυν2χ jdx = fe'dx - 3 j — + ^mn2xdx

- ί :xdx~ 3 j j (ημ2χ) ' ί&

= e* -31η |χ | + -ίημ2χ·+Γ.

3 , 1

vi) "I συν2* συν2* dx - j - w -J συν χ J nix συν χ

= εφ*+σφχ+c

ημ2χ dx

. f χ + 3 Γ x + 2 + l Γ ι j Γ νιι) ι dx = dx = life + J x + 2 j x + 2 J J x + 2

= x+ln |x + 2| + c.

dx

x + 2

2. Επειδή J f\x)dx = f(x)+c, έχουμε διαδοχικά

\—j=dx = f(x)+c J y/x 1 _l Jx 1dx = f ( x ) + c

• = f ( x ) + c,

f ( x ) = 2-Jx - c.

Επειδή /(9) = 1, έχουμε 2-j9-c = l , οπότε c - 5. Επομένως

/(*) = l J x - 5 .

3. Επειδή J f"(x)dx = f ' ( x ) + c, έχουμε διαδοχικά:

J* 3c/xr = / ' ( x ) + c ,

f \ x ) = 3x-c.

Επειδή /'(1) = 6 έχουμε 3 - c = 6, οπότε c = -3. Επομένως

/ ' ( * ) = 3*+3.

Επειδή J f\x)dx = / ( x ) + c , έχουμε διαδοχικά:

j" (3JC + 3)c6c = f ( x ) + c

3 / ( x ) ~~^ χ 1 + 3 x - c .

3 Επειδή /(0) = 4 έχουμε —-0 + 3-0-c, = 4, οπότε c, = Επομένως

/ ' ( * ) = +3x + 4 .

284

3 j

4. Έχουμε διαδοχικά:

j f " ( x ) d x = f'(x)+c

J ( I2x2 + 2)dx = f\x)+c

4x3+2 X = /'(X) + C,

/ ' ( x ) = 4 x 3 +2x-c .

Επειδή

/'(1) = 3, έχουμε 4 + 2 - c = 3, οπότε c = 3. Επομένως

/ ' (χ ) = 4x3 + 2x-3 .

Επίσης έχουμε διαδοχικά

J/'(x)<fr = /(x) + c,

J(4x3+2x-3)<& = /(x) + c,

Χ4 +x2 - 3 Χ = / (x) + c,,

/ ( χ ) = χ4 +χ2 - 3 x - c , .

Επειδή το Λ(1,1) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της / , έ-χουμε:

/(1) = 1 <=> 1 + 1 - 3 - c , =1<=>C, = - 2 . Επομένως

/ (χ ) = χ4 +x2 - 3 χ + 2 .

1 — 5. Επειδή N'(t) = ~ e 20» έχουμε διαδοχικά

jN'(t)dt = N(t)+c

f—e"20dt = N(t) + c J 20

e"20 = N(t)+c

N(t) = e"20 -c

Επομένως, η αύξηση του πληθυσμού στα πρώτα 60 λεπτά, είναι ίση με:

ν(60)~ ν(0) = (e 6 0 ' 2 0 -c) - (e°-c) = e3 —1 = 19 εκατομ.

2 8 5

—

6. Αν Κ(χ) το κόστος, σε ευρώ, της εβδομαδιαίας παραγωγής χ, τότε

Κ'(χ) = χ2 +5χ, οπότε έχουμε

jK'(x)dx = K(x)+c

ή

J ( x 2 + 5 x)dx = K(x)+c,

οπότε

χ * 3 5 2 Κ(χ) = — Η—χ —c. 3 2

Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε ΑΓ(0) = 100, οπότε - c = 100 και άρα c = -100. Επομένως, η συνάρτηση κόστους της ε-βδομαδιαίας παραγωγής είναι:

χ3 5χ2

Κ(χ) = —+—+100. w 3 2

7. Έχουμε διαδοχικά: jR'(t)dt = R(t)+c

| ^ 2 0 + 1 0 / - | i j j ^ = i?(0 + c ,

Λ(/) = 2 0 / + 5 ί 2 — ^ / 3 - c .

, 1 λ Προφανώς Λ(0) = 0 , οπότε c- 0 και άρα R(t) = 20t+5t -—t . 4

Επομένως τα βαρέλια που θα αντληθούν στους πρώτους 8 μήνες εί-ναι:

Λ(8) = 20-8 + 5-82 - - 8 3 =160+5-82 - 2 - 8 2 = 352χιλιάδες. 4

3 . 1 β ' ο μ α δ α σ

1. Επειδή T'(t) = -kae'h, έχουμε διαδοχικά:

J T\t)dt = T(t)+c

j-kae~h dt =T(t)+c

aj(et'Ydt = T(t)+c,

286

T(t) = ae b - c .

Επειδή Γ(0)+α και Τ(0) = αε~^-c = a-c, έχουμε

Επομένως

2. Έχουμε διαδοχικά

T0+a = a - c o c = -TQ.

T(t) = ae~k> +Τ0.

jp'(x)dx = P(x) + c

χ J 5 8 e ~ ™ ° d x = P(x) + c

χ 5,8 · (-2000) j(e )'dx = P(x) + c

P(x) = -11.600e 2000 - c .

To συνολικό κέρδος που οφείλεται στην αύξηση της επένδυσης από 4.000.000 σε 6.000.000 είναι:

6 0 0 0 4 0 0 0

Ρ(6000)-/"(4000) = -11600^2°°° - c + 11600e_2™ +c

e - l N

= 11600(e — e ) = 11600 — \ e /

= 11600 · 0,086 = 997,6 χιλιάδες ευρώ

= 997.600 ευρώ

3. Έστω P(t) το κέρδος της εταιρείας στις πρώτες ί ημέρες. Τότε

Ρ(ί) = Ε(ί)-Κ(ί),

οπότε

P'(t) = £ ' ( / ) - Κ'(/) = 1000 + 0,31 - 800 + 0 ,6t = 200 + 0,91.

Έτσι έχουμε διαδοχικά: \p'(t)dt =P(t) + c

J (200 + 0 , 9 t ) d t = P { t ) + c

P(t) = 200/ + 0,9 — + c.. 2 1

To συνολικό κέρδος της εταιρείας από την 3η έως την 6η ημέρα εί-ναι:

287

P(6) - P(2) = 200 · 6 + 0 , 9 ~+ c, - 200 · 2 - 0,9 y - c,

= 1216,2-401,8 = 814,4 ευρώ.

4. i) Από την ισότητα /" (x ) = g"(x) έχουμε διαδοχικά

/ ' ( * ) = g ' w + c ,

/ ( x ) = g ( x ) + c , x + c 2 . (1)

Για x = 0 είναι / ( 0 ) = g ( 0 ) + 0 + c 2 , οπότε c2 = 0 , αφού / ( 0 ) = g(0). Επομένως

/ ( * ) = g ( * ) + c , * · (2)

Για x = l , από την (2), έχουμε /(1) = ^(1 )+^ , οπότε c, =1 , αφού

/ (1) = ^(1) + 1. Έτσι από τη (2) προκύπτει

/(*) = £(*)+*

i i )H / ( χ ) είναι συνεχής στο [α, και ισχύει

/ ( α ) = # (α )+α = 0 + α = α < 0

ί(β)=Ε(β) + β = 0 + β = β>0.

Άρα, / ( α ) / ( / ? ) < 0 , οπότε, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρ-χει τουλάχιστον μία ρίζα στο (α, β).

3 . 2 Α ' Ο Μ Α Α Α Σ

1. Έχουμε

i) Jx 2e~*c/x=-Jx 2 (e *)'</χ

= -x2e~" + j 2xe~" dx =-χ2 e-2Jx(e~*)'<&:

= -x 2 e~* -2xe~ x + 2f e~"dx = -x2e'x -2xe~x -2e~x +c

=—e x (x2 + 2x + 2) + c .

ii) J(3x2 - 2 x + l)e2'ii«: = -i-J(3x2 - 2 x + l)(e2x)'(fe

288

= I ( 3 x 2 - 2x + l ) e 2 ' - - J ( 6 x - 2 ) e 2 j t < £ c

= | (3x2 - 2x + \)e2x - i J (6* - 2)(e2jI ) 'Λ

= - ( 3 x 2 - 2 x + l ) e 2 * - - ( 6 x - 2 ) < ? 2 * + - f 6 e 2 * < £ t 2 4 4 J

= - e 2 * ( 6 x 2 - 4 x + 2 - 6 x + 2 ) + - < ? 2 j t +c 4 4

= i - e 2 * ( 6 x 2 - 1 0 x + 7 ) + c

i

i i i ) J x 3 l n x i £ c = f i x a t e

χ 4 f χ4

= — l n x - J — ( l n x ) ' i £ c

= i x 4 l n x — - f x*dx = — x 4 l n x - — + c 4 4 J 4 1 6

iv) [2χ2ημ2χ£& = Jx2(ow2x)'dx:

= - χ 2 συν2χ+J 2xai)v2xiir

= -χ2συν2χ + J χ(ημ2χ)'ύί»τ

= - χ 2 συν2χ + χημ2χ - J ημ2χί£τ

= - χ 2 σ υ ν 2 χ + χ η μ 2 χ + j συν2χ+c

= ^ - χ 2 + ^ σ υ ν 2 χ + χημ2χ + ί .

ν) |4χσυν2χ<& = |2χ·(ημ2χ)'6ίτ

= 2χημ2χ - J 2ημ2χί&

= 2 χ η μ 2 χ + σ υ ν 2 χ + ε

2 8 9

. . / , -- - -----*****

+c

vi) J In xdx = J" (x)' In xdx

= χ In x - J \dx = χ In χ - x + c

,") ί ^ Λ = " ί ( ί ) ω -

viii) I = Je*ouv2x<fc = e x ouv2x+2j β"ι\μ2xdx

= εχσυν2χ+2β*ι\μ2χ-4^ e'amlxdx.

Άρα

I = ez (συν2χ+2ημ2χ) - 41

51 = e* (συν2χ+2ημ2χ)

I =^e* (ouv2x+2ημ2χ)+c .

