ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

B΄

ΓΕ

ΝΙΚ

ΟΥ

ΛΥ

ΚΕ

ΙΟΥ

ΜΑ

ΘΗ

ΜΑ

ΤΙΚ

Α

Κωδικός Βιβλίου: 0-22-0168

ISBN 978-960-06-2423-6

(01) 000000 0 22 0168 9

B΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ

ΟΜ

ΑΔ

ΑΣ

ΠΡ

ΟΣ

ΑΝ

ΑΤ

ΟΛ

ΙΣ

ΜΟ

Υ Θ

ΕΤ

ΙΚ

ΩΝ

ΣΠ

ΟΥ

ΔΩ

Ν

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ

«ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ

«ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΒ΄ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Ομάδα ΠροσανατολισμούΘετικών Σπουδών

001-126.indd 1 22/1/2016 2:34:50 µµ

ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ:

Αδαμόπουλος Λεωνίδας ΣύμβουλοςΠαιδαγωγικούΙνστιτούτουΒισκαδουράκης Βασίλειος ΚαθηγητήςΒ/θμιαςΕκπαίδευσηςΓαβαλάς Δημήτριος ΚαθηγητήςΒ/θμιαςΕκπαίδευσηςΠολύζος Γεώργιος ΚαθηγητήςΒ/θμιαςΕκπαίδευσηςΣβέρκος Ανδρέας ΚαθηγητήςΒ/θμιαςΕκπαίδευσης

ΙστορικάΣημειώματα: ΘωμαΐδηςΙωάννης ΚαθηγητήςΒ/θμιαςΕκπαίδευσης

ΚΡΙΤΕΣ:ΜακρήςΚωνσταντίνος ΣχολικόςΣύμβουλοςΒ/θμιαςΕκπαίδευσηςΤσικαλουδάκηςΓεώργιος ΚαθηγητήςΒ/θμιαςΕκπαίδευσηςΦελούρηςΑνάργυρος ΕπίκουροςΚαθηγητήςΕ.Μ.Π.

ΓλωσσικήΕπιμέλεια: ΜπουσούνηΛία ΚαθηγήτριαΒ/θμιαςΕκπαίδευσης

Δακτυλογράφηση: ΜπολιώτηΠόπηΣχήματα: ΜπούτσικαςΜιχάλης

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ∆ΟΣΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ∆ΟΣΗΣΗ επανέκδοση του παρόντος βιβλίου πραγματοποιήθηκε από το Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών & Εκδόσεων «Διόφαντος» μέσω ψηφιακής μακέτας, η οποία δημιουργή-θηκε με χρηματοδότηση από το ΕΣΠΑ / ΕΠ «Εκπαίδευση & Διά Βίου Μάθηση» / Πράξη «ΣΤΗΡΙΖΩ».

Οι διορθώσεις πραγματοποιήθηκαν κατόπιν έγκρισης του Δ.Σ. του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής

Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

001-126.indd 2 6/2/2015 1:30:55 µµ

ΑΔΑΜΟΠΟΥΛΟΣ ΛΕΩΝΙΔΑΣΒΙΣΚΑΔΟΥΡΑΚΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ

ΓΑΒΑΛΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣΠΟΛΥΖΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣΣΒΕΡΚΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΒ΄ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Ομάδα ΠροσανατολισμούΘετικών Σπουδών

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

Η συγγραφή και η επιστηµονική επιµέλεια του βιβλίου πραγµατοποιήθηκευπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

001-126.indd 3 22/1/2016 2:31:34 µµ

22-0168-02.indb 4 12/12/2013 2:28:08 μμ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

ΤοβιβλίοαυτόπεριλαμβάνειτηνύλητωνΜαθηματικών,πουπροβλέπεταιαπότοπρόγραμμασπουδώντηςΘετικήςΚατεύθυνσηςτηςΒ΄τάξηςτουΕνιαίουΛυκείου,τουοποίουηεφαρμογήαρχίζειαπότοσχολικόέτος1998-1999.Κατάτησυγγραφήτουκαταβλήθηκεπροσπάθεια,ώστετοπεριεχόμενότουναανταποκρίνεταιστιςδυνατότητεςτωνμαθητών,γιατουςοποίουςπροορίζεται,καιναείναιδυνατήηολοκλήρωσητηςδιδασκαλίαςτουστοχρόνο,πουπροβλέπεταιαπότοωρολόγιοπρόγραμμα.Τοβιβλίοαποτελείταιαπότέσσερακεφάλαια.●Τοπρώτοκεφάλαιοαποτελείμιαεισαγωγήστο Διανυσματικό Λογισμό καιστηνΑναλυτική Γεωμετρία.ΤαδιανύσματαέχουνιδιαίτερησημασίαόχιμόνογιαταΜαθηματικάαλλάκαιγιαπολλέςάλλεςεπιστήμες,αφούπροσφέρουντηδυνατό-τηταμαθηματικοποίησηςμεγεθών,ταοποίαδενορίζονταιμόνομετηναριθμητικήτιμήτους.Εξάλλου,ηαμφιμονοσήμαντηαντιστοιχίαενόςσημείουτουεπιπέδουμεέναδιατεταγμένοζεύγοςπραγματικώναριθμώνοδηγείστην“αλγεβροποίηση”τηςΓεωμετρίας,δηλαδήστημελέτητωνγεωμετρικώνσχημάτωνμεαλγεβρικέςμεθόδους.●Στοδεύτεροκεφάλαιο,αφούδοθείοορισμόςτηςεξίσωσηςμιαςγραμμής,με-λετώνταιοιιδιότητεςτηςευθείας.●ΣτοτρίτοκεφάλαιοσυνεχίζεταιηύλητηςΑναλυτικήςΓεωμετρίαςμετησπουδήτωνκωνικών τομών,οιοποίεςγιαπρώτηφοράμελετήθηκαναπότουςΑρχαίουςΈλληνες.Σήμερατοενδιαφέρονγιατιςκωνικέςτομέςείναιαυξημένοεξαιτίαςτουμεγάλουαριθμούτωνθεωρητικώνκαιπρακτικώνεφαρμογώντους.●ΤοτέταρτοκεφάλαιοαποτελείμίαεισαγωγήστηΘεωρία Αριθμών,στηνανάπτυ-ξητηςοποίαςμεγάληείναιησυμβολήτωνΑρχαίωνΕλλήνων.Κύριοςστόχοςτηςδιδασκαλίαςτηςενότηταςαυτήςείναιηάσκησητωνμαθητώνστηναποδεικτικήδιαδικασία.Ταοποιαδήποτεσχόλια,παρατηρήσειςήκρίσειςγιατοβιβλίο,απόσυναδέλφους,απόμαθητέςκαιαπόκάθεπολίτηπουενδιαφέρεταιγιαταζητήματατηςπαιδείας,θαείναιπολύευπρόσδεκτααπότησυγγραφικήομάδα.Οιπαρατηρήσειςνααπο-στέλλονταιστο Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Μεσογείων 396, 153 10 Αγία Παρασκευή

Μάρτιος1998.

22-0168-02.indb 5 12/12/2013 2:28:08 μμ

22-0168-02.indb 6 12/12/2013 2:28:08 μμ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΣελίδαΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διανύσματα 1.1 Η Έννοια του Διανύσματος 111.2 Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων 161.3 Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Διάνυσμα 211.4 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 291.5 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 41

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο : Η Ευθεία στο Επίπεδο

2.1 Εξίσωση Ευθείας 572.2 Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας 652.3 Εμβαδόν Τριγώνου 70

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο : Κωνικές Τομές

3.1 Ο Κύκλος 813.2 Η Παραβολή 893.3 Η Έλλειψη 1003.4 Η Υπερβολή 1133.5 Η Εξίσωση Αx2 + By2 + Γx + Δy + E = 0 125

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο : Θεωρία Αριθμών

4.1 Η Μαθηματική Επαγωγή 1354.2 Ευκλείδεια Διαίρεση 1404.3 Διαιρετότητα 1454.4 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης - Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο 1504.5 Πρώτοι Αριθμοί 1614.6 Η Γραμμική Διοφαντική Εξίσωση 1704.7 Ισοϋπόλοιποι Αριθμοί 175

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 185

22-0168-02.indb 7 12/12/2013 2:28:08 μμ

22-0168-02.indb 8 12/12/2013 2:28:08 μμ

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑΕισαγωγή

Το διάνυσμα είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που αναπτύχθηκεμέσααπότηστενήαλληλεπίδρασηΜαθηματικώνκαιΦυσικής.Ο“κανόναςτουπαραλληλόγραμμου”,σύμφωναμε τονοποίο τομέτροκαιηκατεύθυνσηδύοδυνάμεωνπουασκούνταισεένασώμαεκφράζονταιαπότηδιαγώνιο τουπα-ραλληλόγραμμου που σχηματίζουν, ήταν γνωστός με διάφορες μορφές στουςΑρχαίουςΈλληνεςεπιστήμονες.ΟΉρωνοΑλεξανδρεύς,γιαπαράδειγμα,στοέργοτου“Μηχανικά”αποδεικνύειμεχρήσηαναλογιώντηνακόλουθηγεωμετρι-κήπρόταση:ΑνένασημείοΣκινείταιμεομαλήκίνησηκατάμήκοςμιαςευθείαςΑΒ, ενώσυγχρόνωςηΑΒκινείταιπαράλληλαπροςτονεαυτότηςμετοάκροΑναδιαγράφειμιαευθείαΑΓ,τότεηπραγματικήτροχιάτουΣ(η“συνι-σταμένηκίνηση”)θαείναιηδιαγώνιοςΑΔ τουπαραλληλόγραμμουΑΒΓΔ.Αυτόςο“κανόνας”χρησιμοποιήθηκεπολλούςαιώνες για το γεωμετρικό προσδιορισμό τηςσυνισταμένης,χωρίςόμωςναθεωρείταιένανέοείδοςπρόσθεσηςευθυγράμμωντμημάτων,διαφορετικόαπόεκείνοπουχρησιμοποιείταιστηνΕυκλείδειαΓεω-μετρία.Γιαναγίνειαυτό,χρειάστηκεαπότημιαμεριάηαποδοχήκαισυστημα-τικήχρήσητωναρνητικώναριθμώνσταΜαθηματικάκαιαπότηνάλληημελέτηφυσικώνποσοτήτωνόπωςηταχύτητα,ηδύναμη,ηορμήκαιηεπιτάχυνση,πουχαρακτηρίζονταιτόσοαπότομέτροόσοκαιαπότηδιεύθυνσήτους.Αυτέςοιεξελίξειςέφερανστοπροσκήνιοτιςέννοιεςτηςπροσανατολισμένηςκίνησηςκαιτουπροσανατολισμένουευθύγραμμουτμήματος,τιςπρώτες ιδέεςτωνοποίωνσυναντάμεσεέργαεπιστημόνωντου17ουαιώναόπωςοιJ.Wallis,I.NewtonκαιG.W.Leibniz.Η ανάπτυξη ενός συστηματικού λογισμού με προσανατολισμένα ευθύγραμματμήματαάρχισεστατέλητου18ουαιώνα,γιαναδοθείμιαγεωμετρικήερμη-νείαστουςαρνητικούςαριθμούς,αλλάκαιγιαναβρεθείέναςτρόποςαναλυτικήςέκφρασηςτουμήκουςκαιτηςδιεύθυνσηςτωνευθύγραμμωντμημάτων.Πρωτο-ποριακόυπήρξεπροςαυτήτηνκατεύθυνσητοέργοτωνC.Wessel(1799)καιR.

