ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

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Το βιβλίο των Μαθηματικών Γ΄ Λυκείου για την Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση.

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    2:

    2.1 85 2.2 88 2.3 97 2.4 102 2.5 112

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    1.1 129 1.2 132 1.3 - 148 1.4 157 1.5 165 1.6 176 1.7 182 1.8 188

  • 2:

    2.1 209 2.2 - 222 2.3 229 2.4 241 2.5 245 2.6 250 2.7 258 2.8 - 272 2.9 - De L ' Hospital 279 2.10 287

    3:

    3.1 303 3.2 309 3.3 318 3.4 326

    3.5 333

    3.6 340 3. 7 342

    - 365

  • A'

  • 1 - 1.1

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    : 97 DIN. 0-100 km/h 10,7 sec, 180 km/h, 100 km 9,5 lit, 10.

    : 100 DIN, 0-100 km/h 12,9 sec, 191 km/h, 100 km 11 lit, 11.

    : 45 DIN, 0-100 km/h 17,9 sec, 140 km/h, 100 km, 7,1 lit, 6.

    : 174 DIN, 0-100 km/h 7,6 sec, 225 km/h, 100 km 12,5 lit, 20.

    :

    .

    DIN

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    , :

    /

    (18 + 20) (16 + 18) (13 + 15)

    (12 + 15) (10 + 13) ( 9 + 12)

    ( 9 + 13) (11 + 10) ( 8 + 10)

    (14 + 17) (12 + 16) (10 + 8)

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    1,4-1 + 0 , 8 - 0 , 8 + 0 , 4 - 3 = 3 ,24

    2002 : 1 ,4-1 ,2 + 0,8-1 + 0 , 4 - 4 = 4 ,08

    2001 2002.

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    i) 2 = I , 3 =

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    ii) '(6,3) '(2,1) .

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    x2, x3. , , ( 3 - 2 x 2 + x 3 , x 2 , x 3 , - 1 , 2 ) , x2 ,x3 . .. x 2 = 1 , x3 = 0 (1, 1, 0, -1 , 2) . , , . , :

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    3: (- 2).

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    5: 1 4 . , 6 .

    6: 1 3 .

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    ( 2)

    ( 4)

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    ( 2)

    3)

    ( 4)

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    2 x 2

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    3x3 2 :

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    ij 2 - , ij. ij

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    Aij=(-1)i+jMij.

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    1, 2 3

    - .

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    . , - 1 . . , x

    ij = (-l)i+j ij ij, ( -1 ) -

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    , ,

    ,

    z = a

    :

  • z = a , - ,

    :

    z = a - ,

    O(0,0) ,

    (1)

    , z (1)

    :

    = 2 .

    , (z) = 0 , -

    ,

  • . z1 ,z2 , . . . ,zv (z) ( - ) , :

    , - .

    . , , , , , , . - , , - . Horner :

    ,

    , 1. . - - .

    3

    , - .

    , , :

    z0 , :

  • , z0 .

    1. :

    ) )

    )

    )

    2 . . x1,x2 - , 2

    ,

  • :

    , :

    3 .

    (x) , ,

    , (x) ,

    (x) , - 3x + 2 .

  • , , - - , ( ) .

    '

    1. :

    ) ) )

    2. :

    ) )

    )

    3. :

    ) ) )

    4. :

    ) )

    5. 2 + i

    .

    6. w ,

    7.

  • 8. - .

    1. : ) )

    2.

    3. - -

    4.

    5. z.

    6. . -

    7. x1 x2.

    ) x1+x2 x1x2

    8. )

    .

    9.

  • 1.

    )

    ) , () 0. - M(x,y),

    2. z, w w1, :

    -

    z -

    .

    3.

    )

    ) w

    ) O(0,0).

    4. z , :

    5. z 1 , z 2 , . . . , z O(0,0),

    6.

  • 7. x2 +x+ , : )

    ) z1 z2

    8.

    :

    )

    )

    1. : (i) , :

    . .

    (ii) O :

    . .

    . . .

    2. z :

    3. z - , :

  • . .

    . .

    . .

    .

    . .

    4. :

    ( k >0 )

    . k + ki a. -45 . k - ki . 225

    . -k-ki .

    45

    . -k+ki . 180

    . 60

    . 135

    5. . :

    . 1 . 2 . 3 . 4 . 5

    6. , , :

    :

    :

    :

    :

  • 7. z , :

  • '

  • 1-

    1.1

    , . (. 1)

    ,

    , ,

    :

    .

  • . . , - :

    1)

    2)

    3)

    4)

    5) , :

    6)

    7) > 0 ,

  • , :

    , , - .

    , , -

    :

    , .

    - .

    :

    1) 2)

    3) 4)

    5) 6)

  • :

    i)

    ii)

    1.2

    . - , .

  • . - () f ,

    . f x f(x).

    , :

    x, - , , f x, .

    f Df .

    f , - f f(A). :

    :

    .

    " f ' " , . f(B) f :

    , f :

    , f(x), x .

    , , f f(x). - f x, f ( x ) . , ,

  • " , "

    f , , "

    "

    f :

    i) ii)

    i) f ,

    1 2. , -

    ,

    , f

    f ,

    , f

    f Oxy - . M(x,y) y = f ( x ) , M(x , f (x ) ) , , - f Cf . , , y = f(x) -

  • C f . , y = f(x)

    f.

    ,

    f . - f (. 7). , (. 7).

    Cf f, :

    ) f Cf..

    ) f f(A)

    Cf.

    ) f

    x = x0 Cf (. 8).

    C f , f , ,

    -f

  • ) - -f ,

    x'x, - f, M'(x,-f(x)) -

    M(x,f(x)), -

    x'x. (. 9).

    ) -

    Cf

    x'x , - x'x, Cf

    . (. 10).

    -, .

  • . O y'y

  • :

    , f(x) = x f(x) = x

    = 2., f(x) = x = .

  • :

    : :

    :

    1)

    2)

    3)

    7)

    8)

    - . - , .

