ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

136
Μιχάλης Μάγκος Επαναληπτικά Θέματα 2016 Πληροφορική Οικονομικό Θετικό Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου

Transcript of ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Page 1: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μιχάλης Μάγκος

Επαναληπτικά Θέματα

2016 Πληροφορική Οικονομικό Θετικό

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου

Page 2: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 1 -

Page 3: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 2 -

Page 4: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 3 -

Page 5: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 4 -

Α. Η Θεωρία στο σχολικό βιβλίο

Page 6: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 5 -

Page 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 6 -

Να διαβάσετε καλά όλους τους ορισμούς, τις αποδείξεις , τα σχόλια

και τα πλαίσια που υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο. Κάποια από αυτά θα είναι το 1 ο Θέμα του διαγωνίσματος!

Μέρος β΄ ΑΝΑΛΥΣΗ

Κεφάλαιο1ο (Όριο – Συνέχεια συνάρτησης)

Σελ.133: Ορισμός (συνάρτηση)

Σελ.141: Ορισμός (ισότητα συναρτήσεων)

Σελ.142: Ορισμός (Πράξεις συναρτήσεων)

Σελ.143: Ορισμός (Σύνθεση συναρτήσεων + πεδίο ορισμού σύνθεσης)

Σελ.144: Διαβάζεις τα σχόλια

Σελ.149: Ορισμός (γνησίως αύξουσα , γνησίως φθίνουσα)

Σελ.150: Ορισμός (Ακρότατα συνάρτησης)

Σελ.151: Ορισμός (Συνάρτηση 1 -1)

Σελ.152: το μπλε πλαίσιο + σχόλια

Σελ.153: την πρόταση πριν τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης

Σελ.153-154: Ορισμός (αντίστροφης συνάρτησης)

Σελ.154: f - 1 ( f (x ) )=x, xA και f ( f - 1 (y ) )=y, y f (A)

Σελ.155: το μπλε πλαίσιο και την απόδειξη πριν από αυτό.

Σελ.159: το σχόλιο

Σελ.160: το μπλε πλαίσιο

Σελ.161: το δεύτερο μπλε πλαίσιο

Σελ.162: το μπλε πλαίσιο

Σελ.163: τα δύο μπλε πλαίσια

Σελ.165: διαβάζεις το Θεώρημα 1 ο στο μπλε πλαίσιο

Σελ.166: διαβάζεις τα θεωρήματα στα μπλε πλαίσια

Σελ.167: Αποδείξεις : 0

0

0x x

x x

0

0

limP(x) = P(x ) και

limP(x )P(x)

Q(x) Q(x )

Σελ.169: διαβάζεις το Θεώρημα (Κριτήριο παρεμβολής )

Σελ.170: το μπλε πλαίσιο (η απόδειξη είναι εκτός ύλης)

Σελ171: τα μπλε πλαίσια (ο ι αποδείξεις είναι εκτός ύλης)

Σελ.173: διαβάζεις το όριο σύνθετης συνάρτησης « Με τις ιδιότητες… έως

0 0x x u u

limf g(x) = limf(u)

»

Σελ.178: όλη τη σελίδα πολύ καλά (πιθανές ερωτήσεις Σωστό Λάθος)

Σελ.179: όλη τη σελίδα πολύ καλά

Σελ.183: πολύ καλά τα βασικά όρια στο τέλος της σελίδας (με τα πιο

έντονα γράμματα)

Σελ.184: το μπλε πλαίσιο

Σελ.185: τα μπλε πλαίσια

Σελ.186: τα μπλε πλαίσια (ορισμοί)

Σελ.188: Ορισμός (Συνέχεια συνάρτησης στο x0 )

Σελ.189: Από «Μια συνάρτηση f που είναι συνεχής….» έως το τέλος της

σελίδας.

Page 8: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 7 -

Σελ.190: τα μπλε πλαίσια

Σελ.191: Ορισμοί (Συνέχεια σε ανοικτό και σε κλειστό διάστημα)

Σελ.192: το Θεώρημα Bolzano (πάνω από το μπλε πλαίσιο είναι η

γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος)

Σελ.192: το Σχόλιο (είναι η διατήρηση προσήμου )

Σελ.194: Απόδειξη ( του Θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών )

Σελ.194: το Σχόλιο + το μπλε πλαίσιο

Σελ.195: το μπλε πλαίσιο (Θεώρημα Μέγιστης και ελάχιστης τιμής ) + το

Σχόλιο

Σελ.196: το μπλε πλαίσιο (Σύνολο τιμών )

Σελ.201-03: τ ις ερωτήσεις κατανόησης

Κεφάλαιο 2 ο (Διαφορικός Λογισμός)

Σελ.212: Ορισμός (εφαπτομένη της C f )

Σελ.213: Ορισμός (Παράγωγος της f στο x0 )

Σελ.213: το δεύτερο μπλε πλαίσιο + ό,τι υπάρχει ανάμεσα στα δύο μπλε

πλαίσια

Σελ.214: τα Σχόλια

Σελ.217: Απόδειξη (Θεώρημα Παράγωγος και συνέχεια )

Σελ.218: το Σχόλιο

Σελ.222: Ορισμοί. Από « Έστω f μια συνάρτηση….» έως το τέλος της

σελίδας

Σελ.223: Αποδείξεις των ( c ) ΄=0 και (x )΄=1

Σελ.224: Αποδείξεις των : (x ν ) ΄= νx ν - 1 , 1

χ2 x

Σελ.226: τα μπλε πλαίσια

Σελ.229: Απόδειξη ( του Θεωρήματος)

Σελ.230: το μπλε πλαίσιο (η απόδειξη είναι εκτός ύλης)

Σελ.230: την απόδειξη της παραγώγου του γινομένου τριών συναρτήσεων

στο κάτω μέρος της σελίδας

Σελ.231: το μπλε πλαίσιο ( το Θεώρημα)

Σελ.231: Απόδειξη του (x - ν )΄=-νx - ν - 1

Σελ.232: Απόδειξη (εφx )΄=1

2συν x

+ το τελευταίο μπλε πλαίσιο

Σελ.234: το μπλε πλαίσιο (Θεώρημα)

Σελ.234: Αποδείξεις των (xα )΄= αxα - 1 και (α x ) ΄= α x lnα

Σελ.235: Απόδειξη του 1 ln χx

Σελ.235: τον πίνακα ανακεφαλαίωσης

Σελ.241: Ορισμός (Ρυθμός Μεταβολής)

Σελ.241-242: Επιτάχυνση, οριακό κόστος -είσπραξη-κέρδος Σελ.246: Θεώρημα Rolle + τη γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος Σελ.246: Θ.Μ.Τ + τη γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος Σελ.251: Απόδειξη του θεωρήματος Σελ.251: Απόδειξη του πορίσματος Σελ.252: Να διαβαστεί το σχόλιο

Page 9: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 8 -

Σελ.253: Απόδειξη του Θεωρήματος Σελ.254: το Σχόλιο

Σελ.258: Ορισμός (Τοπικό μέγιστο)

Σελ.259: Ορισμός (Τοπικό ελάχιστο) -τοπικά ακρότατα

Σελ.260: Σχόλια

Σελ260-1:Απόδειξη του Θεωρήματος(Fermat)

Σελ.261: Σχόλιο (Πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων -κρίσιμα σημεία)

Σελ262: Απόδειξη του Θεωρήματος

Σελ.264: τα Σχόλια

Σελ.264: ( το θεώρημα της σελίδας είναι εκτός ύλης)

Σελ.273: Ορισμός (κυρτή-κοίλη)

Σελ.274: τα δύο Σχόλια και το θεώρημα

Σελ.275: Ορισμός (Σημεία καμπής)

Σελ.275: το θεώρημα και από κάτω τις πιθανές θέσεις σημείων καμπής

Σελ.276: το μπλε πλαίσιο

Σελ.279: Ορισμός (κατακόρυφη ασύμπτωτη)

Σελ.280: τους δύο ορισμούς και το θεώρημα

Σελ.281: τα Σχόλια

Σελ.282: το θεώρημα

Σελ.283: το θεώρημα και τα Σχόλια

Σελ.287: διαβάζεις όλη τη σελίδα

Σελ.295-9: τ ις ερωτήσεις κατανόησης

Κεφάλαιο 3 ο (Ολοκληρωτικός Λογισμός)

Σελ.303: Ορισμός (Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα)

Σελ.304: Απόδειξη του Θεωρήματος

Σελ.328: Ορισμός εμβαδού

Σελ.329-330: Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος

Σελ.330: τα μπλε πλαίσια και την πρόταση ανάμεσα στα δύο τελευταία

Σελ.332: διαβάζεις όλη τη σελίδα

Σελ.334: διαβάζεις όλη τη σελίδα

Σελ.334-5: Απόδειξη του Θεωρήματος

Σελ.336: το μπλε πλαίσιο

Σελ.337: το μπλε πλαίσιο

Σελ.342-345: κάνεις καλή ανάγνωση

Σελ.346: το Σχόλιο

Σελ.348: Η εφαρμογή είναι εκτός ύλης

Σελ.354-9: τ ις ερωτήσεις κατανόησης

Page 10: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 9 -

Β. Κατηγορίες Ασκήσεων στο σχολικό βιβλίο

Page 11: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 10 -

Page 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 11 -

ΑΝΑΛΥΣΗ

ΘΕΩΡΙΑ Διαβάζω ορισμούς, αποδείξεις, μπλε πλαίσια, σχόλια, έντονα γράμματα από το σχολικό βιβλίο

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ (δεν εξετάζονται ως

θεωρία, χρησιμοποιούνται χωρίς απόδειξη στις

ασκήσεις)

Διαβάζω τις 2 εφαρμογές σελ.226-227 , τις 3 εφαρμογές σελ. 247-248, την εφαρμογή σελ.252, τις 2 εφαρμογές σελ.254-256 , τις 3 εφαρμογές σελ. 265-267 και τις εφαρμογές 1 και 2 σελ.346-347 σχολικού

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ - ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ

Σύνθεση - Αντίστροφη 6Β/148, 2Α/156

Όρια + Ασύμπτωτες 2Β/176, 4Β/176, 3Β/182, 4Β/182, 1Β/187, 3Β/187, 4Β/187, 3/102, 1Β/285, 2Β/286

Συνέχεια 2Β/199, 3Β/199, 6B/286

Bolzano + Ύπαρξη τουλ. μιας ρίζας + Μοναδική ρίζα

4B/199, 5B/200,8B/200

Σύνολο τιμών 6Β/200, 4Β/257

Διατήρηση προσήμου 7Β/200

Θεώρημα Μέγιστης – Ελάχιστης Τιμής

9Β/200

Παράγωγος στο x0 3A/220, 2B/220, 4B/220, 6B/221, 7B/221,

8B/221, 1B/228, 5B/286, 7Β/240

Εφαπτομένη

2Β/228, 3Β/228, 4Β/228, 5Α/238, 7Α/239, 10Α/239, 11Α/239, 1Β/240,

2Β/240, 3Β/240, 4Β/240, 6Β/240, 8Β/24011Β/241, 12Β/241

Παράγωγος σύνθετης 12Β/239, 14Β/239

Ρυθμός μεταβολής 1Β/244, 2Β/144, 4Β/244, 5Β/244

Θ.Rolle – Θ.Μ.Τ 3Α/249, 1Β/249, 3Β/250, 4Β/250, 5Β/250,

6Β/250, 7Β/250

Σταθερή συνάρτηση + Βασικό Πόρισμα + Παράγουσα

1Α/256, 1Β/257, 11Γ/293, 4Α/308, 1Β/308, 3Β/309, 4Β/309, 11Β/351

Μονοτονία 2Β/257, 6Β/257, 2Γ/291

Ανισώσεις 7Β/258, 8Β/258, 3Β/269

Πλήθος ριζών εξίσωσης 6Α/256, 7Α/ 256, 5Β/257, 2Α/267,

1Β/269, 2Β/269

Ακρότατα , 8Α/268, 4Β/269, 6Β/270, 8Β/270

Θ. Fermat 5Α/268, 5B/270, 7Γ/292

Κυρτότητα-Σημεία Καμπής 3Β/278, 4Β/278, 5Β/279, 8Γ/292

Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος + Μέθοδοι ολοκλήρωσης + Θεμελιώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού

1Α/338, 7Β/339, 8Β/339, 9Β/339, 3Α/338, 4Α/338, 6Α/339, 11Β/340,

12Β/340, 1Γ/352, 2Γ/352, 4Γ/352, 7Γ/353

Πεδίο ορισμού της συνάρτησης ολοκλήρωμα

6Γ/352

Page 13: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 12 -

Ανισώσεις με ολοκληρώματα

10Γ/353

Εμβαδά

1A/349, 2A/349, 3Α/349, 4A/349, 5Α/349, 1Β/349, 2B/349, 3Β/350, 4B/350, 5Β/350, 8Β/351, 9Β/351, 10Β/351, 12Β/351, 8Γ/353,9Γ/353

Page 14: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 13 -

Γ. Ερωτήσεις τύπου Σωστό - Λάθος

Page 15: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 14 -

Page 16: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 15 -

ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

Σ - Λ

1

Οι συναρτήσεις f (x )=2lnx και g(x) = lnx2 είναι ίσες.

2

Οι αντίστροφες συναρτήσεις έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο.

3

Η ισότητα ημx = x ισχύει μόνο για x = 0

4

0 0

00

( ) ( )( ) lim

h

f x h f xf x

h

5

Αν η παράγωγος μιας συνάρτησης f μηδενίζεται σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της, τότε αυτό θα είναι θέση τοπικού ακροτάτου.

6

Όλα τα κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης f είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων

7

∫ 𝜂𝜇2𝑥𝑑𝑥𝜋

0

− ∫ 𝜎𝜐𝜈2𝑥 = 𝜋0

𝜋

8

Αν f παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο R τότε:

∫ 𝑥𝑓΄(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(1)1

0

1

0

9

Αν f συνεχής στο R, τότε: ∫ 𝑓(2𝑥 + 1)𝑑𝑥 =1

2∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

7

1

3

0

10

Αν f συνεχής και f(x) ≠ 0 για κάθε χ[α , β] τότε:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 > 0 ή ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 < 0𝛽

𝛼

𝛽

𝛼

11

Αν f , g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι g f και fg, τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες

12

Αν f , g , h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h (g f ) , τότε ορίζεται και η (h g) f και ισχύει h (g f )= (h g) f

Page 17: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 16 -

14

Μια συνάρτηση f : ΑR είναι συνάρτηση 1 – 1 , όταν για οποιαδήποτε x1 , x2 A ισχύει η συνεπαγωγή: αν f (x1 ) = f (x2 ) , τότε x1 = x2

15

Μια συνάρτηση f είναι 1-1 αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f (x) = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς x.

16

Μια συνάρτηση f είναι 1-1 αν και μόνο αν δεν υπάρχουν

σημεία της γραφικής παράστασης με την ίδια τεταγμένη.

17

Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι συνάρτηση 1 -1.

18

Μια συνάρτηση f που είναι γνησίως μονότονη έχει πάντα μία ρίζα.

19

Έστω μια συνάρτηση f : ΑR. Τότε 1 ( ) , f f x x x A

20

Έστω μια συνάρτηση f : ΑR. Τότε 1( ) = , ( ) f f y y y f A

21

Οι γραφικές παραστάσεις των f και f -1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x.

22

Οι γραφικές παραστάσεις των f και f - 1 τέμνονται πάντα πάνω στην ευθεία y = x.

23

Η αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης xf(x) = 10 είναι η

g (x) = logx.

24

Αν μια συνάρτηση είναι συνάρτηση 1 -1 τότε είναι γνησίως μονότονη.

25

Αν μια συνάρτηση f είναι 1-1 , τότε η εξίσωση f (x ) = 0 έχει το πολύ μία ρίζα.

Page 18: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 17 -

26

Έστω μια συνάρτηση f : . Τότε 1( ) = , f f y y y A

27

Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα σύνολο της μορφής

0 0

( , ) ( , )x x και l ένας πραγματικός αριθμός.

Τότε ισχύει η ισοδυναμία: 0 0

x x x x

limf(x) l lim(f(x) l) 0

.

28

Αν 0

lim ( ) 0

x x

f x , τότε f (x ) > 0 κοντά στο x0 .

29

Αν 0

lim ( ) 0

x x

f x , τότε f (x ) < 0 κοντά στο x0 .

30

Αν f (x ) < 0 κοντά στο x0 ισχύει πάντα 0x x

lim f(x) 0

.

31

Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο x0 και 0

lim ( ) 0

x x

f x ,

τότε 0

lim ( ) 0

x x

f x .

32

Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν όριο στο x0 και ισχύει:

f (x )≤g(x ) κοντά στο x0 , τότε 0 0

lim ( ) lim ( )

x x x x

f x g x .

33

Αν υπάρχει το 0

lim( ( ) ( ))

x x

f x g x , τότε κατ΄ ανάγκη υπάρχουν τα

0

lim ( )x x

f x και 0x x

lim g(x)

.

34

Ισχύει :. 0

1lim 1

x

x

x

35

Ισχύει : lim 1

x

x

x

36

Αν 0

lim ( )

x x

f x , τότε f (x )>0 κοντά στο χ 0 .

37

Αν 0

lim ( )

x x

f x , τότε f (x )<0 κοντά στο χ 0 .

Page 19: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 18 -

38

Αν 0x x

lim f(x)

, τότε 0

lim ( )

x x

f x

39

Αν 0

lim ( )

x x

f x , τότε 0

lim ( )

x x

f x

40

Αν 0

lim ( )

x x

f x , τότε 0

1lim 0

( )

x x f x

41

Αν 0

lim ( ) 0

x x

f x και f (x )>0 κοντά στο x0 , τότε 0

1lim

( )

x x f x

42

Αν 0

lim ( ) 0

x x

f x και f (x )<0 κοντά στο x0 , τότε 0

1lim

( )

x x f x

43

Αν 0x x

lim f(x)

, τότε0

lim ( )

x x

f x

44

4 10

1lim

x x

45

ν

1lim = 0

xx, με νΝ * .

46

xΑν α > 1 τότε: lim α

x

47

1

1 1 0 ν Ρ(x)= ... , α 0 τότε: lim ( ) lim

x xx x x a x x

48

0lim ln

xx

49

0

1lim ln

x x

50

x 0

7xlim

x

= 7.

Page 20: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 19 -

51

Η εικόνα f (Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα.

52

Η εικόνα f (Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστημα.

53

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και

( ) 0f x για κάθε x τότε η f (χ)>0 στο Δ.

54

Μια συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το

πεδίο ορισμού της.

55

Το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [α , β] είναι το κλειστό διάστημα [ m , M ] όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της.

56

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α , β] και f (α) f (β) > 0 τότε η f δεν έχει ρίζα στο (α , β) .

57

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α , β] και

υπάρχει x0 (α , β) τέτοιο ώστε f (x0 ) = 0, τότε κατ ’ ανάγκη θα ισχύει f (α) f (β) < 0.

58

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της, τότε θα είναι και παραγωγίσιμη στο x0 .

59

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 και μια συνάρτηση g είναι συνεχής στο f (x0 ) , τότε η σύνθεσή τους g f είναι

συνεχής στο x0 .

60

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 και μια συνάρτηση

g είναι συνεχής στο x0 , τότε η σύνθεσή τους g f είναι

συνεχής στο x0 .

61

Οι συναρτήσεις f και f΄ έχουν πάντα το ίδιο πεδίο ορισμού.

62

Αν μια συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της, τότε δε θα είναι και συνεχής στο x0 .

Page 21: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 20 -

63

Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της, τότε δε θα είναι και παραγωγίσιμη στο x0 .

64

Αν για μια γνησίως μονότονη συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano , τότε η f έχει μοναδική ρίζα.

65

Αν η f έχει δεύτερη παράγωγο στο x0 , τότε η f΄ είναι συνεχής στο x0 .

66

Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο x0 , τότε η

συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο x0 και ισχύει

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) f g x f x g x .

67

Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο x0 και

0

( ) 0g x , τότε η συνάρτηση f

g είναι παραγωγίσιμη στο x0 και

ισχύει :

0 0 0 0

0

0

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

f x g x f x g xfx

g g x .

68

Για κάθε 0x ισχύει 1

ln xx

.

69

Ισχύει ότι: 1

(7 ) 7

x xx , για κάθε xR.

70

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [α , β] , στο οποίο η f ικανοποιεί τ ις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rol le .

71

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [0,1] , τότε

υπάρχει εφαπτομένη της fC παράλληλη στην ευθεία ε, που

διέρχεται από τα σημεία με 0, (0) , 1, (1)f f .

72

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και έχει δύο πραγματικές ρίζες, τότε η f ΄ έχει μία τουλάχιστον

πραγματική ρίζα.

Page 22: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 21 -

73

Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 δεν έχουν ασύμπτωτες.

74

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α , β) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0 , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f ΄ (x ) διατηρεί πρόσημο στο (α , x0 ) (x0 , β) , τότε το f (x0 ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (α , β) .

75

Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ , τότε f ΄ (x ) < 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ.

76

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f ε ίναι παραγωγίσιμη στο x 0 και f ΄ (x 0 )=0, τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο x 0 .

77

Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο x

του Δ. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ τότε ( ) 0 f x

σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ.

78

Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα

διάστημα Δ. Αν f (x) 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ,

τότε η f είναι γνήσια φθίνουσα σε όλο το Δ.

79

Έστω δύο συναρτήσεις f , g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ.

Αν οι f , g είναι συνεχείς στο Δ και f (x) g (x) σε κάθε

εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε ισχύει f (x ) = g(x ) για

κάθε xΔ.

80

Τα εσωτερικά σημεία ενός διαστήματος Δ, στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το 0, λέγονται

κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ.

81

Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο

διάστημα [α , β] και σημείο x0 [α , β] στο οποίο η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Τότε πάντα ισχύει ότι f΄ (x0 ) = 0.

Page 23: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 22 -

82

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α , β) , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0 , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f΄ (x0 )>0 στο (α , x0 ) και f΄ (x0 )<0 στο (x0 , β) , τότε το f (x0 ) είναι τοπικό ελάχιστο.

83

Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν f΄΄ (x )>0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ.

84

Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ τότε f ΄΄ (x ) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ .

85

Στα σημεία καμπής η εφαπτομένη της C f «διαπερνά» την καμπύλη.

86

Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ , τότε η εφαπτομένη της C f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» απ΄ τη C f με εξαίρεση το σημείο επαφής τους.

87

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α , β) , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του χ 0 . Αν η f είναι κυρτή στο (α , x0 ) και κοίλη στο (x0 , β) ή αντιστρόφως , τότε το σημείο Α(x0 , f (x0 ) ) είναι υποχρεωτικά σημείο καμπής της c f .

88

3

23 2f(x)dx f( ) f( )

89

5

5

2 2

17

7dx ln x

x

90

Για κάθε συνάρτηση f , παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ,

ισχύει ( ) ( )( )a

f ff x dx

.

91

Αν η συνάρτηση f συνεχής στο [α , β] και λR , τότε ισχύει

( ) ( ) f x dx f x dx

.

92

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [α , β] με συνεχή πρώτη παράγωγο, τότε

Page 24: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 23 -

( ) ( )( ) ( ) f ff x dx xf x dx

.

93

Αν f , g δύο συναρτήσεις με συνεχή πρώτη παράγωγο στο R, τότε ισχύει:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) f x g xf x g x dx f x g x dx

.

94

Αν η f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και α , β , γΔ τότε

ισχύει : β γ β

α α γf(x)dx f(x)dx f(x)dx .

95

Αν f συνάρτηση συνεχής στο [α , β] και γ ια κάθε χ [α , β]

ισχύει f (x ) ≥ 0 τότε ( ) 0 f x dx

.

96

Αν ( ) 0 f x dx

, τότε κατ ’ ανάγκη θα είναι f (x ) ≥ 0 για κάθε

x [α , β] .

97

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα δ ιάστημα [α , β] . Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α , β] , τότε

( ) ( ) ( ) f t dt G G

.

98

Ισχύει η σχέση β βα

βα αf(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx , όπου

f΄ , g΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α , β] .

99

Αν f , g , g΄ ε ίναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [α , β]

, τότε ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx

.

100

Το ολοκλήρωμα ( ) f x dx

είναι ίσο με το άθροισμα των

εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξο να x΄x μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x΄x.

Page 25: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 24 -

Page 26: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 25 -

Γ. Θέματα

Page 27: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 26 -

Page 28: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 27 -

Θέμα Α

Page 29: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 28 -

Page 30: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 29 -

Θ.Α.1. A1.Aν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x0 του

πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της

γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α (x0 , f (x0 ) ) .

Α2. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ'

ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της ,τότε είναι και συνεχής στο

σημείο αυτό.

Α3 .Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο

τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που

αντ ιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 , τότε η f΄ είναι πάντοτε

συνεχής στο x0 .

β. Αν η f δεν είναι συνεχής στο x0 ,τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο

x0 .

γ. Αν η f έχει δεύτερη παράγωγο στο x0 ,τότε η f΄ είναι συνεχής στο

x0 .

Α4 . Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της στήλης Α και δ ίπλα

τον αριθμό της στήλης Β που αντ ιστοιχεί στην εφαπτομένη της κάθε

συνάρτησης στο σημείο x0 .

Στήλη Α

συναρτήσεις

Στήλη Β

εφαπτόμενες

α. f (x )=3x 3 , x0=1

1. y=-2x+π

β. f (x )=ημ2x, x 0=π

2 2. y=

1 4

x+1

γ. f (x )=3 x , x 0=0

3. y=9x-6

δ. f (x )= x , x 0=4

4. y=-9x+5

5. δεν υπάρχει

Page 31: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 30 -

Θ.Α.2. Α1. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat.

Α2. Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα

Δ και ισχύει ' 0f x για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ.

Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

Α3 . Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη

Σωστό ή Λάθος.

1.Αν για μια συνάρτηση :f A ισχύει όπου για

κάθε , τότε το κ είναι η μέγιστη τιμή της f .

2.Αν υπάρχει το 0

lim 0x x

f x

, τότε υπάρχει το όριο της f x στο 0x

και είναι 0

lim 0x x

f x

.

3.Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν 0f a f και 0f x για

κάθε ,x a , τότε η f δεν είναι συνεχής στο , .

4.Αν για δύο συναρτήσεις f , g συνεχείς στο διάστημα Δ ισχύει

' 'f x g x για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε για

κάθε .

5. Αν για μια συνάρτηση f ισχύει ο΄τι είναι συνεχής στο [α , β] ,

τότε για κάθε ισχύει: ( ) ( )f x dx f x dx

.

6.Αν οι συναρτήσεις f ,g είναι συνεχείς στο και ισχύει

για κάθε ,x , τότε a

f x dx g x

.

Θ.Α.3. Α1. Έστω δύο συναρτήσεις ,f g σε ένα διάστημα Δ. Αν

οι ,f g είναι συνεχείς στο Δ και

' 'f x g x για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ,

να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x να

ισχύει : f x g x c

Α2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση , 0, 1vf x x v είναι

παραγωγίσιμη στο και ισχύει: .

Α3 . Έστω η συνάρτηση 0

x

F x f t dt ,

όπου f η συνάρτηση του διπλανού

σχήματος που η γραφική της

παράσταση αποτελείται από τα

ευθύγραμμα τμήματα ΟΑ και ΑΒ. Το

εμβαδό του γραμμοσκιασμένου χωρίου

Ω είναι . Να συμπληρώσετε

τ ις ισότητες:

f x

x

f x g x

x

,a

f x g x

1' vf x v x

36 . .

Page 32: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 31 -

α.

β.

γ. 10F

Θ.Α.4. Α1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και 0x

ένα εσωτερικό σημείου του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο

στο 0x και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να δείξετε ότι:

0' 0f x .

Α2 . Πότε η ευθεία x λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής

παράστασης της f στο ;

Α3 . Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα

, ;

Α4 . Να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις ως

Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ) ;

1. Ισχύει 0

limx x

f x l

00

lim

h

f x h l .

2. Αν 0 1a τότε lim 0x

xa

.

3. Αν η f είναι συνεχής στο , τότε η f έχει υποχρεωτικά

ολικά ακρότατα τα f a και f .

4. Για τις συναρτήσεις f και g που έχουν συνεχείς παραγώγους

στο ,a ισχύει : ' 'a

f x g x dx f x g x dx f x g x

5. Αν για κάθε στοιχείο ψ του συνόλου τιμών της f x , η

f x έχει λύση ως προς x τότε η f είναι ‘ ‘1-1’ ’ .

Θ.Α.5. Α1. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα

σημείο 0x του πεδίου ορισμού της.

Α2. Να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του παράγωγου αριθμού

στο σημείο )(, 00 xfxM της γραφικής παράστασης της f .

Α3 . Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας

στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα

που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α) Η συνάρτηση f (x ) = ln(x2+1) έχει σύνολο τιμών το [0 , +∞)

0F

4F

Page 33: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 32 -

β) Αν axg )( κοντά στο 0x με axgxx

)(lim0

και ( )y aim f y l

τότε

0

( ( )) .x xim f g x l

γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [α, β] και f (β) μέγιστη τιμή της συνάρτησης, τότε κατ ’ ανάγκη θα είναι .0)(' f

δ) Αν μία συνάρτηση f είναι κυρτή και δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ, τότε .0)('' xf

ε) Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο [2,5] και 0)( xf στο

[2,5] , τότε .0)(

2

5

dxxf

Θ.Α.6. Α1. Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι ορισμένη σε ένα

κλειστό διάστημα , . Αν:

Η f συνεχής στο , και

f f

τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f και f υπάρχει ένας,

τουλάχιστον 0 ,x a τέτοιος, ώστε 0f x .

Α2 . Πότε η ευθεία 0x x λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της

γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f ;

Α3 . Να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος του

Rolle .

Α4 . Να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις ως

σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) .

1. Ισχύει ότι: 0

1lim lnx x

2. Ισχύει ότι:

x

xim e .

3. Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις: : f A R και : g B R , αν

ορίζεται η συνάρτηση f

g, τότε έχει πεδίο ορισμού την τομή .

4. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο σημείο 0x του πεδίου

ορισμού της, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0x .

5. ' 'f x g x dx f x g x f x g x dx

όπου ', 'f g είναι

συνεχείς στο , .

Θ.Α.7. Α1. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι

παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x0 , τότε είναι συνεχής στο σημείο

Page 34: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 33 -

αυτό.

A2. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει ολικό

μέγιστο στο x0A;

A3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f (x ) = α x , α>0 είναι

παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f (x ) = α x lnα.

A4. Να βρείτε ποιοι από τους επόμενους ισχυρισμούς είναι

αληθείς και ποιοι ψευδείς:

i . Μια συνάρτηση είναι 1 -1 αν και μόνο αν δεν υπάρχουν σημεία

της γραφικής της παράστασης με ίδια τεταγμένη.

ii . Η συνάρτηση f (x ) = e x+1 έχει οριζόντια ασύμπτωτη.

iii . Αν0

limx x

f (x)>0, τότε f (x)>0 κοντά στο x0 .

iv. Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x , y συνδέονται με τη σχέση

y = f (x ) , όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x0 , τότε o

ρυθμός μεταβολής του y ως προς x στο σημείο x0 είναι η

παράγωγος y = f΄ (x0 ) .

v. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, τότε

τα εσωτερικά σημεία x0 του Δ, στα οποία f΄ (x0 )≠0 , δεν είναι θέσεις

τοπικών ακρότατων της f .

Θ.Α.8. Α1. Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής σε ένα

διάστημα Δ.

α. Να αποδείξετε ότι αν f΄ (x)0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ,

τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστημα Δ.

β. Αν f΄ (x)0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τ ι συμπεραίνετε

για τη μονοτονία της συνάρτησης f ;

Α2 .Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο

τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που

αντ ιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Η συνάρτηση f (x) =e1 - x είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο των

πραγματικών αριθμών.

β. Η συνάρτηση f με f ´ (x) = -2ημx+2

1

ημ x + 3, όπου x

π

2,π) είναι

γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό.

γ. Αν f´ (x) = g´ (x ) + 3 για κάθε xΔ, τότε η συνάρτηση

h(x)=f(x)-g(x ) είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

Page 35: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 34 -

Θ.Α.9. A1. Έστω f μία συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [α, β] . Αν

G είναι μία παράγουσα της f στο [α,β] , να αποδείξετε ότι:

).()()( aGGdttf

Α3. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Α. Πότε θα

λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x0A τοπικό μέγιστο;

Α2. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της

παραγώγου μιας συνάρτησης f στο διάστημα -2,6 .

Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι

γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα

Θ.Α.10. A1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x )=αχ , α>0 είναι

παραγωγίσιμη στο R και για κάθε xR ισχύει f΄ (x ) = αχ lnα .

A2. Έστω μία συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα ∆.

Να διατυπώσετε τον ορισμό της αρχικής συνάρτησης ή

παράγουσας της f στο ∆.

A3. Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντ ιστοιχεί σε κάθε

πρόταση τη λέξη Σωστό , αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος , αν η

πρόταση είναι λανθασμένη.

α. Οι συναρτήσεις f (x )=logx, x>0 και g(x)=10 x είναι αντίστροφες.

β. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει

στο x 0 ∈A (ολικό) μέγιστο το f (x 0 ) , όταν f (x ) ≤ f (x 0 ) για κάθε x∈A

-2 1 3 6x

y

Page 36: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 35 -

γ. Αν μια συνάρτηση f ε ίναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ,

τότε είναι και 1 -1 στο διάστημα αυτό.

δ. Αν 0

lim ( ) 0x x

f x

και f (x )>0 κοντά στο x0 , τότε: 0

1lim

( )x x f x .

ε.Κάθε συνάρτηση f που είναι συνεχής σε ένα σημείο x 0 του

πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

Θ.Α.11. A1.Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0

ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο

στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε

ότι: f ′ (x 0 ) = 0.

A2. Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο ℝ . Πότε η ευθεία y=λx+β

λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞;

A3. Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντ ιστοιχεί σε κάθε

πρόταση τη λέξη Σωστό , αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος , αν η

πρόταση είναι λανθασμένη.

α) 1

0( ) (1) (0)f x dx f f , με f΄ συνεχή στο [0 , 1]

β) Μια συνάρτηση f:A→ ℝ λέγεται συνάρτηση 1 -1, όταν για

οποιαδήποτε x 1 , x2∈A ισχύει η συνεπαγωγή: αν x 1≠x2 , τότε

f (x1 ) ≠ f (x 2 )

γ) Για κάθε x∈ ℝ 1= ℝ–x/συνx=0 ισχύει: 2

1εφx

συν x .

δ) Ισχύει ότι:x

ημxlim 1

x .

ε) Οι γραφικές παραστάσεις C και C΄ των συναρτήσεων f και f - 1

είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x που διχοτομεί τ ις

γωνίες xOy και x΄Oy΄.

Θ.Α.12. A1. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f΄ (x ) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

Page 37: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 36 -

A2. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f ε ίναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] ; A3. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f

παρουσιάζει στο x 0∈A τοπικό ελάχιστο ; A4. Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δ ίπλα στο γράμμα που αντ ιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό , αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος , αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι παραγωγίσιμες σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού τους, αλλά δεν είναι συνεχείς σε αυτό το σημείο. β. Μια συνάρτηση f είναι 1 -1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x .

γ. Αν είναι

0x x

lim f(x)= , τότε f (x )<0 κοντά στο x 0

δ. 2

1(σφx) =

ημ x, x∈ℝ - x|ημx≠0

ε. β ββ

αα αf(x)g (x)dx=[f(x)g(x)] f (x)g(x)dx , όπου f΄ ,g΄ είναι συνεχείς

συναρτήσεις στο [α,β] .

Θ.Α.13. A1. Να αποδείξετε ότι: 1

ln xx

για κάθε χR * .

A2. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] ; A3. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f

παρουσιάζει στο x 0∈A ολικό μέγιστο; A4. Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δ ίπλα στο γράμμα που αντ ιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό , αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος , αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Η συνάρτηση f (x ) = (x-1)(x-2)+3 δεν είναι 1-1. β. Αν μια συνάρτηση f είναι 1-1στο R, τότε θα έχει το πολύ μια ρίζα στο R.

γ. Αν είναι

70x x

lim f(x)= , τότε f (x )<0 κοντά στο x 0 .

δ. Αν δύο συναρτήσεις f , g είναι ορισμένες και συνεχείς σε ένα διάστημα Δ και ισχύει ότι f΄ (x )= g΄ (x) για κάθε εσωτερικό σημείο

x του Δ, τότε ισχύει πάντα f (x )=g(x) για κάθε x 0 ∈Δ . ε. Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο.

Θ.Α.14. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα

(α, β) , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x 0 , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f΄ (x)>0 στο (α, x 0 ) και f΄ (x)<0 στο (x 0 , β) , τότε να αποδείξετε ότι το f (x 0 ) είναι τοπικό μέγιστο της f .

Α2. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες;

Page 38: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 37 -

Α3. Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και να γράψετε τη γεωμετρική ερμηνεία του .

Α4. Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δ ίπλα στο γράμμα που αντ ιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό , αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος , αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης - f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα x΄x, της γραφικής παράστασης της f . β. Υπάρχουν x>0 ώστε lnx – x + 1> 0.

γ. Αν είναι 0<α<1 τότε

x

xlim α = .

δ. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο x 0 , τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο x 0 . ε. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β] .

Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β] , τότε β

αf(t)dt =G(α) G(β) .

Θ.Α.15. A1. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα

(α , β) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0 , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f΄ (x ) διατηρεί πρόσημο στο

(α , x0 ) (x0 , β) τότε το f (x0 ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (α , β) . Α2. Έστω δύο συναρτήσεις f και g με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα. Να δώσετε τον ορισμό της σύνθεσης της f με τη g. Α3. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού και να γράψετε τη γεωμετρική ερμηνεία του. . Α4. Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δ ίπλα στο γρ άμμα που αντ ιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό , αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος , αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης - f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα x΄x, της γραφικής παράστασης της f . β. Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους. γ. Για την πολυωνυμική συνάρτηση P(x )=α νx ν+α ν - 1x ν - 1+…α1x+α0

με α ν≠0 ισχύει: 0xlim P(x) α

.

δ. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο x 0 , τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο x 0 ε. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β) ,

με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x 0 , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f΄ (x)>0 στο (α,x 0 ) και f΄(x )<0 στο (x 0 , β) , τότε το f (x 0 ) είναι τοπικό μέγιστο της f

Θ.Α.16. Α1. Έστω η συνάρτηση αf x x , α R Z .

Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (0 , +) και ισχύει:

α-1f ' x αx .

Page 39: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 38 -

Α2. Έστω οι συναρτήσεις f , g συνεχείς σε ένα διάστημα Δ για τις

οποίες ισχύει: f΄ (x)=g΄ (x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ.

Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε να ισχύει:

f x g x c για κάθε x Δ .

Α3. Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν με την

ένδειξη Σωστό ή Λάθος.

α) Αν μια συνάρτηση f :A έχει αντίστροφη συνάρτηση 1f ,

τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο Α.

β) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x και , τότε

για τις τ ιμές του κοντά στο .

γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο

α,β τότε υπάρχει 0x α,β τέτοιος ώστε να ισχύει 0f ' x 0 .

δ) Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι κυρτή στο διάστημα Δ και

δύο φορές παραγωγίσιμη σε αυτό. Τότε ισχύει f '' x 0 για κάθε

x Δ .

ε) Αν f συνεχής στο α,β με f x 0 και ισχύει , τότε

υπάρχει τέτοιος ώστε .

στ) Αν η συνεχής συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση με μηδέν στο

α,β και ισχύει , τότε η f παίρνει δύο τουλάχιστον

ετερόσημες τιμές.

Θ.Α.17. A1. Έστω η συνάρτηση vf x x , v IN 0, 1 . Να αποδείξετε ότι η

συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει v 1f ' x v x .

Α2 . Η συνάρτηση f , που η γραφική της παράσταση φαίνεται στο

σχήμα, είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με

συνεχή δεύτερη παράγωγο.

0 0f x

0f x x 0x

0f x dx

0 ,x a 0 0f x

0f x dx

Page 40: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 39 -

Να βρείτε, αν η τιμή των ολοκληρωμάτων 1 2 3I , I , I είναι θετική ή

αρνητική.

Α3 . Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα όρια της στήλης Α με την

τιμή του της στήλης Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

1. x 0

ημ xlim

x

2. x 0

1lim x ημ

x

3. x 0lim ln x

4. xx

1lim

e

α.

β. 0

γ . 1

δ.

Θ.Α.18. A1. Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο x0 , τότε η

συνάρτηση f + g είναι παραγωγίσιμη στο x0 και ισχύει:

( f + g ) ΄ (x0 ) = f΄ (x0 ) + g΄ (x0 ) .

Α2 . Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α.

Τι ονομάζουμε πρώτη παράγωγο της f ;

Α3 . Να απαντήσετε αν είναι Σωστή ή Λάθος κάθε μια από τις

παρακάτω προτάσεις.

3

10

I f x dx

3

20

'I f x dx

3

30

''I f x dx

Page 41: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 40 -

1. Μια συνάρτηση f : ΑR είναι 1 - 1 αν και μόνο αν για κάθε

1 2x ,x Α ισχύει η συνεπαγωγή αν 1 2x x τότε 1 2f x f x .

2. Αν 0 0x x x x

lim f x lim g x

τότε f x g x κοντά στο 0x .

3. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο α,β και υπάρχει

τέτοιο ώστε , τότε .

4. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο α,β και γνησίως

αύξουσα, τότε υπάρχει τέτοιο ώστε 0f ' x 0 .

5. Αν β

αf x dx 0 και η συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση με

μηδέν στο , τότε για κάθε .

Θ.Α.19. Α1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και

0x ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό

ακρότατο στο 0x και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να

αποδείξετε ότι: 0f ' x 0 .

Α2. Πότε η ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της

γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f ;

Α3. Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν με την

ένδειξη Σωστό ή Λάθος.

α. Αν f παραγωγίσιμη στο [2 , 5] τότε θα έχει μια μέγιστη και

μια ελάχιστη τιμή.

β. Αν υπάρχει το τότε κατ ’ ανάγκη υπάρχουν τα

και .

γ. Αν 0x x

lim f x

ή τότε f x 0 για τις τ ιμές του x κοντά στο

0x .

δ. Αν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σ’ ένα

διάστημα Δ και δεν παρουσιάζει καμπή σε κανένα σημείο του Δ,

τότε f΄΄(χ)≠0 για κάθε x .

ε. Αν 0f x dx

και τότε κατ ’ ανάγκη ισχύει 0f x για

κάθε ,x a .

Θ.Α.20. A.1 Να αποδείξετε ότι: ( ln|x| ) ΄= 1

x.

Α.2 Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ ’ ένα δ ιάστημα Δ και

παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότ ι η f στρέφει τα

0 ,x a 0 0f x 0f a f

0 ,x a

, 0f x ,x a

0x x

0

limx x

f x g x

0

limx x

f x

0

limx x

g x

Page 42: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 41 -

κοίλα προς τα άνω ή ε ίναι κυρτή στο Δ;

Α3 . Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολο υθούν, γράφοντας

στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που

αντ ιστο ιχε ί σε κάθε πρόταση.

α. Αν η f είναι κοίλη στο Δ τότε f΄΄ (χ)<0 στο εσωτερικό του Δ.

β. Αν υπάρχει το 0x x

lim f (x) 0

τότε f (x) 0 κοντά στο x 0 .

γ. H εικόνα f (Δ) ενός δ ιαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη

σταθερής συνάρτησης f ε ίναι δ ιάστημα.

δ. Ισχύει ο τύπος x x 13 x 3 , γ ια κάθε x ∈ IR .

ε. Ισχύει η σχέση β ββ

αα αf (x)g (x)dx f (x)g(x) f (x)g(x)dx , όπου f ,g

είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α, β] .

Θ.Α.21. Α1. Να αποδείξετε ότι: 2

1εφx

συν x για κάθε xR-x/συνx=0.

A2. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο (α , β) , με εξαίρεση

ίσως ένα σημείο x0 . Πότε το σημείο Α(x0 , f (x0 ) ) θα ονομάζεται

σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f ;

A3. Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που

αντ ιστο ιχε ί σε κάθε πρόταση.

α. Αν η εξίσωση f΄ (x ) = 0 είναι αδύνατη, τότε δεν υπάρχουν

εφαπτομένες της C f παράλληλες στον άξονα x΄x.

β. Ισχύει ότι: 1

(7 ) 7

x xx , για κάθε xR.

γ. 1 , 0x x R Z x

δ. x x ln με κ > 0 και x R

ε. 1

ln( ) , ( ,0) x xx

Page 43: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 42 -

Θ.Α.22. A1.Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα [α, β] .

Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β] , τότε να δείξετε ότι

β

α f (t) dt G(β) G(α) .

Α2 . Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ.

Τι ονομάζεται αρχική ή παράγουσα της f στο Δ;

Α3 . Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολο υθούν, γράφοντας

στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που

αντ ιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο [α, β] και συνεχής στο

(α, β] , τότε η f παίρνει πάντοτε στο [α, β] μία μέγιστη τιμή.

β. Κάθε συνάρτηση, που είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της, είναι

γνησίως μονότονη.

γ. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο x0 και0x x

lim f (x)

=0, τότε

x x0

lim f(x) 0 .

δ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR , τότε

β ββ

αα αf (x)dx xf (x) xf (x)dx , όπου f΄συνεχής στο [α,β] .

ε. Οι ρητές συναρτήσεις με βαθμό του αριθμητή μεγαλύτερο

τουλάχιστον κατά δύο του βαθμού του παρονομαστή, δεν έχουν

κατακόρυφες ασύμπτωτες.

Θ.Α.23. Α1 .Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη

σ’ ένα σημείο x0 , τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Α2 . Πότε μία ευθεία y = λ λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της

γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο + ;

Page 44: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 43 -

Α3 . Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που

αντ ιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα (α, β) , με

εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0 , στο οποίο όμως η f είναι

συνεχής.

Αν f ΄ (x ) > 0 στο (α, x0 ) και f ΄ (x) < 0 στο (x0 , β), τότε το f (x0 )

είναι τοπικό ελάχιστο της f .

β. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο

φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν f΄΄ (x )>0 για κάθε

εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ.

γ. Για κάθε συνάρτηση f ,με συνεχή παράγωγο σε ένα διάστημα

[α , β] , ισχύει

β

α

f (x)dx f (x) .

δ. Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η

εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ

βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση.

ε. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x0 ένα

εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 και

f΄ (x0 )=0, τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο

x0 .

Θ.Α.24. Α1 .Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ.

Αν F είναι μία παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι:

α. όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x) = F(x) c ,c ΙR είναι

παράγουσες της f στο Δ

β. κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή

G(x) = F(x) c ,c ΙR .

Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα

σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της;

Page 45: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 44 -

Α3. Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που

αντ ιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. 0x x

lim f (x) l

, αν και μόνο αν 0x x

lim f (x)

0x x

lim f (x) l

β. Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο x 0 ,τότε η

συνάρτηση f ⋅g είναι παραγωγίσιμη στο x 0 και ισχύει:

( f ⋅g)΄ (x 0 ) = f΄ (x 0 ) g΄(x 0 ) .

γ. Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα

∆. Αν f΄ (x)>0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του ∆, τότε η f είναι

γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.

δ. Αν f , g είναι δύο συναρτήσεις με συνεχή πρώτη παράγωγο, τότε

ισχύει : α αα

ββ β f(x) g (x) dx f(x) g(x) f (x) g(x) dx .

Θ.Α.25. A1. Να αποδείξετε ότι: 1

, 0,2

x xx

.

Α2 . Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που

αντ ιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής σ ’ ένα σημείο x 0 του πεδίου

ορισμού της, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

β. Ο συντελεστής διεύθυνσης, λ, της εφαπτομένης στο σημείο

Α(x0 , f (x 0 ) ) , της γραφικής παράστασης C f μιας συνάρτησης f,

παραγωγίσιμης στο σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της είναι

λ = f΄ (x 0 ) .

γ. Αν f , g είναι δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισμού IR και ορίζονται

οι συνθέσεις f og και gof , τότε αυτές οι συνθέσεις είναι

υποχρεωτικά ίσες.

δ. Οι γραφικές παραστάσεις C και C΄ των συναρτήσεων f και f – 1

είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x που διχοτομεί τ ις

γωνίες xOy και x΄Oy΄.

ε. Αν υπάρχει το όριο της f στο x 0 , τότε0 0

kk

x x x xlim f(x) lim f(x)

, εφόσον

f (x ) ≥ 0 κοντά στο x 0 , µε k ∈ ΙΝ και k ≥ 2.

Page 46: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 45 -

Α3 . Να ορίσετε πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε

ένα ανοικτό διάστημα (α, β) και πότε σε ένα κλειστό διάστημα

[α, β] .

Θ.Α.26. Α1 . Να αποδείξετε ότι: 1 * * , x x x R .

Α2 . Πότε η ευθεία y = λx + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής

παράστασης μιας συνάρτησης f στο -∞;

A3. Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που

αντ ιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] με f (α) < 0 και υπάρχει

ξ ∈ (α, β) ώστε f (ξ ) = 0, τότε κατ ’ ανάγκη f(β) > 0.

β. Αν υπάρχει το 0x x

lim f(x) g(x)

τότε κατ ’ ανάγκη υπάρχουν τα

0x x

lim f(x)

και 0x x

lim g(x)

γ. Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση f - 1

και η γραφική παράσταση

της f έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία y = x, τότε το σημείο Α

ανήκει και στη γραφική παράσταση της f - 1

.

δ. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα R * . Αν

• η f είναι συνεχής στο R * και

• f΄ (x ) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του R * ,

τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα R * .

ε. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε

μηδενίζεται σ ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x ∈ Δ ή

είναι αρνητική για κάθε x ∈ Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο

διάστημα Δ.

Θ.Α.27. Α1 . Να αποδείξετε ότι αν Ρ(x ) είναι ένα πολυώνυμο τότε:

0

0lim ( ) ( )x x

P x P x

.

Page 47: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 46 -

Α2 . Πότε μια συνάρτηση f: A → IR λέγεται “1 -1”;

A3. Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που

αντ ιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ, στα οποία η f δεν

παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το 0, λέγονται

κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ.

β. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α, β) με

εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x o . Αν η f είναι κυρτή στο (α, x o ) και

κοίλη στο (x o , β) ή αντιστρόφως, τότε το σημείο Α(x o f (x o ) ) είναι

υποχρεωτικά σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f .

γ. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α , β] και λ ∈ IR, τότε

ισχύει : β β

α αλf(x)dx λ f(x)dx .

δ. Αν για δύο συναρτήσε ις f , g ορίζονται οι fog και gof, τότε είναι

υποχρεωτικά fog ≠ gof.

ε. Αν f (x ) = ημx, xR τότε f΄ (χ)=-συνχ.

Θ.Α.28. A1.΄Εστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ.

Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι:

όλες οι συναρτήσεις της μορφής:G(x)=F(x)+C, C ΙR είναι

παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ

παίρνει τη μορφή: G(x)=F(x)+c, c ΙR .

Α2. Να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε

να προκύψουν γνωστές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος.

α. β

αλf (x)dx = . . . . β.

β

αf (x) g(x) dx = . . . . γ.