2. ϊ)Θέτουμε u = 3x, οπότε du = 3dx και άρα dx=~du. Επομένως,

J x\y&xdx =—J x\\mdu = — i ouvu+c = - — < j w 3 x + c

Η)θέτουμε « = 4 χ 2 - 1 6 χ + 7 , οπότε du = (8x-16)<& = 8 (χ -2 )ώ: . Ε-πομένως

* J (4x 2 -16x+7) 3 (x -2 )<fc = | j V < f o = i ^ - + c

= — ( 4 x 2 - 1 6 x + 7 ) 4 + c . 32

ϊϊϊ)Θέτουμε u = x + 6x, οπότε du = (2x+6)(fr = 2(x+3)a!r. Επομένως,

f * + 3 dx = ±{^-=±{u*d«=*-^+c J (x2 +6x) 4 2 J m4 2J 2 - 3

1 1 - 1 = — - + C = r r + C .

6 u 6(x +6x)

iv) θέτουμε κ = 2 + χ , οπότε du = 3x dx. Επομένως,

290

Γ χ2 , If du 1 f 4 j 2 χ 2 3 r I -dr = — Ι —— = — I u 2du = — u2 +c = — (2 + x )2

l y f c S 3 J ^ 3 J 3 3 +c .

ν) Θέτουμε a = x + l , οπότε du = dx και x = u-1. Επομένως,

J x-Jx+ldx = J (u-\)-Judu = Ji/2du-ju2du

2 \ 2 \ = — a a 2 +c 5 3

: 2 j # 2 [ j i / - i | + c

2 -= — (x+l ) 2 (3x-2) + c.

3. i) Θέτουμε a = ex, οπότε du = e'dx. Επομένως,

| β*ημ£*£& = J x\\utdu = -συν« +c = -σονex+c

ii) θέτουμε a = ex +1, οπότε du = e'dx. Επομένως,

J — - d ! r = J — = ln| a |+c = ln(e* + l )+c .

iii) θέτουμε u = In χ, οπότε du=—dx. Επομένως, χ

ι

+c f * f * j w l n x ' va •» j 2

= 2-Ja+c = 2->/lnx + c.

ίν) θέτουμε a = ln(e* +1), οπότε du = dx. Επομένως, e' +1

f dx = f — = ln |a | + c J (<?*+1)1η(έ!*+1) J u

= ln|ln(e* +1) | + c

= 1η(1η(?χ +l ) )+c

291

αφού ln(ex+1)>1η1 = 0 .

ν) Θέτουμε u- — , οπότε du = —\-dx. Επομένως, χ χ

j i ' .

J - ~ d x - - j T\\mdu = συν« + c = συν—ι-c

3 . 2 Β ' Ο Μ Α Δ Α Σ

1. i) Θέτουμε κ = 1 + συν 2χ, οπότε du = -2ημχσυνχ£&· ή du = -ημ2χί&. Επομένως,

J 1 + συν χ J u

ii) Θέτουμε u = Ιη(συνχ), οπότε du = - dx = -εφχάχ. Επομένως, συνχ

| εφχ 1η(συνχ)ώ· = - J udu = - — + c = -—[1η(συνχ)]2 + c

iii) Θέτουμε u =ημχ , οπότε du - crovxdx. Επομένως, t

J awxe^dx = |e"du =e" +c = βημι +c .

, x 3 + 1 , , 3x 2 - x 3 - 3 X 2 ( X 3 +1) , - 3 2. ι) Θετού με u=——, οπότε du = — -dx = ——dx. X 3 X 6 X 4

Επομένως,

: = - ^ j y f u d u =~—ju2du il x 3 + ] 1 dx :

x3 x4 3J 3

x3 +1 i+i , · 2

1 u2 1 u2 __2

3 1 + i + c ~ 3 2 + c ~ * 2 2

x3 + c .

x2 +1 , οπότε du = — Jr= dr Επο-2 Vx2 +1 Vx 2 +1

μενως,

292

ί , Χ dx- ί du = u+c = -Jx2 +1 +c . J ^!s7ϊ J

iii) Θέτουμε u = x2 +1, οπότε du = 2xdx, οπότε έχουμε

j" * ln(x2 + l)ifc = -j | In udu = -ί j" (u) 'In udu

= — u l n u - — f du 2 2 J

= -^u I n « - · ί « +c = i ( x 2 + l)ln(x2 + l ) - i ( x 2 +l) + c .

3. i) Έχουμε:

! -2 Inx 2 dx= I | — I lnx2ife

, 3 « —Inje1 - f——Vu') '<fr

3 1 3 x>

1 31 2 2 f j x3 lnx2 2 , = — x lnx — \ χ dx = χ-+c 3 3 J 3 9

* V . , 2 = T lnx " I +c·

ii) Έχουμε

J(In/)2 dt = j(/)'(ln/)2 dt = /(In/)2 - J/2 \nt(\nt)'dt

= /(In/)2 - 2 j In t d t = /(In/)2 -2j( / )"1η/Λ

= /(ln/)2 - 2 i l n / + 2 j / - r f /

= /(ln/)2 - 2 / l n / + 2/ + c

iii) Θέτουμε u = ex, οπότε du = e'dx. Επομένως

| e2x<m\exdx = J exavvexexdx = J umvudu

= J u{y\ym)'du = ιn\\iu - J T\\wdu

293

= «ημ« + συν« +c = e'mae* +mve* +c .

4. i) Έχουμε

ημχ r (συν*)' f εφχί/χ = f —— dx = - f J J mivr J

rfr συνχ J συνχ

= — In i συνχ I + c

και x

συν'χ J — - γ -dx = |χ(εφχ)'ί£τ = χεφχ - j εφχόχ

= χεφχ + ln | συνχ j +c, .

ii) Θέτουμε u = ημχ , οπότε du = συνχώτ. Επομένως,

Γ συνχ Γ du 1 1 —τ-άχ = — =—+c = + c. i ημ χ J w u ημχ

Επίσης έχουμε

Γ1 + συνχ r 1 , Γ συνχ , ———ί/χ= — — dx + —— dx J ημ χ J ημ χ J ημ χ

1 = -σφχ 1- c . ημχ

ίίί)Έχουμε

| ημ3χκ/χ = J ημ2χημ«/χ = J (1- συν2χ)ημχ</χ.

Θέτουμε u = συνχ, οπότε du = -\]^ixdx. Επομένως,

| ημ,χί/χ = -|(1-Μ2)βί« = ju2du-jldu

u3 συν2χ = u+c = συνχ + c . 3 3

Επίσης έχουμε

J συν3 xdx = J συν2 xcruvxc/x = J (1 - η μ2 x)ouvx<fr.

Θέτουμε u =ημχ , οπότε du = συνχώτ. Επομένως,

j συν'χί/χ = J( l -! /2)f /« = u- — + c = η μ χ - ^ * +c

294

5. Έχουμε

i) ^χ\μ2χάχ= J-—

1 1 -, = — χ — ημ2χ + 6· 2 4

ί, f l + <n>v2x 1 1 συν xdx = dx = — x + — ημζΛτ + c J 2 2 4

iii) ^τ\μ2χσυν2χάχ = ~ [ημ22χ<&

-dx

4

ί f l -συν4χ

= I x - I ί« 8 8 J

2

συν4χί&

1 1 >. —χ ημ4χ + ο . 8 32

6. Έχουμε

i) j ημχσυ\'2χώ· = ^ | [ η μ ( - χ ) + ημ3χ]ίΛτ

= ——j" ημχί/χ + γ j" \\\iixdx

1 1 = — συνχ — συν3χ + c 2 6

ϋ ) ί σΐ)ν3χσυν5χώτ = γ J (συν2χ + συν8χ)ί/χ

= — ί συν2χί/χ + — ί συν8χί/χ 2 J 2 J

1 -, 1 ο = — ημ2χ + — ημδχ + c 4 16

iii) j" ημ2χημ4χί£τ = -ί |" (συν2χ-συν6x)dx

1 , 1 , = —ηιι2χ ημόχ + c . 4 12

295

7. i) Έχουμε:

f 2x-3 , Γ(χ2-3χ+2)', , , —; ~ d x = — j <fc = ln x -3x+2\+c.

J χ -3x+2 J χ -3x + 2 1

ii) Έχουμε:

3x + 2 3x + 2 —5 = , x s R - f l , 2}. x 2 - 3 x + 2 ( x - l ) ( x - 2 ) x '

Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Λ, Β έτσι ώστε:

3χ + 2 Α Β -+ - , για κάθε x e R - { l , 2 } .

( x - l ) ( x - 2 ) x-l χ-2

Με απαλοιφή παρανομαστών έχουμε τελικά:

(Α + Β)χ-(2Α + Β) = 3χ + 2, γ ι α κάθε xeR-{l,2} ( 1 )

Η (1) ισχύει για κάθε χ e IR -{1,2}, αν και μόνο αν

Α + Β = 3 „ , Α = —5 και Β = 8 .

r 2 A - B = 2

Επομένως

J χ -3χ + 2 J x - l J χ-2

= —5 In I x - l | + 8 1 n | x - 2 | + c .

iii) Από τη διαίρεση (x 3 -2x) : (x 2 +3χ+2) βρίσκουμε:

χ3 -2χ = (χ2 + 3x + 2)(x-3) + 5x+6 οποτε

χ3-2χ „ 5χ+6 = * ~ 3 + 2 , . , . ( ό χ2+3χ+2 Χ2 +3Χ + 2

Εξάλλου έχουμε:

5x + 6 5χ + 6 χ2 -3χ+2 ( x + l ) (x + 2)

Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Λ, Β έτσι, ώστε

5χ + 6 Α Β - — — — — = - + για κάθε x e l R - { - l , - 2 } . (x + l)(x + 2) χ + 1 χ+2

Με απαλοιφή παρανομαστών, έχουμε τελικά

296

(Α + Β)Χ+2Α + Β = 5Χ+6. ( 2 )

Η (2) ισχύει για κάθε x e R - { - l , - 2 } , αν και μόνο αν

Α + Β = 5 ο Α = 1 και Β = 4 . 2Α + Β = 6

Επομένως λόγω και της (1) έχουμε:

\j?-z2^dx=\{x-3)dx+\—+\-^—dx J χ1 + 3x+2 J J * + 1 J x + 2

χ 1

= — - 3 x + l n | x + l | + 4 1 n | x + 2 | + c .

iv) Έχουμε

—-— = για κάθε x e R - { l , - l } . χ — 1 x - l x+1

Με απαλοιφή παρονομαστών έχουμε

(α + β)χ+α-β = 2. (1)

Η (1) ισχύει για κάθε x e R - {L, - 1 } , αν και μόνο αν

[Α+Β = 0 <=>/1 = 1 και Β = - 1 .