  • :

    i)

    ii)

    iii) h(x) = g ( x - l ) , h , - g .

    :

  • :

    - f g

    - f(x) = g(x),

    f g . :

    f g :

    f(x) = g (x ) .

    f g f = g .

    f, g , - . f(x) = g(x), - f g - . (. 22) ,

    ,

    :

    ) 1,2 3 [0,1],

    f, g, -

  • 4 (0,1], A, -

    x g(x) = 0 ,

    1,2,3 4 , , - f , g . :

    f, g

    f + g , f-g fg - f g ,

    x -

    g(x),

    x

    ) y = x-1

    ) y = x-1

    ) f(x) = x - 1 , (' )

  • ) , (' ).

    , x

    (x) = g(f(x)).

    f g gof . f, - f(x)

    g, . :

    f, g , , - f g, gof,

    gof f -

    f f(x) g.

    gof

    , - -.

    :

    i) gof ii) fog.

  • f , g

    i) :

    (1)

    , ,

    , gof

    ii) :

    , ,

    x > 0 . , , fog

    , f, g gof fog, .

    f, g, h ho(gof), (hog)of

    f, g h hogof. .

  • 1. ;

    2. f x'x, :

    3. f g, :

    4. :

    (x) = 2,89x+70,64 ( )

    (x) = 2,75x + 71,48 ( )

    , . - 0,45 m.

    ) ;

    ) ;

    5. l = 20 cm x cm ( 2 0 - x ) c m .

    . .

    6. :

  • - f .

    7. f = g.

    -

    f(x) = g(x).

    8.

    9.

    10. gof,

    11. . - gof fog .

    12. f -,

  • 1. f :

    2. x cm 628 cm3. 4 cm2, 1,25 cm2. x. 5 cm;

    3. = 1, = 3 = 2 . - x = AM , - .

    4. - x cm - = 10cm - = 5 cm. - - x..

    5. :

  • f .

    6. f , :

    7. f(x) = x+1 g(x) = x+ 2 .

    fog = gof .

    8. :

    9. , - X ,

    . t

    - .

    i) - t.

    ii) 120 .;

    1.3 -

    " ", " " . , :

  • f ( 1 ) :

    ' , x1

  • "", "", . :

    f :

    () , f ( x 0 ) ,

    (. 27)

    () , f ( x 0 ) ,

    (. 27).

    :

    (. 28) x0 = 0 ,

    f(0) = 1,

    (. 28) x0 =1 ,

    f(1) = 0 ,

  • f(x) = x (. 29) , y = l ,

    , y = -1, -

    f(x) = x3 (. 29) , -

    , .

    , - , , . () () f f.

    1 - 1

    :

    '

    :

    " -

    ".

    1 - 1 ( ). :

    1 - 1 , :

  • :

    1 - 1 , -

    :

    :

    f(x) = x + , 1 - 1 . (. 31, )

    , f(x1) = f(x2), :

    f(x)= 1-1 (. 31), f(x1) = f ( x 2 ) = -

    - f(x) = x2 (. 32) -

    1 - 1 , f(-1) = f(1) = 1 -

    f 1 - 1 , :

    - y f(x) = y - x.

    - . f (. 33).

  • , , . -,

    1 - 1 . , , 1 - 1 -,

    . - 1 - 1 , y , f ( ) , f - x f(x) = y.

    f ( x ) = y.

    g :

    f(A) f,

    - f

    - :

  • , f x , g y x . g f. g f - .

    , .

    1 - 1 .

    f-1 f. -

    , -,

    x=y .

    . ,

    g(x) = loga x.

    1 - 1 f - C C' f f-1 (. 37).

    (, )

    C f , '(,) -

  • C' f-1 . , , xOy x'Oy'. :

    C C' f f-1 -

    y = x xOy x'Oy'.

    , f(x) = ax g(x) = l o g a x , 0 < # 1, y = x.

    1 - 1 .

    . . :

    f y = f(x) . :

  • , , f -

    '

    1. -

    2. "1-1" '

    3, f , g , .

  • f,g,, ' - .

    4. :

    i) f , -f .

    ii) f,g - , f + g .

    iii) f,g -

    , fg .

    , f,g .

    1.4

    - :

    ;

    ;

    ;

    , "", , .

  • , y = x +1 (1,2) (. 38). , :

    " x, x 'x, - 1, f ( x ) , y'y , -

    2. , f ( x ) 2 , x#1 1".

    " f ( x ) , x 1, 2". :

    f l, x x0,

    " f(x), x x0, l"

    " f(x) x0 l".

  • :

    f x0, f -

    " x 0 " , f ' -

    To x0 (. 39, 39) ' (. 39).

    f x0, ,

    x0 (. 39) . (. 39).

    , ,

    . : x 1 (x < 1), f - 2. :

    x 1 (x>1) , f -

    4. :

    :

    f - l1, x x0 ( x < x 0 ) , :

    : " f(x), x x0 , l1''.

    f l2 , x x0 (x > x 0 ) ,

    :

  • : " f(x), x x0 , l2''

    /

    x0 l1 f x0, l2

    f x0. :

    , (. 42)

    x0 = 0 , :

    . , f(x) -

    l , "

    x 0 " . , , :

  • " f(x) - V

    (1)

    .

    " x # x0 x0"

    (2)

    . (

    .

    - - , x (2), f(x) (1). :

    *

    f

    f x0 > 0 > 0

    , :

    , f x0, - , ,

    ,

    f x0 l .

    :

    f (x 0 , )

    x0 < x < x0 + , f

  • (,x 0 )

    x0 - < x < x0,

    :

    f -

    (x0,), - ( ,x 0 ) , :

    ,

    f - ( ,x 0 ) , - (x0,), :

    .

    , -

    (,x 0 ) (x 0 , ) f.

    ,

    x 0 = 0 ,

    ,

    , ,

  • , f

    :

    ) f -

    .

    ) f ( , x 0 ) , ' -

    , ( x 0 , ) .