β

αλf (x) μg(x) dx = . . . .

όπου λ,μ ΙR και f ,g συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β] .

Α3 . Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα :

α. 1

x

0e x dx

β.

24

1

3x dx

x

Page 48: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 47 -

γ. π

2

02ημx 3συνx dx

Θ.Α.29. A1. Να αποδείξετε ότι: (χ)΄= 1.

Α2 . Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέγιστης και ελάχιστης τιμής.

Α3 . Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που

αντ ιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια0x x

lim f(x)

,0x x

lim f(x)

είναι +∞ ή –∞,

τότε η ευθεία 0x x λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής

παράστασης της f .

β. Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο x ο και g(x ο )≠0,

τότε η συνάρτηση f

gείναι παραγωγίσιμη στο x ο

και ισχύει:

o o o oo 2

o

f f(x )g (x ) f (x )g(x ) x

g g(x )

.

γ. Για κάθε x≠0 ισχύει 1

ln x x

.

δ. Μια συνάρτηση f:Α→R είναι 1–1, αν και μόνο αν για κάθε

στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς

μία λύση ως προς x.

ε. Έστω f μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β]. Αν G

είναι μία παράγουσα της f στο [α, β] , τότε β

αf(t)dt G(α) G(β) .

Θ.Α.30. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α , β) , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0 , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι:

Αν η f΄ (χ) διατηρεί πρόσημο στο (α , x0 )(χ0 , β) , τότε το f (x0 ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (α , β) . Α2. Έστω Α ένα υποσύνολο του ΙR.

Page 49: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 48 -

Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α;

Α3 . Για καθεμιά από τ ις επόμενες προτάσεις να γράψετε στο

τετράδιό σας τον αρ ιθμό της και ακρι βώς δίπλα την ένδειξη Σ , αν η

πρόταση είναι Σωστή , ή Λ , αν αυτή είναι Λανθασμένη .

1. Έστω f πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Δ και x 0 ∈Δ.

Έστω επίσης f (x )≠0 για κάθε x ∈Δ. Αν 0x x

lim f(x)

τότε 0x x

1lim

f(x) .

2. Αν x ≠ 0, τότε ισχύει 2x 0

1lim

x .

3. Αν μια πραγματική συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα

σημείο x 0 , τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο x 0 .

4. Έστω η συνάρτηση f(x) x με πεδίο ορισμού Δ = [0, +∞), τότε

1f (x)

x για κάθε x ∈ (0, +∞).

5.Έστω δύο συναρτήσεις f , g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν

• οι f , g ε ίναι συνεχείς στο Δ και • f΄ (x ) = g΄ (x) για κάθε εσωτερικό

σημείο x του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x ∈Δ

ισχύει : f (x ) = g(x ) + c.

Θ.Α.31. A.1 Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση f ε ίναι παραγωγίσιμη

σ’ ένα σημείο x0, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Α.2 Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f η οποία είναι ορισμένη σε ένα διάστημα Δ;

Β. Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο

τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που

αντ ιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Η εικόνα f (Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς

συνάρτησης f είναι διάστημα.

β. Αν f , g, g΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [α, β] , τότε

β β β

α α α

f(x)g'(x)dx f(x)dx g'(x)dx .

Page 50: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 49 -

γ. Αν f είναι μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι

ένα σημείο του Δ, τότε

α

f(t)dt f(β) - f(α)

για κάθε x∈Δ.

δ. Αν μια συνάρτηση f ε ίναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα

ανοικτό διάστημα (α, β) , τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα

αυτό είναι το διάστημα (Α,Β) όπου Α= x αlim f x

και Β=

x βlim f x

.

ε. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο x0

∈ ΙR, τότε:

o ox x x x

lim k f(x) k lim f(x)

για κάθε σταθερά k∈ ΙR .

Θ.Α.32. Α 1. Έστω η συνάρτηση νf x x ,ν∈Ν – 0,1 .

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και

ισχύει ν 1f x ν x .

A2. Nα ορίσετε πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σ’

ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της.

A3. Για καθεμιά από τ ις επόμενες προτάσεις να γράψετε στο

τετράδιό σας τον αρ ιθμό της και ακριβώς δίπλα την ένδειξη ( Σ) , αν

η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ) , αν αυτή είναι λανθασμένη.

1. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0 και η συνάρτηση g είναι

συνεχής στο x 0 , τότε η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο x 0 .

2. Μια συνάρτηση f είναι 1 -1, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια

ευθεία (παράλληλη στον xx΄) τέμνει τη γραφική παράστασή της το

πολύ σε ένα σημείο.

3. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο x0

∈R και 0x x

lim f x 0

,

τότε f (x )<0 κοντά στο x0.

4. Aν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β] , τότε η f παίρνει στο

[α,β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m.

5. Έστω η συνάρτηση f(x )=ημx με πεδίο ορισμού το R , τότε μια

παράγουσα της f είναι η g(x) = –συνx + 7.

Page 51: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 50 -

Θ.Α.33. Α1. Να αποδείξετε ότι: αν οι συναρτήσεις f , g ε ίναι

παραγωγίσιμες στο x0

, τότε η συνάρτηση f + g ε ίναι παραγωγίσιμη

στο x0

και ισχύει : ( f + g)΄ (x0) = f΄ (x

0) + g΄ (x

0) .

Α2. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες;

Α3 . Για καθεμιά από τ ις επόμενες προτάσεις να γράψετε στο

τετράδιό σας τον αρ ιθμό της και ακριβώς δίπλα την ένδειξη ( Σ) ,αν η

πρόταση είναι σωστή, ή (Λ) , αν αυτή είναι λανθασμένη .

1. Αν f συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [α, β] και για κάθε

x [α, β] ισχύει f (x ) ≥ 0 τότε β

αf(x)dx 0 .

2. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης –f ε ίναι συμμετρική, ως

προς τον άξονα x΄x, της γραφικής παράστασης της f .

3. Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h (g f ) , τότε

ορίζεται και η (h g) f και ισχύει h (g f ) = (h g) f .

4. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του

2 έχουν ασύμπτωτες.

5. Αν α > 1τότε x

xlim α 0

.

Θ.Α.34. A1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το Θεμελιώδες

Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού.

A2. Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό

διάστημα [α, β] ;

Α3 . Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντ ιστοιχεί σε κάθ ε

πρόταση, τη λέξη Σωστό , αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος , αν η

πρόταση είναι λανθασμένη.

Page 52: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 51 -

α. Αν μια συνάρτηση f:A→ IR είναι 1−1, τότε για την αντίστροφη

συνάρτηση f - 1

ισχύει: 1f (f (x)) x , x A και

1f (f (y)) y , y f (A) .

β. Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα

διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο

ορισμού της.

γ. Έστω f μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα ∆ και

παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο x του ∆. Αν η συνάρτηση

f είναι γνησίως αύξουσα στο ∆ τότε f΄(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό

σημείο x του ∆.

δ. Αν μια συνάρτηση f ε ίναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο IR και

στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ ’ ανάγκη θα ισχύει

f΄΄ ( x ) > 0 για κάθε πραγματικό αριθμό x.

ε. Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α,β,γ ∈Δ τότε ισχύει

β γ β

α α γf(x)dx f(x)dx f(x)dx .

Θ.Α.35. A1. Έστω μία συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [α, β] .

Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β] , τότε να αποδείξετε ότι

β

αf(t)dt G(β) - G(α) .

Α2 . Να δώσετε τον ορισμό της αντίστροφης μιας συνάρτησης f .

Α3 . Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν,γράφοντας στο

τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντ ιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

λέξη Σωστό , αν η πρόταση ε ίναι σωστή, ή Λάθος , αν η πρόταση

είναι λανθασμένη.

α. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1–1, αλλά δεν είναι γνησίως

μονότονες.

β. Αν μια συνάρτηση f ε ίναι κοίλη σ’ ένα διάστημα Δ, τότε η

εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ

βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το

σημείο επαφής τους.

γ. Το ολοκλήρωμαβ

αf(x)dx είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών

των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x΄x μείον το

Page 53: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 52 -

άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον

άξονα x΄x.

δ. Αν μια συνάρτηση f ε ίναι ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και δε

μηδενίζεται σ ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x ∈Δ ή είναι

αρνητική για κάθε x∈Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ .

ε. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα σύνολο της μορφής

(α, x 0 ) (x0 , β) και ένας πραγματικός αριθμός. Τότε ισχύει η

ισοδυναμία: 0 0x x x x

lim f (x) lim (f (x) ) 0

.

Θ.Α.36. Α1. Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα ∆.

Αν η f είναι συνεχής στο ∆ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του ∆

ισχύει f΄ (x ) = 0 , να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το

διάστημα ∆.

Α2 . Πότε μία συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0

του πεδίου ορισμού της;

Α3 . Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντ ιστοιχεί σε κάθε πρόταση

τη λέξη Σωστό , αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος , αν η πρόταση

είναι λάθος .

α. Η συνάρτηση f ε ίναι 1 -1, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία

τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο.

β. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει

(ολικό) ελάχιστο στο x0

∈A, όταν f (x)≥f(x0) για κάθε x∈A.

γ. x 0

συνx 1lim 1

x

.

δ. Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού

της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ε. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α, β] και

ισχύει f (x )<0 για κάθε x ∈ [α, β] , τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω

που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τ ις ευθείες x= α,

x=β και τον άξονα είναι: β

αΕ(Ω) f (x)dx .

Page 54: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 53 -

Θ.Α.37. A1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα ∆.

Αν F είναι μια παράγουσα της f στο ∆, τότε να αποδείξετε ότι:

όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x) F(x) c, c είναι

παράγουσες της f στο ∆

κάθε άλλη παράγουσα G της f στο ∆ παίρνει τη μορφή

G(x) F(x) c, c .

A2. Να διατυπώσετε το Θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών.

A3. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα ∆ και

παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του ∆.

Πότε λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο

∆;

Α4. Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντ ιστοιχεί σε κάθε πρόταση

τη λέξη Σωστό , αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος , αν η πρόταση

είναι λανθασμένη.

α) 0

limx

ημx=0

x

β) Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα δ ιάστημα ∆ και παραγωγίσιμη

στο εσωτερικό του ∆. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο ∆, τότε η

παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του ∆.

γ) Αν μια συνάρτηση f ε ίναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα

ανοικτό διάστημα (α, β) , τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα

αυτό είναι το διάστημα (Α,Β), όπου x α

A lim f (x)

και x β

B lim f (x)

δ) (συνx)΄= ημx, x

ε) Αν 0xx

lim f (x) 0

, τότε f (x) 0 κοντά στο x0

Θ.Α.38. Α1.Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f ε ίναι παραγωγίσιμη

σ’ ένα σημείο x 0 , τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Α2. Έστω f μια συνάρτηση και Α(x0 , f (x0 ) ) ένα σημείο της C f . Τι ονομάζουμε εφαπτομένη της C f στο σημείο Α;

Page 55: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 54 -

Α3. Για καθεμιά από τ ις επόμενες πέντε (5) προτάσεις, α. έως ε., να

γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της και ακριβώς δίπλα την

ένδειξη Σ , αν η πρόταση είναι Σωστή , ή Λ , αν αυτή είναι

Λανθασμένη .

α. Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f είναι το σύνολο Α των

τετμημένων των σημείων της γραφικής παράστασης C f της

συνάρτησης.

β. Για κάθε συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα ∆ και για

κάθε πραγματικό αριθμό c, ισχύει ότι : cf (x) f (x) , για κάθε x∈∆.

γ. Αν f(x ) = α x , α > 0, τότε ισχύει (α x ) ′ =xα x − 1 .

δ. Το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού

το κλειστό διάστημα [α, β] είναι το κλειστό διάστημα [m, M], όπου

m η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή της.

ε. Αν 0x x

lim f (x)

ή – , τότε 0x x

1lim 0

f (x) .

Θ.Α.39. Α1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα

κλειστό διάστημα [α, β] . Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και

f (α)≠f(β) , να δείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f (α) και f (β)

υπάρχει ένας τουλάχιστον αριθμός x0

∈ (α, β) τέτοιος ώστε f (x0)=η .

Α2. Να διατυπώσετε το Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού

λογισμού.

Α3. Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντ ιστοιχεί σε κάθε πρόταση

τη λέξη Σωστό , αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος , αν η πρόταση

είναι λανθασμένη.

α) Ισχύει ότι: x

ημxlim 1

x .

β) Για κάθε συνάρτηση f η γραφική παράσταση της f αποτελείται

από τα τμήματα της C f , που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x΄x,

και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα x΄x, των τμημάτων της

C f , που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x΄x.

Page 56: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 55 -

γ) Αν οι συναρτήσεις f , g έχουν όριο στο x o , και ισχύει f (x )≤g(x)

κοντά στο x o , τότε ισχύει: 0 0x x x x

lim f (x) lim g(x)

.

δ) Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο x o και g(x o )≠0,

τότε και η συνάρτηση f

g είναι παραγωγίσιμη στο x o

και ισχύει:

0 0 0 0

0

0

x x x xx

x

2

f g f gf

g g.

ε) Έστω P(x) , Q(x) πολυώνυμα διάφορα του μηδενικού. Οι ρητές

συναρτήσεις P(x)

Q(x), με βαθμό του αριθμητή P(x) μεγαλύτερο

τουλάχιστον κατά δύο του βαθμού του παρανομαστή, έχουν

πλάγιες ασύμπτωτες.

Θ.Α.40. A1. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

f και f - 1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x.

A2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano και να το

ερμηνεύσετε γεωμετρικά .

A3. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A. Πότε λέμε ότι η f

παρουσιάζει στο x o∈Α (ολικό) μέγιστο, το f (x o ) ;

A4. Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντ ιστοιχεί σε κάθε πρόταση

τη λέξη Σωστό , αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος , αν η πρόταση

είναι λανθασμένη.

α) Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δυο

φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ . Αν η f είναι κυρτή στο

Δ , τότε υποχρεωτικά f ′ ′ (x ) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ .

β) Αν ox x

lim f (x)

ή , τότε ox x

1lim 0

f (x)

γ) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα

είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα.

Page 57: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 56 -

δ) Αν η συνάρτηση f ε ίναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και

α, β, γ ∈ Δ, τότε ισχύει :

β γ β

α α γf (x)dx f (x)dx f (x)dx

ε) Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη

σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως

φθίνουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική

στο εσωτερικό του Δ .

Page 58: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 57 -

Θέμα Β

Page 59: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 58 -

Page 60: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 59 -

Θ.Β.1. Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [0,π] , με π

0f(x)dx 2 και F είναι μια αρχική της f .

Β1. Να βρείτε τον αριθμό F(0) - F (π) .

Β2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(0,π) τέτοιο ώστε f ( ξ ) = ημξ.

Β3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0

( ) 1x

f t dt x έχει μια

τουλάχιστον ρίζα στο (0 , π) .

Θ.Β.2. Δίνεται η συνάρτηση f (x ) = α x-x ,με 0<α<1.

Β1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.

Β2. Να λύσετε την ανίσωση: 2 2 2 .( 2) x xx x

Β3. Να λύσετε την εξίσωση: 2 24 2 .( 4) ( 2) x xa x x

Θ.Β.3. Μια συνάρτηση f : RR είναι συνεχής στο [α,β] και

παραγωγίσιμη στο (α,β) με f (α) = β και f (β) = α.

Να αποδείξετε ότι:

Β1. Υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο ώστε f (ξ ) = ξ.

Β2. Υπάρχουν μ, ν (α,β) τέτοια ώστε f ΄ (μ) f ΄ (ν) = 1.

B3. Αν ( ) 1 ( ) 1f f να δείξετε ότι α<1.

Θ.Β.4. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0 , 1] και παραγωγίσιμη

στο (0 , 1) με f (0) = 7 και f (1) = 0.

B1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 (0 , 1) , ώστε

f (x0 ) = 7x0 .

B2. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν x1 , x2 (0 , 1) ώστε :

f ΄ (x1 ) f ΄ (x2 ) = 49.

Β3. Αν επιπλέον η f΄ είναι συνεχής να υπολογίσετε την

παράσταση:1 0 1

0 1 0( ) ( ) 7 xxf x dx f x dx xe dx .

Θ.Β.5. Έστω f μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,3] με

f ΄΄ (x)<0 για κάθε x [1,3] , f (2) =0 και f (3) =1.

Β1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα μόνο ξ (2,3) τέτοιο ώστε να

είναι f ΄ (ξ ) = 1.

Β2. Να βρείτε το πρόσημο της διαφοράς: f ΄ (x ) – 1 στο [1,3] .

Β3. Να αποδείξετε ότι f (x) < x -2 για κάθε x [1,2) και f (x) > x -2

για κάθε x (2,3) .

Θ.Β.6. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f : RR με την ιδιότητα:

2 xf x 2e f x ,για κάθε xR.

Β1. Αν f (0)=2 να βρείτε την f .

Page 61: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 60 -

Β2. Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή και να βρείτε την εφαπτομένη

της C f στο Α(0 , f (0) ) .

B3. Να δείξετε ότι f (x )+ 2x ≥ 2 για κάθε xR.

B4. Να λύσετε την εξίσωση: ln ( ) ( ) 1f x f x .

Θ.Β.7. Έστω συνάρτηση f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο

διάστημα [0,4] ,με f (0) = 5 και f (4) = 1.

Β1. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .

Β2. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (x ) = α, όταν

α[1 , 5] .

Β3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (0 , 4) τέτοιο ώστε :

(1) 2 (2) 3 (3)( )

6

f f f

f .

Θ.Β.8. Έστω οι f ,g συνεχείς και παραγωγίσιμες στο (0,+ ) για τις

οποίες για κάθε x > 0 ισχύουν: g xf x e και f x

g x e .

Αν f (1) = g(1) = 0:

Β1. Να αποδείξετε ότι οι f , g είναι ίσες.

Β2. Να αποδείξετε ότ ι η h (x) = e - f ( x ) – x , x>0 είναι σταθερή και

να βρείτε τον τύπο της f .

Β3. Να βρείτε τα όρια: ( )

limx

f x x

x

,

0

( )lim

x

f x x

x

.

Θ.Β.9. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R , ώστε: 2016

40

0f (x) [f(x)] dx = 0 .

Β1. Να δείξετε ότι η εξίσωση f (x ) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα

στο (0 , 2016).

Β2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ [0 , 1008 ] τέτοιο ώστε

f ( ξ ) = f (1008 + ξ) .

Θ.Β.10. Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης και συνεχούς

συνάρτησης f :R R διέρχεται από τα σημεία Α(2 , 5) , Β( -1 , 3).

Β1. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

Β2. Να εξετάσετε αν η f αντιστρέφεται .

Β3. Να λύσετε τ ις εξ ισώσεις: f(2x 1) f(5) και f ( f (x ) ) = f (5) . .

Β4. Να βρεθούν οι αριθμοί: f - 1 (5) , f - 1 (3) .

Β5. Να λύσετε την εξίσωση: f (3+f - 1 (x+1) ) = 5.

Β6. Αν η C f διέρχεται από το σημείο Γ(9 , 9) να αποδείξετε ότι και

η γραφική παράσταση της f - 1 διέρχεται από το Γ.

Page 62: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 61 -

Θ.Β.11. Έστω η συνάρτηση: 31f(x) x x

2 .

Β1. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο

ορισμού της 1f .

Β2. Να λυθεί η εξίσωση: 1 .( ) 64 f x

Β3. Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι η f - 1 είναι παραγωγίσιμη, να

υπολογίσετε την τιμή: 1f (1).

B4. Να υπολογίσετε το όριο:

1

6

( ) 64lim

6x

f x

x

.

Θ.Β.12. Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε f(x y) f(x) f(y) 2xy για

κάθε x , y R και

x 0

f (x)4

xlim

.

Β1. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0.

Β2. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο .

Β3. Να βρείτε την f .

Θ.Β.13. Έστω η συνάρτηση: 4

f(x) 2x , x 0.x

Β1. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό Ε(λ ) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ,τον

άξονα x΄x και τ ις ευθείες x = λ, x = λ+1, όπου λ>0, είναι

( ) 2 1 4ln( 1) 4ln .

Β2. Να προσδιορίσετε την τιμή του λ ώστε το εμβαδόν Ε(λ) να

γίνεται ελάχιστο.

Β3. Να υπολογίσετε το όριο: lim ( )

.

Θ.Β.14. Α. Να βρεθούν τα όρια:

i ) 1 0

lim tx

x tdt

e

ii ) 0

lim tx

x tdt

e

Β. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων:

i ) F(x)=2

1

2

x x t

dtt

.

ii ) G(x) =2 3

2

3 4

xdtt

.

iii ) 12

3x H(x) dt1

lnt.

Page 63: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 62 -

Θ.Β.15. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g οι οποίες είναι παραγωγίσιμες

στο R και για τ ις οποίες ισχύει : f (x ) – g (x) = x για κάθε xR.

Αν α , β είναι ρίζες της g με α < 0 < β να δείξετε ότι:

Β1. Η εξίσωση f (x ) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α , β) .

Β2. Η εξίσωση f ΄ (x ) = 1 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α , β) .

Θ.Β.16. Α. Η συνάρτηση f :RR έχει συνεχή παράγωγο και ικανοποιεί

την ισότητα β f (x)

αf (x)e dx 0, όπου α, β R με α < β.

Να αποδείξετε ότι:

Η εξίσωση f΄ (x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α,β) .

Β. Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία

ισχύει : 3( ) ( ) 1 xf x f x e για κάθε xR .

Να λύσετε την εξίσωση: f ( lnx) = f (1 – x ) για x > 0.

Γ. Δίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και η

ευθεία (ε) που τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε τρία

διαφορετικά σημεία : Α(α , f (α) ) , Β(β , f (β) ) και Γ(γ , f (γ) ) .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0R τέτοιο ώστε

f ΄΄ (x0 ) = 0.

Θ.Β.17. Α. Έστω η συνάρτηση : [ , ] ,f η οποία είναι συνεχής στο

[α,β] , παραγωγίσιμη στο (α,β) και f (α) = 2β , f (β) = 2α .

i ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x )=2x έχει μία τουλάχιστον ρίζα

στο (α , β) . ii ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ 1 , ξ2 ( , ) τέτοια ώστε:

f ΄ (ξ1 ) f ΄ (ξ2 )=4.

Β. Αν η συνάρτηση : [0,1] (0, )f έχει συνεχή παράγωγο και

f (0)=1, f (1)=2 να βρεθεί το ολοκλήρωμα: Ι =2

1

0

f (x)dx

f (x) f(x)

.

Θ.Β.18. Α. Δίνεται η συνάρτηση: e

f(x) lnx xx

.

i ) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη .

ii ) Να λύσετε την εξίσωση : 1f (x) x .

B. Αν f :[α,β] R παραγωγίσιμη συνάρτηση με f (x ) > 0 και

f (x)

2016f(x)f(x)

.

Page 64: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 63 -

Αν f (β) = 2016f (α) να βρείτε το ολοκλήρωμα I = β

αf (x )dx .

Θ.Β.19. Έστω η συνάρτηση:21

( )2

xf x e x .

B1. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Μ(ξ , f ( ξ ) ) ,

ξ (1 , 2) , της C f , τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C f στο Μ(ξ , f ( ξ ) ) ,

να είναι κάθετη στην ευθεία ε : x + 2y = 1.

B2. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.

B3. Δίνεται και η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση g , για την οποία

ισχύει : ( ) ( ) ( )f x g x f x για κάθε xR.

Αν g(0)=0 να βρείτε τη συνάρτηση g.

Θ.Β.20. Έστω f : R R παραγωγίσιμη στο R με 3f (x) f (x) x 5 0 για

κάθε x R .

B1. Να δειχθεί ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί ο τύπος

της αντίστροφης.

B2. Να υπολογιστεί το όριο: 1lim ( )x

xe f x

.

B3. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R και να λύσετε

την εξίσωση f (x ) = 0.

Β4. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της

Α(3 , f (3)) .

B5. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (3 , 5) τέτοιο, ώστε: 1

( )2

f .

Θ.Β.21. Δίνεται η συνάρτηση: f (x ) = αx + xe - x . Β1. Να βρεθεί το α ώστε η γραφική παράσταση της

fC να έχει

στο σημείο (0, f (0)) εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία

2x – y + 7 = 0.

Β2. Αν α = 1,να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο και η

ευθεία y = x είναι ασύμπτωτη της fC στο .

Β3. Να βρείτε το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που ορίζεται από τη f

C

,την ευθεία y = x και τ ις ευθείες x = 0 , x = λ με λ > 0 , α = 1.

Β4. Να βρείτε το όριο: λ

E(λ)lim .

Θ.Β.22. Δίνεται η συνάρτηση : f (x ) = x e- x

+ λ x . Β1. Να βρεθεί ο λ R , ώστε η c f να έχει στο (0 , f (0) ) εφαπτομένη

παράλληλη στην ευθεία ( ε ) : 2y - 4x - 5 = 0 .

Β2. Για την τιμή του λ που βρήκατε να μελετηθεί η f ως προς τη

μονοτονία.

Β3. Να εξεταστεί αν η διχοτόμος της πρώτης και τρίτης γωνίας των

Page 65: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 64 -

αξόνων είναι πλάγια ασύμπτωτη της c f .

Β4. Να εξεταστεί η f ως προς την κυρτότητα.

Θ.Β.23. Έστω f παραγωγίσιμη στο [1 , 3] .

Β1. αν f (1) = f (3) , να αποδείξετε ότι υπάρχουν x1 , x2 με

1<x1<x2<3 τέτοιοι ώστε: f ΄ (x1 ) + f ΄ (x2 ) = 0.

Β2. αν f (1) = -1 και f (3) = 1 να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ 1 , ξ2 με

1 < ξ1 < ξ2 < 3 τέτοιοι ώστε:

1 2

1 12

( ) ( )

f f .