22-0168-02.indb 9 12/12/2013 2:28:08 μμ

10

Argand(1806).Ξεκινώνταςαπότηναπλήπερίπτωσητωνπροσανατολισμένωντμημάτωνπουβρίσκονταιστηνίδιαευθεία,προχώρησανστονορισμότωνπρά-ξεων με τυχαία τμήματα του επιπέδου. Συγκεκριμένα, οι ορισμοί τουWesselήτανοιεξής:

Το άθροισμα διαδοχικών προσανατολισμέ-νων τμημάτων είναι το τμήμα που ενώνει την αρχή του πρώτου με το τέλος του τελευ-ταίου.

Το γινόμενο δύο προσανατολισμένων τμη-μάτων που σχηματίζουν γωνίες φ και ω αντιστοίχως με ένα μοναδιαίο τμήμα, είναι το τμήμα που έχει μήκος το γινόμενο των μηκών των δύο τμημάτων και σχηματίζει γωνία ϕ ω+ με το μοναδιαίο τμήμα.

ΣτιςεργασίεςτωνWesselκαιArgand(καιορισμένεςάλλεςπουδημοσιεύτηκανεκείνητηνεποχή)υπάρχουνοιβασικέςιδέεςπουσυγκροτούνσήμερατοΔια-νυσματικόΛογισμότουεπιπέδου.Ηουσιαστικήανάπτυξητουκλάδουαρχίζειόμωςμερικέςδεκαετίεςαργότερα,ότανεπιχειρείταιηγενίκευσηαυτώντωνιδε-ώνστοντρισδιάστατοχώροκαιηθεμελίωσημιαςγενικήςμαθηματικήςθεωρί-ας.ΚαθοριστικόυπήρξεπροςαυτήντηνκατεύθυνσητουέργοτουW.Hamilton(1843)καιτουH.Grassmann(1844).ΟW.Hamiltonχρησιμοποίησετονόροδιάνυσμα(vector).Οόροςvectorπροέρχεταικατάμίαεκδοχήαπότολατινικόρήμα“vehere”πουσημαίνειμεταφέρω.ΟH.Grassmannχρησιμοποίησετουςόρουςεσωτερικόκαι εξωτερικό γινόμενο. ΗπαραπέραεξέλιξητουΔιανυσματικούΛογισμούεπηρεάστηκεαποφασιστικάαπότιςεξελίξειςστηΦυσικήκατάτοδεύτερομισότου19ουαιώνα.ΗχρήσητηςθεωρίαςτουHamiltonαπότονιδρυτήτηςηλεκτρομαγνητικήςθεωρίαςJ.C.Maxwell(1873)οδήγησεσεορισμένεςτροποποιήσεις,μεβάσητιςοποίεςοιφυ-σικοίJ.W.GibbsκαιO.Heavisideδημιούργησανστιςαρχέςτηςδεκαετίαςτου1880 τησύγχρονηθεωρία τουΔιανυσματικούΛογισμού (στοιχεία τηςοποίαςπαρουσιάζονταισ’αυτότοκεφάλαιο).Τέλοςτο1888,οG.Peano,μεβάσητηθεωρία τουGrassmann θεμελίωσε αξιωματικά την έννοια του διανυσματικούχώρου.

22-0168-02.indb 10 12/12/2013 2:28:08 μμ

11

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣΟρισμός του Διανύσματος

Υπάρχουν μεγέθη, όπως είναι η μάζα, ο όγκος, η πυκνότητα, η θερμοκρασίακτλ.,ταοποίαπροσδιορίζονταιαπότομέτροτουςκαιαπότηναντίστοιχημονά-δαμέτρησης.Ταμεγέθηαυτάλέγονταιμονόμετραήβαθμωτά.Υπάρχουνόμωςκαιμεγέθη,όπωςείναιηδύναμη,ηταχύτητα,ηεπιτάχυνση,ημετατόπιση,ημαγνητικήεπαγωγήκτλ.,πουγιαναταπροσδιορίσουμε,εκτόςαπότομέτροτουςκαιτημονάδαμέτρησης,χρειαζόμαστετηδιεύθυνσηκαιτηφοράτους.Τέτοιαμεγέθηλέγονταιδιανυσματικάμεγέθηήαπλώςδιανύσματα.

● Στη Γεωμετρία τοδιάνυσμα ορίζεται ως έναπροσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδήωςέναευθύγραμμοτμήματουοποίουταάκραθε-ωρούνται διατεταγμένα.Τοπρώτοάκρολέγεταιαρχήήσημείο εφαρμογήςτουδιανύσματος,ενώτοδεύτερολέγεταιπέραςτουδιανύσματος.Τοδι-άνυσμαμεαρχήτοΑ καιπέραςτοΒ συμβολίζεταιμε AB� ���

καιπαριστάνεταιμεέναβέλοςπουξεκινάειαπότοΑκαικαταλήγειστο Β.Ανηαρχήκαιτοπέραςενόςδιανύσματοςσυμπίπτουν,τότετοδιάνυσμαλέγε-ταιμηδενικό διάνυσμα.Έτσι,γιαπαράδειγμα,τοδιάνυσμα AA

� ���είναιμηδενικό

διάνυσμα.Γιατοσυμβολισμότωνδιανυσμάτωνχρησιμοποιούμεπολλέςφορέςταμικράγράμματατουελληνικούήτουλατινικούαλφάβητουεπιγραμμισμέναμεβέλος. γιαπαράδειγμα,

α β, ,..., , ,...u v ●Ηαπόστασητωνάκρωνενόςδιανύσματος AB

� ���,δηλαδήτομήκοςτουευθύ-

γραμμουτμήματοςΑΒ,λέγεταιμέτροήμήκοςτουδιανύσματος AB� ���

καισυμβο-λίζεταιμε | |AB

� ���.Αντοδιάνυσμα AB

� ���έχειμέτρο1,

τότελέγεταιμοναδιαίοδιάνυσμα.

●Ηευθείαπάνωστηνοποίαβρίσκεταιέναμημη-δενικόδιάνυσμα AB

� ���λέγεταιφορέαςτου AB

� ���.

22-0168-02.indb 11 12/12/2013 2:28:08 μμ

12

Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος AA� ���

μπο-ρούμε να θεωρούμε οποιαδήποτε από τις ευθείες που διέρχονται από το Α.

Αν ο φορέας ενός διανύσματος AB� ���

είναι παράλληλος ή συμπίπτει με μια ευθεία ζ, τότε λέμε ότι το AB

� ��� είναι παράλληλο προς τη ζ και γράφουμε AB

� ���/ /ζ .

● Δύο μη μηδενικά διανύσματα AB� ���

και Γ∆� ���

, που έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλλη-λους φορείς, λέγονται παράλληλα ή συγ-γραμμικά διανύσματα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα AB

� ��� και Γ∆

� ��� έχουν ίδια

διεύθυνση και γράφουμε AB� ��� � ���

/ /Γ∆ .

Τα συγγραμμικά διανύσματα διακρίνονται σε ομόρροπα και αντίρροπα. Συγκε-κριμένα:

– Δύο μη μηδενικά διανύσματα AB� ���

και Γ∆� ���

λέγονται ομόρροπα:α) όταν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ΑΓ που ενώνει τις αρχές τους ήβ) όταν έχουν τον ίδιο φορέα και μία από τις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη. Στις περιπτώσεις αυτές λέμε ότι τα AB

� ��� και Γ∆

� ��� έχουν την ίδια κατεύθυνση (ίδια

διεύθυνση και ίδια φορά) και γράφουμε ΑΑΒΒ ΓΓ∆∆� ���� � ���

↑↑ .

001-126.indd 12 4/3/2015 12:14:10 µµ

13

– Δύο μη μηδενικά διανύσματα AB� ���

και Γ∆� ���

λέγονται αντίρροπα, όταν είναι συγγραμμι-κά και δεν είναι ομόρροπα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα AB

� ��� και Γ∆

� ���

έχουν αντίθετη κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά) και γράφουμε ΑΑΒΒ ΓΓ∆∆

� ��� � ���↑↑↓↓ .

Ίσα Διανύσματα

Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται ίσα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα μέ-τρα. Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα AB� ���

και Γ∆� ���

είναι ίσα, γράφουμε AB� ��� � ���

= Γ∆ . Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μετα-ξύ τους και συμβολίζονται με

0 .

Εύκολα αποδεικνύεται ότι:

● Αν AB� ��� � ���

= Γ∆ , τότε AΓ Β∆� ��� � ���

= , ∆ ΓΑB� ��� � ���

= και BΑ ∆Γ� ��� � ���

= .

● Αν Μ είναι το μέσον του ΑΒ, τότε AM MB� ���� � ���

= και αντιστρόφως.

Αντίθετα Διανύσματα

Δύο διανύσματα λέγονται αντίθετα, όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα. Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα AB

� ��� και Γ∆

� ��� είναι αντίθετα, γρά-

φουμε

001-126.indd 13 13/12/2013 10:04:46 πμ

14

AB� ��� � ���

= −Γ∆ ήΓ∆� ��� � ���

= −AB .Είναιφανερόότι

AB AB� ��� � ��� � ��� � ���

= − ⇔ =Γ∆ ∆Γ

Ειδικότερα,έχουμεΒΒΑΑ ΑΑΒΒ� ��� � ����

= − .

Γωνία δύο Διανυσμάτων

Έστωδύομημηδενικάδιανύσματα α και

β .ΜεαρχήένασημείοΟπαίρνουμεταδιανύσματαOA

� ��� �=α καιOB

� ��� �= β .