    ) f ( x 0 , ) , ' -

    , ( ,x 0 ) .

    , x0 = 0 ,

    .

    -

    :

    f ( x ) = x (.

    47) x0 x0,

    g(x) = c (. 47) x0 c.

  • 1. , -

    f :

    2. f , , :

    3. :

  • 4. f - . .

    5. f

    ,

    1.5

    .

    1

    f ( x ) > 0 x0 (. 48)

    f (x )< 0 x0 (. 48)

  • 2

    f , g x0

    x0,

    -

    .

    1 3 - . :

  • ,

    :

    ,

    ,

    (x), Q(x) x

    ,

    ,

    ,

    Q(x0) = 0 , 4 .

    1 ii), .

  • 1 . :

    i)

    ii) -

    ( 4). x-2

    . x # 2 , :

    ,

    iii) x = 1 . - :

    :

  • ,

    2 . , , x0 =1

    x

  • , ., x # 0

    , , :

    . :

    *

    x = 0 .

    x = {MM1) < () < (A) = x .

    (1) ,

    , ,

    , , x = 0.

    - :

  • 1.

    (1)

    :

    ,

    2x = 1 - 2 x ,

    , ,

    2.

  • *

    (A) < ( OAM) < ( ), :

    ,

    )

  • . , ,

    fog x0, :

    1. u = g ( x ) . 2. ( )

    3. ( )

    , g(x) # u0 x0,

    l , :

    , -

    : .

    :

    )

    )

  • ,

    '

    1. :

    2. f

    3.

  • 4.

    5. ( ) , f x0 :

    6. :

    7. :

    8. :

    9.

    '

    1. :

  • 2.

    3. = 1. :

    = 1. :

    4. :

    1.6

    54 - f x0. - , - x'x x0, f(x) - - . f x0

  • 55 - f x0. - , x - x'x x0, f(x) - - - ( > 0) . -

    f x0 -

    *

    f

    > 0 > 0 ,

    f(x) >

    > 0 > 0 ,

    f(x)

  • :

    :

  • ,

    :

    1 ( )

    2 ( )

    , , - ( ) . . , - :

    :

  • :

    :

    ,

    :

    .

    1 . :

    i) 1,

    :

    ii) (x-2)2 > 0 2,

  • 2 .

    x0 = 2 , f(x) 2.

    x-2 > 0 x > 2 ,

    x-2 < 0 x < 2,

    . f 2.

    '

    1. ( ) f x0 :

    2. ( ) f x0, :

  • 1. ( )

    2. :

    i) f(x) = x

    ii) f(x) = x 0.

    3.

    .

    4. :

    1. 7

    f , g , h

    x .

  • f(x) l. - f

    g(x) . g

    h(x) . h

    f f , ,

    f,g,h :

    - :

    ,

  • x0

    : .

    . :

    ,

    # 0 :

  • ,

    ,

    - ( 1 ) :

    > 1 (. 60),

    0 < < 1 (. 61),

    (1) .

  • . -:

    () ,

    ( ) . ,

    . ,

    , - O - :

    , . - . , . - . ,

    1. :

  • 2. :

    3. :

    '

    1. , - : , - :

    2. -

    3. -

    4. :

  • 1.8 !

    f,g,h .

    :

    f :

    g x0

    h x0 .

    f x0. , , x0 f. , .

    f x0 x0 .

    f

    , 0,

    , f x0 :

  • ) x0 ) x0, ,

    f ( x 0 ) , x0.

    :

    0,

    f 0.

    1,

    f , , , .

    :

    ,

    , x0

    f(x) = x g(x) = x ,

    , :

    f(x) = x g(x) = logx , 0 < # 1 .

  • x0 :

    f g x0, x0 :

    x0.

    : f(x) = x f(x) = x - .

    g(x) = 3x-2 .

    ,

    g(x) = xx

    f1(x') = x f2 (x) = x..

    , - :

    f x0 g f ( x 0 ) , gof x0.

    , (x) = (x2 -1 )

    f(x) = x2 - 1 g(x) = x .

    ;

  • f - .

    f

    . f , x0 = 0 ,

    :

    f(0) = 2 .

    , 2 = 1 , ,

    . , , - f - ' .

    f (,), (,). (. 63)

    f [,], (,)

    (, ], [, ).

  • :

    Bolzano

    - f [ , ] . A(,f()) (,f()) - x'x, f - . .

    f, [,]. :

    f [, ] , ,

    f() f() < 0,

    , , ,

    f (x 0 ) = 0.

    , , , f(x) = 0

    (,).

    Bolzano :

    f ' ,

    . (. 65)

    f f .

  • f x. , :

    ) f.

    ) , - f . - f .

    ,

    f(x) = 0 [0,2].

    f

    f .

    x0

    0 2

    f(x) - 1 1 - 1

    -

    + -

    , f(x) < 0 ,

  • Bolzano - .

    f, [, ]. :

    f [, ]

    f() # f()

    , f() f() ,

    f(x0 )= n

    f() < f ( ) . f() < < f() (. 67).

    g(x) = f ( x ) - , :

    g [, ]

    g()g()< 0,

    g() = f() - < 0 g ( ) = f ( ) - > 0 . , Bolzano, ,

    g(x0) = f(x0) - = 0 , o f ( x 0 ) = .

    f [ , ] , , , - .

    :

    f() - f .

  • [ ,] , .

    ( )

    f [,], f [,] m. (. 69)

    , , . m = f(x1) = f ( x 2 ) ,

    f [, ] [ m , M ] , m .

    , f(x) = x, [-1,1],

    [0,2] m = -1 = 1.

  • , :

    f (,), - (, ) (. 71),

    , , f (, ), - (, ) (. 71 ).

    ,

    -

    (. 72),

    , (. 73)

    f [, ], [, ) (, ].

  • x + x = 4 , , - (,2).

    f [,2] .

    , Bolzano , ,

    1. -. .

    2. x0 -:

  • 3. ,

    4.