Α-Β = 2

Επομένως, έχουμε

f 2 dx= \-^—dx- f — - d x = l n | x - l | - l n | x + l| + < J x J - l x - l J x + 1

3 . 3 Α ' Ο Μ Α Δ Α Σ

1. i) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά:

dx

— = -Axdx. y

ί ^ - - 4 ί " λ

297

ii) Η εξίσωση γράφεται

= -2χ2 +c, y

ι y = ~ i , c e R . 2 χ +c

dy y — = χ dx

ydy = xdx.

J ydy = J xdx

y1 x2 — = — + c . 2 2 1

y 2 = x2 +2 c.

y j - χ2 = c ,

y = Vc+x2 , αφού y > 0 ( c e R ) .

iii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά:

— — = 2

xy dx

— = 2xctc. y

2xdx i M 7

l n | y | = x 2 +c,

Ι I | y | = e

\y\=e«e*

y = ±ec' ex*

y = ce*2, όπου c = ±e*•

298

iv) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά:

dy — = e ^συνχ dx

e"dy = συνχάχ

j ey dy = j avvxdx

e" = ημχτ+c

^ = 1η(ημχ + ο), c e R

2. i) Μία παράγουσα της a(x) = 2 είναι η Α(χ) = 2χ. Πολλαπλασιά-

ζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με e2x και έχουμε διαδοχικά:

y'e2x + 2e2x y = 3e2x

(ye2x)' = 3e2x

j(ye2x)'dx=j3e2xdx

ye2x =-e2x+c

2 3

y = — + ce'2x, c e R . 2

ίί)Μία παράγουσα της «(x) = 2 είναι η A(x) = 2x. Πολλαπλασιά-

ζουμε με e2* οπότε έχουμε διαδοχικά

y'e2x + 2 ye2x =ex

(ye2x)' = ex

j ( y e 2 x ) ' d x = j exdx

ye2x =ex+c

y = e~x +ce~2x , c e R .

iii)Mia παράγουσα της a(x) = l είναι η A(x) = x. Πολλαπλασιάζου-

με με e*, οπότε έχουμε διαδοχικά

y'ex +yex =ex ·2χ

(yex)' = 2e'x

299

'Κ·ί·:·χ·:·χ

j(ye')'dx = 2je' -xdx

ye* +c, =2xe* -2Je'dx

ye' = 2xe" -2ex +c

y = 2x-2+ce~', c e R .

iv) Μία παράγουσα της a(x) = 2x είναι η A(x) = χ 2 . Πολλαπλασιά-

ζουμε e ' ' , οπότε έχουμε διαδοχικά

y'e'2 +2 xe'2y = xexI

(ye'2)' = xe'2

2 f 2 ye' +c, = I xe' dx

x1 1 *2 ye = —e +c

2

y =—+ce , ce lR. 2

3. Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά:

^ = 2 * v dx

%=2 x2dx y

jy~2dy = ijxIdx

1 2 3 = — x +c. y 3

1 _ 2x3 + 3c, y 3

-3

-3 Επειδή y(0) = - 3 , έχουμε — = - 3 , οπότε c = 1. Άρα c

300

-3 y = 2x3 +1

4. Η εξίσωση γράφεται y' + 3y~2. Μια παράγουσα της α(χ) = 3 είναι η Α(χ) = 3χ, οπότε έχουμε διαδοχικά

y'e3' +3 ye3' = 2e3'

y'e3' +y(e3')' = 2e3'

(ye3')' = 2e3x

J (ye3x)'dx = 2je3"dx

ye3x = —e3' +c 7 3

2 c 1 + v 3 y=-+t,τ-

2 2 2 c 2 Επειδή y(0) = — έχουμε — =—+—-, οπότε c = 0 . Άρα y = —. 3 3 3 e 3

5. i) Μια παράγουσα της a(x) =—i-r— είναι η Α(χ) = εφχ. Πολλα-σ υ ν χ

πλασιάζουμε με c * , οπότε έχουμε διαδοχικά:

y'e^+e^—l-y= 1

συν2 χ συν2χ

(ye^y^e^ — συν2 χ

ye"* +c, = f e " " — ί — dx i συν x

ye"* + c, =je"fx (εφχ)'<&

ye- =e"x+c

y = X+ce'"^ .

Επειδή y(0) = - 3 , έχουμε - 3 = 1+c , οπότε c = - 4 . Άρα

, = 1 - 4 r .

301

ii) Επειδή x > 0 , είναι x + l > 0 , οπότε η εξίσωση γράφεται

, 1 1 . y + ν = lnx. χ+1 χ+1

Μία παράγουσα της α(χ) = —ί— είναι η Α(χ) = ln(x +1). Πολλαχλα-χ+1

σιάζουμε με β**χ*η = χ + 1 , οπότε έχουμε διαδοχικά

y - ( x + l ) + y = lnx

CKx+1))' = lnx

y(x+l)+cl = Jin xdx

y(x+l ) = x l n x - x + c

x l n x - x + c y= x+1

- 1 + c Επειδή _K1) = 10, έχουμε —-— = 10, οπότε c = 21. Επομένως

x l n x - x + 2 1 x+1

3 .3 Β ' Ο Μ Α Δ Α Σ

Ι. Μία παράγουσα της a(t) = 1 είναι η A(t) = t. Πολλαπλασιάζουμε τα

μέλη της εξίσωσης με e' και έχουμε διαδοχικά:

l\i)e' +I(t)e' = ε'ημί

(/(/)*')' = *'ημί

7(/)e' +c, = J ε'ημίίΛ (1)

Εξάλλου έχουμε

J β'ημ/ώ = «'ημ/ - J e'amvtdt

= «'ημ/ — [ϊ'συνί+J «'ημ/<//],

οποτε

2Jβ'τ\μίάί = e' (ημ/ - συν/) +c, .

302

Άρα

J ε'ι\μίάί = -ί e' (ημ/ - συν/)+c ,

οπότε από την (1) προκύπτει ότι

Για / = 0 έχουμε

I(t)e' =-^ν(ημ/-συν/)+£:.

/(0)e° = e° (ημΟ - συνθ) + c

0 = — - + c 2

1 c = —. 2

Έτσι, τελικά είναι

I(t)et = ~ e ' (ημ* - συν/)+

7(/) = ^(ημ/-<η>ν/)+^<Γ'

2. Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά:

ν2 4y ΐχ yey — = e dx

ye"* dy = e1*dx. Άρα

jye" dy = e2xdx

1 , 2 1 2, —ey =—e +c. 2 2 1

= e 7 ' +2c,

= e2* + c , c e R .

Επειδή y(2) = 2 , έχουμε e4=e4+c, οπότε c = 0 . Επομένως

e^2 = e 2 x , οπότε y 2 = 2 x και άρα y = -J2x , αφού περνάει από το ση-μείο Α(2,2).

303

3. Μία παράγουσα «(*) = — είναι η Λ(*) = -1ηχ . Πολλαπλασιάζουμε χ

- Μ , ι"- 1 , , . . με e = « * = — . οποτε εχουμε όιαόοχικα χ

, 1 1 1 y γ.ν = χ-x x χ

4 - ' 1 y— = x+c χ

y - χ2 +cx, c e R .

4. Ισχύει y' = xy, y > 0 , οπότε έχουμε διαδοχικά:

, lnv = — + c,. v > 0 2

t ' l y = e i

v = c-e 2 , c = ec' > 0 .

Εξάλλου ισχύει y(0) = 1, οπότε c = 1. Αρα

y = e 2 .

5, ι) Μία παράγουσα της a(t) = a είναι η A(t) = at, οπότε έχουμε δια-δοχικά

y'e" +ae"y = fle'"-e'

(ye" Υ = fie(a i)l

304

•••••• ···.··:

Άρα

yea,+cl = J fie^'dt

ye" =JLe<'-»'+c α-λ

β -b c y = —— e +—. α-λ e"

β 1 c y(t) = — η , ceR. a-keh e

1 c ii) Επειδή a > Ο, λ > Ο ισχύει lim — = Ο και lim — = Ο, οπότε / - > + < » g " / - > + « £» ^

lim y(t) = 0 .

6. Επειδή θ-Τ>0 η εξίσωση γράφεται διαδοχικά:

άθ • = -xdt

Εξάλλου

Άρα

Θ-Τ

r <1Θ = -tct+c, , 3 Θ-Τ

Ιη(θ-Τ) = -Kt+cl

Θ-Τ = e'"*Cl

θ(ί) = Τ+ce~", c = eC I .

θ(0) = θ0 οθ0 = Τ +c-e° <*c = 0o-T.

θ(() = Τ + (θ0-Τ)βκ'.

7. i) Έστω Ρ,(ί) ο πληθυσμός της χώρας, αν δεν υπήρχε η μετανά-στευση και P2(t) ο πληθυσμός που έχει μεταναστεύσει μέχρι τη χρονική στιγμή ί. Τότε ο πληθυσμός της χώρας είναι

P(t) = Pi(t)-P2(t) οπότε

p\f)=p;(t)-p[(t). ( ί )

305

Είναι όμως

P\(l) -k-P(t) k>Ο > 9

αφού έχουμε ρυθμό αύξησης του Ρ, (Ι) ανάλογο του P(t).

Επίσης είναι P[(t) = m, οπότε η (1) γράφεται

P'(t) = kP(t)~m, ή ισοδύναμα

P'-kP = -m

Μία παράγουσα της α(/) = -k είναι η A(t) = -kt. Πολλαπλασιάζουμε

με e~b τα μέλη της εξίσωσης, οπότε έχουμε διαδοχικά:

P'e b -ke~bΡ = -me'b

(Peby = -meb

Pe~b +c, = -mj eb dt %

Peb =—eb+c

P(t) =—+ceb . k

Επειδή P(0) = Pa, έχουμε P0 = —+c, οπότε c = P0-—. Άρα k k

• R } " · P(t) = j + \P0~\e", k>0

iii) Είναι P'(t) = (kPj -m)eb

— αν m <kP0 τότε P'(t) > 0 , οπότε ο πληθυσμός αυξάνεται.