Θ.Β.24. Δίνεται η συνάρτηση f με: 3 2

3

1 , 1

( )

ln , 0 1

x x xx

x xf xa

x xx

.

Β1. Να βρείτε τα α , β για τα οποία η f είναι συνεχής.

Β2. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:2

12

( ) f x dx .

Θ.Β.25. Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [3 , 7 ] .

Αν f (x ) > 2 για κάθε x [3 , 7] :

Β1. να δείξετε ότι η εξίσωση 3

xf(t)dt x 1 έχει τουλάχιστον μία

ρίζα στο (3 , 7) .

Β2. αν επιπλέον f (4)<f(3)<f(7)<f(6) , να δείξετε ότι υπάρχουν δύο

σημεία της C f στο (3 , 7) στα οποία η εφαπτομένη της να είναι

παράλληλη με τον άξονα x΄x.

Θ.Β.26. Μια συνάρτηση f ε ίναι ορισμένη και συνεχής στο 1,0 και

ισχύει f (0)=f(1) . Να δείξετε ότι η εξίσωση:

B1. 1

2

f x f x έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

B2. 1

3

f x f x

έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

Θ.Β.27. Α. Αν μια συνάρτηση f ε ίναι παραγωγίσιμη και κοίλη στο [α ,

β] και το x0 (α , β) είναι μια λύση της εξίσωσης f (x ) = 0, να

αποδειχθεί ότι: f(α) f(β)

x α β x

0 0

0 .

Β. Αν μια συνάρτηση f ε ίναι παραγωγίσιμη στο ,0 και η f είναι

κοίλη στο ,0 , να αποδειχθεί ότι για κάθε x>1 ισχύει :

Page 66: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 65 -

f x f xf(x)

1 1

2.

Θ.Β.28. Έστω f πραγματική συνάρτηση συνεχής στο R τέτοια, ώστε

f (x )≥2 για κάθε xR.

Θεωρούμε τη συνάρτηση 2

25

0( ) 5 1 ( ) , .

x xg x x x f t dt x R

Να αποδείξετε ότι:

α. g(-3) g(0) < 0.

β. Η εξίσωση g(x ) = 0 έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα ( -3 , 0) .

Θέμα 4η ς Δέσμης 1997

Θ.Β.29. Έστω h: [1 , + ) R συνεχής συνάρτηση που ικανοποιεί τη

σχέση: h(x) (x ) F(x)1999 1 για κάθε χ≥1,όπου F μια παράγουσα της

συνάρτησης ( )

( )h x

f xx

και h(1)=0.

B1. Να βρείτε την h.

B2. Να αποδείξετε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα στο [1 , + ) .

Θ.Β.30. Έστω f συνεχής συνάρτηση στο R . Να δείξετε ότι η συνάρτηση

2 2 2 4

1

0( ) ( ) 2 ( )

I x f t xt f t x t dt , χR παρουσιάζει ελάχιστο στο

σημείο x0 = 21

05 ( ) t f t dt.

Θέμα 1η ς Δέσμης 2000

Θ.Β.31. Δίνεται η συνάρτηση f με f (x ) = x 2 lnx , x>0.

Β1 Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f .

Β2. Να αποδείξετε ότι ισχύει 1

( )

x

f x x x , x > 0.

Β3. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη

γραφική παράσταση της f , τον άξονα x΄x και τ ις ευθείες 1

xe

και

x = e .

Θ.Β.32. Δίνεται η συνάρτηση x

x

e 1f x , x R

e 1

.

α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη

συνάρτηση 1f .

Page 67: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 66 -

β. Να δείξετε ότι η εξίσωση 1f (x ) = 0 έχει μοναδική ρίζα το

μηδέν.

γ. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα 1

21

2

f x dx .

Θέμα 2ο Επαναληπτικές 2002

Θ.Β.33. Δίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f (x )=x 2 lnx .

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f, να μελετήσετε

την μονοτονία της και να βρείτε τα ακρότατα.

β. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα

σημεία καμπής.

γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .

Θέμα 2ο Πανελλήνιες 2004

Θ.Β.34. Θεωρούμε τη συνάρτηση f: IR → IR µε f (x ) = 2 x + m x – 4 x – 5 x ,

όπου m ∈ IR , m > 0.

α. Να βρείτε τον m ώστε f (x ) ≥ 0 για κάθε x ∈ IR .

β. Αν m = 10, να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρί ου που

περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x και

τ ις ευθείες x = 0 και x = 1.

Θέμα 2ο Επαναληπτικές 2004

Θ.Β.35. Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x ) =2+(x -2)2

με x ≥ 2.

α. Να αποδείξετε ότ ι η f ε ίναι 1 -1.

β. Να αποδείξετε ότ ι υπάρχει η αντ ίστροφη συνάρτηση f - 1

της f

και να βρείτε τον τύπο της.

γ. i . Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων f και f - 1

με την ευθεία y = x .

i i . Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από

τ ις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f - 1 .

Θέμα 2 ο Πανελλήνιες 2006

Page 68: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 67 -

Θ.Β.36. Δίνεται η συνάρτηση

x

x 1

1 ef(x)

1 e

, x∈ IR .

α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία της στο IR .

β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1

dxf(x) .

γ. Για κάθε x<0 να αποδείξετε ότι: f (5 x )+f (7 x )<f (6 x )+f (8 x ) .

Θέμα 2ο Επαναληπτικές 2006

Θ.Β.37. Δίνεται η συνάρτηση 2

ημ3x, x 0

x

f x

x αx βσυνx ,x 0

.

α. Να αποδειχθεί ότι x 0lim f x 3

.

β. Αν π

f ' π2

και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x

0=0,

να αποδειχθεί ότι α = β = 3.

γ. Αν α = β = 3, να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

π

0

f(x)dx .

Θέμα 2ο Επαναληπτικές 2007

Θ.Β.38. Δίνεται η συνάρτηση 4

f xx

, με x>0.

B1. Να βρείτε τα όρια: i )

x

f ' xlim

f x ii )

2x 2

xf xlim

x 2

B2. Nα βρείτε το σημείο Μ της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f που απέχει από το σημείο Ο(0,0) τη μικρότερη

απόσταση.

B3. Nα αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο της γραφικής

παράστασης της συνάρτησης f, στο οποίο η εφαπτομένη είναι

παράλληλη προς την ευθεία y= -2x+6.

Page 69: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 68 -

Θ.Β.39. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο R . Aν για

κάθε x≠0 ισχύει xf(x )=x+2ημx, τότε:

B1. Να βρείτε το f (0) .

B2. Να αποδείξετε ότι f (x)<3 για κάθε x∈π

0,2

.

B3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x )=2 έχει τουλάχιστον μια ρίζα

στο π

,π2

.

Θ.Β.40. Δίνεται η συνάρτηση:

2

2

1 1x , x 2

8 2f(x)

x 5x 6, x 2

2 x 1

.

B1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής και

παραγωγίσιμη στο x0=2.

B2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής

παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Μ (0,f (0)) .

B3. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y =1

2x-2 είναι ασύμπτωτη της

γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο +∞.

Θ.Β.41. Δίνεται μια συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο R , για την οποία

ισχύει 3 3 2f x f x 8x 12x 8x 2 , για κάθε x∈R.

B1. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνάρτηση 1 -1.

B2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x )=0 έχει μια μόνο ρίζα στο(0, 1) .

B3. Αν για τη συνάρτηση g: R→R ισχύει ότι 2f g x 3x f x 2 , γ ια

κάθε x∈R , να βρείτε το x0 στο οποίο η g παρουσιάζει ελάχιστο.

Θ.Β.42. Δίνεται η συνάρτηση f: [α, β]→ ℝ , όπου α, β∈ℝ με α<0<β, η

οποία είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β) . Αν

ισχύει f (α)=5β και f (β)=5α, να αποδείξετε ότι:

B1. Η εξίσωση f(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α, β) .

B2. Υπάρχει σημείο Μ(ξ, f ( ξ ) ) της γραφικής παράστασης C f της f ,

στο οποίο η εφαπτομένη της C f είναι κάθετη στην ευθεία

Page 70: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 69 -

ε: x–5y+2010=0

B3. Η συνάρτηση f παίρνει την τιμή 5

2(α+β).

Θ.Β.43. Για την συνάρτηση f :R→R ισχύει ότι f (1) = 1 και για κάθε

xR ισχύει : e x f (x ) + e x f ΄ (x) + f ΄ (x) = 0

Β1. Να βρείτε τον τύπο της f

Β2. Nα υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1

0( ) f x dx

Θ.Β.44. Μια συνάρτηση f :R→R είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει

( )( ) 0

f x

xf x

e και f (0)=1.

B1. Nα βρείτε τον τύπο της f και να αποδείξετε ότι f (x ) > 0 για

κάθε xR.

B2. Aποδείξτε ότι υπάρχει ξ(0, 2 ) τέτοιο ώστε

2

2

2 2 2ln(1 )

2

ee

e

B3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: 20

2 2

2

xdx

x e.

Θ.Β.45. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0,4

, F παράγουσα της f

και ισχύει

2 2(0)

4 32 2F F

.

B1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 0,4

τέτοιο,

ώστε να είναι f ( ξ ) = ξ – συνξ.

B2. Να υπολογίσετε το όριο 2

( )lim

( )

x

x f x

x .

Page 71: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 70 -

Θ.Β.46. Δίνεται η συνάρτηση: x

2

f (x) αx βxtdt 14 , α,β ,x 0.

Β1. Να βρείτε τα α,β ώστε f (x) f (2) και η f

C να περνά από το

σημείο M(2 , 6) .

Β2. Για τις τ ιμές των α , β του ερωτήματος Β1.

α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση βρίσκεται πάντοτε πάνω από

την εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο της .

β) Να δείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης συνεχώς

αυξάνεται.

γ) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης.

Θ.Β.47. Δίνεται συνάρτηση f : [0 , 5]→R παραγωγίσιμη με f (0) = 0 ,

f (3) = f (5) = 6.

B1. Να δείξετε ότι υπάρχει x0 (0 , 5) τέτοιο, ώστε: 5 f΄ (x0 ) – 6 = 0.

Β2. Να δείξετε ότι υπάρχει x1 (0 , 5) τέτοιο, ώστε: 5f΄ (x1 ) - 2 = 0.

Θ.Β.48. Έστω η συνάρτηση ln α x

f x , α 0x

.

Β1 . Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο

Μ(1, f 1 ) είναι παράλληλη στην ευθεία x y 0 , να βρείτε την τιμή του

α.

B2. Για α = 1:

α. Να μελετήσετε τη μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της f .

β. Να βρείτε το σύνολο τιμών και τ ις ασύμπτωτες.

γ. Να αποδείξετε ότι: κ 1 κ

κ κ 1

για κάθε θετικό ακέραιο κ 8 .

Θέμα 2 ο ΟΕΦΕ 2003

Θ.Β.49. Οι συναρτήσεις f , g είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο

με για κάθε x .

Αν στο όριο εφαρμόσουμε τον κανόνα του ορίου

πηλίκου, παρουσιάζεται απροσδιοριστία της μορφής 0

0.

Β1 . i ) Να υπολογίσετε το όριο L.

ii ) Να βρείτε τ ι ς ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων f και g στο .

Β2 . Να αποδείξετε ότι η g έχει το πολύ μια ρίζα στο .

Β3 . Να αποδείξετε ότι: για κάθε x .

Θέμα 2 ο ΟΕΦΕ 2004

' ' 1, ' 1f x g x f x

2lim

2x

g xL

f x x

4f x g x x

Page 72: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 71 -

Θ.Β.50. Έστω η συνάρτηση f x 2 x ln x 2 , x 0 .

Β1. Να αποδείξετε ότι: ln x

f ' x , x 0x

.

Β2. Να βρείτε το x 0lim f ' x

.

Β3. Να μελετήσετε τα κοίλα της f και να βρείτε το σημείο της

καμπής της.

Β4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από

τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ln x

g xx

, τον άξονα και

τ ις ευθείες και . Θέμα 2 ο ΟΕΦΕ 2005

Θ.Β.51. Έστω η συνάρτηση 2 ,xf x x a e x . Αν η ευθεία

εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στο σημείο

τότε:

Β1. Να αποδείξετε ότι: 2 .

Β2. Να μελετήσετε τη μονοτονία της f .

Β3. Να υπολογίσετε τα όρια:

i . xlim f x ii .

xlim f x .

Β4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2007f x έχει ακριβώς μια λύση

στο . Θέμα 2 ο ΟΕΦΕ 2007

Θ.Β.52. Δίνεται η συνάρτηση f με

, 0

1 1, 0

x xf x

x x

με , .

Β1 . Να βρείτε την τιμή του λ, ώστε η f να είναι συνεχής.

Β2 . Να βρείτε την τιμή του μ, ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο

0 0x .

Β3 . Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι 1-1.

Β4 . Για 1 και 2 , να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 2 f x dx

.

Θέμα 2 ο ΟΕΦΕ 2008

Θ.Β.53. Δίνεται η συνάρτηση :f με: 3 24 12 1f x x x x , για

κάθε x R όπου R η οποία παρουσιάζει στο 0 1x καμπή.

Β1 . i . Να αποδείξετε ότι λ=1.

ii . Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη.

Β2 . Να βρείτε το όριο:

3x

f xim

f x

.

'x x

1x

e

2x e

2 2y x

0, 0f

Page 73: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 72 -

Β3 . i . Να βρείτε την αρχική της f της οποίας η γραφική παράσταση

διέρχεται από το σημείο 0, 1 .

ii . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που π ερικλείεται από την

γραφική παράσταση της f και τον άξονα 'x x .

Θέμα 2 ο ΟΕΦΕ 2011

Θ.Β.54. Δίνονται οι συναρτήσεις f (x ) = e x - 2 και g(x) = lnx+2.

B1. Να βρείτε τ ις συνθέσεις f g και g f και να εξετάσετε αν είναι

ίσες.

B2. Να αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφη και να βρείτε την f - 1 .

B3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : 2 ln 2xe x έχει μία τουλάχιστον,

ρίζα στο διάστημα (e - 2 , 2) .

B4. Να αποδείξετε ότι:

( ) ( )

lim lim 0.( ) ( )x x

f x g x

g f x f g x

Θέμα 2 ο ΟΕΦΕ 2012

Θ.Β.55. Δίνεται η συνάρτηση: f (x ) = - e 3 x – x3 + 1.

B1. Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τ ις ρίζες

και το πρόσημό της.

Β2. Να εξετάσετε αν υπάρχει το όριο:

0

( ) 1lim

( )x

f x

f x

.

B3. α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί το πεδίο

ορισμού της αντίστροφής της.

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 3 2015 1

xe xe , έχει μοναδική ρίζα.

Β4. Αν για τη συνάρτηση g (0 , +∞)→R ισχύει:

33 ( ) 3 3 6( ) ln 2g xe g x x e x , για κάθε x>0, να αποδείξετε ότι ο τύπος

της g είναι g(x)=lnx+2 και να βρεθεί η αντίστροφή της.

Θέμα Β ΟΕΦΕ Ιανουάριος 2016

Θ.Β.56. Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f για την

οποία ισχύουν:

f (α)=e α , f (β)=eβ , f (γ)=e γ , όπου α,β,γR με α<β<γ.

Να δείξετε ότι:

Page 74: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 73 -

Β1. Η εξίσωση f (x) f΄ (x) = e 2 x έχει τουλάχιστον 2 ρίζες στο (α , γ) .

Β2. Υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 (α , γ) τέτοιο, ώστε:

( f΄ (x0 ) )2 + f (x0 ) f΄΄(x0 ) = 2e 2 x0 .

University of Bristol, Αγγλία

Θ.Β.57. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [0 , 1] τέτοια, ώστε

f (0)=0, f (1)=1 και 0≤ f (x )≤1 για κάθε x [0 , 1] .

Να δείξετε ότι:

Β1. Υπάρχει x0 (0 , 1) τέτοιο, ώστε f (x0 ) = 1 – x0 .

B2. Υπάρχουν α , β (0 , 1) με α≠β, ώστε f΄ (α) f΄ (β)=1.

Ολυμπιάδα Μαθηματικών, Αμερική

Θ.Β.58. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R τέτοια, ώστε:

f (0)=0 και (x2 – 1) ( f (x) – x3 ) ≥ 0 για κάθε xR.

Να δείξετε ότι:

Β1. Η C f εφάπτεται του x΄x στο σημείο Ο(0,0) .

Β2. f (1)=1 και f ( -1)=-1

B3. Υπάρχει ξ ( -1 , 1) τέτοιο ώστε: f΄ (ξ )=1.

University of Oxford, Αγγλία

Θ.Β.59. Έστω ένα πολυώνυμο P(x) και η συνάρτηση:

2 3( )

( )

x xf x

P x

, λR.

Να προσδιορίσετε το πολυώνυμο P(x) και το λR , αν για τη

συνάρτηση f ισχύουν:

lim ( ) lim ( ) 1x x

f x f x

η C f έχει ασύμπτωτες τ ις ευθείες με εξισώσεις x=1 και x=-2

η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0=-1.

University of New York

Θ.Β.60. Να βρεθεί το α>0 όταν: 1

lim 1( )

x

xdt

t t

.

University of Oxford, Αγγλία

Page 75: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 74 -

Θ.Β.61. Έστω 1

0

xx e dx

με νΝ * .

Β1. Να βρείτε το Ι 1 .

Β2. Να δείξετε ότι: 1

1( 1)

e , για κάθε νΝ * .

Β3. Να βρείτε τα ολοκληρώματα:

α) 1

3

0

xx e dx

β) 1

01 1 xx x x e dx

BAC. , Γαλλία

Θ.Β.62. Δίνεται η συνάρτηση:

4

( ) ln1

x

x

e ef x

e

.

B1. Να δείξετε ότι: f (4-x)=4-f(x ) , για κάθε xR.

Β2. Να βρείτε το ολοκλήρωμα: 4

0( )f x dx .

BAC. , Γαλλία

Θ.Β.63. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [0 , 1] τέτοια ώστε

f΄ (x)≤1, για κάθε x [0 , 1] και 1/2

0( ) 0f x dx .

Να δείξετε ότι:

Β1. 1

00

2

xf dx

Β2. ( )2 2

x xf x f

B3. 1

0

1( )

4f x dx

Μαθηματικός διαγωνισμός , Ρουμανία

Θ.Β.64. Δίνεται η συνάρτηση 2 2

( )( )

txf t

t x

, όπου tR και x>0.

Να δείξετε ότι:

Β1. 2

1( )f t

x για κάθε tR και x>0.

Page 76: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 75 -

Β2. 0lim ( ) 0x

x f t dt

.

BAC. , Γαλλία

Θ.Β.65. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f για την οποία

ισχύουν:

1

0( ) ( ) 0f x f x dx και

12

0( ) ( ) 18f x f x dx .

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:

14

0( ) ( ) .f x f x dx

Μ .Ι .Τ . 2004, Harvard University

Page 77: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 76 -

Page 78: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 77 -

Θέμα Γ

Page 79: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 78 -

Page 80: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 79 -

Θ.Γ.1. Θεωρούμε τη συνάρτηση: ( 1) 6( )

xf x

x

με x( -1 , +) και

α, βR , η οποία έχει ασύμπτωτες τ ις ευθείες y = 2 και x = -1.

Γ1. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι: 2x 6

x 1f(x) , x 1

.

Γ2. Να βρείτε συνάρτηση G(x ) τέτοια ώστε G΄ (x) = f (x ) , για κάθε x >-1, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(0,2) . Γ3. Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης

G(x)h(x)

x 1

, x >-1.

Θ.Γ.2. Δίνεται η συνάρτηση g:R→R με ( )1

x

x

e xg x

e

.

Δίνεται και η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f για την οποία

ισχύει : ( ) ( ) ( ) , f x g x g x x R και f (0)=0.

Γ1. Να βρείτε την f . Γ2. Nα αποδείξετε ότι ορίζεται η f – 1 : [0,π] [0,π] .

Γ3. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του χωρίου μεταξύ των C f , C f- 1

και των ευθειών x = 0, x = π είναι Ε = 4τ.μ.

Θ.Γ.3. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f στο διάστημα [ 0, α] . Να δείξετε ότι :

Γ1. α α

0 0

1f(x)dx f(x) f(α-x) dx

2 .

Γ2. x α

(α - x )x 0

2011 αdx =

22011 2011 .

Θ.Γ.4. Έστω F μια αρχική της συνεχούς συνάρτησης f :RR τέτοια

ώστε για κάθε xR να ισχύει: 2 2 22 ( ) ( ), F x F x όπου α 0.

Να αποδείξετε ότι: Γ1. F(0) = F(1) = α. Γ2. η εξίσωση f (x ) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R.

Θ.Γ.5. Δίνεται η συνάρτηση: F(x)=1

4x2 (2lnx-3)-x(lnx-2) για κάθε

x > 0. Γ1. Να μελετήσετε την F ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να αποδείξετε ότι η εξίσωση F(x ) = 0 δεν έχει ρίζα στο (0 , + ) .

Γ2. Δίνονται :

2xf(x) x ln x

2

και

23xg(x) 2x

4

Να αποδείξετε ότι: 2004

( )

( )

1

1f x

g xdt

t >0 για κάθε x >0.

Θ.Γ.6. A. Αν η 'f είναι γνησίως φθίνουσα στο R και F μια

παράγουσα της f στο R.

Page 81: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 80 -

Nα μελετήσετε ως προς τη μονοτονία στο R τη συνάρτηση :

5 ( ).( ) ( 5) ( ) f xg x F x F x

B. Η συνάρτηση f : R R είναι γνησίως μονότονη και έχει την

ιδιότητα f (x+f(y)) = f (x+y )+2 για κάθε x, y R .

Να αποδείξετε ότι :

α) f (x ) = x + f (0) .

β) f (x ) = x + 2 για κάθε xR.

Θ.Γ.7. Αν f :R *R είναι μια συνάρτηση 1 -1 και f f (x) f(x) α για

κάθε xR * , όπου α 0, τότε:

Γ1. Να δείξετε ότι f f (x) χ για κάθε x 0.

Γ2. Να βρείτε τον τύπο της f .

Γ3. Να βρεθεί η μονοτονία της f .

Γ4. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .

Γ5. Να ορίσετε την 1f .

Θ.Γ.8. Έστω συνάρτηση :f (0, ) R με x

f(x) f(y) fy

για κάθε

x, y > 0. Αν η εξίσωση f (x ) = 0 έχει μοναδική ρίζα, τότε:

Γ1. Να αποδείξετε ότι η f να είναι 1-1.

Γ2. Να λύσετε την εξίσωση:2 2f(x 3) f(x) f(x 1) f(x 1) .

Γ3. Αν f (x) 0 για κάθε x > 1 να δείξετε ότι η f είναι γνησίως

αύξουσα.

Θ.Γ.9. Δίνεται η συνάρτηση f : R→R , γ ια την οποία ισχύει:

f ΄ ( lnx) = x για κάθε x>0 και f (0) = 0. Γ1. Να βρείτε τη συνάρτηση f . Γ2. Να δείξετε ότι: f (x ) > x – 2 για κάθε xR.

Γ3. Να δείξετε ότι: 32

1

2f(x)dx .

Θ.Γ.10. Δίνεται η συνάρτηση: f (x) 2x ημx,x [0,π].

Γ1. Να αποδειχθεί ότι ορίζεται η 1f και να βρεθεί το πεδίο

ορισμού της.

Γ2. Να λυθεί η εξίσωση 1f (x) x.

Γ3. Να βρεθεί το ολοκλήρωμα Ι =2π 1

0f (x)dx

.

Θ.Γ.11. Γ1. Να αποδείξετε ότι για κάθε μ , ν ισχύει ότι :

1 1μ μν ν

0 0

x (1 x) dx x (1 x) dx .

Page 82: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 81 -

Γ2. Αν 2004f (x) x(1 x) , 2003g(x) x(1 x) να υπολογίσετε το εμβαδό του

χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων f , g.

Θ.Γ.12. Γ1. Δίνεται η συνάρτηση: xημx α , x 0e συνx , x 0

f (x)

.

α) Να βρείτε το α ώστε η να είναι συνεχής στο 0

x 0 .

β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη

γραφική παράσταση της f και τ ις ευθείες x=0 , x=π

2.

Γ2. Για τη τιμή του α που βρήκατε στο α) ερώτημα να απαντήσετε

στα παρακάτω ερωτήματα:

α ) Να βρείτε τα π π

f( ) , f( ) ,f(π)2 2

.

β ) Να εξετάσετε αν η f αντιστρέφεται.

γ ) Να υπολογίσετε το όριο: x

f (x)x

lim

.

Θ.Γ.13. Δίνεται η συνάρτηση f με 3f x ln x 1 x x e , x>-1.

Γ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το

πεδίο ορισμού της f - 1 .

Γ2. Να λύσετε την εξίσωση f - 1 (x ) = 0.

Γ3. Αν η 1f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, να βρείτε

την τιμή 1f e .

Θ.Γ.14. Δίνεται η συνάρτηση f με

f : (0 , + ) (0 , + ) με f (1) = 1 η οποία ικανοποιεί τη σχέση:

1 1xf

x f ΄(x)

για κάθε x > 0.

Γ1. Να αποδείξετε ότι:f ΄΄(x) 1 f (x)

f ΄(x) x f(x) ,x > 0.

Γ2. Να προσδιορίσετε τον τύπο της f .

Θ.Γ.15. Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R * για την οποία

ισχύουν:

1

( ) - ( ) xxf x f x e , για κάθε xR * και f (1) = e , f ( -1)=1/e.

Γ1. Να βρείτε τον τύπο της f .

Γ2. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: 2

1/

31/.