    5. :

    6. x - x + 1 = 0 -

    (0,).

    7. f, , (, + 1) - f(x) = 0

  • 8.

    ,,> 0 < < , , (, ) (,).

    9. f - x, :

    10.

    '

    3. i) f x0 = 0 . -

    f (0) ,

    ii) , g(0) g

    x0 = 0

    4. f , g [0,1] f(0) < g(0) f(l) > g ( l ) ,

    f() = g().

  • 5. :

    , , (1,2).

    6. - f g

    7. i) f [-1,1],

    ) f(x) = 0. ) f

    (-1,1). ) f -

    ; ii) f

    8. [0,1] f - .

    i)

    ii) Bolzano Cf

    .

    9. - C - f - [, ]

    M0(x0,y0) - ,

  • i ) d(x) = (M0M) M0(x0,y0) M(x,f(x)) Cf

    ii) d [,]

    , , Cf -

    0 ,

    , Cf 0

    .

    I .

    , , - , .

  • II. -

    ' :

    A) l < m

    ) 1 = m ) m < l.

    A) 8 ) 1 ) 0 ) - 8 .

    :

    ) 1 ) - 1 ) 0.

  • A) x0 = 0 B) x0 = 2 ) x0 = - 1 ) x0 = l .

    1.

    :

    ) g 2

    ) f 1

    ) g

    I I I .

    2. ;

    3. f = [0,3], f(0) = 2 , f(1) = 1 f(3) = - 1 .

    ' - ;

    ) f [0,3] 2 - 1 .

  • , , ' . - "" , . . - "-" :

    17 . - ( - , , ..) ( ). Descartes, "La Geometrie" (1637), - ( - - -), - :

    " y x , ".

    "" ( fungor , , ) 1673 ' Leibniz " -" (Methodus tangent ium inversa, seu de functionibus) , y

  • . - , . J. Bernoulli 1718 :

    " - ".

    " " , - - . , - " ", L. Euler 1748, " ".

    " - - ".

    , .. , . ' , 18 , y = f(x,t) - t. - ' , - . L. Euler, 1755 , - " -" .

    " , , - . - . x , x , - x".

    - , "". J. Fourier, 1822, - : ", -

  • f(x) , - . x, f(x). - , . ' ' - ".

    - " " , - . , , - "" , , - "", ' - . ' . L. Cauchy 1844, -: " Euler Lagrange, - , . ' , , . , - Euler Langrange , -. .., x , +x -x, x ,

    x0 - '-

    x0 - - ' .

  • -

    , , , . , Euler II - " " ... ".

    , Cauchy, -. " ", - , . Cauchy, 1821, : ( . Bolzano 1817).

    " f(x) x x ' . x - , f(x+)- f(x),

    x. ' , f(x) x, x ' , f(x+)-f(x) ' - ' . , f(x) x, ".

    ( .. - ) , , , . - -. - , , , - ' . d '

    (1) Cauchy , , .

  • Alembert 1765 "" Diderot : " , - ' - ". ' , - , 2 - 1,9 1,99 1,999 1,9999 ..., 1,9 1,99 2 2 ... ( "" 2), - 1,9 2,01 1,9999 2 , 0 0 0 1 . . . ( 2). O ,

    S.F. Lacroix 1810

    " x -

    .

    ,

    , -

    .

    , x , , -. ,

    : x".

    -

    , , . "" , Weierstrass 19 . , .

  • 2

    2.1

    - S = S(t) t.

    S t - . , , t0

    0 h, t = t0 +h , . (. 1). t0 t S(t)-S(t0). , '

    t t0, t0. , t t0, t0 ( t 0) . :

  • t1 = 1, t2 = 2

    t3 = 3 :

    , t0

    , A. , , y = x 2

    A(1,1) (. 4), y = x3

  • A(1,1) (. 4).

    , , .

    , , (. 5). , , AM . - , - , AM - " " - A. , , - - . f A ( x 0 , f ( x 0 ) ) -.

    M ( x , f ( x ) ) , x # x0, f AM A , :

  • x x0 x > x0 AM (. 6). x x0 x < x0 (. 6). AM f .

    AM -

    Cf A ( x 0 , f ( x 0 ) )

    .

    f (x0,f(x0)) C f .

    , -

    Cf A,

    .

    , A ( x 0 , f ( x 0 ) )

    y - f ( x 0 ) = (x -x0).

    , f(x) = x2

    (1,1).

    Cf

    A(1,1). -

    -2 y - 1 = 2 ( x - l ) .

    ,

  • - , :

    f ' x 0 ,

    . f x0

    f ' ( x 0 ) . :

    , f(x) = x2 +1, x0 = 1

    , f'(1) = 2 .

    , , x = x0+h, -

    h = x-x0 x, f(x0 + h)- f(x0) =

    f(x0 + x ) - f(x0) f(x0) , :

    Leibniz x0

    O f'(x0) -

    Lagrange. , x0 - f, :

    f x0 ,

    .

  • ,

    -

    0 f'(0) = 0 ,

    -

    0,

    :

    , t0,

    x = S(t) t0. ,

    ( t 0 ) = S'(t0).

    Cf

    f. A ( x 0 , f ( x 0 ) ) f x0. -

    , = f'(x0)

    :

    f'(x0) A ( X 0 , F ( X 0 ) ) C f f x0.

  • , , f ' A(x0,f(x0)). f x0.

    0, ' ,

    , M(x,f(x)), x # 0 , Cf , ,

    x 0, , y'y. f O(0,0) x = 0 .

    0, ' ,

    , M(x,f(x)), Cf ,

    , x 0, y'y. Cf O(0,0) x = 0. :

  • f x0 :

    )

    )

    )

    Cf A ( x 0 , f ( x 0 ) ) -

    x = x0

    ,

    O(0,0) , x = 0 , 0

    f - x0 , Cf A ( x 0 , f ( x 0 ) ) .

    , -

    O(0,0),

  • f

    x0 = 0 , ' ,

    , , f ' x0 ' . , , f - x0, x0, :

    f ' x0, - .

    x # x0

    f x0. , f

    x0.