Τηνκυρτήγωνία ˆΑΟΒ ,πουορίζουνοιημιευθείες ΟΑκαιΟΒ,τηνονομάζουμε

γωνία των διανυσμάτων �α και �β καιτησυμβολίζουμεμε ( , )α β

∧ �� ή ( , )β α∧� � ή

ακόμα,ανδενπροκαλείταισύγχυση,μεέναμικρόγράμμα,γιαπαράδειγμα θ.Εύκολααποδεικνύεταιότιηγωνίατων αα και

ββ είναιανεξάρτητηαπότηνεπι-λογήτουσημείουΟ.Είναιφανερόεπίσηςότι ≤ ≤o o0 θ 180 ήσεακτίνια0 ≤≤ ≤≤θθ ππ καιειδικότερα:

●θ = 0 ,αν

α β↑↑ .

●θ π= ,αν

α β↑↓ .

22-0168-02.indb 14 12/12/2013 2:28:08 μμ

15

Ανθ π=2,τότελέμεότιταδιανύσματα α και

β

είναιορθογώνιαήκάθετακαιγράφουμε

αα ββ⊥⊥ .

Ανένααπόταδιανύσματα α ,

β είναιτομηδενικόδιάνυσμα,τότεωςγωνίατων

α και

β μπορούμεναθεωρήσουμεοποιαδήποτεγωνίαθ με 0 ≤ ≤θ π .Έτσι,μπορούμεναθεωρήσουμεότιτομηδενικόδιάνυσμα,

0 ,είναιομόρροποήαντίρροποήακόμηκαικάθετοσεκάθεάλλοδιάνυσμα.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Έστω Μ το μέσο της πλευράς ΑΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ. Με αρχή το Μ γρά-φουμε τα διανύσματα ΜΜ∆∆ ΓΓΒΒ

� ���� � ���= και ΜΜΕΕ ΒΒΑΑ

� ���� � ���= . Να αποδειχτεί ότι το Α είναι

το μέσο του ΔΕ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΑρκείναδείξουμεότιΔA AE= .Πράγματι,επειδήΜ∆ ΓΒ� ���� � ���

= ,είναι

ΜΓ ∆Β� ���� � ���

= (1)

Όμωςτο ΜείναιμέσοτουΑΓ.Άρα,

ΜΓ ΑΜ� ���� � ����

= (2)

Επομένως,λόγωτων(1)και(2),έχουμε ∆Β ΑΜ� ��� � ����

= ,οπότε:

∆Α ΒΜ� ��� � ����

= (3)

ΕπειδήεπιπλέονΜΕ ΒΑ� ���� � ���

= ,έχουμε

ΑΕ ΒΜ� ��� � ����

= (4)

Έτσι,απότιςσχέσεις(3)και(4)έχουμε ∆Α ΑΕ� ��� � ���

= .■

22-0168-02.indb 15 12/12/2013 2:28:09 μμ

16

1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Πρόσθεση Διανυσμάτων

Έστωδύοδιανύσματα a και

β .Μεαρχήένασημείο ΟπαίρνουμεδιάνυσμαOA� ��� �

=α καιστησυνέχειαμεαρχήτοΑπαίρνουμεδιάνυσμα AM� ���� �

= β .Τοδιά-νυσμαOM

� ����λέγεταιάθροισμα ή συνισταμένητωνδιανυσμάτων α και

β καισυμβολίζεταιμε

α β+ .Θααποδείξουμεότιτοάθροισματωνδιανυσμάτων α και

β είναιανεξάρτητοτηςεπιλογήςτουσημείουΟ.Πράγματι,αν ′O είναιέναάλλοσημείοκαιπάρουμεταδιανύσματα ′ ′ =O A

� ���� �α και ′ ′ =A M

� ����� �β ,επειδήOA O A

� ��� � ���� �= ′ ′ = α καιAM A

� ���� � ����� �= 'M' = β ,

έχουμε OO AA′ = ′� ���� � ���

και AA' = MM'� ���� � �����

.Επομένως, OO MM′ = ′� ���� � �����

,πουσυνεπάγεταιότικαιOM O M� ���� � �����

= ′ ′.

Τοάθροισμαδύοδιανυσμάτωνβρίσκεταικαιμετολεγόμενοκανόνα του παραλλη-λόγραμμου.Δηλαδή,ανμεαρχήέναση-μείοΟ πάρουμε τα διανύσματα OA

� ��� �=α

καιOB� ��� �

= β ,τότετοάθροισμα

α β+ ορί-ζεταιαπότηδιαγώνιοΟΜτουπαραλλη-λόγραμμουπουέχειπροσκείμενεςπλευ-ρέςτιςΟΑκαιΟΒ.

22-0168-02.indb 16 12/12/2013 2:28:09 μμ

17

Ιδιότητες Πρόσθεσης Διανυσμάτων

Γιατηνπρόσθεσητωνδιανυσμάτωνισχύουνοιγνωστέςιδιότητεςτηςπρόσθεσηςπραγματικώναριθμών.Δηλαδή,αν

α β γ, , είναιτρίαδιανύσματα,τότε:

(1)

a + = +β β α (Αντιμεταθετική ιδιότητα)(2) ( ) ( )

α β γ α β γ+ + = + + (Προσεταιριστική ιδιότητα)(3)

α α+ =0

(4)

α α+ − =( ) 0 .

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

●Απότοπροηγούμενοσχήμαέχουμε:� � � ��� � ���� � ����α β+ = + =OA AM OM

και� � � ��� � ���� � ����β α+ = + =OB BM OM .

Επομένως,

α β β α+ = + .

●Απότοδιπλανόσχήμαέχουμε:

( ) ( )�� � � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ����

α β γ+ + = + + = + =OA AB B OB B OΓ Γ Γ και� � � � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ����α β γ+ + = + + = + =( ) ( ) .OA AB B OA A OΓ Γ Γ

Επομένως, ( ) ( )

α β γ α β γ+ + = + + .

●Οιιδιότητες(3)και(4)είναιπροφανείς.■

Ηπροσεταιριστικήιδιότηταμαςεπιτρέπεινασυμβολίζουμεκαθένααπόταίσααθροίσματα

α β γ+( ) + και

α β γ+ +( ) με α β γ+ + ,τοοποίοθαλέμεάθροισματωντριώνδιανυσμάτων

α β, και γ .Τοάθροισμαπερισσότερωνδιανυσμάτων

α α α αν1 2 3, , ,..., ,ν ≥ 3 ορίζεταιεπαγωγικάωςεξής:

α α α α α α α α αν ν ν1 2 3 1 2 3 1+ + + + = + + + + +−... ( ... ) .

22-0168-02.indb 17 12/12/2013 2:28:09 μμ

18

Γιαπαράδειγμα, α α α α α α α α1 2 3 4 1 2 3 4+ + + = + + +( )

Δηλαδή,γιαναπροσθέσουμενδιανύσματα α α α αν1 2 3, , ,..., ,τακαθιστούμεδια-δοχικά,οπότετοάθροισμάτουςθαείναιτοδιάνυσμαπουέχειωςαρχήτηναρχήτουπρώτουκαιωςπέραςτοπέραςτουτελευταίου.Επειδήμάλισταισχύουνηαντιμεταθετικήκαιηπροσεταιριστικήιδιότητατηςπρόσθεσης,τοάθροισμαδεμεταβάλλεταιαναλλάξειησειράτωνπροσθετέωνήανμερικοίαπόαυτούςαντι-κατασταθούνμετοάθροισμάτους.

Αφαίρεση Διανυσμάτων

Ηδιαφορά

α β− τουδιανύσματος

β απότοδιάνυσμα α ορίζεταιωςάθροισματωνδιανυσμάτων α και −

β .Δηλαδή

αα ββ αα ββ−− == ++ −−( )

Σύμφωναμεταπαραπάνω,ανέχουμεδύοδιανύσματα α και

β ,τότευπάρχειμοναδικόδιάνυσμα x,τέτοιο,ώστε

β α+ =x .Πράγματι,

β α β β β α α β α β+ = ⇔ − + + = − + ⇔ + = + − ⇔ = −x x x x( ) ( ) ( ) ( )0 .

22-0168-02.indb 18 12/12/2013 2:28:09 μμ

19

Διάνυσμα Θέσεως Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου. Τότε για κάθε σημείο Μ του χώρου ορίζεται το διάνυσμα ΟΜ� ����

, το οποίο λέγεται διάνυσμα θέσεως του Μ ή διανυσματική ακτίνα του Μ. Το σημείο Ο, που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτί-νων των σημείων του χώρου, λέγεται σημείο ανα-φοράς στο χώρο.

Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα ΑΒ� ���

έχουμε OA AB OB� ��� � ��� � ���

+ = και επομένως

AB OB OA= −

Δηλαδή:

“Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής”.

Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε το άθροι-σμα των διανυσμάτων α και

β . Από την τριγωνική ανισότητα γνωρίζουμε όμως ότι

| ( ) ( ) | ( ) ( ) ( )OA AB OB OA AB− ≤ ≤ +

και επομένως

| | | | | | | | | |� � � � � �α β α β α β− ≤ + ≤ +

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Για τέσσερα σημεία Α, Β, Γ, Δ να αποδειχτεί ότι AB� ��� � ��� � ��� � ����++ == ++∆∆ΓΓ ∆∆ΒΒ ΑΑΓΓ .

001-126.indd 19 12/12/2013 3:14:01 μμ

20

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΑνΟείναιένασημείοαναφοράς,τότεέχουμε:

AB OB OA O O OB O O� ��� � ��� � ��� � ��� � ���� � ��� � ��� � ���

+ = − + − = − +∆Γ Γ ∆ ∆ ΓΓ ∆ Γ� ���� � ��� � ��� � ���

− = +OA B A .