( )

e

edx

f x

x

Page 83: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 82 -

Θ.Γ.16. Έστω συνάρτηση :f R R με την ιδιότητα 2 2(f f )(x) x (2α 1)x α για κάθε x R , όπου α σταθερός αριθμός.

Αν η f είναι παραγωγίσιμη με 'f (α) 1

Γ1. Να βρείτε το f (α).

Γ2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο

Μ(α , f (α)) .

Θ.Γ.17. Δίνεται η συνάρτηση f με 2

lnxf(x)

x .

Γ1. Να βρείτε τ ις ασύμπτωτες της C f .

Γ2. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατά της.

Γ3. Να βρείτε τα α , β ώστε η αlnx β

g(x)x

να είναι αρχική της f .

Γ4. Να βρείτε το κ

E(κ)lim

όπου Ε(κ) το εμβαδόν του χωρίου που

περικλείεται από τη C f και τ ις ευθείες x = 1 , x = κ με κ>1 και y=0.

Θ.Γ.18. Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο R , ώστε f ( 3 ) (x ) > 0 για

κάθε xR. Γ1. Να αποδείξετε ότι η C f έχει το πολύ ένα πιθανό σημείο καμπής. Γ2. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ευθεία που να εφάπτεται σε δύο διαφορετικά σημεία Α(x1 , f (x1 ) ) και Β(x2 , f (x2 ) ) της C f .

Θ.Γ.19. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο R για την οποία ισχύουν:

f2 (x ) – 4 e x f (x ) = 1 για κάθε xR και f (0) = 2 - 5 .

Γ1. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο και να το προσδιορίσετε. Γ2. Να βρείτε τον τύπο της f .

Γ3. Να υπολογίσετε το όριο: limx

f x .

Θ.Γ.20. Θεωρούμε τη συνεχής συνάρτηση :f για την οποία

ισχύει

1

2 1 7lim 10

1x

f x

x

.

Γ1. Να αποδείξετε ότι :

α) 3 7f

β) 3 5f΄

Γ2. Έστω η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο

σημείο της 3, 3f .

α) Να αποδείξετε ότι η έχει εξ ίσωση 5 8y x .

β) Ένα σημείο Σ , που έχει τετμημένη μεγαλύτερη του 3, κινείτ αι

στην ευθεία .

Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του είναι 2 m/sec , να

Page 84: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 83 -

βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΜΣ. Ε.Μ.Ε. 2008

Θ.Γ.21. Α. Δίνεται η συνάρτηση f :RR με f (x ) 0 για κάθε xR. Αν f (5) + f (6) + f (7) = 0 , να εξετάσετε αν η f θα μπορούσε να είναι μια συνεχής συνάρτηση. Β. Δίνεται μια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με

f (1) = f (7) και f (x7 ) f (7x ) για κάθε xR. Να δείξετε ότι η f ΄΄ (x ) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0 , 7) .

Θ.Γ.22. Α. Έστω μια συνεχής συνάρτηση f : R R και F μια παράγουσα

της f στο R.

Αν F ΄΄(x) 0 και F(x) = F(2 – x ) για κάθε xR , να δείξετε ότι η εξίσωση f (x ) = 0 έχει μοναδική ρίζα την οποία και να βρείτε. Β. Έστω η συνάρτηση f : R R , η οποία ικανοποιεί τη συνθήκη:

f (1 – x ) + 2 = x f (x ) , για κάθε x R. 1. Να αποδείξετε ότι η f παίρνει στο R μέγιστη και ελάχιστη τιμή.

2. Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα: 2

1( ) ln 1

ef x dx e e .

Θ.Γ.23. Δίνεται η συνάρτηση

2x x 1f (x)

x 1

.

Γ1 . Να βρείτε το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τη

C f , την ασύμπτωτη της C f στο + και τ ις ευθείες x = 2 και x =λ με λ>2.

Γ2 . Να υπολογίσετε το : E( )lim

.

Γ3 . Αν το λ αυξάνει με ρυθμό 3 μονάδες ανά δευτερόλεπτο, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του παραπάνω χωρίου ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή όπου λ = 4.

Θ.Γ.24. Έστω η συνάρτηση f με 0,fD και τ ιμές στο R.

Αν x f x

f xx

για κάθε 0x και η ευθεία ( ε ) : y = 2x − e

εφάπτεται της Cf στο σημείο 0 0Μ x , y , τότε:

Γ1. Να προσδιορίσετε το σημείο Μ .

Γ2. Να βρείτε τον τύπο της f .

Γ3. Αν ln f x x x , να μελετήσετε τη μονοτονία της f .

Γ4. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .

Γ5. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 1

ln 02

xx

δεν έχει πραγματική

λύση για 0,x .

Page 85: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 84 -

Θ.Γ.25. Δίνεται η συνάρτηση f με f (x ) = x2 – (α + β)x + αβ , α < β. Φέρνουμε τις εφαπτόμενες της C f στα σημεία τομής της Α και Β με τον άξονα x΄x. Γ1. Να βρείτε το σημείο τομής Γ των παραπάνω εφαπτόμενων. Γ2. Αν Ε1 είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ και Ε 2 το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f και τον άξονα x΄x , να

δείξετε ότι: 1

2

3

2

E

E.

Θ.Γ.26. Δίνεται μια συνάρτηση f συνεχής στο [0 , 4] με

2 2

f 0 7 f 4 7 0 .

Γ1 . Να δείξετε ότι η f δεν είναι αντιστρέψιμη. Γ2 . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ[0 , 4] τέτοιο , ώστε:

1 1 12 3 4

2 3 4

9

f f f

f .

Γ3 . Αν επιπλέον ισχύει ότι f (x ) ≠ 0 για κάθε x [0 , 4] να

υπολογίσετε το όριο: 7 2

xlim f(3) 1 x 2x 1

.

Θ.Γ.27. Δίνεται η συνάρτηση f : RR , η οποία είναι συνεχής στο R

και για την οποία ισχύουν: x 0

xf(x) 1988ημxlim 18

x

και

2006x 7 x

ημxlim f(x) lim

x .

Γ1. να βρείτε το f (0) . Γ2. να βρείτε το f ( -7) . Γ3. να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία y = -x σε τουλάχιστον ένα σημείο με τετμημένη που ανήκει στο ( -7 , 0) .

Θ.Γ.28. Δίνεται μια συνάρτηση f συνεχής στο [1 , 3] .

Γ1 . Αν 1

3

2lim

x

f x

f x να υπολογίσετε το f (1) .

Γ2 . Αν

1

ln3

e xf dx

x , να αποδείξετε ότι η εξίσωση :

9

xf x έχει

μια τουλάχιστον ρίζα στο (1 , 3) .

Γ3 . Αν επιπλέον ισχύει: 3 4 f x για κάθε 1 , 2x να δείξετε ότι:

1 2 2 f .

Θ.Γ.29. Α. Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1 , 7]

για την οποία ισχύει: f (2) < f (1) < f (7) < f (5) .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (1 , 7) τέτοιο, ώστε f ΄΄(ξ) = 0.

Β. Δίνεται η συνάρτηση f (x ) = xe - ν x , xR όπου ν μη μηδενικός φυσικός αριθμός.

Page 86: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 85 -

α. Να μελετήσετε τη μονοτονία της f και να βρείτε τα ακρότατα και τα σημεία καμπής της.

β. Να αποδείξετε ότι: 2/ x

1/2 22 e xe dx e

.

Θέμα 4η ς Δέσμης 1993

Θ.Γ.30. Δίνεται η συνάρτηση f : R R , παραγωγίσιμη για την οποία

ισχύουν: f (x)

1f (x)

e 1

για κάθε xR και f (0) = 0.

Γ1 . Να δείξετε ότι: x

xf (x) f (x)2

για κάθε x >0.

Γ2 . Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f , τον άξονα x΄x και τ ις ευθείες x = 0 και

x = 2 να δείξετε ότι: Ε > f (2) .

Θ.Γ.31. Δίνεται μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το (0 , + ) με

e f (1) = 1 και

2

f xf x

x για κάθε x > 0.

Γ1 . Να δείξετε ότι η συνάρτηση φ(x) = f (x ) e 1 / x είναι σταθερή για

κάθε x > 0.

Γ2 . Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f .

Γ3 . Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από

τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

3

f xh x

x , του άξονα x΄x

και τ ις ευθείες x = 1 και x = 2.

Θ.Γ.32. Έστω f , g δύο συναρτήσεις που ορίζονται στο R με τις

ιδιότητες:

α) f (x1 + x2 ) = f (x1 ) f (x2 ) για κάθε x1 , x2 R.

β) f (x ) = 1 + x g(x ) για κάθε xR.

γ) x 0

g x 1lim

.

Γ1 . Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R. Γ2 . Έστω f (x) = e x . Να εξετάσετε αν η f ικανοποιεί τ ις ιδιότητες α) και γ) . New York University

Θ.Γ.33. Δίνεται η συνάρτηση g(x) = x lnx.

Γ1. Να υπολογίσετε το όριο: x

g(x)lim 0

.

Γ2. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:e lnx

I dxg(x)

2

1.

Γ3. Να δείξετε ότι: g΄ (x ) ≤ x για κάθε x > 0.

Γ4. Να δείξετε ότι: 1

ln 0xxe

για κάθε x > 0.

Page 87: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 86 -

Θ.Γ.34. Δίνεται η συνάρτηση f :R→R παραγωγίσιμη.

Αν η f΄ είναι γνησίως αύξουσα και f (3) = f (2) :

Γ1. Να λύσετε την εξίσωση: f (x+1) = f (x ) .

Γ2. Να λύσετε την ανίσωση: f (3x+1) > f (3x) .

Γ3. Να λύσετε την εξίσωση: f (x6 + 2) = f (x6 + 1) .

Γ4. Να δείξετε ότι η f έχει ολικό ελάχιστο.

Θ.Γ.35. Γ1 . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f με x

2 2

ef x

x

, λ>1

είναι γνησίως αύξουσα.

Γ2 . Να δείξετε ότι για κάθε x0 ισχύει:

2x x

e 1λ

, λ > 1.

Πανεπιστ. Βουκουρεστίου

Θ.Γ.36. Δίνεται η συνάρτηση f με 2.

1f x ln x 2x 1 , α 0 , 2π

2

Γ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f .

Γ2. Να μελετήσετε την f για α = π.

Πανεπιστ. Βουκουρεστίου

Θ.Γ.37. Α. Δίνονται οι συναρτήσεις : x 1f(x) 2 ln2 και g(x) ln 2x .

Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων τέμνονται

ακριβώς σε δύο σημεία, στα Α(1,ln2) και Β(2,ln4).

Β. Έστω η f που είναι συνεχής στο [ -α,α] και ισχύει: f΄ (x )1 για

κάθε x ( -α,α) με α>0.

Αν f(α)=α και f ( -α)=-α να δείξετε ότι f (0)=0.

Θ.Γ.38. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει :

f 2 (x ) +2f (x )ημx = x2 + συν2x για κάθε xR και f (0) = 1.

Γ1. Να δείξετε ότι η συνάρτηση:

g (x) = f (x ) + ημx , xR διατηρεί σταθερό πρόσημο.

Γ2. Να βρείτε τον τύπο της f .

Γ3. Να βρείτε τα όρια 0

( ) 1lim

x

f x

x και lim ( )

xf x .

Θ.Γ.39. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [2,3] , παραγωγίσιμη στο (2,3)

και f ΄ (x) 0 για κάθε x (2,3) . Να δείξετε ότι:

Γ1. f (2) f (3)

Page 88: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 87 -

Γ2. υπάρχει ξ (2,3) τέτοιο ώστε:

5f ( ξ ) = 2 f (2) + 3f (3) .

Γ3. υπάρχουν ξ 1 ,ξ2 (2,3) τέτοια ώστε: f ΄ ( ξ1 ) f ΄ ( ξ2 ) > 0.

Θ.Γ.40. Δίνεται η συνεχής στο R συνάρτηση f , για την οποία ισχύουν:

f (x )≠0 για κάθε χR και β

αf(x) dx 0 , α , βR.

Γ1. Να δείξετε ότι: α = β.

Γ2. Αν κR και

κe

t

κt e dt

22010

10 να βρείτε το κ.

Θ.Γ.41. Έστω η f :R R παραγωγίσιμη για την οποία ισχύουν

f ΄ (x) = -4x3e f ( x ) για κάθε xR και f (0) = -1.

Γ1. Nα βρείτε τον τύπο της f .

Γ2. Nα μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία.

Γ3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: 2

0

1

1

my

dxx

όπου ym η μέγιστη

τιμή της f .

Θ.Γ.42. Α. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής και παραγωγίσιμη στο

[1 , +) για την οποία ισχύει f (1) = 1 και 1 < f΄ (χ) < 2008

2007 για κάθε

x > 1. Να δείξετε ότι: χ < f (x ) < 2008 1

2007

x για κάθε x > 1.

Β. Δίνεται η συνάρτηση f :RR , δύο φορές παραγωγίσιμη για την

οποία ισχύουν:

f ΄΄ (x ) > 0 για κάθε xR και δεν είναι αντιστρέψιμη στο R.

Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο.

Θ.Γ.43. Έστω η παραγωγίσιμη f : RR για την οποία ισχύουν:

(x2 + x +1)f ΄(x) = e x –(2x+1)f (x) γ ια κάθε xR και f (0) = 1.

Γ1. Nα βρείτε τον τύπο της f .

Γ2. Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Γ3. Να αποδείξετε ότι ισχύει: 0 1

11( ) ( )

y ef e x y dx f x dx

e όπου yM

το τοπικό μέγιστο της f .

Θ.Γ.44. Για την συνάρτηση f ισχύει f ΄΄ (x) = 4e 2 x για κάθε xR.

Γ1. Nα δείξετε ότι υπάρχουν C 1 , C2 τέτοια ώστε f (x) = e 2 x + C1x +

C2 .

Page 89: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 88 -

Γ2. 0

( ) 2lim

x

f x και ( )

2lim

x

f x

x, να βρεθεί ο τύπος της f .

Γ3. Να δείξετε ότι e 2 x –2x –1 0 για κάθε xR

Γ4. Να δείξετε ότι η εξίσωση e 2 x – 2x = 2x2 + 1 έχει μοναδική ρίζα

Γ5. Nα βρεθεί η ασύμπτωτη της Cf στο - , η ευθεία (ε)

Γ6. Να βρεθεί το εμβαδόν που περικλείεται από την Cf , την (ε) ,

τη x =0 , x = -1

Θ.Γ.45. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :f η οποία έχει

γνησίως μονότονη πρώτη παράγωγο στο και ισχύουν:

' 1 1f και 0

(8 ) (3 )lim 5

5x

f x f x

x

.

Αν η εφαπτομένη της fC στο 0, 0f διέρχεται από το 2,8 :

Γ1. Να δείξετε ότι 0 2f .

Γ2. Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της 'f .

Γ3. Να δείξετε ότι 1 1 3f .

Γ4. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 0,2 ώστε:

2 3 1 3f f

Θ.Γ.46. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση :f R R για την οποία

ισχύει :

(1) ( 1)( )

2

f ff x x

, για κάθε x R .

Να αποδείξετε ότι : Γ1. f (1) – f ( -1) = 2

Γ2. Υπάρχει τουλάχιστον ένα 0 1,1x ώστε να είναι 0( ) 1 ( 1)f x f .

Γ3. Υπάρχουν 1 2, 1,1 με 1 2 ώστε να είναι 1 2( ) 2f f .

Γ4. Υπάρχουν 1 2, 1,1x x με 1 2x x ώστε να είναι 1 2

1 12

( ) ( )f x f x

Θ.Γ.47. Έστω συνάρτηση : 0,f δύο φορές παραγωγίσιμη για

την οποία ισχύουν: 1 0f , 1 2f και 2 1x f x x (1) για κάθε

x 0, .

Γ1. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις lng x f x x και lnh x x x

είναι ίσες για κάθε 0x .

Γ2. Να βρείτε τον τύπο της f .

Γ3. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, .

Page 90: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 89 -

Γ4. Να αποδείξετε ότι η fC έχει ένα μόνο σημείο καμπής, το οποίο

και να βρείτε.

Γ5. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1

2015f x έχει μία ακριβώς λύση,

η οποία ανήκει στο διάστημα (1,2) .

Θ.Γ.48. Δίνεται συνάρτηση :f δύο φορές παραγωγίσιμη για την

οποία ισχύουν οι σχέσεις: 24 4xf x x f x e και

44

f xf x x

.

Γ1. Να βρεθεί ο τύπος της f .

Γ2. Αν 24 xf x x e , να υπολογιστεί το όριο

limx

x

f x

.

Γ3. Να βρεθεί η εξ ίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο τομής

της με τον άξονα y y .

Γ4. Να δειχθεί ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί η εξίσωση της

εφαπτομένης της 1fC στο σημείο της 11, 1f .

Γ5. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 0 1,2x , ώστε η

εφαπτομένη της fC στο σημείο της 0 0,M x f x να διέρχεται από το

σημείο 1,5K .

Θ.Γ.49. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :f για την οποία ισχύει :

0

2lim 0x

f x

x

.

Γ1. Να βρεθεί το 0f .

Γ2. Να υπολογιστεί το όριο 2

20limx

x f x

x

.

Γ3. Αν επιπλέον γνωρίζετε ότι για την f ισχύει :

2 2 1,x xf x e f x e x ,

α. Να δείξετε ότι: ,x xf x e e x .

β. Να υπολογίσετε τα όρια : limx

f x

και limx

f x

.

γ. Με δεδομένο ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ,0 και

γνησίως αύξουσα στο 0, , να δείξετε ότι η εξίσωση f x k έχει

ακριβώς 2 ρίζες για κάθε τιμή του 2k .

Page 91: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 90 -

Θ.Γ.50. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [0,1]

και ισχύει f΄ (x )>0 για κάθε x(0,1) . Aν f (0)=2 και f (1)=4, να δείξετε

ότι:

Γ1 . η ευθεία y=3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα

ακριβώς σημείο με τετμημένη x0 (0,1) .

Γ2 . υπάρχει x1 (0,1) , τέτοιο ώστε f (x1 )=

1 2 3 4

5 5 5 5

4

f f f f

Γ3 . υπάρχει x2 (0,1) , ώστε η εφαπτομένη της γραφικής

παράστασης της f στο σημείο Μ(x2 , f (x2 ) ) να είναι παράλληλη στην

ευθεία y=2x+2000.

Θέμα 3ο Πανελλήνιες 2000

Θ.Γ.51. Για μια συνάρτηση f , που είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των

πραγματικών αριθμών ΙR , ισχύει ότι:

f3 (x ) + β f2 (x ) + γ f (x ) = x3 – 2x2 + 6x –1 για κάθε x ΙR ,όπου β, γ

πραγματικοί αριθμοί με β 2 < 3γ.

Γ1 . Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα.

Γ2 . Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.

Γ3 . Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης f (x ) = 0 στο

ανοικτό διάστημα (0,1) .

Θέμα 3ο Πανελλήνιες 2001

Θ.Γ.52. Δίνεται η συνάρτηση

x α, x 1

f (x) x 1 1 e ln(x 1), x 1,2

όπου

α ΙR.

Γ1 . Να υπολογίσετε το όριοx 1

1x1 elim

x 1

.

Γ2 . Να βρείτε το α ΙR ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο

x o=1.

Γ3 . Για α=-1 να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(1,2) τέτοιο,

ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α(ξ , f ( ξ ) ) να

είναι παράλληλη προς τον άξονα x΄x.

Page 92: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 91 -

Θέμα 3ο Επαναληπτικές 2001

Θ.Γ.53. Έστω οι συναρτήσεις f , g με πεδίο ορισμού το ΙR .

Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης fog είναι 1-1.

Γ1 . Να δείξετε ότι η g είναι 1-1.

Γ2 . Να δείξετε ότι η εξίσωση:

g ( f (x ) + x3 - x ) = g(f (x ) + 2x -1) έχει ακριβώς δύο θετικές και μία

αρνητική ρίζα.

Θέμα 3ο Πανελλήνιες 2002

Θ.Γ.54. Έστω η συνάρτηση f (x ) = x5+x3+x .

Γ1 . Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα κοίλα και να

αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφη συνάρτηση.

Γ2 . Να αποδείξετε ότι f (e x )≥ f (1+x ) για κάθε x IR.

Γ3 . Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

f στο σημείο (0,0) είναι ο άξονας συμμετρίας των γραφικών

παραστάσεων της f και της 1f .

Γ4 . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από

τη γραφική παράσταση της f – 1 , τον άξονα των x και την ευθεία με

εξίσωση x=3.

Θέμα 3ο Πανελλήνιες 2003

Θ.Γ.55. Δίνεται η συνάρτηση 2f(x) = x 1 - x .

Γ1 . Να αποδείξετε ότι x lim f(x) 0

.

Γ2 . Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της

f , όταν το x τείνει στο - .

Γ3 . Να αποδείξετε ότι 2 f (x) x 1 f(x) 0 .

Γ4 . Να αποδείξετε ότι: 1

2 0

1 dx ln 2 1

x 1

.

Θέμα 3ο Επαναληπτικές 2003

Page 93: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 92 -

Θ.Γ.56. Δίνεται η συνάρτηση g(x)=e x f (x ) , όπου f συνάρτηση

παραγωγίσιμη στο R και f (0)=f(3

2) = 0.

Γ1 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (0, 3

2) τέτοιο ώστε

f΄ (ξ)=−f(ξ) .

Γ2 . Εάν f (x )=2x 2−3x, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα :

Ι (α) = 0

α g(x)dx ,α∈R.

Γ3 . Να βρείτε το όριοαlim Ι(α)

.

Θέμα 3ο Πανελλήνιες 2004

Θ.Γ.57. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f (x) = e λ χ , λ > 0.

Γ1 . Δείξτε ότι η f ε ίναι γνησίως αύξουσα .

Γ2 . Δείξτε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης

της f , η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι η y = λex.

Βρείτε τ ις συντεταγμένες του σημείου επαφής Μ.

Γ3 . Δείξτε ότι το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου, το οποίο περικλείεται

μεταξύ της γραφικής παράστασης της f , της εφαπτομένης της στο

σημείο Μ και του άξονα y΄y, είναι Ε(λ) =e 2

.

Γ4 . Υπολογίστε το

2

λ

λ Ε(λ)lim

2 ημλ

.

Θέμα 3ο Πανελλήνιες 2005

Θ.Γ.58. Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο IR με

f΄ (x)≠0 για κάθε x ∈ IR .

Γ1 . Να δείξετε ότι η f είναι “1 -1”.

Γ2 . Αν η γραφική παράσταση C f της f διέρχεται από τα σημεία

Α(1,2005) και Β( -2,1) , να λύσετε την εξίσωση 1 2f -2004 f(x 8) 2 .

Γ3 . Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ της Cf, στο

οποίο η εφαπτομένη της Cf είναι κάθετη στην ευθεία (ε) :

1y x 2005

668 .

Page 94: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 93 -

Θέμα 3ο Επαναληπτικές 2005

Θ.Γ.59. Δίνεται η συνάρτηση f(x ) = ex

− e lnx, x > 0.

Γ1 . Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f(x ) είναι γνησίως αύξουσα στο

διάστημα (1, +∞).

Γ2 . Να αποδειχθεί ότι ισχύει f (x ) ≥ e για κάθε x > 0.

Γ3 . Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση

2 2

2 2

x 2 x 2 4

2x 1 x 3

f(t)dt = f(t)dt f(t)dt

έχει

ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (0, +∞).

Θέμα 3ο Πανελλήνιες 2007

Θ.Γ.60. Δίνεται η συνάρτηση f(x ) = x 3 – 3x – 2ημ2θ όπου θ IR μια

σταθερά μεπ

θ κπ + 2

,κ ∈ Z.

Γ1 . Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα

τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής.

Γ2 . Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(x ) = 0 έχει ακριβώς τρεις

πραγματικές ρίζες.

Γ3 . Αν x1 , x2 είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων και x 3 η θέση

του σημείου καμπής της f , να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α(x 1 , f (x 1 ) ) ,

B(x2 , f (x 2 ) ) και Γ(x 3 , f (x 3 ) ) βρίσκονται στην ευθεία y = –2x –2ημ2θ.

Γ4 . Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από

τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και την ευθεία

y = –2x –2ημ 2θ.

Θέμα 3ο Επαναληπτικές 2007

Θ.Γ.61. Δίνεται η συνάρτηση xln x, x 0

f (x)0, x 0

.

Γ1 . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0.

Γ2 . Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f και να

βρείτε το σύνολο τιμών της.

Γ3 . Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της

εξίσωσης αxx e για όλες τ ις πραγματικές τ ιμές του α.

Page 95: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 94 -

Γ4 . Να αποδείξετε ότι ισχύει f΄ (x+1) > f (x+1)−f(x) , για κάθε x > 0 .

Θέμα 3ο Πανελλήνιες 2008

Θ.Γ.62. Δίνεται η συνάρτηση f (x )=x2 – 2lnx, x > 0.

Γ1 . Να αποδείξετε ότι ισχύει: f (x )≥1 για κάθε x>0.

Γ2 . Να βρείτε τ ις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f .

Γ3 . Έστω η συνάρτηση

ln x , x 0

f(x)g(x)

k , x 0

i . Να βρείτε την τιμή του k έτσι ώστε η g να είναι συνεχής.

ii . Αν1

k2

, τότε να αποδείξετε ότι η g έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα

στο διάστημα (0,e) .

Θέμα 3ο Επαναληπτικές 2008

Θ.Γ.63. ∆ίνεται η συνάρτηση xf (x) α ln(x 1), x > -1 Όπου α>0 και

α 1 .

Γ1 . Αν ισχύει f (x) 1 για κάθε x>-1 να αποδείξετε ότι α = e .

Γ2 . Για α = e ,

α. να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f ε ίναι κυρτή.

β. να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f ε ίναι γνησίως φθίνουσα στο

διάστημα 1,0 και γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0, .