  • f ' x0, ,

    , x0.

    :

    i) x0 = 0 ; ii) x0 = 0 ;

    i) f x0 = 0 ,

    , ,

    ii) :

    # 1,-1, f -.

    = 1,

    x < 0 ,

    x > 0

  • , = 1 f x0 = 0 .

    = -1,

    x < 0 ,

    x > 0

    , = - 1 f x0 = 0 .

    '

    1. f x0,

    i) ii)

    iii)

  • 2. ( ) f x0,

    i) ii)

    iii) i)

    3. f 0, - g(x) = xf(x) 0. f 0, - g(x) = xf(x) 0.

    4. x0 -, . x0 -, .

    5. Cf ( )

    A ( x 0 , f ( x 0 ) ) 1 2.

    Cf ( )

    A ( x 0 , f ( x 0 ) ) 1 2.

    1.

    x0 = 0 .

    2. f :

    i) f(1) = 2 ii) f'(1) = 3

    3.

    A(0,1) -

    4.

    x0 = 0

  • 5. :

    i) f(0) = 1

    ii)

    iii) f'(0) = 1.

    6. f x0 = 0 :

    i ) f ( 0 ) = 0 i i ) f ' ( 0 ) = l .

    7. f 0 -

    i) f(0) = 0 ii) f'(0) = 4 .

    8. , f x0, , f x0,

    i)

    ii)

    9. - x'x 0sec 8sec. :

    - x'x 0sec 8sec. :

  • i) ;

    ii) ;

    iii) t = 2 sec, t = 4 sec t = 5 sec;

    iv) - 0sec 4sec;

    ) ;

    i) ;

    2.2 -

    f A. :

    f , , , -

    f (,) -

    ,

    f [ ,] -

    , (, )

    f [ ,] -

    , (, )

    f 1 .

    f ' ( x ) ,

    f f.

    "

    ". y = f'(x) - y = (f(x))'. ". y = f'(x) - y = (f(x))'.

  • 1 , - f', , f -

    f".

    f,

    f ( ) .

    , , . - , ( ).

    f -

    f'(x) = 0 ,

    , x0 x # x0 :

    ,

    (c)' = 0 .

    f(x) = x . f f'(x) = 1,

    , x0 x # x0 :

    ,

    (x)' = 1.

  • f -

    , :

    f

    , x0 :

    3.1 0.

    f(x) = x. f f'(x) = x,

  • ,

    , (x)' = x .

    f(x) = x. f

    f'(x) = - x ,

    ,

    , (x)' = -x .

    - f(x) = x, g(x) = x x0 =0

    f, g ,

  • . f

    ,

    f ( x ) = l n x . f

    1. f ( x ) = lnx, .

    -

    Cf (x0,f(x0))

    O(0,0) ,

    , M(e, 1).

  • 2 . 1 2 - f(x) = x O(0,0) (,0) . : i) 1 2

    ii) - 1 , 2 x.

    i) f'(x) = (x)' = x, f'(0) = 1 f'() = - 1 1 , 2

    = x = -(x - )

    .

    ii)

    1, 2 , -

    '

    1. f x0 :

    i) ii)

    iii) iv)

    )

    2. , , :

    i) ii)

  • iii) iv)

    3. y = x2 . - f(x) = x 3 ;

    y = x2 . - f(x) = x 3 ;

    4. - f -.

    - f -.

    5. - ,

    f(0) = 0 , - .

    '

    1. ,

    , x0 = .

    2. (,f()), # 0 f. - (,f()) (-,0) Cf A.

    3.

    f(x) = x3 ( , 3 ) , # 0 . Cf .

    f(x) = x3 ( , 3 ) , # 0 . Cf .

    4.

    ,

  • x'x y'y ,

    i) .

    ii) ,

    2.3

    f , g x0, :

    f , g ' , :

    . -, f1,f2,....,fk, ,

    ,

  • f,g , x0, :

    f,g ' ,

    .

    -. , :

  • ,

    f ' (c)' = 0 , (2) :

    ,

    .

    f , g ' g(x) # 0 , :

    ,

    .

    f

  • , :

    .

    , , > 1. ,

    f(x) = x. f

    , :

    f(x) = x. f

    1.

  • :

    2 .

    A(0,1) .

    f'(0) = g'(0). :

    A(0,1) :

    y = x, - g(x) = 2x f(x) = x. 2x = 2xx,

    y = 2x y = 2x, (x)' = x . :

  • , g f g(), fog

    , u = g(x),

    Leibniz, y = f(u) u = g (x ) ,

    .

    . -

    , .

    :

    .

    , u = l n x , -.

    .

    (1) , > 1 f x0 = 0

    0, .

  • , u = xln, -

    ,

    , u = f(x) , -:

    1 .

    i) ii) Hi)

  • i) y = f(x)

    ,

    ii)

    iii)

    2 . M1(x1,y1)

    y,

    , C

  • [-,] ( - , ). , , y- f(x) 1 (x 1 , y 1 ) ,

    (2)

    , (2),

    , x = x1,

    , (1)

    , y1 # 0 ,

    , :

    :

    (3)

    y 1 = 0 , 1 (x 1 , y 1 ) (,0)

    A ' ( - , 0 ) , Cf

    x = x = -

    . (3) (x1 ,y1) = (,0) (x1, y1) = (-,0) .

    - .

  • 1.

    i) ii)

    iii) iv)

    2. :

    i) ii)

    iii) iv)

    )

    3. :

    i) ii)

    iii) iv)

    4. , , :

    i) ii)

    5. f, x, f, x,

    i) ii) iii)

    6. -

    f',g'. f' = g' ;

  • 7.

    A(1,1), .

    8.

    , Cf A(0,1)

    9.

    f(x) = x3 -3x + 5 , :

    i) y = 9x + 1

    ii) y = -x.

    f(x) = x3 -3x + 5 , :

    i) y = 9x + 1

    ii) y = -x.