2. Να αποδειχτεί ότι | αα ββ γγ αα ββ γγ+ + | ≤ | | + | | + | |.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έχουμε | | (

α β γ α β γ α β γ α β γ+ + |= + ) + |≤| + | + | |≤| | + | | + | | .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Οιδυνάμεις

F F F1 2 5, , ..., ασκούνταιστοσώμαΣ.Ποιαδύναμηχρειάζε-ται,ώστεναμηναφήσειτοσώμαΣναμετακινηθείαπότηθέσητου;

2. ΔίνεταιένατετράπλευροΑΒΓΔ καιέστω

α β γ, , και

δ τααντίστοιχαδιανύσματαθέσεωςωςπρος ένασημείοαναφοράςΟ.Τιμπορείτε ναπείτεγιατοτετράπλευροΑΒΓΔαν:(i)

α γ β δ+ = + (ii) |

α γ β δ− |=| − |(iii)

α γ β δ+ = + και |

α γ β δ− |=| − |

3. Ναεκφράσετετοδιάνυσμα x σεκαθένααπόταπαρακάτωσχήματαωςσυνάρτησητωνάλλωνδιανυσμάτωνπουδίνονται:

22-0168-02.indb 20 12/12/2013 2:28:09 μμ

21

4. ΑνγιαδύοτρίγωναΑΒΓκαιΑΔΕ ισχύειΑΒ ΑΓ Α∆ ΑΕ� ��� � ���� � ��� � ���

+ = + ,ναδείξετεότιτοτετράπλευροΒΔΓΕείναιπαραλληλόγραμμο.

5. ΔίνονταιτέσσερασημείαΑ,Β,Γ,ΔκαιέστωΟ,τομέσοτουτμήματοςΑΓ.ΝααποδείξετεότιΟΒ Ο∆ ΑΒ ∆Γ

� ��� � ��� � ��� � ���+ = − .

6. ΔίνεταικανονικόεξάγωνοΑΒΓΔΕΖ.ΑνΑΒ� ��� �

=α και BΓ� ��� �

= β ,ναεκφρά-σετετοδιάνυσμαΓ∆

� ���ωςσυνάρτησητων α και

β .

7. ΓιαένατυχαίοεξάγωνοP1P2P3P4P5P6νααποδείξετεότι

PP P P P P P P P P P P1 3 2 4 3 5 4 6 5 1 6 2 0 → → → → → →

+ + + + + =

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

Ορισμός Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα

Έστωλέναςπραγματικόςαριθμόςμε λ ≠ 0 και α έναμημηδενικόδιάνυσμα.Ονομάζουμεγινόμενο του λ με το αα καιτοσυμβολίζουμεμε λ α⋅

ή λα έναδιάνυσματοοποίο:

●είναιομόρροποτου α ,αν λ > 0 καιαντίρροποτου α ,αν λ < 0 και●έχειμέτρο | || |λ α .

Ανείναι λ = 0 ή

α = 0,τότεορίζουμεως λ α⋅

τομηδενικόδιάνυσμα

0.

22-0168-02.indb 21 12/12/2013 2:28:09 μμ

22

Γιαπαράδειγμα,αντοδιάνυσμα α τουδιπλα-νού σχήματος έχει μέτρο 2, τότε το διάνυσμα3 α είναι ομόρροπο με το α και έχει μέτρο| | |3 3 α α= |= 3⋅ 2 = 6,ενώτοδιάνυσμα −3 α είναιαντίρροπομετο α ,αλλάέχεικαιαυτόμέτροίσομε | | | | |− = − |= 3⋅ 2 = 63 3 α α .

Τογινόμενο1λα⋅τοσυμβολίζουμεκαιμε

αλ.

Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα

Γιατογινόμενοπραγματικούαριθμούμεδιάνυσμαισχύουνοιεπόμενεςιδιότη-τες:

(1) λ α β λα λβ( )

+ = + (2) ( )λ µ α λα µα+ = + (3) λ µα λµ α( ) ( ) =

ΑΠΟΔΕΙΞΗ*

(1)Υποθέτουμεότιταδιανύσματα α και

β είναιμημηδενικάκαιότιλ ≠ 0 .ΠαίρνουμεένασημείοΟκαισχεδιάζουμεταδιανύσμα-

τα OA� ��� �

=α , AB� ��� �

= β . Τότε είναι OB� ��� � �

= +α β .

Σχεδιάζουμεεπιπλέονταδιανύσματα

OA′ =� ��� �

λα καιOB′ = +� ���� � �

λ α β( ).Επειδή

( )( )

( )( )

| |ΟΑΟΑ

ΟΒΟΒ

′=

′= λ ,

τατρίγωναΟΑΒ καιΟΑ Β′ ′ είναιόμοιακαιεπομένωςηπλευρά ′ ′Α Β είναιπα-ράλληλημετηνΑΒκαιισχύει

( )( )

| |′ ′

=Α ΒΑΒ

λ .

22-0168-02.indb 22 12/12/2013 2:28:10 μμ

23

Αυτό σημαίνει ότι ′ ′ = ⋅ =A B AB� ���� � ��� �

λ λβ .Επομένως,επειδήOB OA A B′ = ′ + ′ ′

� ���� � ��� � ����,έχου-

μελ α β λα λβ( )

+ = + .Ηιδιότηταισχύειπροφανώςκαιότανένατουλάχιστοναπόταδιανύσματα α και

β είναιτομηδενικόήότανοαριθμόςλ είναιμηδέν.

Η απόδειξη των ιδιοτήτων (2) και (3)αφήνεταιωςάσκηση.■

Ωςσυνέπειατουορισμούτουγινομένουαριθμούμεδιάνυσμακαιτωνπαραπά-νωιδιοτήτωνέχουμε:

(i) λα λ��

= ⇔ =0 0 ή ��

α = 0

(ii) ( ) ( ) ( )− = − = −λα λ α λα� � �

(iii) λ α β λα λβ( )�� � �

− = −

(iv) ( )λ µ α λα µα− = −� � �

(v) Αν λα λβ��

= και λ ≠ 0, τότε � �α β=

(vi) Αν λα µα� �= και ��

α ≠ 0, τότε λ µ= .

Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων

Αςθεωρήσουμεδύοδιανύσματα α και

β .Απόταδιανύσματααυτά“παράγο-νται”,γιαπαράδειγμα,ταδιανύσματα

γ α β= +3 5 ,

δ α β= − +2 3 κτλ.Καθένααπό ταδιανύσματααυτάλέγεται γραμμικόςσυνδυασμός των α και

β .Γενικά,ονομάζεταιγραμμικός συνδυασμόςδύοδιανυσμάτων α και

β κάθεδιάνυσματηςμορφής v κα λβ= +

�� � ,όπουκ λ, ∈R.Ανάλογαορίζεταικαιο γραμμικόςσυνδυασμός τριώνήπερισσότερωνδιανυ-σμάτων.Έτσι,γιαπαράδειγμα,τοδιάνυσμα � �= − +3 2 5v α β γ

�� είναιέναςγραμμι-κόςσυνδυασμόςτων

α β, και

γ .

22-0168-02.indb 23 12/12/2013 2:28:10 μμ

24

Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων

Όπωςείδαμε,ανδύοδιανύσματα α και

β ,όπου

β ≠ 0 ,συνδέονταιμετησχέση

α λβ= , τότε ταδιανύσματααυτά είναιπαράλληλα. Ισχύει όμωςκαι τοαντί-στροφο.Δηλαδή,ανταδιανύσματα α και

β είναιπαράλληλακαι

β ≠ 0 ,τότευπάρχει μοναδικός αριθμός λ τέτοιος ώστε

α λ β= ⋅ . Πράγματι, αν θέσουμε

καβ

=| || |

,τότε | | | |

α κ β= .Συνεπώς:

●Αν

α β↑↑ ,τότε

α κβ= .

●Αν

α β↑↓ ,τότε

α κβ= − .

●Αν

α = 0,τότε

α β= ⋅0 .

Σεκάθελοιπόνπερίπτωσηυπάρχειλκαιμάλισταμοναδικός(ιδιότηταiv),τέ-τοιος,ώστε

α λ β= ⋅ .Επομένως:

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν

α β, είναιδύοδιανύσματα,με

β ≠ 0 ,τότε

α β/ / ⇔

α λβ= ,λ ∈R.

Γιαπαράδειγμα,στοπαρακάτωσχήμαανΔ καιΕείναιταμέσατωνπλευρώνΑΒ καιΑΓτουτριγώνουΑΒΓ,έχουμε:

B BA A A A A AE EΓ Γ ∆ Ε ∆ ∆� ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� �

= + = + = + =2 2 2 2( )����.

Αφούλοιπόν B EΓ ∆� ��� � ���

= 2 ,συμπεραίνουμεότι

∆Ε ΒΓ/ / και | | | |B EΓ ∆� ��� � ���

= 2 , που σημαίνει

ότι ∆Ε ΒΓ=12

.Ξαναβρίσκουμεδηλαδήτη

γνωστήμαςαπό τηνΕυκλείδειαΓεωμετρία

σχέση∆Ε ΒΓ= / /2.

Α

ΕΔ

ΓΒ

22-0168-02.indb 24 12/12/2013 2:28:10 μμ

25

Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος

Αςπάρουμεέναδιάνυσμα AB� ���

καιένασημείοαναφοράςΟ.Επειδή AM MB

� ���� � ���= ,έχουμε

OM OA OB OM� ���� � ��� � ��� � ����

− = − ,

οπότε

2OM OA OB� ���� � ��� � ���

= +

καιάρα

OM OA OB� ���� � ��� � ���

=+2

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1* Να αποδειχτεί ότι:

(i) Ένα σημείο G είναι το βαρύκεντρο ενός τριγώνου ΑΒΓ, αν και μόνο αν ισχύει GA+GΒ+GΓ = 0

���� ���� ���� � και

(ii) Αν G είναι το βαρύκεντρο του ΑΒΓ, τότε για οποιοδή-

ποτε σημείο Ο ισχύει ( ).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

(i)ΓνωρίζουμεαπότηνΕυκλείδειαΓεωμετρίαότιανGείναιτοκέντροβάρουςτουτριγώνουΑΒΓ,τότε Α ∆G G= 2 ,όπουΑΔηδιάμεσοςτουτριγώνου.Επομέ-νως,ισχύει AG G

� ��� � ���= 2 ∆ ,οπότεέχουμε

GA GB G GA G GA AG GG� ��� � ��� � ���� � ��� � ��� � ��� � ��� � ���

+ + = + = + = =Γ ∆2��0.

Αντιστρόφως, αν για ένα σημείοG ισχύει GA GB G� ��� � ��� � ���� �

+ + =Γ 0 , τότε θα έχουμεGA G� ��� � ��� �

+ =2 0∆ ,όπουΔτομέσοντηςΒΓ,οπότεθαισχύει AG G� ��� � ���

= 2 ∆ .Έτσι,τοση-μείοGανήκειστηδιάμεσοΑΔκαιισχύειΑ ∆G G= 2 .Άρα,τοGείναιτοκέντροβάρουςτουτριγώνουΑΒΓ.(ii)ΑπότησχέσηGA GB G

� ��� � ��� � ���� �+ + =Γ 0έχουμε:OA OG OB OG O OG

� ��� � ��� � ��� � ��� � ���� � ��� �− + − + − =Γ 0.Άρα

22-0168-02.indb 25 12/12/2013 2:28:10 μμ

26

2. Να αποδειχτεί ότι τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζουν τα μέσα των απέναντι πλευρών ενός τετραπλεύρου και τα μέσα των διαγωνίων του διέρχονται από το ίδιο σημείο και διχοτομούνται από το σημείο αυτό.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω

α β γ δ, , , τα διανύσματα θέσεως των κορυφών Α, Β, Γ, Δ, αντιστοίχως, ενός τετρά-πλευρου ΑΒΓΔ ως προς ένα σημείο αναφο-ράς Ο.