— αν m > kP0 τότε P'(t) < 0 , οπότε ο πληθυσμός μειώνεται.

— αν m = kP0 τότε P'(t) > 0 , οπότε ο πληθυσμός είναι σταθερός.

8. ϊ) Ο όγκος του νερού της δεξαμενής τη χρονική στιγμή t είναι

V(t)=xr2y(t) = xy(t),

όπου r = 1 m η ακτίνα του κυλίνδρου, οπότε

306

V\t) = ny\t). Εξάλλου έχουμε

-a^2gy = —7Γ - 0.12 ^/20 ν = -0,02π·^5γ .

Έτσι ο νόμος του Torricelli γράφεται

πν' = -0,02nyf5y ,

ή ισοδύναμα

50 ν" (1)

ii) Προφανώς το y = 0 αποτελεί λύση της (1). Για _y>0 η εξίσωση γράφεται

f y so

οπότε έχουμε διαδοχικά:

ί ν 1 2dy = ——^-/+c J 50

2 v " * = z ^ , + c 50

m = z a t + l 100 2

y= — λ/5 c / + — 100 2

Όμως ισχύει v(0) = 36 din, οπότε 36 = | — | , συνεπώς c = 12 . Άρα

v(0 A 100

/ + 6

iii)H δεξαμενή αδειάζει τελείως, όταν y(l) = 0 Έτσι έχουμε:

3 , ( , ) = 0 « - ^ ΐ / + 6 = 0 « / = ^ = ^ ^ = 1 2 0 ^ s e c .

100 Λ /5 5

9. Η Ε = 0 αποτελεί μία προφανή λύση της διαφορικής εξίσωσης.

307

Για Ε > Ο η εξίσωση γράφεται διαδοχικά:

dE 1 RC

-dt

ln£ t+c, RC 1

E(t) = e - „ RC +c1

Εξάλλου

Αρα

E(t) = k-eRC, k = e .

»i iL E(t1) = E0 o£0 = *e « <*k = E0eKC .

h-t E(t) = E0e*c .

10. ϊ)α)Αν αντικαταστήσουμε τις τιμές των R, L και Ε, κανόνας του Kirchhoff γράφεται

4/'+12/ = 60,

ή ισοδύναμα

/ '+37 = 15. (1)

Μία παράγουσα της α(/) = 3 είναι η A(t) = 31. Πολλαπλασιάζουμε τα

μέλη (1) με e3', οπότε έχουμε διαδοχικά:

I'e3' + 3e3'/ = 15e3'

(7c3')' = 15e3'

7e3'+c, = 5 J 3e*'dt

Ie3' =5e3' + c .

β)Είναι

/(0 = 5 + - . e

lim 7(/) = lim /->+<« /->+OO ( (5+^ = 5.

308

Από την ισότητα lim 7(ί) = 5 συμπεραίνουμε ότι για «μεγάλες» τιμές /->+ΟΟ

του t η ένταση γίνεται σταθερή και η γραφική παράσταση της y = I(t) έχει ασύμπτωτη την ευθεία ^ = 5.

ii) Αν Ε = 60ημ3ί ο κανόνας του Kirchhoff γράφεται διαδοχικά:

/ ' + 37 =15Εημ3ί

I'e3' + 3e3'/ = 15£3'ημ3/

(Ie3')' = 15β3/ημ3ί

Ie3' +c, = 5j 3β3'ημ3/Λ. (2)

Θέτουμε J = J3β3'ημ3/Α, οπότε

J = | (β3')'ημ3/Λ = β3'ημ3ί -3J «3,συν3 tdt

= ε3'ημ3ί - J(e3' )'συν3 /Λ

= ε3'ημ3ί -[ε3 'συν3/+3| β3'ημ3/ί//]

= e3' (ημ3ί - συν3ί) - 3 J .

Άρα

J = — β3'(ημ3ί-συν3ί)+ίι, c ,e lR. 4

Λόγω της (2) έχουμε

Άρα

Ie3' - — «3 '(ημ3/-σον30+ε 4

/ ( 0 = 4 (ημ3/ - συν30 + 4 e

3.4 Α ' Ο Μ Α Δ Α Σ

1. Έχουμε

ί) J4 f(x)dx = -£f(x)dx = -11

309

mmgm^^mxrn

«) £ f(x)dx = £/(x)dx +f f(x)dx = - £ /(X)i£c+jj8f(x)dx = - 9 + 13 = 4

iii) | /(*)<& = £ f(x)dx+£ /(x)«ic = 9 - £/(*)<& = 9 - 1 1 = - 2

iv) £ f(x)dx = £ f{x)dx+^f(x)dx + £f(x)dx

= 11 - C'f(x)dx +13 = 24 - 9 = 15 .

2. Έχουμε

r' 1 . r1

I In - fd t = \ (In 1 - In t)dt = - j ' In /df = | ^ In tdt.

i* x* — 4 η 5 2 ^ dx- j^——~dx-3 γράφεται διαδοχικά:

γ 4 ζ ! λ + ] * _ 5 _ α β 3 J' x + 1 Ji χ + 1

γ * 2 - 4 + 5 ^ = 3 Ji χ 2 +1

j\dx = 3

( * - l ) = 3

£ = 4 .

4. Έχουμε

i ) | [ 2 / ( x ) - 6g(x)]dx = 2 | 3 f(x)dx - G^g{x)dx = 2 · 5 - 6 · ( - 2 ) = 22

") j j 2 / ( x ) - £(*)]<& = 2£/(x)<£c - j^g(x)dx

= - 2 1 /(*)<&+ |g(*)<fr

= - 2 - 5 - 2 = - 1 2 .

310

3 . 5 Α ' Ο Μ Α Δ Α Σ

1. Έχουμε

r2 i) f (3x2 - 2 x + l)<i*: = [x3 - χ 2 + x]q =[23 - 2 2 +2]—[Ο3 -Ο 2 +0] = 6

Jo

j l -j7 j l x j i λ x λ

= [lnx][ + - 1 2

= I n e - l n l - 2

l ^ x j ,

= 1 - 2 _ _ 2 •Je 1.

= 3 -

Χ Ν

iii) (συνχ - 2ημχ)ί& = (ημχ+2συνχ)Ά· = [ημχ+2συνχ],

= ημ—+2συν—-ημθ-2συν0 = 1 - 2 = - 1 2 2 '

i V ) ί ( * + χ ) < & e f ( * , + p - + 2 } f c = f * , < f r + f * " , < f c + f 2 « f c

[ τ Ι - Η «

"χ 3 " 2 ν

2

3 +

1

λ· -1

+ 2(2-1) = 1

29 6

2. Έχουμε

ι ; ! £ _ ± ^ λ + 2 | ' _ ^ _ α = ί · ί _ ± ζ ϊ α . 2 ί •" χ +5 ^χ +5 Λ χ2 +5 Λ

•2χ +7χ , „ι·2 χ χ 2 + 5

= Γ ^ τ Ή "

χ2 +5 - < & ·

χ 2 + 5 xdx = 1 - 1 - 2

2 2 2

3. Έχουμε:

311

f t l f f p f i l l f

2 f / W W * = £ 2f(x)f(x)dx = £ [ ( / ( x ) ) 2 ]'dx

=[( / (*) ) 2 ]f = ( / ( / ? ) ) 2 - ( / ( « ) ) 2 ·

4. Επειδή η γραφική παράσταση της / διέρχεται από τα σημεία (0,0) και (1,1) έχουμε / ( 0 ) = 0 και / (1) = 1. Επομένως σύμφωνα με το θε-μελιώδες θεώρημα είναι:

j/'(x)dx = [/(*)]{, = /(1) - / ( 0 ) = 1 - 0 = 1.

5. i) Θέτουμε u = συνχ, οπότε, έχουμε:

η * . ( Γ

= V 1 -συν 2 χ (συνχ)' = Vl -συν 2 χ- ( -ημχ) = -ημχ·|ημχ|.

Γσυνι9 θ

Έχουμε

r v . - a z t h - t f Y

6. i) Έχουμε:

1 + -

τγχ

mw-Jx 1 _ - c n W x λ/χ 2-Jx 2x

2x Vx2 + 1 + χ

/ , ( x ) = ( x + v x 2 +! ) ' _ 2λ/χ2 +1 _ λ / χ ^ + ϊ

χ + λ/χ2 +1 χ + λ/χ2 +1 x + Jx1 +1 vx 2 +1

ii) Αν χρησιμοποιήσουμε το ερώτημα i) έχουμε:

ί ' - 7 = = fV'(*)rfr = [/(x)]^ = /(1) - / ( 0 ) °v1 + x 0

= ln(l + λ/2 ) - ln(0 + λ/Γ) = lna+λ/2 ).

312

3 .5 Β Ο Μ Α Δ Α Σ

1. Έχουμε διαδοχικά:

d_

dx ί>« Λ ) = "έ ( χ 4 + χ 6 )

xg(x) = 4x3 +6x 5 .

Επομένως, για χ = 1 έχουμε l-g(l) = 4·13+6·15 , οπότε #(1) = 10.

2. Η / ( χ ) γράφεται:

/ ( χ ) = £ e m 2 ' a + J*+' em2"dt = - J * ¢ - ^ +J"' e^'dt,

οπότε έχουμε: __ _ συν2*χ cn)v2jr(.r+l) _ συν2«χ ^ συν(2πχ+2*)

__^Σΐ)Ν2ΧΪ _J_ <N»V2*X __ Q

Αυτό σημαίνει ότι η / ε ί ν α ι σταθερή.

3. Έχουμε:

/ ' (*) = χ - 2 _ χ - 2

και τον πίνακα

χ -οο 2 +0° / ' ( * ) - 0 +

/(*) \ . / min

Η / είναι γνησίως φθίνουσα στο (-<»,2], γνησίως αύξουσα στο [2, + οο) και παρουσιάζει ελάχιστο στο χ0 = 2 , το / ( 2 ) = 0.

4. Είναι

F'(x) = I x j 7 ( W j

= j / ( , )<ft+x/(x)

5. Έχουμε:

313

1 γ·2

F\x) = - ,-+- * l + x 1

1

1 + -

1 - = 0 . 1+χ 2 χ 2 +1

Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση F είναι σταθερή.