γ. αν β, γ ∈ 1 0 0 , , , να αποδείξετε ότι η εξίσωση

f (β) 1 f (γ) 10

x 1 x 2

έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1, 2) .

Θέμα 3ο Πανελλήνιες 2009

Θ.Γ.64. ∆ίνεται η συνάρτηση f (x )=ln [ (λ+1)x2

+x+1] - ln(x+2) , x > – 1

όπου λ ένας πραγματικός αριθμός με λ-1.

Γ1 . Να προσδιορίσετε την τιμή του λ, ώστε να υπάρχει το όριο

Page 96: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 95 -

xlim f (x)

και να είναι πραγματικός αριθμός.

Γ2 . Έστω ότι λ = -1

α. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f και να

βρείτε το σύνολο τιμών της.

β. Να βρείτε τ ις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f

γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x ) + α2

= 0 έχει μοναδική λύση για

κάθε πραγματικό αριθμό α με α 0 .

Θέμα 3ο Επαναληπτικές 2009

Θ.Γ.65. Δίνεται η συνάρτηση f(x )=2x+ln(x 2+1), x .

Γ1. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f .

Γ2. Να λύσετε την εξίσωση:

2

2

4

3x 2 12 x 3x 2 ln

x 1

.

Γ3.Να αποδείξετε ότι η f έχει δύο σημεία καμπής και ότι οι

εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της f στα σημεία καμπής

της τέμνονται σε σημείο του άξονα ψ΄ψ.

Γ4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

1

1

xf (x)dx

.

Θέμα 3ο Πανελλήνιες 2010

Θ.Γ.66. Δίνεται η συνάρτηση f(x ) = (x –2)lnx + x – 3, x > 0

Γ1. Να βρείτε τ ις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f .

Γ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο

διάστημα (0,1] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [1, +∞).

Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x ) = 0 έχε ι δύο ακριβώς θετικές

ρίζες.

Γ4. Αν x1 , x2 είναι οι ρίζες του ερωτήματος Γ3 με x 1

< x2 , να

αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός ξ (x1 , x2 ) τέτοιος, ώστε

ξ ⋅ f΄ (ξ ) – f (ξ ) = 0 και ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f στο σημείο Μ(ξ, f ( ξ ) ) διέρχεται από την αρχή των

αξόνων.

Θέμα 3ο Επαναληπτικές 2010

Page 97: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 96 -

Θ.Γ.67. ∆ίνεται η συνάρτηση f : R → R , δύο φορές παραγωγίσιμη

στο R , με f΄ (0)= f (0)=0, η οποία ικανοποιεί τη σχέση :

xe f x f x 1 f x xf x για κάθε x ∈ R.

Γ 1. Να αποδείξετε ότι: xf x ln e x x ∈ R.

Γ 2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα

ακρότατα .

Γ 3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς

δύο σημεία καμπής.

Γ 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση xln e x συνx έχει ακριβώς μία

λύση στο διάστημα π

0,2

.

Θέμα 3ο Πανελλήνιες 2011

Θ.Γ.68. Ένα κινητό Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = x , x≥0.

Ένας παρατηρητής βρίσκεται στη θέση Π(0, 1) ενός συστήμα τος

συντεταγμένων Οxy και παρατηρεί το κινητό από την αρχή Ο, όπως

φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Δίνεται ότι ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του κινητού για

κάθε χρονική στιγμή t, t≥0 είναι x΄ (t)=16m/min.

Γ1. Να αποδείξετε ότι η τετμημένη του κινητού, για κάθε χρονική

στιγμή t, t≥0 δίνεται από τον τύπο: x(t )=16t.

Γ2. Να αποδείξετε ότι το σημείο της καμπύλης μέχρι το οποίο ο

παρατηρητής έχει οπτική επαφή με το κινητό είναι το Α(4, 2) και,

Page 98: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 97 -

στη συνέχεια, να υπολογίσετε πόσο χρόνο διαρκεί η οπτική επαφή.

Γ3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που διαγράφει η

οπτική ακτίνα ΠΜ του παρατηρητή από το σημείο Ο μέχρι το

σημείο Α.

Γ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει χρονική στιγμή t 0 ∈1

0,4

κατά την

οποία η απόσταση d=(ΠΜ) του παρατηρητή από το κινητό γίνεται

ελάχιστη.

Να θεωρήσετε ότι το κινητό Μ και ο παρατηρητής Π είναι σημεία

του συστήματος συντεταγμένων Οxy.

Θέμα 3ο Επαναληπτικές 2011

Θ.Γ.69. Δίνεται η συνάρτηση f(x ) = (x - 1) ℓnx - 1, x>0. Γ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ1=(0,1] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ 2=[1,+∞ ) . Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της f .

Γ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1 2013xx e , x>0 έχει ακριβώς δύο

θετικές ρίζες. Γ3. Αν x1 , x2

με x 1< x2

είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος

Γ2, να αποδείξετε ότι υπάρχει x 0 ∈ ( x1 , x2 ) τέτοιο, ώστε f΄ ( x0 ) + f (x0 ) = 2012. Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = f (x) + 1 με x>0, τον άξονα x΄x και την ευθεία x=e. Θέμα 3ο Πανελλήνιες 2012

Θ.Γ.70. Έστω η συνεχής συνάρτηση f:R→R, για την οποία ισχύει :

xf (x )+1= e x , για κάθε x∈R .

Γ1. Να αποδείξετε ότι :

1 , 0

( )

1 , 0

xex

f x x

x

.

Γ2. Να αποδείξετε ότι oρίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f – 1 και να

βρείτε το πεδίο ορισμού της.

Γ3. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής

παράστασης της f στο σημείο Α (0,f (0) ) . Στη συνέχεια, αν ε ίναι

γνωστό ότι η f είναι κυρτή, να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2f(x)=x+2,

x∈ℝ έχει ακριβώς μία λύση.

Γ4. Να βρείτε το 0

lim ln ln ( )x

x x f x

.

Θέμα 3ο Επαναληπτικές 2012

Page 99: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 98 -

Θ.Γ.71. Θεωρούμε τις συναρτήσεις f ,g :R R , με f παραγωγίσιμη

τέτοιες ώστε:

• ( f (x ) + x) ( f ′ (x) + 1) = x , για κάθε x R

• f (0) = 1 και

• g (x) = x 3 +

23

2

x – 1

Γ1. Να αποδείξετε ότι: f (x ) = 2 1x − x , x R.

Γ2. Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης

f (g (x)) = 1.

Γ3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0(0, 4

) τέτοιο,

ώστε:o

0

πx

4

f (t)dt = f (x0 −

4

) εφx0 .

ΘΕΜΑ 3ο Πανελλήνιες 2013

Θ.Γ.72. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία

ισχύουν:

2xf (x ) + x2 ( f ′ (x) - 3) = - f ′ (x ) για κάθε x∈R

f (1)= 1

2

Γ1. Να αποδείξετε ότι

3

2( )

1

xf x

x

, x∈R και στη συνέχεια ότι η

συνάρτηση f ε ίναι γνησίως αύξουσα στο R.

Γ2. Να βρείτε τ ις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f του ερωτήματος Γ1.

Γ3. Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την αν ίσωση:

3 22 25 1 8 8 1f x f x .

Γ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ∈ (0, 1) τέτοιο,

ώστε: 3

2 3

0( ) 3 1f t dt f

.

Θέμα 3ο Επαναληπτικές 2013

Θ.Γ.73. Δίνεται η συνάρτηση h(x) = x - ℓn(e x + 1) , x∈ℝ

Γ1. Να μελετήσετε την h ως προς την κυρτότητα.

Γ2. Να λύσετε την ανίσωση : ( 2 ( ) )

1

h h x e

ee

, x∈ℝ

Page 100: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 99 -

Γ3. Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης

της h στο +∞ , καθώς και την πλάγια ασύμπτωτή της στο -∞ .

Γ4. Δίνεται η συνάρτηση φ(x) = e x (h(x) + ℓn2), x∈ℝ

Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της φ(x) , τον άξονα x΄x και την ευθεία x = 1.

ΘΕΜΑ 3ο Πανελλήνιες 2014

Θ.Γ.74. Δίνεται η συνάρτηση :

ln

, αν 0( )

0 , αν 0

x

xe xf x

x

.

Γ1. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f ε ίναι συνεχής στ ο σημείο x 0 = 0.

Γ2. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f .

Γ3. i ) Να αποδείξετε ότι, για x > 0, ισχύει η ισοδυναμία

f (x ) = f (4) ⟺ x4 = 4 x

ii ) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση x 4 = 4 x , x > 0, έχει ακριβώς δύο

ρίζες, τ ις x 1=2 και x 2=4

Γ4. Να αποδείξετε ότ ι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ∈ (2, 4) τέτοιο,

ώστε : 2

( ) ( ) ( ) 2 ( )f f t dt f f

.

ΘΕΜΑ 3ο Επαναληπτικές 2014

Θ.Γ.75. Η συνάρτηση f :RR είναι συνεχής και για κάθε xR ισχύει

12 ( )

21 3 ( ) xtf t dt

f x e ,όπου αR-0 .

Γ1. Να αποδείξετε ότι :

i . Η f είναι παραγωγίσιμη με f΄ (χ) = -2χ f2 (x ) για κάθε xR.

2 2

1 ( ) για κάθε .

3.

f x x R

xii

Γ2. Να αποδείξετε ότι η τ ιμή του ολοκληρώματος :

0( )tf t dt

είναι ανεξάρτητη του α.

Γ3. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την f .

Γ4. Αν Ε είναι το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από του ς

άξονες, τη γραφική παράσταση της f και την ευθεία x = α, να

αποδείξετε ότι:

1 1

4 3E

a a

.

Θέμα 3 ο ΟΕΦΕ 2005

Page 101: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 100 -

Θ.Γ.76. Δίνεται η συνάρτηση όπου .

Γ1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής

παράστασης της f στο σημείο 0, 0f .

Γ2. Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο το οποίο είναι

αρνητικό.

Γ3. Έστω το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη

γραφική παράσταση της f , την εφαπτομένη της στο 0, 0f και την

ευθεία 1x a .

i . Να αποδείξετε ότι: .

ii . Να βρείτε το .

Θέμα 3 ο ΟΕΦΕ 2006

Θ.Γ.77. Δίνεται η συνάρτηση f με 1xef x e , x R .

Γ1 . i ) Να την μελετήσετε ως προς την μονοτονία.

ii ) Να αποδείξετε ότι 1'' 1 x xx ef x e e , να μελετήσετε την f ως

προς την κυρτότητα και να βρείτε το σημείο καμπής της γραφικής

παράστασης.

Γ2 . Να βρείτε τ ις οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης

της f .

Γ3 . Να παραστήσετε γραφικά την f .

Γ4 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική

παράσταση της , τους άξονες και την ευθεία .

Θέμα 3 ο ΟΕΦΕ 2008

Θ.Γ.78. Δίνεται η συνάρτηση : 2 2lnf x x x .

Γ1 . Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και να βρείτε τα

διαστήματα στα οποία είναι κυρτή ή κοίλη.

Γ2 . Να βρείτε το σύνολο τιμών και το πλήθος των ριζών της f .

Γ3. Αν ln

2

x xg x

x

να δείξετε ότι υπάρχει 0 0x ώστε: 0g x g x

για κάθε 0x .

Γ4 . Να δείξετε ότι για κάθε 2x ισχύει : 2 2 1 4f x f x f x .

Θέμα 3 ο ΟΕΦΕ 2009

Θ.Γ.79. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : (0, )f τέτοια, ώστε για

κάθε 0x ισχύουν ( )

1 ( )

1f x

xx f ΄ x

e

και 0)1( f .

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση ( ) x

g x e x είναι 1 -1.

β) Να δείξετε ότι xxf ln)( για κάθε x>0.

1xf x e a x 1

2

12

a aE a e a

alim E a

'f x ' , 'x x y y1

ln2

x

Page 102: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 101 -

γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ( ) 1

( )f x

h xx

ως προς την μονοτονία

και να βρεθεί το σύνολο τιμών της.

δ) Να λύσετε την εξίσωση 0 , .2

x xx x

xe e

ε) Να εξετασθεί η h ως προς κυρτότητα και να δείξετε ότι κάθε 21,xx

με 012 xx ισχύει : 2 1

2 1

5

h(x ) h(x ) 1

x x 2e

.

Θέμα 3 ο ΟΕΦΕ 2010

Θ.Γ.80. Έστω μια συνεχής συνάρτηση : f R R για την οποία ισχύει :

1f x f x , για κάθε x R .

Γ1 . Να αποδείξετε ότι:

i . 2 1

2 2f

και 0 1 1f f

ii . Υπάρχει 0 0, 1x τέτοιο, ώστε: 0 0 1f x x

Γ2 . Έστω, επιπλέον, ότι η f είναι παραγωγίσιμη και 1

22

f x x ,

για κάθε x R .

i . Να βρείτε την 2

'2

f

και να γράψετε την εξίσωση της

εφαπτομένης της fC στο σημείο της με τετμημένη 2

2.

ii . Να υπολογίσετε το όριο:

0

1

x

f f xim

x

.

Θέμα 3 ο ΟΕΦΕ 2011

Θ.Γ.81. Δίνεται η συνάρτηση : x

x , αν x 0

f(x) e 1lnα , αν x 0

.

Γ1. Βρείτε τον α (0 , + ) ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη και δείξτε

ότι 1

f (0)2

.

Γ2. α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.

β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της και τ ις ασύμπτωτες της

γραφικής της παράστασης , εφόσον υπάρχουν.

Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x

0

1 12x dt

f(t) 1 2013

έχει μοναδική

ρίζα στο (0 , 1) .

Θέμα 3 ο ΟΕΦΕ 2013

Page 103: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 102 -

Θ.Γ.82. Οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο R με f (1) = 1,

g(1)=0 και ικανοποιούν τις σχέσεις:

𝑓΄(𝑥) − 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥𝑔΄(𝑥) − 1 𝜅𝛼𝜄 2𝑓(𝑥) + 𝑥2 − 2𝑥 ≥ 1 , 𝛾𝜄𝛼 𝜅ά𝜃𝜀 𝑥 ∈ 𝑅.

Γ1. Να αποδείξετε ότι:

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥g(x)+1.

Γ2. α) Να υπολογίσετε το g΄ (1) .

β) Να αποδείξετε ότι:

lim𝑥→+∞

[(𝑥 + 1)𝑔 (𝑥 + 2

𝑥 + 1)] = 0.

Γ3. Αν επιπλέον 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)2 για κάθε xR, τότε

α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε λR, από το σημείο Μ(1 , λ) άγονται

το πολύ τρεις εφαπτόμενες στη γραφική παράσταση της συνάρτησης

h με: ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥(1 − 𝑥) + 1.

Θέμα 3 ο ΟΕΦΕ 2014

Θ.Γ.83. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα 0,2

, γ ια την

οποία ισχύει: 2 2 2 1( ) 2 ( ) 1 , x 0, , με f

2 6 2 6f x xf x x x

.

Γ1. Να δείξετε ότι: f (x )=ημx-x , x 0,2

.

Γ2. Δίνεται η συνάρτηση

( ) 1 , x 0,2

( )( )

1, x < 0

f x

g xx

x

με κR.

Να βρείτε τηνπαράμετρο κ, ώστε η g να είναι συνεχής στο πεδίο

ορισμού της.

Γ3. Για κ=2, να αποδείξετε ότι η εξίσωση g(x) = 0 έχει μία

τουλάχιστον λύση στο διάστημα ,02

.

Γ4. Για κ=2, να δείξετε ότι η συνάρτρηση g δεν είναι 1 -1.

Θέμα Γ ΟΕΦΕ Ιανουάριος 2016

Θ.Γ.84. Έστω f :R→R μια παραγωγίσιμη συνάρτηση , της οποίας η

γραφική παράσταση δεν τέμνει τον άξονα x΄x με f (0)>0.

Αν f΄ (x)<0 γιακάθε xR και F μια παράγουσα της f στο R με F(1)=0:

Γ1. Να βρείτε τ ις ρίζες και το πρόσημο της συνάρτησης: ( )

( )( )

F xg x

f x .

Γ2. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (1 , 2 ) τέτοιο, ώστε:

2

( ) ( ) ( )1

( ) 2 ( )

F f F

f f

.

Γ3. Να δείξετε ότι: f (x )+F(x )≥xf(x) , για κάθε xR.

Page 104: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 103 -

Γ4. Να δείξετε ότι: 1 1

0 02 ( ) ( )xf x dx f x dx .

Γ5. Να δείξετε ότι η εξίσωση:

1

0(0) 2 ( ) ( )

01

f xf x dx f x

x x

, έχει μία

τουλάχιστον ρίζα στο (0 , 1) .

Θ.Γ.85. Δίνεται η παραγωγίσιμη στνάρτηση f : (0 , +∞)→R για την οποία

ισχύουν: f (1)=0 και ( )f xe x e για κάθε x>0.

Γ1. Να βρείτε την f .

Γ2. Να δείξετε ότι ( )ln 0f xx e για κάθε x>0.

Γ3. Δίνεται και η συνάρτηση: ( )

( )f x

g xx

, x>0.

Ένα σημείο M ξεκινά τη χρονική στιγμή t = 0 από το σημείο

Α(α , g(α)) , α (0,1) και κινείται πάνω στην y = g(x) , x≥α με x=x(t) ,

y=y(t ) και t≥0.

Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης α( t ) του σημείου Μ δίνεται

από τη σχέση α΄ ( t )=2 α(t) , να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της

τετμημένης του σημείου τομής Α με τον άξονα x΄x, της εφαπτομένης

της γραφικής παράστασης της g στο Μ , τη χρονική στιγμή που το Α

έχει τετμημένη e.

Γ4. Δίνεται και η συνάρτηση 2 2

( ) 1 ( ) 2h x x g x , x>0.

Να δείξετε ότι η h έχει δύο θέσεις τοπικών ελαχίστων και μία θέση

τοπικού μέγιστου.

Γ5. Να βρείτε το όριο: 2

1

1lim

( )

x

xxdt

g t .

Θ.Γ.86. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f ,g : [0 , 1]→R .

Γ1. Να δείξετε ότι αν f (x )≤g(x) τότε: 1 1

0 0( ) ( )f x dx g x dx .

Γ2. Αν m η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή της f στο [0 , 1] να

δείξετε ότι: 1

0( )m f x dx M

Γ3. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ [0 , 1] τέτοιο, ώστε: 1

2

0

1( ) ( )

3x f x dx f .

Page 105: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 104 -

Page 106: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 105 -

Θέμα Δ

Page 107: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 106 -

Page 108: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 107 -

Θ.Δ.1. Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει:

f ΄΄ (x) > f ΄ (x ) για κάθε x 0.

Αν f (0) = f ΄ (0) = 0 και h(x) = f (x) e - x , να αποδείξετε ότι:

Δ1 . Η h είναι γνησίως αύξουσα.

Δ2 . Η συνάρτηση 2( ) ( )x f x είναι κυρτή.

Δ3 . x f (x ) > 0 για κάθε x > 0.

Δ4 . 7

0f(x)dx f(7).

Θ.Δ.2. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f για την οποία

ισχύει : 2( ) = x 1 , xf x e για κάθε xR με f (0) = 3 .

Δ1. Να δείξετε ότι : f ( 1998 ) < f ( 2016 ) .

Δ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(0 , 2016) τέτοιο , ώστε :

f 1821 2f 1940 3f 2016

f ξ6

.

Δ3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 2

01xe x dx

και να βρείτε τον

τύπο της f .

Δ4. Να δείξετε ότι η ευθεία y = 4 τέμνει τη γραφική παράσταση της

f σε ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη x0(0 , 1) .

Δ5. Να λυθεί η εξίσωση: f ( lnx) = f ( -2x + 2) για x > 0.

Δ6. Να αποδείξετε ότι: 12xxf e x 2 02

, x > 0.

Θ.Δ.3. Δίνεται η συνάρτηση f : [α , β] R παραγωγίσιμη και

γνησίως αύξουσα στο διάστημα [α , β]. Να αποδείξετε ότι :

Δ1. 1

β f(β)

α f(α)xf (x)dx f (x)dx .

Δ2. 1( )

(α)( ) ( ) ( ) (α)

f

ff x dx f x dx f f

Δ3. 1 12

11

1 2ln

x e

e

e ee dx dx

x e e.

Δ4. Αν επιπλέον ισχύει ότι f (α) = α και f (β) = β τότε:

1(β) β

(α) α( ) = (2 f(x))dx

f

ff x dx x .

Δ5. Να υπολογίσετε το: xe

I lnxdx e dx 21

01.

Θ.Δ.4. Δίνεται η συνάρτηση f : R R παραγωγίσιμη για την οποία

ισχύουν:x 2

2f (x) 7x3

x 2lim

και f (5) =

x

x + 7x

xlim

.

Page 109: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 108 -

Δ1 . Να εξετάσετε αν η f αντιστρέφεται.

Δ2 . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α(2 ,

f (2) ) .

Δ3 . Αν επιπλέον η f είναι κυρτή να δείξετε ότι:

α . f (x ) – 5x + 3 0 για κάθε xR.

β . Υπάρχει μοναδικό σημείο ξ (2 , 5) στο οποίο η f να παρουσιάζει

ελάχιστο.

Θ.Δ.5. Δ1 . Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με

f (x ) = lnx βρίσκεται ΄΄κάτω΄΄ από τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης g(x) = x για κάθε x > 0.

Δ2 . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ε(α) που περικλείεται

από τις γραφικές παραστάσεις των f και g και τ ις ευθείες x = 1 και

x = α , α > 1.

Δ3 . Να βρείτε το όριο: E( )lim

.

Δ4 . Να βρείτε το όριο: x

2f (x) x 2x 1lim

.

Θ.Δ.6. Έστω οι συναρτήσεις:

x xx

g x e x , x και f x e , x2

2

1 0 02

Δ1 .Να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία.

Δ2 .Να δείξετε ότι για κάθε x 0 ισχύει g x 0 , πότε ισχύει η

ισότητα;

Δ3 .Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της

αντίστροφης.

Δ4 .Να δείξετε ότι 21 e

x

0 1e dx lnx dx e .

Δ5 .Να δείξετε ότι:21

x

0

ee dx

2 .

Θ.Δ.7. Δίνεται η συνάρτηση: t

f(t)t

2 3

2, t [1,4] .

α. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: I f(t) dt. 4

1

β. Έστω η συνάρτηση t

xx

g(x) f(t) e dtx

24

1

2

1 , χ>0.

i ) Να αποδείξετε ότι:

t

x x xe e e 2 2 2

1 4

για κάθε t [1,4] και χ>0.

ii ) Να υπολογίσετε το όριο: xlim g(x).

Θέμα 1η ς Δέσμης 1999

Page 110: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 109 -

Θ.Δ.8. Δ1 . Δίνεται η συνάρτηση g(x) = x3 + x.

Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα, αντιστρέψιμη και να

λύσετε την εξίσωση:g - 1 (x+1) = x+1.

Δ2 . Δίνεται και η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f για την οποία

ισχύει : f3 (x ) + f (x ) ≥ x για κάθε xR.

Να αποδείξετε ότι: 2

0

5( )

4 f x dx .

Θ.Δ.9. Δίνονται οι συναρτήσεις f , g: (0 , + )R για τις οποίες ισχύει:

f (1) = g (1) = 0 και f΄ (x) + e g ( x ) = g΄ (x) + e f ( x ) = 0 για κάθε x>0.

Δ1 . Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες.

Δ2 . Να δείξετε ότι η συνάρτηση h(x)=e - f ( x ) – x, x>0 είναι σταθερή

και ότι ισχύει : f (x ) = - lnx.

Δ3 . Να δείξετε ότι: e x > 1 – f (1+x ) για κάθε x>0.

Θ.Δ.10. Δίνεται f : (0,+ )R παραγωγίσιμη ώστε xf ΄ (x ) – νf(x) = x ν για

κάθε x >0 με ν>1 ακέραιο.

Δ1. Αν f(1) = 0 , να βρείτε τον τύπο της f .

Δ2. Δείξτε ότι f (x) - 1

e v για κάθε x >0.

Δ3. Aν η τετμημένη του σημείου καμπής της Cf είναι η 2

3

ν νe

βρείτε

το ν.

Δ4. Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την Cf , τον x´x

και τ ις x= e , x = 3

1

e για την τιμή του ν που βρήκατε στο 3ο

ερώτημα.

Θ.Δ.11. Δίνεται η παραγωγίσιμη f : R R για την οποία ισχύουν

( )lim

x

f x , ( )lim

x

f x και f ΄ (x ) = ( )

2

1f x

e, για κάθε xR , με

f ΄ (0) = 1.

Δ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και να

βρείτε το σύνολο τιμών της , ότι στρέφει τα κοίλα κάτω στο R και

ότι έχει μοναδική ρίζα την x =0.

Δ2. Να αποδείξετε ότι:

i ) Ισχύει f (x ) + e f ( x ) = 2x +1

ii ) H f αντιστρέφεται και να ορίσετε την f – 1

iii ) Oι γραφικές παραστάσεις των f και f – 1 έχουν κοινή εφαπτομένη

στην αρχή των αξόνων.

Δ3. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο - και να

αποδείξετε ότι η Cf δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο + .

Page 111: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 110 -

Θ.Δ.12. Έστω η f (x ) = e x και Ε(α) το εμβαδόν του χωρίου που

περικλείεται απο την C f , τους άξονες και από την ευθεία x = α,

όπου α > 0.

Δ1. Να βρείτε το Ε(α) .

Δ2. Να βρείτε τον x o (0,α) ώστε η x = x o να χωρίζει το χωρίο σε δύο

ισοδύναμα χωρία.

Δ3. Να βρείτε το 0

0lim

a

x

a.

Δ4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: 1

0

1ln

2

x

x ee dx .

Θ.Δ.13. A. Να δείξετε ότι για κάθε x > 0 , ισχύει: 2 2ln

0 0

/

t txx e

e dt e dt .