Τα διανύσματα θέσεως των μέσων Η της ΒΓ

και Θ της ΑΔ είναι 12( )

β γ+ και 12( )

α δ+

αντιστοίχως και το διάνυσμα θέσεως του μέ-σου G του ΗΘ είναι το1212

12

14

( ) ( ) ( )

β γ α δ α β γ δ+ + +

= + + + .

Ομοίως βρίσκουμε ότι το διάνυσμα θέσεως

των μέσων των τμημάτων ΕΖ και ΙΚ είναι το 14( )

α β γ δ+ + + . Άρα τα τμήματα

ΗΘ, ΕΖ και ΙΚ διέρχονται από το ίδιο σημείο και διχοτομούνται από αυτό.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Αν α είναι ένα διάνυσμα, τι μπορείτε να πείτε για το μέτρο και την κατεύ-

θυνση του διανύσματος

αα

α01

= ⋅| |

;

2. Να βρείτε το διάνυσμα x σε καθεμιά από τις περιπτώσεις:

(i) 12

13

( ) ( )

x x+ = +α β

(ii)

x x+ + = − −3 4 3( ) ( )α β α β .

3. Αν στο διπλανό σχήμα είναι ( ) ( )ΒΜ ΜΓ= 2 ,

να αποδείξετε ότι

x = +13

2( )β γ .

001-126.indd 26 4/3/2015 12:16:33 µµ

27

4. Στοδιπλανόσχήμαέχουμε:

∆Ε = 2EB,ΑΒ� ��� �

=α , ∆Γ� ��� �

= 2α και ∆Α� ��� �

= β .(i)Να εκφράσετε συναρτήσει των α και

β

ταδιανύσματα∆Β� ���

,ΕΒ� ���

,ΓΒ� ���

,ΑΕ� ���

καιΕΓ� ���

.

(ii)Απότιςεκφράσειςτων ΑΕ� ���

και ΕΓ� ���

ποιοσυμπέρασμαπροκύπτειγιατασημεία Α,Ε καιΓ ;

5. ΣτοπαρακάτωσχήμανααποδείξετεότιτασημείαΑ Γ, καιΕ είναισυνευθειακά.

6. ΑνΑΚ ΒΚ Β ΒΛ ΑΜ� ���� � ���� � ��� � ��� � ����

+ − = +3 2 3A ,νααποδείξετεότιτασημείαΚ,ΛκαιΜ είναισυνευθειακά.

7. Αν ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι διάμεσοι τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότιΑ∆ ΒΕ ΓΖ� ��� � ��� � ��� �

+ + = 0 .

8. ΑνΚ,Λ,ΜείναιταμέσατωνπλευρώνΒΓ,ΓΑ,ΑΒ,αντιστοίχως,τριγώνουΑΒΓ,νααποδείξετεότιγιαοποιοδήποτεσημείο Οισχύει:ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΚ ΟΛ ΟΜ� ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ����

+ + = + + .

9. ΑνΜκαιΝ είναιταμέσατωνδιαγωνίωνΑΓκαιΒΔ,αντιστοίχως,ενόςτετραπλεύρουΑΒΓΔ,νααποδείξετεότι AΒ Α∆ ΓΒ Γ∆ ΜΝ

� ��� � ��� � ��� � ��� � ����+ + + = 4 .

10. ΔίνεταιτομημηδενικόδιάνυσμαAΒ� ���

καισημείο ΓτέτοιοώστεναισχύειΑΓ Β� ���� � ���

= λA καιΒΓ Β� ��� � ���

= µA .Νααποδείξετεότι λ µ− =1.

11. ΔίνεταιτρίγωνοΑΒΓ.Αν A AB A∆ Γ� ��� � ��� � ���

= +κ λ καιΑΕ ΑΒ Γ� ��� � ��� � ���

= +λ κ A .νααπο-δείξετεότι ∆Ε ΒΓ

� ��� � ���/ / .

22-0168-02.indb 27 12/12/2013 2:28:11 μμ

28

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Στο διπλανό σχήμα είναι A AB∆� ��� � ���

=13

και

AE A� ��� � ���

= −13

Γ .ΑνGείναιτοκέντροβάρους

του τριγώνουΑΒΓ, να αποδείξετε ότι τοτετράπλευρο ΑGΔΕ είναι παραλληλό-γραμμο.

2. ΘεωρούμεέναπαραλληλόγραμμοΑΒΓΔκαιδύοσημείαΕκαιΖ τέτοια,ώστεAE A

� ��� � ���= κ ∆ και AZ AB

� ��� � ���= λ ,όπουλ κ

κ=

−1,μεκ ≠ 1.Νααποδείξετεότι

τασημείαΕ, ΓκαιΖείναισυνευθειακά.

3. Νααποδείξετεότιανισχύουνδύοαπότιςσχέσεις xKA yKB zK� ��� � ��� � ���� �

+ + =Γ 0,x A y B zΛ Λ ΛΓ� ��� � ��� � ��� �

+ + = 0 , x y z+ + = 0 ,τότεθαισχύεικαιητρίτη(τοσημείοΚ είναιδιαφορετικόαπότοΛ).

4.Αν

α β, και r είναιοιδιανυσματικέςακτίνεςτωνσημείωνΑ,ΒκαιΜ αντι-

στοίχωςκαι ΜΑΜΒ

=κλ,νααποδείξετεότιαντοΜείναιεσωτερικότουΑΒ,

τότε

r = ++

λα κβλ κ

,ενώαντοΜείναιεξωτερικότουΑΒ,τότε

r = −−

λα κβλ κ

.

5.ΔίνεταιπαραλληλόγραμμοΑΒΓΔ.ΝαβρείτεσημείοΜτέτοιο,ώστεναισχύειMA MB M M� ��� � ��� � ���� � ����

+ + =Γ ∆

6.ΔίνεταιτετράπλευροΑΒΓΔκαιέστωΜκαιΝταμέσατωνδιαγωνίωντουΑΓκαιΒΔ αντιστοίχως.Νααποδείξετεότιαν4MN A B

� ���� � ��� � ���= −∆ Γ ,τότετοτε-

τράπλευροαυτόείναιπαραλληλόγραμμο.

22-0168-02.indb 28 12/12/2013 2:28:11 μμ

29

7.ΑνGκαι ′G είναιταβαρύκεντραδύοτριγώνωνΑΒΓκαι ′ ′ ′Α Β Γ ,νααπο-δείξετεότι AA BB GG′ + ′ + ′ = ′

� ��� � ��� � ���� � ����ΓΓ 3 .

8.ΔίνονταιτασημείαΑ, ΒκαιΓ.ΝααποδείξετεότιγιαοποιοδήποτεσημείοΜτοδιάνυσμα 3 5 2MA MB M

� ��� � ��� � ����− + Γ είναισταθερό.

9. ΣτοδιπλανόσχήματοΑΒΓΔ είναιτραπέζιομε( ) ( )AB = 2 Γ∆ ,τοΚΑΛΒπαραλληλόγραμμοκαιτοΙμέσοτουΓΔ.Νααποδείξετεότι:

(i) K KA� ���� � ���

= −12

και K KB∆� ��� � ���

= −12

(ii)τασημείαΙ,Κ,Λείναισυνευθειακά.

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Άξονας

Πάνωσεμιαευθείαx′xεπιλέγουμεδύοσημείαΟκαιΙ,έτσιώστετοδιάνυσμα

OI� ��

ναέχειμέτρο1καιναβρίσκεταιστηνημιευθείαΟx.Λέμετότεότιέχουμε

ένανάξοναμε αρχή το Ο και μοναδιαίο διάνυσμα το OI = i� ��� �

καιτονσυμβολί-ζουμεμεx′x.ΗημιευθείαΟxλέγεταιθετικός ημιάξονας Οx, ενώηΟx′λέγεταιαρνητικός ημιάξονας Οx′.

Αν,τώρα,πάνωστονάξοναx′xπάρουμεένασημείοΜ,επειδήOM i� ���� �

/ / ,θαυπάρ-

χειακριβώς έναςπραγματικόςαριθμόςx τέτοιοςώστε OM x� ���� �

= ⋅ι .Τοναριθμό

22-0168-02.indb 29 12/12/2013 2:28:11 μμ

30

xτονονομάζουμετετμημένητουΜ.Αλλάκαιαντιστρόφως,απότηνισότηταOM x� ���� �

= ⋅ι προκύπτειότισεκάθεπραγματικόαριθμόxαντιστοιχείμοναδικόση-μείοΜτουάξοναx′xμετετμημένηx.ΤοσημείοαυτόσυμβολίζεταιμεΜ ( )x .

Καρτεσιανό Επίπεδο

Πάνωσεέναεπίπεδοσχεδιάζουμεδύοκάθετουςάξονεςx′xκαιy′yμεκοινήαρχήΟκαιμοναδιαίαδιανύσματατα

i και

j .Λέμετότεότιέχουμεέναορθοκανο-νικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ήαπλούστερα ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδοήακόμαένακαρτεσιανό επίπε-δοκαιτοσυμβολίζουμεμε Οxy.ΤοσύστημαΟxyλέγεταιορθοκανονικό,γιατίείναιορθο-γώνιο και κανονικό.Ορθογώνιο είναι, γιατίοι άξονες x′x και y′y είναι κάθετοι, και κα-νονικό, γιατί τα διανύσματα

i και

j είναιισομήκη.