F(x) = e, xe (0, + αο).

Είναι όμως, F(l) = Γ — d t + Γ—ί— dt = 0. Επομένως J i l + r -Λ 1 + r

F(x) = 0, xe(0, + oo).

6. Έχουμε:

lim—· f ^5+t2 dt = lim *-»o h « *->o

+t2dt

[£h^dt

(μορφή 2 )

= lim-a-0 (/,)'

(κανόνας De L' Hospital)

= limJ5 + (2+A)2 λ-+0 *

= V9 =3.

7. i) Θέτουμε m = x 2 - 4 , οπότε du = 2xdx. Τα νέα όρια ολοκληρώσε-ως είναι Η] = 42 - 4 = 12 και u2 =62 - 4 = 32 . Επομένως,

γ * a - i r * ι " ^/x2 - 4 2 ji2 2

= Λ/32->/Ϊ2 =4λ/2-2λ/3

ϊϊ)Έχουμε: f *

121ημ(συνχ + χ)ημχ:-ημ(συνχ+χ)]£&= 12 ημ(συνχ + χ)[ημχ - l]i£c. Jo Jo

314

Θέτουμε u = συνχ+χ, οπότε du = -(ημχ - \)dx. Τα νέα όρια είναι

u, =συν() + 0 = 1 και w, = συν—+— = —. Επομένως, 1 2 2 2 2

π χ

Ρ ημ(συνχ + χ)[ημχ- \\cix = —J2 t[\iudu

η = [ouvw],2 = συν — συν1 = -συν1.

8. ϊ) Έχουμε:

£ (χ2 -1 χ -11 )ί& = £(x2 + χ - *)<& •+ £ (χ2 - χ + l)dx

Γ χ3 χ3

: + • ~Χ ί 3 2

-1 ο L

χ 3 χ 2

τ ~ί

5

·+χ

1 1 , 7 3 , = - + 1+ + 1 = 3 2 3 2 3

ii) Η /ε ίναι συνεχής στο [-π,π] οπότε έχουμε

J f(x)dx= j"° xrfr+ημτώτ = x τ

[συν]*

2 2 71 7γ = —— - (συν7Γ- συνΟ) = ——+2.

iii) Το τριώνυμο χ2 -3χ+2 έχει ρίζες τους αριθμούς 1 και 2 και το πρόσημο του φαίνεται στον πίνακα:

χ — <χ> 1 2 +αο χ2 -3χ+2

I

+ ο I ο +

Επομένως έχουμε:

£ | x 2 - 3 x + 2|e6r= |o(x2 ~'ix + 2)dx+j^ (-χ2 +3x-2)dx + f (x2-3x + 2 ) d x

~)1 —χ +2χ +! - - + - χ ' - 2 χ

3 2 3 2 * 3 , „ χ2 +2χ 3 2

1 1 3 τ! Γ 8 * , 1 3 -| + 2 + — + 6 - 4 +

3 2.

315

1 3 ~ 2 + J ' L 7 +

27 21 % + 6 — + 6 - 4 3 2 3

11 6

9. i) Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε;

Γ* ί Η Λ = 2 Γ" & = 2 Γ' (·>/*)'; In Jl -Jx J1 2-Jx J'

= l U f x lnx]f2 -2f -Jx—dx Ji χ

xnx

= 2elne2 -21n/ dx 2-Jx

= 4e-4[Vx]' = 4e-4(e-l) = 4.

ii) Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε:

^xe 'dx = -jx(e~x )'dx = ~\xe '\o + f 0e %(ix

e \e J e e

ίϊί)Θέτουμε u=9 + x2, οπότε du = 2xdx, «, =9 και m2=10. Επομέ-νως:

/•1 - 1 /*10 1 p10 |xln(9+x )<& = — £ In udu = —j(u)'\nudu

u\nu I01nlO_91n9_I 2 j " 2 2 2

9 1 = 51nl0—In 9 — . 2 2

iv) Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε.

* 1 -I = p εΧσυν2χα!χ: = — 0 e" (ημ2χ)'βίχ

= |[e^2x]0J -||0

2ημ2x-e'dx

1 -= 0+jj2ex(aw2x)'dx

—β*συν2χ 4

- j -— Ρ e"<m\2xdx 4 Jo

316

οποτε

1 i ι ο η 1 , = —β 2συνπ—e συνΟ — 7,

5 1 - 1 1 -- 7 = --<?2 - -<=>/ = - - ( e 2 +1). 4 4 4 5

10. Έχουμε: κ κ *

I+J = ρ χημ2χ£&+J* xcmv2xdx = χ(ημ2χ + συν2χ)ώτ

= f2 xdx = Jo

2 π1

Επίσης κ κ

1 -J = p χ(ημ2χ- συν2χ)άχ = xmsvlxdx

= ™ ft x(i\\i2x)'dx = ~ [χημ2χ]02 x\\i2xdx

71 α - η μ π - Ο = -[συν2χ]2

4

= -—(συν7Γ-συνΟ) = —-(-1-1) = - . 4 4 2

Αν λύσουμε το σύστημα

r τ π I+J = — 8

7 - 7 = 1 2

βρίσκουμε

π2 I π2 \ I-—+— και J . 16 4 16 4

11. Επειδή / " συνεχής έχουμε:

/(χ)η μχΛχ+J'/ "(χ)η μχώ = 2.

Όμως είναι:

/J /"(χ)ημχ<& = [/'(χ)ημχ]ο "]Γ/'(*)(ημ*)'<&

(1)

317

= -|£/'(χ)συνκώ·

= -[/(χ)συνχ]* +|/(χ)(συνχ·)'ώτ

= / 0 0 + /(0) - £ / (x)wxdx

= 1+/(0)-£/(χ)ημχώ:

Έτσι, ί| σχέση (1) γράφεται

£ /(χ)ημχ<& +1 + /(0) - £ / (χ)ημχΛ = 2,

οπότε / (0) = 1.

12. Επειδή οι / " και g" είναι συνεχείς έχουμε

7 " Γ ( / w g " w - / " w ^ w ) ^

- Γ /(*)£"(*)<&-£' f"(x)g(x)dx

=[f(x)g'(x)Ya -[f(x)g\x)dx-\J'(x)g(x)Ya +j'f(x)g'(x)dx

= Afig'ifl) - f(a)g\a)-[f{fi)g(fi) - f'(a)g(a)]

= / ( / 0 g ' l f l ) - f ' ( f l ) g i f i ) , (αφού / ( a ) = g(a) = 0)

= Afi)g'(fi) ~ g'ifi)g(fi), (αφού /'(/?) = g'(fi)i*

= g ' o w w - g m

3.6 Α ' Ο Μ Α Δ Α Σ

1. Έχουμε:

0 = J o ( / ( x ) ~ l ) d x = i f ( x ) d x ~ i l d x = £ / ( * ) * - : 1 ' οπότε

Jo ' / (x)rfr = 1 » = 1 » / = 1

2. Έχουμε:

318

ο = £( / (*) - *)<& = f /(*)<& - £ = £ - «),

οποτε

j ' / (*)<** = ηβ-α) » /(*)<** = *<=>/ = * ·

3. Έστω η συνάρτηση f ( x ) - x , χefa,/?]. Τότε η μέση τιμή χ του χ στο [α,/?] είναι:

1 "χ2" 1 γ λ 1 „2 1 β α

/ ? - α χ „ β~α 2 2

1 β2 -α2 α+β

β-α 2

3 . 6 Β ' Ο Μ Α Δ Α Σ

1. Έχουμε:

f = ^ \ " x 2 d x = - l _ z l z £ l = £ l ± « ^ i ^-α·>« β-α 3 3

^ = _ ^ γ ' _ ! _ λ = _ 1 _ γ ζ ΐ ί = _ ^ ί ΐ _ ΐ 1 /?-«•»« x2 β - α Υ χ \ α β-α{α β )

I β-α 1

οποτε β-α αβ αβ'

7— α2+αβ + β2 1 α2+αβ + β2 / g = -

3 αβ 3 αβ

Έτσι, έχουμε να δείξουμε ότι:

α2 +αβ + β2

3αβ ·>1<=>α2 +αβ + β2 >3αβ

<=>α2 -2αβ + β2 >0<=>(α-/ ϊ ) 2 > 0 ,

που ισχύει. Επομένως είναι f g > 1.

2. α) Έχουμε:

319

1 Γ* 1 f* ρ , , ρ γ" ·> •, ο =— f v(r)dr = — I — (R2-r2)dr = (R -r )dr

R Jo Λ J o 4ni 4Rni Jo

4Rn£ R2(R-0)- £

3

Ρ r Ri -

< f

4 Rnt

r Ri -

< 3 J

Ρ 2 R3 PR 2 \ A

4 Rnl 3 6 nt

β) Εξάλλου έχουμε: ρ - P r v\r) = (-2r) =

4w£ 2n^ < Ο, για κάθε r e (0 ,R) .

Όμως η v-v(r) είναι συνεχής στο [Ο,Λ], οπότε θα είναι γνησίως φθίνουσα στο [Ο,Λ]. Επομένως η μέγιστη ταχύτητα είναι:

=υ(0) = PR2

4 nt

Προφανώς ισχύει > υ .

3. Έχουμε

J/(x)dx = f ( 1). (1 )

Επιπλέον, σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει ένα του-λάχιστον ξ e (0,1) τέτοιο, ώστε

//(*)<& = / ( £ ) . (2 )

Από (1) και (2) προκύπτει ότι / (£) = /(1), οπότε στο διάστημα [£,1] ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. Άρα, υπάρχει του-λάχιστον ένα x0 e (£, 1) τέτοιο, ώστε / ' (x 0 ) = 0. Επομένως η c f έχει τουλάχιστον μία οριζόντια εφαπτομένη.

3.7 Α ' Ο Μ Α Δ Α Σ

1. Το τριώνυμο f ( x ) = χ2 -2χ+3 έχει διακρίνουσα Δ = -8<0, οπότε ισχύει f(x)>0 για κάθε x e R . Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε είναι:

320

3.7

Ε = f ( χ 2 - 2χ + 3 )dx •• Jo

——χ2 +3χ 3

8 . α 1 4 = - - 4 + 6 = - τετρ. μον.