    10. f(x) = x2 A (0 , -1) . f(x) = x2 A (0 , -1) .

    11. -

    C f ,

    A(1,2) y = x .

    12. :

    i) ii)

    iii) iv)

    )

    13. f x0 :

    i) ii)

    iii) iv)

    14. :

    i) ii)

    iii) iv)

  • 15.

    1.

    ,

    .

    2. y = 3 x - 2

    f(x) = x3

    .

    y = 3 x - 2

    f(x) = x3

    .

    3. f(x)=x2 + x+2

    x0 =1.

    4. f(x) = ex g(x) = -x2 -x.

    Cf A(0,1) Cg .

    f(x) = ex g(x) = -x2 -x.

    Cf A(0,1) Cg .

    5. , f(0) = 4 ,

    f'(-1) = 2, f"(2) = 4 f(3)(1) = 6 .

    , f(0) = 4 ,

    f'(-1) = 2, f"(2) = 4 f(3)(1) = 6 .

    6. f y = x + l y = 3x - 1 A(0,1) B(1,2) .

    f y = x + l y = 3x - 1 A(0,1) B(1,2) .

    7. x0 = .

    i)

    ii)

    8.

    x.

    9.

    i) ii)

  • Cf O(0,0)

    .

    10. f f'(1) = 1 g

    Cf A(1,f(1)) Cg B(0,g(0)).

    11. f, ( - 1 , 1),

    i) f '(0)

    ii) Cf A ( 0 , f ( 0 ) )

    .

    Cf A ( 0 , f ( 0 ) )

    .

    2.4

    , t0

    S t t0. ,

    x,y y = f(x), f - x0,

    y x x0 f'(x0).

    , t t0 '(t0), t t0. '(t0) t0 ( t 0 ) .

    , K, - x . , -

  • K(x0) -

    x, x = x0 x0. ,

    x0 x0.

    1 . . t0 r 50 cm, r 20 cm/sec. - , t0.

    E = . r2 r t,

    ,

    2 . x - K(x) (x),

    (x) = (x)- (x)

    .

    i) .

    ii) .

    i) O

    ,

  • ii) 0

    '

    1. . , -, cm r = 4 - t2, t sec. V

    . , -, cm r = 4 - t2, t sec. V

    , t = 1 sec.

    2. O V 100cm3/sec. r - t0, 9cm;

    O V 100cm3/sec. r - t0, 9cm;

    3. , (x), , (x), x , (x), , (x), x

    (x) = 420x .

    , (x) = (x)-(x), - .

    4. 1 2 . 1 15km/h 2 - 20km/h.

    i) - 1 2

    1 2 . 1 15km/h 2 - 20km/h.

    i) - 1 2

  • ii) d = ( 1 2 ) - .

    5. -

    x y, x'(t) > 0

    '

    1. 10cm2/sec, r = 85 cm.

    10cm2/sec, r = 85 cm.

    2. O(0,0), (x,0) B(0,lnx), x > 1. x - 4cm/sec, , x = 5 cm.

    O(0,0), (x,0) B(0,lnx), x > 1. x - 4cm/sec, , x = 5 cm.

    3. 3m/s. , - y.

    3m/s. , - y.

    4. - 100m - 50m/min. - 100m.

    - 100m - 50m/min. - 100m.

    5. 1,60m - - 8m - 0,8m/s. - ;

    1,60m - - 8m - 0,8m/s. - ;

  • 6.

    -

    (-). -

    '(t) = -(t) - - - - 3 .

    7. 3m - ' . 0 , lm/sec . t0, 2,5m, :

    3m - ' . 0 , lm/sec . t0, 2,5m, :

    i) - (). - ().

    ii) .

    8. x2 +y2 = 1 . -

    y

    3 . x .

    2.5

    . Rolle, - , Rolle.

  • (Rolle)

    f :

    [,]

    (,)

    f() = f()

    , , , :

    f'() = 0

    , , , ,

    C f (,f()) -

    x.

    ,

    f [1,3], -

    (1,3), f'(x) = 2x - 4 f(1) = 2 = f(3),

    Rolle,

    , f ' () = 0 .

    , :

    ( ...)

    f :

    [,]

    ( ,)

    , , , :

  • , , . ,

    f (,f()) - .

    ,

    f [0,4] -

    (0 ,4) , -

    , - ,

    , :

    1 . :

    i) , Rolle [0,1], ii)

    , , (0,1).

    i) f Rolle [0,1]

    [0,1]

    (0,1) f'(x) = 3x2 + 2 x - ( + 1)

    f(0) = f(1) = 0 .

  • ii) , ,

    Rolle, , f'() = 0 ,

    . , -

    2 . f ( x ) = x2 +x + , # 0 [ x 1 , x 2 ] , , -

    [ x 1 , x 2 ] ,

    f(x) = x2 +x+ [x1 ,x2]

    (x 1 ,x 2 ) , f'(x) = 2x + . , -

    ,

    (1)

    :

    x2 - x1

    , (1) :

    3 . 200 2,5 . , , 80 .

    . (t0) = S'(t0) = 80. S [0, 2,5] (0, 2,5). -

    , , -

  • '

    1. Rolle , Rolle , , ,

    f'() = 0 .

    i) ii)

    iii) iv)

    2. , - , ,

    , - , ,

    i) ii)

    iii)

    3. < , ... [,] : ... [,] :

    g(x) = lnx 0 < < .

    1.

    i) f(x) = 0 , , (-1,0) , , (0,1).

    ii) , -, (-1,1).

  • 2. f(x) = (x -1 ) . :

    i) f'(x) = 0 , , -

    (0,1).

    ii) x = 1 - x , ,

    (0,1)

    3. i) f f'(x) # 1 - f(x) = x .

    ii) x = 0 .

    4. i) ,

    ii) f

    :

    5. f [0,4]

    A f(0) = 1,

    6. f [-1,1]

    f(-1) = - 1 f(1) = 1, - f(0) = 0 , ... f [-1,0] [0,1],

    7. Rolle Rolle

    A(0,1), B(1,2).