ΠάνωστοκαρτεσιανόεπίπεδοΟxyπαίρνουμεένασημείοΜ.ΑπότοΜφέρνου-μετηνπαράλληληστονy′y,πουτέμνειτονx′xστοΜ1,καιτηνπαράλληληστονx′x,πουτέμνειτονy′yστοΜ2.ΑνxείναιητετμημένητουΜ1ωςπροςτονάξοναx′xκαιyητετμημένητουΜ2ωςπροςτονάξοναy′y,τότεοxλέγεταιτετμημένη τουΜκαιο y τεταγμένητουΜ.Ητετμημένηκαιη τεταγμένηλέγονταισυντε-ταγμένες του Μ.Έτσισεκάθεσημείο Μτουεπιπέδουαντιστοιχείέναζεύγοςσυντεταγμένων.Αλλάκαιαντιστρόφωςσεκάθεζεύγος ( , )x y πραγματικώναριθμώναντιστοιχείμοναδικόσημείοτουεπιπέδου,τοοποίοβρίσκεταιωςεξής:Πάνωστονάξοναx′xπαίρνουμετοσημείοM x1( )καιστονy′yτοσημείοM y2 ( ).ΑπόταΜ1καιΜ2 φέρνουμεπαράλληλεςστουςάξονεςy′yκαιx′xαντιστοίχως,πουτέμνονταιστοΜ.ΤοσημείοΜείναιτοζητούμενο.ΈνασημείοΜμετετμημένηxκαιτεταγμένηyσυμβολίζεταικαιμεM x y( , ) ήαπλάμε ( , )x y .

22-0168-02.indb 30 12/12/2013 2:28:11 μμ

31

Συντεταγμένες Διανύσματος

ΈστωΟxyένασύστημασυντεταγμένωνστοεπίπεδοκαι α έναδιάνυσματουεπιπέδου.ΜεαρχήτοΟσχεδιάζουμετοδιάνυσμαOA

� ��� �=α .ΑνA1καιA2είναιοι

προβολέςτουΑστουςάξονεςx′xκαιy′yαντιστοίχως,έχουμε:

OA OA OA� ��� � ��� � ����

= +1 2 (1)

Αν x, y είναι οι συντεταγμένες του A, τότεισχύειOA x1

� ��� �= ι καιOA yj2

� ���� �= .Επομένωςηισό-

τητα(1)γράφεται

αα = +xi yj

Αποδείξαμεδηλαδήότιτο α είναι γραμμικός συνδυασμόςτων

i και

j .Στηνπαραπάνωκατασκευήοιαριθμοίxκαιyείναιμοναδικοί.Θααποδείξουμετώραότικαιηέκφρασητου α ωςγραμμικούσυνδυασμούτων

i και

j είναιμο-ναδική.Πράγματι,έστωότιισχύεικαι

α = ′ + ′x i y j .Τότεθαέχουμε

xi yj x i y j

+ = ′ + ′

( ) ( )x x i y y j− ′ = ′ −

Ανυποθέσουμεότι x x≠ ′,δηλαδήότι x x− ′ ≠ 0,τότεθαισχύει

i y yx x

j=′ −− ′

Η σχέση αυτή, όμως, δηλώνει ότι

i j/ / , που είναι άτοπο, αφού τα

i και

j δεν είναι συγγραμμικά. Επομένως x x= ′, που συνεπάγεται ότι και y y= ′.Ώστε:

“Κάθε διάνυσμα αα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή

αα == ++xi yj”.

Ταδιανύσματα xi

και yj

λέγονταισυνιστώσεςτουδιανύσματος α κατάτηδιεύθυνσητων

i και

j αντιστοίχως,ενώοιαριθμοίx, yλέγονταισυντεταγμένεςτου α στοσύστημαΟxy.Πιοσυγκεκριμένα,οxλέγεταιτετμημένητου α καιο

22-0168-02.indb 31 12/12/2013 2:28:12 μμ

32

yλέγεταιτεταγμένητου α.Απότοντρόποπουορίστηκανοισυντεταγμένεςενόςδιανύσματοςπροκύπτειότι:

“Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες”.

Καθένααπόταίσαδιανύσματαμετετμημένηxκαιτεταγμένηy,θατοσυμβολί-ζουμεμετοδιατεταγμένοζεύγος ( , )x y .

Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων

Ανγνωρίζουμετιςσυντεταγμένεςδύοδιανυσμάτων α και

β τουκαρτεσιανούεπιπέδου,τότεμπορούμεναβρούμετιςσυντεταγμένεςτουαθροίσματος

α β+ ,τουγινομένου λα,λ ∈Rκαιγενικάκάθεγραμμικούσυνδυασμούτων α και

β .Πράγματι,αν α = ( , )x y1 1 και

β = ( , )x y2 2 ,τότεέχουμε:

●

α β+ = + + + = + + +( ) ( ) ( ) ( )x i y j x i y j x x i y y j1 1 2 2 1 2 1 2● λα λ λ λ

= + = +( ) ( ) ( )x i y j x i y j1 1 1 1

Επομένως

α β+ = + +( , )x x y y1 2 1 2 και λα λ λ

= ( , )x y1 1

ήισοδύναμα

( , ) ( , ) ( , )x y x y x x y y1 1 2 2 1 2 1 2+ = + +

λ λ λ( , ) ( , )x y x y1 1 1 1=

Γενικότερα,γιατογραμμικόσυνδυασμό λα µβ

+ έχουμε:

λα µβ λ λ µ µ λ µ λ µ

+ = + = + +( , ) ( , ) ( , )x y x y x x y y1 1 2 2 1 2 1 2 .

Γιαπαράδειγμα,αν α = −( , )1 1 και

β = ( , )1 2 ,τότε

α β+ = − + =( , ) ( , ) ( , ),1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2α = − = −( , ) ( , ),

α β− = − − = − + − − = −( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )1 1 1 2 1 1 1 2 0 3 ,και 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 4

α β− = − − = − + − − = −( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

22-0168-02.indb 32 12/12/2013 2:28:12 μμ

33

Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος

Αςθεωρήσουμεδύοσημεία Α( , )x y1 1 και Β ( , )x y2 2 τουκαρτεσιανούεπιπέδουκαιαςυποθέσουμεότι ( , )x y είναιοισυντεταγμένεςτουμέσουΜτουΑΒ.

ΕπειδήOM OA OB� ���� � ��� � ���

= +12

( ),και

OM x y� ����

= ( , ),OA x y� ���

= ( , )1 1 ,OB x y� ���

= ( , )2 2 ,

έχουμε

( , ) [( , ) ( , )]x y x y x y= +12 1 1 2 2

=+ +

x x y y1 2 1 22 2

,

Επομένωςισχύει

x x x= +1 22

και y y y= +1 22

.

Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα

Ας θεωρήσουμε δύοσημεία Α( , )x y1 1 καιΒ ( , )x y2 2 του καρτεσιανού επιπέδου καιας υποθέσουμε ότι ( , )x y είναι οι συντε-ταγμένες του διανύσματος AB

� ���. Επειδή,

AB OB OA� ��� � ��� � ���

= − , AB x y� ���

= ( , ) , OB x y� ���

= ( , )2 2 ,καιOA x y� ���

= ( , )1 1 ,έχουμε:

( , ) ( , ) ( , ) ( , ).x y x y x y x x y y= − = − −2 2 1 1 2 1 2 1

Επομένως:

Οι συντεταγμένες ( , )x y του διανύσματος με άκρα τα σημεία A x y( , )1 1 καιΒ ( , )x y2 2 δίνονταιαπότιςσχέσεις

x x x= −2 1 και y y y= −2 1 .

22-0168-02.indb 33 12/12/2013 2:28:12 μμ

34

Δηλαδή

τετμημένητου AB� ���

=τετμημένητουΒ‒τετμημένητουΑ

τεταγμένητου AB� ���

=τεταγμένητουΒ‒τεταγμένητουΑ.

Γιαπαράδειγμα,τοδιάνυσμα AB� ���

μεαρχήτο Α( , )1 2 καιπέραςτο Β ( , )3 7 έχεισυντεταγμένες x = − =3 1 2 καιy = − =7 2 5,δηλαδήείναιίσομετο α = ( , )2 5 .

Μέτρο Διανύσματος ●Έστω α = ( , )x y έναδιάνυσματουκαρτεσι-ανούεπιπέδουκαιΑτοσημείομεδιανυσματι-κήακτίναOA

� ��� �=α .ΑνA1καιA2είναιοιπροβο-

λέςτουΑστουςάξονεςx′xκαιy′yαντιστοίχως,επειδήτοσημείοΑέχειτετμημένηxκαιτεταγ-μένηy, θα ισχύει ( ) | |ΟΑ1 = x και ( ) | |ΟΑ2 = y .Έτσιθαέχουμε:

| | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | | |α 2 2 12

12

12

22 2 2 2 2= = + = + = + = +ΟΑ ΟΑ ΑΑ ΟΑ ΟΑ x y x y .

Επομένως:

Αν α = ( , )x y ,τότε | |α = +x y2 2 (1)

Γιαπαράδειγμα,αν α = ( , )5 12 ,τότε | |

α = + =5 12 132 2 .● Αςθεωρήσουμετώραδύοσημεία Α( , )x y1 1 και Β ( , )x y2 2 του καρτεσιανού επιπέδου.Επειδή η απόσταση ( )ΑΒ των σημείων Α καιΒ είναι ίση με το μέτρο του διανύσματοςAB x x y y� ���

= − −( , )2 1 2 1 ,σύμφωναμε τον τύπο (1)θαισχύει:

( ) ( ) ( )ΑΒ = − + −x x y y2 12

2 12 (2)

22-0168-02.indb 34 12/12/2013 2:28:13 μμ

35

Επομένως:

ΗαπόστασητωνσημείωνΑ( , )x y1 1 καιΒ ( , )x y2 2 είναιίσημε

( ) ( ) ( )ΑΒ = − + −x x y y2 12

2 12

Γιαπαράδειγμα,ηαπόστασητωνσημείων Α( , )2 7− και Β ( , )5 3− είναι ίσημε

( ) ( ) ( )ΑΒ = − + − + = + =5 2 3 7 3 4 52 2 2 2 .

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Αν ΑΑ( , )−−2 1 και ΒΒ ( , )1 4 είναι οι δύο κορυφές του παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ και ΚΚ ( , )2 3−− το κέντρο του, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ.

ΛΥΣΗ

Αν Γ ( , )x y1 1 και 2 2x y( , )∆ είναιοιδύοάλλεςκο-ρυφέςτουπαραλληλόγραμμου,επειδήτοΚείναιτομέσοντωνΑΓκαι ΒΔ,έχουμε:

x

y

1

1

22

2

12

3

+ −=

+= −

( )

και

x

y

2

2

12

2

42

3

+=

+= −

.

Επομένως,

xy

1

1

67

== −

καιxy

2

2

310

== −

.

Άρα,οισυντεταγμένεςτωνκορυφώνΓκαιΔείναι ( , )6 7− και ( , )3 10− αντιστοίχως.