2. i) Πα κάθε χε[0, + αο) ισχύει / (χ) = \[χ > 0. Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε είναι:

27

- r ^ d x = Jo

71 j ii) Για κάθε xe 0,— ισχύει /(*) = — > 0. Επομένως το εμβα-

. 3 J συν χ

δόν που ζητάμε είναι χ κ

Ε = f 3 — ί — ί/χ = [εφχ·]0' = εφ —-efO = S τ.μ. Jo συν χ 3

3. Οι τετμημένες των σημείων τομής της C f και του άξονα χ'χ είναι οι

ρίζες της εξίσωσης χ2 -3χ = 0, δηλαδή οι αριθμοί 0 και 3. Επειδή / (χ) < 0 για κάθε χ e [0,3], έχουμε:

Ε = [ 3 | / ( Χ ) I dx = - f f ( x ) d x JO JO

= - f (x 2 - 3 x ) d x = -Jo

3 2 x ^ x

i ι X~ — x

3 ,, 27 9 = — •9 = — τ.μ.

2 3 2

4. Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων C f

και C, είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = g(x), που γράφεται:

Ax) = g(x) χ3 = 2r-x2

·- ' " rx-2) = 0

«ΐ>χ = 0 ή χ=1 ή χ--2.

321

Το πρόσημο της διαφοράς /(*) - g(x) = χ3 + χ1 ~ 2χ = χ(χ - 1)(χ+2)

φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

χ -οο —2 0 1 +χ> ι ο + ο I ο +

Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε είναι:

E = f j / ( x ) ~ g ( x ) \ d x

= f _ 2 ( / ( x ) - g(x))dx + £(#(*) - f(x))dx

= |°2(*3 +x2 -2x)dx+j(2x-x2 -x3)dx

χ4 χ3 2 + χ χ2 χ 4 _~3 4~

. 8 1 1 10 1 37 = -4 Η (-4 + 1 = — τ . μ. 3 3 4 3 4 12

5. Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτή-σεων f(x) = 4-χ2 και g(x) = x-2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = g(x), που γράφεται

f ( x ) = g(x)*> 4 - χ 2 - χ-2

<=> χ1 +χ-6 = 0

<=> JC = —3 ή χ = 2.

Το πρόσημο της διαφοράς f ( x ) ~ g ( x ) = -χ1 - χ + 6 φαίνεται στον παρακάτω πίνακα

χ -οο -3 2 +»

/"(*)-«(*) I ο + ο I

Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε είναι:

322

e=l3\m-g{x)\dx

= j " ( - χ 2 - χ + 6 ) d x = 3 2 x x + 6x

8 4 -12 "27 9 1 -12 — "27 18

3 2 3 2 ™ 5 1 2 5 = 20 + — = τ.μ.

6 6

3.7 Β ' Ο Μ Α Δ Α Σ

1. i) Επειδή / ' (χ) = 6χ έχουμε /'(1) = 6, οπότε η εξίσωση της εφα-πτομένης στο Λ(1,3) είναι:

e.y- 3 = 6(x-l) ο y = 6x-3

ii) Η ε τέμνει τον άξονα χ'χ στο σημείο

ZiQ-,oj Επομένως, το εμβαδόν που ζη-

τάμε είναι:

Ε = ε, +ε2 =|23χ2 ί /χ+Γ (3χ2 -6χ+3)dx ° 2

= [χ3 ]q +[χ3 -3χ 2 + 3χ]\ 2

1 , „ , ( 1 3 3 ϊ 1 = — + 1 -3 + 3 - ι— =— τ.μ. 8 Ιδ 4 2 J 4

1 y

\ 3

ν=3*2\

\ G] Μ*~-~ -Βι

-

Ο 7 \ χ

2. Επειδή

lim f(x)= lim /(χ) = /(1), jr—»1 χ—»1+

η συνάρτηση/είναι συνεχής και στο σημείο 1, οπότε αυτή είναι συνεχής σε όλο το R . Είναι φανερό, επιπλέον, ότι / ( χ )>0 για κάθε xe[-l ,2], Επομένως το ζη-τούμενο εμβαδόν είναι:

ι - - ! i

111111

323

Ε = \ \ f(x)dx = (-χ2 + 3)dx + £ l4xdx

- + 3x + 2

~ Η Η ^ - λ

g = 4 + - ^ 2 τ.μ.

3. Οι τετμημένες των σημείων τομής της Cf και του άξονα χ'χ είναι οι ρίζες της εξίσωσης /(χ) = 0,

δηλαδή οι αριθμοί 1 και

5 Στο 1,- η / είναι και συνε-

χής και ισχύει / ( χ )>0 . Επο-μένως το ζητούμενο εμβαδόν Ο είναι:

5

Ε = p / (x)dx

5

= | (-χ2 +4x-3)dx + j* (~2x + 5)dx

3 Ί 2 ί

- ^ - + 2x 2 -3x | +[-χ2+5.ν]ΐ

= - 8 + χ 6 3

1 + 2 - 311 ( 4 HI)

4. Οι τετμημένες των σημείων το-μής των Cy και Cg είναι οι ρί-ζες της εξίσωσης

f ( x ) = g(x),

που γράφεται

τ.μ.

324

'

f ( x ) = g(x) <=> λ/^-ϊ x + 1

ο x - l · (x + l)2

» x 2 -7x + 10 = 0

» χ = 2 ή χ = 5 .

Εξάλλου, για χ>1 έχουμε:

/ ( x ) > g ( x ) » x - l > x + l

» x 2 -7x+10<0

<=> 2 < x < 5 .

Επομένως, το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

Ε = £ ^λ / χ -1 - = j2' ^ x ~ u l x ~ i j / * + •w* •

Στο 1° ολοκλήρωμα θέτουμε u -x-1, οπότε du = dx, Μ, =1, «2 =4 και έτσι έχουμε:

ι*

f 4 ί 1 ε= γ u 2 d u —

Ji 3 - + x

25 . . . — + 5 - 2 - 2 2

5. ϊ) Έχουμε f(e) = l = g(e). Άρα το σημείο A(e,l) είναι κοινό σημείο των γραφικών παρα-στάσεων Cf και Cg των συ-ναρτήσεων / και g. Επειδή η / είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ η g γνησίως αύξουσα, οι Cf και Cg έχουν ένα μόνο κοινό ση-μείο το Α. Επομένως το ζητού-μενο εμβαδόν Ε(λ) ισούται με

325

Ε(λ)=[ Inxdx + f —dx. Ji Je χ

Είναι όμως I 1ηχί/χ = |(χ)Ίηχί/χ

= [xln x]' - j ' d x

= e lne - (e - l ) =1. Άρα

Ε(λ)= f Inxc/x+f — </x = l + e[lnx]^ Jl Je χ

= l + elnA-elne = l + e(lnA-l).

ii) Επομένως,

lim Ε(λ)= lim[l + f(lnA-l)] A-»+<o A—>+«o

= (1 - e) + e lim (In λ) = +00. λ ->+«3

6. Η τετμημένη του Α είναι η λύση της εξίσωσης 3* =3 , που είναι ο αριθμός 1. Η τετμημένη του β είναι η λύση ν-3

ν = χ του συστήματος < , που ει-

Ι.ν = 3 ναι ο αριθμός 3. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με:

^(3* - x)dx +1 (3 - x)dx = * dx -

In 3

V " 1 χ2

+ 3x 2 2 0

1 Γ 9 , + 9 3 +

2 2

1 Γ , , 1 ^ 9 2 3 = [3-1J + 6 — = + — τ.μ. In 3 2 In 3 2

326

7. Η τετμημέλ'η του σημείου Α είναι ρίζα της εξίσωσης

χ2 -2χ + 2 = χ2 -1,

που είναι ο αριθμός χ = —. Επο-

μένως, το ζητούμενο εμβαδόν εί-ναι ίσο με:

£ = - j V 2 -!)<&•+p (χ2 -l)i/r + J32(x2 -2x + 2)dx

-χ χ 2 ^ χ + 2χ 3

- - 1 1 f 3^

+

ι ^ \

£7 - 1 - 1 + 1

2 3

7 = 4 τ μ '

8. ί) Οι εξισώσεις των εφα-πτομένων ε, και ε2 της C{

στα σημεία Ο και Λ αντιστοί-χως είναι:

«ι -y~/(0) = / ' (0)(x-0) και

ε 2 : y - f ( n ) = f'(K)(x-n)

Επειδή / ' (x) = συνχ έχουμε:

/ ' (0) = 1 και / '(jt) =—1, οπότε

e, :_V = x και e2:y = -x+n.

ii) Η τετμημένη του σημείου τομής Β των ε, και 2 είναι η ρίζα της

εξίσωσης χ = -χ + π, δηλαδή ο αριθμός χ~~~· Επομένως το ζητού-

y·

\ $ /

/ ! 0 π/2 π">\1 χ

327

μενο εμβαδόν είναι: *· ^

e = [>(x-r\vx)dx+\a-x + *-rwx)dx

χ2 2 — χ2 κ

— + συνχ + + πχ + συνχ 2 2 κ 0 Ί

_2 ^ 2 2 _2 7Γ 7 1 - 7 1 2 71 71 = — + συν—συνΟ + ττ + συνπ + 8 2 2 8 2

= - — — 2 . 4

π συν—

9. α) Έχουμε

/ ' (*) = 2-*/x

xe(0, + oo), y

^ y - v* 1

ι =r ι ψ ι Γ ι

I ο 1 χ

οπότε /'(1) = — και η εξίσω-

ση της εφαπτομένης ε είναι:

, 1 , „ 1 1 ν —1 = — (χ-1)<=> ν = — χ + —

2 2 2

Η ε τέμνει τον άξονα χ'χ στο σημείο με τετμημένη -1. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

£ = Γ , ( γ + Ϊ ) λ + 0 ' + Ϊ - , / * ) λ

χ1 1 1— χ

4 2

3

χ2 Χ χ2

— + — 2 — 4 2 3

1 1 1 1 2 1 = 1 1—+ = — τ.μ. 4 2 4 2 3 3

β) Εξετάζουμε αρχικά αν υπάρχει ευθεία χ = α με αε[-1,0] η ο-ποία χωρίζει το χωρίο (Α) του (α) ερωτήματος σε δύο ισοεμβασικά χωρία. Δηλαδή αν υπάρχει τιμή του ae [ - l ,0 j τέτοια, ώστε να ισχύ-ει:

Γ ( - * + - ) μ 2 2)

, ε αχ = — <=> 2

χ χ 1

4 2

328

3.7 α α 1 1 1 „ , , <=> 1 ί— — — 3α + 6α + 1 — Ο . 4 2 4 2 6

Η τελευταία εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς α, =• -3+V6 και

- 3 - λ / 6 . Από αυτούς μόνο ο α, ανήκει στο διάστημα [-1,0].