    2.6

    , - . ... - .

  • f .

    f

    f'(x) = 0 x ,

    f .

    f(x1) = f ( x 2 ) .

    x1 = x2, f(x1) = f(x2)

    x1 < x2, [x1 ,x2] f -

    . , ,

    (1)

    , f'() = 0 , , (1),

    f(x1) = f(x2) . x2 < x1, f ( x 1 ) = f ( x 2 ) .

    , , f(x1) = f (x 2 ) .

    f , g .

    f, g

    f'(x) = g ' (x) x ,

    c , :

    f(x)=g(x)+c

    f - g

    , -, f - g . , C , f ( x ) - g ( x ) = c ,

    f(x) = g(x)+c .

  • . ,

    . f'(x) = 0 f

    f

    f'(x) = f(x) (1)

    i)

    ii) f, f(0) = 1.

    i) :

    ,

    ii) , , (x) = c

    , .

    f(0) = 1, 1 = c ,

  • f(x) = x2. f

    , f'(x) = 2x < 0 ,

    f , -

    f'(x) = 2x > 0 . , , - - . - :

    f'(x) = 2x > 0 . , , - - . - :

    f'(x) = 2x > 0 . , , - - . - :

    f'(x) = 2x > 0 . , , - - . - :

    f, .

    f'(x) > 0 x , f - .

    f'(x) < 0 x , f - .

    f'(x) > 0 .

    x1 < x2. f(xl) < f(x2) . , - [x1,x2] f ... ,

    ,

    f ' ()>0 x2 -x1 > 0 , f ( x 2 ) - f ( x 1 ) > 0 , f(x1) < f ( x 2 ) .

    f'(x)

  • f ( x ) = x2 -2x

    f'(x) = 2(x - 1) > 0

    f'(x) = 2 (x-1) < 0

    -

    - . , f (- ) . ( ) .

    - . , f (- ) . ( ) .

    - . , f (- ) . ( ) .

    - . , f (- ) . ( ) .

    - . , f (- ) . ( ) . , , - f(x) = 3x2

    f'(0) = 0 .

    1 . , .

    f f'

  • , f:

    -

    f ' (x)> 0

    [0,1]

    f ' (x)< 0 (0,1).

    -

    f'(x) > 0

    f' f

    [0,1] :

    2. i) f ( x ) = x-x-2, - .

    ii) x = x-2 [0,] .

    i)

    , f [0,] . f , 1.8, [ f (0) , f()] = [-3, -1].

    ii) :

    f [ - 3 , - 1 ] , 0,

    f(x0) = 0 . f

    [0,], x0 -

  • f(x) = 0 . ,

    28, y = x-2 y = x.

    1. f.g :

    .

    2. :

    i) ii)

    iii)

    3. :

    i) ii)

    4. :

    i) ii) iii)

    5.

    i) f,g . ii) .

    iii) :

    x = 1.

    6. : i) .

    ii) x = 0 .

  • 1. f '

    f .

    2. i) [-1,1].

    ii) f [-1, 1].

    iii) - 2 < < 2 , - (-1,1).

    3. t :

    - :

    i) ;

    ii) ;

    iii) ;

    4. V ( ) , t , -

    , , .

    5. :

    i) -

    f .

    ii) f ( x ) =

    6.

  • 7. :

    i) f(x) = x - xx -

    ii) x - xx > 0 ,

    iii)

    8. :

    i) f(x) = 2x + x -3x , .

    ii)

    2.7

    - f ' (,]. - x = x0 "" x0. f - x0 . x1 x2. :

    f, ,

    , > 0 ,

    x0 , f(x0) - f. x0 , f(x0) - f.

  • f (x)< f(x0) ,

    1.3, f ,

    f(x0).

    x = x0 "" x0. f x0 . -

    x1 . , :

    f ,

    , > 0 ,

    x0 , f(x0) -

    f.

    ,

    1.3, f .

    f(x0)

    f , , , f - . f .

    ,

    :

    i) x = 0 , f(0) = 0 ,

    ii) x = 1 , f(1) = 1.

    f , () .

  • i) (.32).

    ii) f , - , , , . (. 32). - . - (. 32).

    32 ' - x0 f , A ( x 0 , f ( x 0 ) ) f -, f '(x0) = 0. -, F e r m a t .

    ( F e r m a t )

    f ' x0 . f x0 - , :

    f(x0) = 0

    f x0 . x0 f ' - , > 0 ,

    (1)

  • , , f x0,

    ,

    , (1),

    (2)

    , (1),

    (3)

    , (2) (3) f'(x0) = 0. .

    , , f' , . -, 29 30, f ' :

    1. f .

    2. f .

    3. ( ).

    f - , f . ,

    f 1, :

    f'(x) = 0 0 2.

  • f' 0 2, 1, - f 0, 1 2. , , 1 2 , 0 . f. , - f . :

    f ' ( , ) ,

    x0, f .

    i) f ' (x)> 0 (,x0) f ' (x)< 0 ( x 0 , ) , f(x0) - f. (. 35)

    ii) f'(x) < 0 (,x0) f'(x) > 0 (x0, ) , f(x0) - f. (. 35)

    iii) f'(x) f(x0)

    f ( , ) . (. 35).

    i) f'(x) > 0 f x0, f

    ( ,x 0 ] .

    (1)

    f'(x) < 0 f x0, f

    [x 0 , ) . :

    (2)

    , (1) (2), :

    f(x0) f (, ) - .

  • ii) .

    iii)

    f x0

    ( ,x 0 ] [X 0 , ) . , x1 < x0 < x2

    f (x 1 )< f ( x 0 ) < f (x 2 ) . f(x0) f. -

    , , f ( , ) . ,

    x1 < x2.

    f ( , x 0 ] ,

    f(x1 ) < f (x2 ) .

    f [ x 0 , ) ,

    f(x1) < f(x2) , x1 < x0 < x2, f(x1) < f(x0) < f ( x 2 ) .