2.* Να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους G του τριγώνου ΑΒΓ, αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των κορυφών του.

ΛΥΣΗ

Αν ( , )x y1 1 , ( , )x y2 2 , ( , )x y3 3 είναιοισυντεταγμέ-νεςτωνκορυφώνΑ, Β,Γαντιστοίχωςκαι ( , )x y είναιοισυντεταγμένεςτουκέντρουβάρουςτου

22-0168-02.indb 35 12/12/2013 2:28:13 μμ

36

ΑΒΓ,επειδήOG OA OB O� ��� � ��� � ��� � ����

=+ + Γ

3(Εφαρμ.1§1.3),θαέχουμε:

( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y x y x y x y= + +1 1 2 2 3 33

=+ + + +

=+ + + +

( , ),

x x x y y y x x x y y y1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 33 3 3

Άραx x x x y y y y= + + = + +1 2 3 1 2 33 3,

.

Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων

Έστω

α = ( , )x y1 1 και

β = ( , )x y2 2 δύοδιανύσματατουκαρτεσιανούεπιπέδου.—Ανταδιανύσματαείναιπαράλληλακαιυποθέσουμεότι

β ≠ 0 ,τότεθαυπάρ-χει λ ∈R,τέτοιος,ώστε

α λβ= .Επομένως,θαέχουμε ( , ) ( , )x y x y1 1 2 2= λ ήισο-δύναμα:

x x1 2= λ και y y1 2= λ ,

οπότεθαισχύει x y y x x y y x1 2 1 2 2 2 2 2 0− = − =λ λ ήισοδύναμαx yx y

1 1

2 2

0= .

—Αν

β = 0,τότεθαισχύειx yx y

x y1 12 2

1 1

0 00= = .

Δείξαμεδηλαδήότιανταδιανύσματα α και

β είναιπαράλληλα,τότε

x yx y

1 1

2 2

0= .

●Αντιστρόφως,ανx yx y

1 1

2 2

0= ,τότεταδιανύσματα α και

β θαείναιπαράλληλα.

Πράγματι,επειδήx yx y

1 1

2 2

0= ,έχουμε x y x y1 2 2 1= .

Επομένως,

—Αν 2 0x ≠ ,τότε yxx

y1 12

2= ,οπότε,ανθέσουμεxx

1

2

= λ,θαέχουμε

x x1 2= λ και y y1 2= λ .

Άρα,

α λβ= καισυνεπώς

α β/ / .

22-0168-02.indb 36 12/12/2013 2:28:13 μμ

37

—Αν x2 0= ,τότε x y1 2 0= ,οπότεαν x1 0= ,ταδιανύσματα

α και

β θαείναιπαράλληλαπροςτονάξονατωντεταγμένων,άρακαιμεταξύτουςπαράλληλα,ενώ,αν y2 0= ,τότετο

β θαείναιτομηδενικόδιάνυσμακαιάρα,παράλληλοπροςτο α .Αποδείξαμελοιπόνότι

α β/ / ⇔ =x yx y

1 1

2 2

0 (1)

Τηνορίζουσα x yx y

1 1

2 2

, πουέχειως1η τηγραμμήτιςσυντεταγμένες τουδια-

νύσματος αα καιως2ηγραμμήτιςσυντεταγμένεςτουδιανύσματος

β ,τηλέμεορίζουσα των διανυσμάτων αα και

ββ (μετησειράπουδίνονται)καιθατησυμ-βολίζουμεμεdet( , )

αα ββ .Έτσι,ηπαραπάνωισοδυναμίαδιατυπώνεταιωςεξής:

α β α β/ / det( , )⇔ = 0

Γιαπαράδειγμα:

— Τα διανύσματα α = −( , )3 1 και

β = −( , )3 3 είναι παράλληλα, αφού

det( , )

α β =−

−= − + =

3 1

3 33 3 0 ,ενώ

— Τα διανύσματα α = ( , )2 3 και

β = −( , )1 2 δεν είναι παράλληλα, αφού

det( , )

α β =−

= + = ≠2 31 2

4 3 7 0.

Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος ● Έστω α = ( , )x y ένα μη μηδενικό διάνυσμακαι A το σημείο του επιπέδου για το οποίοισχύει OA

� ��� �=α . Τη γωνία ϕ , που διαγράφει ο

ημιάξοναςΟx αν στραφεί γύρωαπό τοΟ κατάτη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημι-ευθεία ΟΑ, την ονομάζουμε γωνία που σχη-ματίζει το διάνυσμα αα με τον άξονα x′ x.Είναιφανερόότι

0 2≤

38

Για τη γωνία φ, όπως είναι γνωστό από την Τριγωνομετρία, αν το α δεν είναι παράλληλο προς τον άξονα y′y, ισχύει

εϕϕ =yx

.

Το πηλίκο yx

της τεταγμένης προς την τετμημένη του διανύσματος α = ( , )x y ,

με 0x ≠ , το λέμε συντελεστή διεύθυνσης του αα και τον συμβολίζουμε με λλαα ή απλώς με λ. Επομένως:

λ ϕ= =yx

εϕ

Είναι φανερό ότι

— Αν y = 0, δηλαδή αν α / / ′x x, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος

α είναι ο λ = 0.— Αν x = 0 , δηλαδή αν

α / / ′y y , τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος α.

● Ας θεωρήσουμε τώρα δύο διανύσματα α = ( , )x y1 1 και

β = ( , )x y2 2 με συντελε-στές διεύθυνσης λ1 και λ2 αντιστοίχως. Τότε έχουμε τις ισοδυναμίες:

α β λ λ/ / ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =x yx y

x y x y yx

yx

1 1

2 21 2 2 1

1

1

2

21 20 .

Επομένως, η συνθήκη παραλληλίας για δύο διανύσματα α και

β με συντελε-στές διεύθυνσης λ1 και λ2 διατυπώνεται ως εξής:

α β λ λ1 2

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Να βρεθούν οι τιμές του µµ∈∈R για τις οποίες τα σημεία ΑΑ( , )1 0 , ΒΒ ( , )−−µµ 2 3 και ΓΓ ( , )−−5 9µµ είναι συνευθειακά.

ΛΥΣΗ

ΤασημείαΑ,Β,Γείναισυνευθειακά,ανκαιμόνοανταδιανύσματαAB� ���

= − −( , )µ 2 1 3

και AΓ� ���

= − −( , )5 1 9µ είναιπαράλληλα,δηλαδή,ανκαιμόνοαν det( , )AB A� ��� � ���

Γ = 0 .

22-0168-02.indb 38 12/12/2013 2:28:14 μμ

39

Έχουμελοιπόν

det( , )AB A� ��� � ���

Γ = ⇔− −− −

=01 3

5 1 90

2µµ

⇔ − − + + =9 9 15 3 02µ µ

⇔ − + =3 5 2 02µ µ

⇔⇔ == ==µ µ1 23

ή .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Ποια είναι η θέσηστο καρτεσιανό επίπεδο τωνσημείων M x y( , ) για ταοποίαισχύει:

(i) | |x = 2 (ii) | |x < 2 (iii) | |y > 2 (iv) | | | |x y= .

2. Ναβρείτετιςαποστάσειςτωνπαρακάτωσημείωναπότουςάξονεςx′xκαιyy′:

Α Β Γ ∆( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )− − − − +1 2 3 4 5 6 1 2α β M x y .

3. Δίνεταιτοδιάνυσμα α λ λ λ λ= − − + ∈( , ),2 24 3 2 R.Γιαποιατιμήτουλ είναι:(i)

α = 0 ;(ii) ��

α ≠ 0 και α / / ′x x ;

4. Δίνονταιταδιανύσματα

α λ λ λ λ= − + − −( , )2 23 2 2 3 2 και

β λ λ λ λ= − + − + −( , )2 25 6 3 7 2 .Ναβρείτετο λ ∈R,ώστεναείναι

α β= .

5. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x, ώστε τα διανύσματα α = ( , )x 1 και

β = ( , )4 x ναείναιομόρροπα.

6. Αν u = ( , )3 4 ,ποιοδιάνυσμαείναισυγγραμμικόμετο u καιέχειδιπλάσιομέτροαπότο u ;

22-0168-02.indb 39 12/12/2013 2:28:14 μμ

40

7.Στο διπλανό σύστημα συντεταγμέ-νωνείναιΟ A i

� ��� �= καιΟΒ

� ��� �= j .Ναεκ-

φράσετεωςσυνάρτησητηνi jκαι� �

:

α)Ταδιανύσματαθέσεωςτωνσημεί-ωνΓ, Δ, Ε, Ζ, ΚκαιΗ.

β)ΤαδιανύσματαΓ∆� ���,ΚΑ� ���

,Η∆� ���

,Κ∆� ���

,ΗΘ� ����

, ΖΑ� ���

καιΚΖ� ����

.

8.Δίνονται τασημεία Α( , )−1 6 και Β ( , )− −9 2 .Ναβρείτε (i)Τοσημείο τουάξοναx′xπου ισαπέχειαπόταΑκαιΒ (ii)Τοσημείοτουάξοναyy′πουισαπέχειαπόταΑκαιΒ.

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1.Αντασημεία Κ Λ Μ Ν32

52

3 72

4 52

3 1, , , , , , ,

( ) και Ξ

32

12

,

είναιτα

μέσατωνπλευρώνΑΒ,ΒΓ,ΓΔ,ΔΕκαιΕΑ,αντιστοίχως,τουπενταγώνουΑΒΓΔΕ,ναβρεθούνοισυντεταγμένεςτωνκορυφώντουπενταγώνου.

2.ΣεένασύστημασυντεταγμένωνοιτετμημένεςδύοσημείωνΑκαιΒείναιοιρίζεςτηςεξίσωσης x x2 2 4 3 17 0− − + − =( )λ λ .Ναβρείτετηντιμήτουλ ∈R,ώστετομέσοντουτμήματοςΑΒναέχειτετμημένηίσημε4.

3.Δίνονται τα σημείαΜ Μ Μ1 1 1 2 2 2 3 3 3( , ), ( , ), ( , )κ λ κ λ κ λ και Μ 4 4 4( , )κ λ . Νααποδείξετεότι,αντασημείααυτάείναιταμέσατωνδιαδοχικώνπλευρώνενόςτετραπλεύρου,τότεισχύει

κ κ κ κ1 3 2 4+ = + και λ λ λ λ1 3 2 4+ = + .