Επομένως η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση:

- 3 + ^ 6 Λ* = .

3

Αν εργαστούμε ανάλογα για α ε [0,1], βρίσκουμε ότι δεν υπάρχει άλλη ευθεία χ = α που να χωρίζει το χωρίο Α σε δύο ισοεμβασικά χωρία. Αυτό. άλλωστε, ήταν αναμενόμενο.

10. Έχουμε

g(x) = In 1 - In x = - In x.

που σημαίνει ότι η Cg είναι συμμετρική της cf ως προς τον άξονα x'x. Η τετμημένη του Α είναι ρίζα

της εξίσωσης In — = Ιχι 2 . που χ

είναι ο αριθμός χ ~ ~ · Η τε~

τμημένη του Β είναι ρίζα της εξίσωσης lnx = ln2, που είναι ο αριθμός χ = 2. Επομένως το ζητού-μενο εμβαδόν είναι:

\ v = lnjr

Β \ y = ln2 y = ln2

Ο 1/2

ν = Ιιι-

4 ι ( λ f 2 /'- = I. I In2-In — |c/x-t Γ ' " · 2 · In x)dx

( π f γ2

= 1 ii 2| j + j! In χώτ +In 2(2-1)-J Inxdx \ ln2+[xlnx]1

1 — J, k/x + ln2-[xlnx]f +1Xdx

1 1 1 : — In 2 + 1 In 1 In — · 2 2 2 2)

+ In 2 - 2 In 2 + 1 In 1 + 2 - 1

329

= 1 ΐ η 2 + 1 ΐ η 2 - 1 - 1 η 2 + 1 2 2 2

ι ~ 2 '

11. i) Έχουμε /(0) = 2 και / ' (x) = 2x-3.

Από τον τύπο J f'(x)dx = f(x)+c έχουμε διαδοχικά

J(2x-3 )dx = f(x) + c

x2 -3x = f ( x ) + c

/ ( x ) = x2 -3x-c.

Είναι όμως, /(0) = 2 <=> -c = 2 <=> c = -2.

Επομένως, y,

/(x) = χ2 -3X+2 .

ii)Oi τετμημένες των σημείων τομής της Cf με τον άξονα χ'χ είναι οι ρίζες της εξίσωσης Χ2-3Χ + 2 = 0 δηλαδή χ , = 1 και

χ2 = 2. Επειδή χ2 - 3χ + 2 < 0, ό-ταν Λ: e (1,2), το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

£ = - | (χ2 -3x + 2)dx = -χ3 — χ2

3 — + 2χ 3 2

Η Η - » Μ Η - Ή - -

12. ί) Η Cf τέμνει τον άξονα των x στα σημεία Λ(1,0) και £(3,0) Επειδή / ' (χ) = (χ2 - 4χ + 3)'= 2 χ - 4 , έχουμε

/'(1) = -2 και / '(3) = 2.

Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο ,4(1,0) είναι:

Λ ' - Ζ α ) = / ' ( 1 ) ( * - 1 ) <=> ^ = - 2 J C + 2

ενώ η εξίσωση της εφαπτομένης στο 5(3,0) είναι:

330

3.7 ν - /(3) = / '(3)(Λ--3)ον = 2χ-6

ii) Η τετμημένη του σημείου το-μής / ' των εφαπτο μένων είναι λύ-ση της εξίσωσης -2χ + 2 = 2χ-6 δηλαδή ο αριθμός .ν=2. Επομέ-νως το σημείο τομής τους είναι το / ' ( 2 , - 2 ) .

Λόγω της συμμετρίας του σχήμα-τος έχουμε:

• e, (χ2 -4x + 3)dx

3 x = -2 3

( 8 = -2 —

, 3

-2χ2+ 3χ

και

η 2, - 2 )

ε2 =2^ (χ2 -4x + 3 + 2x-2)dx=2^ (χ2 -2x+l)dx

3 χ 1 2

8 , , ι , ,1 _ 2 χ +x = 2 - - 4 + 2 - - + 1-1 3 1 3 3 ~ 3

Άρα

= 2

— = — = 2 .

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ

1. ί) Θέτουμε u = n-x, οπότε du--dx, «, =π, ιι2 = 0. Έτσι έχουμε: ρττ /·0

/ = χ/"(η[ΐν)ί/τ = - (π- — w)/(ημ(7Γ -u))du JO j/r

= -J nf(x\\ui)du +1uf(x\\w)du

= π \ f (i\\w)du -1. JO

Επομένως 21 = f (\\\w)du . οπότε I = — J/(ημχ)ί/.ν .

331

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ

ii)Σύμφωνα με το ερώτημα (ί) έχουμε:

j r j w l . a = £ r w d x = i r w Jo -?4-nn2v 7 Jo ^Ϊ4-Ιΐιι2ν 7 Jo 3+ημ χ 2 J° 3 + ημ'χ 2 Jo 4-συν χ

Θέτουμε u = συνχ, οπότε du = -ημχ<&. Επομένως:

τ π f ' π f ' 1 ~ 2 J i 4 - u 2 ~ 2 J . u3 -4

Αναζητούμε α,/?εΚ τέτοια, ώστε να ισχύει: —-—= α η—— u -4 u-2 u + 2

ή, ισοδύναμα, (α +/?)w + 2 ( a - β ) = 1, για κάθε »eR-{-2 ,2} . Η τελευταία ισχύει για κάθε weR -{-2,2}, αν και μόνο αν

α+β=0 1 ι <=> α = — και β = — . 2(α-/?) = ! 4 4

Επομένως

1 _ ι γ , - σ γ ' - ϊ - α + ΐ γ ϋ *

2 Ji « - 2 2 Ji u+2

- L 8 , J ' 8

= -[1η|«-2 | ]Γ ' - - [ l n | « + 2|]r l

— (In3-lnl)-—(lnl-ln 3) 8 8

=—ln3+—ln3 =—ln3. 8 8 4

2. i) Αναζητούμε α,β τέτοια ώστε —^— = —— + —— ή, ισοδύναμα, χ~ -1 χ — 1 χ + i

1 =(α+β)χ+(α-β), για κάθε i e R - { - 1 , 1 } .

Η τελευταία ισχύει για κάθε i e S - {—1,1}, αν και μόνο αν \α. + β = 0 1 1

α>α = — και β = — . \α-β = \ 2 2

Έτσι τελικά έχουμε:

ί 2 - ^ - = - ί2 — - - Π — = —[In|λγ-1 |]= - - [ l n | j c + l|]02

J, jc2 - 1 2 1 χ - 1 2 J> χ +1 2 2

332

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ' ΟΜΑΔΑΣ

— [in —— 1η ί] - — ί 1η — - In 1 2 i 2 j 2 l 2

i f , 1 • 1 . 2 ι , ' 1 In — In— = — In-4- = - I n -2{ 2 2) 2 3 2 3

2

= i n = - i n v 3 . Λ/3

ii) Έχουμε:

i 1 ./, Γ η Γ " " Λ Ι- ημχ J ημ χ Χ 1-συν x

Θέτουμε u = συνχ, οπότε ί/w = -ημχί&, κ^συν—= — και

ζ , = συν-^ = 0 . Επομένως

/ 1 {•· du ι·' ί/w r Γ; (& = - Γ ~ = = lnv3 (από ι)). ' ημν ; 1 - u~ u' - 1

3. Για u Φ -1,-2 αναζητούμε α,βΒ R τέτοιους, ώστε:

1 α β - + -

(ιι +1)(« + 2) u +1 u+2

ή, ισοδύναμα,

1 = α(«+2) + /?(«+ 1). για κάθε « * - 1 , - 2

(α + /?)« +2α + β-1 = 0, για κάθε « * - 1 , - 2

Η τελευταία ισχύει για κάθε κ e R -{-1,-2}, αν και μόνο αν

α + / ί=θ] ί α = 1 2« + /? = l j [y? = - l '

Επομένως

ί ! Λ = Ι * - - Ι - ± . J (u +1)(« + 2 ) J 2/ + 1 J u + 2

= ln|w+l|-ln|w + 2| + c

333

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ

i) Θέτουμε « = ημχ, οπότε du = <jvvxdx. Επομένως συνχ , f du γ f -

J ( η μ χ + 1 ) ( η ι ι χ + 2 ) J ( 1 (ημχ + 1)(ημχ+2) J(w + l)(w + 2)

= ln|M + r | - l n |w + 2|+c·

= In I ημχ + l J — In | ημχ + 2 | + c

ii) Θέτουμε u = ex, οπότε du = e'dx. Έτσι έχουμε

ί dx= f — = l n | e j r + l | - l n | e j : + 2 | + c J (e + 1)(e +2) J (H + 1)(« + 2)

= i n ^ ' +1) — ln(£* + 2 ) + c .

4. i) Έχουμε:

I j2v+] | ^2v+3

κ + k+\ = J - — j d t 4- f - — γ ώ J o l + / J o l + r

Jo I , / 2 Jo 1 + / 2 v + 2

2v + 2 1

2^ + 2

f1 1 , 1 f1 ( ' +1) , " ) i0 = ( ~ r d t = ~ f — ; dt

1 + / 2 J o ( / - + 1 )

= I [ l n ( / 2 + l ) ] i = I ( l n 2 - l n 1 ) = I l n 2 .

Εξάλλου από το ερώτημα i) έχουμε Ι0 +/ , = * = -ί , οπότε

I = =-—— In 2 = — (1 — In 2). 1 2 0 2 2 2

Επίσης είναι / , +/, = — ? — , οπότε 2 ' 2 - 1 + 2

• , ι ι ι , ^ ι . „ ι Ι2 = — /, = 1—ln2 = — In 2 — . * 4 ' 4 2 2 2 4

5. Θέτουμε g(x) το 1° μέλος και h(x) το 2° μέλος και έχουμε.