    , f(x1) < f(x2) > f -

    (, ).

    , f'(x) < 0 , f(x) = X4 - 4x3

    f f'(x) = 4x3 - 1 2 x 2 . f'(x) = 0

    x = 0 () x = 3, f' -: x = 0 () x = 3, f' -:

  • , /

    , x = 3 ,

    f(3) = - 2 7 .

    - f(x0) f ( , ) , - f(x0) f (, ).

    f ' [ , ] , ( 1.8), f . :

    1. f.

    2. f - .

    3. f.

    , -

    f'(x) = 0 x = 1, x = 4 . , f x = 1, x = 4 . f [0,5]

    f(1) = 30, f(4) = 3 , f(0) = 19 f(5) = 14. , f [0,5] 30 x = 1, x 3 x = 4 .

    f' x0. , , , x0 -.

    f (,) x0 (, ) f .

    f '(x0) = 0 f"(x0) < 0 , f(x0) .

    f '(x0) = 0 f"(x0) > 0 , f(x0) .

  • , -

    f(x) = x + 2x,

    f'(x) = 1 - 2 x f"(x) = -2x,

    f'

    ) f.

    ) f.

    1 . , -

    - .

    E ( X ) = ( ) ( ) = 2 x ( 3 - x 2 ) = - 2 x 3 +6x.

    '(x) = -6x2 +6 = -6(x + l ) ( x -1 ) . '(x)-0 x = -1, x = 1.

  • , 4 x = 1.

    2 . f(x) = x - 1 - lnx.

    i) .

    ii) x > 0 .

    i)

    f'(x) = 0 , x = 1. f :

    ii) f x = 1 , -:

    x = 1.

    3. (x), , , X , (x) = 40000 - 6x. 4000 . 1200 , , .

    x

    (x) = x ( x ) = x(40000-6x) = - 6 x 2 +40000x.

    (x) = 4000x.

    :

    (x) = 4000x + 1200x = 5200x .

  • ,

    (x) = (x)-(x)

    = -6x2 + 40000x - 5200x

    = - 6 x 2 +34800x.

    '(x) = -12x+34800, '(x) = 0 x = 2900.

    -:

    , 2900 50460 .

    '

    1. f

    x f ;

    2. ) -:

    ) -:

    ) :

  • 3. -: -:

    i) ii)

    4. -: -:

    i) ii)

    5.

    x1 = - 1 x2 =1 . .

    6. , - 400m2 , . , - 400m2 , .

    7. 80m . .

    80m . .

    8. x mgr , -

    0 < x < 3 . , x, .

    9. 2cm. - ,

    i) - x.

    ii) x , - (x)

    2cm. - ,

    i) - x.

    ii) x , - (x)

    10. x -

    ,

    x

  • (x) = 420x - 2x2 . -, .

    1.

    i) f .

    ii)

    (0,).

    2. i) -

    .

    ii) -

    iii)

    .

    3. x > 0

    i) ) ii) )

    ) )

    iii) )

    )

    4. . f, ,

    2 f 3 ( x ) + 6 f ( x ) = 2 x 3 + 6 x + 1,

    f .

  • 5. - f,g ' [,].

    - f,g ' [,]. -

    () Cf Cg

    . Cf Cg

    (,f()) (,g()) .

    6.

    f ( x ) = ( x - ) 2 ( x - ) 2 ( x - ) 2 , < <

    .

    7. 4m x m y m.

    i) - x .

    ii) x .

    4m x m y m.

    i) - x .

    ii) x .

    8.

    i) Cf -

    .

    ii) Cf

    AM.

    9. , - . - 400m, , .

    10. 100 . 100 , 1000 . 5 . , ;

    100 . 100 , 1000 . 5 . , ;

  • 11. - . - t = 0 r1 = 3 cm r2 = 5 cm t > 0 r1 - 0,05cm/s, r2 0,04 cm/s. :

    - . - t = 0 r1 = 3 cm r2 = 5 cm t > 0 r1 - 0,05cm/s, r2 0,04 cm/s. :

    i)

    ii) .

    12. .

    )

    = 4(1 + )

    .

    )

    = 4(1 + )

    .

    )

    = 4(1 + )

    .

    )

    = 4(1 + )

    ii) -;

    13. - 100ft (1) - ,

    - 100ft (1) - , 300ft . - 3ft/s 5ft/s.

    i) M

    ii) x ;

    14. E1 2

    ( 1 ) l f t = 30 .48 cm

  • 12km - 8 . - d - d, x 1 . ( - ).

    2.8 -

    -

    ()

    , 38 . .

    x = 0 , 0.

    , . -, "" "" , .

  • :

    f'(x) Cf , f'

    g'(x) Cg , g'

    f g

    , :

    f ' . :

    f , f' .

    f , f' .

    , f ( ) , , C f ,

    ( -) . (. 40)

  • f ( ) , (-

    , f ( ) ' , f "" ( "") (. 39), .

    , - .

    f ' - .

    f " (x )> 0 x , x .

    f"(x) < 0 x , f .

    , f(x) = x3 (. 41),

    f"(x) = 6x < 0 ,

    f ,

    f"(x) = 6x > 0 .

    f

    . -

    , f(x) = x4 (. 42). -

    f'(x) = 4x3 f(x) = x4 , f"(x)

    f"(0) = 0.

    f(x) = x3 (. 41) ,

    () O(0,0) f

    () x0 =0 , .

  • f "" O(0,0) . C f .

    .

    f ' (,),

    x0.

    f ( ,x 0 ) ( x 0 , ) , ,

    Cf A ( X 0 , F ( X 0 ) ) ,

    A ( x 0 , f ( x 0 ) ) - f.

    A(x0,f(x0)) C f , f -

    X0 x0 . -

    C f "" . , ,

    :

    A ( x 0 , f ( x 0 ) ) f

    f , f"(x 0) = 0 .

    , f" . , f ' - : i)

    f" , ii) -

    f"