4.Γιαοποιουσδήποτεπραγματικούςαριθμούςα1,α2,β1, β2,x,yνααποδείξετεότι:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y x y− + − + − + − ≥ − + −α β α β α α β β12

12

22

22

2 12

2 12 .

5.Δίνονταιδύομησυγγραμμικάδιανύσματα α και

β ενόςεπιπέδου.Νααπο-δείξετεότιοποιοδήποτεδιάνυσμα r τουεπιπέδουαυτούμπορείναεκφρα-στείωςγραμμικόςσυνδυασμόςτων α και

β κατάμοναδικότρόπο.

22-0168-02.indb 40 12/12/2013 2:28:14 μμ

41

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Γνωρίζουμε ότι το έργο που παράγεται από μιαδύναμη

F όταν μετατοπίζει το σημείο εφαρμο-γής της από τοΟ στοΑ είναι ίσο με το γινόμενο| | ( )

F ⋅ ⋅ΟΑ συνϕ .Τογινόμενοαυτόσυμβολίζεταιμε� � ���F OA⋅ καιλέγεταιεσωτερικό γινόμενοτηςδύναμης

F μετοδιάνυσμαOA� ���

.Γενικότερα,έχουμετονακόλουθοορισμό:

ΟΡΙΣΜΟΣ

●Ονομάζουμεεσωτερικό γινόμενοδύομημηδενικώνδιανυσμάτων α και

β καιτοσυμβολίζουμεμε

αα ββ⋅ τονπραγματικόαριθμό

α β α β ϕ⋅ = ⋅ ⋅| | | | συν ,

όπουφηγωνίατωνδιανυσμάτων α και

β .

●Αν

α = 0 ή

β = 0,τότεορίζουμε

α β⋅ = 0

Γιαπαράδειγμα,τοεσωτερικόγινόμενοδύοδιανυσμάτων α και

β με | |α = 3,

| |

β = 8 καιϕ π=3είναι

α βπ

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =3 83

3 8 12

12συν .

Άμεσεςσυνέπειεςτουπαραπάνωορισμούείναιοιεξής:

●

αα ββ ββ αα⋅ ⋅= (Αντιμεταθετικήιδιότητα)

●Αν

αα ββ⊥ , τότε

αα ββ⋅ = 0 καιαντιστρόφως.

●Αν

αα ββ↑↑ , τότε

αα ββ αα ββ⋅ = ⋅| | | | καιαντιστρόφως.

●Αν

αα ββ↑↓ , τότε

αα ββ αα ββ⋅ = − ⋅| | | | καιαντιστρόφως.

Τοεσωτερικόγινόμενο α α⋅ συμβολίζεταιμε αα 2καιλέγεταιτετράγωνο του αα .Έχουμε: α α α α2 20= ⋅ =| | | | | |συν .Επομένως

αα αα2 2=| | .

22-0168-02.indb 41 12/12/2013 2:28:15 μμ

42

Ειδικότερα,γιαταμοναδιαίαδιανύσματα

i και

j τουκαρτεσιανούεπίπεδουισχύουν:

i j = j i =⋅ ⋅ 0 και

i = j =2 2 1

Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου

Θαδούμετώραπώςμπορούμεναεκφράσουμετοεσωτερικόγινόμενοδύοδιανυσμάτων α = ( , )x y1 1 και

β = ( , )x y2 2 συναρτήσει τωνσυντεταγμένωντους.Με αρχή τοΟ παίρνουμε τα διανύσματαOA� ��� �

=α καιOB� ��� �

= β .Απότονόμοτωνσυνημιτό-νωνστοτρίγωνοΟΑΒέχουμετηνισότητα

2 2 2 ˆ( ) ( ) ( ) 2( )( )ΑΒ ΟΑ ΟΒ ΟΑ ΟΒ ΑΟΒ= + − συν ,

ηοποίαισχύεικαιστηνπερίπτωσηπουτασημείαΟ,Α,Βείναισυνευθειακά.Όμωςείναι

( ) ( ) ( )ΑΒ 2 2 12

2 12= − + −x x y y , ( )ΟΑ 2 1

212= +x y και ( )ΟΒ 2 2

222= +x y .

Επομένως,έχουμεδιαδοχικά:2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 1 1 2 2ˆ( ) ( ) 2( )( )συνx x y y x y x y ΟΑ ΟΒ ΑΟΒ− + − = + + + −

2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2

ˆ2 2 2( )( )συνx x x x y y y y x y x y ΟΑ ΟΒ ΑΟΒ+ − + + − = + + + −

καιεπειδή ˆ( )( )ΟΑ ΟΒ ΑΟΒ α βσυν = ⋅�� ,έχουμετελικά:

� �α β⋅ = +x x y y1 2 1 2

Δηλαδή:

“Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γι-νομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους”.

Για παράδειγμα, το εσωτερικό γινόμενο των α = −( , )3 4 και

β = −( , )2 1 είναι:

α β⋅ = − ⋅ + − = −( ) ( )3 2 4 1 10.

Μετηβοήθειατηςαναλυτικήςέκφρασηςτουεσωτερικούγινομένουθααποδεί-ξουμεότιισχύουνοιεπόμενεςιδιότητες:

22-0168-02.indb 42 12/12/2013 2:28:15 μμ

43

● ( ) ( ) ( )λλαα ββ αα λλββ λλ αα ββ

⋅ ⋅ ⋅= =

●

αα ββ γγ αα ββ αα γγ⋅ ⋅ ⋅( )+ = + (ΕπιμεριστικήΙδιότητα)

●

αα ββ λλ λλ⊥ ⇔ −1 2 1= ,όπου λ λα1 = και λ λβ2 = ,εφόσον

α β, / / ′y y

Πράγματι,αν α = ( , )x y1 1 ,

β = ( , )x y2 2 και

γ = ( , )x y3 3 ,τότεέχουμε:

●( ) ( , )( , ) ( ) ( ) ( ) (λα β λ λ λ λ λ λ

⋅ = = + = + =x y x y x x y y x x y y1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 αα β⋅

) και

α λβ λ λ λ λ λ λ⋅ = = + = + =( ) ( , )( , ) ( ) ( ) ( ) (x y x y x x y y x x y y1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 αα β⋅

).

Άρα,( ) ( ) ( )λα β α λβ λ α β

⋅ = ⋅ = ⋅

●

α β γ⋅ + = + + = + + +( ) ( , )( , ) ( ) ( )x y x x y y x x x y y y1 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3

= + + + = + + +( ) ( ) ( ) ( )x x x x y y y y x x y y x x y y1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 3

= ⋅ + ⋅

α β α γ .

●

α β α β λ λ⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = −0 0 1 11 2 1 2 1 2 1 21

1

2

21 2x x y y y y x x

yx

yx

Συνημίτονο Γωνίας δύο Διανυσμάτων

Αν α = ( , )x y1 1 και

β = ( , )x y2 2 είναιδύομημηδενικάδιανύσματατουεπιπέδουπουσχηματίζουνγωνίαθ,τότε

α β α β⋅ συν= | || | θ καιεπομένως,

σσυυννθθαα ββαα ββ

=| | | |

⋅⋅

.

Είναιόμως

α β⋅ = +x x y y1 2 1 2 , | |

α = +x y12

12

και | |

β = +x y22

22 .

Επομένως,

σσυυννθθ = x x + y yx + y x + y

1 2 1 2

12

12

22

22⋅

Γιαπαράδειγμα,ανθείναιηγωνίατωνδιανυσμάτων α = ( , )1 2 και

β = ( , )3 1 ,τότε:

συνθ =⋅ + ⋅

+ ⋅ +=

⋅= =

1 3 2 1

1 2 3 1

55 10

12

222 2 2 2,οπότεθ

π=

4.

22-0168-02.indb 43 12/12/2013 2:28:15 μμ

44

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Αν αα και ββ είναι δύο διανύσματα του επιπέδου, να αποδειχτεί ότι:(i) | | | | | |

αα ββ αα ββ⋅ ≤ ⋅ (ii) ( )2 2 2

αα ββ αα ββ⋅ ≤

Πότε ισχύουν οι ισότητες;

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

(i)Ανθείναιηγωνίατωνδιανυσμάτων α και

β ,τότεέχουμε:

| | | | | | | | | | | | | | | |

α β α β θ α β θ α β⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ≤ ⋅συν συν .

Ηισότηταισχύειμόνο,ανσυνθ = ±1 ,δηλαδή,μόνοαν

α β/ / .(ii)Επίσης,έχουμε ( ) | | (| | | |) | | | |

α β α β α β α β α β⋅ = ⋅ ≤ ⋅ = ⋅ = ⋅2 2 2 2 2 2 2.Ηισότηταισχύει,όπωςκαιπροηγουμένως,μόνοόταν

α β/ / .

2. Έστω δύο διανύσματα αα και ββ που έχουν μέτρα | |=αα 3 , | |=ββ 1 και σχηματίζουν γωνία ϕϕ ππ=

6. Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων

x = +αα ββ

και

y = αα ββ− .

ΛΥΣΗ

Ανθείναιηγωνίατων x και y ,τότεσυνθ = ⋅⋅

x yx y| | | |

.Αρκεί,επομένως,ναυπο-

λογίσουμετο x y⋅ καιταμέτρατων x y, .Έχουμελοιπόν

●

x y⋅ = + − = − = − = − =( )( ) | | | |α β α β α β α β2 2 2 2 3 1 2 .

● | | ( )

x x2 2 2 2 2 2= = + = + +α β α β αβ = + +| | | | | || |

α β α β ϕ2 2 2 συν

= + + ⋅ ⋅ ⋅ =3 1 2 3 1 3

27.

● | | ( )

y y2 2 2 2 2 2= = − = + −α β α β αβ

= + −| | | | | || |

α β α β ϕ2 2 2 συν

= + − ⋅ ⋅ ⋅ =3 1 2 3 1 3

21 .

Άρα,συνθ =⋅=

27 1

2 77

,οπότεθ ≅ 41

22-0168-02.indb 44 12/12/2013 2:28:16 μμ

45

3. Να αποδειχτεί ότι σσυυνν σσυυνν σσυυνν ηηµµ ηηµµ( )αα ββ αα ββ αα ββ− = + , όπου 0 ≤ < ≤ββ αα ππ .

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΑνστοντριγωνομετρικόκύκλοταδιανύσματαOA� ���

καιOB� ���

σχηματίζουνμετονάξοναx′xγωνίεςακαι

βαντιστοίχως,τότεθαείναιOA� ���

= ( , )συν ηµα α και

OB� ���

= ( , )συν ηµβ β .

Επομένως,θαέ