B. Δίνεται η συνάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιμη στο R , τέτοια

ώστε g(x )>0 και 2

( ) ( ) ( ) 0g x g x g x για κάθε xR.

Να αποδείξετε ότι:

α. η συνάρτηση g

g

είναι γνησίως αύξουσα.

β. Ισχύει: 1 21 2( ) ( )

2

x xg g x g x

για κάθε x1 , x2R.

Θέμα 1η ς Δέσμης 1997

Θ.Δ.14. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη

f : [0,+ )R με f (0) = f ΄ (0) = 0 , για την οποία ισχύει

f ΄΄ (x) > f ΄ (x) για κάθε x [0,+ ) .

Nα αποδείξετε ότι:

Δ1. η h : [0,+ )R με τύπο h(x) = f (x)e - x είναι γνησίως αύξουσα

Δ2. η f 2 είναι κυρτή στο [0,+ ) .

Δ3. 1 (1)

2 2

ff .

Δ4. lim ( )

x

f x .

Θ.Δ.15. Δίνεται η f για την οποία ισχύει:

(x2 +1) f ΄΄(x) + 4xf ΄ (x) + 2f (x ) = 0 για κάθε xR.

Δ1. Να δείξετε ότι η g(x) = 2xf(x) + (x 2 +1) f ΄ (x ) είναι σταθερή στο

R.

Δ2. Αν η Cf διέρχεται από το Ο(0,0) και η εφαπτομένη στο Ο είναι

παράλληλη στην y – 2x +3 =0 να βρεθεί ο τύπος της f

Δ3. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , τα

σημεία καμπής και τα κοίλα.

Δ4. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της

Δ5. Να βρεθεί το εμβαδόν που περικλείεται από την Cf , τον x΄x

Page 112: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 111 -

και τ ις παράλληλες στο y΄y από τα σημεία ακρότατων.

Θ.Δ.16. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0 ,+∞) R με f (1) = 1

e

για την οποία ισχύει για κάθε x > 0 , 2

( ) ( ) x f x f x .

Δ1. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f (x )

1xe είναι σταθερή στο

(0,+∞)

Δ2. Να βρείτε τον τύπο της f .

Δ3. Να βρείτε τα διαστήματα που η f είναι κυρτή ή κοίλη και τα

σημεία καμπής της C f .

Δ4. Να υπολογίσετε το 2

31

( )

f xdx

x.

Θ.Δ.17. Δίνεται η συνάρτηση f (x ) = x3 + x + 1.

Δ1 . Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

Δ2 . Αν η f - 1 είναι παραγωγίσιμη να υπολογίσετε τον αριθμό: f ( ) 1 1 .

Δ3 . Να δείξετε ότι η εξίσωση f (x ) = 0 έχει μοναδική ρίζα στο R.

Δ4 . Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: f (x)dx

1

3

1.

Δ5 . Να υπολογίσετε το όριο: 1

x 3

f (x) 1lim

x 3

.

Θ.Δ.18. Έστω η συνάρτηση:

f (x ) =

3 1 , x 0

0 , x =0

x xx

με |λ| <

1

π.

Δ1. Να βρείτε την f ΄ .

Δ2. Να βρείτε το lim ( )x

f x .

Δ3. Να δείξετε ότι η f ΄ είναι συνεχής.

Δ4. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x o 1 1

,

τέτοιο ώστε

f ΄ (x o ) = 0.

Θ.Δ.19. Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις ),1(:g,f με

0 0 1f g , οι οποίες για κάθε 1,x ικανοποιούν τις σχέσεις

2 22 2 0f΄ x f x g x g΄ x g x f x (1) , 0f x και 0g x .

Δ1. Να αποδείξετε ότι 0f x g x για κάθε 1,x .

Page 113: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 112 -

Δ2. Να αποδείξετε ότι 1

1f x

x

.

Δ3. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τ ις

ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης.

Δ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται

από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f , τον άξονα x΄x και

τ ις ευθείες με εξισώσεις x , 1x όπου 0 , καθώς και το

όριο lim

.

Ε.Μ.Ε. 2008

Θ.Δ.20. Δ1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση:

f (x ) = 2 ( x-1) + lnx ως προς τη μονοτονία.

Δ2. Ομοίως τη συνάρτηση: ln x

g(x) x , χ > 02 x

.

Δ3. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης:

ln

, 1, 4 .2

xx x x

x

Δ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις

γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης f , τον άξονα Ox και τ ις

ευθείες x = 1 , x = 4.

Θ.Δ.21. Δίνεται η συνάρτηση: f (x ) = ln

, 0xe x

xx

.

Δ1. Να εξετάσετε τη μονοτονία της f .

Δ2. Να αποδείξετε ότι αν ισχύει

x

x exa

e

για κάθε x > 0 τότε

α = e .

Δ3. α) Nα αποδείξετε ότι αν 0< α <β τότε υπάρχουν ξ 1 , ξ2 (α, β)

τέτοια ώστε να είναι: f ΄ ( ξ 1 ) +2

1e

.

β) Κατόπιν να αποδείξετε ότι αν ο ξ 1 είναι ο γεωμετρικός μέσος των

α, β τότε είναι ξ 1 = ξ2 .

Θ.Δ.22. Έστω η συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει

e x – e f ( x ) = e x + f ( x ) για κάθε xR.

Δ1. Βρείτε τον τύπο της f .

Δ2. Βρείτε το σύνολο τιμών της f .

Δ3. Να αποδείξετε ότι f (α) – f (β)< α -βγια κάθε α ,β R α β.

Δ4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: 1

( )

0

f x xe dx .

Page 114: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 113 -

Θ.Δ.23. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R →R για την

οποία ισχύουν: f (0) = f ΄ (0) = 1 και

(x2 +1)f ΄΄ (x )+4xf ΄(x) + 2f(x) = e x , xR

Δ1. Να βρείτε τον τύπο της f

Δ2. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f

Δ3. Να λύσετε την ανίσωση : e x > x2 +1

Δ4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: 3

3

1

( )(1 ) x

dxf x e

.

Θ.Δ.24. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη f :RR , για την οποία

ισχύει : x2 f ΄΄ (x) +4x f ΄ (x) +2f (x) > 0 για κάθε xR.

Nα αποδείξετε ότι :

Δ1. η συνάρτηση g : R R με g(x) = x2 f (x ) στρέφει τα κοίλα προς τα

άνω στο R.

Δ2. η g έχει ελάχιστο.

Δ3. f (x) > 0 για κάθε xR .

Θ.Δ.25. Έστω f(x) = , 0

2

0 , 0

x xx

x

.

Δ1. Nα αποδείξετε ότι για την f ισχύουν οι προϋποθέσεις του

Θ.Rol le στο διάστημα 1

0 , 2001

.

Δ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:

συνx + xημx = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο 2001 ,

2

.

Δ3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: 2

2

1

1

2dx

x x

.

Θ.Δ.26. Έστω η συνάρτηση f : R R τέτοια , ώστε να ισχύει 2 2

( ) ( )f x f y x y για κάθε x , y R .

Δ1. Να αποδείξετε ότι η f ε ίναι συνεχής στο R.

Δ2. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0.

Δ3. Να αποδείξετε ότι: 1

0

1 1(0) ( ) (0)

3 3f f x dx f .

Δ4. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R ,να βρείτε το όριο:

2

( )lim .x

f x

x

Page 115: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 114 -

Θ.Δ.27. Δίνεται η συνάρτηση :f με )(f για την οποία

ισχύουν :

Η f είναι παραγωγίσιμη στο .

Η f έχει όριο στο

f xf x e x για κάθε x

Να αποδείξετε ότι :

Δ1. To limx

f x

Δ2. H f είναι γνησίως αύξουσα στο .

Δ3. Η f αντιστρέφεται και να βρείτε την 1f

Δ4. Η f έχει δεύτερη παράγωγο και είναι κοίλη στο

Δ5. Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη fC , τον άξονα x΄x

και τ ις ευθείες με εξισώσεις 1x και 1x e είναι 3

2E τ .μ .

Ε.Μ.Ε. 2008

Θ.Δ.28. Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση ισχύει: ( )( ) 0x f xf x e , για κάθε και f (0 )=ln(e+1) .

Δ.1. Να αποδείξετε ότι : .

Δ.2. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της .

Δ.3. Να δείξετε ότι είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την

.

Δ.4. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τα κοίλα.

Δ.5. Αν με , να δείξετε ότι: .

Θ.Δ.29. Έστω οι f ,g : [0,1]R , με f (0) = f (1) , ώστε η f να είναι

παραγωγίσιμη στο [0,1] και για κάθε x [0,1] να ισχύει:

f ΄ (x)g(x) + f (x ) = 2004. Να δείξετε ότι :

Δ1. υπάρχει x 1 (0,1) , τέτοιο ώστε f (x 1 )=2004

Δ2. H f παρουσιάζει μέγιστο Μ και ελάχιστο m , και ισχύει

m 2004 M

Δ3. Αν ο τύπος της g(x) = x , τότε η f είναι σταθερή

Δ4. Αν f(1) = 2004 , τότε f (x ) = 2004 και για κάθε x [0,1]

Θ.Δ.30. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0,+∞) →R για

την οποία ισχύουν x 3 f ΄΄ (x) =

1

xe για κάθε x > 0, f (1) = e και

f ΄ (1) = 0.

Δ1. Να βρείτε τον τύπο της f .

Δ2. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .

:f R R

x R

1( ) ln

xf x e

e

( )f x

( )f x1( )f x

( )f x

, R ( ) 1 1f f f f

Page 116: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 115 -

Δ3. Να αποδείξετε ότι 1

xx

e e για κάθε x >0.

Δ4. Να αποδείξετε ότι f (10) + f (12) > 2f(11).

Θ.Δ.31. Δ1. Μελετήστε την g(x) = 2

2 1xe

x με x 0 ως προς τη μονοτονία

και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

Δ2. Δίνεται και η συνάρτηση G που ορίζεται στο (0 , +∞) με

G΄(x)=g(x ) για κάθε x>0 και G(1)=0.

Να δείξετε ότι 4e 3 < 4G(2) < e 5 .

Δ3. Να δείξετε ότι η Ch της συνάρτησης h(x) = G(x2 – x +2) έχει

ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με την ευθεία (ε) : y =

53 3

4

ee x e

του οποίου η τετμημένη βρίσκεται στο (0,1) .

Θ.Δ.32. Έστω η συνεχής συνάρτηση :f για την οποία ισχύουν

2

5 1

21

x f x

f x

για κάθε x και 0 3f .

Δ1. Να αποδείξετε ότι 2 9f x x x , . x

Δ2. Αν lng x f x τότε :

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g .

β) Να βρείτε την g΄ και να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 4

20

1

9dx

x

γ) Να αποδείξετε ότι 9J I K , όπου

4 2

20 9

xJ dx

x

και

4

2

0

9K x dx

δ) Να αποδείξετε ότι 20J K

ε) Να υπολογίσετε ,J K .

στ) Να αποδείξετε ότι η g αντιστρέφεται και ορίσετε την 1g .

Ε.Μ.Ε 2008

Θ.Δ.33. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα 0,

για την οποία ισχύει ' 1f x

xf x x e

για κάθε χ > 0 και η fc έχει

κλίση 2 στο σημείο της 1, 1f .

Δ.1. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f .

Δ.2. Να δείξετε ότι η f (x ) = 0 έχει μοναδική ρίζα στο 0, και να

Page 117: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 116 -

προσδιορίσετε το πρόσημο της f .

Δ.3. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (1 , 2) τέτοιο ώστε

ξ + 1= f (2) (ξ 2 + ξ lnξ ) .

Δ.4. Δίνεται και η συνάρτηση g ορισμένη και παραγωγίσιμη στο

0, για την οποία ισχύει: ( ) ( ) ( )xf x e g x f x για κάθε χ>0.

Αν g (1) = 0 να βρείτε τον τύπο της g.

Θ.Δ.34. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R για την οποία

ισχύει : 4f (x)f (x) 1 f (x) για κάθε xR . Αν f (0)=0:

Δ.1 Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

Δ.2 Να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης της f καθώς και το σύνολο

τιμών της f .

Δ.3 Να αποδείξετε ότι η C f έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής, το

οποίο και να βρείτε.

Δ.4 Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης:

f (2x+1) = x.

Δ.5 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από

τη C f ,

τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = 0 και x = 6

5.

Δ.6 Να υπολογίσετε την τιμή 6

f5

.

Θ.Δ.35. Α. α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση:

f ( t ) = 2

1

1t.

β) Να υπολογίσετε το όριο:2

1 1lim

1

x

xxdt

t.

Β . Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και f (x ) < 0, για κάθε xR,

να αποδείξετε ότι:

1

3

f(x) xdx 4

x f(x).

Θ.Δ.36. Δίνεται η συνάρτηση 1 xf x x e

, x R και 0 .

Δ1. Να βρείτε τ ις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f .

Δ2. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα και

τα σημεία καμπής. Δ3. Να δείξετε ότι για κάθε οι γραφικές παραστάσεις των f

και f΄ έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.

Δ4. Η ευθεία 1x ορίζει με τ ις γραφικές παραστάσεις των f και f΄

ένα ευθύγραμμο τμήμα. Να βρείτε την τιμή του , ώστε το τμήμα

αυτό να έχει το μικρότερο δυνατό μήκος.

Page 118: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 117 -

Δ5. Η γραφική παράσταση της f για 1 , ο άξονας x΄x και η

ευθεία x με 1 ορίζουν ένα χωρίο με εμβαδόν . Να

βρείτε το και στη συνέχεια να υπολογίσετε το lim

.

Ε.Μ.Ε. 2008

Θ.Δ.37. Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο

[1 , 4] , για την οποία ισχύουν f (x )≠0 για κάθε x [1 , 4] , f (1)>0 και

f (1) f (2)=f(3) f (4) .

Να αποδείξετε ότι:

Δ .1 f (x) > 0 για κάθε x [1 , 4] .

Δ .2 Η συνάρτηση 2g(x) f (x) f(1) f(2) έχει μία τουλάχιστον ρίζα x0 στο

[1 , 2] .

Δ .3 Υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (1 , 4 ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη

της C f να είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.

Δ .4 Η συνάρτηση f δεν μπορεί να είναι μια γνησίως μονότονη

συνάρτηση.

Θ.Δ.38. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :RR,

με f (0) = f΄ (0) = 1, για την οποία για κάθε xR ισχύει :

2

.f (x) f(x) f (x) 2f(x) f (x)

Δ .1. Να δείξετε ότι για κάθε xR ισχύει :

α. 2xf(x) f (x) e .

β. f (x )>0.

γ. xf(x) e .

Δ .2. Δίνεται και η συνάρτηση g:RR , για την οποία ισχύει:

f(x g(x))g(x) για κάθε xR.

α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα.

β. Να βρείτε την αντίστροφη 1g της g.

γ. Να δείξετε ότι g(1) = 1.

δ. Αν επιπλέον η g είναι παραγωγίσιμη στο R και α<β<γ, να δείξετε

ότι: g(β) - g(α) g(γ) - g(β)

β - α γ - β .

Θ.Δ.39. Έστω f , g : RR δύο συναρτήσεις, δύο φορές παραγωγίσιμες

στο R και α ένας αρνητικός αριθμός, ώστε για κάθε πραγματικό

αριθμό x να ισχύει : f (x ) = g(x ) + α.

Αν η συνάρτηση g είναι περιττή και υπάρχει ρ > 0 ώστε:

g΄(ρ) = 0 , g (ρ) < α και xlim g(x)

, να αποδείξετε ότι:

Δ.1. f΄ (ρ) = f΄ (-ρ) = 0.

Δ.2. Η εξίσωση f (x ) = 0 έχει τουλάχιστον τρεις πραγματικές ρίζες.

Δ.3. f΄΄ (0) = 0.

Page 119: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 118 -

Δ.4. Αν Α(ρ , f (ρ) ) , Β( -ρ , f ( -ρ) ) και Γ(0 , f (0) ) , τότε:

α. τα σημεία Α , Β είναι συμμετρικά ως προς το Γ.

β. υπάρχει ξ(0 , ρ ) ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης

της g στο σημείο με τετμημένη ξ, να είναι παράλληλη στην ευθεία

που διέρχεται από τα σημεία Α , Β , Γ.

Θ.Δ.40. Δίνεται η συνάρτηση f : R R με xf (x) e x 2 .

Δ.1 Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

Δίνονται και οι συναρτήσεις ln x 1

h(x)ln x 2

και φ(x)=f(x )+2.

Δ.2 Να αποδείξετε ότι η h αντιστρέφεται και να βρείτε την 1h.

Δ.3 Να υπολογίσετε τα όρια: x 0lim h(x)

και

1

xlim h (x)

.

Δ.4 Να αποδείξετε ότι η φ αντιστρέφεται και στη συνέχεια να

δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων φ και 1φ δεν

έχουν κοινό σημείο.

Δ.5 Να βρείτε τ ις τ ιμές του κ>0, ώστε η εξίσωση:

22

2013x

κx κx 1 κx κx 1e 1

e

να έχει δύο ακριβώς πραγματικές ρίζες.

Θ.Δ.41. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [0, + ) για την οποία

υποθέτουμε ότι ισχύουν f (0) = 0 , f ΄ συνεχής στο 0 και f ΄ (x) > 0

για κάθε x 0 .

Aν F παράγουσα της f στο [0, + ) , με F(0) = 0 , να αποδείξετε ότι:

Δ1. 1

( ) ( )F x F xx

για κάθε x > 0

Δ2. H συνάρτηση

( ) , 0

( )

0 , 0

F xx

g x x

x

είναι γνησίως αύξουσα στο

[0, + )

Δ3. Η g΄(x) είναι συνεχής στο 0.

Θ.Δ.42. Έστω f παραγωγίσιμη και κυρτή συνάρτηση στο R για την

οποία ισχύει f (x ) > 0 για κάθε x R και 2

0( ) 1 f x dx .

Δίνεται και η συνάρτηση g:R→R με ( ) ( ) (2 )g x f x f x , xR και

g(0)=0.

Δ1. Να βρείτε τ ις ρίζες και το πρόσημο της g.

Δ2. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η g είναι κυρτή ή κοίλη και

τ ις θέσεις των σημείων καμπής της g.

Δ3. Να βρείτε το εμβαδόν Ε του χωρίου Ω που περικλείεται από την

C g ΄ τους άξονες x΄x , y΄y και την ευθεία x = 2.

Page 120: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 119 -

Δ4. Να δείξετε ότι: 2 f (1) < f (x ) + f (2 – x ) για κάθε x < 1.

Θ.Δ.43. Δίνεται η συνάρτηση f : [1 , 2]R , η οποία είναι δύο φορές

παραγωγίσιμη και για την οποία ισχύουν:

f΄΄ (x )<0 για κάθε x [1 , 2] και f (1)=0, f (2)=2 και f΄ (2)=1.

Δ.1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο

[1 , 2] και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

Δ.2. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = x εφάπτεται στη C f .

Δ.3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 (1 , 2) ώστε

f΄΄ (x0 ) < -1.

Δ.4. Να αποδείξετε ότι:

i )

2 f(x) f(x)

2 x x 1 για κάθε x (1 , 2) .

ii ) f (x ) 2(x – 1) για κάθε x [1 , 2] .

iii )2

1f(x)dx 1 .

Δ.5. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε : y = - x + 2 τέμνει σε ένα

ακριβώς σημείο τη C f .

Θ.Δ.44. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0,+ )R για την οποία

ισχύει :

( )

1( )

1f x

xf x

x e

και f (1) = 0.

Δ1. Nα αποδείξετε ότι για κάθε x>0 ισχύει:

e f ( x ) +f(x) = x + lnx.

Δ2. Nα αποδείξετε ότι f (x) = lnx , x>0.

Δ3. Να βρείτε το μέγιστο της g(x) = f (x ) f

e

x, x >0.

Δ4. Αν 0 < α<β<γ να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) ( )

f f f f

.

Θ.Δ.45. Θεωρούμε τη συνάρτηση: ln , 0

( )0 , 0

x x xf x

x

Δ1. Να μελετήσετε την f και να χαράξετε την C f .

Δ2. Αν α > e - 1 να συγκρίνετε τους αριθμούς

1 1

1 , ( 1) .

Δ3. Για κάθε x (1,e) να δείξετε ότι: e (x-1) > (e -1)xlnx.

Δ4. Aν h(x) = 1

( ) , [0, ) x

f t dt x να βρείτε τον τύπο της h στο [ο,+ ) .

Δ5. Βρείτε το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από την Cf

και τον x΄x.

Page 121: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 120 -

Θ.Δ.46. Θεωρούμε τη συνεχή f ορισμένη στο [0,+ ) με f (x ) = 1

xx για

κάθε x (0,+ ) .

Δ1. Bρείτε το f (0) .

Δ2. Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Δ3. Διατάξτε τους αριθμούς 3 1

3, , 1

, ν > 3.

Δ4. Εξετάστε εάν η Cf έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο + .

Δ5. Δείξτε ότι υπάρχει x o (1,e ) ώστε , η εφαπτομένη της Cf στο

Α(x o , f (x o ) ) , να διέρχεται από το σημείο Β( -1,0) .

Δ6. Αν Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f , την

ευθεία x =1 και τον άξονα x΄x , δείξτε ότι Ε < 1

Θ.Δ.47. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0,+∞) R με 2

( )( ) 0

f xf x

x

και f (1) = e .

Δ1. Να βρείτε τον τύπο της f .

Δ2. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και κυρτότητας της f .

Δ3. Να δείξετε ότι : 2

1( ) e f x dx e .

Δ4. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x o (1,2) τέτοιο ώστε

0

12

1( )

xf x dx e .

Θ.Δ.48. Δίνεται η συνάρτηση g: RR με ( ) ( 1) ( )g x f x f x για κάθε

xR , όπου f :RR είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση , γνησίως

φθίνουσα και κοίλη στο R.

Αν επιπλέον ισχύει : x

f(x)lim

x

02009 , τότε:

Δ1 . Να δείξετε ότι: η g είναι ¨1-1¨.

Δ2 . Να δείξετε ότι: η g στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο R.

Δ3 . Να δείξετε ότι: f (x )+2009x≤0 για κάθε xR.

Δ4 . Να υπολογίσετε τα όρια:

i ) 2x 0

f (2x) ημ2xlim

x x

ii ) x 0

f (2x) f (ημx)lim

x

Δ5. Να δείξετε ότι: χ f (1)+g(0) > g(x) > xg΄ (x ) + g(0) για κάθε x > 0.

Θ.Δ.49. α. Έστω δύο συναρτήσεις h, g συνεχείς στο [α, β] .

Να αποδείξετε ότι αν h(x) > g(x ) για κάθε x [α, β] , τότε και β β

α αh(x)dx g(x)dx .

β. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο ΙR συνάρτηση f , που ικανοποιεί τ ις

Page 122: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 121 -

σχέσεις: f (x)f (x) e x 1, x ΙR και f (0) = 0.

i ) Να εκφραστεί η f΄ ως συνάρτηση της f .

ii ) Να δείξετε ότι f(x) < x f (x) ,x

2 για κάθε x > 0.

iii ) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζετα ι από τη

γραφική παράσταση της f , τ ις ευθείες x = 0, x = 1 και τον άξονα

x΄x , να δείξετε ότι1 1

E f (1)4 2

.

Θέμα 4ο Πανελλήνιες 2002

Θ.Δ.50. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα [α, β] που

έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο (α , β) . Αν ισχύει f (α) = f (β) = 0

και υπάρχουν αριθμοί γ(α, β) , δ(α, β) , έτσι ώστε f (γ) · f (δ )<0, να

αποδείξετε ότι:

α. Υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f (x ) =0 στο διάστημα

(α, β) .

β. Υπάρχουν σημεία ξ 1 , ξ2 (α, β) τέτοια ώστε f΄΄ (ξ1 ) < 0 και

f΄΄ (ξ2 ) > 0.

γ. Υπάρχει ένα τουλάχιστον πιθανό σημείο καμπής της γραφικής

παράστασης της f .

Θέμα 4ο Πανελλήνιες 2003

Θ.Δ.51. Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο IR με συνεχή πρώτη

παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:

f (x ) = - f (2 – x ) και f ΄ (x) 0 για κάθε x IR .

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη .

β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x ) = 0 έχει μοναδική ρίζα.

γ. Έστω η συνάρτηση f(x)

g(x) f (x)

.

Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g

στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα x΄x , σχηματίζει με

αυτόν γωνία 45 ο .

Θέμα 4ο Επαναληπτικές 2003

Page 123: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 122 -

Θ.Δ.52. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: IR →IR ,για την οποία ισχύει

2x 0

f(x) xlim 2005

x

.

α. Να δείξετε ότι:

i . f (0)=0 .

ii . f΄ (0)=1.

β. Να βρείτε το λ ∈ IR έτσι, ώστε:

22

22x 0

x λ f(x)lim 3

2x f (x)

.

γ. Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο IR

και f΄ (x)>f(x) για κάθε x ∈ IR , να δείξετε ότι:

i . xf(x)>0 για κάθε x≠0.

ii .

1

0

f(x)dx f(1) .

Θέμα 4ο Επαναληπτικές 2005

Θ.Δ.53. Δίνεται η συνάρτηση x 1

f(x) ln xx-1

.

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τ ιμών της

συνάρτησης f .

β. Να αποδείξετε ότ ι η εξ ίσωση f (x )=0 έχει ακριβώς 2 ρίζες στο

πεδίο ορισμού της.

γ. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

g (x)=lnx στο σημείο Α(α,lnα) με α>0 και η εφαπτομένη της

γραφικής παράστασης της συνάρτησης h(x)=e x

στο σημείο Β(β,e β )

με β ∈ IR ταυτίζονται , τότε να δείξετε ότ ι ο αριθμός α ε ίναι ρίζα

της εξ ίσωσης f (x )=0.