334

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ' ΟΜΑΔΑΣ

g\x) = ^χ|ο f(u)du-juf(u)du

= ί f(u)du+xf(x)~xf{x)= Γ/(u)du JO Jo

και

h\X) = [ f W .

Δηλαδή ισχύει g'(x) = h'(x) για κάθε x e R . Επομένως, υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε g(x) = h(x) + c ή, ισοδύναμα.

jQ /(")(*-u)du = \Jj(t)dt\du + c , για κάθε xe IR .

Για x = 0 έχουμε:

Jo /(»)(0-u)du= ^f(t)dt^jdu + c<=>0 = 0 + c o c = 0

οπότε έχουμε:

[ f ( u ) ( x - u ) d u = \'(\j(t)dt\du .

6. i) · Η συνάρτηση g(u) = 2 - 1 έχει πεδίο ορισμού το σύνολο

Α = (-οο,—1] u [1,+°ο).

Άρα, για να ορίζεται η / πρέπει τα άκρα 1, ί να ανήκουν στο ίδιο διάστημα του Α. Άρα πρέπει t e [1,-κ»), οπότε το πεδίο ορισμού τ η ς / είναι το [1,+οο). Για να ορίζεται, τώρα, η F πρέπει τα άκρα 1, * να α-νήκουν στο διάστημα [1,+μ) που είναι το πεδίο ορισμού τ η ς / Άρα πρέπει χ e [1,-κ»), οπότε το πεδίο ορισμού της F είναι το [1,-κ»).

ii) · Έχουμε

F'(x) = f ( x ) = I* V«2 -Idu

οπότε

F"(x)=f'(x)=y[T^l.

Επειδή F (x)>0 στο (1,+<») και F"( 1) = 0, η F' είναι γνησίως αύ-ξουσα στο [1, + οο), οπότε:

335

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ

® η /'"είναι κυρτή στο (1, + οο) και

• F'(x) > F'(l) = 0 για κάθε xe(l , + oo). Άρα η F είναι γνησίως αύξουσα στο [1,+αο).

7. i ) F(x) + G(x) = ί β'(συν*ί+χ\μ2ί)Λ = β*-1, (1 ) Jo

και

F(x)-G(x )=f β'(συν2ί-ημ2ί)<Λ Jo

= f β'συν2tdt = K(x). Jo

Όμως, είναι

ΑΓ(λ-) = [ίί'συν2ί](Λ, -f- f 2^'ημ2tdt

Jo

= β'συν2χ-1 + 2[β'ημ2/]ο - 4 | e'<mv2tdt

= ex Gxn\2x-\ + 2exi\\i2x-4K(x)

οποτε

Άρα 5Α (χ) = βί(συν2χ + 2ημ2χ)-1.

Κ (χ) = F(x)-G(x) =-^-(συν2Λ· + 2ημ2χ) - j . (2)

Με πρόσθεση των (1) και (2) κατά μέλη προκύπτει ότι:

e" 6 2F(x) = — (συν2χ + 2ημ2χ) + e" - —

F(x) = — (συν2χ + 2ημ2χ) + - — . (3) 10 2 10

Από τις (1) και (3) έχουμε

e* e" 6 G{x) = ex - 1 (συν2χ + 2ημ2χ) + — 10 2 10

ex e" 4 = - (συν2χ + 2ημ2χ) - — 2 10 10

ii) Επειδή F'(t) = e'<n>v2r, έχουμε

336

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ

2π 1 = [F( χ)]2* = (συνΑπ + 2ημ4;τ) +

2 10

e' , „ , -, χ e* 6 (συν27τ + 2ημ2;Τ) Η

10 2 10

eln e2" e2" e'

10 2 10 2

: 5 ' * , ' " " ι , ·

Επειδή G'(/) = ^'ημ2/, έχουμε

e 2 " e2* β* e" J = [G(x)]/ = (συν4ττ + 2ημ4/τ) η (συν2ττ + 2ημ2π) 2 10 2 10

2* 2* * * 2 = - — + — = - e ' ( e ' - l ) .

2 10 2 10 5

8. Οι τετμημένες των σημείων Α και Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης χ2 +1 = 5, δηλαδή οι αριθμοί Α χ, = -2 και χ2 = 2. Οι τετμημένες των Γ και Δ είναι οι ρίζες της εξί-σωσης χ 2+1 = α2+1, δηλαδή οι αριθμοί χ, = -α και χ2 = α . Το εμβαδόν Ε του χωρίου Ω που περικλείεται από την ευθεία ν = 5 και τη γραφική παράσταση της

χ . + 4χ

3

ν = χ +1 είναι:

£· = |^(5-χ2 -\)dx-

= ^ + 8 - « + 8 = ^ . 3 3 3

Το εμβαδόν ε του χωρίου που περικλείεται από την ευθεία ν = α2 +1 και τη γραφική παράσταση της ν = χ2 +1 είναι:

ε=ί (α2 +1-χ2 -1)ί/χ= f (α2 - χ2 )dx = α2 (α + η) -j-a j a

2 3 _ 4 _3 . ί ι β (χ = 2α - — + — = 2α3 - —«3 =—α 3 3

337

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ

Το Ω χωρίζεται από την y = a2 +1 σε δύο ισοεμβαδικά χωρία, αν και μόνο αν

Ε 4 3 32 1 3 3/τ ε = — <=>— α = <=> 4α =16<=i>« = v4. 2 3

9. ί) Αν 0 < Α < 1, τότε

γ ' 2 v

, ί ΐ

3 2

- 1

Αν Α>1, τότε

Αν Α>1, τότε

= Ι - ι . λ

ι y i ^ 1 1 jv = —j"

/ ι *

I f c * — 0 a 1 a

Ε(λ) - £ W Jxx Ji

χ dx = - 1

Ε(λ)= ί -^—dx= ί χ 2dx = ji χ ji

α 1 '

= 1 —

ii)Av 0<Α<1, τότε 1 1 1 2 £(A) = - o i - l = i « A = - . 2 Α 2 3

Αν Α >1, τότε:

Ε(λ) = — <=>1- — = — » Α = 2 2 Α 2

ίίί)Έχουμε: lim £"(Λ) = lim — 1 = l im—11 = +00 και J

lim Ε (λ) = lim 1— = 1. λ—>+οο λ—>+°ol ^ j

10. i) Ισχύει f ( x ) - g ( x ) > 0, για κάθε χΕ[α,β], οπότε έχουμε διαδοχι-κά:

ί (f(x)~g(x))dx> 0 ja

ί y( jc)c6c- f ^(λγ)οεχ- 2:0 Ja Ja

I f(x)dx>j g(x)dx.

338

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ

π)Για κάθε χ&[α,β] ισχύει m < f ( x ) < Μ , οπότε έχουμε διαδυ κα:

iii) Είναι:

J 'β [β (β ηκίχ<, Ι J(x)dx < I Mdx

a J a Ja

ρβ /»(/?-«)< f (x)dx < Μ {β - a)

ja

f \ x ) = χ σ υ ν - ' ΐ μ * = x ~ £ ( p x < ο

X2 X2

συν2χ 2 /

η x rx „ !t αφου χ - εφχ<0 και >0 για xe 0,— συνχ V 2

Επομένως η/είναι γνησίως φθίνουσα στο ί 0,— |.

α) Για xe π π

6 ' τ

π π , (πΛ

ισχύει —<x<—, οποτε f\ — 6 3 U

> / < * > * / i f

αφού η/ε ίναι γνησίως φθίνουσα. Έτσι.

3 ημχ 3Λ/3 , . 3Λ/3 ημχ 3 — > > ή ισοδύναμα, < -ϋ-— < — π χ 2π 2π χ π

β) Σύμφωνα με το ερώτημα ϊ) θα ισχύει

ρ ^ 4 7 2π J χ J- π 6 6 6

γί η μ νd x ^ ( π π

2π {3 6) χ π^3 λ

4 J - γ ι ίν) Είναι

/ ' (x) = -2xe ' <0, για xe(0,+oo)

επειδή η / ε ίνα ι και συνεχής σιο [«>,+*>). η / θα είναι γνησίως φθί-νουσα στο [0,+οο).

α) Από την ανισότητα ex >l + x, αν θέσουμε όπου χ το - χ 2 , προ-κύπτει

e ' " 1 > 1 - χ 2 . ( 1 )

339

Ε ΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ

Εξάλλου, επειδή η/ε ίναι γνησίως φθίνουσα στο [0,+οο), για xe[0,l] Οα ισχύει

/ ( * ) < / ( 0 ) <=> ε~χ1 < 1. (2)

Από (1) και (2) προκύπτει ότι

l-x2 <e~'2 <1, για xe[0,l].

β) Από την τελευταία ανισότητα προκύπτει

£ ( 1 -x2)dx<, je~*2 dx<^\dx

2 I·1 2 - < \ e x dx< 1. 3 Jo

Με απόφαση της Ελληνικής Κυβέρνησης τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού, του Γυμνασίου και του Λυκείου τυπώνονται από τον Οργανισμό Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων και διανέμονται δωρε-άν στα Δημόσια Σχολεία. Τα βιβλία μπορεί να διατίθενται προς πώληση, όταν φέρουν βιβλιόσημο προς απόδειξη της γνησιότη-τάς τους. Κάθε αντίτυπο που διατίθεται προς πώληση και δε φέρει βιβλιόσημο θεωρείται κλεψίτυπο και ο παραβάτης διώκεται σύμ-φωνα με τις διατάξεις του άρθρου 7 του Νόμου 1129 της 15/21 Μαρτίου 1946 (ΦΕΚ 1946, 108, Α ).

Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τμήματος αυτού του βιβλίου, που καλύπτεται από δικαιώματα (copyright), ή η χρήση του σε οποιαδήποτε μορφή, χωρίς τη γραπτή άδεια του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου.

Α Ρ . Σ Υ Μ Β Α Σ Η Σ Ε Κ Δ Ο Σ Η ΙΑ' 2 0 0 9 · Α Ν Τ Ι Τ Υ Π Α

Ε Κ Τ Υ Π Ο Σ Η : Τ Ζ Ι Α Φ Α Λ Ι Α Ε Υ Θ Υ Μ Ι Α - Β Ι Β Λ Ι Ο Δ Ε Σ Ι Α : Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Α. 8 Σ Ι Α Ι Τ Ε Τ

340