δ. Να αιτ ιολογήσετε ότ ι ο ι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

g και h έχουν ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες.

Θέμα 4 ο Πανελλήνιες 2006

Θ.Δ.54. Δίνεται η συνάρτηση f(x) xln(x 1) (x 1)lnx με x>0.

α. i. Να αποδείξετε ότι: 1

ln(x 1) lnx , x 0x

.

ii . Να αποδείξετε ότι η f ε ίναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα

(0,+∞).

Page 124: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 123 -

β . Να υπολογίσετε το x

1lim xln(1 )

x .

γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός α ∈ (0,+∞) τέτοιος

ώστε (α+1) α

= αα + 1 .

Θέμα 4ο Επαναληπτικές 2006

Θ.Δ.55. Έστω f μια συνάρτηση συνεχής στο για την οποία ισχύει

23

0f (x) (10x 3x) f (t)dt 45 .

α. Να αποδείξετε ότι f (x )=20x 3+6x−45 .

β. Δίνεται επίσης μια συνάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιμη στο IR.

Να αποδείξετε ότι h 0

g (x) g (x h)g (x) lim

h

.

γ. Αν για τη συνάρτηση f του ερωτήματος (α) και τη συνάρτηση g

του ερωτήματος (β) ισχύει ότι 2h 0

g(x h) 2g(x) g(x h)lim f (x) 45

h

και

g(0)=g΄(0)=1, τότε

i . να αποδείξετε ότι g(x)=x 5+x3+x+1 .

ii . να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g ε ίναι 1−1.

Θέμα 4ο Πανελλήνιες 2008

Θ.Δ.56. ∆ίνεται μια συνάρτηση f: [0,2] R η οποία είναι δύο φορές

παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τ ις συνθήκες

2xf (x) 4f (x) 4f (x) kxe , 0 x 2 , f΄ (0)=2 f (0) , f΄ (2) = 2 f (2)+12 e4

,

f (1) = e2

όπου kR.

α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: 2

2x

f (x) 2f (x)g(x) 3x , 0 x 2

e

ικανοποιεί τ ις υποθέσεις του θεωρήματος του Rol le στο διάστημα

[0,2] .

β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (0,2) τέτοιο, ώστε να ισχύει

f (ξ) 4f (ξ) = 6 ξ e2 ξ

+ 4f΄ (ξ ) .

γ. Να αποδείξετε ότι k = 6 και ότι ισχύει g (x) = 0 για κάθε x∈

[0,2] .

δ. Να αποδείξετε ότι 3 2xf (x) x e , 0 x 2 .

Page 125: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 124 -

ε. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 2

2 1

f(x)dx

x .

Θέμα 4ο Επαναληπτικές 2009

Θ.Δ.57. Δίνεται η συνάρτηση

xe 1, αν x 0

f (x) x

1

, αν x = 0

Δ1 . Να αποδείξετε ότι η f ε ίναι συνεχής στο σημείο x 0 = 0 και, στη

συνέχεια, ότι είναι γνησίως αύξουσα.

Δ2. Δίνεται επιπλέον ότι η f είναι κυρτή.

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση :

1

2f (x)f (u)du 0

έχει ακριβώς μία λύση, η οποία είναι η x = 0

β) Ένα υλικό σημείο M ξεκινά τη χρονική στιγμή t=0 από ένα

σημείο A (x0 , f (x 0 ) ) με x 0<0 και κινείται κατά μήκος της καμπύλης

y = f (x ) , x ≥ x0 με x = x(t ) , y = y(t) , t ≥ 0. Σε ποιο σημείο της

καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x(t ) του σημείου M

είναι διπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τεταγμένης του y(t ) , αν

υποτεθεί ότι x΄(t )>0 για κάθε t ≥ 0.

Δ3. Θεωρούμε τη συνάρτηση

g (x) = (x f (x) + 1- e)2 (x - 2)2 , x∈ (0, + ∞)

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει δύο θέσεις τοπικών ελαχίστων

και μία θέση τοπικού μεγίστου.

Θέμα 4ο Πανελλήνιες 2014

Θ.Δ.58. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση

f : Α ⟶ ℝ , Α =(0,+∞ )

με σύνολο τιμών f (A) = ℝ , τέτοια, ώστε

f(x) 2e f(x) 2f(x)+3 x

Δ1. Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται (μονάδες 4) και

να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f - 1 της f (μονάδες 3)

Για τα ερωτήματα Δ2 και Δ3 , δίνεται ότι

Page 126: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 125 -

-1 x 2f (x) e x 2x+3 , x∈ℝ

Δ2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f - 1 ως προς την κυρτότητα.

Στη συνέχεια, να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται

από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f - 1 , την εφαπτομένη της

γραφικής παράστασης της f - 1 στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα

y΄y , και την ευθεία x = 1

Δ3. Για κάθε x∈ℝ θεωρούμε τα σημεία

-1A x, f (x) ,

-1B f (x), x των

γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f - 1 και f αντίστοιχα.

i ) Να αποδείξετε ότι, για κάθε x∈ℝ , το γινόμενο των συντελεστών

διεύθυνσης των εφαπτομένων των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων f - 1 και f στα σημεία A και B αντίστοιχα, ε ίναι ίσο με 1

ii ) Να βρείτε για ποια τιμή του x∈ℝ η απόσταση των σημείων A, B

γίνεται ελάχιστη, και να βρείτε την ελάχιστη απόστασή τους.

Θέμα 4ο Επαναληπτικές 2014

Θ.Δ.59. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ→ℝ για την οποία

ισχύουν:

f΄ (x) [ e f ( x ) + e - f ( x ) ] = 2 για κάθε και x∈ℝ

f (0)=0.

Δ1. Να αποδείξετε ότι : 2f (x) n x x 1 , x∈ℝ .

Δ2. α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f . β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f , την ευθεία y=x και τ ις ευθείες x=0 και x=1.

Δ3. Να υπολογίσετε το όριο:

x 2

0f ( t )dt

x 0

lim e 1 n | f (x) |

Δ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση :

2 2

0 0

x 2 x1 3 f (t )dt 8 3 f (t)dt

x 3 x 2

= 0 έχει

μία τουλάχιστον ρίζα στο (2,3) . Θέμα 4ο Πανελλήνιες 2015

Θ.Δ.60. Δίνεται η συνάρτηση f με f '' x συνεχή στο τέτοια ώστε να

ισχύουν:

Page 127: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 126 -

x 0 1

2

0 x 0

t 1 f '' t dt 2 t f t dt 4 x t f x dt για κάθε x , με f 0 0 και

f ' 0 2 .

α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της είναι 2

2xf x , x

x 1

.

β) Έστω Ε α το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της f , τον άξονα x 'x και τ ις ευθείες x 0 και x α 0 .

Αν το α μεταβάλλεται με ρυθμό , να βρείτε το ρυθμό

μεταβολής του εμβαδού Ε α , τη χρονική στιγμή κατά την οποία α 3cm

.

γ) Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση g για την οποία ισχύει :

g x x 2 f x για κάθε x .

i . Να αποδείξετε ότι η ευθεία y x 2 είναι ασύμπτωτη της γραφικής

παράστασης της g όταν x .

ii . Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της g , την πλάγια ασύμπτωτη της στο και τ ις ευθείες

x 0 και , να αποδείξετε ότι: .

Θέμα 4 ο ΟΕΦΕ 2003

Θ.Δ.61. Οι συναρτήσεις f , g είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο με

g 0 1 και , για κάθε x .

α. Να αποδείξετε ότι:

i ) g ' x g x f x , x .

ii ) Η g είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα

, 0 , 0, και έχει ακρότατο το 1.

β. i ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και να

βρείτε τα σημεία καμπής της.

ii ) Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης

της f στο σημείο της .

γ. Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου, που ορίζεται από την γραφική

παράσταση της f και τ ις ευθείες y x , x 1 , να δείξετε ότι 1

E ln g 12

.

Θέμα 4 ο ΟΕΦΕ 2004

Θ.Δ.62. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία

ισχύουν 1

f 02

και xe f x f ' x ημ x f ' x για κάθε x .

α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι x

συν xf x , x

1 e

και ότι

ισχύει f x f x συν x για κάθε x .

β) Να βρείτε το x

f xlim

.

10/ sec

3cm

2x ln 5

2' 0f x g x 2 2 1f x g x

0, 0

Page 128: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 127 -

γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα π/2

π/2

I f x dx

.

δ) Να αποδείξετε ότι: .

Θέμα 4 ο ΟΕΦΕ 2005

Θ.Δ.63. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση για την οποία

ισχύουν: 2

1( )

1g x

x

και g(0)=0.

α) Να μελετήσετε ως προς τα κοίλα τη συνάρτηση g.

β) Να αποδείξετε ότι: 21

xg x x

x

για κάθε 0x .

γ) Να αποδείξετε ότι: 0g x g x για κάθε .

δ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται

από τη γραφική παράσταση της g , τον άξονα 'x x και τ ις ευθείες

0, 1x x είναι 1

1 ln 2 . .2

E g

Θέμα 4 ο ΟΕΦΕ 2007

Θ.Δ.64. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο 0, για

την οποία ισχύουν οι σχέσεις: 1 1

'x

xf

x e

και

11f

e .

Α. Να δείξετε ότι 1/xf x x e .

Β. 1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής

παράστασης της f x στο σημείο με τετμημένη 1x .

2. Να δείξετε ότι 2

1

2f x dx

e ,

Γ. Αν

3

f xg x

x , να βρείτε το εμβαδόν E t του χωρίου που

περικλείεται από τη gC , τον 'x x και τ ις ευθείες 1x και x t με

1t .

Δ. Να βρείτε το tlim E t .

Θέμα 4 ο ΟΕΦΕ 2009

Θ.Δ.65. Έστω η συνάρτηση 1xf x x e .

Δ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.

Δ2. Να λύσετε την εξίσωση 1xe x .

Δ3. Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση :g η οποία

για κάθε x ικανοποιεί τη σχέση 2 1g x

g x e x .

α) Να αποδείξετε ότι g είναι γνησίως αύξουσα.

β) Να αποδείξετε ότι 0 0g .

/2

0

04

f x dx

x

Page 129: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 128 -

Δ4. Να λύσετε την ανίσωση 0g f x .

Δ5. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και ότι η 1fC διέρχεται

από το σημείο ,1e . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της

1fC στο Μ.

Ε.Μ.Ε. 2008

Θ.Δ.66. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f ορισμένη στο R.

Αν η ευθεία που ενώνει τα σημεία ,A a f a και ,B f , 0 a

της γραφικής παράστασης της f διέρχεται από την αρχή των

αξόνων, τότε:

Δ1 . Να δειχτεί ότι ισχύει: f a f

a

.

Δ2. Να αποδείξετε ότι αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,

β) με ( ) 0f x και 0 ,x a , τότε υπάρχει ακριβώς μια ευθεία ε

που εφάπτεται στη fC στο 0 0,M x f x και η οποία περνά από την

αρχή των αξόνων.

Δ3 . Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ,0 να δειχτεί ότι αν

lim , x

f xL L R

x

, τότε

( 1) ( )limx

x

x

f f xL

.

Δ4. Αν το σημείο Β ανήκει στην εφαπτόμενη της fC στο ( , (x ))o ofx

να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (α , β) τέτοιο ώστε:

( )( ) ( ) ( ). f f f

Θ.Δ.67. Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο R συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύουν τα εξής:

( ) 2f x για κάθε xR ,

f (0) = 0 ,

( ) ( ) 2 ( ) 2f x f x f x x x x για κάθε xR ,

g (0) = 1 ,

2

2

1( ) ( )

1

xg x g x

x

για κάθε xR

Δ1. Να δείξετε ότι f (x ) < 2 για κάθε xR. Δ2. Να βρείτε τη συνάρτηση f .

Δ3. Να λυθεί η εξίσωση: ln 1 ln 1f x x x x , για x > 0.

Δ4. Να βρείτε τη συνάρτηση g.

Δ5. Να υπολογίσετε το όριο: ( )

lim( )x

f x

g x και να δείξετε ότι:

1 2 3 .

Θ.Δ.68. Δίνονται οι συναρτήσεις f : ( -1 , +∞) →R και G:(-1 , +∞) →R για τις οποίες ισχύουν:

Page 130: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 129 -

Η f είναι παραγωγίσιμη για κάθε x > -1

f (0) = 2

1

( ) ( ) ln( 1) 31

f x f x xx

, για κάθε x > -1.

2 ( ) ln( 1)

( )1x

f x xG x

x e

, για κάθε x > -1.

Δ1. Να δείξετε ότι ( ) 3 ln 1xf x e x , για κάθε x > -1.

Δ2. α. Να δείξετε ότι η εξίσωση ln( 1) 3xe x έχει ακριβώς δύο

ετερόσημες ρίζες ρίζες ρ 1 , ρ2 στο διάστημα (-1 , +∞).

β. Να δείξετε ότι η εξίσωση: 33 ln( 1) xx e x με αR έχει μια

τουλάχιστον λύση στο διάστημα [ρ 1 , ρ2 ] .

γ. Να λύσετε την ανίσωση 1ln ln 1 lnxx e x x για κάθε x>1.

Δ3. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός x0>-1 τέτοιος ώστε η συνάρτηση G να παρουσιάζει στη θέση x0 τοπικό

μέγιστο και ισχύει η σχέση: 0

0 2x

e x .

Θέμα ΟΕΦΕ 2015

Θ.Δ.69. Θεωρούμε τη συνάρτηση 2

( )2

x xf x e .

Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση g:R→R και τον πραγματικό αριθμό x0 , έτσι ώστε:

g (x0 ) = x0 + 1

0 0

0

( ) ( )limh

g x h g x

h

, νΝ *- 1 .

Να αποδείξετε ότι: Δ1. Η εξίσωση f΄ (x ) = 0 έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα ρ.

Δ2. ( ) ( ) ( )

lim 1x

f x f x fe

x

, όπου ρ η ρίζα του Δ1. ερωτήματος.

Δ3. α) Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο x0 , με g΄(x0 )=1. β) Η εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α(0 , f (0) ) , εφάπτεται στην C g στο σημείο Β(x0 , g (x0 ) ) . Δ4. Η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο x0 με

0 1

0 0( ) 1.x

f g x e x

Θέμα 4 ο ΟΕΦΕ Ιανουάριος 2016

Θ.Δ.70. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με ( ) (0, )f R , η

οποία ικανοποιεί τη σχέση 1f΄ x f x για κάθε x R .

Δ1. Να αποδείξετε ότι: α) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.

β) Η f είναι κυρτή στο R.

γ) Η g (x) = f ( -x) είναι γνησίως φθίνουσα στο R.

Δ2. Να αποδείξετε ότι

2 21

0

0 1

2

f x f fdx

f x

.

Page 131: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 130 -

Δ3. Αν 0 1f να βρείτε τη συνάρτηση f .

Ε.Μ.Ε. 2008

Θ.Δ.71. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : [0 , +∞) με f (0) = 1, η οποία ικανοποιεί τ ις σχέσεις:

4 ( ) 3 ( ) 0f x f x και f (x )≠0 για κάθε x [0 , +∞).

Δ1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα.

Δ2. Να αποδείξετε ότι: 3

1( )

1f x

x

, x≥0.

Δ3. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f στο σημείο Α(0 , f (0) ) . Δ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f , τον άξονα x΄x , την εφαπτομένη (ε) και την ευθεία με εξίσωση x = 7.

Δ5. Να αποδείξετε ότι: 22 (1) 2 με α 0, .2

f a f f a

Ε.Μ.Ε. 2010

Θ.Δ.72. Δίνεται η συνάρτηση f : (0 , e )→R με f (1)=0 , η οποία για κάθε

x (0 , e ) ικανοποιεί τη σχέση: ln ( ) ( ) ln .f x f x x

Δ1. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f .

Δ2. Αν f (x) = - ln(1-lnx) , x (0 , e ) α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0 , e) . β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f . γ. Να βρείτε την τιμή του x για την οποία ο ρυθμός μεταβολής της f γίνεται ελάχιστος.

δ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 1

1 ln xe

, γ ια τ ις

διάφορες τ ιμές του αR. Ε.Μ.Ε. 2010

Θ.Δ.73. Α. Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι 1-1 και συνεχής σε ένα διάστημα Δ, τότε είναι γνησίως μονότονη στο Δ. Β. Έστω συνάρτηση f τρεις φορές παραγωγίσιμη στο R με f ( 3 ) (x )≠0

για κάθε xR.

Αν f΄ (2)>0, f ( 3 ) (2)>0 και για κάθε xR ισχύει f (x )+f(4-x)=3, τότε: α) Να αποδείξετε ότι η f΄΄ είναι γνησίως μονότονη.

β) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής. γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2f(x)=3 έχει μια ακριβώς ρίζα στο R.

δ) Αν η γραφική παράσταση Cg της συνάρτησης ( )

( )( )

f xg x

f x

τέμνει

τον άξονα x΄x στο σημείο Μ, να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C g στο σημείο Μ σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία 450 . ε) Για x≥2 να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2f(x+1)=f(x)+f(x+2) είναι αδύνατη. Ε.Μ.Ε. 2010

Page 132: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 131 -

Θ.Δ.74. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R→R, η οποία ικανοποιεί

τη σχέση: 2

2

2( )

x

x

e xf x

e x

, για κάθε xR.

Δ1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα. Δ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x)=f(x)-x είναι γνησίως αύξουσα στο R. Δ3. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f .

Δ4. Να βρείτε το όριο: lim 2010 ( )x

f x f x

.

E.M.E. 2010

Θ.Δ.75. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R→R, με f (0)=0, η οποία

ικανοποιεί τη σχέση: f (x )≥xe 2 x για κάθε xR. Δ1. Να αποδείξετε ότι: f΄ (0)=1.

Δ2. Να αποδείξετε ότι:

2

0

( )lim 1.x

f x

x x

Δ3. Αν 1

0( ) 1xf x e dx , να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f στο

διάστημα [0 , 1] . Ε.Μ.Ε. 2010

Θ.Δ.76. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R→R, η οποία για κάθε

xR ικανοποιεί τη σχέση: f (α) < f΄ (x) < f (β) , όπου α , βR με α=β-1>0. Να αποδείξετε ότι: Δ1. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Δ2. Η συνάρτηση g(x)=f(x )- f (α) x είναι γνησίως αύξουσα και ότι:

( )( )

2

ff

.

Δ3. Η εξίσωση f (x)=0 έχει μία ακριβώς λύση στο ( -β , α) .

Δ4. Υπάρχουν x1 , x2 ,x3 R τέτοια, ώστε να ισχύει:

3 2 1

( ) ( ) ( )2 4 1

( ) ( ) ( )

f f f

f x f x f x

.

Ε.Μ.Ε. 2012

Θ.Δ.77. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R→R με συνεχή παράγωγο, που ικανοποιεί τ ις σχέσεις:

2

2

1( ) 2 ( ) 0

1f x f x

x

, για κάθε xR

f΄ (-1)<1<f΄ (1)

f (0)=1

Δ1. Να αποδείξετε ότι 2( ) 1f x x x , xR.

Δ2. Να αποδείξετε ότι f (x)>0 για κάθε xR. Δ3. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα.

Δ4. Αν h(x)=ln( f (x )) , xR, τότε:

α) Να αποδείξετε ότι: 2

1( )

1h x

x

, xR.

β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη

Page 133: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 132 -

γραφική παράσταση της f , τον άξονα x΄x και τ ις ευθείες με εξισώσεις x=0 και x=1.

γ) Να αποδείξετε ότι: ( ) 1

( )f x x

h xx

για κάθε x (0 , +∞ ) .

Ε.Μ.Ε. 2012

Θ.Δ.78. Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R→R η οποία ικανοποιεί τ ις σχέσεις:

f΄΄ (χ)- f(χ)=(4χ+2)e x

f΄ (0)=f(0)-0

Δ1. Να αποδείξετε ότι f (x)=x2e x , xR. Δ2. Να βρείτε τ ις ασύμπτωτες της C f . Δ3. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Δ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ1 , ξ2 ( -1 , 1) τέτοια ώστε

f΄΄ (ξ1 ) f΄΄(ξ2 ) = 3.

Δ5. Να υπολογίσετε το όριο: 1

lim ( )x

xxf t dt

.

Ε.Μ.Ε. 2012

Θ.Δ.79. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0 , +∞)→R, η οποία ικανοποιεί τ ις σχέσεις:

f (x ) ln( f (x ) ) + 2xf΄ (x ) = 0, για κάθε x (0 , +∞)

f (x )>0, για κάθε x (0 , +∞)

f (1) = e

Δ1. Να αποδείξετε ότι

1

( ) xf x e , x (0 , +∞)

Δ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να ορίσετε τη συνάρτηση f - 1 . Δ3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία, την

κυρτότητα και να αποδείξετε ότι

11

2 3xe x

.

Δ4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 2

1 2( ) 1

ln

e

ef x dx

x

.

Δ5. Να αποδείξετε ότι: 7 52e e e .

E.M.E. 2012

Θ.Δ.80. Έστω η συνάρτηση f : [2 , +∞)→R με f (2)=0, η οποία είναι συνεχής στο [2 , +∞) και κυρτή στο (2 , +∞).

Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( )

( )2

f xg x

x

είναι γνησίως

αύξουσα στο (2 , +∞). Δ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (2x-9) f (x+6) = (7x-32) f (x ) , έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (4 , 5) .

Αν επιπλέον ισχύει : 3

( ) 6 1lim

3 6x

f x x

x

:

Δ3. α) Να βρείτε τ ις τ ιμές των f (3) και f΄ (3) . β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f .

Page 134: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 133 -

E.M.E. 2014

Θ.Δ.81. Δίνονται οι συναρτήσεις f (x )=α lnx+x+α και ln

( )x x

g xx

, α>0.

Δ1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x )=0 έχει μοναδική ρίζα ρ.

Δ2. Να αποδείξετε ότι: ( )g xa

για κάθε x>0.

Δ3. Να αποδείξετε ότι η C g έχει ένα μόνο σημείο καμπής. Δ4. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης:

α(xlnx-λ)=λx, για τις διάφορες τ ιμές του λR. Ε.Μ.Ε. 2014

Θ.Δ.82. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R→R, η οποία ικανοποιεί

τ ις σχέσεις:

f (0)=1

f (x )>0 για κάθε xR

1 ( )

( )1 ( )

xe f xf x

f x

για κάθε xR

Δ1. Να αποδείξετε ότι f (x)=e x , xR Δ2. Να βρείτε τ ις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης *1

( ) , g x x f x Rx

.

Δ3. Να αποδείξετε ότι: 2 2

ln3 3

ae e

για κάθε α , βR με α<β.

Δ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f , την παραβολή y=x2+1 και την ευθεία x=1. E.M.E. 2014

Θ.Δ.83. Έστω f : [0 , 1]→R μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύουν:

f΄ (0)=f΄ (1)=0

f (0)=0 Θεωρούμε και τη συνάρτηση g(x)=f(x)-x2+x Δ1. Αν οι εφαπτόμενες της C g στα σημεία της με τετμημένες x1=0

και x2=1 τέμνονται στο σημείο με τετμημένη x3 = 1

2, να αποδείξετε

ότι: α) g(1)=0

β) υπάρχει ξ (0 , 1) ώστε g΄ (ξ )+2ξ=1 Δ2. Να αποδείξετε ότι:

α) 1 1

0 0( ) (1 ) ( )f x dx x f x dx

β) υπάρχει x0 [0 , 1] ώστε 1

00

( ) 2 ( )f x f x dx .

E.M.E. 2014

Page 135: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 134 -

Θ.Δ.84. Έστω μια συνάρτηση f :R→R με f (0)=1 και F μια παράγουσα της f στο R με F(0)=0.

Αν 20

( 2 ) ( ) 2 ( )lim 2 ( )h

F x h F x F x hxf x

h

, xR:

Δ1. Να δείξετε ότι 2

( ) xf x e , xR.

Δ2. Να δείξετε ότι: 1xe x για κάθε xR.

Δ3. Να δείξετε ότι η εξίσωση:

1 1

0 03 ( ) 4 3 (2 ) 7

02 1

f x dx f x dx

x x

έχει

ακριβώς μια ρίζα στο (1 , 2 ) .

Δ4. Να δείξετε ότι: 2 2 ( ) ( ) 0x xx e F x F e για κάθε xR.

Δ5. Αν το εμβαδόν Ε που περικλείεται από τη γραφική παράσταση

της F , τον άξονα x΄x και την ευθεία x=1 είναι 1 , να δείξετε ότι:

2 (1) 1F e .

Θ.Δ.85. Δίνονται η συνάρτηση f : R→R, η οποία είναι 3 φορές

παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε:

i ) x 0

f (x)lim 1 f (0)

x

ii ) f΄ (0) < f (1) - f (0) και

iii ) f΄΄ (x ) ≠ 0 για κάθε x∈R

Δ.1 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής

παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της με τετμημένη x 0=0.

Δ.2 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή στο R.

Αν επιπλέον g(x) = f (x ) -x, x∈ℝ τότε:

Δ.3 Να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο και να

βρείτε το :x 0

xlim

xg(x)

.

Δ.4 Να αποδείξετε ότι: 2

0f (x)dx 2 .

Δ.5 Αν το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης g, τον άξονα x΄x και τ ις ευθείες με

εξισώσεις x=0 και x=1 είναι Ε(Ω) = e -5

2τότε να υπολογίσετε το

ολοκλήρωμα 1

0f (x)dx και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈

(1, 2) τέτοιο, ώστε 0

f (t)dt 2

. Θέμα 4ο Επαναληπτικές 2011

Page 136: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επανάληψη

- 135 -

Σας ευχόμαστε

στις εξετάσεις! επιτυχία